求函数的值域的常见方法

第一篇：求函数的值域的常见方法

求函数的值域的常见方法

王远征

深圳市蛇口学校

求函数的值域是高中数学的重点学习内容，其方法灵活多样，针对不同的问题情景，要求解题者，选择合适的方法，切忌思维刻板。本文就已知解析式求函数的值域，这类问题介绍几种常用的方法。

一、直接法

函数值的集合叫做函数的值域，根据定义，由函数的映射法则和定义域，直接求出函数的值域。

例1． 已知函数yx11，x1,0,1,2，求函数的值域。

2解：因为x1,0,1,2，而f1f33，f0f20，f11 所以：y1,0,3，注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该例的定义域为xR，则函数的值域为y|y1。请体会两者的区别。

二、反函数法

反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。例2． 求函数y1

x5的值域。2x1x分析与解：注意到20，由原函数求出用y表示2的关系式，进而求出值域。由y1

x5x2，得：x21因为20，所以y404y1，1y

值域为：y|4y1

三、函数的单调性

例3．求函数yx1在区间x0,上的值域。x

分析与解答：任取x1,x20,，且x1x2，则

fx1fx2

x1x2x1x21，因为0x

x1x

2x2，所以：x1x20,x1x20，当1x1x2时，x1x210，则fx1fx2；

当0x1x21时，x1x210，则fx1fx2；而当x1时，ymin2 于是：函数yx

在区间x0,上的值域为[2,)。x

构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例4：求函数fxxx的值域。

1x0

分析与解答：因为1x1，而x与x在定义域内的单调性

1x0

不一致。现构造相关函数gxxx，易知g(x)在定义域内单调增。

gmaxg12，gming12，gx2，0g2x2，又f

xg2x4，所以：2f2x4，2fx2。

四、换元法

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将

原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

例5．求函数y(x5x12)(x5x4)21的值域。

959

分析与解答：令tx25x4x，则t。

424

ytt821t28t21t45，9119

当t时，ymin458，值域为y|y8

416164

例6．求函数yx2x的值域。

分析与解答：令tx，则x1t，t0，y1t22tt1

2当t0时，tmax102201 所以值域为(,1]。

例7．求函数yxxx223的值域。分析与解答：由yxxx223=x令x5

2x5，2cos，因为2x5022cos201cos1，[0,]，则2x5=2sin，于是：y

5

2sin2cos52sin5，[,]，4444



2

sin1，所以：52y7。24

五、配方法

对解析式配方，然后求函数的值域。此法适用于形如Fxaf当要注意fx的值域。

例8．求函数y

xbfxc，2xx23的值域。

(x1)24，于是：

分析与解答：因为2xx30，即3x1，y

0(x1)244，0y2。

1x22x

4例9．求函数y在区间x[,4]的值域。

4x

42x22x4

x6，分析与解答：由y配方得：yx2xxx14

1x2时，函数yx2是单调减函数，所以6y18； 4x4

当2x4时，函数yx2是单调增函数，所以6y7。

x

所以函数在区间x[,4]的值域是6y18。

当

六、判别式法

把函数yfx同解变形为关于的一元二次方程，利用0，求原函数的值域，此方法适用与解析式中含有分式和根式。

2x22x

3例10．求函数y的值域。

2xx

113

分析与解答：因为xx1x0，原函数变形为：

24

y2x2y2xy30（1）

当y2时，求得y3，所以y2。

当y2时，因为xR，所以一元二次方程（1）有实数根。则：

0，即：y24y2y302y

所以2y

10，3

七、基本不等式法

利用重要不等式ab2ab，a,bR求出函数的最值而得出值域的方法。此法的题形特征是：当解析式是和式时，要求积是定值；当解析式是积式时，要求和是定值；为此解答时，常需要对解析式进行恒等变形，具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项；平方等恒等变形。



x230x

例11．求函数y的值域。

x

2x230x646

4x3234[x2] 分析与解答：y

x2x2x2

因为分母不为0，即x2，所以： 当x2时，x2取等号，ymax18； 当x2时，x2(当且仅当(x2)

2x2

x2

6464,x6时，16，当且仅当x2

x2x2

6464)2x2()16，x2x2

64,x6时，取等号，ymin50； x2

值域y(,18][50,)

注意：利用重要不等式时，要求fx0,且等号要成立。

八、数形结合法

当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例12．如例4求函数yxx的值域。

分析与解答：令ux，vx，则u0,v0，uv2，uvy，22

原问题转化为 ：当直线uvy与圆uv2在直角坐标系uov的第一象限有公

共点时，求直线的截距的取值范围。

由图1知：当uvy经过点(0,2)时，ymin当直线与圆相切时，ymaxOD所以：值域为2y2

2；

2OC

2

2。

九．利用函数的有界性：形如sinf(y),x2g(y),sin1,x20可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。

2x1

例．求函数yx的值域

21

[解析]：函数的有界性

2x1y1由yx得2x

y121

220,

y1

0y1或y1 y1

第二篇：求函数值域的方法

求函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；

②逆求法（反求法）：通过反解x，用y 来表示，再由 x的取值范围，通过解不等式，得出 y的取值范围；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：利用均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

第三篇：求函数的值域常见类型

求值域的几种常用方法

（1）观察法、直接法、配方法、换元法：

对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数ysin2x2cosx4，可变为ysin2x2cosx4(cosx1)22解决

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数ylog1(x22x3)就是利用函数ylog1u和ux22x3的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y2x133的值域[,] x22x222

（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数y

（5）利用基本不等式求值域：如求函数y3x的值域 x242cosx3的值域，因为 cosx1

（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数y2x4x22(x[1,2])的值域

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)2x34x240x，x[3,3]的最小值。（－48）

m，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了 x

4三种模型：（1）如yx，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x  [-1,0)(0,4],求值x（9）对勾函数法 像y=x+

域

（2）如 yx4求（1）[3,7]上的值域（2）单调递增区间（x0或x4）x4，1，（1）求[-1,1]上的值域（2）求单调递增区间 x3（3）如y2x

例1．

1、已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

2、已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。

例2． 设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的x1,1都有f(x)0成立，则实数a的值为

x22xa例

3、已知函数f(x) ,x[1,).若对任意x[1,),f(x)0恒成立,试求实数a的取值范围。x

第四篇：高一函数整理求值域的方法

一．观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）

二．反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）

三．配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})

四．判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/

3当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。

五．最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。

∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）

（答案：D）。

六．图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

解：原函数化为 －2x+1(x≤1)

y= 3(-1

2x-1(x>2)

它的图象如图所示。

显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

七．单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x

在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函

数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

八．换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

解：设t=√2x+1（t≥0）,则

x=1/2(t2-1)。

于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

九．构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+2

2作一个长为

4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位

正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共

线时取等号。

∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

十一．利用多项式的除法

例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。

练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）

十二．不等式法

例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。

解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0

1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函数的值域（0，1）。

点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。以下供练习选用：求下列函数的值域

1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）

2．Y=2x/(2x－1)。（y>1或y<0）

已知函数F(X)=lg(X^2-mx+3)(m为实数)

(1)函数F(X)的定义域与值域能否同时为实数集R?证明你的结论.(2)是否存在实数M,使函数发F(X)的定义域和值域同时为<1,正无穷),若存在,请求出M值,若不存在,说明理由!

类似上面一题的函数F(X)= lg(ax^2+2x+1)

(1)若F(X)的定义域为R,求实数a的取值范围

(2)若F(X)的值域为R,求实数a的取值范围

函数Y=-log以2为底(x^2-ax-a)在区间(负无穷,-1/2)上是增函数的充要条件.

第五篇：分式型函数求值域的方法探讨

分式型函数求值域的方法探讨

在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。axb(ao,b0)（一次式比一次式）在定义域内求值域。cxd

2x12例1：求f(x)（x)的值域。3x2

3241112(x)122233解：f(x)=0, 23x233x23x233x233(x)3

一、形如f(x)

2其值域为y/y 3

一般性结论，f(x)axbd(ao,b0)如果定义域为x/xcxdc,则值域

ay/y c

例2：求f(x)2x1，x1,2的值域。3x

2分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。

12x1222解：f(x)=，是由y向左平移，向上平移得出，通过图3x233x233x

像观察，其值域为, 35

58

小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。a（a0)的值域。x

分析：此类函数中，当a0，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当a0时，a'对函数求导，f(x)12,f'(x)0时，x(,a)a,），f'(x)0时，x

二、形如求f(x)x

x(a,0)(0,a)，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常

其图像

4,(x(1,4)上的值域。x

2解：将函数整理成f(x)2(x)，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在(0,2)x例3：求f(x)2x

单调递减，在(2,)上递增，其在2处取最小值，比较1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为42,6 

mxnax2bxc

三、用双钩函数解决形如f(x)（m0,a0），f(x)ax2bxcmxn

（m0,a0）在定义内求值域的问题。

t24t1例3：（2010重庆文数）已知t0，则则函数y的最小值为_______.t

t24t11t4，to由基本不等式地y2 解：ytt

例4:求f(x)x1(x1)的值域。2xx

2解：令x1t,则xt1,则f(x)t1t=，(t1)2(t1)2t23t4t43t7其中t0.则由基本不等式得f(x)

4x22x21(x)的值域。例5:求f(x)2x12

t1t14)222(t12tt222解：令t2x1,则x，f(x)==t1 2ttt，其中t0，由基本式得f(x)22

1小结：对于此类问题，我们一般换元整理后，将函数变成f(x)x2a(a0)这类型的函x

数，解决此类函数注意应用基本不等式，当基本不等式不行的时候，注意应用双勾函数的思想去解决此类问题 ax2bxc(a0,m0)在定义域内求值域。

三、形如f(x)2mxbxc

2x2x1例5：求y2的值域。xx1

分析：当定义域为R时，我们采用判别式法求此类函数的值域。当定义域不为R时，不应采用此法，否则有可能出错。此时，我们要根据函数关系的特征，采用其他方法。

解：xx10恒恒成立，所以此函数的定义域为xR，将函数整理成关于x的方程，2

yx2yxy2x2x1，(y2)x2(y1)x(y1)0,当y20,关于x的方程

2恒有解，则(y1)4(y2)(y1)0,即1y7，显然，y2也成立，所以其3

值域为y/1y7

3

以上是求此类函数的常见方法，但同学们在解题过程中。不要拘泥以上方法，我们要根据具体函数的特征采用相对应的方法，多思考，举一反三，那以后解决此类问题就很容易了。3