《函数定义域、值域》研讨案[样例5]

第一篇：《函数定义域、值域》研讨案

本溪县高级中学数学科“三学三动立体循环”教学模式 复习课 《 函数的定义域、值域 》 研讨案

课题 函数的定义域、值域 设计教师 张石柱 授课教师

时间 1 2011 年 年 8 8 月 月 0 10 日

第2

周课型

复习课 课时 1/2

教 学 目 标

一、知识和能力 1、掌握整式，分式，根式，指对数及抽象函数定义域求法 2、掌握整式，分式，根式，指对数及抽象函数值域求法； 3、定义域为 R 和恒成立问题的转化； 4、定义域和值域的综合问题 二、过程和方法

通过自主探究、小组合作、质疑、讨论、展示、变式练习等学习活动完成学习任务。

三、情感态度和价值观

通过学习活动增强学生的合作意识，体验学习的乐趣，树立自信，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神。

重点

难点 重点：掌握定义域的求法 难点：掌握求值域的 12 种方法。

教

法

自主探究、小组合作、讨论、展示、师生共研等 教

具

多媒体课件、三角板

教

学

过

程

设

计

教

材

处

理

师生活动 一、课前检测（5～10 分钟）

1．(2010·湖北)函数 y＝1log 0.5 4x－3 的定义域为（）A.34，1

B.34，＋∞ C．(1，＋∞)

D.34，1 ∪(1，＋∞)2 若函数 f(x)＝x－4mx 2 ＋4mx＋3 的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是（）A．(－∞，＋∞)

B.0，34 C.34，＋∞

D.0，34

教 师 布 置 课 前 小考，学生答题，抽取小组学生板演。教师巡视，学生做完后，质疑、点评、互批、自改

3(2010·重庆)函数 y＝ 16－4 x 的值域是（）A．[0，＋∞)

B．[0,4] C．[0,4)

D．(0,4)4(2010·江西)函数 y＝sin 2 x＋sinx－1 的值域为（）A．[－1,1]

B.－ 54，－1 C.－ 54，1

D.－1，54 5．(2010·天津)若函数 g(x)＝x 2 －2(x∈R)，f(x)＝  gx＋x＋4x＜gx，gx－x

x≥gx，则 f(x)的值域是（）A.－ 94，0 ∪(1，＋∞)

B．[0，＋∞)C.－ 94，＋∞

D.－ 94，0 ∪(2，＋∞)

二、导入新课

一切函数问题能正确解决都离不开函数的定义域，值域的求解正确，并且求值域方法灵活，所以有必要统筹学习函数的定义域，值域

三、目标 导向（教师结 合《考试说明》 制 定学习目标）

1、掌握整式，分式，根式，指对数及抽象函数定义域求法 2、掌握整式，分式，根式，指对数及抽象函数值域求法； 3、定义域为 R 和恒成立问题的转化； 4、定义域和值域的综合问题

四、精典 探究

题型一

已知函数的解析式求其定义域

例 1 求下列函数的定义域：

(1)y＝12－|x| ＋x 2 －1；(2)y＝x 2 －4lgx 2 －2x－2 ；

教师引出课题。

教 师 出 示 学习目标，学生阅读，明确学习目标

对于基础题，学生动手做，抽取小组学生板演、展示、质疑、释疑、归纳总结。教师点拨、(3)y＝ 25－x 2 ＋lgcosx.题型二

求复合函数的定义域

例 2(1)已知函数 f(x)的定义域为(0,1)，求 f(x 2)的定义域；(2)已知函数 f(2 x ＋1)的定义域为(0,1)，求 f(x)的定义域；(3)已知函数 f(x ＋1)的定义域为[－2,3]，求 f(2 x 2－2)的定义域 题型三

求简单函数的值域

例 3 求下列函数的最值与值域．(1)y＝4－ 3＋2x－x 2 ；

(2)y＝2x－ 1－2x；(3)y＝x＋ 4x ；

(4)y＝3 x3 x ＋1

题型四

函数定义域与值域的综合应用

例 4 已知 y ＝ f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥0 时，f(x)＝ x ＋ x 2.(1)求 x ＜0 时，f(x)的解析式．(2)是否存在这样的非负数 a，b，当 x ∈[ a，b ]时，f(x)的值域为[4 a －2,6 b －6]？若存在，求出所有的 a，b 值；若不存在，请说明理由

五、总结升华

1、本节课的主要知识点是：____________________________; 2、本节课的主要思想方法是：___________________________;3、本节课学生存在的问题是：____________________________.六、课堂检测（5 5 ～0 10 分钟）

1．(2009·江西)函数 y＝lnx＋1－x 2 －3x＋4 的定义域为（）A．(－4，－1)

B．(－4,1)C．(－1,1)

D．(－1,1] 2．(2011·安庆模拟)若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)＝ f2xx－1 的定义域是（）A．[0,1]

B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]

D．(0,1)3．函数 y＝x－1x的值域是（）A.－ 12，12

B.0，12 C．[0,1]

D．[0，＋∞)4．若函数 f(x)＝log a(x＋1)(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则 a＝（）点评

对 于 有 难 度 的 问题，学生尝试做，教师选择学习较好的学生板演，基本做完后，学生讲解、质疑、释疑，归纳总结，教师点拨、点评

留给学生充分的讨论、互学整理的时间和机会。教师巡视，帮助学生解决疑难

要 求 学 生 从 知 识点、思想方法和存在的问题三方面总结；教师点评和补充

学生做；教师巡视，收取检测卷。检测题不宜过多、过难，旨在了解对基础知识和基本方法掌握的情况。要树立学生学习的信心。

A.13

B.2

C.22

D．2 七、复习指导

1、将本课的学案和教材看一遍，不会的问题研究一下； 2、推荐作业：《名师一号·函数的定义域、值域》练习题。

指 导 学 生 课 后 复习，布置作业

板书设计：

：

教学反思：

：

第二篇：函数值域问题

努力今天成就明

天

知识就是财富

求分式函数值域的几种方法

求分式函数值域的常见方法 1 用配方法求分式函数的值域

如果分式函数变形后可以转化为y配方，用直接法求得函数的值域.例1 求y解：y1的值域.22x3x11312x482ab的形式则我们可以将它的分母2a1xb2xc22，311因为2x≥，488所以函数的值域为：,8∪0,.x2x例2 求函数y2的值域.xx1解：y211，2xx12133因为xx1x≥，244所以31≤20，4xx12 1故函数的值域为,1.3先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“”的条件.利用判别式法求分式函数的值域

我们知道若ax2bxc0a0,a,bR有实根，则b24ac≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域.x23x4例1 求y2的值域.x3x4解：将函数变形为y1x23y3x4y40①，当y1时①式是一个关于x的一元二次方程.因为x可以是任意实数，所以≥0，即3y34y14y47y50y7≥0，解得，17≤y≤1或1y≤7，又当y1时，x0，1故函数的值域为,7.72x2bxc例2 函数y的值域为1,3，求b，c的值.2x1解：化为y2xbxyc0，⑴当y2时xRb4y2yc≥0，4y24c2y8cb2≥0，由已知4y24c2y8cb20的两根为1，3，由韦达定理得，c2，b2.⑵当y2时x2c0有解 b综上⑴和⑵，b2，c2.由这两个例题我们知道在利用判别式法求分式函数的值域时要注意下列问题：

1、函数定义域为R（即分母恒不为0）时用判别式求出的值域是完备的.2、当x不能取某些实数时（分母为零），若要用判别式法求它的值域则需要对使ya2x2b2xc2a1x2b1xc1的判别式0的y值进行检验.3、转换后的一元二次方程若二次项系数中含有字母则需要讨论其是否为0只有在其不为0的情况下才可以使用判别式法.3.利用函数单调性求分式函数的值

对于求函数的值域问题，我们通常使用能够揭示此类函数本质特征的通性通法即利用函数的单调性来求其值域.例1求函数y解：y2x1(xR,x1)的值域.x12x12(x1)33，2x1x1x13是x减函数进而y是x的增函数，于是y,2； x1当x1时，当x1时，同样y是x的增函数，于是y2,； 所以y2x1(x1)的值域为,2∪2,.x1a的单调性的结论： x在求分式函数时我们常运用函数yx⑴当a0时在,a和a,上增函数，在a,0和0,a上是减函数.⑵当a0时在,0和0,上是增函数.例求函数yx（1≤x≤3）的值域.2xx4解：x0所以yx.4x1x4令tx在1,2上是减函数，在2,3是上增函数，x所以x2时，tmin4；

x1时，tmax5；

所以t4,5，t13,t，11故值域为,.434.利用反函数法(反解)求分式函数的值域

设yf(x)有反函数，则函数yf(x)的定义域是它反函数的值域，函数yf(x)的值域是其反函数的定义域.那么如果一个分式函数的反函数存在，我们就可以通过求反函数的定义域来求其值域.例1 求函数y2x的值域.5x12x1(x)的映射是一一映射因此反函数存在，其反函数为5x152，5解：由于函数yyx 明显知道该函数的定义域为x|x25x22故函数的值域为,∪,.55说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来，用此方法求值域只用yaxb(c≠0)的函数，并且用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法.我们用这种cxd方法目的是找关于y的不等式所以反函数求值域的实质是反函数的思想树立这种思想是我们的宗旨.下面这种方法就是利用了反函数的思想比较通用的方法.5.利用方程法求分式函数的值域

4x27x0,1求函数例1（2005年全国高考理科卷Ⅲ第22题）已知函数f(x)2xf(x)的值域

4x27解：f(x)，x0,1，2x所以2yxy4x27，x0,1，即4x2yx(72y)0，x0,1.这样函数的值域即为关于x的方程4x2yx(72y)0在x0,1内有解的y的取值集.令g(x)4x2yx(72y)，x0,1，则关于x的方程4x2yx(72y)0在x0,1内有解g(0)g(1)≤0 g(0)0g(1)077或≤y≤3或4≤y≤4≤y≤3，by2202a241b4acy4(72y)0即所求函数的值域为4,3..利用换元法求分式函数的值域

当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（或几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向.换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）.在中学数学问题中，常见的基本换元形式有式代换、三角代换、点代换、参数代换等.x24x4,x[1,0]的值域． 例1 求函数f(x)2x4x5解：令tx2，t2则y2t111,[,1]． 1t212t115因为12[,2]，t414所以函数f(x)的值域是[,]．

25x4例2 求函数y的值域．

(1x2)3解：令xtan，(,)，22tan4tan4则ysin4cos2 233(1tan)sec1sin2sin22cos221sin2sin22cos24≤.23276

3当且仅当tan22时“”成立.x44所以函数y的值域为0,.(1x2)327在这道例题中不仅用了换元法还用了均值不等式.利用三角函数来代换是我们在用换元法解题最常用的在换元后根据三角函数的有界性求能求出函数的值域.在用换元法的时候重要的就是要注意换元后的自变量发生了改变，那么它的定义域也就变了.注意到这点才能准确地求出值域.7.利用不等式法求分式函数的值域

“不等式法”就是通过利用不等式的一些性质和均值不等式来求某些具有一定特性的分式函数的值域.若原函数通过变形后的分子分母符和下列条件①各变数为正；②各变数的和或积为常数.则可以考虑用均值不等式求它的值域.要注意在得到结论之后要说明其中等号能够取到.例1 求函数y解：y24(x1)(x1)的值域.(x3)224(x1)24.24(x1)4(x1)4(x1)4x14因为x10，所以x1≥4，x14则x148，x124所以0y≤3（当x1时取等号），8故函数的值域为0,3.例2 设Sn123n，nN求f(n)中数学联赛）

解：f(n)Sn(n32)Sn1Sn的最大值.（2000年全国高

(n32)Sn1n(n1)nn22，(n1)(n2)(n32)(n2)n34n64(n32)27 即化为了求分式函数最值的问题f(n)164n34n.又因为n34当n64643450，≥2nnn641即n8时“”成立，所以对任何nN有f(n)≤，n501故f(n)的最大值为.50例2表面上看是数列的问题而实际是我们可以将其转化为求函数值域的问题在这里我们利用均值不等式的性质来求其值域就使得整个解题过程利用数更简单.8.斜率法求分式函数的值域

数形结合是中学数学中的一种重要的数学思想方法.数是形的抽象概括，形是数的直观表现.华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.这种方法不仅仅体现在数学的其它领域中，在求函数的值域与最值时也有良好的反映.联想到过A(x1,y1)，B(x2,y2)的直线LAB的斜率为kAB函数化为斜率式并利用数形结合法来求函数的值域.3t22(t)的最小值.例1 求函数f(t)2(3t2)3y2y1，我们可以考虑把分式x2x13t202解：函数f(t)可变形为f(t)(t)，6t43设A(6t,3t2)，B(4,0)则f(t)看作是直线AB的斜率，令x6t，y3t2则x212y(x4).在直角坐标系中A点的轨迹为抛物线的一部分直线与抛物线相切是斜率最小.过点B(4,0)直线方程为：yk(x4)将它代入x212y，有x212kx48k0，则0推算出k即t8时，f(t)min4.34此时x8，38 x2x11例2 求y(≤x≤1)的值域.x12(x2x)1解：y，令A(1,1)，B(x,x2x)，x(1)则ykAB，点B的轨迹方程为yx2x(1≤x≤1)，21151B1(,)，B2(1,2)，kAB1，kAB2，2422所以yk51AB2,2，即函数的值域为512,2.

第三篇：函数定义域的知识点

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.函数的值域的求法：观察法、配方法、换元法、利用多项式的除法、单调性法、判别式法、反函数法、数形结合法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.。

2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：（1）由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)

3.常用的函数表示法:解析法： 图象法： 列表法：

4.分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

5.函数解析式的求法：

（1）待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；

（2）换元法或配凑法，已知复合函数f［g(x)］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；

（3）方程思想，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x);

（4）赋值法，若已知抽象函数关系式，则用赋值法。

另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.

第四篇：复合函数的定义域

复合函数的定义域

复合函数的计算

用极限的夹逼准则求极限

无穷小量与无穷大量

两个重要极限

等价无穷小量 用洛必达法则或等价无穷小量求极限 用定义研究分段函数连续性

用定义研究分段函数连续性可导性 用连续函数零点定理证明函数等式 用导数的定义计算导数 幂指函数求极限及求导数 利用导数是平面曲线切线的斜率求切线方程 隐函数求微分 通过导数讨论函数单调区间 利用函数的单调性证明函数不等式 通过导数讨论函数的拐点 求函数的极值

原函数

用换元法计算不定积分 求三角函数的不定积分 用分部积分法求不定积分

第五篇：分式函数值域解法

分式函数值域解法汇编

甘肃省定西工贸中专文峰分校 张占荣

函数既是中学数学各骨干知识的交汇点，是数学思想，数学方法应用的载体，是初等数学与高等数学的衔接点，还是中学数学联系实际的切入点，因此函数便理所当然地成为了历年高考的重点与热点，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数以及函数图象。而对函数值域的考查或是单题形式出现，但更多的是以解题的一个环节形式出现，其中求分式函数的值域更是学生失分较大知识点之一。为此，如何提高学生求分式函数值域的能力，是函数教学和复习中较为重要的一环，值得探讨。下面就本人对分式函数值域的教学作如下探究，不馁之处、敬请同仁指教。

一、相关概念

函数值是指在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y值。

函数的值域是函数值的集合，是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

分式函数是指函数解析式为分式形式的函数。

二、分式函数的类型及值域解法

类型一：一次分式型

一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x（或参数）的一次函数的分式函数。

1.y=(a0)型

例１ 求函数y=的值域。

解法一：常数分离法。将y=转化为y=（k1,k2为常数），则yk1 解：∵y==，∴

y。

解法二：反函数法。利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

解：反解y=得x=，对调 y=（x)，∴函数y=的值域为

y。

2.y=(a0)型

分析：这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出x，但其有一个特点：只出现一种三角函数名。可以考虑借助三角函数值域解题，其实质跟y=（t=sinx）在t的指定区间上求值域类似。

即：将y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。

例２ 求函数y=的值域。

解：由y=得，sinx=，∵-1≤sinx≤1，∴-1≤≤1，解之得≤y≤3。

3.y=或y=(a0)型

分析：这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例2解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故可考虑用叠加法。

即：去分母以后，利用叠加公式和|sinx|≤1解题。

例３ 求函数y=

解：∵2cosx+100，∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。

∴, 其中，由∴和,整理得8y+5y≤0。2得，∴≤y≤0 即原函数的值域为[，0]。

总结：求一次分式函数的值域，首先要看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上；其次用反函数法解题；再次还要注意含三角函数的分式函数，其实质是在指定区间上求分式函数的值域。

类型二：二次分式型

二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数。由于出现了x2项，直接反解x的方法行不通。但我们知道，不等式、函数、方程三者相互联系，可以相互转化。所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题。

１.y=(a、d不同时为0)，x∈R型

分析：去分母后，可将方程看作是含参数y的二次方程f(x)=0。由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解该不等式便可求出原函数的值域。

≥0（=f(y)）,即：用判别式法。先去分母，得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式

即可求出值域。

例４ 求函数y=的值域。

解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。

当y＝0时，x＝0，当y≠0时，由△≥0得-

∵函数定义域为R，≤y≤。

∴函数y＝的值域为[-，]。

说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。

2.y=(a、d不同时为0)，指定的区间上求值域型。

例５ 求（x<）的值域。

分析：因为x<，所以若用判别式法，可能会放大其值域。可以考虑使用均值定理解题。解：∵x<，∴5-4x>0,>0。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+ ]-

4≥

2=-2，∴原函数的值域为。-4

例６ 求的值域。

错解：=≥2。

分析：在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”，显然上述解法中和不能相等，“相等”条件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判别式法又无法解决根式问题，此时可考虑借函数的单调性求值域。

解：用单调性法

=，令=t，显然t≥2，则y=t

+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,则f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。

∴f(t1)< f(t2)，即函数y=t+ 在t≥2上单调递增。

∴当t=

2、即=

2、x=0时，ymin

=，∴原函数的值域为。

总结：不管是求一次分式函数，还是求二次分式函数的值域，都必须注意自变量的取值范围。虽然我们提倡通解通法的培养，但一定要看到只有对一类题才可以用通解通法。若失去同一类前提，只强调通解通法，便是空中楼阁。故要因题而论，就事论事，防止一概而论的错误，用辩证和发展的眼光看待问题，这样才会起到事半功倍的效果。

三、提炼知识，总结分式函数值域解法

求函数的值域是高中数学的难点之一，它没有固定的方法和模式。但我们可以针对不同的题型进行归类总结，尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函数法。反函数法是求一次分式函数的基本方法，是利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。但要注意看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上求值域。

2.判别式法。判别式法是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x的二次方程f(x，y)＝0，因为方程有实根，所以判别式△≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)，是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用条件：“一正、二定、三相等”。

4.换元法。换元法是求复合型分式函数值域的常用方法。当分式函数的分子或分母出现子函数（如三角函数）时，可考虑用换元法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。要注意换元后自变量的取值范围。

5.单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域的方法。

另外，还可以根据函数的特点，利用数形结合或求导数的方法求分式函数的值域。由于这些方法不是很常用，在此就不多做说明