分式函数值域解法

第一篇：分式函数值域解法

分式函数值域解法汇编

甘肃省定西工贸中专文峰分校 张占荣

函数既是中学数学各骨干知识的交汇点，是数学思想，数学方法应用的载体，是初等数学与高等数学的衔接点，还是中学数学联系实际的切入点，因此函数便理所当然地成为了历年高考的重点与热点，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数以及函数图象。而对函数值域的考查或是单题形式出现，但更多的是以解题的一个环节形式出现，其中求分式函数的值域更是学生失分较大知识点之一。为此，如何提高学生求分式函数值域的能力，是函数教学和复习中较为重要的一环，值得探讨。下面就本人对分式函数值域的教学作如下探究，不馁之处、敬请同仁指教。

一、相关概念

函数值是指在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y值。

函数的值域是函数值的集合，是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

分式函数是指函数解析式为分式形式的函数。

二、分式函数的类型及值域解法

类型一：一次分式型

一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x（或参数）的一次函数的分式函数。

1.y=(a0)型

例１ 求函数y=的值域。

解法一：常数分离法。将y=转化为y=（k1,k2为常数），则yk1 解：∵y==，∴

y。

解法二：反函数法。利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

解：反解y=得x=，对调 y=（x)，∴函数y=的值域为

y。

2.y=(a0)型

分析：这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出x，但其有一个特点：只出现一种三角函数名。可以考虑借助三角函数值域解题，其实质跟y=（t=sinx）在t的指定区间上求值域类似。

即：将y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。

例２ 求函数y=的值域。

解：由y=得，sinx=，∵-1≤sinx≤1，∴-1≤≤1，解之得≤y≤3。

3.y=或y=(a0)型

分析：这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例2解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故可考虑用叠加法。

即：去分母以后，利用叠加公式和|sinx|≤1解题。

例３ 求函数y=

解：∵2cosx+100，∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。

∴, 其中，由∴和,整理得8y+5y≤0。2得，∴≤y≤0 即原函数的值域为[，0]。

总结：求一次分式函数的值域，首先要看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上；其次用反函数法解题；再次还要注意含三角函数的分式函数，其实质是在指定区间上求分式函数的值域。

类型二：二次分式型

二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数。由于出现了x2项，直接反解x的方法行不通。但我们知道，不等式、函数、方程三者相互联系，可以相互转化。所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题。

１.y=(a、d不同时为0)，x∈R型

分析：去分母后，可将方程看作是含参数y的二次方程f(x)=0。由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解该不等式便可求出原函数的值域。

≥0（=f(y)）,即：用判别式法。先去分母，得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式

即可求出值域。

例４ 求函数y=的值域。

解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。

当y＝0时，x＝0，当y≠0时，由△≥0得-

∵函数定义域为R，≤y≤。

∴函数y＝的值域为[-，]。

说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。

2.y=(a、d不同时为0)，指定的区间上求值域型。

例５ 求（x<）的值域。

分析：因为x<，所以若用判别式法，可能会放大其值域。可以考虑使用均值定理解题。解：∵x<，∴5-4x>0,>0。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+ ]-

4≥

2=-2，∴原函数的值域为。-4

例６ 求的值域。

错解：=≥2。

分析：在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”，显然上述解法中和不能相等，“相等”条件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判别式法又无法解决根式问题，此时可考虑借函数的单调性求值域。

解：用单调性法

=，令=t，显然t≥2，则y=t

+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,则f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。

∴f(t1)< f(t2)，即函数y=t+ 在t≥2上单调递增。

∴当t=

2、即=

2、x=0时，ymin

=，∴原函数的值域为。

总结：不管是求一次分式函数，还是求二次分式函数的值域，都必须注意自变量的取值范围。虽然我们提倡通解通法的培养，但一定要看到只有对一类题才可以用通解通法。若失去同一类前提，只强调通解通法，便是空中楼阁。故要因题而论，就事论事，防止一概而论的错误，用辩证和发展的眼光看待问题，这样才会起到事半功倍的效果。

三、提炼知识，总结分式函数值域解法

求函数的值域是高中数学的难点之一，它没有固定的方法和模式。但我们可以针对不同的题型进行归类总结，尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函数法。反函数法是求一次分式函数的基本方法，是利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。但要注意看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上求值域。

2.判别式法。判别式法是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x的二次方程f(x，y)＝0，因为方程有实根，所以判别式△≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)，是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用条件：“一正、二定、三相等”。

4.换元法。换元法是求复合型分式函数值域的常用方法。当分式函数的分子或分母出现子函数（如三角函数）时，可考虑用换元法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。要注意换元后自变量的取值范围。

5.单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域的方法。

另外，还可以根据函数的特点，利用数形结合或求导数的方法求分式函数的值域。由于这些方法不是很常用，在此就不多做说明

第二篇：二次分式函数值域的求法

二次

甘肃王新宏

一定义域为R的二次分式函数用“判别式”法

解题步骤：1把函数转化为关于x的二次方程方程有实根，△≥0求的函数值域

2x2x21：求y =2的值域 xx2

解：∵x+x+2>0恒成立 2

2x2x2由y =2得，xx2

（y-2）x+(y+1)x+y-2=0

①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0R

②当y-2≠0时，即y≠2时,∵xR

∴方程（y-2）x+(y+1)x+y-2=0有实根

∴△=(y+1)-(y-2)×(y-2)≥0

∴3y-18y+15≤0

∴1≤y≤5

∴函数值域为1,5 2222

练习1：求y =3x的值域 x24334,4 

二分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。先来学习“√”函数。

形如y =x+

图像

k(x>0 ,k>0)的函数，叫“√”函数 x



值域：2k, 单调性：在x∈0,时，单调递减。在x∈k,时，单调递减。解题步骤：①令分母为t,求出t的范围

②把原函数化为关于t的函数

③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域

2x2x11例2求y =（x3）的值域 22x1

解令2x-1=t,得

t1 2

t111∴y=2 2t22

t1当且仅当时，即t=2时，取“=”。2t

1∴y2 20

∴值域为：2

1,2

71,3 (sinx)23cosx4练习2求y=的值域cosx2

三分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=axb(ac0)cx2dxe

解题步骤：①令分子为t,求出t的范围，把原函数化为关于t的函数

②分子分母同除以t，把分母化为关于t的“√”函数

③根据复和函数的单调性得出原函数值域

例3y =x1x1, 2x3x3

解令x+1=t,得

t0,且x=t-1

∴y=t=t2t1111tt

13(t=1时取“=”)t

1∴y且y>0 3∵1+t+

∴值域为0, 3

练习3:求y =1x的值域 ？x2110,2 

四分子分母均为二 次的二 次分式函数可化为“三“求之。

2x12x26x12(x22x2)2x1例如：y=2==2+ x22x2x2x2x22x2

注：实际上所有的二次分式函数的值域都可以用求导的方法解决，但有些题目用求导的方法求值域时比较繁琐，配和以上方法，会得到事半功倍的效果。

张掖实验中学734000（0936）3333296750207wxh@163.com

第三篇：函数值域问题

努力今天成就明

天

知识就是财富

求分式函数值域的几种方法

求分式函数值域的常见方法 1 用配方法求分式函数的值域

如果分式函数变形后可以转化为y配方，用直接法求得函数的值域.例1 求y解：y1的值域.22x3x11312x482ab的形式则我们可以将它的分母2a1xb2xc22，311因为2x≥，488所以函数的值域为：,8∪0,.x2x例2 求函数y2的值域.xx1解：y211，2xx12133因为xx1x≥，244所以31≤20，4xx12 1故函数的值域为,1.3先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“”的条件.利用判别式法求分式函数的值域

我们知道若ax2bxc0a0,a,bR有实根，则b24ac≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域.x23x4例1 求y2的值域.x3x4解：将函数变形为y1x23y3x4y40①，当y1时①式是一个关于x的一元二次方程.因为x可以是任意实数，所以≥0，即3y34y14y47y50y7≥0，解得，17≤y≤1或1y≤7，又当y1时，x0，1故函数的值域为,7.72x2bxc例2 函数y的值域为1,3，求b，c的值.2x1解：化为y2xbxyc0，⑴当y2时xRb4y2yc≥0，4y24c2y8cb2≥0，由已知4y24c2y8cb20的两根为1，3，由韦达定理得，c2，b2.⑵当y2时x2c0有解 b综上⑴和⑵，b2，c2.由这两个例题我们知道在利用判别式法求分式函数的值域时要注意下列问题：

1、函数定义域为R（即分母恒不为0）时用判别式求出的值域是完备的.2、当x不能取某些实数时（分母为零），若要用判别式法求它的值域则需要对使ya2x2b2xc2a1x2b1xc1的判别式0的y值进行检验.3、转换后的一元二次方程若二次项系数中含有字母则需要讨论其是否为0只有在其不为0的情况下才可以使用判别式法.3.利用函数单调性求分式函数的值

对于求函数的值域问题，我们通常使用能够揭示此类函数本质特征的通性通法即利用函数的单调性来求其值域.例1求函数y解：y2x1(xR,x1)的值域.x12x12(x1)33，2x1x1x13是x减函数进而y是x的增函数，于是y,2； x1当x1时，当x1时，同样y是x的增函数，于是y2,； 所以y2x1(x1)的值域为,2∪2,.x1a的单调性的结论： x在求分式函数时我们常运用函数yx⑴当a0时在,a和a,上增函数，在a,0和0,a上是减函数.⑵当a0时在,0和0,上是增函数.例求函数yx（1≤x≤3）的值域.2xx4解：x0所以yx.4x1x4令tx在1,2上是减函数，在2,3是上增函数，x所以x2时，tmin4；

x1时，tmax5；

所以t4,5，t13,t，11故值域为,.434.利用反函数法(反解)求分式函数的值域

设yf(x)有反函数，则函数yf(x)的定义域是它反函数的值域，函数yf(x)的值域是其反函数的定义域.那么如果一个分式函数的反函数存在，我们就可以通过求反函数的定义域来求其值域.例1 求函数y2x的值域.5x12x1(x)的映射是一一映射因此反函数存在，其反函数为5x152，5解：由于函数yyx 明显知道该函数的定义域为x|x25x22故函数的值域为,∪,.55说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来，用此方法求值域只用yaxb(c≠0)的函数，并且用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法.我们用这种cxd方法目的是找关于y的不等式所以反函数求值域的实质是反函数的思想树立这种思想是我们的宗旨.下面这种方法就是利用了反函数的思想比较通用的方法.5.利用方程法求分式函数的值域

4x27x0,1求函数例1（2005年全国高考理科卷Ⅲ第22题）已知函数f(x)2xf(x)的值域

4x27解：f(x)，x0,1，2x所以2yxy4x27，x0,1，即4x2yx(72y)0，x0,1.这样函数的值域即为关于x的方程4x2yx(72y)0在x0,1内有解的y的取值集.令g(x)4x2yx(72y)，x0,1，则关于x的方程4x2yx(72y)0在x0,1内有解g(0)g(1)≤0 g(0)0g(1)077或≤y≤3或4≤y≤4≤y≤3，by2202a241b4acy4(72y)0即所求函数的值域为4,3..利用换元法求分式函数的值域

当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（或几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向.换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）.在中学数学问题中，常见的基本换元形式有式代换、三角代换、点代换、参数代换等.x24x4,x[1,0]的值域． 例1 求函数f(x)2x4x5解：令tx2，t2则y2t111,[,1]． 1t212t115因为12[,2]，t414所以函数f(x)的值域是[,]．

25x4例2 求函数y的值域．

(1x2)3解：令xtan，(,)，22tan4tan4则ysin4cos2 233(1tan)sec1sin2sin22cos221sin2sin22cos24≤.23276

3当且仅当tan22时“”成立.x44所以函数y的值域为0,.(1x2)327在这道例题中不仅用了换元法还用了均值不等式.利用三角函数来代换是我们在用换元法解题最常用的在换元后根据三角函数的有界性求能求出函数的值域.在用换元法的时候重要的就是要注意换元后的自变量发生了改变，那么它的定义域也就变了.注意到这点才能准确地求出值域.7.利用不等式法求分式函数的值域

“不等式法”就是通过利用不等式的一些性质和均值不等式来求某些具有一定特性的分式函数的值域.若原函数通过变形后的分子分母符和下列条件①各变数为正；②各变数的和或积为常数.则可以考虑用均值不等式求它的值域.要注意在得到结论之后要说明其中等号能够取到.例1 求函数y解：y24(x1)(x1)的值域.(x3)224(x1)24.24(x1)4(x1)4(x1)4x14因为x10，所以x1≥4，x14则x148，x124所以0y≤3（当x1时取等号），8故函数的值域为0,3.例2 设Sn123n，nN求f(n)中数学联赛）

解：f(n)Sn(n32)Sn1Sn的最大值.（2000年全国高

(n32)Sn1n(n1)nn22，(n1)(n2)(n32)(n2)n34n64(n32)27 即化为了求分式函数最值的问题f(n)164n34n.又因为n34当n64643450，≥2nnn641即n8时“”成立，所以对任何nN有f(n)≤，n501故f(n)的最大值为.50例2表面上看是数列的问题而实际是我们可以将其转化为求函数值域的问题在这里我们利用均值不等式的性质来求其值域就使得整个解题过程利用数更简单.8.斜率法求分式函数的值域

数形结合是中学数学中的一种重要的数学思想方法.数是形的抽象概括，形是数的直观表现.华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.这种方法不仅仅体现在数学的其它领域中，在求函数的值域与最值时也有良好的反映.联想到过A(x1,y1)，B(x2,y2)的直线LAB的斜率为kAB函数化为斜率式并利用数形结合法来求函数的值域.3t22(t)的最小值.例1 求函数f(t)2(3t2)3y2y1，我们可以考虑把分式x2x13t202解：函数f(t)可变形为f(t)(t)，6t43设A(6t,3t2)，B(4,0)则f(t)看作是直线AB的斜率，令x6t，y3t2则x212y(x4).在直角坐标系中A点的轨迹为抛物线的一部分直线与抛物线相切是斜率最小.过点B(4,0)直线方程为：yk(x4)将它代入x212y，有x212kx48k0，则0推算出k即t8时，f(t)min4.34此时x8，38 x2x11例2 求y(≤x≤1)的值域.x12(x2x)1解：y，令A(1,1)，B(x,x2x)，x(1)则ykAB，点B的轨迹方程为yx2x(1≤x≤1)，21151B1(,)，B2(1,2)，kAB1，kAB2，2422所以yk51AB2,2，即函数的值域为512,2.

第四篇：分式函数

函数与导数专题（文）

分式函数

2x11．函数fxx的值域为21

说明：引出分式函数基本做法，突出对勾形式函数f(x)x

质。

2．（浙江卷文8）若函数f(x)x2a(aR)的图象与基本性xa(aR)，则下列结论正确的是x

A．aR，f(x)在(0,)上是增函数

B．aR，f(x)在(0,)上是减函数

C．aR，f(x)是偶函数

D．aR，f(x)是奇函数

t24t13．【2010·重庆文数】已知t0，则函数y的最小值为____________.t

x23x3,(x1)的值域为变式练习：①函数fxx1

②函数fx

③函数fx

4．【2010·天津文数】设函数f(x)=x-

则实数m的取值范围是________.xy205．动点P(a,b)在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则ab3的取值范围xy0a1y0x1,(x1)的值域为2x3x3sinxcosx1,x0,的值域为2sinxcosx21,对任意x[1,），f(mx)+mf(x)<0恒成立，x

是．

例题1：经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f(t)（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足f(t)41，人均消费g(t)（元）与时间（的函数关系近似满足g(t)115|t15|.t天）

t

（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t(1t30,tN)的函数关系式；

（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）

例题2：【2010·江苏卷】将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，2(梯形的周长）其中一块是梯形，记S,求S的最小值。梯形的面积

【解析】考查函数中的建模应用，等价转化思想，一题多解.设剪成的小正三角形的边长为x，则：S2(3x)2

(0x1)21x方法一:利用导数求函数最小值

.(3x)2(2x6)(1x2)(3x)2(2x)，S(x) S(x)222(1

x)1

x(2x6)(1x2)(3x)2(2x)2(3x1)(x3)2222(1x)(1x)1S(x)0,0x1,x，3

11当x(0,]时，S(x)0,递减；当x[,1)时，S(x)0,递增； 33

故当x1时，S的最小值是。33

方法二:利用函数的方法求最小值.t211112令3xt,t(2,3),

(,)，则：S 86t32t6t81t2t

故当

1t31,x时，S

.83

第五篇：分式函数难点

关于y=f（x）=x^2/1+x^2函数求值问题

如果记y=x^2/1+x^2=f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=1^2/1+1^2=1/2；f（1/2）表示当x=1/2时y的值，即f（1/2）=（1/2）^2/1+（1/2）^2=1/5，求f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）的值（结果用含n的代数式表示，n为正整数）

解：

因为f（x）=x^2/1+x^2

所以f(1/x)=(1/x)^2/[1+(1/x)^2]上下乘x^2

=1/(1+x^2)

所以f(x)+f(1/x)=x^2/(1+x^2)+1/(1+x^2)=(1+x^2)/(1+x^2)=1 所以f(1)=1/(1+1)=1/2

f(2)+f(1/2)=1

……

f(n)+f(1/n)=1

所以f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）

=1/2+1+1+……+1

=1/2+(n-1)

=n-1/2