数学文化欣赏

第一篇：数学文化欣赏

对数学的认识

（一）概念：数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。

（二）数学发展划分为以下五个时期：数学萌芽期（公元前600年以前）；初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）；变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）；近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）；现代数学时期（20世纪40年代以来）。

（三）数学与其它学科的关系。数学是一种语言，是一种科学的共同语言，可用来描述宇宙。任一门科学只有使用了数学，才成为一门科学，否则就是不完善与不成熟的。宇宙和人类社会就是用数学语言写成的一本大书。数学是打开科学大门的钥匙，凡是有意义的科学理论与实践成就，无一例外地借助于数学的力量。数学是一种思维的工具，自然哲学认为任何事物都是量和质的统一体，数学就是研究量的科学。数学是一门创造性艺术。美是艺术的一种追求，美也是数学中一种公认的评价标准。

（四）数学史上一共爆发了三次数学危机：

第一次：无理数的发现。毕达哥拉斯学派认为自然界的任何数都可以由整数或整数之比表示，但其学派成员发现了直角边长均为１的直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约），该悖论触犯了毕氏学派的根本信条，导致了第一次数学危机产生。

第二次：无穷小是零吗？ 在微积分蓬勃发展时一位哲理学家指出应用无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此引发了第二次数学危机。

第三次：悖论的出现。在19世纪，集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑，史称第三次数学危机。

（五）数学是美丽的。其代表有A.完美数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。B.素数质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个因数（1和自己）的自然数即为素数。素数与素数对的分布规律：N和2N之间至少有一个素数。两个奇数之和是偶数,素数除去2以外都是奇数。C.无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。无理数的发现引发了第一次数学危机的产生。D．黄金分割。黄金分割又称黄金律因数，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1

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数学悖论

悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。

三个悖论引发的三次数学危机。第一次：无理数的发现。毕达哥拉斯学派认为自然界的任何数都可以由整数或整数之比表示，但其学派成员发现了直角边长均为１的直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约），该悖论触犯了毕氏学派的根本信条，导致了第一次数学危机产生。第二次：无穷小是零吗？ 在微积分蓬勃发展时一位哲理学家指出应用无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此引发了第二次数学危机。第三次：悖论的出现。在19世纪，集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑，罗素提出的关于“集合论”的悖论，它导致了数学史上第三次危机。罗素把集合论悖论用数学语号称天衣无缝、绝对严密的精确数学居然在基础问题上就明显地自相矛盾。

数学悖论、数学危机对数学的起推动作用。数学悖论往往导致数学危机产生，而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展。关闭

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数学史上的三大危机

数学的发展史中曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展，因此我们应该辨证地看待这三大危机。

第一次危机发生在古希腊，毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数。该学派的希伯索斯根据毕达哥拉斯定理通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现冲击了传统的数学，这就是第一次数学危机。最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生。

第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地--微积分。牛顿在推导一些力学和几何学的公式及应用时发现这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？

19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。认为把无穷小量作为确定的量，是说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量本质上它是变量，且是以零为极限的量，柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而第二次数学危机基本解决。

第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。其中之一是 “理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那么理发师该不该给自己理发呢？罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。

解决这场危机的办法之一是回避悖论。首先德国数学家策梅罗提出七条公理，在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以发展。

数学的发展史中曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展，因此我们应该辨证地看待这三大危机。

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数学与其它学科的关系

1、数学是一种语言，是一种科学的共同语言，若没有数学语言，宇宙就是不可描述的，因而也就是永远是无法理解的。任何一门科学只有使用了数学，才成其为一门科学，否则就是不完善与不成熟的。、2、数学与物理：数学是打开科学大门的钥匙。忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。几千年来，凡是有意义的科学理论与实践成就，无一例外地借助于数学的力量。例如，没有微积分就谈不上力学和现代科学技术，没有麦克斯威尔方程就没有电波理论，伦琴因发现X射线于1901成为诺贝尔的第一位获奖人，记者问他需要什么时，他回答：“第一是数学，第二是数学，第三还是数学。”

3、数学与哲学：自然哲学认为：任何事物都是量和质的统一体，数学就是研究量的科学，它不断地发现、总结和积累了很多人类对量的方面的规律，这些都是人们认识世界的有力工具。这里举两个例子：一个是自然科学的，一个是社会科学的。我们企图找到一个不经手术就可以准确确定人体内的器官位置、密度和三维形状的方法，可惜借助X射线只能绘出二维信息图。这个问题难倒了工程师很多年，后来遇到数学家的工作，即Rａｄｏｎ变换，考尔麦克把X射线从许多不同角度照射人体，再运用计算机进行数学变换，导致CT数据透视仪的诞生。现这一方法进一步推广到核磁共振领域，使图像分辨率更高。从本质上说，这两项技术只不过是，先大量测量一维的物理量，再用数学技巧来重构三维图像而已。另一例子：现代经济学家使数学进入了经济学领域，构建了平衡模型，可以预言自由市场的经济行为，这方面的工作使阿洛获得了诺贝尔经济学奖，他的哈佛大学的同事看了这篇得奖论文说，这些应用在数学中是很基本的，很多哈佛大学一年级学生就可以完成。可见掌握数学工具后，在其它领域中进行应用，并不是一件困难的事，而且有时甚至是一个很大的成就。

4、数学与艺术：数学是一门艺术，一门创造性艺术。美是艺术的一种追求，美也是数学中一种公认的评价标准。数学的美体现在和谐性、对称性、简洁性，这三性上。数学家不断地追求美好的新概念、新方法、新结论，因此数学是创造性艺术。人们掌握了数学，可以陶冶人的美感，培养理性的审美能力，一个人数学造诣越深，越是拥有一种直觉力，这种直觉力实际就是理性的洞察力、由美感驱动的选择力，最终成为创造美好新世界的驱动力。

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数学美

数学是理性思维和想象的结合，它的发展建立于社会的需求，所以就有了数学美。主要有：统一性、对称性、简单性。

统一性：统一性反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性,它能给人一种整体和谐的美感。数学对象的统一性通常表现为数学概念、规律、方法的统一,数学理论的统一,数学和其它科学的统一。（1）数学概念、规律、方法的统一。数学概念、数学定理、数学公式、数学法则也是互相联系的，在一定条件下可处于一个统一体之中。例如，运算、变换、函数分别是代数、几何、分析这三个数学分支中的重要概念,在集合论中,便可统一于映射的概念。在数学方法上，数学中的公理化方法,使零散的数学知识用逻辑的链条串联起来,形成完整的知识体系,在本质上体现了部分和整体之间的美。（2）数学理论的统一。数学理论的统一性主要表现在它的整体性趋势，在数学的高度统一性上给人一美的启迪。（3）数学和其它科学的统一。数学和其它科学的相互渗透，导致了科学数学化。一门科学只有当它成功的运用数学时,才算达到了真正完善的地步。力学的数学化使牛顿建立了经典力学体系。科学的数学化使物理学与数学趋于统一。化学的数学化加速了化学这门实验性很强的学科向理论科学和精确科学过渡......而且数学方法进入了社会科学领域,日益显示出它的效用。

对称性：对称性反映的是审美对象形态或结构的均衡性、匀称性或变化的周期性、节律性。数学的对称美,实质上是自然物的和谐性在量和量的关系上最直观的表现。从数学美来讲,对称包括狭义对称、常义对称与泛对称等。狭义对称可分为代数对称与几何对称，常义对称包括同构、同态、映射等，泛对称包括数学对象的系统性、守恒性、等价性和匀称等。

简单性：简单、明快才能给人以和谐之感,繁杂晦涩就谈不上和谐一致。数学美的简单性，并非指数学对象本身简单、浅显,而是指数学对象由尽可能少的要素通过尽可能简捷、经济的方式组成,并且蕴含着丰富和深刻的内容。数学的简单美,主要表现在数学的逻辑结构、数学的方法和表达形式的简单性。（1）数学结构的简单美。著名的皮亚诺算术公理系统,就是逻辑结构简单美的一个典范。（2）数学方法的简单美。简单性是数学方法美的重要标志。数学中所谓美的问题是指一个难于解决的问题,所谓美的解答则是指一个困难、复杂问题的简单回答希尔伯特解决果尔丹问题的存在性证明方法就是数学方法简单美的一个范例。（3）数学形式的简单美。数学形态美，是数学美的外部表现形态，是数学定理和数学公式的外在结构中呈现出来的美。如，爱因斯坦用E=mc2 揭示了自然界的质量和能量的转换关系；这里F=ma、E=mc2就外在形式而论，都是非常简洁的，不失为数学形态美的范例。

数学美的表现形式主要在语言美和简洁美两方面。

（一）语言美 ：数学有着自身特有的语言--数学语言，包括数的语言和形的语言。

数的语言（符号语言）：关于“∏”，《九章算术》说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”；面对“√2”这一差点被无理的行为淹没的无理数，我们一直难以忘怀那位因发现“边长为1的正方形，其对角线长不能表示成整数之比”这一“数学悖论”而被抛进大海的希帕索斯。还有sin?、∞ 等等，无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致。

形的语言（视角语言）：从形的角度来看--对称性（“中心对称”、“轴对称”演绎了多少遥相呼应的缠绵故事）；比例性（美丽的“黄金分割法”分出的又岂止身材的绝妙配置？）；和新颖性（一个接一个数学“悖论”的出现，保持了数学乃至所有自然科学的新鲜与活力）等等。

（二）简洁美 ：本质上终究是简单性。只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。欧拉给出的公式：V－E+F=2，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？

第二篇：数学文化欣赏论文

主题：数学文化

数字的神奇

姓名：杨晨 学院：经管-土管院 班级：土规1102 学号：2011306200619

摘要：在现实世界中，大到宇宙星系，小至生物微粒及人类所处事宜都散发着数学的气息。而数字作为数学的重要组成部分，伴着人类的发展直至今日。经过无数学者对数字的研究与探索，发现了数字独有的魅力。

关键字：数学 数字 走马灯数 黄金分割率 神奇

正文：

数字，美妙且神奇，不仅吸引了众多科学家、文学家、艺术家们，让他们大为感叹，投身其中，还有众多对数字有着独特感觉的普通人，他们认为“8”代表着“发”，意味着发财致富，“6”则代表六六大顺。或许，仅是这样并不足以看出它对人们的吸引力究竟有多大，但是，以下的例子却足以调足你的胃口，引发你的好奇，让你赞叹它的美妙，惊叹它的神奇。

神奇的数----142857 142857,又名走马灯数。它发现于埃及金字塔内，它是一组神奇数字，它证明一星期有7天，它自我累加一次，就由它的6个数字，依顺序轮值一次，到了第7天，它们就放假，由999999去代班，数字越加越大，每超过一星期轮回，每个数字需要分身一次，你不需要计算机，只要知道它的分身方法，就可以知道继续累加的答案。

142857×1＝142857（原数字）142857×2＝285714（轮值）142857×3＝428571（轮值）142857×4＝571428（轮值）142857×5＝714285（轮值）142857×6＝857142（轮值）

142857×7＝999999（放假由9代班）

142857×8＝1142856（7分身，即分为头一个数字1与尾数6，数列内少了7）142857×9＝1285713（4分身）142857×10＝1428570（1分身）142857×11＝1571427（8分身）142857×12＝1714284（5分身）142857×13＝1857141（2分身）

142857×14＝1999998（9也需要分身变大）继续算下去„„

以上各数的单数和都是“9”。而且，同样的数字，只是调换了位置，反复的出现。如果把它乘与7，我们会惊人的发现是 999999，然后，142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99，挑三段 1+8 4+5 2+7 都等于9 若我们把142857再乘于142857，结果是142857x142857=20408122449 再把20408122449分解两组数字，20408和122449，而他们的和正是142857。

黄金分割率

15世纪末期，法兰图教会的传教士路卡·巴乔里(LUCAPACIOLI)发现金字塔之所以能屹立数千年不倒，且形状优美，原因在于其高度与基座每边的结构比例为“5：8”。因为有感于这个神秘比值的奥妙与价值，而使用了黄金一词，将描述此比例法的书籍命名为“黄金分割”。

数百年来，一些学者专家陆续发现，包括建筑结构、力学工程、音乐艺术，甚至于很多大自然的事物，都与“5：8”比例近似的0．382和0．618这两个神秘数字有关：

5／(5＋8)＝0．3846 8／(5＋8)＝0．6154 而由于0．382与0．618这两个神秘数字相加正好等于1，所以，将“0．382”及“0．618”的比率称之为“黄金分割率”或“黄金切割率”。

其实,黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星„„许多动物、昆虫的身体结构中，特别是人体中更是有着丰富的黄金比的关系。当人们认识了这一自然法则之后，就被广泛地应用于人类的生活之中。此后，在我们的生活环境中，就随处可见了，如建处门窗、橱柜、书桌；我们常接触的书本、报纸、杂志；现代的电影银幕。电视屏幕，以及许多家用器物都是近似这个数比关系构成的。它特别表现艺术中，在美术史上曾经把它作为经典法则来应用。有许多美术家运用它创造了不少不朽的名著。

你从电视中见过碧水轻流的安大略湖畔的加拿大名城多伦多吗?这个高楼大厦鳞次栉比的现 代化城市中，最醒目的建筑就是高耸的多伦多电视塔，它器宇轩昂，直冲云霄。有趣的是嵌 在塔中上部的扁圆的空中楼阁，恰好位于塔身全长的0.618倍处，即在塔高的黄金分割点上。它使瘦削的电视塔显得和谐、典雅、别具一格。多伦多电视塔被称为“高塔之王”，这个 奇妙的“0.618”起了决定性作用。与此类似，举世闻名的法兰西国土上的“高塔之祖”——埃菲尔铁塔，它的第二层平台正好坐落在塔高的黄金分割点上，给铁塔增添了无穷的魅力。

气势雄伟的建筑物少不了“0.618”，艺术上更是如此。舞台上，演员既不是站在正中间，也 不会站在台边上，而是站在舞台全长的0.618倍处，站在这一点上，观众看上去才惬意。我们所熟悉的米洛斯的“维纳斯”、“雅典娜”女神像及“海姑娘”阿曼达等一些名垂千古的 雕像中，都可以找到“黄金比值”——0.618，因而作品达到了美的奇境。

达·芬奇的《蒙娜丽莎》、拉斐尔笔下温和俊秀的圣母像，都有意无意地用上了这个比值。因为人体的很多部位，都遵循着黄金分割比例。人们公认的最完美的脸型——“鹅蛋”形，脸宽与脸长的比值约为0.618，如果计算一下翩翩欲仙的芭蕾演员的优美身段，可以得知，他们的腿长与身 长的比值也大约是0.618，组成了人体的美。

总而言之，黄金律历来被染上瑰丽诡秘的色彩，也被人们称为“天然合理”的最美妙的形式比例。

两个简单的例子、几页纸的文字是无法言说数字的奥妙，数学的神奇的。这些并不是巧合，这是人类智慧的结晶，更是人类对美的追求，不仅是对表象的美的追求，更是对学术中美的热爱。数学很美，数字很神奇，是不可置否的。然而它与我们的学习、生活又是那样密切，难道这些还不足以成为我们热爱它的理由吗？

参考书目及网站：

《数学文化欣赏》邹庭荣编著 《数学中的美》吴振奎 《数学发展史》普罗克鲁斯

黄金分割http://baike.baidu.com/view/52401.htm 142857 http://baike.baidu.com/view/812117.htm

第三篇：数学文化与欣赏教案

第一章 数学文化概论

教学目的：使学生了解数学文化的定义、数学文化课的开设方法、数学文化课的学习方法、数学文化课的考核方式等等。

教学重点：数学文化课与一般数学课的区别

教学难点：数学文化课程中如何处理好数学和文化的关系 教学课时：2节

教学方法：课件教学与讲解相配合 教学过程：

序言

一、“数学文化”一词的使用

二、什么是“数学文化”

三、“数学文化”课的开设

四、“数学文化”课的上法

五、“数学文化”课的考核2

一、“数学文化”一词的使用•该词使用已有二、三十年;•在中国，较早使用的是1990年邓东皋、孙小礼等人编写的《数学与文化》及齐民友写的《数学与文化》;•近七、八年这个词用得多起来。•这个词的使用频率近年大大增加，说明它是有生命力的，说明许多人为着某种需要更愿意从文化这一角度来关注数学，更愿意强调数学的文化价值。2 第二章 数学文化与数学教育

教学目的：使学生了解数学教育的功能、数学素养的内容、数学教育与数学教学的区别、数学文化的发展历程等等。

教学重点：数学素养的内容、数学文化的发展历程 教学难点：数学教育与数学教学的区别

教学课时：2节

教学方法：课件教学与讲解相配合 教学过程：

数学文化与数学教育

“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说；满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想；有时甚至可能以难以察觉到的方式但无可置疑地影响着现代历史的进程。”——M·克莱因

一、数学教学与数学教育

1、数学教学：初中数学的学习内容是“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域。课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。中学数学教学是“通过知识的教学培养能力，发展和完善学生的素质，使学生的聪明日益长进”。

2、数学教育：（1）以动态的观点认识数学知识的发生和发展；（2）数学研究的对象是客观世界，重在突出数学的应用性；（3）不仅仅是得到数学知识和技术，重要的是得到对事物进行认识、推理、判断、运用的能力，以及认识客观世界的情感、态度与价值观。（4）使学习者的认知心理和非认知心理得到健全发展的过程。

二、学生眼中的数学教育老师眼中的数学与学生眼中的数学是有区别的，学生眼中的数学并不是我们理解的数学，要想使学生学好数学，必须走进学生的心中，理解学生的思维，应该站在学生的角度去进行教学设计，这样才有可能使我们的教学切合学生的实际。只有以学定教，才有高的教学效率！第三章 数学发展简史

教学目的：使学生了解数学文化的发展分段。教学重点：数学发展简史

教学难点：数学教育与数学教学的区别

教学课时：2节

教学方法：课件教学与讲解相配合 教学过程：

数学发展简史数学发展史大致可以分为四个阶段。

一、数学起源时期

二、初等数学时期

三、近代数学时期

四、现代数学时期

一、数学起源时期（远古——公元前5世纪）这一时期：建立自然数的概念；认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。数学起源于四个“河谷文明”地域•非洲的尼罗河；•西亚的底格里斯河与幼发拉底河；•中南亚的印度河与恒河；•东亚的黄河与长江

二、初等数学时期（前6世纪——公元16世纪）也称常量数学时期，这期间逐渐形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。该时期的基本成果，构成现在中学数学的主要内容。这一时期又分为三个阶段：古希腊；东方；欧洲文艺复兴。1．古希腊（前6世纪——公元6世纪）毕达哥拉斯欧几里得阿基米德——————“万物皆数”几何《原本》面积、体积阿波罗尼奥斯——《圆锥曲线论》托勒密丢番图————三角学不定方程

2．东方（公元2世纪——15世纪）1）中国西汉（前2世纪）——《周髀算经》、《九章算术》魏晋南北朝（公元3世纪——5世纪）——刘徽、祖冲之出入相补原理，割圆术，算

四、现代数学时期（19世纪20年代——）•••••• 进一步划分为三个阶段：年）；年）；现代数学酝酿阶段（1820——1870现代数学形成阶段（1870——1950现代数学繁荣阶段（1950——现在）。这一时期虽然还不到二百年的时间，内容却非常丰富，远远超过了过去所有数学的总和。鉴于本课程的性质，对于这一时期的数学内容，我们只作简略的介绍。

第四章 数学的美

教学目的：使学生了解数学的对称美、数学的简洁美、数学的和谐美。教学重点：数学的严谨与数学的美的辩证统一 教学难点：数学文化课程中如何欣赏数学的美

教学课时：4节

教学方法：课件教学与讲解相配合 教学过程：

1.数学问题的简洁一个好的数学问题为了突出其本质的因素，必然是简洁的。而一个问题提得越简洁、越清晰易懂，也就越容易引起人们的兴趣。凡是经久不衰。引人入胜的数学问题，如三大尺规作图问题（用直尺和圆规求解倍立方、三等分任意角和化圆为方问题）、梅森关于素数的猜想、七桥问题、哥德巴赫猜想等都是以极其简明而深刻的表述方式吸引着人们的注意，多么像引人垂涎欲滴的美丽果实，在诱使人们向它们伸出手来！而一旦把手伸出便欲罢不能。

2.数学语言的简洁数学语言是精炼的语言。例如，c2a2b2把直角三角形三边的关系表达淋漓尽致。在欧拉公式eix=cosx+isinx中令x=得ei+1=0 把五个重要的常数 0，1，i,e,简单而巧妙地结合在一起；爱因斯坦（Einstein）用 E=mc2 就能把茫茫宇宙中的质能互换这样深奥复杂的关系如此简单地揭示出来。多面体的欧拉公式V + F –E = 2V－－凸多面体的顶点数，F 凸多面体的面数，E 凸多面体的棱数。3.数学概念的简洁数学概念是数学语言的精髓。不少数学概念已历经沧桑，内涵不断发生着深刻的变化，每一次变化都使这个概念更加清晰、准确、简洁。怀特（White）说“数学可以定义为相继用简单的概念来代替复杂的概念。”以函数概念为例，从1673年莱布尼兹（Leibniz）给出的“函数就像曲线上的点的坐标那样随点的变化而变动的量”定义。到1821年柯西（Cauchy）给出的“对于x的每个值，如果y有完全确定的值与之对应，则y叫做x的函数”的定义，再到近代的“设A、B是非空的集合，f是A到B的一个对应法则，则A到B的映射f：A →B称为A到B上的函数”的定义，其间经历了三百年，一次比一次深刻。4.数学证明的简洁马丁.伽德纳（Martin Cardner）指出：“数学的真谛在于不断寻求越来越简单的方法证明定理和解答问题。”简洁的证明，看上去思路自然，条理清楚。显示出数学证明不容辩驳的逻辑力量，给人带来美的享受。因此，追求简洁也是数学家重要的研究课题。英国数学家阿蒂亚（Atiyah）说“数学的目的就是用简单而基本的词汇尽可能多地解释世界。。。如果我们积累起来的经验要一代一代传下去的话，我们就必须不断地努力把它们加以简化和统一。”

对一个结果的证明如果很繁琐、冗长，人们读起来就会感到累赘且不得要领，甚至不知道是对还是错。例如美国数学家布兰吉（Louis de Brange）花了30多年的时间于1984年证明了比贝伯（Bieberbach）于1916年提出的一个猜想（关于单叶函数系数界的一个猜想），这是20世纪的一个重要的数学成就。但是在数学界遭到了冷遇，原因之一是他的证明太长，整整写了350页。后来，他到了前苏联，在前苏联数学家的帮助下，将证明简化成12页，这个结果才得到了承认与好评。

第五章 数学的神秘

教学目的：使学生了解数学的三次危机 教学重点：数学危机形成的原因

教学难点：数学危机的解决过程与数学发展的关系

教学课时：2节

教学方法：课件教学与讲解相配合 教学过程：

一、“有无限个房间”的Hilbert旅馆1 2 3 4 ┅↓↓↓↓┅↓2 3 4 5 ┅空出了1号房间1.“客满”后又来1位客人（“客满”）k ┅┅k+1 ┅3

2.客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人1 2 3 4 ┅↓↓↓↓┅2 4 6 8 ┅空下了奇数号房间k ┅↓┅2k ┅4

•4.[思]该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？•“无穷大！任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都不曾如此有效地激励人类的智力；然而，没有任何概念比无穷大更需要澄清……”----Hilbert7

2.）“有限”时成立的许多命题，对“无限”不再成立（1）实数加法的结合律在“有限”的情况下，加法结合律成立:(a+b)+c= a+(b+c)，a，b，c11

当初的伽利略悖论，就是因为没有看到“无限”的这一个特点而产生的。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …n …↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕21 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 …n…[ 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。]9

第四篇：数学文化欣赏-浅谈个人选修《数学欣赏》感想[模版]

浅谈个人选修《数学欣赏》感想

浅印象里提起数学一词，对于我个人来说，数学就是一堆堆死板无活力的公式，像是一个个严肃的战士，需要各种证明来计算我们课本或者卷纸上的问题。幼稚园时候，数学就是数数，简单的计算，简单到用手指头就能计算出结果；小学时候，数学就是不停的计算鸡鸭鹅狗笼子里多少只脚的问题；初中时候，问题变得多元化，但是从此开始了更没有什么趣味的代数和几何，不停的计算来证明，得分。唯一的一点趣味也无了踪影；高中时候，数学变成了高数，每天脑子里的正余弦定理，一切依旧没了趣味；大学时候，学的依旧叫高数，只是名字由高中数学变成了高等数学，依旧对数学提不起兴趣。无意中选修了这门选修课，却让我收获了另一种看法，一改以往的印象，其实数学是需要欣赏的，数学有它自己的文化和趣味，并不是一门枯燥反反复复的计算。

关于数学我这样理解：数学，用公式的话来解释它就是研究数量.结构.变化及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用。由计数.计算.量度和对物体形状及运动的现象中产生。数学家们拓展这些概念，为了公事新的猜想以及从何时选定的公式及定义中建立起严谨推导出的真理。

虽然说，数学存在着各种逻辑与抽象的问题，但是，这些都掩盖不住数学的没，数学的美不在于表面，而在于它的内在，数学的表面枯燥乏味，但是它的内在却是充满了乐趣。数学的美吸引了许许多多的人们来探索，人们喜欢数学，探索数学，其实就是被数学的美吸引。爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因期坦的这种美学理论，在数学界，也被多数人所认同。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。欧拉给出的公式：v－ｅ＋ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数ｖ、棱数ｅ、面数ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？

数学的发展无须社会的推动，其真理性无须实践的检验，当然，数学的进步也无须人类文化的哺育。于是，西方的数学界有“经验主义的复兴”。怀特(L.A.White)的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因(M.Kline)的《古今数学思想》、《西方文化中的数学》、《数学:确定性的丧失》相继问世，力图营造数学文化的人文色彩。国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼，她和邓东皋等合编的《数学与文化》，汇集了一些数学名家的有关论述，也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》，主要从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值，特别指出了数学思维的文化意义。郑毓信等出版的专著《数学文化学》，特点是用社会建构主义的哲学观，强调“数学共同体”产生的文化效应。以上的著作以及许多的论文，都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来，重点是分析数学文明史，充分揭示数学的文化内涵，肯定数学作为文化存在的价值。

课上我们看了个视频，名字记不住了，但是确实很吸引我们，让我们感受到数学确实很重要，我们在不断的实践，无论哪个国家。这是人类的探索。

我们国家是一个数学大国，也是一个数学古国，早在2000多年前，我们的祖先就有“周三经一”的思想，也就是今天人们讲的圆周率π，而西方国家到了17世纪才有这样的概念，陈景润关于“哥德巴赫猜想”的卓越工作，令世界震惊。实际上，我们每一个人，天天都在跟数字打交道。一个人不识字完全可以生活，但是若不识数，就很难生活了，现代科技进步，对数学的要求越来越高，所以我觉得“数学文化”这门课程为我们剖析“数学”这门神秘而又与我们息息相关的科学，对我们来说是获益匪浅的。听讲了几次课后，我觉得我收获蛮多，在老师的带领下，我们在数学的王国里漫游着，学习着，就像参观景点一般浏览了数学世界的奥秘，数学，起源于人类早期的生产活动，为中国古代六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。第一个被抽象化的概念大概是数字，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。除了认知到如何去数实际物质的数量，史前的人类亦了解了如何去数抽象物质的数量，如时间－日、季节和年。算术(加减乘除)也自然而然地产生了。古代的石碑亦证实了当时已有几何的知识。到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。在研究经典力学的过程中，微积分的方法被发明。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。可见数学的发展是一步步发现深化和完善的，我们如同探险者，不断的推翻错误的观点和公式，然后用新的公式代替，最后期待实现真理的目的。数学的神秘和有趣是无尽的，是人们追求的，是人们在高科技现代化所需要的文明产物，可以说上到科学研究，下到吃穿住行没有一个可以完全脱离数学而存在的。它是支撑我们这个多元多彩世界的重要部分，没有它就没有这个丰富的世界。所以通过这门选修课，确实让我对数学有了更深的了解，我不能用以往的印象理解数学，误解数学的美。感谢老师以及数学，让我意识到数学有它独特的美，我们要用欣赏的眼光去看待数学，因为它不仅是一种解决问题的方法，也是一种美丽的文化。

第五篇：文学艺术中的数学文化欣赏

文学艺术中的数学文化欣赏

摘要：简述了文学艺术与数学之间的密切联系，着重介绍了文学中的数学，数字诗及回文诗，通过浅显易懂的语言文字将数学与文学艺术之间的关系做以浅层次的说明。关键词：文学艺术与数学；数字诗；回文诗

大文豪如是说—

雨果说：“数学到了最后阶段就遇到想象，在圆锥曲线、对数、概率、微积分中，想象成了计算的系数，于是数学也成了诗。”

福楼拜说：“越往前走，艺术越要科学化，同时科学也要艺术化，两者从山麓分手，又在山顶会和。”

中国著名的科学家钱学森认为现代科学可以分为六大部门：自然科学、社会科学、数学科学、系统科学、思维科学、人体科学。文学艺术也可分为六大部门：小说杂文、诗词歌赋、建筑园林、书画造型、音乐、综合。这两大体系的部门应紧密携手，才会有大的进展。完全脱离数学的文学艺术如同少了筋骨，而没有了文学艺术这个舞台，数学也必然少了许多风采。

下面我就介绍一下经典文学中的数字和数学诗以及回文诗。

一．经典文学中的数字

中国文化源远流长，积淀十分深厚。古圣和先贤给我们留下了丰富的文化遗产。诗、词、曲、赋、传奇、小说、散文，名句佳作如林。值得注意的是，它们中间往往嵌着数字。诗词中的数字又似点睛之笔，犹如夜空中的星辰熠熠夺目。

“掌上千秋史，胸中百万兵”的毛泽东，不仅是伟大的政治家、军事家，而且是伟大的诗人。他一生中写过近百首气势磅礴、流韵千古的诗词，他的诗词概括了中国半个世纪的革命岁月，体现了伟人的心路历程，是革命现实主义和革命浪漫主义相结合的典范。在中国，毛主席的诗词可谓是无人不知，无人不晓，但很少有人注意到毛主席在诗中最喜欢用的却是一个“万”字。在公开发表的37首诗词中竟然出现了25次之多。一个“万”字，尽显了毛主席广阔的胸怀、经天纬地的雄才大略、敢于拼搏的革命精神。“万”字正是毛主席诗词中一颗闪耀的明珠。

沁园春 长沙“看万山红遍、万类霜天竞自由、粪土当年万户侯” 西江月 井冈山“敌军围困万千重”

采桑子 重阳“寥廓江天万里霜”

减字木兰花 广昌路上“十万工农下吉安”

蝶恋花 从汀州向长沙“百万工农齐踊跃”

渔家傲 反第一次大围剿“万木霜天红烂漫，二十万军重入赣” 十六字令三首“万马战犹酣”

七律 长征“万水千山只等闲”

念奴娇 昆仑“飞起玉龙三百万”

清平乐 六盘山“屈指行程二万”

沁园春 雪“万里雪飘”

七律 人民解放军占领南京“百万雄师过大江”

浣溪沙 和柳亚子先生“万方乐奏有于阗”

水调歌头 游泳“万里长江横渡”

蝶恋花 答李淑一“万里长空且为忠魂舞”

七律二首 送瘟神“万户萧疏鬼唱歌、坐地日行八万里、春风杨柳万千条” 七律 答友人“红霞万朵百重衣”

七律 和郭沫若同志“玉宇澄清万里埃”

七律 冬云“万花纷谢一时稀”

满江红 和郭沫若同志“一万年太久 只争朝夕”

唐诗宋词千古流传，是中华民族的瑰宝，不仅在中国，而且在日本、韩国、东南亚以至于欧美地区都具有重大的影响。而这些诗词中的数字常常起着关键作用，出神入化，令人遐想无穷。下面介绍一组著名的诗句供学习欣赏。

草 白居易“离离原上草，一岁一枯荣”

杜少府之任蜀州 王勃“城阙辅三秦，风烟望五津”

春望 杜甫“烽火连三月，家书抵万金”

黄鹤楼 崔颢“黄鹤一去不复返，白云千载空悠悠”

过零丁洋 文天祥“辛苦遭逢起一经，干戈寥落四周星”

江南春绝句 杜牧“南朝四百八十寺，多少楼台烟雨中”

出塞 王昌龄“黄河远上白云间，一片孤城万仞山”

渭城曲 王维“劝君更尽一杯酒，西出阳关无故人”

浪淘沙 刘禹锡“九曲黄河万里沙，浪淘风簸自天涯”

春日 朱熹“等闲识得东风面，万紫千红总是春”

游园不值 叶绍翁“春色满园关不住，一枝红杏出墙来”

江雪 柳宗元“千山鸟飞绝，万径人踪灭”

登鹳雀楼 王之涣“欲穷千里目，更上一层楼”

望庐山瀑布 李白“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”

下江陵 李白“千里江陵一日还轻舟已过万重山”

蜀相 杜甫“三顾频烦天下计，两朝开济老臣心”

酬乐天扬州初逢席上见赠 刘禹锡“沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春”

绝句 杜甫“两只黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。

窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船。”

二．数学诗及回文诗

著名作家秦牧在其名著《艺海拾贝》中有“诗与数学”一节，他认为数字入诗，别具韵味，充满智慧，“情趣横溢，诗意盎然”，给人以美的享受。

在人们的传说中，与数相关的故事有很多，卓文君的“数字情书”可谓是千古佳话。

汉代蜀中才子司马相如，赴长安赶考，踏入仕途，后官拜中郎将之职。地位变化了，渐渐地产生了休妻的念头，想抛弃结发之妻卓文君，所以五年不曾有书信回家。妻子卓文君忠于爱情，朝思暮想，翘首望长安。忽一日，有人从京中送来一封信，卓文君惊喜交加，展开看来，信中只有十三个数字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万。文君冰雪聪明，马上明白了司马相如的含意。信中无“亿”，那就是“无意”于我喽。悟知丈夫已变心，她十分悲愤，马上写了一首句句嵌有数字的情书交给来人。信中写道：

一别之后，二地悬念，只说是三四月，又谁知五六年。七弦琴无心弹，八行书不可传，九连环从中折断，十里长亭眼欲穿，百思想，千系念，万般无奈把郎怨。万语千言说不完，百无聊赖十倚栏，重九登高望孤雁，八月中秋月圆人不园，七月半烧香秉烛问苍天，六伏天人人摇扇我心寒，五月石榴如火，偏遇阵阵冷雨浇花端，四月枇杷未黄我欲对镜心意乱，三月桃花随水转，飘零零，二月风筝线儿断。噫！郎啊郎，巴不得下一世你为女来我为男！

司马相如接到书信，被她的九曲回肠感动，自感羞愧难当，于是顿生悔改之心。他亲自回乡将妻子接到任上，夫妻相敬如宾，白头偕老。

文君的情书，用正序和逆缀的方法展列了从一至万和从万至一的数字，让人感到生动、新颖，独具美感。一首诗挽救了一个即将破裂的家庭，真乃千古绝唱。

中国古代关于数字诗的佳作很多。诗中充满的智慧令人赞叹不已。当“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万”这十三个数字被诗人巧妙的运用到诗中，表现出了很强的艺术感染力，使全诗妙趣横生，平添了许多艺术魅力。下面介绍一些精彩诗作：

五言绝句朱绍雍

一去二三里，烟村四五家，楼台六七座，八九十枝花。

巧妙运用十个数字，描绘出一幅旅途光景，展示出一幅朴实自然的乡村风俗画。

咏雪 郑板桥

一片两片三四片，五六七八九十片，千片万片无数片，飞入芦花皆不见。

前三句平淡无奇，如稚童数数，但最后一句奇峰突起，令人耳目一新，只见大雪与芦花融为一体，大地白茫茫一片真干净。

无题 陈秋舫

一帆一桨一扁舟，一个渔翁一吊钩，一俯一仰一场笑，一江明月一江秋。

此诗呈现了一幅渔翁在秋月下荡舟独钓，怡然自得的生动画面。

清代女诗人何佩玉善写数字诗，她写过一首“一”字诗。诗中出现了十个“一”，但令读者没有感到丝毫重复。

无题

一帆一浆一点矶，一抹斜阳一鸟飞，一山一水一中寺，一林黄叶一僧扫。

这首诗描绘出的是深秋时节，僧人夜归山林晚景图。

天童山中月夜独坐 易顺鼎

青山无一尘，青天无一云，天上惟一月，山中惟一人。

仅仅四个“一”字，山中月夜独坐的一幅水墨画已跃然纸上了。

在说完这些生动有趣的数字诗后，我再来说说妙趣横生的回文诗。

回文诗是一种按一定法则将字词排列成文，回环往复却能诵读的诗。这种诗形式变化无穷，十分活泼，能上下颠倒读，顺读，倒读，斜读，循着一定的数学规律去读，都是一首优美的诗篇。

苏轼曾有一首回文诗，水平很高：

题金山寺

潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明。

桥对寺门松径小，巷当泉眼石波清。

迢迢远树江天晓，蔼蔼红霞晚日晴。

遥望四山云接水，碧峰千点数鸥轻。

把这首七绝由后向前读，就有了与原诗意境相同的另一首优美七绝

轻鸥数点千峰碧，水接云山四望遥。

晴日晚霞红蔼蔼，晓天江树远迢迢。

清波石眼泉当巷，小径松门寺对桥。

明月钓舟渔浦远，倾山雪浪暗随潮。

[1]清朝康熙年间的浙江才女吴绛雪（1650-1674）的咏四季诗更是回文诗中的精品。

咏四季诗

莺啼绿柳弄春情晓明月，香莲碧水动风凉夏日长。

秋江楚雁宿沙洲线水流，烘炉黑炭炙寒风御隆冬。

十字一行，也称十字辘轱回文诗。这一首可以读成春夏秋冬四首季节诗。

春

春情莺啼绿柳弄，柳弄春情晓月明。

明月晓情春弄柳，情春弄柳绿啼莺。

这首诗形式奇特，字句凝练，别具一格。换一种断句方法，又成一首五言诗。

莺啼绿柳弄，春情晓明月。

明月晓情春，弄柳绿啼莺。

夏

香莲碧水动风凉，水动风凉夏日长。

长日夏凉风动水，凉风动水碧莲香。

这首诗十分奇妙，桃花源向路桥，雁荡山维摩洞，阳朔莲花岩都用了这首诗。

秋、冬两首的形式与春夏相同，一句诗又可分成四句，这也只有中国诗词有如此的神奇之处。

这首咏四季诗，我们还可将它变为古风，成为一首赞美家乡四季美景的田园诗歌：

莺啼绿柳弄，春情晓月明。

香莲碧水动，风凉夏日长。

秋江楚雁宿，沙洲线水流。

烘炉黑炭炙，寒风御隆冬。

如果改变标点位置，还可变为下列形式：

莺啼绿，柳弄春情晓明月。

香莲碧，水动风凉夏日长。

秋江楚，雁宿沙洲线水流。

烘炉黑，炭炙寒风御隆冬。

这些诗十分奇特，读之成韵，回环往复，令人荡气回肠，是中华文学中的奇葩。通过以上的介绍，我们对文学与数学之间的联系有了进一步的理解。

文学与数学的同一性来源于两种基本思维方式—艺术思维与科学思维的同一性。文学史一感觉经验的形式传达人类理性思维的成果，而数学则是以理性思维的形式描述人类的感觉经验。文学是“以美启真”，数学则是“以真启美”。虽然方向不同，实质则为统一。文学艺术与数学貌似两条路上跑的车，实则具有千丝万缕的关系。

参考文献：

[1]葛斌华 梁超 武修文 《数学文化漫谈》 经济科学出版社