“二面角”教学设计

第一篇：“二面角”教学设计

“二面角”教学设计

一、教学内容解析

“二面角”在人教版新课标教材《必修2》第二章第三节第二小节的一个子内容，它的主要用途在于去定义两平面垂直关系，同时它也是继讨论了直线与直线所成的角、直线与平面所成的角之后的另一种自然的空间角。在《必修2》中教材没有例题进行二面角的计算，只是在小节习题中以正方体为背景设计了一个题，在《选修2-1》的第三章第二节中教材着重的加强了利用空间向量的工具去解决二面角的计算。

“二面角”的内容在以前的大纲版教材中是专设一节来进行详细的介绍，以及对二面角平面角的找寻进行了细致的划分，诸如：定义法，三垂线定理法等。对比两个版本教材的编写情况可以看出，本节在新课程中主要起到的作用是更好地理解两平面垂直的关系，而且对前面两者——直线与直线的垂直，直线与平面的垂直起着衔接和完善整个关系体系的作用。

故而，“二面角”这节的重点应该是理解概念，以及通过学习本节让学生在各自的思维中构建整个知识脉络，建立相关关系。

二、教学目标设置

在《说明》中对《必修2》教材第二章“点、直线、平面之间的位置关系”的目标设置为能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，以及以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。

又在《说明》中对《选修2-1》教材第三章“空间向量与立体几何”的目标设置为能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，足以见得，对于二面角这个子内容的作用就是过渡，提出面面垂直的定义。

故而，在本节我设计的目标要求如下：

（1）引导学生探索和研究两平面垂直应该如何定义，在概念形成的过程中，使得学生认同学习“二面角”概念的必要，并发展学生的思维。

（2）在经历概念形成的过程中去理解二面角平面的作法，并掌握。

三、学生学情分析

在学习“二面角”之前，学生已经学习了空间中两直线的垂直定义，两直线所成角的定义，直线与平面垂直的定义和直线与平面所成角的定义，至此学生已经具备一定的空间想象力和概括能力，在这里很自然的能够联想到缺少了两个平面垂直的关系，两个平面的垂直是生活中常见的形式，学生能够去感受，而数学是严格的，也就自然会想该怎样去定义这种关系，根据前两种关系从“角度”出发的描述形式，“二面角”是呼之欲出，是势在必然。

不过这其中的矛盾就在于角是能够观察出图形，关键在于怎样去计算“二面角”的大小，它的大小又是用哪个角去代替，两面中有很多的线，哪个线更直接，更方便，教学的难点就在这里，是要让学生达成共识，对二面角的平面角的“代表性”进行认同。

四、教学问题诊断分析

学生对“二面角”学习的必然性能够水到渠成，但在其中的确切定义的理解会出现差异，从名称可以看出应是两个平面组成的角，但实际是两个半平面，而且在寻找到二面角平面角后，对平面角的认同也会存在着一定的误区，就是忽略两个半平面内的射线需垂直于棱。本节知识没有理解的难点，因为有具体的空间为想象的基础，只是在其中有需要去具体细化的概念。

五、教学过程 1．课题引入

首先让学生一起来回顾一下前面刚学习的直线与平面垂直的判定定理，再让学生去回顾直线与平面垂直的定义，直线与直线垂直的定义，在两直线垂直的定义中可以发现是从90º角去定义的，再唤起学生对直线与平面所成角定义的印象，即直线与平面垂直是可以从90º的线面角去描述的，从而引出新课题从哪个角度去定义两平面垂直。2．探究二面角的定义

先展示两个平面相交的图形，如图①，从图中就可以感受到有四个角的形式，而且从大小的方面也可以体会到有对顶角相等的情况，借此机会教师提出疑问，什么时候才能够说对顶角，当然是在两直线相交的情况，所以教师通过软件从不同的角度去观察两个平面相交的情形，就会有如图②的情况。

图②

图①

面缩成了直线，线变成了点，那就会有角的真实存在了，既然换一个观察角度可以把两个平面所成的角变成平面角，那么“二面角”的定义就可以类比到平面角的定义，借此教师引导学生回忆平面中的角的定义从而自然得到“二面角”的定义。

再类比平面中角的表示法自然得到“二面角”的表示形式。3．探究二面角平面角的定义

平面中的角是有大小的，而且两个平面的展开形式也有所不同，有的大，有的小，所以“二面角”的也应该有大小。问题就来了，“二面角”的大小该用哪个角去表示呢？用一点时间让学生像刚才一样利用身边的工具——课本，打开课本就可以形成一个“二面角”，然后从不同的角度去观察变化过程中有哪个平面角与之相对应。

教师就利用软件展示一个动态的过程，形成统一的认识，如图③。

图③

再让二面角的其中一个半平面绕着棱进行旋转变化，观察“二面角”与∠POQ的变化对应关系可以发现它们的对应关系，后引导学生观察∠POQ的特征，故而给出“二面角”平面角的具体概念。

4．对比其他空间角的度量形式

异面直线所成的角是学生进入立体几何的第一类空间角，它的定义是通过平移让直线相交后所形成的角为异面直线的角，在空间中从不同角度观察两异面直线，便可得到如图④。

从图中可以观察出，“二面角”平面角的找寻实际也是自然的。

图④ 5．完善点、直线、平面垂直关系

有了描述两个平面角度形式的“二面角”后，那么就可以从90º去定义两个平面的垂直，同时也就完善了整个关系体系，即每种垂直关系都可以从各种形式的角为90º去描述，对比直线与直线平行。直线与平面平行，平面与平面平行一样都可以从无交点去描述。

第二篇：二面角教学设计

二面角教学设计

四川梓潼中学 李光银

教学分析：

二面角的计算是立体几何中重要内容之一。是继空间异面直线、直线与平面夹角之后又一个空间角的计算。二面角的概念发展、完善了空间角的概念；进一步体现了空间问题平面化的思想。

学情分析：

学生学习了线与线、线与面、面与面的平行与垂直问题，形成了一定的认知结构，并且又学习了异面直线所成的角、线现面所成的角，所以，有了一定的基础。但是二面角与其它知识不一样，学生理解有困难，对学生来说作二面角的平面角又是一个很难的事，我们就要细分析、多引导，让学生自己去发现并解决。

教学目标：

1．使学生了解二面角及其平面角的概念、作法，并能初步运用定义法和三垂线法求二面角的平面角，二面角及其平面角的知识解决实际问题。

2．引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力． 能力目标：

培养学生的观察分析能力、空间想象能力和猜想能力，进而培养学生的创造能力。培养学生的数形结合和把空间问题转化为平面问题的化归思想。教学重点和难点：

本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念； 本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程． 教学设计过程 一．复习引入

学习过平面几何中的角，在立体几何中，学习“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”，分别为线线角，线面角，在现实生活中要研究面面角。引入现实实例：1人造地球卫星绕地球旋转，卫星的轨道平面和地球赤道平面成一定的角度． 2.安装太阳能热水器的时候，集热板与地面成一定的角度 二．讲授新课

1．二面角的概念(1)有关定义：

半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。

二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。(2)平面角与二面角的比较：平面角由射线—点—射线构成．二面角由半平面—线—半平面构成．（3）二面角的画法及表示：

2．二面角的平面角 问题1：我们常说“把门开大一些”，“把书翻开一些”是指哪个角增大了?

我们怎样来度量一个二面角的大小呢? 问题2：我们以前学过的空间角，如异面直线所成的角，空间线面所成的角怎样度量的? 设计这个问题意在引发学生回忆：空间角都是转化成平面角进行度量的，从化归思想的角度引导学生猜想得到：二面角也可以转化成平面角进行度量，并且角的大小唯一确定

问题3：平面角度量二面角，那这个平面角的顶点和两边应放在什么位置? 设计这个问题让学生尝试二面角的度量方法，结合学生情况，引导思考，解决问题。

二面角的平面角的定义:以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。教师示范如何正确做出二面角的平面角.应该根据具体问题的情况抓住“二面角的平面角”的三个要素：（1）确定二面角的棱上一点；

（2）经过这点分别在两个半平面内引射线；（3）所引的射线都垂直于棱。

注意：①二面角的平面角与顶点在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。

②二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。

3．二面角的平面角的取值范围：

0° ≤ α≤ 180 ° 直二面角：平面角是直角的二面角是直二面角

4.二面角的平面角的作法： 定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两射线的夹角即为二面角的平面角。一般有等腰型（两个半平面由同底的两个等腰三角形组成）和全等型（两个半平面由能对折重合的两个全等三角形组成）两种。例1.在三棱锥VABC中，VAVBACBC2,AB23,VC1,试画出二面角VABC的平面角，并求他的度数。解：取AB的中点D，连接VD,CD.在VAB中，VAVB,D为AB的中点。

VDAB

同理可证：CDAB

VDC是二面角V-AB-C的平面角。

计算的：VD=CD=1VDC是正三角形。VDC=60

二面角VABC为60.反思：等腰型的二面角作平面角时，取棱的中点是关键，再连接两个面的顶点，由等腰三角形三线合一可证的两射线均垂直于棱。即产生二面角的平面角。例2.在正四棱锥P-ABCD中，侧棱长为2，底面边长为1.求二面角A-PB-C的余弦值。反思：全等型的二面角作平面角，在其中一个面内向棱作垂线，将垂足与第二个面内的顶点向连。可证的两射线均垂直于棱。即产生二面角的平面角。练习：在正方体ABCD-A1B1C1D1中。

① 求二面角C1ABC的大小。② 求二面角D1ACD的正切值。③ 求二面角D1ACB1的余弦值。

三．课堂小结：

求二面角的平面角的过程和求两条异面所成的角、求直线和平面所成的等角类似，步骤都是：

一找（或作）─—找（或作）出二面角的平面角；

二证─—用定义来证明上面所得角就是二面角的平面角； 三算─—通过解三角形求出二面角的平面角的度数。

四、课堂练习

如图，、、为平面，L,AO,BO,l，指出图中哪个角是二面角的平面角，并说明理由。五．课后作业

课本P74习题2.3 A组 7 课本P78复习参考题

A 组

第三篇：《二面角》教学设计及反思

《二面角》教学设计及反思

一、教材分析

二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一。二面角的概念发展、完善了空间角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置，同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点。搞好本节课的学习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。教学大纲明确要求要让学生掌握二面角及其平面角的概念和运用。

二、学情分析

学生学习了线与线、线与面、面与面的平行与垂直问题，形成了一定的认知结构，并且又学习了异面直线所成的角、线现面所成的角，所以，有了一定的基础。但是二面角与其它知识不一样，学生理解有困难，对学生来说作二面角的平面角又是一个很难的事，我们就要细分析、多引导，让学生自己去发现并解决。

三、教学目标

知识与技能：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。

能力与方法：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。

情感与态度：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。

四、教学重难点

1、二面角的平面角概念的形成过程

2、寻找二面角的平面角的方法的发现过程

五、教学过程

1、二面角概念的引入

师：我们知道，面与面的位置关系分相交和平行两种，对于两个平面平行的研究已经很深刻了，现在我们来探讨两个平面相交的问题

让学生观察老师手里的教具（用两块硬纸板做成的大小可变的“二面角”）的变化。

师：你观察到了什么？生：好象有一个角在不断改变。师：对，它就是我们今天要学习的二面角；二面角在生产生活中随处可见，水坝面与水平面所成的角，卫星的运行轨道与赤道平面所成的角都给我们二面角的形象。

启发学生从这些形象中抽象出二面角的定义：

半平面—平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。二面角—从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角与平面中的角的对比如图1。

画法、记法如图2。

2、二面角的平面角的探讨

老师再次拿起教具在学生的睽睽众目下，全神贯注地把玩着，嘴里还在嘟噜：“这是二面角。”随着二面角的变化，语气变得十分惊讶：“看来二面角还有大小的，这时大，这时小。”终于头抬起来了，声音也提高了八度：“他的大小由谁决定呢？”

学生也开始了沉思。

老师不时时机地启发着，两条异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角是怎么定义的？

前者是通过平移转化为两条相交直线所成角，后者是通过找射影转化为两条相交直线所成角，所以人们考虑二面角的大小也转化为某两相交直线所成角来度量。

老师又第三次那起了教具，问：角的顶点（这两相交直线的交点）应选在那里？生1：棱上。老师回答：好（并用黄色粉笔在棱上标出一点）。

师：角的两边呢？生1：两个半平面内，老师回答：好（并用黄色粉笔过上面标出的点，在两个半平面内做出多条射线）。

师：这样的角多不多？生1：多。

师：这些角相等吗？生1：不一定相等。

师：那到底用哪个角来表示二面角呢？生1：不知道。

老师若有所思：“这个角应该有这样的特点—只要二面角定了，这个角的大小也就定了”，并板书该特点。

师：要满足这个特点，看来对这两边的作法还要加以限制。还加怎样的限制呢？

沉默一会之后，生2：过棱上标出的那点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线试看。老师按照学生2的意见，做出了这两条射线。

师：二面角定了，这个角的大小就定了吗？在不太整齐的“是的”之后，有同学提出：还得把顶点任意换个位置再作个角来比较了才知道。

师：说得好，说得好，说得太好了，下面我们就来解决这个问题。如右图： APl AP//A1PA1PlAPBA1PB1  同理AP//BP1

即这样做出的角与顶定的位置无关，只与两个半平面的相对位置有关，所以可用它来表示二面角的大小，我们把这个角叫二面角的平面角。

师：下面我们来给二面角的平面角下个定义。

找生3回答（不准确老师补充）：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

由此可见二面角的平面角有三要素：（1）角的顶点在棱上；（2）角的两边分别在两个面内；

（3）角的两边都要垂直于二面角的棱。二面角的平面角的范围:[0,180 ]

001800；当两个半平面共面时，具体地当两个半平面重合时，0；当两个半平面相交时，0，1800。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。木工用活动尺测量工件的两个面所成的角时，就是测量这两个面所成的二面角的平面角。我国发射的第一颗人造地球卫星的倾斜角是68.5，就是说卫星轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是

068.50。

3、应用举例 例1.如图，河堤斜面与水平面所成的二面角为60°, 堤面有一条直道CD,它和堤脚的水平线AB的夹角是30°, 沿条直道从堤脚向上行走到10米时人升高了多少米？ 解：设水平面是，作EG于G，作GF⊥AB于F，连结EF，上这FEAB（三垂线定理）。

答：沿直道行走10m时人升高约4.3m。FG是斜线FE在水平面内的射影，GF⊥AB，∴∠EFG就是河堤斜面与水平面所成的二面角的平面角。∴EGEFsin600CEsin300sin6002.534.3m。

小结：

1、求二面角的平面角的过程和求两条异面所成的角、求直线和平面所成的等角类似，步骤都是：

一找（或作）─—找（或作）出二面角的平面角； 二说─—用定义来说明上面所得角就是二面角的平面角； 三算─—通过解三角形求出二面角的平面角的度数。

2、用三垂线（逆）定理作二面角的平面角的过程是：

一垂面、二垂线、三连线得二面（二面角的平面角）。

如本题：一作EG于G、二作GF⊥AB于F（或作EF⊥AB于F）、三连结EF（作的是EFAB时，三连结EF），得∠EFG就是所求二面角的平面角。

师：除可用三垂线（逆）定理得二面角的平面角以外，还可用另外的方法求二面角的平面角吗？

4、课堂练习

练习1.如图，、、为平面，L,AO,BO,l，指出图中哪个角是二面角的平面角，并说明理由。

学生4起来给出了完满的答。

师：这说明通过作棱的垂面也可以得到二面角的平面角。

其实，二面角的平面角就是棱垂直的平面与两个半平面的交线所成的角。师：最后还要强调的求法得先做下面的练习。

练习2.如图,已知P是二面角AB棱上一点，过P 分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=60，∠

0BPM =∠BPN =450，求此二面角的度数。经过充分酝酿后，学生5：

在PB上取不同于P 的一点O，在 内过O作OC⊥AB交PM 于C，在  内作OD⊥AB 交PN于D，连结CD，可得： ∠COD是二面角AB的平面角。

师：可见最后要强调的是更可以用定义去求二面角的平面角。

5、知识回顾、小结

6、布置作业

7、板书设计

1、二面角的定义、画法和表示法

定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。记法 二面 角－ l－ 。

2、二面角的平面角的概念和求法

定义 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

六、教学反思

（1）现行教材省略了概念的形成过程和方法的发现过程，没有反映出科学认识产生的辩证过程，与学生的认知规律相悖，给学生的学习造成了很大的困难，非常不利于学生创新能力、独立思考能力以及动手能力的培养。

（2）现代认知学认为，揭示知识的形成过程，对学生学习新知识是十分必要的。同时通过 展现知识的发生、发展过程，给学生思考、探索、发现和创新提供了最大的空间，可以使学生在整个教学过程中始终处于积极的思维状态，进而培养他们独立思考和大胆求索的精神，这样才能全面落实本节课的教学目标。

第四篇：《二面角及其平面角》教学设计范文

《二面角及其平面角》教学设计

袁素燕（江西省泰和县第二中学 343700）

课题：二面角及其平面角 学科：数学

版本：人民教育出版社2006版 年级：高二年级 册别：第二册下（A）课时：1课时

一、教学目的

1、知识目的：①理解二面角的概念 ②能正确画出二面角及二面角的平面角 ③会求简单二面角的平面角的大小

2、能力目的：

①通过二面角的教学，培养学生的空间想象能力 ②通过将研究二面角的大小转化为研究其平面角的大小，培养学生的转化能力。

3、情感目的

①通过实际问题的引入，激发学生学习数学的兴趣，让学生明白数学与生活是密不可分的。

②培养学生认真参与，积极交流的主体意识和乐于探 索、勇于创新的科学精神。

二、教学重点、难点

1、教学重点

①二面角及二面角平面角的定义 ②作二面角平面角的三种方法

2、教学难点：理解二面角的平面角定义的科学性，解决的办法是：让学生打开书的过程，书的两页之间形成了二面角，引导学生动手测量其大小，从而解决本节课的教学难点。

三、教具准备：三角板、纸板和多媒体

四、教学过程

1、复习引入（5分钟）通过下列一组问题的设计，经启发引导，提出今天的学习课题

①问题一：在平面几何中“角”是怎样定义的？（引导学生从两种不同的角度回答）是这样定义的：（1）从平面内一点出发的两条射线所组成的图形，叫做角。（2）一条射线绕它的端点旋转所形成的图形，叫做角。

②问题二：在立体几何中，我们还学习了哪些角？（学生能容易地回答）异面直线所成的角，直线与平面所成的角。

③问题三：在空间和日常生活中，我们还会遇到一些角（1）（动画演示）修水坝时，为了使水坝坚固耐久，必 须使水坝面与水平面成一定的角度。

（2）（动画演示）人造地球卫星绕地球飞行的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度。

（3）（师生动手演示）打开数学课本的过程，书的两页之间形成了一定的角。

④上面问题三中所说的角就是我们今天要学习的另一个空间的角——二面角（板书课题）

2、新课探究（22分钟）

①问题一：如何给二面角下定义？（让学生充分思考，讨论并展示打开书的过程，通过角的定义用类比的方法给二面角下定义）。

②问题二：二面角是否有大小？用什么方法度量？（可以先回顾度量“角”的方法及使用的工具<量角器>，再让学生思考并展开讨论，教师可提示、引导“异面直线所成的角”、“斜线与平面所成的角”的度量方法——转化为一个平面角，让学生尝试二面角的度量方法，结合学生情况，引导思考，解决问题。）

③师生共同总结得出：

二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。④（师生合作）由定义出发得出作二面角的平面角的步骤：

（1）确定二面角的棱上一点；（2）经过这点分别在两个半平面内引与棱垂直的射线。

⑤由以上活动，师生共同总结得出以下结论：（1）二面角的大小，可以用它的平面角来度量。（2）二面角的大小范围是：[0°，180°]（3）平面角是直角的二面角，是直二面角 ⑥归纳得出过空间一点作二面角的平面角的方法：（1）定义法（已知点在棱上）

（2）三垂线法（已知点在二面角的某一个面上）（3）垂面法（已知点在二面角内）

3、应用举例（13分钟）

例1：二面角指的是从一条直线出发的两个半平面所夹的角；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；两个平面相交时，两个平面所夹的锐角或钝角；过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角（启发引导，边讲解，边画图，同时强调正确画图的重要性）

设计意图：从不同方位认识二面角和二面角的平面角，进而突出本节课的重点。

例2：已知二面角α-l-β的平面角为60°，P∈α，若P到平面β的距离为9cm，则点P到棱l的距离为，点P在β上的射影为P1，则P1到平面α的距离为。（师生共同完成作图）。

设计意图：进一步强调正确作图的重要性，让学生掌握用三垂线法作二面角的平面角。

例3：如图，平面角为锐角的二面角α－EF－β，A∈EF，AG α，∠GAE=45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α－EF－β的平面角的大小（多媒体幻灯片演示图例）。

解：作GH垂直β于H，作HB垂直EF于B，连GB，则GB垂直EF，∴∠GBH为二面角的平面角。又∠GAH是AG与β所成的角，即∠GAH=30°，设AG=a，则GB=，GH=，sin∠GBH=，∴∠GBH=，故二面角α－EF－β的平面角为（45°）。

设计意图：做立体几何的计算题，规范解题至关重要，本例起到一个示范作用，同时本例也提供了一种作二面角的平面角的最常用方法。

4、小结与作业（5分钟）： ①小结

（1）二面角的定义（2）二面角的平面角的定义

（3）作二面角的平面角的方法：定义法、三垂线法、垂面法

（4）两个教学思想：将空间问题向平面问题转化及类比的数学思想

②作业和练习

（1）作业：P32第2、3题

（2）练习课题：用今天学的数学知识测学校办公楼前台阶的坡度

五、教学后记

课堂教学设计说明本节课属于新授课型，应主要把握以下几个方面：

1、要做好新知识的铺垫。数学教学的过程，实质上就是原有认知结构不断地同化或顺应的过程。学生原有的认知结构，始终是关系迁移功能的一个关键因素。为了有效迁移和构建就应认真寻找和了解学生的原认知，及时组织改造和唤起这些关键因素，为学习新知识提供基础。

2、要做好新知识的导入。新课导入就是在新旧问题之间架起一座“认知桥梁”，从而顺利实现迁移。导入时要寻求新旧问题的最短距离，要瞄准新旧关系的最佳方位，要把握新旧转换的最精确地表达。

3、新授课的重点是新授。新授是一堂课的重要环节，也是学生思维最活跃、最紧张、最有效的认知高潮。因此，新授过程应确保在教学中的最佳时域进行，要让学生有观察、动手、表达、思考、交流、表现等时机，让学生真正成为学习的主人，主动地和生动地进行认知建构。

4、要做好课堂巩固。巩固的主要目的是帮助学生建立起关于某道范例的思维模式，形成积极有益的认知定势，从而去解决实际问题。对于巩固练习，应恰当地变换形式或角度，集中突破教学重点和难点。

5、结合实际，做好作业的选题、批改、订正、讲评，进一步提高学习质量。练习课题的布置，能够很好地激发学生学习数学的兴趣。

附：板书设计

1、二面角定义

2、二面角的平面角定义

3、作二面角的平面角的方法（1）（2）（3）

4、例题讲解：例1 例2 例3

第五篇：二面角教案

二面角教案

教学目标

1．使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步运用它解决实际问题；

2．引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力．

教学重点和难点

本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念； 本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程． 教学设计过程

教师：在平面几何中“角”是怎样定义的？

学生：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角．

教师：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？

学生；直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

它们的共同特征是都是将三维空间的角转化为二维空间的角． 教师：请同学们观察下面的几个问题．

（当教师说完上述话后，利用多媒体技术，让学生通过计算机看两个例子）例子之一：

镜头一：淡蓝色的地球．（图片）

镜头二：火箭发射人造地球卫星．（录相）

镜头三：人造地球卫星绕地球旋转，最后画出卫星的轨道平面和地球赤道平面．

让学生观察这两个平面相交成一定的角度． 例子之二：

镜头一：人走在坡度不太大的桥上．（录相）镜头二：人在爬山．（录相）镜头三：攀岩运动．（录相）

镜头四：演示下面动态图象．（让水平面静止不动，坡面在不断变化，目的是让学生看到，在生活实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形）

（注意：四个镜头要连续编排在一起进行演示，时间一分钟）

教师：如何给二面角下定义呢？下面我们用类比的办法，与角的概念对比，探讨二面角的定义．

这一段教学采用计算机辅助手段，每一个问题分三步完成，首先给出平面角的问题，然后请学生思考并回答二面角的问题，最后计算机显示正确结果．这部分共有四个问题，全部研究完毕后，将整个过程列成一个总表，显示在屏幕上．

教师：请看角的图形，思考二面角的图形． 学生可以将自己画的图展示给大家． 计算机显示：二面角的图形．

教师：（给出平面角的定义）请同学们给二面角下定义． 显示：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形． 学生：（口答）

计算机显示：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形． 教师：平面角由射线—点—射线构成．二面角呢？ 学生：二面角由半平面—线—半平面构成． 教师：平面角表示法：∠AOB． 二面角表示法 α-a-β或α-AB-β． 最后计算机显示整个过程．

教师：经过上面的研究我们已经看到，平面上的角，可以看作是一条射线绕其端点旋转形成的图形；类似地，一个半平面绕其界线旋转到一定位置所得到的图形，就是二面角．

教师：二面角与平面内的角一样，是可以比较大小的，其比较方法，与平面内的角的大小的比较方法类似．

（教师让学生打开书本）

打开书本的过程，给我们一种二面角的大小连续变化的形象．（前面看到的爬山问题也是如此）

教师：用量角器可以量出平面内的角的大小，能否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢？

比如，这里有一个对顶量角器和一个三角木块（直三棱柱）模型，你们能用我们自制的对顶量角器来量出三角木块模型的某两面角的大小吗？比如平面α与β的夹角？

教师：一般地说，量角器只能测量“平面角”（指两条相交直线所成的角．相应地，我们把异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，均称为空间角）那么，如何去度量二面角的大小呢？我们以往是如何度量某些角的？

学生：分别通过“取点、平移（相交）”（对异面直线所成的角）与“斜线的射影（相交）”（对斜线与平面所成的角）去度量的．

教师：这些做法的共同点是什么？ 学生：都是将空间角化为平面角．

教师：对！再回到刚才的量角操作，你是怎样用对顶量角器去量二面角α-l-β的大小呢？

学生：将对顶量角器的一个角的两边靠紧二面角的两个面，角的顶点则在二面角的棱上．

教师：大家注意，实际上同学们量的是一个平面内的角：∠BAC．这个角的顶点在二面角的棱上，它的两边分别在二面角的两个面内且与棱垂直．而且对于确定的二面角，这样的角的大小是唯一的，确定的，我们把它叫做二面角的平面角．

（对于训练有素，肯于思考的学生可能会提出下面的问题）

学生：若以棱a上任意一点O为端点，在两个面内作与棱成等角θ′（0°＜θ′＜90°）的两条射线OA′，OB′，由空间等角定理知，∠A′OB′也是存在且唯一的，为什么不用这样的角定义二面角的平面角？

教师：记∠AOB=θ，∠A′OB′= ．当OA′，OB′在平面AOB同侧时θ＞ ；当OA′，OB′在平面AOB异侧时θ＜ ．请看图6：

设 A′P′=a，A′P=b，A′B′=x 由余弦定理，得：

x2=b2+b2-2b2cos =2b2（1-cos），x2=a2+a2-2a2cosθ=2a2（1-cosθ），当OA′，OB′在平面AOB的同侧时，若用∠A′OB′= 表示二面角的大小，由（*）知，与θ之间会有常数关系，这将给表示，尤其是计算、应用带来诸多不便；另外，若用∠A′OB′= 表示二面角的大小，当平面α⊥平面β时；

≠90°，当半平面α与半平面β在同一平面时，=2θ′≠180°，都与已有知识和经验不符，不能直观反映出空间两个相交平面的相对位置关系。

教师板书二面角的平面角的定义．

定义 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

教师：“二面角的平面角”的定义三个主要特征是什么？ 学生：过棱上任意一点（0∈a），分别在两个面内作射线（OA β），射线垂直于棱（OA⊥a，OB⊥a）．

α，OB

教师：经过上面的研究我们看到，二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．

教师：许多立体几何问题，若能正确地作出图形，则问题就便于解决．若能正确地作出二面角的平面角乃是解决这类问题的关键步骤．下面我们总结一下作二面角平面角的几种基本方法．如何利用定义作二面角的平面角呢？

学生：在二面角的棱a上任意取一点O为端点，在面α，β内分别引垂直于棱a的两条射线OA，OB，则∠AOB为该二面角的平面角．

教师：如何利用三垂线定理作二面角的平面角呢？

学生：在二面角α-a-β的面α上任取一点A，过A分别作棱a和另一面β的垂线AO和AB（O，B分别是垂足），连BO；或者过A作面β的垂线AB，又过垂足B引棱a的垂线BO，连AO；则∠AOB为该二面角的平面角．

教师：能否用作垂面的办法作二面角的平面角呢？

学生：过二面角的棱a上任一点O，作平面γ与该棱垂直（作棱的垂面），平面γ与α，β分别交于OA，OB，则可用∠AOB来度量二面角α-a-β的大小．

教师：下面我们研究一道例题．

题目：如图11，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？

（投影打出下图）

（此例是一个实际应用问题，难度较低，一般不易引起人们的注意，但教师应深入思考，讲清下面几点）

分析：

1．建模过程

此例的求解首先要对实际图形作出想象理解，然后在教学中抽象出数学模型．虽然建模过程难度较低，但教学中应主要向学生渗透建模的思想和增强学生对立体几何中一些基本图形的认识与理解．

设过AB的水平面为α，坡面DAB所在的平面为β，CD=100m．

本题要求“升高了多少米”？即是求点D到水平面α的距离DH．这自然会想到解直角三角形DHC，但该直角三角形不可解，故必须另寻途径．（如图，利用计算机显示在屏幕上）

再看看给出的条件，已知二面角α-AB-β是60°，如何作出它的平面角呢？过D在平面β内作DG⊥AB，G是垂足，再连结HG，则根据三垂线定理，可得HG⊥AB，则∠DGH就是该二面角的平面角，即∠DGH=60°．再根据∠DCH=30°及直角三角形DGH和DCG的边角关系，就可以求出DH．

2．提炼方法

此例的求解是应用三垂线定理作二面角的平面角的典型例子，也是立体几何的一个基本方法．为了强化此法，应在本节练习中配套出相应的题目．这表明在教学中加强对基本方法的提炼、理解是很有必要的，也是加强通法教学的具体表现．

练习：

①在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是a，求它到棱的距离．

②把边长为a的正方形ABCD以BD为轴折叠，使二面角A-BD-C成60°的二面角，求A、C两点的距离．

3．导出等式 在图12中，不妨从一般性出发，记∠DCH=θ1，∠DCG=θ2，∠HCG=θ3，∠DGH=θ．引导学生从例题图形中推导出等式：

①sinθ1=sinθ2sinθ； ②cosθ2=cosθ1cosθ3．

这样的练习既锻炼了学生的动手能力，还揭示了例题的引申功能，使例题的作用突出，导向明确，极有利于学生对知识串联、累积、加工，从而达到举一反三的作用．

sinθ1=sinθ2sinθ．

cosθ2=cosθ1cosθ3．

4．挖掘引申

教师在学生导出等式①，②后，把课堂教学进一步引向深入，对等式①，②作出说明与解释．

由等式①可得sinθ1≤sinθ，即θ1≤θ，说明沿山坡直道CD上山时与水平面所成的角θ1不大于山坡的倾斜度，这使例题的实际性增强，又使学生在教学过程中对数学知识与实际生活进行比较、联系、评价，突出了数学应用的广泛性，进一步强化了学生的应用意识，从而有利于学生数学素养的提高．

小结

1．空间的“二面角”，是平面几何中角的概念在空间中的拓广．处理问题的思想方法是将“空间的角”转化为“平面的角”来处理．定义的原则是：这个“平面角”的大小必须是由空间的角完全确定而且是唯一的．

2．凡是涉及到二面角的几何问题，都要根据题目的条件，在图形的恰当位置作出二面角的平面角，主要方法有“定义法”，“应用三垂线定理”和“作垂面”的方法．我们将在下一课做进一步的研究．

布置作业 1．阅读课本．

2．正四面体ABCD，求侧面与底面所成二面角的大小的余弦值． 3．如果两个二面角的两个面对应平行，那么这两个二面角相等或互补． 课堂教学设计说明

本节课属于新授课型．应主要把握下述几个方面．

1．要有良好的铺垫．数学教学的过程，实质上就是原有认知结构不断地同化或顺应的能动过程．学生原有的认知结构，始终是关系迁移功能的一个关键的因素．为了有效迁移和建构，就应认真寻找和了解学生的原认知，及时组织改造和唤起这些关键因素，为学习新的知识提供基础．主要要做到三个方面的铺垫：（1）知识性铺垫．（2）技能性铺垫．（3）原理性铺垫．

2．抓着新知识的导入点．新课导入就是在新旧问题之间架起一座“认知桥梁”，从而顺利实现迁移．导入时要寻求新旧问题的最短距离，要瞄准新旧关系的最佳方位，要把握新旧转换的最精确表达．

3．新授课的重点是新授．新授是一堂课的重要环节，也是学生思维最活跃、最紧张、最有效的认知高潮．因此，新授过程应确保在教学中的最佳时域进行．要让学生有观察、动手、表达、思考、交流、表现等时机，让学生真正成为学习的主人，主动地和生动地进行认知建构．

4．做好课堂巩固．巩固的主要目的就是帮助学生建立起关于某道范例的思维模式，形成积极有益的认知定势作为学习优势去解决实际问题．这样的巩固练习，不能单纯停留于对范例的模仿上，而应恰当地变换形式或角度，集中突破教学难点和重点．

5．做好作业的选题、批改、订正、讲评，进一步提高学习质量．