二面角教学的认知冲突

第一篇：二面角教学的认知冲突

“二面角教学的认知冲突”

体现的是新课标和原大纲的教学理念的冲突

------有感于“我最满意一堂课”活动

本学期我校在校长的倡导下推出了“我最满意的一堂课”活动，要求人人讲，大家评；我们高一年级数学组借新课标、新课改之风，人人踊跃，个个争先，新课标、新教材、新教师、新理念，为数学课堂教学注入了新的血液，带来了新的气息，一时好评如潮，尤其是一些青年教师的课，得到了张增凯校长和王庆来主 任的高度评价。同时，在一些备课、评课中，也不时有争议、冲突。下面谨以“二面角”的教学为例，和大家探讨二面角的教学困惑与研究。

1、问题提出

二面角是立体几何的一项重要内容，是发展空间想象、推理论证、运算求解等基本能力的良好素材。因其抽象性、综合性和多变性，他历来是教与学的一个难点和重点，有的学生甚至“谈角色变”。在新课标下应如何定位、把握二面角的教学呢？为此，我们在使用新课标教材人教社A版《数学2》进行“二面角”教学时展开了讨论，教研组长王正老师听了周峰老师“我最满意的一堂课”--“平面与平面垂直的判定”一节的教学之后，站在三年备考的角度，提出了若干“不满意”的意见来，我整理一下，主要冲突和困惑有：

以下从课标、教材这两个角度来分析“二面角”的教学定位及其变化。2.1、教学要求的变化

“大纲”和“课标”对二面角的教学要求如下：

“大纲”：理解三垂线定理及其逆定理；掌握二面角、二面角的平面角的概念；掌握两个平面垂直的判定定理。

“课标”：通过直观感知、操作确认，归纳出两个平面垂直的判定定理；能用向量的方法证明三垂线定理，并解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量法在研究几何问题中的作用。

与“大纲”相比，“课标”没有对“二面角及其三垂线定理”作具体的教学要求。“课标”将线线、线面、面面角的计算安排在选修课的空间向量里面，旨在降低“空间角”的空间想象与推理论证的的难度，让学生体会向量在研究几何问题中的工具作用，从一个新的角度发展学生的空间想象和几何直观能力。由此可见，新课标下必修课淡化了空间角的计算，特别是二面角的大小的求解计算，对于删去空间向量的文科对此要求就更低了；在必修《数学2》阶段的课标要求中，对“二面角”概念只字未提。2.2、五种教材对比分析

现行五种版本的课标教材在必修和选修课程对“二面角”的设置、安排情况如下：

人教A版：在《数学2》“平面与平面垂直的判定”一节中，利用修筑水坝、发射卫星等实例，引出二面角的概念，使学生对二面角产生感性认识，继而通过平卧式的二面角直观图，使学生对二面角有概括、理性的理解，并借此介绍了二面角的平面角的概念，没有设计求二面角大小的例题、练习，只是在习题中设置了两道简单的以三棱锥、正方体为载体的求二面角大小的试题。二面角大小的计算主要安排在选修2-1的“空间向量与立体几何”中。

北师大版：在《数学2》“平面与平面垂直的判定”一节中，通过平卧式、直立式的二面角的直观图，阐述了二面角及其平面角的有关概念，没有安排求二面角大小的例题、习题、和练习。求二面角大小的任务在选修2-1的“空间向量与立体几何”。

苏教版：在《数学2》“平面与平面垂直的判定”一节中，利用发射卫星、笔记本电脑这两个实例，引出二面角的概念，然后辅以直立式的二面角图形，诠释了二面角的平面角的概念，并以正方体为几何载体设置了求二面角大小的例题、习题各一题。较复杂的二面角大小的计算留在选修2-1的“空间向量与立体几何”中学习。

湘教版：在《数学》 选修2-1中正式安排了二面角的概念及其大小计算的有关内容。除人教B版外，其余教材将“二面角”分散在了必修与选修课程，体现了“螺旋式上升”的新课程特点；从知识情景看，除北师大版外，其余教材都设置了问题情境，注重从生活实践到数学研究、从直观感知到抽象理解引导学生学习二面角；从求二面角大小的方法看，五种教材都淡化了几何法，侧重了向量法；从能力立意看，教材力图体现转化、类比、降维的思想方法在“二面角及其平面角”概念中的应用，让学生运用空间向量解决二面角大小的问题中，开阔视野、拓展思维、提升能力。

很明确，五种课标教材的《数学2》都没有出现“三垂线定理及其逆定理”的身影。它们只是在选修2-1 《数学2》的教学中，为了求二面角大小大的方便而补充“三垂线定理”，对于理科未免操之过急，对于文科就更不应该了，因为这样不仅会影响教学进度，而且会人为的增加“立体几何”的抽象度；将“二面角”的重心放在求角的大小上是偏颇的，因为它违背了课标精神和教材编写意图，也不利于学生的长远发展；花1-2课时专门研究二面角大小的几何求法是没必要的，因为空间向量为解决空间图形的度量问题提供了十分有效的工具。一些老教师难舍“二面角大小的几何求法”是大纲教材的惯性思维，是还没完全领会新课标精神、教材编写者的意图所致，况且在高一补充“二面角大小的几何求法”课时也是完全不够的，这也恰是张增凯校长一直提醒我们必须避免的“一个教师讲着两套教材”做法，所以，我们也一定做到“穿新鞋就不走老路”！3.2 围绕核心概念，有效开展探究学习

核心概念是一堂课的“灵魂”，教学目标的制定、教学方法的选择、教学过程的设计直至教学效果的评价等，都应围绕“核心概念”；“核心概念”是学生领悟数学思想方法，体验探究、创造，促进智慧生成的良好平台，是提高数学课堂教学质量和效益的突破口，也是体现教师课堂驾驭和设计能力的主舞台。

“课标”指出:“课程探究是新课程倡导的一种新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念产生的过程，初步理解直观与严谨的关系，初步尝试数学研究的过程；有助于培养学生发现、提出、解决问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力。”受教学任务、教学内容、备课投入及市统考、升学压力等因素的影响，在落实课改理念积极开展探究式教学时，教师往往心有余而力不足，要实现“每堂课”或“整堂课”探究着实不易。因此，教学中教师可以围绕某个数学结果或教学环节开展局部探究（如马良“线面垂直的判定”的课，应该算是比较成功的探究模式），并努力让这种局部探究成为课堂教学的常态，而每堂课的核心知识无疑是开展探究学习的最佳题材。

“二面角”教学中，“二面角的平面角”是本节课核心概念，教学设计应在“探求二面角大小的表示过程”上下功夫，为学生搭建自主探究的开放平台，让学生在猜想、思辨、讨论、确认中，经历“二面角的平面角”的自然生成过程，从中感受转化、降维等思想方法的应用，体验数学发现、创造的激情，进而获取知识、积攒智慧。

经过“我最满意的一堂课”的活动，在教研、备课、评课等活动中，大家都拿出了或满意或不满意的观点或意见来，使我们对新课标有了更进一步的认识，在争论所擦出的耀眼火花中，让我们看清了新课标和原大纲的区别和联系。在今后的教学中，我们一定会像王正组长那样站在三年备考的的角度考虑教学，也一定会谨记张增凯校长的教诲，避免“穿新鞋走老路”、“一个教师讲着两套教材”的做法，也深深的记得教材主编章建跃博士的话：“数学教学绝对不是解题教学”。教育家杜威曾说：“教学绝对不仅仅是一种简单的告诉，教学应该是一种过程的经历，一种体验，一种感悟。”其实，这也恰是新课标的一个理念，在今后的教学中，我们会坚持立足教材，着眼学生的发展，把握核心内容，有效开展自主探究活动，向学生展示数学的实质，使学生理解数学概念、结论的逐步形成过程，真正使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，真正做到“让生命的相遇充满惊喜，让神圣的课堂充满智慧”。

开一数学组 张智民 2010-1-3

第二篇：认知冲突

发现问题往往是创新的先声，其意义绝不亚于解决问题。但在传统教学中，教师往往过早、过于直接地把问题（认知冲突）呈送给学生，欠缺了一个让学生自主发现问题、提出问题的过程，不能让学生体会到问题的产生过程。因此，在教学中，老师的角色应是使学生遇到问题的“机缘” 创造者，而不是问题的呈送者，而学生则是问题的发现者和探究者。从设置认知冲突的作用，认知冲突即认知过程中的“障碍”或“不协调”因素，它可引起人们解决问题的动机，促使人们去寻找协调的途径。它是学生学习动机的源泉，也是学生参与学习的的根本原因。所以教师应根据教学内容的特点，在教学中不断设置认知冲突，激发学生的参与欲望，主动完成认知识结构的构建过程。从而提出设置认知冲突的几种方法。

关键词： 认知冲突 数学教学 设置方法

认知冲突是一个人已建立的认知结构与当前面临的情境之间暂时的矛盾与冲突，是已有的知识和经验与新知识之间存在某种差距而导致的心理失衡。根据现代心理学研究表明，在课堂中设置认知冲突，可以为提供真实的背景，模拟解决实际问题的过程。因为在真实的背景或解决实际问题的过程中一定存在矛盾与冲突，不可能“伸手就摘到果子”。如果教师过多地为铺设台阶，使道路过于平缓，对所学知识就不会有深刻的体验，也很难产生成就感，所学知识容易遗忘，更难形成能力。

一、设置认知冲突的作用

1．形成悬念 引发思维

在课堂中设置认知冲突可以形成悬念，使产生企盼、渴知、欲答不能、欲罢不忍的心理状态，由此激发的求知欲，引发的积极思维。

2．强化注意 凝聚思维

认知心理学家研究发现：设置认知冲突可以强生注意，促使头脑保持一般警觉和知觉集中。认知冲突的设置还可以帮助明确任务，确定方向，凝聚思维焦点。认知冲突能够激活大脑中已有的知识经验，使能迅速的选择和接受相关，并对进行有目的的加工。

3．激发内需 发展思维

认知心理学家认为：当者发现不能用头脑中已有的知识来解释一个新问题或发现新知识与头脑中已有的知识相悖时，就会产生“认知失衡”，因为人有保持认知平衡的倾向，所以认知失衡会导致“紧张感”。为了消除这种紧张的不舒服感觉，就会产生认知需要（内驱力），努力求知，萌发探索未知领域的强烈愿望。在努力求知，变“失衡”为“平衡”的过程中，的主体活动得到了有效体现，思维得到了发展，解决问题的能力得到了提高。

4．制造起伏 活跃思维

没有认知冲突的课堂就象一潭没有涟漪的静水，气氛平淡，没有高潮，的思维松弛，大脑皮层出于惰性状态，认知兴趣不能得以维持，效果可想而知。在中设置认知冲突，一方面可以唤起的思维注意，活跃课堂气氛，另一方面也能激发的情绪注意，使从情感上参与课堂。认知冲突的设置还可以调节节奏，使课堂有张有弛、有起有伏。

“中位数”是人教版小学五年级数学教科书P105新增的一个教学内容。其教学背景是以三年级所学平均数的意义、作用及特点为基础，通过平均数不能很好反映数据偏差较大的情况，引出并学习中位数的意义、作用、特点及计算方法。本课的教学目标定位是通过这一内容的教学，使学生理解中位数在统计学中的意义，会求中位数；了解中位数与平均数的异同，学会根据数据的具体情况合理选择统计方法，体会各自的特点和作用。教学重点定位在中位数意义的理解及求法，教学难点是针对一组数据的具体情况及所要分析的问题，作出对统计方法的合理选择。

这是新增的知识点，没有可借鉴的教学经验，加上自身本体性知识的欠缺，我就只好“摸着石头过河”实施第一次教学。教学的基本程序是：复习近平均数的求法一自学课本——提出问题——互动交流——学习新概念——平均数与中位数的比较——知识应用——解决问题。教学过程还算流畅。可学生脸上的表情以及自己的直觉告诉我，本课教学远没有达到“三维目标”的要求，而问题出在哪呢?

于是。我询问学生。果然不出所料，学生心存较多的疑惑(高年级学生对所学知识或老师讲解存在疑惑往往隐藏在心底里，不大愿意当众讲出来)，现整理如下：

疑惑一：平均数为什么“失灵”了?甚至怀疑过去学习“平均数”上当受骗了。)

疑惑二：中位数是干什么的?(有“平均数”，为什么还要引进“中位数”?)

疑惑三：到底什么时候使用“平均数”?什么时候该用“中位数”?

面对学生的疑惑，我陷入了痛苦的反思，开始自我诊治：难道文本(附后)设计出了问题，无法帮助学生形成新的建陶?还是学生的理解产生了偏差，导致认知障碍?或者是学生的惯性定势在作怪，阻碍了学生思维迁移?经反复琢磨，我悟出了一点道理：学生之所以认为平均数“失灵”了，可能是因为学生对“平均数”本身意义的理解就存在缺陷，也就是他们对怎样求平均数是“相当熟练的”，但对平均数到底是“干什么的”并不明白，或所习得的“平均数”被异化成“平均数的求法”。学生不接纳中位数是为什么呢?可能是因为平时生活中用得最广泛的是平均数，对平均数的感觉是一种耳熟能详的直觉，让学生舍弃平均数而选用中位数，在情感上需要一个过程。因此，学生对何时使用平均数何时使用中位数就摸不着门路。基于上述的分析。我拟采用创设认知冲突的策略，强化体验的方法，破解学生的三大疑惑，实现三位一体的教学目标：对平均数意义的重构、认识中位数的必要以及合理选择平均数与中位数做了新的尝试。

教学片段一：营造冲突，感知必要，破解“平均数失灵”

屏幕演示

某次数学考试，小芳得到78分。

全班的平均分为77分。

小芳告诉妈妈说，自己这次成绩

在班上处于“中上水平”。

师：阅读了以上信息。你认为小芳所言她的成绩处于班级的“中上水平”一定属实吗?

师：可以把你的想法与同伴交流，也可以对你的想法自行验证。

(学生活动，争论激烈。观点碰撞频发。)

生1：我认为，既然小芳的成绩78分比全班的平均分77分还多出1分，就说明她的成绩确实是班里的“中上水平”。

师：你们同意这位同学的意见吗?

(小部分学生表示同意，一部分学生表示不赞同，多数学生尚未思考清楚没有表态。)

师：看来大家意见不太一致。(在老师的预设之中)

生(齐)：是的。

师：我们就先来说说你们所理解的平均分(77分)在班里相当于什么水平。

生(众)：中等水平。

师：按你们的理解，高于平均分就应属于中上水平，低于平均分就应属于中下水平。

生：应该是这样。(学生认为“平均分”与“中等水平”是等值的，连持反对意见或保持沉默的学生也转变了态度。)

师：果真是这样吗?想不想知道小芳班里考试成绩的真实情况?

生：当然想!(急于验证自己的猜想是否正确)

师：那么，就请看吧!(屏幕演示)全班共30人，其他同学的成绩为：

1个100分，4个90分，22个80分。

1个lO分

1个2分。

师：有什么想法?小芳的成绩在班上实际排列第几?(营造的情景带给学生巨大的认知冲突。)

生：倒数第四。

师：以你们刚才的观点，就等于你们认可了一个倒数第四位的成绩处于班上的“中上水平”?

生：决不同意。

师：高于平均分却不算中上水平，这不矛盾吗?

生：是这样的，一般情况下，高于平均分就应属于中上水平，可是没想到这里出现了两个低到极端的分数，把班里的平均分一下子就拉下来了。(学生加重了带着重号词语的读音)

师：你所说的“一般情况”是指什么?

生：我帮他解释，“一般情况”就是指一组数据中不能出现特别大或特别小的数据，数与数之间差距不能太大。

生：小芳班有一个人只得2分，暂且不说他与最高分100分相差太大，就是与大多数人的80分也有不小的距离。这个2分，对全班的平均分影响太大了。

师：怎样影响?

生：把平均分拉低了很多很多。所以让小芳成绩高于平均分。这个平均分低于班上大多数同学的成绩，不能代表班上成绩的中等水平。

(同学们纷纷点头表示赞同。)

师：确实像你们分析的这样，平均数也有“失灵”的时候。当一组数据中的数值比较集中，差异不大时，平均数能较好地反映该组数据情况的中等水平。当一组数据中出现极端数据时，平均数往往就不能代表一组数据的“中等水平”(统计学称之为“一般水平”)。平均数“失灵”，我们用什么样的“数”衡量小芳的成绩在班上处于怎样的水平呢?

师：数学是一门工具学科。今天，我们就来学习一个新的数学概念“中位数”，以帮助我们解决这个问题。

(点评：中位数是表示数据组一般水平的数据。为了让学生在认识平均数的基础上进而认识中位数的内涵，教师没有直接呈现中位数概念，而是创设情境，让学生产生认知“冲突”，以“平均数”为参照物，引出“中位数”的概念，体会“中位数”的意义。体会到学习中位数的必要性。)

教学片段二：情景体验。动态生成。破解“何为中位数?”

师：从字面意义来理解，你认为“中位数”是怎样的数?

生：处在中间位置的数，叫做“中位数”。

师：从定义的角度来理解，你的说法是正确的；从统计学的角度来理解，你的说法还需要补充条件。

(屏幕演示：把一组数据按顺序排列后。处在最中间位置的数叫做中位数。)

师：为什么要添加“把数据按顺序排列”这个前提条件呢?

(没有学生回答)

师：这样吧，我们现场做一个演示，请五位同学协助完成。(教师选择5位同学到台前站成一排，用A4纸标明各自的

善用认知冲突，引起学生思考

案例描述：

在教学圆锥体积公式时，我首先分组，让每一组自己选择试验用学具，当通过实验得出：“圆锥的体积是圆柱的1/3”这一结论时，教师问：“大家都得出这个结论吗？”全体同学都肯定的说：“对”。接着，教师拿出一个“巨大”圆锥，放在刚才实验用的圆柱体旁边（大小对比极其鲜明），教师问：“前面大家的结论正确吗？”这一演示，一提问，再一次激发了学生的学习兴趣，通过研究，学生发现：等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积等于圆柱体积的1/3，这一正确结论。

案例分析：

苏联心理学家奥加涅相说：“数学教学上的成就很大程度取决于学生对数学课的兴趣是否保持和发展”。可见兴趣对数学教学的成功起着定向作用。学生对数学学科本身产生兴趣而且这种兴趣随着年段的增高而更趋浓厚，决不是靠老师单方面灌输知识给学生所能办到的，而是要通过老师在数学教学中多种方法和手段的综合应用，特别是艺术得体地启发诱导，使学生自觉地吸取知识经验形成学习数学的乐趣。我们都知道：文学作品中的矛盾冲突是形成情节的基础，推动情节发展的动力。在《水浒》里，要不是林冲与高俅父子发生矛盾，就不可能有关于林冲的故事。矛盾冲突，在文学作品中是故事、剧情延伸，发展，达到高潮的要件，制造矛盾冲突，创设情境是指教师在教学时，根据教学内容，适时提出启发性的问题，唤起学生的心理共鸣，把学生的思维充分调动起来，使学生对所要学习的知识产生强烈的求知欲望，激发浓厚的学习兴趣所采取的一种教学手段。它能使学生怀着积极、乐观的态度，满腔的热情投入认识过程。最终，问题得以解答，使学生获得知识。因此，在教学过程中，教师应善于制造矛盾冲突，引起学生的思考，从而达到逐步培养学生的学习兴趣，实现课堂教学的优化的目的。

合理设置认知冲突时机

切实提高课堂教学效率

苏州市吴中区宝带实验小学 尤伟清 215128 在课改不断深入的今天，教师在教学中开始不断地设置认知冲突，引起学生的新奇和惊讶，并引起学生的注意和关心，从而激发学生的探究欲望，使之积极主动地参与学习，提高课堂教学效率。而在实际操作中，由于有的老师一味追求设置认知冲突的效果，却在不知不觉中走进了误区。现在就结合我的教学实际，谈一些肤浅的认识，供大家参考。

通常说，机不可失，时不再来。设置认知冲突时，必须掌握适当的时机，方能恰到好处。通常我在以下几个阶段设置认知冲突，来优化教学过程。

1、在新旧知识的连接之时设置认知冲突

认知矛盾是激起学生求知和探究欲望的有利因素。数学教学中，在新旧知识的连接点，教师要善于发现学生的认知矛盾，甚至寻找契机制造一些矛盾，引起学生的认知冲突，进而引导他们探究数学知识。例如，我在教学苏教版第七册“加减法的一些简便运算”时，我先让学生分组进行一次计算比赛。

Ａ

Ｂ

325＋167＋75

724－43－57

428＋165＋35

535－(135+70)128＋205

600－304

由于学生们已经学会了加法的简便计算，于是做A组题的同学明显算得快。

师：A组同学真快，你们真棒！

我故意表扬了A组。A组得到教师表扬后，B组同学当然不服气，他们感到不公平，开始愤愤不平„„

师：怎么啦，为什么？

生：不公平，我们做的是减法，不能简便计算。师：那么，减法有没有简便计算呢？„„（揭示课题）这样的引入虽然比较简单，但是非常有特色、也非常实用。因为教师巧妙得抓住了新旧知识的连接点，使学生在“不经意”中产生了探究减法简便计算的欲望，使学生充满热情地投入思考，一下子把学生推到了主动探索的位置上。

2．在新旧知识的分化之时设置认知冲突

学生自主探究学习不是凭空设想，搞单干，受教师指示的被动学习。教师要找准新旧知识的分化点，主动设置认知冲突，形成悬念，引发学生迫不及待地探究的兴趣，激发学生探究的欲望，促进学生利用已有的知识和经验，调动自己的思维，形成学生跃跃欲试的态势，促进学生自主探索意识的形成，使学生逐步树立起学习的主动性、积极性。

例如，我在教学苏教版第九册“用计算器计算”时，我组织学生进行分组计算比赛。

铺垫：

师：同学们，计算器的计算能力非常强，大家已经有所体会。那是不是计算器完全超过人了呢？

生1：不是的，计算器是人发明的，仅仅是计算方面比人快些。生2：不一定！我从报纸上了解到，一些参加“脑心算”训练的同学算得比计算器快。

生3：我也看到过了。

师：确实是这样。但那些同学毕竟是经过几年刻苦训练的。我发现，在我们班也有一些同学算得比计算器快。

生4：谁啊？能算这么快？

师：是谁，老师不直接告诉你们，谁有办法把他们找出来？ 生5：和计算器比一比不就知道了。

师：好主意！下面我们就来一个“人机大战”；哪些同学自告奋勇来比赛？

比赛1：

3.5+7.6= 1.2÷3= 5.6×0.01= 4.8×0.5= 2.5－1.6= 2.1÷0.5= 0.32÷0.4= 1.4×0.3= 9.1÷0.7= 0.6×1.2= 0.75÷0.5= 8×0.125=（1分钟左右，“人”的学生基本做完，“计算器”的还没有1人完成。）

师：现在我高兴地宣布——“人”获胜！

生：老师，这不公平，不公平！这些题目太简单了，所以他们快。如果难一点，他们就没有计算器快了。（众学生呼应）

师：这么说，难一点，你们就有把握赢了？（肯定）那我们再比一次？（好！学生鼓起掌来，应该是对即将的胜利充满信心。）

比赛2：

62.815×93＋62.815×5＋62.815×2 7.201×107－7.201×3－7.201×4 2.81＋4.28＋7.17＋5.72＋9.136（比赛开始后，挑战者都在草稿本上快速打草稿了，而使用计算器的部分学生则显得比较轻松、自信像是有足够的把握。）

师（故意）：看样子你们“计算器队”没有希望赢了。

生1：题目再难一点我们就能赢了。

生2：题目越难，而且不能简便运算我们就保证能赢了。

生3：能口算的和能简便运算的不如不用计算器。

生4：对！不能口算、简算的题目我们就能赢。„„

随着比赛的不断深入，知识在原有知识结构中开始分化，学生的思维由“计算器肯定快而且准”主动转向“为什么会输”、“怎样才能赢”的思考上来了。

3、在新知识的形成之时设置认知冲突

学生在数学学习中完全陌生的内容是很少见的，对学习的内容总是既感到熟悉，又感到陌生。在教学中把新知识变成学生似曾相识的东西，再在新知识的形成过程中设置认知冲突，激发学生解决问题的欲望，让学生在新旧知识的比较中找出共同点与区别点，顺利的完成正迁移。

例如，我在苏教版第十册“分数和小数的互化”时，把所学的知识作进行了适当的分解教学。题目：将下面的分数化成小数

3/10 4/25 7/32 1/6

5/14 师：请同学们解答，然后再相互比较、讨论，能不能发现什么？ 学生开始解答，过了一会，开始讨论起来。

生 1：老师，我发现前面三道题能化成小数，而后面的不能。生2：老师，我也发现了刚刚的规律，但是后面几题其实是可以化的，只不过是无限小数。

师；你们的发现真不错，那么你们能不能再研究一下，什么样的分数可以化成有限小数呢？

学生又开始了新的探究，不一会儿，不少小手又举了起来。生1：老师，我发现分母中只有约数2的分数，就一定能化成有限小数。

生2：老师，我发现分母中只有约数5的分数，也能化成有限小数。

生3：老师，我发现，其实分母中有约数2和5的分数，也能化成有限小数。

出示： 5/

10、7/

32、3/12，判断哪些可以化成有限小数，哪些不能？一会儿，小手都举了起来。

生：老师，5/

10、7/32能够化成有限小数，3/12不能。师：说说你的理由？

生：因为5/

10、7/32的分母中含有2和5约数。师：大家同意吗？

学生们异口同声地回答：“同意”。师：其实，你们做错了！

顿时，下面议论纷纷：“不可能吗？”“老师有没有骗我们？”„„ 师：你们再相互讨论一下，到底谁对谁错？ „„

（通过比较、分析，学生认识到前面概括诉规律中适用于最简分数。从而让学生建立在判断一个分数能否化成有限小数，必须要以“一个最简分数”为前提。）

我故意把最简分数这一前提漏掉，让学生在熟悉的内容中学习，在形成过程中产生认知冲突，让学生带着疑问，主动投入到知识的发生、形成、发展过程中，不仅获得了新的知识、技能，改善了认知结构，而且激起了学习兴趣，掌握了科学的学习方法。

第三篇：二面角教学设计

二面角教学设计

四川梓潼中学 李光银

教学分析：

二面角的计算是立体几何中重要内容之一。是继空间异面直线、直线与平面夹角之后又一个空间角的计算。二面角的概念发展、完善了空间角的概念；进一步体现了空间问题平面化的思想。

学情分析：

学生学习了线与线、线与面、面与面的平行与垂直问题，形成了一定的认知结构，并且又学习了异面直线所成的角、线现面所成的角，所以，有了一定的基础。但是二面角与其它知识不一样，学生理解有困难，对学生来说作二面角的平面角又是一个很难的事，我们就要细分析、多引导，让学生自己去发现并解决。

教学目标：

1．使学生了解二面角及其平面角的概念、作法，并能初步运用定义法和三垂线法求二面角的平面角，二面角及其平面角的知识解决实际问题。

2．引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力． 能力目标：

培养学生的观察分析能力、空间想象能力和猜想能力，进而培养学生的创造能力。培养学生的数形结合和把空间问题转化为平面问题的化归思想。教学重点和难点：

本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念； 本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程． 教学设计过程 一．复习引入

学习过平面几何中的角，在立体几何中，学习“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”，分别为线线角，线面角，在现实生活中要研究面面角。引入现实实例：1人造地球卫星绕地球旋转，卫星的轨道平面和地球赤道平面成一定的角度． 2.安装太阳能热水器的时候，集热板与地面成一定的角度 二．讲授新课

1．二面角的概念(1)有关定义：

半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。

二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。(2)平面角与二面角的比较：平面角由射线—点—射线构成．二面角由半平面—线—半平面构成．（3）二面角的画法及表示：

2．二面角的平面角 问题1：我们常说“把门开大一些”，“把书翻开一些”是指哪个角增大了?

我们怎样来度量一个二面角的大小呢? 问题2：我们以前学过的空间角，如异面直线所成的角，空间线面所成的角怎样度量的? 设计这个问题意在引发学生回忆：空间角都是转化成平面角进行度量的，从化归思想的角度引导学生猜想得到：二面角也可以转化成平面角进行度量，并且角的大小唯一确定

问题3：平面角度量二面角，那这个平面角的顶点和两边应放在什么位置? 设计这个问题让学生尝试二面角的度量方法，结合学生情况，引导思考，解决问题。

二面角的平面角的定义:以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。教师示范如何正确做出二面角的平面角.应该根据具体问题的情况抓住“二面角的平面角”的三个要素：（1）确定二面角的棱上一点；

（2）经过这点分别在两个半平面内引射线；（3）所引的射线都垂直于棱。

注意：①二面角的平面角与顶点在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。

②二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。

3．二面角的平面角的取值范围：

0° ≤ α≤ 180 ° 直二面角：平面角是直角的二面角是直二面角

4.二面角的平面角的作法： 定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两射线的夹角即为二面角的平面角。一般有等腰型（两个半平面由同底的两个等腰三角形组成）和全等型（两个半平面由能对折重合的两个全等三角形组成）两种。例1.在三棱锥VABC中，VAVBACBC2,AB23,VC1,试画出二面角VABC的平面角，并求他的度数。解：取AB的中点D，连接VD,CD.在VAB中，VAVB,D为AB的中点。

VDAB

同理可证：CDAB

VDC是二面角V-AB-C的平面角。

计算的：VD=CD=1VDC是正三角形。VDC=60

二面角VABC为60.反思：等腰型的二面角作平面角时，取棱的中点是关键，再连接两个面的顶点，由等腰三角形三线合一可证的两射线均垂直于棱。即产生二面角的平面角。例2.在正四棱锥P-ABCD中，侧棱长为2，底面边长为1.求二面角A-PB-C的余弦值。反思：全等型的二面角作平面角，在其中一个面内向棱作垂线，将垂足与第二个面内的顶点向连。可证的两射线均垂直于棱。即产生二面角的平面角。练习：在正方体ABCD-A1B1C1D1中。

① 求二面角C1ABC的大小。② 求二面角D1ACD的正切值。③ 求二面角D1ACB1的余弦值。

三．课堂小结：

求二面角的平面角的过程和求两条异面所成的角、求直线和平面所成的等角类似，步骤都是：

一找（或作）─—找（或作）出二面角的平面角；

二证─—用定义来证明上面所得角就是二面角的平面角； 三算─—通过解三角形求出二面角的平面角的度数。

四、课堂练习

如图，、、为平面，L,AO,BO,l，指出图中哪个角是二面角的平面角，并说明理由。五．课后作业

课本P74习题2.3 A组 7 课本P78复习参考题

A 组

第四篇：“二面角”教学设计

“二面角”教学设计

一、教学内容解析

“二面角”在人教版新课标教材《必修2》第二章第三节第二小节的一个子内容，它的主要用途在于去定义两平面垂直关系，同时它也是继讨论了直线与直线所成的角、直线与平面所成的角之后的另一种自然的空间角。在《必修2》中教材没有例题进行二面角的计算，只是在小节习题中以正方体为背景设计了一个题，在《选修2-1》的第三章第二节中教材着重的加强了利用空间向量的工具去解决二面角的计算。

“二面角”的内容在以前的大纲版教材中是专设一节来进行详细的介绍，以及对二面角平面角的找寻进行了细致的划分，诸如：定义法，三垂线定理法等。对比两个版本教材的编写情况可以看出，本节在新课程中主要起到的作用是更好地理解两平面垂直的关系，而且对前面两者——直线与直线的垂直，直线与平面的垂直起着衔接和完善整个关系体系的作用。

故而，“二面角”这节的重点应该是理解概念，以及通过学习本节让学生在各自的思维中构建整个知识脉络，建立相关关系。

二、教学目标设置

在《说明》中对《必修2》教材第二章“点、直线、平面之间的位置关系”的目标设置为能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，以及以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。

又在《说明》中对《选修2-1》教材第三章“空间向量与立体几何”的目标设置为能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，足以见得，对于二面角这个子内容的作用就是过渡，提出面面垂直的定义。

故而，在本节我设计的目标要求如下：

（1）引导学生探索和研究两平面垂直应该如何定义，在概念形成的过程中，使得学生认同学习“二面角”概念的必要，并发展学生的思维。

（2）在经历概念形成的过程中去理解二面角平面的作法，并掌握。

三、学生学情分析

在学习“二面角”之前，学生已经学习了空间中两直线的垂直定义，两直线所成角的定义，直线与平面垂直的定义和直线与平面所成角的定义，至此学生已经具备一定的空间想象力和概括能力，在这里很自然的能够联想到缺少了两个平面垂直的关系，两个平面的垂直是生活中常见的形式，学生能够去感受，而数学是严格的，也就自然会想该怎样去定义这种关系，根据前两种关系从“角度”出发的描述形式，“二面角”是呼之欲出，是势在必然。

不过这其中的矛盾就在于角是能够观察出图形，关键在于怎样去计算“二面角”的大小，它的大小又是用哪个角去代替，两面中有很多的线，哪个线更直接，更方便，教学的难点就在这里，是要让学生达成共识，对二面角的平面角的“代表性”进行认同。

四、教学问题诊断分析

学生对“二面角”学习的必然性能够水到渠成，但在其中的确切定义的理解会出现差异，从名称可以看出应是两个平面组成的角，但实际是两个半平面，而且在寻找到二面角平面角后，对平面角的认同也会存在着一定的误区，就是忽略两个半平面内的射线需垂直于棱。本节知识没有理解的难点，因为有具体的空间为想象的基础，只是在其中有需要去具体细化的概念。

五、教学过程 1．课题引入

首先让学生一起来回顾一下前面刚学习的直线与平面垂直的判定定理，再让学生去回顾直线与平面垂直的定义，直线与直线垂直的定义，在两直线垂直的定义中可以发现是从90º角去定义的，再唤起学生对直线与平面所成角定义的印象，即直线与平面垂直是可以从90º的线面角去描述的，从而引出新课题从哪个角度去定义两平面垂直。2．探究二面角的定义

先展示两个平面相交的图形，如图①，从图中就可以感受到有四个角的形式，而且从大小的方面也可以体会到有对顶角相等的情况，借此机会教师提出疑问，什么时候才能够说对顶角，当然是在两直线相交的情况，所以教师通过软件从不同的角度去观察两个平面相交的情形，就会有如图②的情况。

图②

图①

面缩成了直线，线变成了点，那就会有角的真实存在了，既然换一个观察角度可以把两个平面所成的角变成平面角，那么“二面角”的定义就可以类比到平面角的定义，借此教师引导学生回忆平面中的角的定义从而自然得到“二面角”的定义。

再类比平面中角的表示法自然得到“二面角”的表示形式。3．探究二面角平面角的定义

平面中的角是有大小的，而且两个平面的展开形式也有所不同，有的大，有的小，所以“二面角”的也应该有大小。问题就来了，“二面角”的大小该用哪个角去表示呢？用一点时间让学生像刚才一样利用身边的工具——课本，打开课本就可以形成一个“二面角”，然后从不同的角度去观察变化过程中有哪个平面角与之相对应。

教师就利用软件展示一个动态的过程，形成统一的认识，如图③。

图③

再让二面角的其中一个半平面绕着棱进行旋转变化，观察“二面角”与∠POQ的变化对应关系可以发现它们的对应关系，后引导学生观察∠POQ的特征，故而给出“二面角”平面角的具体概念。

4．对比其他空间角的度量形式

异面直线所成的角是学生进入立体几何的第一类空间角，它的定义是通过平移让直线相交后所形成的角为异面直线的角，在空间中从不同角度观察两异面直线，便可得到如图④。

从图中可以观察出，“二面角”平面角的找寻实际也是自然的。

图④ 5．完善点、直线、平面垂直关系

有了描述两个平面角度形式的“二面角”后，那么就可以从90º去定义两个平面的垂直，同时也就完善了整个关系体系，即每种垂直关系都可以从各种形式的角为90º去描述，对比直线与直线平行。直线与平面平行，平面与平面平行一样都可以从无交点去描述。

第五篇：运用认知冲突策略 创设教学最佳时机

运用认知冲突策略 创设教学最佳时机

湖北省兴山县南阳小学 王作晶

“认知冲突”是学生已有的知识和经验与当前面临的新知学习之间的矛盾与碰撞。数学课堂就是在教师不断制造“冲突”和引导学生不断解决“冲突”中向前推进的过程，是学生的心理由平衡——失衡——平衡的不断往复的过程，是学生的思维得到历练和提高的过程。通常说，机不可失，时不再来。设置认知冲突时，必须掌握适当的时机，方能恰到好处。

一、在新旧知识的连接之时设置认知冲突

数学教学中，在新旧知识的连接点，教师要善于发现学生的认知矛盾，甚至寻找契机制造一些矛盾，引起学生的认知冲突，进而引导他们探究数学知识。例如，我在教学“加减法的一些简便运算”时，我先让学生分组进行一次计算比赛。Ａ组：325＋167＋75 428＋165＋35 128＋205 Ｂ组：724－43－57 535－(135+70)600－304 由于学生们已经学会了加法的简便计算，于是做A组题的同学明显算得快。我故意表扬了A组。A组得到教师表扬后，B组同学当然不服气，他们感到不公平，开始愤愤不平„„教师：那么，减法有没有简便计算呢？„„（揭示课题）这样的引入虽然比较简单，但是非常有特色、也非常实用。因为教师巧妙得抓住了新旧知识的连接点，使学生在“不经意”中产生了探究减法简便计算的欲望，使学生充满热情地投入思考，一下子把学生推到了主动探索的位置上。

二、在新旧知识的分化之时设置认知冲突 学生自主探究学习不是凭空设想，搞单干，受教师指示的被动学习。教师要找准新旧知识的分化点，主动设置认知冲突，形成悬念，引发学生迫不及待地探究的兴趣，激发学生探究的欲望，促进学生利用已有的知识和经验，调动自己的思维，形成学生跃跃欲试的态势，促进学生自主探索意识的形成，使学生逐步树立起学习的主动性、积极性。例如，我在教学“用计算器计算”时，我组织学生进行分组计算比赛。62.815×93＋62.815×5＋62.815×2 7.201×107－7.201×3－7.201×4 2.81＋4.28＋7.17＋5.72＋9.136。A组用计算器，B组不用计算器。显然这几道题不用计算器较快一些，从而使学生的思维由“计算器肯定快而且准”主动转向“为什么会输”、“怎样才能赢”的思考上来了。

三、在新知识的形成之时设置认知冲突

学生在数学学习中完全陌生的内容是很少见的，对学习的内容总是既感到熟悉，又感到陌生。在教学中把新知识变成学生似曾相识的东西，再在新知识的形成过程中设置认知冲突，激发学生解决问题的欲望，让学生在新旧知识的比较中找出共同点与区别点，顺利的完成正迁移。例如，在教学“分数的意义”时，我先让学生说一说分数的意义。面对这一开放性的问题，学生思路开放。有的说，表示把1块地平均分成3份，有这样的2份；有的说，表示把一堆苹果平均分成3份，有这样的2份„„我由此追问：“怎样把同学们的说法统一起来？”通过由放到收，引入了单位“1”的概念。接着，我步步“相逼”，先让学生说的意义，再说的意义，从而引出了“平均分成若干份”“有这样的若干份”，最后顺利地概括出分数的意义。在上面教学片断中，教师层层递进地设置认知冲突，使学生对分数意义的理解逐步由零碎到完整、由局部到整体、由模糊到清晰。

四、在生活经验与科学概念的矛盾处设置认知冲突

学生在进入课堂学习时头脑中已经存在大量、丰富的生活经验，它们是学习数学知识、解决数学问题的基础。同时，学生的经验中有些可能是错误的、与科学概念相矛盾。教师在教学时可以挖掘教材内容，联系日常的知识经验，从那些与科学概念矛盾的生活经验引发学生的认知冲突。这样可以激发学生学习的兴趣，让学生真正地从生活走进数学，创设了通过数学知识的学习，能够学会用数学的思维方式去观察分析生活、社会的问题，矫正生活中错误经验的教学的最佳时机。例如：在教“中位数”时，我是这样设置认知冲突的，屏幕演示 某次数学考试，小芳得到78分。全班的平均分为77分。小芳告诉妈妈说，自己这次成绩在班上处于“中上水平”。师：阅读了以上信息。你认为小芳所言她的成绩处于班级的“中上水平”一定属实吗? 可以把你的想法与同伴交流，也可以对你的想法自行验证。(学生活动，争论激烈。观点碰撞频发。)生1：我认为，既然小芳的成绩78分比全班的平均分77分还多出1分，就说明她的成绩确实是班里的“中上水平”。师：你们同意这位同学的意见吗?(小部分学生表示同意，一部分学生表示不赞同，多数学生尚未思考清楚没有表态。)师：看来大家意见不太一致。(在老师的预设之中)生(齐)：是的。师：我们就先来说说你们所理解的平均分(77分)在班里相当于什么水平。生(众)：中等水平。师：按你们的理解，高于平均分就应属于中上水平，低于平均分就应属于中下水平。生：应该是这样。(学生认为“平均分”与“中等水平”是等值的，连持反对意见或保持沉默的学生也转变了态度。)师：果真是这样吗?想不想知道小芳班里考试成绩的真实情况? 生：当然想!(急于验证自己的猜想是否正确)师：那么，就请看吧!(屏幕演示)全班共30人，其他同学的成绩为： 1个100分，4个90分，22个80分。1个lO分 1个2分。师：有什么想法?小芳的成绩在班上实际排列第几?(营造的情景带给学生巨大的认知冲突。)生：倒数第四。师：以你们刚才的观点，就等于你们认可了一个倒数第四位的成绩处于班上的“中上水平”?从而引入课题。

五、在直觉与客观事实的矛盾处设置认知冲突

学生在活动或认知的过程中，不是被动地等待结果，而是能动地对行为的结果做出预期，而行为的实际结果与人的预期有时是不一致的。我们将这种情况称为直觉与实际呈现的客观事实的矛盾。如果学生现有的认知与现实之间发生冲突，学生的猜测与实验结果产生冲突，学生就可能产生高涨的热情；如果学生的想法与事实发生冲突，那么他就有可能不断地自发修正自己的观点；如果学生的猜测是建立在现有认知水平及生活经验基础上的，那么他们就可能产生争论的冲动，因此，教师应该立足于学生的客观实际，从学生的非智力因素入手，推动冲突的顺利创设。[3]进而激发学生强烈的探究欲望，为教师进行的教学创设最佳时机。例如：在教学圆锥体积公式时，我首先分组，让每一组自己选择试验用学具，当通过实验得出：“圆锥的体积是圆柱的1/3”这。接着，教师拿出一个“巨大”圆锥，放在刚才实验用的圆柱体旁边（大小对比极其鲜明），教师问：“前面大家的结论正确吗？”这一演示，一提问，再一次一结论时，教师问：“大家都得出这个结论吗？”全体同学都肯定的说：“对”激发了学生的学习兴趣，通过研究，学生发现：等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积等于圆柱体积的1/3，这一正确结论。

可见，教学中认知冲突的设置激发了学生的求知欲，引发学生新的学习需要，是创设教学最佳时机的良策，而且有助于学生更新或建构新的知识体系，提高教学的效率。但我们还要谨记居里夫人的话：“弱者坐待时机，强者制造时机”，教学中的认知冲突不是一直都很明显地摆在我们眼前，很多是隐含在教材中的，需要教师用智慧去激活它。因此，希望教师在清楚什么是认知冲突的基础上，平时能多从学生的认知规律、知识经验等方面出发，善于挖掘教材中新知识与旧知识的矛盾、生活经验与科学概念的矛盾、直觉与客观事实的矛盾，巧设认知冲突，创设教学最佳时机，让学生能够更好地学习，更新知识体系，提高教学效率