第一篇：二面角练习课
二面角练习课
教学目标
1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；
2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力． 教学重点和难点
重点：使学生能够作出二面角的平面角；
难点：根据题目的条件，作出二面角的平面角． 教学设计过程
重温二面角的平面角的定义．
（本节课设计的出发点：空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何问题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步．可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益．这正是本节课要解决的问题．）
教师：二面角是怎样定义的？
学生：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角． 教师：二面角的平面角是怎样定义的？
学生：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
教师：请同学们看右图．
如图1：α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征：
（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；
另外，如果在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征．
（3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的环境背影．
由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的定位可化归为“定点”或“定线”的问题．
特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”．耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背影互相沟通，给计算提供方便．
例1 已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．
分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．（图2）
正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量创造了得天独厚的条件．
特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．（如图3）
由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”．
例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．
在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，课堂练习
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．
练习1的环境背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征（2）可知，这两个二面角的大小必定互补．
为创造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1（或OC1）即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何体呈现几个面？
分析：这道题，考生答“7个面”的占99.9％，少数应服从多数吗？
从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要．
本题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的广阔性和批判性．
如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点．
OP延长过A，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特征（1），（2），可得VAOR为平行四边形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．
同理V，A，C，D共面．
所以这道题的正确答案应该是5个面．
（这一阶段的教学主要是通过教师精心设计的一组例题与练习题，或边练边评，或由学生一鼓作气练完后再逐题讲评，达到练习的目的．其间要以学生“练”为主，教师“评”为辅）
由例
1、例2和课堂练习，我们已经看到二面角的平面角有三个特征，这三个特征互相联系，客观存在，但在许多问题中却表现得含糊而冷漠，三个特征均藏而不露，在这种形势下，需认真探索．探索体现出一完整的三垂线定理的环境背景，有了“垂线段”，便可以定位．
例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．
分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．
略解：如图10．
在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1． 延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，则∠HKE为所求二面角的平面角．
在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值
教师：有时我们也可以不直接作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小．
例如我们可以使用平移法．由两平面平行的性质可知，若两平行平面同时与
显见平面FGH∥平面A′B′C′D′．
则二面角B′-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数．
过G作GM⊥HF，垂足为M，连B′M，由三垂线定理知B′M⊥HF．
所以∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大小． 例4 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a． 求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．
分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线． 解：因为 AB∥CD，CD平面CPD，AB平面CPD． 所以 AB∥平面CPD．
又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．
所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．
因为 AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l． 过P作PE⊥AB，PE⊥CD．
因为 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角． 因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为 E，F分别是AB，CD的中点，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确理解其定义的基础上，掌握其基本特征，并灵活运用它们考察问题的背景．
我们已经看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此寻找“垂线段”，把问题化归是十分重要的．
作业
1．120°二面角α-l-β内有一点P，若P到两个面α，β的距离分别为3和1，求P到l的距离．
2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．
第二篇：复习讲义—二面角复习课
复习讲义（4）二面角复习课
一、教学目标：1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；
2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力．
二、重点和难点：使学生能够作出二面角的平面角；根据题目的条件，作出二面角的平面角．
三、教学过程
1．复习二面角的平面角的定义．
空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何问题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步．可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益． 看右图．
如图1：α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征：
（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；
另外，如果在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征．
（3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的条件背景． 特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”．耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题的条件背景互相沟通，给计算提供方便． 例1 已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．
分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．（图2）
正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量创造了得天独厚的条件． 特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．（如图3）
由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”． 例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．
这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”．
如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变．但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．
由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角． 另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了可能．
在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角．“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量．
特征（3）显示，如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l．此时，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如图6），由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”． 课堂练习
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．
练习1的条件背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征（2）可知，这两个二面角的大小必定互补．
为创造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1（或OC1）即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何体呈现几个面？
分析：这道题，学生答“7个面”的占99.9％，少数应服从多数吗？
从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要．
本题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的广阔性和批判性．
如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点．OP延长过A，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特征（1），（2），可得VAOR为平行四边形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以这道题的正确答案应该是5个面．
例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．
分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．
略解：如图10．在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1．
延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，则∠HKE为所求二面角的平面角．
在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值
注：我们也可以不直接作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小．我们可以使用平移法．由两平面平行的性质可知，若两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角时，可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置，以便等价地作出该二面角的平面角．
略解：过F作A′B′的平行线交BB′于G，过G作B′C′的平行线交B′E于H，连FH． 显见平面FGH∥平面A′B′C′D′．则二面角B′-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数．过G作GM⊥HF，垂足为M，连B′M，由三垂线定理知B′M⊥HF．
所以∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大小． 例4 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a． 求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．
分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线． 解：因为 AB∥CD，CD平面CPD，AB平面CPD．
所以 AB∥平面CPD．又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．
所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角． 因为 AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．过P作PE⊥AB，PE⊥CD．因为 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．
因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为 E，F分别是AB，CD的中点，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确理解其定义的基础上，掌握其基本特征，并灵活运用它们考察问题的背景．我们已经看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此寻找“垂线段”，把问题化归是十分重要的．
四、作业：
1．120°二面角α-l-β内有一点P，若P到两个面α，β的距离分别为3和1，求P到l的距离．
2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．
第三篇：复习讲义—二面角复习课
复习讲义（4）
二面角复习课
一、教学目标：1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；
2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力．
二、重点和难点：使学生能够作出二面角的平面角；根据题目的条件，作出二面角的平面角．
三、教学过程
1．复习二面角的平面角的定义．
空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何问题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步．可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益．
看右图．
如图1：α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；OD
β，且OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征：
（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；
另外，如果在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征．
（3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的条件背景．
特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”．耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题的条件背景互相沟通，给计算提供方便．
例1 已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．
分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．（图2）
正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而
且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量创造了得天独厚的条件．
特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．（如图3）
由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”．
例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．
这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”．
如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变．但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．
由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．
另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了可能．
在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角．“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量．
特征（3）显示，如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l．此时，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如
图6），由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”．
课堂练习
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．
练习1的条件背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征（2）可知，这两个二面角的大小必定互补．
为创造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1（或OC1）即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何体呈现几个面？
分析：这道题，学生答“7个面”的占99.9％，少数应服从多数吗？
从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要．
本题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的广阔性和批判性．
如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点．OP延长过A，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特征（1），（2），可得VAOR为平行四边形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以这道题的正确答案应该是5个面．
例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶
FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．
分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．
略解：如图10．在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1．
延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，则∠HKE为所求二面角的平面角．
在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值
注：我们也可以不直接作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小．我们可以使用平移法．由两平面平行的性质可知，若两平行平面同时与 到的一个二面角．
因为 AB∥平面CPD，AB
平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．过P作PE⊥AB，PE⊥CD．因为 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．
因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为 E，F分别是AB，CD的中点，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确理解其定义的基础上，掌握其基本特征，并灵活运用它们考察问题的背景．我们已经看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此寻找“垂线段”，把问题化归是十分重要的．
四、作业：
1．120°二面角α-l-β内有一点P，若P到两个面α，β的距离分别为3和1，求P到l的距离．
2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．
第四篇：线面垂直面面垂直及二面角专题练习
线面垂直专题练习
一、定理填空：
1.直线和平面垂直
如果一条直线和，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理 线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理1：如果两条平行线中的一条于一个平面，那么判定定理2：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么.性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线.二、精选习题：
1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：
①a//baMaMa//Mb∥M④bM②a//b③b⊥M.abaMbMab
其中正确的命题是()
A.①②B.①②③C.②③④D.①②④
2.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有()
第3题图
A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF
3.设a、b是异面直线，下列命题正确的是()
A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交
B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直
C.过a一定可以作一个平面与b垂直
D.过a一定可以作一个平面与b平行
4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()
A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ
5.有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直
其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.36.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题
① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题的序号是()．．．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④
7.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.求证:VC⊥AB;
8.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．
10.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.面面垂直专题练习
一、定理填空
面面垂直的判定定理：
二、精选习题
1、正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角等于
2、三棱锥PABC的三条侧棱相等，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的____心.3、一条直线与两个平面所成角相等，那么这两个平面的位置关系为______________
4、在正三棱锥中，相邻两面所成二面角的取值范围为___________________
5、已知l是直二面角，A,B,A、Bl，设直线AB与成30角，AB=2，B
到A在l上的射影N，则AB与所成角为______________.6、在直二面角AB棱AB上取一点P，过P分别在,平面内作与棱成 45°角的斜线PC、PD，则∠CPD的大小是_____________
7、正四面体中相邻两侧面所成的二面角的余弦值为___________________.二、解答题：
8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中.求证：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D
DA
1D
B1
C1
C
A
B10、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：平面PAC⊥平面PBC．
BAC11、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．
BA
C
二面角练习1210
1.正方体ABCD－A1B1C1D1中,二面角A－BD1－C的大小是（）A.52B.C.D.632
32.边长为a的正三角形中，AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B－AD－C后，BC=
a，这时二
2面角B－AD－C的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°
3.以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高为折痕，将△ABC折起，若折起后的三角形ABC为等边三角形，则二面角C－AD－B的大小为（）
A.30°B.60°C.90°D.120°
4在空间四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，E、F、G分别 是AC、AD、CA的中点。求证：平面BEF
^平面BEG。
性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.。
二面角的基本求法
(1)定义法：在棱上取点，直。
9．SA^平面ABC，AB^BC，SA=AB=BC，（1）求证：SB^BC；（2）求二面角S-BC-A和C-SA-B的大小；
（3）求异面直线SC与AB所成角的余弦值。
10.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面角A-B1C-A1的大小；（2）平面A1DC1与平面ADD1A1所成角的正切值。
11.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角A-BD1-P的大小。
(2)．三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平垂直。
12．平面ABCD^平面ABEF，ABCD是 矩形且AF=
AD=a，G是EF2
A
平面AGC^平面BGC；（2）求GBB
角的正弦值；
（3）求二面角B-AC-G的大小。
13．点P在平面ABC外，ABC是等腰直角三角形，?ABC
（1）求证：平面PAB^平面APA^BC。PAB是正三角形，（2）求二面角P-AC-B的大小。
（3）．垂面法
14.将一副三角板如图拼接，并沿BC折起成直二面角，设AB=AC=a, ∠BAC=∠DCB=90°,∠DBC=30°,求二面角B－AD－C的大小 及二面角C－AB－D的正切值。
C
第五篇：高中数学教案：二面角复习课
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二面角复习课
一、教学目标：
1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；
2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力．
二、重点和难点：使学生能够作出二面角的平面角；根据题目的条件，作出二面角的平面角．
三、教学过程
1．复习二面角的平面角的定义．
空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何问题的关键在于做好：定性分
析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化．在
面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步．可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导
致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益．
看右图．
如图1：α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任 意一点，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l． 这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面 角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征：（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；
另外，如果在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征．（3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的条件背景． 特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”．耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题的条件背景互相沟通，给计算提供方便．
例1 已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．
分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．（图2）
正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给 进一步定量创造了得天独厚的条件． 特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l 垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β 的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．（如图3）由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”．
例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com
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A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．
这是一道由平面图形折叠成立体 图形的问题，解决问题的关键在于搞 清折叠前后的“变”与“不变”．
如果在平面图形中过A作 AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE与BD的垂直关 系不变．但OA与OE此时变成相交
两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．
由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．
另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了可能．
在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角．“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量．
特征（3）显示，如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连 结OB，由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l．此时，∠AOB就 是二面角α-l-β的平面角．（如图6），由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”．
课堂练习
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．
练习1的条件背景表明，面B1D1E
与面BB1C1C构成两个二面角，由特
征（2）可知，这两个二面角的大小
必定互补．
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为创造一完整的三垂线定理的环境背
景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交
B1E于O，然后连结OD1（或OC1）即得面
D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何
体呈现几个面？
分析：这道题，学生答“7个面”的占99.9％，少数应服从多数吗？
从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．掌握这种关系对提高解
题技能和培养空间想象能力非常重要．
本题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维
的广阔性和批判性．
如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足
P，Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为
BC的中点．OP延长过A，OQ延长交ED于R，考
虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角
A-BC-R的平面角，结合特征（1），（2），可得VAOR
为平行四边形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同
理V，A，C，D共面．所以这道题的正确答案应该
是5个面．
例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．
分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．
略解：如图10．在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1．
延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，则∠HKE为所求二面角的平面角．
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在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH．
又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值
注：我们也可以不直接作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小．我们可以使用平移法．由两平面平行的性质可知，若两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角时，可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置，以便等价地作出该二面角的平面角．
略解：过F作A′B′的平行线交BB′于G，过G作B′C′的平行线交B′E于H，连FH．
显见平面FGH∥平面A′B′C′D′． 则二面角B′-FH-G的平面角度数等于
所求二面角的度数．
过G作GM⊥HF，垂足为M，连B′M，由三垂线定理知 B′M⊥HF．所以∠B′MG为二面角 B′-FH-G的平面角，其大小等于所求 二面角平面角的大小．
例4 已知：如图12，P是正方形ABCD所在
平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．
求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值． 分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出
两个平面的交线． 解：因为 AB∥CD，CD
平面CPD，AB
平面CPD．
所以 AB∥平面CPD．又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．
所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角． 因为 AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．过P作PE⊥AB，PE⊥CD．因为 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．
因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为 E，F分别是AB，CD的中点，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com
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小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确理解其定义的基础上，掌握其基本特征，并灵活运用它们考察问题的背景．我们已经看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此寻找“垂线段”，把问题化归是十分重要的．
四、作业：
1．120°二面角α-l-β内有一点P，若P到两个面α，β的距离分别为3和1，求P到l的距
离．
2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．
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