二面角教案

第一篇：二面角教案

二面角教案

教学目标

1．使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步运用它解决实际问题；

2．引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力．

教学重点和难点

本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念； 本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程． 教学设计过程

教师：在平面几何中“角”是怎样定义的？

学生：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角．

教师：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？

学生；直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

它们的共同特征是都是将三维空间的角转化为二维空间的角． 教师：请同学们观察下面的几个问题．

（当教师说完上述话后，利用多媒体技术，让学生通过计算机看两个例子）例子之一：

镜头一：淡蓝色的地球．（图片）

镜头二：火箭发射人造地球卫星．（录相）

镜头三：人造地球卫星绕地球旋转，最后画出卫星的轨道平面和地球赤道平面．

让学生观察这两个平面相交成一定的角度． 例子之二：

镜头一：人走在坡度不太大的桥上．（录相）镜头二：人在爬山．（录相）镜头三：攀岩运动．（录相）

镜头四：演示下面动态图象．（让水平面静止不动，坡面在不断变化，目的是让学生看到，在生活实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形）

（注意：四个镜头要连续编排在一起进行演示，时间一分钟）

教师：如何给二面角下定义呢？下面我们用类比的办法，与角的概念对比，探讨二面角的定义．

这一段教学采用计算机辅助手段，每一个问题分三步完成，首先给出平面角的问题，然后请学生思考并回答二面角的问题，最后计算机显示正确结果．这部分共有四个问题，全部研究完毕后，将整个过程列成一个总表，显示在屏幕上．

教师：请看角的图形，思考二面角的图形． 学生可以将自己画的图展示给大家． 计算机显示：二面角的图形．

教师：（给出平面角的定义）请同学们给二面角下定义． 显示：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形． 学生：（口答）

计算机显示：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形． 教师：平面角由射线—点—射线构成．二面角呢？ 学生：二面角由半平面—线—半平面构成． 教师：平面角表示法：∠AOB． 二面角表示法 α-a-β或α-AB-β． 最后计算机显示整个过程．

教师：经过上面的研究我们已经看到，平面上的角，可以看作是一条射线绕其端点旋转形成的图形；类似地，一个半平面绕其界线旋转到一定位置所得到的图形，就是二面角．

教师：二面角与平面内的角一样，是可以比较大小的，其比较方法，与平面内的角的大小的比较方法类似．

（教师让学生打开书本）

打开书本的过程，给我们一种二面角的大小连续变化的形象．（前面看到的爬山问题也是如此）

教师：用量角器可以量出平面内的角的大小，能否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢？

比如，这里有一个对顶量角器和一个三角木块（直三棱柱）模型，你们能用我们自制的对顶量角器来量出三角木块模型的某两面角的大小吗？比如平面α与β的夹角？

教师：一般地说，量角器只能测量“平面角”（指两条相交直线所成的角．相应地，我们把异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，均称为空间角）那么，如何去度量二面角的大小呢？我们以往是如何度量某些角的？

学生：分别通过“取点、平移（相交）”（对异面直线所成的角）与“斜线的射影（相交）”（对斜线与平面所成的角）去度量的．

教师：这些做法的共同点是什么？ 学生：都是将空间角化为平面角．

教师：对！再回到刚才的量角操作，你是怎样用对顶量角器去量二面角α-l-β的大小呢？

学生：将对顶量角器的一个角的两边靠紧二面角的两个面，角的顶点则在二面角的棱上．

教师：大家注意，实际上同学们量的是一个平面内的角：∠BAC．这个角的顶点在二面角的棱上，它的两边分别在二面角的两个面内且与棱垂直．而且对于确定的二面角，这样的角的大小是唯一的，确定的，我们把它叫做二面角的平面角．

（对于训练有素，肯于思考的学生可能会提出下面的问题）

学生：若以棱a上任意一点O为端点，在两个面内作与棱成等角θ′（0°＜θ′＜90°）的两条射线OA′，OB′，由空间等角定理知，∠A′OB′也是存在且唯一的，为什么不用这样的角定义二面角的平面角？

教师：记∠AOB=θ，∠A′OB′= ．当OA′，OB′在平面AOB同侧时θ＞ ；当OA′，OB′在平面AOB异侧时θ＜ ．请看图6：

设 A′P′=a，A′P=b，A′B′=x 由余弦定理，得：

x2=b2+b2-2b2cos =2b2（1-cos），x2=a2+a2-2a2cosθ=2a2（1-cosθ），当OA′，OB′在平面AOB的同侧时，若用∠A′OB′= 表示二面角的大小，由（*）知，与θ之间会有常数关系，这将给表示，尤其是计算、应用带来诸多不便；另外，若用∠A′OB′= 表示二面角的大小，当平面α⊥平面β时；

≠90°，当半平面α与半平面β在同一平面时，=2θ′≠180°，都与已有知识和经验不符，不能直观反映出空间两个相交平面的相对位置关系。

教师板书二面角的平面角的定义．

定义 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

教师：“二面角的平面角”的定义三个主要特征是什么？ 学生：过棱上任意一点（0∈a），分别在两个面内作射线（OA β），射线垂直于棱（OA⊥a，OB⊥a）．

α，OB

教师：经过上面的研究我们看到，二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．

教师：许多立体几何问题，若能正确地作出图形，则问题就便于解决．若能正确地作出二面角的平面角乃是解决这类问题的关键步骤．下面我们总结一下作二面角平面角的几种基本方法．如何利用定义作二面角的平面角呢？

学生：在二面角的棱a上任意取一点O为端点，在面α，β内分别引垂直于棱a的两条射线OA，OB，则∠AOB为该二面角的平面角．

教师：如何利用三垂线定理作二面角的平面角呢？

学生：在二面角α-a-β的面α上任取一点A，过A分别作棱a和另一面β的垂线AO和AB（O，B分别是垂足），连BO；或者过A作面β的垂线AB，又过垂足B引棱a的垂线BO，连AO；则∠AOB为该二面角的平面角．

教师：能否用作垂面的办法作二面角的平面角呢？

学生：过二面角的棱a上任一点O，作平面γ与该棱垂直（作棱的垂面），平面γ与α，β分别交于OA，OB，则可用∠AOB来度量二面角α-a-β的大小．

教师：下面我们研究一道例题．

题目：如图11，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？

（投影打出下图）

（此例是一个实际应用问题，难度较低，一般不易引起人们的注意，但教师应深入思考，讲清下面几点）

分析：

1．建模过程

此例的求解首先要对实际图形作出想象理解，然后在教学中抽象出数学模型．虽然建模过程难度较低，但教学中应主要向学生渗透建模的思想和增强学生对立体几何中一些基本图形的认识与理解．

设过AB的水平面为α，坡面DAB所在的平面为β，CD=100m．

本题要求“升高了多少米”？即是求点D到水平面α的距离DH．这自然会想到解直角三角形DHC，但该直角三角形不可解，故必须另寻途径．（如图，利用计算机显示在屏幕上）

再看看给出的条件，已知二面角α-AB-β是60°，如何作出它的平面角呢？过D在平面β内作DG⊥AB，G是垂足，再连结HG，则根据三垂线定理，可得HG⊥AB，则∠DGH就是该二面角的平面角，即∠DGH=60°．再根据∠DCH=30°及直角三角形DGH和DCG的边角关系，就可以求出DH．

2．提炼方法

此例的求解是应用三垂线定理作二面角的平面角的典型例子，也是立体几何的一个基本方法．为了强化此法，应在本节练习中配套出相应的题目．这表明在教学中加强对基本方法的提炼、理解是很有必要的，也是加强通法教学的具体表现．

练习：

①在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是a，求它到棱的距离．

②把边长为a的正方形ABCD以BD为轴折叠，使二面角A-BD-C成60°的二面角，求A、C两点的距离．

3．导出等式 在图12中，不妨从一般性出发，记∠DCH=θ1，∠DCG=θ2，∠HCG=θ3，∠DGH=θ．引导学生从例题图形中推导出等式：

①sinθ1=sinθ2sinθ； ②cosθ2=cosθ1cosθ3．

这样的练习既锻炼了学生的动手能力，还揭示了例题的引申功能，使例题的作用突出，导向明确，极有利于学生对知识串联、累积、加工，从而达到举一反三的作用．

sinθ1=sinθ2sinθ．

cosθ2=cosθ1cosθ3．

4．挖掘引申

教师在学生导出等式①，②后，把课堂教学进一步引向深入，对等式①，②作出说明与解释．

由等式①可得sinθ1≤sinθ，即θ1≤θ，说明沿山坡直道CD上山时与水平面所成的角θ1不大于山坡的倾斜度，这使例题的实际性增强，又使学生在教学过程中对数学知识与实际生活进行比较、联系、评价，突出了数学应用的广泛性，进一步强化了学生的应用意识，从而有利于学生数学素养的提高．

小结

1．空间的“二面角”，是平面几何中角的概念在空间中的拓广．处理问题的思想方法是将“空间的角”转化为“平面的角”来处理．定义的原则是：这个“平面角”的大小必须是由空间的角完全确定而且是唯一的．

2．凡是涉及到二面角的几何问题，都要根据题目的条件，在图形的恰当位置作出二面角的平面角，主要方法有“定义法”，“应用三垂线定理”和“作垂面”的方法．我们将在下一课做进一步的研究．

布置作业 1．阅读课本．

2．正四面体ABCD，求侧面与底面所成二面角的大小的余弦值． 3．如果两个二面角的两个面对应平行，那么这两个二面角相等或互补． 课堂教学设计说明

本节课属于新授课型．应主要把握下述几个方面．

1．要有良好的铺垫．数学教学的过程，实质上就是原有认知结构不断地同化或顺应的能动过程．学生原有的认知结构，始终是关系迁移功能的一个关键的因素．为了有效迁移和建构，就应认真寻找和了解学生的原认知，及时组织改造和唤起这些关键因素，为学习新的知识提供基础．主要要做到三个方面的铺垫：（1）知识性铺垫．（2）技能性铺垫．（3）原理性铺垫．

2．抓着新知识的导入点．新课导入就是在新旧问题之间架起一座“认知桥梁”，从而顺利实现迁移．导入时要寻求新旧问题的最短距离，要瞄准新旧关系的最佳方位，要把握新旧转换的最精确表达．

3．新授课的重点是新授．新授是一堂课的重要环节，也是学生思维最活跃、最紧张、最有效的认知高潮．因此，新授过程应确保在教学中的最佳时域进行．要让学生有观察、动手、表达、思考、交流、表现等时机，让学生真正成为学习的主人，主动地和生动地进行认知建构．

4．做好课堂巩固．巩固的主要目的就是帮助学生建立起关于某道范例的思维模式，形成积极有益的认知定势作为学习优势去解决实际问题．这样的巩固练习，不能单纯停留于对范例的模仿上，而应恰当地变换形式或角度，集中突破教学难点和重点．

5．做好作业的选题、批改、订正、讲评，进一步提高学习质量．

第二篇：教案-二面角的求法

教学目标：

学会用不同方法求二面角

知识归纳：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面)。二面角的大小可以用它的平面角度来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是直角的二面角叫做直二面角。

例题讲解：

一、定义法：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S-ABCD

AD=2，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，ABM

求二面角S-AM-B的大小。ABCD为矩形，SD底面ABCD，=60°（I）证明：M在侧棱SC的中点（II）

练习1（2008山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，ABC=60,E，F分别是BC, PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H为PD上的动

6点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为2，求二面角E—AF—C的余弦值.分析：第1题容易发现，可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平面APD，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边SE与SC，进而计算二面角的余弦值。

二、三垂线法

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角B-FC1-C中半平面BFC上的一已知点B作另一半平面FC1C的垂线，得垂足O；再过该垂足O作棱FC1的垂线，得垂足P，连结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度数。

例2．(2009山东卷理)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。（1）证明：直线EE1//平面FCC1；（2）求二面角B-FC1-C的余弦值。

练习2（2008天津）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形． 已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=22,PAB=60（Ⅰ）证明AD平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角P-BD-A的大小．

分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD⊥平面PAB后，容易发现平面PAB⊥平面ABCD，点P 就是二面角P-BD-A的半平面上的一个点，于是可过点P 作棱BD的垂线，再作平面ABCD的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。



三、补棱法

本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决

例3（2008湖南）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.分析：本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD、BE相交于点F，连结PF.）再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。

练习3已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60的角，侧面BCC1B1⊥底面ABC。

（1）求证：AC1⊥BC；

（2）求平面AB1C1与平面 ABC所成的二面角（锐角）的大小。

提示：本题需要补棱，可过A点作CB的平行线L

o

四、射影面积法（cosq=S）S

S）求出二面角的大小。S

PCAB（Ⅱ）求二面角凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos例4．（2008北京理）如图，在三棱锥

P-ABCAC=BC=2，ACB=90，AP=BP=AB，PCACo

B-AP-C的大小；

分析：本题要求二面角B—AP—C的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP与平面ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与S射 于是得到下面解法。

练习4： 如图5，E为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值.分析平面AB1E与底面A1B1C1D1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形AB1E在平面A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。

五、向量法

向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。

例4：（2009天津卷理）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=1AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证

2明平面AMD平面CDE； 求二面角A-CD-E的余弦值

练习

5、（2008湖北）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC侧面A1ABB1.（Ⅰ）求证：ABBC（Ⅱ）若直线AC与平面1ABC所成的角为,二面角A1-BC-A的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同的解题技巧

第三篇：“二面角”教学设计

“二面角”教学设计

一、教学内容解析

“二面角”在人教版新课标教材《必修2》第二章第三节第二小节的一个子内容，它的主要用途在于去定义两平面垂直关系，同时它也是继讨论了直线与直线所成的角、直线与平面所成的角之后的另一种自然的空间角。在《必修2》中教材没有例题进行二面角的计算，只是在小节习题中以正方体为背景设计了一个题，在《选修2-1》的第三章第二节中教材着重的加强了利用空间向量的工具去解决二面角的计算。

“二面角”的内容在以前的大纲版教材中是专设一节来进行详细的介绍，以及对二面角平面角的找寻进行了细致的划分，诸如：定义法，三垂线定理法等。对比两个版本教材的编写情况可以看出，本节在新课程中主要起到的作用是更好地理解两平面垂直的关系，而且对前面两者——直线与直线的垂直，直线与平面的垂直起着衔接和完善整个关系体系的作用。

故而，“二面角”这节的重点应该是理解概念，以及通过学习本节让学生在各自的思维中构建整个知识脉络，建立相关关系。

二、教学目标设置

在《说明》中对《必修2》教材第二章“点、直线、平面之间的位置关系”的目标设置为能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，以及以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。

又在《说明》中对《选修2-1》教材第三章“空间向量与立体几何”的目标设置为能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，足以见得，对于二面角这个子内容的作用就是过渡，提出面面垂直的定义。

故而，在本节我设计的目标要求如下：

（1）引导学生探索和研究两平面垂直应该如何定义，在概念形成的过程中，使得学生认同学习“二面角”概念的必要，并发展学生的思维。

（2）在经历概念形成的过程中去理解二面角平面的作法，并掌握。

三、学生学情分析

在学习“二面角”之前，学生已经学习了空间中两直线的垂直定义，两直线所成角的定义，直线与平面垂直的定义和直线与平面所成角的定义，至此学生已经具备一定的空间想象力和概括能力，在这里很自然的能够联想到缺少了两个平面垂直的关系，两个平面的垂直是生活中常见的形式，学生能够去感受，而数学是严格的，也就自然会想该怎样去定义这种关系，根据前两种关系从“角度”出发的描述形式，“二面角”是呼之欲出，是势在必然。

不过这其中的矛盾就在于角是能够观察出图形，关键在于怎样去计算“二面角”的大小，它的大小又是用哪个角去代替，两面中有很多的线，哪个线更直接，更方便，教学的难点就在这里，是要让学生达成共识，对二面角的平面角的“代表性”进行认同。

四、教学问题诊断分析

学生对“二面角”学习的必然性能够水到渠成，但在其中的确切定义的理解会出现差异，从名称可以看出应是两个平面组成的角，但实际是两个半平面，而且在寻找到二面角平面角后，对平面角的认同也会存在着一定的误区，就是忽略两个半平面内的射线需垂直于棱。本节知识没有理解的难点，因为有具体的空间为想象的基础，只是在其中有需要去具体细化的概念。

五、教学过程 1．课题引入

首先让学生一起来回顾一下前面刚学习的直线与平面垂直的判定定理，再让学生去回顾直线与平面垂直的定义，直线与直线垂直的定义，在两直线垂直的定义中可以发现是从90º角去定义的，再唤起学生对直线与平面所成角定义的印象，即直线与平面垂直是可以从90º的线面角去描述的，从而引出新课题从哪个角度去定义两平面垂直。2．探究二面角的定义

先展示两个平面相交的图形，如图①，从图中就可以感受到有四个角的形式，而且从大小的方面也可以体会到有对顶角相等的情况，借此机会教师提出疑问，什么时候才能够说对顶角，当然是在两直线相交的情况，所以教师通过软件从不同的角度去观察两个平面相交的情形，就会有如图②的情况。

图②

图①

面缩成了直线，线变成了点，那就会有角的真实存在了，既然换一个观察角度可以把两个平面所成的角变成平面角，那么“二面角”的定义就可以类比到平面角的定义，借此教师引导学生回忆平面中的角的定义从而自然得到“二面角”的定义。

再类比平面中角的表示法自然得到“二面角”的表示形式。3．探究二面角平面角的定义

平面中的角是有大小的，而且两个平面的展开形式也有所不同，有的大，有的小，所以“二面角”的也应该有大小。问题就来了，“二面角”的大小该用哪个角去表示呢？用一点时间让学生像刚才一样利用身边的工具——课本，打开课本就可以形成一个“二面角”，然后从不同的角度去观察变化过程中有哪个平面角与之相对应。

教师就利用软件展示一个动态的过程，形成统一的认识，如图③。

图③

再让二面角的其中一个半平面绕着棱进行旋转变化，观察“二面角”与∠POQ的变化对应关系可以发现它们的对应关系，后引导学生观察∠POQ的特征，故而给出“二面角”平面角的具体概念。

4．对比其他空间角的度量形式

异面直线所成的角是学生进入立体几何的第一类空间角，它的定义是通过平移让直线相交后所形成的角为异面直线的角，在空间中从不同角度观察两异面直线，便可得到如图④。

从图中可以观察出，“二面角”平面角的找寻实际也是自然的。

图④ 5．完善点、直线、平面垂直关系

有了描述两个平面角度形式的“二面角”后，那么就可以从90º去定义两个平面的垂直，同时也就完善了整个关系体系，即每种垂直关系都可以从各种形式的角为90º去描述，对比直线与直线平行。直线与平面平行，平面与平面平行一样都可以从无交点去描述。

第四篇：二面角练习课

二面角练习课

教学目标

1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力． 教学重点和难点

重点：使学生能够作出二面角的平面角；

难点：根据题目的条件，作出二面角的平面角． 教学设计过程

重温二面角的平面角的定义．

（本节课设计的出发点：空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何问题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步．可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益．这正是本节课要解决的问题．）

教师：二面角是怎样定义的？

学生：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角． 教师：二面角的平面角是怎样定义的？

学生：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

教师：请同学们看右图．

如图1：α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征：

（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征．

（3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的环境背影．

由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的定位可化归为“定点”或“定线”的问题．

特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”．耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背影互相沟通，给计算提供方便．

例1 已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．

分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．（图2）

正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量创造了得天独厚的条件．

特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．（如图3）

由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”．

例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，课堂练习

1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

练习1的环境背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征（2）可知，这两个二面角的大小必定互补．

为创造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1（或OC1）即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何体呈现几个面？

分析：这道题，考生答“7个面”的占99.9％，少数应服从多数吗？

从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要．

本题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的广阔性和批判性．

如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点．

OP延长过A，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特征（1），（2），可得VAOR为平行四边形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．

同理V，A，C，D共面．

所以这道题的正确答案应该是5个面．

（这一阶段的教学主要是通过教师精心设计的一组例题与练习题，或边练边评，或由学生一鼓作气练完后再逐题讲评，达到练习的目的．其间要以学生“练”为主，教师“评”为辅）

由例

1、例2和课堂练习，我们已经看到二面角的平面角有三个特征，这三个特征互相联系，客观存在，但在许多问题中却表现得含糊而冷漠，三个特征均藏而不露，在这种形势下，需认真探索．探索体现出一完整的三垂线定理的环境背景，有了“垂线段”，便可以定位．

例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．

略解：如图10．

在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1． 延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，则∠HKE为所求二面角的平面角．

在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

教师：有时我们也可以不直接作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小．

例如我们可以使用平移法．由两平面平行的性质可知，若两平行平面同时与

显见平面FGH∥平面A′B′C′D′．

则二面角B′-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数．

过G作GM⊥HF，垂足为M，连B′M，由三垂线定理知B′M⊥HF．

所以∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大小． 例4 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a． 求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．

分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线． 解：因为 AB∥CD，CD平面CPD，AB平面CPD． 所以 AB∥平面CPD．

又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．

因为 AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l． 过P作PE⊥AB，PE⊥CD．

因为 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角． 因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为 E，F分别是AB，CD的中点，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确理解其定义的基础上，掌握其基本特征，并灵活运用它们考察问题的背景．

我们已经看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此寻找“垂线段”，把问题化归是十分重要的．

作业

1．120°二面角α-l-β内有一点P，若P到两个面α，β的距离分别为3和1，求P到l的距离．

2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．

第五篇：《二面角的概念》说课稿

《二面角的概念》说课稿

一、说教材

二面角的概念是普通高中课程标准人教A版数学必修2第2章第3节两个平面垂直的判定中的内容。它是在学生学习了异面直线所称的角、直线与平面所成的角之后，有一个要学习的空间角，而二面角的本质特征时候从度量的角度，通过二面角的平面角揭示了平面与平面的位置关系（垂直关系是其中的一种特殊关系），它是为以后从度量角研究面与面的非垂直关系奠定了基础，因此二面角的内容在教材中起到了一个承上启下的作用，同时，通过本节课的学习，学生的空间想象能力和逻辑思维能力进一步得到提升。

二、说学情

高一学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，针对学生主观能动性强，思维活跃的特点，我在授课中主要以问题为纽带引导学生发现问题—类比联想—解决问题。

三、说教学目标

（一）知识与技能

能正确概述“二面角”、“二面角的平面角”的概念，会做二面角的平面角。

（二）过程与方法

利用类比的方法推理二面角的有关概念，提升知识迁移的能力。

（三）情感态度与价值观

营造和谐、轻松的学习氛围，通过学生之间，师生之间的交流、合作和评价达成共识、共享、共进，实现教学相长和共同发展。

四、说教学重难点

（一）重点

“二面角”和“二面角的平面角”的概念。

（二）难点

“二面角的平面角”概念的形成过程。

五、说教学方法

数学是一门培养人思维，发展人思维的重要学科。因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。因此本节课我以建构主义的“创设问题情境—提出数学问题—尝试解决问题—验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。在教学手段上，则采用多媒体与模型相结合，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完美。

六、说教学过程

（一）新课导入

首先我会用多媒体课件展示生活中的一些模型，请学生观察：

1、打开书本的过程；

2、发射人造地球卫星，要根据需要使卫星的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度；

3、修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，须使水坝坡面与水平面成适当的角度；

引导学生说出书本的两个面、水坝面与底面，卫星轨道面与地球赤道面均是呈一定的角度关系。

【设计意图】通过一系列的模型与动画展示，从生活中提取模型，让学生由感性认识出发，从多种模型中抽象出二面角的概念，这符合认知的一般规律。同时，也让学生体会到数学来源于生活，也服务于生活，增加学生学习本节内容的兴趣

（二）新课探究

1、二面角的概念

利用多媒体展示初中所学的平面角的形成过程，并向学生提问，可否根据平面内角的定义给上述的这些图形下一个定义。

在提问过程中注意引导学生进行类比，大胆概括。同时，对学生的表现加以肯定，注意规范学生的语言。最后引出二面角的概念。在此要注意讲解半平面的概念，即平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面。并根据具体模型讲解二面角的棱，面等相关概念。

（1）对比平面角得出二面角的概念

（2）二面角的表示

接下来注意讲解二面角表示法：α—a—β或α—AB—β。在此要注意分析讲解三个量的含义。

二面角的画法

然后是师生同步，练习画二面角。着重练习近平卧式和直立式，可请学生同桌之间互相点评，强调平行关系。

2。二面角的平面角

一般地说，量角器只能测量“平面角”让学生大胆猜想如何去测量二面角的大小。学生类比平面角，会想到将空间角化为平面角。

（1）二面角的平面角的定义

教师给出二面角的平面交的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

教师进一步对定义进行深化，请学生找出“二面角的平面角”的定义三个主要特征，即点在棱上、线在面内、与棱垂直

并通过实物展示让学生认识直二面角。

（2）二面角的平面角的作法

接下来，师生同步，共同作出某一二面角的平面角，注意点P的三种情况：

①点P在棱上—定义法

②点P在一个半平面上—三垂线定理法

③点P在二面角内—垂面法

【设计意图】培养学生的观察能力，学生会发现身边很多的图形都和教师展示的模型一样。同时，这样的教学也符合认识事物的一般规律：由感性认识到理性认识，再到感性认识，再到理性认识。

（三）深化新知

提问二面角的取值范围，强调一般规定为[0，π]。重点要让学生理解0和的区别。

（四）巩固提高

为了让学生切实掌握二面角的概念及其求法，设计两个环节：通过例题讲解让学生学会运用。通过课堂作业，让学生巩固新知。

首先是基础题，利用概念判断命题的真假，如：

（1）两个相交平面组成的图形叫做二面角。（ ）

（2）角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角是二面角的平面角。（ ）

（3）二面角的平面角所在平面垂直于二面角的棱。（ ）

【设计意图】通过这几道判断题，巩固学生对二面角概念的理解。

此外我会在添加两道以正方体为模型，求解两个平面的二面角的题目，抽取两位同学在黑板上扮演，我将会在巡视过程中对部分学生加以指导。最后对黑板上的两名学生的解题过程加以分析完善，规范的书写格式。

（五）小结作业

教师口头提问：

（1）这节课学习的主要内容是什么？

（2）在数学问题的解决过程中运用了哪些数学思想？

设计意图：启发式的课堂小结方式能让学生主动回顾本节课所学的知识点。也促使学生对知识网络进行主动建构。

作业：以正方体为模型请找出一个所成角度为四十五度的二面角，并证明。

设计意图：利用正方体模型，激发学生的探索欲望，体现分层教学的思想，才能达到因材施教的目的。

七、说板书设计

我的板书本着简介、直观、清晰的原则，这就是我的板书设计。