《立体几何》专题20-1
线线角、线面角、二面角（中下）
（4套，5页，含答案）
知识点：
线线角、线面角、二面角的中下计算：
线线角：
求异面直线的夹角，一般把直线平移至相交。多用中位线平移，平行四边形平移。平移之后如果不能直接看出夹角大小，可以构造三角形，利用余弦定理求解。
线面角：
求线面角，一般过直线上的一点，作该面的垂线，然后连接垂足和交点，构造出直角三角形。
二面角；
（1）
可以在二面角的棱上找一点，然后在两个半平面上作该点的垂线；
（2）
可以在一个平面上找一点A，过这一点作另一个面的垂线，得垂足B点。然后过垂足B点，作交线的垂线，得交点C，最后连接点A和点C，即可构造出直角三角形。角ACB职位该二面角的平面角。
典型例题1：
1.如右图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．
求异面直线BE与CD所成角的余弦值．（[分析] 根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平行线，换句话说，平移BE(或CD)．设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE与CD所成的角即为∠BEF或其补角，解△EFB即可获解．
[解析] 取AC的中点F，连接BF、EF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.在等腰△EBF中，cos∠FEB＝＝＝，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.）
2.空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（[答案] A；
[解析] 取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中
∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，故选A.)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3.已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为，求直线AB和平面α所成的角．
答案：解(1)如图①，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝＝.∴∠BAH＝30°.(2)如图②，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角．
∵△BCB1∽△ACA1，∴＝＝2，∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝，∴B1C＝.∴tan∠BCB1＝＝＝，∴∠BCB1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成的角为30°或60°.随堂练习1：
1.空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．（答案：解 取AC的中点G，连接EG、FG，则EG∥AB，GF∥CD，且由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°．
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°．
故EF与AB所成的角为15°或75°．）
2.空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别为P、Q、R，且AC＝4，BD＝2，PR＝3，则AC和BD所成的角为（[答案] A；
[解析] 如图，P、Q、R分别为AB、BC、CD中点，∴PQ∥AC，QR∥BD，∴∠PQR为AC和BD所成角
又PQ＝AC＝2，QR＝BD＝，RP＝3
∴PR2＝PQ2＋QR2，∴∠PQR＝90°
即AC和BD所成的角为90°，故选A.)
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
3.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，P为空间一点，且AC＝BC＝5，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为_____
[答案] 45°；
[解析] 由PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，知PC⊥平面ACB，所以∠PMC为PM与平面ABC所成的角．
又∵M是AB的中点，∴CM＝AB＝5.又PC＝5，∴∠PMC＝45°.___．
典型例题2：
1.如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，PA＝PB＝PC＝，AC＝2，AB＝，BC＝.(1)求证：PD⊥平面ABC；
(2)求二面角P—AB—C的正切值．
答案：(1)证明 连接BD，∵D是AC的中点，PA＝PC＝，∴PD⊥AC.∵AC＝2，AB＝，BC＝，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC.∴BD＝AC＝＝AD.∵PD2＝PA2－AD2＝3，PB＝，∴PD2＋BD2＝PB2.∴PD⊥BD.∵AC∩BD＝D，∴PD⊥平面ABC.(2)解 取AB的中点E，连接DE、PE，由E为AB的中点知DE∥BC，∵AB⊥BC，∴AB⊥DE.∵PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB.又AB⊥DE，DE∩PD＝D，∴AB⊥平面PDE，∴PE⊥AB.∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角．
在△PED中，DE＝BC＝，PD＝，∠PDE＝90°，∴tan∠PED＝＝.∴二面角P—AB—C的正切值为.2.在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为（[答案] D；
[解析] 如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小为60°或120°.)
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
随堂练习2：
1.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B－AC－D的余弦值为（答案：B；
如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．
∵DO＝OB＝BD＝，∴∠BOD＝60°．)
A．
B．
C．
D．
2.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．
答案：(1)证明 如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．
又AB∥CD，所以BE⊥AB．
又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．
(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，则∠PBA＝60°．
故二面角A—BE—P的大小是60°．
《立体几何》专题20-2
线线角、线面角、二面角（中下）
1.已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
答案：(1)证明 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)解 取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.2.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是（[答案] D；
[解析] 设AB长为1，由PA＝2AB得PA＝2，又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，所以△PAD为直角三角形．
∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D.)
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
3.如图，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且AB＝AC＝，BC＝2，求以BC为棱、以面BCD和面BCA为面的二面角的大小.参考答案与解析:解:取BC的中点E，连结AE、DE，
∵AB＝AC，∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△ACD，AB＝AC，∴DB＝DC.∴DE⊥BC.∴∠AED为二面角A-BC-D的平面角.又∵△ABC≌△DBC,且△ABC为以BC为底的等腰三角形，故△DBC也是以BC为底的等腰三角形，∴.又△ABD≌△BDC，∴AD＝BC＝2.在Rt△DEB中，BE＝1，∴,同理.在△AED中，∵AE＝DE＝,AD＝2,∴AD2＝AE2+DE2.∴∠AED＝90°.∴以面BCD和面BCA为面的二面角的大小为90°.主要考察知识点:空间直线和平面
4.四边形ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E为CD的中点，则∠AED的大小为（[答案] D；
[解析] 设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD.∵E、F分别为CD、BD的中点，∴EF∥BC，∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥AE.故选D.)
A．45°
B．30°
C．60°
D．90°
《立体几何》专题20-3
线线角、线面角、二面角（中下）
1.如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若MN＝BC＝4，PA＝4，求异面直线PA与MN所成的角的大小．
[解析](1)取PD的中点H，连接AH，NH，∵N是PC的中点，∴NH綊DC.由M是AB的中点，且DC綊AB，∴NH綊AM，即四边形AMNH为平行四边形．
∴MN∥AH.由MN⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)连接AC并取其中点O，连接OM、ON，∴OM綊BC，ON綊PA.∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由MN＝BC＝4，PA＝4，得OM＝2，ON＝2.∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°，即异面直线PA与MN成30°的角．
2.如图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝___
[答案] 45°；
[解析] 如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.∵△PAD是等边三角形，∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ.在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，∴∠PBG＝45°，即θ＝45°.___.3.如图，P是二面角α-AB-β的棱AB上一点，分别在α、β上引射线PM、PN,截PM＝PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α-AB-β的大小是_____
答案：90°；
参考答案与解析:解析：过M在α内作MO⊥AB于点O，连结NO，设PM＝PN＝a,又∠BPM＝∠BPN＝45°,∴△OPM≌△OPN.∴ON⊥AB.∴∠MON为所求二面角的平面角.连结MN，∵∠MPN＝60°,∴MN＝a.又,∴MO2+NO2＝MN2.∴∠MON＝90°.答案：90°
主要考察知识点:空间直线和平面
______.《立体几何》专题20-4
线线角、线面角、二面角（中下）
1.如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．
[解析] 由已知得BC⊥AC，又BC＝AC，∴∠ABC＝45°.又在△VBC中，D、E分别为VB、VC中点，∴DE∥BC，∴DE与AB所成的角为∠ABC＝45°.2.在三棱锥P-ABC中，侧面PAC与面ABC垂直，PA＝PB＝PC＝3．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）设AB＝BC＝，求AC与平面PBC所成角的大小．
答案：证明：如图（１）所示，取中点，连结，．，．
又平面平面，面．，．
可知
为的外接圆直径．
．
图（１）
（２）解：如图（２），作于，连结，．，．
平面．
面面，交线为．
直线在平面内的射影为直线．
为与平面所成的角．
在中，．
在中，．
在中，．
在中，．
．
即与平面所成角为．
3.过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是___
答案：45°；
解析 可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．
_____．
4.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.(1)证明：DC1⊥BC；
(2)求二面角A1－BD－C1的大小．
答案：(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD，CD∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.因为BC⊂平面BCD，所以DC1⊥BC.解 DC1⊥BC，CC1⊥BC⇒BC⊥平面ACC1A1⇒BC⊥AC，取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，A1C1＝B1C1⇒C1O⊥A1B1，面A1B1C1⊥面A1BD⇒C1O⊥面A1BD，又∵DB⊂面A1DB，∴C1O⊥BD，又∵OH⊥BD，∴BD⊥面C1OH，C1H⊂面C1OH，∴BD⊥C1H，得点H与点D重合，且∠C1DO是二面角A1－BD－C的平面角，设AC＝a，则C1O＝a，C1D＝a＝2C1O⇒∠C1DO＝30°，故二面角A1－BD－C1的大小为30°.
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