《立体几何》专题19 线线角、线面角、二面角基本概念（基础）学案（Word版含答案）

《立体几何》专题19-1

线线角、线面角、二面角基本概念

（4套，5页，含答案）

知识点：

异面直线所成的角：

直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使________，________，我们把a′与b′所成的______________

叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

如果两条直线所成的角是________，那么我们就说

这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是_______．

求异面直线夹角的时候，一般把直线平移至相交，然后再计算。

答案：（答案：a′∥a　b′∥b　锐角(或直角)直角(0°，90°]；

答案：［0°，90°］，（0°，90°］，［0°，180°］，［0°，180°），[0°，90°]，［0°，180°］；）

典型例题：

1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，①AC和DD1所成角是________度．

②AC和D1C1所成的角是________度．

③AC和B1D1所成的角是________度．

④AC和A1B所成的角是________度．

⑤O为B1D1中点，AC和BO所成角是________度．

⑥A1B和B1D1所成角是____

答案：①90°，②45°，③90°，④60°，⑤90°，⑥60°.；

[解析]　①DD1⊥面ABCD，∴DD1⊥AC；

②D1C1∥DC，∠DCA＝45°，∴D1C1与AC成45°角；

③B1D1∥BD，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC；

④A1B∥D1C，△D1AC为等边三角形，∴成60°角；

⑤在正方体中，∵O是B1D1中点，∴O为A1C1中点，又A1B＝BC1∴BO⊥A1C1，又AC∥A1C1，∴BO⊥AC，∴AC与BO成90°角；

⑥B1D1∥BD，△A1BD为等边三角形，∴成60°角．

____度．

随堂练习：

1.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；

②AB与CM所成的角为60°；

③EF与MN是异面直线；

④MN∥CD．

以上结论中正确结论的序号为___

答案：①③；

解析　把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．

_____．

知识点2：

直线与平面所成的角：

(1)

定义：平面的一条斜线和它在平面上的________所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．

如图所示，________就是斜线AP与平面α所成的角．

(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角的度数是90°；

当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角的度数是________；线面角θ的范围：________．

（答案：射影　锐角　∠PAO；）

典型例题2：

1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；

(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；

(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是____

答案：(1)45°(2)30°(3)90°

解析

(1)由线面角定义知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°．

(2)连接A1D、AD1，交点为O，则易证A1D⊥面ABC1D1，所以A1B在面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与面ABC1D1所成的角为∠A1BO，∵A1O＝A1B，∴∠A1BO＝30°．

(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，∴A1B⊥面AB1C1D，即A1B与面AB1C1D所成的角为90°．

____．

随堂练习2：

1.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直线PC与平面ABCD所成的角．

[分析]　找到PC在平面ABCD上的射影AC，则∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角．

[解析]　如图，连接AC，因为PA⊥平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影，所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．

在△PAC中，PA⊥AC，PA＝5，AC＝＝＝5.则∠PCA＝45°，即直线PC与平面ABCD所成的角为45°.知识点3：

二面角：

(1)二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角．

________________叫做二面角的棱．________________________叫做二面角的面．

(2)二面角的平面角

如图：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为________，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的________叫做二面角的平面角．二面角范围是：

注意：要掌握两种求二面角的方法

注意：

（1）任意两条直线的夹角范围是：________

（2）两条异面直线的夹角范围是：________

（3）两个向量所成的夹角范围是：________

（4）线面角的范围：________

（5）二面角的范围：________

答案：（答案：0°　[0°，180°]；）

典型例题3：

1.二面角指的是（答案：C；)

A.两个平面相交所组成的角

B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形

C.一条直线出发的两个半平面组成的图形

D.两个平面所夹的不大于90°的角

2.如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.(1)二面角A－PD－C的度数为________；(2)二面角B－PA－D的度数为________；

(3)二面角B－PA－C的度数为________；(4)二面角B－PC－D的度数为_____

[答案]　90°；90°；45°；120°；

[解析](1)PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD，∴二面角A－PD－C为90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA，∴∠BAD为二面角B－AP－D的平面角．

又∠BAD＝90°，∴二面角B－AP－D为90°.(3)PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA，∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角，又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B－PA－C为45°.(4)作BE⊥PC于E，连DE，则由△PBC≌△PDC知∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE，∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE，∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，∴BE＝＝a，BD＝a，∴取BD中点O，则sin∠BEO＝＝，∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120°

∴二面角B－PC－D的度数为120°.___．

随堂练习3：

1.下列命题中：

①两个相交平面组成的图形叫做二面角；

②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；

③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；

④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是（[答案]　B；

[解析]　对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B.[点评]　根据二面角的相关概念进行分析判定．)

A．①③

B．②④

C．③④

D．①②

2.正方体A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于（[答案]　C；

[解析]　设AC、BD交于O，连A1O，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，∴∠A1OA为二面角的平面角．

tan∠A1OA＝＝，∴选C.)

A.B.C.D.《立体几何》专题19-2

线线角、线面角、二面角基本概念

1.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a、M、N、P、Q分别为棱AB、BC、C1D1和CC1的中点，则

①MN与PQ的位置关系为________，它们所成的角为________．

②DB1与MN的位置关系为________，它们所成的角是____

[答案]　①相交　60°　②异面　90°；

[解析]　①连接AC、D1C由于P、Q分别为C1D1、C1C的中点，所以PQ∥D1C，同理MN∥AC，则AC与D1C所成角即为MN与PQ所成角，∠D1CA＝60°.②连接AC、BD交于O，取BB1的中点H，连OH，则OH∥B1D，连AH，HC，则AH＝HC，∴OH⊥AC，又MN∥AC，OH∥B1D，∴MN⊥B1D.____．

2.正方体A1B1C1D1－ABCD中，BD与B1C所成的角是（[答案]　C；

[解析]　∵A1D∥B1C，∴A1D与BD所成的锐角(或直角)即为所求角，连接A1B.∵△A1DB为正三角形，∴∠A1DB＝60°.)

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

3.如右图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与

平面BB1D1D所成角的正弦值为（[答案]　D；

[解析]　取B1D1中点O，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵A1B1＝B1C1＝2，∴C1O⊥B1D1，又C1O⊥BB1，C1O⊥平面BB1D1D，∴∠C1BO为直线C1B与平面BB1D1D所成的角，在Rt△BOC1中，C1O＝，BC1＝＝，∴sin∠OBC1＝.)

A.B.C.D.4.以下三个命题中，正确的命题有（[答案]　B；

[解析]　仅②正确．)

①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；

③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

《立体几何》专题19-3

线线角、线面角、二面角基本概念

1.已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：

(1)BC′与CD′所成的角为________；

(2)AD与BC′所成的角为____

答案：(1)60°(2)45°；

解析

连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．

由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．

易知∠C′BC＝45°．

____．

2.如右图，正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1DD1的中心，则EF和CD所成的角是（答案：B；

[

连接B1D1，则E为B1D1中点，连接AB1，EF∥AB1，又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B1AB＝45°．])

A．60°

B．45°

C．30°

D．90°

3.直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于（[答案]　B；

[解析]　根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.)

A．40°

B．50°

C．90°

D．150°

4.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是（[答案]　B；

[解析]　如图，BD、CD为AB、AC所在平面与α、β的交线，则∠BDC为二面角α－l－β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.)

A．相等

B．互补

C．互余

D．无法确定

《立体几何》专题19-4

线线角、线面角、二面角基本概念

1.如右图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是__

[答案]　④；

[解析]　由于BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以①正确；

由于BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD.所以②正确；

可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，所以③正确；

由于AD∥BC，则∠BCB1＝45°是异面直线AD与CB1所成的角，所以④错误．

______．

①BD∥平面CB1D1；

②AC1⊥BD；

③AC1⊥平面CB1D1；

④异面直线AD与CB1所成的角为60°.2.线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为（答案：C；

参考答案与解析:解析：由直角三角形的边角关系，可知直线与平面α所成的角为60°.答案：C

主要考察知识点:空间直线和平面）

A.30°

B.45°

C.60°

D.120°

3.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝___

[答案]　1；

[解析]　∵AB⊥平面BC1，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，∴C1F⊥EF，CF⊥EF，∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直角三角形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1._____.