《立体几何》专题13-1
点线面
（4套，7页，含答案）
知识点1：
点线面基本概念：
直线、平面都是无限延伸的，平时可以用书本表示平面，用笔表示直线，加以想象，方便理解。
熟悉各种符号：∈、、∩、⊂、⊄；
三个公理：
1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么________________在此平面内．
符号：________________________________．
2．公理2：过______________________的三点，____________一个平面．
3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线．
符号：________________________________．
答案：（答案：两点 这条直线 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α；
答案：不在一条直线上 有且只有；
答案：一个 一条 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l；）
典型例题1：
1.下列命题：
①书桌面是平面；
②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；
③有一个平面的长是50
M，宽是20
M；
④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为（答案：A；
[由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确，故选A．])
A．1
B．2
C．3
D．4
2.用符号语言表示下列语句：
(1)点A在平面α内但在平面β外：______________．
(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________________．
(3)直线l在面α内也在面β内：____________．
(4)平面α内的两条直线M、n相交于A：____________
答案：(1)A∈α，A∉β(2)A∈α，B∉α且A∈l，B∈l(3)l⊂α且l⊂β(4)M⊂α，n⊂α且M∩n＝A；
____________．
3.已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是（答案：C；
[∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．
故α∩β＝A的写法错误．])
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合4.空间中，可以确定一个平面的条件是（答案：C；)
A．两条直线
B．一点和一条直线
C．一个三角形
D．三个点
随堂练习1：
1.下列图形中，不一定是平面图形的是（答案：D；)
A．三角形
B．菱形
C．梯形
D．四边相等的四边形
2.把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．
(1)Aα，a⊂α________．
(2)α∩β＝a，Pα且Pβ________．
(3)a⊄α，a∩α＝A________．
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O____
答案：(1)C(2)D(3)A(4)B；
____．
3.下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是_____
答案：③；
___．
4.空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有（答案：D；
[四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．])
A．2个或3个
B．4个或3个
C．1个或3个
D．1个或4个
知识点2：
线线：
1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：__________、__________、_________．
2．异面直线的定义：________________________________的两条直线叫做异面直线．
（可以这样理解：既不平行也不相交的两条直线叫做异面直线）
3．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．
4．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应______，那么这两个角_____或_____．
答案：（答案：相交直线 平行直线 异面直线；
答案：不同在任何一个平面内；
答案：互相平行；
答案：平行 相等 互补；）
典型例题2：
1.若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有（答案：C；)
A．∠BAC＝∠B′A′C′
B．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
C．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
D．∠BAC＞∠B′A′C′
2.异面直线是指（答案：D；
[解析] 对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．
对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．
对于C，如右图的a，b可看做是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D.规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．)
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
3.正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（答案：C；
[解析] 画一个正方体，不难得出有6条．)
A．3条
B．4条
C．6条
D．8条
4.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是______，不平行的两条直线的位置关系是_______，两条直线没有公共点，则它们的位置关系是______，垂直于同一直线的两条直线的位置关系为___
答案：平行、相交、异面 相交、异面 平行、异面 平行、相交、异面；
____．
随堂练习2：
1.如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是_____
答案：平行或异面；
___．
2.“a、b为异面直线”是指：
①a∩b＝∅，且a不平行b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b＝∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β＝∅；
④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立．
上述结论中，正确的是（答案：D；)
A．①④⑤
B．①③④
C．②④
D．①⑤
3.给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是（答案：B；
[①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．
④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；
当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．)
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点3：
平面：
1．一条直线a和一个平面α有且仅有________________________三种位置关系．(用符号语言表示)
2．两平面α与β有且仅有________和________两种位置关系(用符号语言表示)．
答案：（答案：a⊂α，a∩α＝A或a∥α；
答案：α∥β α∩β＝l；）
典型例题3：
1.下列说法中正确的是（答案：D；
[解析] 镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确；故选D.)
A．镜面是一个平面
B．一个平面长10
m，宽5
m
C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D．所有的平面都是无限延展的2.经过一点可以作__________个平面；经过两点可作________个平面；经过不在同一直线上的三点可作____
答案：无数，无数，一；
____个平面．
3.指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正．
(1)如图，直线a在平面α内．
(2)如图，直线a和平面α相交．
(3)如图，直线a和平面α平行．
答案：解(1)(2)(3)的图形画法都不正确．正确画法如下图：
(1)直线a在平面α内：
(2)直线a与平面α相交：
(3)直线a与平面α平行：
4.已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是（答案：D；)
A．相交
B．平行
C．异面
D．平行或异面
5.以下结论中，正确的结论序号为_____
答案：②③⑥；
[解析] ①错，②对，见图一，过P有无数条直线都与α平行，这无数条直线都在平面β内，有且只有一个β∥α；
③对，④错，见图二，想一想打开的书页，一支笔与书脊平行；
⑤错，可以在其中一个平面内；⑥对，假设l1不在α内，直线l与点A确定一个平面β，与α相交得交线l′，∵a∥α，∴a∥l′，又l∥l1，∴l1∥l′，这与l1∩l′＝A矛盾，故l1⊂α.___．
①过平面α外一点P，有且仅有一条直线与α平行；
②过平面α外一点P，有且仅有一个平面与α平行；
③过直线l外一点P，有且只有一条直线与l平行；
④过直线l外一点P，有且只有一个平面与l平行；
⑤与两个相交平面的交线平行的直线必与两相交平面都平行；
⑥l∥α，A∈α，过A与l平行的直线l1必在α内．
随堂练习3：
1.空间中四点可确定的平面有（答案：D；
[解析] 当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．)
A．1个
B．3个
C．4个
D．1个或4个或无数个
2.若一直线a在平面α内，则正确的图形是（[答案] A；)
3.设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（[答案] D；
[解析] 当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；
a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D.)
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④
①P∈a，P∈α⇒a⊂α
②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α
④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b
4.下列命题正确的有____
[答案] ①⑤；
[解析] ①显然是正确的；②中，直线l还可能与α相交，所以②是错误的；③中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以③是错误的；④中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以④是错误的；⑤中，直线l与平面α没有公共点，所以直线l与平面α内的直线没有公共点，即它们平行或异面，所以⑤是正确的；⑥中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以⑥是错误的．
____．
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；
⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b.《立体几何》专题13-2
点线面
1.若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作（答案：B；)
A．M∈b∈β
B．M∈b⊂β
C．M⊂b⊂β
D．M⊂b∈β
2.空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（答案：C；)
A．0
B．1
C．1或4
D．无法确定
3.若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：
①∠ACB＝∠A′C′B′；
②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；
③∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°.一定成立的是__
[答案] ③；
______．
4.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（答案：B；)
A．12对
B．24对
C．36对
D．48对
5.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（答案：D；
[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．])
A．异面或平行
B．异面或相交
C．异面
D．相交、平行或异面
6.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（答案：D；)
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上都有可能
7.空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是（答案：B；
[
易证四边形EFGH为平行四边形．
又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．])
A．空间四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
8.若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是（答案：D；)
A．相交
B．b∥α
C．b⊂α
D．b∥α或b⊂α
9.若直线M不平行于平面α，且M⊄α，则下列结论成立的是（答案：B；)
A．α内的所有直线与M异面
B．α内不存在与M平行的直线
C．α内存在唯一的直线与M平行
D．α内的直线与M都相交
10.三个不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值为________
答案：4,6,7,8；
______．
11.下面四个说法(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：
①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；
②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；
③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；
④∵A∉α，a⊂α，∴A∉a.其中表述方式和推理都正确的命题的序号是（[答案] C；
[解析] ①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊂α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．)
A．①④
B．②③
C．④
D．③
《立体几何》专题13-3
点线面
1.已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有（答案：D；)
A．1条或2条
B．2条或3条
C．1条或3条
D．1条或2条或3条
2.给出以下命题：
①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；
③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．
其中正确命题的个数是___
答案：0；
_____．
3.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（答案：D；)
A．一定平行
B．一定相交
C．一定异面
D．相交或异面
4.a，b为异面直线，且a⊂α，b⊂β，若α∩β＝l，则直线l必定（[答案] C；
[解析] 若a，b与l都不相交，则a∥l，b∥l，即a∥b，与a，b是异面直线矛盾．故选C.)
A．与a，b都相交
B．与a，b都不相交
C．至少与a，b之一相交
D．至多与a，b之一相交
5.直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是（[答案] D；
[解析] 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，所以AB∥A1B1；又AD与AA1相交，所以AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，所以AB与A1D1异面．故选D.)
A．相交
B．平行
C．异面
D．以上都有可能
6.三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有（答案：D；)
A．1条
B．2条
C．3条
D．1条或2条
7.平面α∥β，且a⊂α，下列四个结论：
①a和β内的所有直线平行；
②a和β内的无数条直线平行；
③a和β内的任何直线都不平行；
④a和β无公共点．
其中正确的个数为（答案：C；)
A．0
B．1
C．2
D．3
8.若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是_______
答案：b⊂α，b∥α或b与α相交；
___________．
9.下列命题中正确的是（[答案] B；
[解析] 当圆心与圆周上两点共线时，由于共线的三点可以确定无数个平面，所以选项A不正确；选项C中，当A，B，C，D共线时，平面α和平面β可能相交，所以选项C不正确；选项D中，两组对边都相等的四边形可能不共面，所以选项D不正确；由于梯形的一组对边平行，则确定一个平面，所以梯形是平面图形，所以选项B正确．)
A．圆心与圆周上两点可以确定一个平面
B．梯形一定是平面图形
C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D．两组对边都相等的四边形是平面图形
《立体几何》专题13-4
点线面
1.空间中可以确定一个平面的条件是（答案：C；)
A．两条直线
B．一点和一直线
C．一个三角形
D．三个点
2.已知α∩β＝M，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线M与A的位置关系用集合符号表示为____
答案：A∈M；
解析 因为α∩β＝M，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线M上．
____．
3.如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_____
答案：②④；
解析 ①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，∴HG、MN必相交．
___(填序号)．
4.下列命题中，正确的结论有（[答案] B；
[解析] ②④是正确的．)
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5.如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是（答案：C；)
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．AB⊂α
6.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（答案：D；)
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线不相交
7.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1和BB1的中点，则该正方体的六个表面中与EF平行的有_
答案：3；
个．
8.下列命题正确的是
（答案：D；)
A．若直线a在平面α外，则直线a∥α；
B．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交；
C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥β；
D．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β；
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