立体几何第六讲面面垂直练习题(含答案)

第一篇：立体几何第六讲面面垂直练习题(含答案)

第六节面面关系

(一)平行

(二)垂直

11．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AA1，D是棱

2AA1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.C

A1 1D

2．【2012高考江西文19】（本小题满分12分）

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG

.B

（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；

（2）求多面体CDEFG的体积。

3.如图，已知空间四边形

是AB的中点。

求证：（1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。

4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点.（1）求证：AC1//平面BDE； 中，BCAC,ADBD，EB E C D

（2）求证：平面A1AC平面BDE.5.已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，DAB60,PD平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值

第六节面面关系答案

（一）平行

（二）垂直

1.【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计

算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.CC1ACC,∴BC面ACC1A1,又【解析】（Ⅰ）由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC，∵DC1面ACC1A1，∴DC1BC,由题设知A1DC1ADC45,∴CDC1=90,即DC1DC, 又∵DCBCC,∴DC1⊥面BDC,∵DC1面BDC1，∴面BDC⊥面BDC1；

（Ⅱ）设棱锥BDACC1的体积为V1，AC=1，由题意得，V1=由三棱柱ABCA1B1C1的体积V=1，∴(VV1):V1=1:1，∴平面BDC1分此棱柱为两部分体积之比为1:1.2.【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以

可得EGGF

又因为CF底面EGF,可得CFEG，即EG面CFG所以平面DEG⊥平面CFG.过G作GO垂直于EF，GO 即为四棱锥G-EFCD的高，所以所求体积为（12）11

2112

111=，232

S正方形DECFGO5520

53.证明：（1）

BCAC

CEAB

AEBE

同理，ADBD

DEAB

AEBE

又∵CEDEE∴AB平面CDE（2）由（1）有AB平面CDE

又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC 4.证明：（1）设ACBDO，∵E、O分别是AA1、AC的中点，A1C∥EO

平面BDE，EO平面BDE，A1C∥平面BDE 又AC1

（2）∵AA1平面ABCD，BD平面ABCD，AA1BD 又BDAC，平面A1AC

5.（1）证明：连接BD.ACAA1A，BD平面A1AC，BD平面BDE，平面BDE

ABAD,DAB60,ADB为等边三角形.E是AB中点，ABDE.PD面ABCD，AB面ABCD，ABPD.DE面PED，PD面PED，DEPDD,AB面PED.AB面PAB，面PED面PAB.（2）解：AB平面PED，PE面PED，ABPE.连接EF，EFPED，ABEF.PEF为二面角P—AB—F的平面角.设AD=2，那么PF=FD=1，DE=3.在PEF中,PE7,EF2,PF1,cosPEF

(7)22212257, 14

.14

即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为

第二篇：专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直汇总

专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直

一、知识点

（1）线面垂直性质定理

（2）线面垂直判定定理

（3）面面垂直性质定理

（2）面面垂直判定定理

线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

M为CC1 的中点，1．如图1，在正方体ABCDAAC交BD于点O，求证：AO1BC11D1中，1平面MBD．

证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1．

1323a，MO2a2． 2492222AMa．∵AO

在Rt△AC中，∴MMO2AM1111142设正方体棱长为a，则A1OA1OOM． ∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

利用面面垂直寻求线面垂直

2．如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．

证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．

又∵BC平面PBC，∴AD⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．

∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定判定线面垂直面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面性质性质

推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．

3．如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AESB，AGSD．

证明：∵SA平面ABCD，BBC，CAE．

∴SABC．∵A∴BC平面SAB．又∵AE平面SAB，∴B∵SC平面AEFG，∴SCAE．∴AE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD． 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

4．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．

∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．

∵CD平面CDF，∴CDAB．

又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5．如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴ACBC． ∵PA平面ABC，BC平面ABC，∴PABC．∴BC平面APC． ∵BC平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．

∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．

10．如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ①ANBC;②SC平面ANM 分析: ①要证ANBC, 转证, BC平面SAB。

②要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明: ①∵SA平面ABC

∴SABC

又∵BCAB, 且ABSA = A

∴BC平面SAB ∵AN平面SAB ∴ANBC

②∵ANBC, ANSB, 且SBBC = B ∴AN平面SBC ∵SCC平面SBC ∴ANSC

又∵AMSC, 且AMAN = A ∴SC平面ANM ［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．

图9—40（1）求证：AB⊥BC；（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．

［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．

求证：平面MND⊥平面PCD 【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN AM，∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN．

∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．

【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围．

12CD ［例4］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．

图9—42 求证：平面MNF⊥平面ENF．

【证明】∵M、N、E是中点，∴EB1B1NNC1C1M∴ENB1MNC145 ∴MNE90即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，MN平面A1C1∴MN⊥NF，从而MN⊥平面ENF．∵MN 平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF．

4．如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．

图9—45（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．（1）【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF 面PAD ∴CD⊥AF，又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF 又AE

12CD12CD，∴GF AE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG 平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC ∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与 △PCD中，∠P为公共角，FHPFPC，设AD=2，∴PF=2，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴CDPC=PDCD8423，2226623∴A到平面PEC的距离为3． ∴FH=23

【拓展练习】

一、备选题

1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径 ∴BC⊥AC；

又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC． ∵BC 平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．（2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD．

2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，1BD＝2a，EC＝a．

（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′；（2）求截面△ADE的面积．

（1）【证明】分别取A′C′、AC的中点M、N，连结MN，则MN∥A′A∥B′B，∴B′、M、N、B共面，∵M为A′C′中点，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′

∴B′M⊥平面A′ACC′． 设MN交AE于P，a∵CE＝AC，∴PN＝NA＝2．

1又DB＝2a，∴PN＝BD．

∵PN∥BD，∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M，∴PD∥B′M．

∵B′M⊥平面ACC′A′，∴PD⊥平面ACC′A′，而PD平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACC′A′．（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，3∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝2a，AE＝2a．

1∴S△ADE＝2×AE×PD 13622aaa224＝×．

二、练习题

第三篇：线面垂直与面面垂直垂直练习题

2012级综合和高中练习题

2.3线面垂直和面面垂直

线面垂直专题练习

一、定理填空：

1.直线和平面垂直

如果一条直线和，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理

线面垂直判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么判定定理2：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么.线面垂直性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线互相平行.性质定理1：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。

二、精选习题：

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：

①a//baMaMa//M②③b∥M④bMa//bb⊥M.abaMbMab

其中正确的命题是()

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

2.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有()

第3题图

A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF

3.设a、b是异面直线，下列命题正确的是()

A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交

B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直

C.过a一定可以作一个平面与b垂直

D.过a一定可以作一个平面与b平行

4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()

A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ

5.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直

其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3 6.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题

① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题的序号是()．．．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

7.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.求证:VC⊥AB;

8.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．

10.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.11.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.解：已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.12.已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.13.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.14.如图，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.15.如图11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.16.如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：A1O⊥平面GBD.17.如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m，定长为n（n＞m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点.求证：（1）AB⊥MN；（2）MN的长是定值.18.如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.（1）求证：AC⊥BC1;

（2）求证：AC1∥平面CDB1.面面垂直专题练习

一、定理填空

面面垂直的判定定理：面面垂直的性质定理：

二、精选习题

1、正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角等于

2、三棱锥PABC的三条侧棱相等，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的____心.3、一条直线与两个平面所成角相等，那么这两个平面的位置关系为______________

4、在正三棱锥中，相邻两面所成二面角的取值范围为___________________

5、已知l是直二面角，A,B,A、Bl，设直线AB与成30角，AB=2，B



到A在l上的射影N，则AB与所成角为______________.6、在直二面角AB棱AB上取一点P，过P分别在,平面内作与棱成 45°角的斜线PC、PD，则∠CPD的大小是_____________

7、正四面体中相邻两侧面所成的二面角的余弦值为___________________.8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中.求证：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1D

C1

C

A

B10、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：平面PAC⊥平面PBC．

BAC11、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．

A

C

B

第四篇：面面垂直习题（模版）

例1如图,在四面体P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。

解：如图，过B作BE⊥AC于E，过E

作EF⊥PA于F，连接BF

∵PC⊥平面ABC，PC平面PAC

C ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC

由三垂线定理，有BF⊥PA,∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角，设PC=1,由E是AC的中点，BE

32,EF

12sin450B

24tgBFE

BE

EF6

例2:如图, PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AF⊥PC于F.求证:

AF⊥平面PBC.证明:∵PA⊥平面ABCBC 平面ABC

∴ PA⊥BC

又AC⊥BC PA∩AC=A

∴ BC⊥平面PAC

平面PAC又BC P F A C B∴平面PBC⊥平面PAC

平面PAC,∵AF⊥PCAF

平面PBC∩平面PAC=PC

∴ AF⊥平面PBC

如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，求证：平面ADE⊥平面ACE.E

D

C

A

B

如图在空间四边形ABCS中，SA平面ABC，平面SAB 平面SBC

(1)求证：ABBC ；

(2)若设二面角SBCA为45，SA＝BC，求二面角ASCB的大小

S

E

a

A 2aC

已知线段AB的两端点在直二面角CD的两个面内,且与、分别成30和45角，求AB和CD所成的角

C

如图PA垂直于矩形ABCD所在平面，E是AB的中点，二面角PCDB 为45求证：平面PEC平面PCD

G C

E B

第五篇：如何证明面面垂直

如何证明面面垂直

设p是三角形ABC所在平面外的一点，p到A,B,C三点的距离相等,角BAC为直角，求证：平面pCB垂直平面ABC

过p作pQ⊥面ABC于Q，则Q为p在面ABC的投影，因为p到A，B，C的距离相等，所以有QA=QB=QC，即Q为三角形ABC的中心，因为角BAC为直，所以Q在线段BC上，所以在面pCB上有线段pQ⊥平面ABC，故平面pCB⊥平面ABC

2证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面

然后转化成一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线

也可以运用两个面的法向量互相垂直。

这是解析几何的方法。

2一、初中部分

1利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。

2勾股定理逆定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法两条直线的方向向量数量积为0

2斜率两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。