线性代数武汉工程大学线性代数练习题答案

时间:2019-05-14 04:02:23下载本文作者:会员上传
简介:写写帮文库小编为你整理了多篇相关的《线性代数武汉工程大学线性代数练习题答案》,但愿对你工作学习有帮助,当然你在写写帮文库还可以找到更多《线性代数武汉工程大学线性代数练习题答案》。

第一篇:线性代数武汉工程大学线性代数练习题答案

线性代数练习题(1)详细解答

1.(1)×;

(2)×;

(3)×;

(4)×。

1110402.(1)6k1222;(2)040; 333040201(3)ABBAO;(4)010。0021313.解:214001267811341312056。402121012101214.解:因为0288~0288~01445990313903131210120310029~0144~01016~01016,001300130013x129,所以x216,x33.213220585.解:3AB2A21720,ATB056。4292290049

第二篇:线性代数第四章练习题答案

第四章

练习4、1

1、写出下列二次型的矩阵

2(1)f(x1,x2,x3)=2x12x24x1x32x2x3;

(2)f(x1,x2,x3,x4)=2x1x22x1x32x1x42x3x4。

解:(1)因为

2

f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)022所以二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为:02011011210x1x2x3, 21。0(2)因为

0f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4)1101所以二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为:11***11010x1x2x3x4,10。10

2、写出下列对称矩阵所对应的二次型: 11(1)2121201212;

(2)21201211212112012012。12102

T解:(1)设X(x1,x2,x3),则

1f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3)21212021222x1x2x3 

=x122x32x1x2x1x34x2x3。(2)设X(x1,x2,x3,x4)T,则

01

f(x1,x2,x3,x4)=XTAX=(x1,x2,x3,x4)2101211212112012012121x1x2x3x4 

2=x2x4x1x22x1x3x2x3x2x4x3x4。

练习4、2

1、用正交替换法将下列二次型化为标准形,并写出所作的线性替换。

22(1)f(x1,x2,x3)=2x1x24x1x24x2x3;

(2)f(x1,x2,x3)=2x1x22x2x3;

222(3)f(x1,x2,x3)=x12x23x34x1x24x2x3。

解:(1)二次型f(x1,x2,x3)的矩阵 2

A=2021202。0A的特征方程为

det(EA)=

20202=(2)(254)=0,12由此得到A的特征值12,21,34。

对于12,求其线性方程组(2EA)X0,可解得基础解系为

1(1,2,2)T。

对于21,求其线性方程组(EA)X0,可解得基础解系为:

2(2,1,2)T。

对于34,求其线性方程组(4EA)X0,可解得基础解系为:

3(2,2,1)T。

将1,2,3单位化,得

11111(,122T,),3332123T

2212(,3323),3令

33(,21T,),33132

P=(1,2,3)=323231323232,3132则

PTAP=diag(-2,1,4)=0001000。4作正交替换X=PY,即

122xyyy3121333212

x2y1y2y3,333x2y2y1y3123333二次型f(x1,x2,x3)可化为标准形:

222

2y1y24y3。

(2)类似题(1)方法可得:

12

P=0121212121201T,PAP=020120200,202即得标准形:2y222y3。

(3)类似题(1)的方法可得: 2

P=3231323232322T,PAP=0301305000,1222即得标准形:2y15y2y3。

2、用配方法将下列二次型化为标准形:

222(1)f(x1,x2,x3)=x12x25x32x1x22x1x36x2x3;

(2)f(x1,x2,x3)=2x1x24x1x3;

(3)f(x1,x2,x3)=4x1x22x1x32x2x3。解:(1)先将含有x1的项配方。

f(x1,x2,x3)=x1+2x1(x2x3)+(x2x3)-(x2x3)+2x2+6x2x3+5x3

22=(x1x2x3)+x2+4x2x3+4x3,22222再对后三项中含有x2的项配方,则有

22222

f(x1,x2,x3)=(x1x2x3)+x2+4x2x3+4x3=(x1x2x3)+(x22x3)。

1TT设Y=(y1,y2,y3),X=(x1,x2,x3),B=002211012,0令Y=BX,则可将原二次型化为标准形y1y2。

(2)此二次型没有平方项,只有混合项。因此先作变换,使其有平方项,然后按题(1)的方法进行配方。令

x1y1y2x11

x2y1y2,即x2=1xyx0333110001y1y2。y3则原二次型化为

f(x1,x2,x3)=2(y1y2)(y1y2)+4(y1y2)y3 =2y12-2y2+4y1y3+4y2y3

=2(y1y3)2-2(y2y3)2,1TT设Y=(y1,y2,y3),Z=(z1,z2,z3),B=0001011,02令Z=BY,则可将原二次型化为标准形2z122z2。

(3)类似题(2)的方法,可将原二次型化为标准形:

4z14z2z3。

2223、用初等变换法将下列二次型化为标准形:

222(1)f(x1,x2,x3)=x12x24x32x1x24x2x3;

222(2)f(x1,x2,x3)=x13x2x32x1x22x1x36x2x3;

(3)f(x1,x2,x3)=4x1x22x1x36x2x3。(此题与课本貌似而已,注意哈)解:(1)二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为 1

A=1012202。4112010024001100100012110024001100100010110000。221于是

110AE=100122010024001100100令

1

C=0011022,1作可逆线性变换X=CY,原二次型可化为标准形:f(x1,x2,x3)=y12y2。

(2)类似题(1)的方法,原二次型可化为标准形:

2f(x1,x2,x3)= y124y2y3。

(3)类似题(1)的方法,原二次型可化为标准形:

f(x1,x2,x3)= 2y12

4、已知二次型

22cx32x1x26x1x36x2xf(x1,x2,x3)=5x125x212y26y3。

22的秩为2。求参数c的值,并将此二次型化为标准形。

解:二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为 5

A=1315333。c因为A的秩为2,令detA=0,可得c=3。

222即

f(x1,x2,x3)=5x15x23x32x1x26x1x36x2x3

也就是

5A= 1315333,322通过初等变换法,即可将其化为标准形:4y29y3。

5、设2n元二次型

f(x1,x2,,x2n)=x1x2nx2x2n1xnxn1 试用可逆线性替换法将其化为标准形。

解:令 x1y1y2n1x2y2y2n10xnynyn

1,P=xn1ynyn1xyy2n122n101xyy12n2n01011110111010,01即作正交变换X=CY,二次型f(x1,x2,,x2n)可化为标准型:

22y12ynyn1y2n。

223x32ax2x3(a>0)通过正交变换化为标准

6、已知二次型f(x1,x2,x3)=2x123x2225y3,求a的值及所作的正交替换矩阵。型fy122y2222解:因为原二次型可化为fy12y25y3,可知原二次型的矩阵的特征值为

1,2和5。

而原二次型的矩阵为 2

A=0003a0a。3故A的特征方程为

det(EA)=

0000a3a=(2)(69a)=0。

223因此将此特征方程的解1,2,5代入得:a=2。

对于11,求其线性方程组(EA)X0,可解得基础解系为

1(0,1,1)。

T对于22,求其线性方程组(2EA)X0,可解得基础解系为:

2(1,0,0)。

对于35,求其线性方程组(5EA)X0,可解得基础解系为:

T

3(0,1,1)。

T将1,2,3单位化,得

11111(0,12,12),T

2212(1,0,0),1212T

3故正交替换矩阵为:

33(0,),T0P=(1,2,3)=21210001。212练习4、3

1、判别下列二次型是否为正定二次型:

222(1)f(x1,x2,x3)=5x16x24x34x1x24x2x3;

222(2)f(x1,x2,x3)=10x12x2x38x1x224x1x328x2x3;

2222(3)f(x1,x2,x3,x4)=x1x24x37x46x1x34x1x44x2x3

2x2x44x3x4。解:(1)二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为 5

A=205226262002。45262由于5>0,=26>0,202=84>0, 4即A的一切顺序主子式都大于零,故此二次型为正定的。

(2)二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为

10

A=41242141214。1由于

1042141214=-3588<0,|A|=412故此二次型不为正定的。

(3)二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为: 10

A=320122324222。27由于

101232=-9<0,03故此二次型不为正定的。

2、当t为何值时,下列二次型为正定二次型:

222(1)f(x1,x2,x3)=x14x2x32tx1x210x1x36x2x3;

222(2)f(x1,x2,x3)=x1x25x32tx1x22x1x34x2x3;

222(3)f(x1,x2,x3)=2x1x2x32x1x2tx2x3。

解:(1)二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为: 1

A=t5t4353。1由于

1tt412=4t,tt4353=t230t105,15但易知不等式组

24t0

2

t30t1050无解,因此,不论t取何值,此二次型都不是正定的。

(2)二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为: 1

A=t1t1212。5

此二次型正定的充要条件为

1>0,451tt1=1t2>0,|A|=5t24t>0,由此解得:t0。

(3)二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为: 

2A=100t。2011t2由

2>0, 2111>0,|A|=1t22>0,解得:2t2。

3、设A、B为n阶正定矩阵,证明BAB也是正定矩阵。证明:由于A、B是正定矩阵,故A及B为实对称矩阵。所以(BAB)=BAB=BAB,即BAB也为实对称矩阵。

由于A、B为正定矩阵,则存在可逆矩阵C1,C2,有

A= C1TC1,B= C2TC2,所以 BAB= C2TC2C1TC1C2TC2=(C1C2TC2)T(C1C2TC2),即

BAB也是正定矩阵。

4、如果A,B为n阶正定矩阵,则A+B也为正定矩阵。

证明:由于A、B是正定矩阵,故A及B为实对称矩阵。从而A+B也为实对称矩阵,而且

fXAX,gXBX,为正定二次型。于是对不全为零的实数x1,x2,,xn,有

XAX0,XBX0。TTTTTTTT故

h=XT(AB)X=XTAX+XTBX0,即二次型h=XT(AB)X为正定的,故A+B为正定矩阵。

5、设A为正定矩阵,则A-1和A*也是正定矩阵。其中A*为A的伴随矩阵。证明:因为A为正定矩阵,故A为实对称矩阵。从而(A1)T(AT)1A1 即A1也为对称矩阵,(A*)T(AT)*A*即A*也为对称矩阵。

由已知条件可知,存在可逆矩阵C,使得

ACTC。

于是

A1(CTC)1C1(C1)T=QTQ,A*=|A|A1|A|C1(C1)T=

1A1C[1AC1TT]=PP,其中Q=(C1)T,P=(-1*1AC1T)都为可逆矩阵。

故A和A都为正定矩阵。

6、设A为n×m实矩阵,且r(A)=m

证明(1)因为A为n×m实矩阵,所以AT为m×n矩阵,又r(A)=m

AX=O , 只有零解。于是对于任意的 X  O , 有 AX  O。则

TTTX(AA)X=(AX)(AX)> 0。因此,ATA为正定矩阵。

(2)因为A为n×m实矩阵,所以AT为m×n矩阵,又r(A)=m

XT(AAT)X=(A T X)T(A T X) 0。因此,AAT为半正定矩阵。

7、试证实二次型f(x1,x2,,xn)是半正定的充分必要条件是f的正惯性指数等于它的秩。

证明:充分性。设f的正惯性指数等于它的秩,都是r,则负惯性指数为零。于是f可经过线性变换X=CY变成

2f(x1,x2,,xn)=y1y2yr。

2从而对任一组实数x1,x2,,xn,由X=CY可得Y=CX,即有相应的实数y1,,yr,,yn,使f(x1,x2,,xn)=y12y2yr20.即f为半正定的。

必要性。设f为半正定的,则f的负惯性指数必为零。否则,f可经过线性变换X=CY化为

f(x1,x2,,xn)=y12ysys21yr2,s

于是当yr=1,其余yi=0时,由X=CY可得相应的值x1,x2,,xn,带入上式则得

f(x1,x2,,xn)=-1<0。

这与f为半正定的相矛盾,从而f的正惯性指数与秩相等。

8、证明:正定矩阵主对角线上的元素都是正的。

证明:设矩阵A为正定矩阵,因此fXTAX 为正定二次型。于是对不全为零的实数x1,x2,,xn,有

XTAX0,T取Xi(0,,0,1,0,,0),(i=1,2,…,n)

2-1

2T则iAidi0,(i=1,2,…,n)即主对角线上的元素都是正的。

(注:所有答案我已全部整理至此,有些题没找到,希望对大家有所帮助!——君不器)

第三篇:线性代数机考练习题

1、设A,B为n阶方阵,则ABAB.()参考答案:正确

2、行列式如果互换任意两行,则行列式的值不变.()参考答案:错误

3、行列式中如果有两列元素对应成比例,则此行列式等于零.()参考答案:正确

142533331.()44行列式111222参考答案:错误

320224728,则5A,BA2B 471011491参考答案:正确

6、若A,B,C为矩阵,则有A(BC)(BC)A

参考答案:错误

7、若A,B为n阶矩阵,则有(AB)2A22ABB2

参考答案:错误

128、A为任一n阶方阵,且满足A2AE0,则AA2E,参考答案:正确

9、若2232546,则有XX1308 21参考答案:错误

10、对n维向量组1,,m, 若有不全为零的常数k1,,km, 使得

k11kmm0,称向量组1,,m线性相关()

参考答案:正确

11、向量组1,2,,m,m2线性相关的充要条件是该向量组中任一个向量都可以用其余m1个向量线性表示()参考答案:错误

12、向量组1,2,3线性无关, 则向量组112, 223, 331也线性无关 参考答案:正确

5113

13、列向量10, 21, 31, 43 则4可由1,2,3线性表

1111示

参考答案:正确

kx1x2x30

14、齐次线性方程组 x1kx2x30有非零解,则k0.()3xxx0123 参考答案 :错误

15、如果两个矩阵等价,那么它们的秩相等.()参考答案 :正确

16、如果ABC,则r(C)r(A).()参考答案 :正确

17、如果一个矩阵的秩是r,那么所有r阶子式都不为零.()参考答案 :错误

18、设是方阵A的一个特征值,则1是AE的一个特征值 参考答案:正确

19、设A是3阶方阵,A的特征值有3,则A一定有特征值参考答案:正确

20、一个实二次型f的矩阵A的秩称为该二次型的秩 参考答案:正确 选择题

11 30a01、三阶行列式b0c的值为().0d0选项A)

abcd

选项B)

acbd

选项C)

adbc

选项D)

0

参考答案:D x1x2x3x3y3z32、若三阶行列式 y1y2y32,则三阶行列式x2y2z2().z1z2z3x1y1z1选项A)

选项B)

2选项C)

0

选项D)参考答案:A x1x2x32x12x22x33、若三阶行列式 y1y2y31,则三阶行列式y1y2y3(z1z2z3z1z2z3选项A)0

选项B)

2选项C)2

选项D)1 参考答案:B 33424、三阶行列式4812().246选项A)

8选项B)

8

选项C)

1选项D)

0 参考答案:D

5、当x取何值时,二阶行列式x119x0().选项A)x2

3选项B)x23

选项C)x3

选项D)x13或x13

参考答案:D

1236、已知三阶行列式D312,则元素a312的余子式 M31为().231选项A)1 选项B)1

选项C)2).选项D)2 参考答案: A

7、已知三阶行列式D3 中第一行的元素自左向右依次为1,1,2,它们的代数余子式分别为3,4,5,则三阶行列式D3=().选项A)7 选项B)8 选项C)9 选项D)10 参考答案: C

218、已知A0230,则A1=(004310选项A)14220 001310选项B)14220

001310选项C)220 001100选项D)110220 345参考答案:A

9、设A12,则A

=().34选项A)1234 选项B)4231

选项C)4231 选项D)4231

).参考答案:B

10、设A,B为n阶矩阵,为数,下列错误的是().选项A)ATA

选项B)ABAB 选项C)BAAB 选项D)AA

参考答案:D

11、设A为任一n阶方阵,下列结论正确的是().选项A)AAT 为反对称矩阵 选项B)AAT为对称矩阵

选项C)A 可以表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 选项D)AAT与AAT都同为对称矩阵 参考答案:C

12、已知A320471,B224,则(011A2B)T(选项A)728491

34选项B)2701

20选项C)2141 74选项D)29 81

参考答案:D

113、设A123321,B331,则AB().22选项A)13111113 选项B)11131311 ).111313选项D)11选项C)参考答案:A 11 1313 11011,则A().12

14、已知A选项A)21 1001选项B)

1221选项C)

1011选项D)

01参考答案:A

15、下列各行向量组线性相关的是().选项A)1(1,0,0),选项B)1(1,2,3),选项C)1(1,2,3),选项D)1(1,2,2),参考答案:B

16、下列各向量组中线性无关的是().选项A)1,2,0 选项B)(1,2),(2,4)选项C)(0,1),(1,2),(2,3)选项D)(1,2),(1,3)2(0,1,0),3(0,0,1)2(4,5,6),3(2,1,0)2(2,4,5);

2(2,1,2),3(2,2,1)参考答案:D

17、下列说法中错误的是().选项A)向量组线性相关,则向量组含有零向量 选项B)向量组1,2线性相关,则对应分量成比例

选项C)向量组1,2,,n线性相关,则1,2,,n中至少有一个向量能表示为其余向量线性组合

选项D)若向量组1,2,,n线性无关,则其部分向量组也线性无关 参考答案:A

T18、向量组1线性相关,则数k().(k,-1,1),2(4,4,4)T(其中T为转置符号)选项A)1 选项B)2 选项C)3 选项D)4 参考答案:A

19、向量组1,2,,n线性无关的充要条件为().选项A)1,2,,n均不为零

选项B)1,2,,n中任两个向量的分量不成比例 选项C)1,2,,n中任一个向量不能由其余向量线性表示 选项D)1,2,,n中有一部分向量线性无关 参考答案:C

20、设n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A的秩为r,则Ax0有非零解的充分必要条件是().选项A)rn 选项B)rn 选项C)rn 选项D)rn 参考答案:B

21、线性方程组x1x20x1x20,当取何值时,方程组有非零解().选项A)0 选项B)1 选项C)2 选项D)任意实数 参考答案:B

22、已知A是mn矩阵,r(A)r,下列结论正确的是().选项A)rn时,Axb有唯一解 选项B)mn时,Axb有唯一解

选项C)rn时,Axb有无穷多解 选项D)mn时,Axb有解 参考答案:A 21110023、矩阵311左乘初等矩阵001

相当于进行下列哪种初等变换(278010选项A)第一行与第二行互换

选项B)第二行与第三行互换 选项C)第一列与第二列互换

选项D)第二列与第三列互换 参考答案:D

24、设矩阵A112331,则A的秩是().选项A)1 选项B)2 选项C)3 选项D)4 参考答案:B).2225、用正交变换化二次型x1为标准型是()2x1x2x22选项A)2y1

22选项B)y12y2

22选项C)2y1y2

222选项D)

y1y2y3

参考答案:A

a000a0的特征值是().26、矩阵000a选项A)a 选项B)0选项C)1 选项D)1,2,,n 参考答案:A

27、矩阵

31的特征值2对应的一个特征向量是().13选项A)(1,2)选项B)(1,1)选项C)(1,3)选项D)(1,4)参考答案:B 28、3阶矩阵A的特征值为1,0,1,矩阵BA2A4E的特征值为 选项A)1,2,3 选项B)3,0,3 选项C)7,4,3

2选项D)3,4,5 参考答案:C

29、已知向量(0,1,0)T,(1,0,1)T下列计算不正确的是()选项A)(1,1,1)T

选项B)(1,1,1)T

选项C)(,)0

选项D)

2(1,2,1)T

参考答案:D

30、矩阵A有n个特征值分别为2,3,4n,n1,A,B相似,则BE(选项A)1选项B)2 选项C)n

选项D)

n!参考答案:D)

第四篇:线性代数综合练习题及答案6

线性代数综合练习题

(六)一、选择题

1.设A是mn矩阵,齐次线性方程组AX0仅有零解的充要条件是()。(A)A的列向量组线性相关

(B)A的列向量组线性无关

(C)A的行向量组线性相关

(D)A的行向量组线性无关

2.1,2,,s(s2)线性无关的充要条件是()

都不是零向量

任意两个向量的分量不成比例

至少有一个向量不可由其余向量线性表示 每个向量均不可由其余向量线性表示(A)(B)(C)(D)

ab223.设矩阵A。ba其中ab0且ab1,则A为()

(A)正定矩阵

(B)负定矩阵

(C)初等矩阵

(D)正交矩阵

4.A为n阶方阵,i(i1,2,,n)是A的特征值,则必有()。

(A)i(i1,2,,n)互异

(B)i(i1,2,,n)不等于零

(C)12na11a22ann

(D)12na11a22ann 5.若存在一组数k1k2km0使得k11k22kmm0成立,则向量组1,2,,n()

(A)线性相关

(B)线性无关

(C)可能线性相关也可能线性无关

(D)部分线性相关

二、填空题

1223,B为非零矩阵,AB0,则t

。1.设A4t3112.设n阶方阵A的n个特征值为1,2,…,n,则AE。

1233.设列向量组13,23,32线性相关,则t。

2111024.已知正交矩阵A的两个列向量11,20,则A012。14112C355.若B,则BC10316

三、计算行列式

。111.11111234

491682764123234n12 2.Dn345n12n

1四、确定下列方程组是否有解,若有解,求其通解。

x12x2x3x4x512xxx2x3x212345 3x2xxx2x2234512x15x2x32x42x5

1五、解矩阵方程AXB求X,其中

101231

A012,B101

1101411211225011

六、求向量组1,2,3,4,5的最大线性无

0123314101关组,并把其他向量用最大线性无关组线性表示。

七、设n阶矩阵A满足AA,E为n阶单位矩阵,求证:R(A)R(AE)n。

23

八、设矩阵Ak421k,问当k为何值时,存在可逆矩阵P使得P1AP,232其中为对角矩阵?并求出相应的对角矩阵。

线性代数综合练习题

(六)参考答案

一、选择题

1.B

2.D

3.D

4.D

5.C

二、填空题

1021.

3,2.(n1)!,3.

1,4.100120,5.1212021422.

三、计算题行列式

1.解:原式(21)(31)(41)(32)(42)(43)

1

2121212n(n1)23n(n1)34n(n1)452n12n123134152n(n1)14n2.解:原式12n(n1)12n11312

112n1012n(n1)00111n111n11n11111 2n(n1)1n111n11111n(n1)0n0n112n(n1)(1)21(n1)

2nn00四(10分)、解:此方程组的增广矩阵为

1121111211232r0B(A)03211220251221所以系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,方程组有解.T0010001212785858011200

0T98385893511特解为(8,8,8,0,0),对应的齐次线性方程组的基础解系为1(1,0),2,2,2,1552(7)T.8,8,8,0,1所以通解为Xk11k22,(k1,k2R).五、解:

101231r012101(AB)

011170101231r012101

00127110r041000103141

0012714100所以XA1B3141.271

六、解:A1,2,3,4,5

11221112202151r022031315021104115002211221104r02151110300111 r0001100000000010010r0103100111

00000所以1,2,3是一个最大无关组,并且

41323,52

3七、证:由A2A得A(AE)0,所以 AE的列向量为方程组AX0的解,设R(A)r,则有R(AE)nr

所以 R(A)R(AE)rR(AE)rnrn

1112111 0

又R(EA)R(AE),所以

nR(AEA)R(A)R(EA)R(A)R(AE)

即 nR(A)R(AE),故

R(A)R(AE)n.八、解:

3AEk4得11,231,2122k3(1)(1)20

所以,A的特征值有重根,因此对于231而言,当方程组(AE)X0有两个线性无关的解时,A可以对角化.4AEk4224r0kk022220k 00若k0,则R(AE)2,方程组(AE)X0只有一个线性无关的解.422211r0000,当k0时,AE0042200011所以对应于231的特征向量为:12,20,021对应于11的特征向量为30,11111001令P200,且有PAP010.021001

第五篇:线性代数综合练习题及答案7

线性代数综合练习题

(七)一、选择题

1.设A、B为n阶矩阵,则下面必成立的是()。

(A)ABAB

(B)(AB)1A1B(C)ABBA

(D)ABBA 2.设A为n阶矩阵,且A0,则(EA)1()。

(A)EA

(B)EAA2Ak1

(C)EAAA2k1k

(D)EA

3.设向量组1,2,,m的秩为3,则()。

(A)任意三个向量线性无关

(B)1,2,,m中无零向量

(C)任意四个向量线性相关

(D)任意两个向量线性无关 4.线性方程组Amnxn1bm1,(b0)有解的充要条件是()。

(A)R(A)R(A|b)

(B)R(A)m

(C)R(A)n

(D)R(A)R(A|b)

5.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是()。

(A)A的n个特征值互不相同

(B)A可逆

(C)A无零特征值

(D)A有n个线性无关的特征向量

二、填空题

1.各列元素之和为0的n阶行列式的值等于。

2.设三阶矩阵A412321,则A

。3.设矩阵A111,B2,则AB,BA

,33。(BA)

(k为正整数)k14.设R(A34)2,P0012012,则R(PA)

。35.设向量组1,2,3线性无关,则向量组112,223,331线性。

6.设三阶可逆矩阵A的特征值分别为2、3、5,则A

,A的伴随矩阵A的特征值为。

7.设实二次型f(x1,x2,x3)x12x2kx32x1x22x1x32x2x3为正定二次型,则参数k的取值范围是。

三、计算题

01.设1010000X110000102110387954,求矩阵X。62222.当取何值时,线性方程组

x1x2x31x1x2x3 xxx2123有(1)惟一解;(2)无解;(3)无穷多解,并求通解。

11012121363.设四维向量组1,,24351124,求001115该向量组的秩及一个极大线性无关组,并把其余向量用该极大线性无关组线性表示。

4.求一个正交变换XPY,将实二次型

f(x1,x2,x3)2x1x2x34x2x3

222化为标准形,并判断该二次型是否正定。

四、证明题

21.设A为n阶矩阵,如果AE,则R(AE)R(AE)n。

2.设n阶矩阵A0,A0(k为正整数),则A不能与对角矩阵相似。

k线性代数综合练习题

(七)参考答案

一、选择题

1.D

2.B

3.C

4.A

5.D

二、填空题

01.0

2.01201300

3.3, 01412312132k12, 33113123121322 31134.2

5.无关

6.30,15,10,6

7.k1

三、计算题

01.解:X100101231001004560011213879879514060514060001001010

102011301

078.92.解:线性方程组的系数行列式

A11111(2)(1),21(1)当A0,即2且1时,方程组有惟一解;

(2)当2时,R(A)2R(Ab)3,方程组无解;

(3)当1时,1b)111111111r1110010010010 0A(A因为R(A)R(A)13,所以方程组有无穷多解,且通解为

111xk11k200,k1,k2为任意实数.0103.解:A(1,2,3,4,5)110012110111132126r45100001001100001012,30所以

R(1,2,3,4,5)3,1,2,4为向量组1,2,3,4,5的一个极大线性无关组,且

312,51223

424.解:二次型的矩阵

A00A的特征多项式

01202,12AE00012021(1)(2)(3),所以A的特征值为11,22,33.0011对应的线性无关的特征向量为11,单位化得p112112110,单位化得p20; 00; 22对应的线性无关的特征向量为20033对应的线性无关的特征向量为31,单位化得p312.112x1所求正交变换为

x2x301212210020y11y2,21y322二次型的标准形为

fy12y23y3,因为110,所以该二次型不是正定二次型.四、证明题

1.证:由A2E,得(AE)(AE)0,则

R(AE)R(AE)n;

R(AE)R(AE)R(AE)R(EA)R(2E)n,所以

R(AE)R(AE)n.2.证:反证法,假设A与对角矩阵相似,则存在可你矩阵P,使得

P1APdiag(1,2,,n),1(1,2,,n)P则

APdiagkkkk,1(1,2,,n)P从而

APdiag0,所以 10,20,…,n0,因而 A0,这与A0矛盾,故A不能与对角矩阵相似.

下载线性代数武汉工程大学线性代数练习题答案word格式文档
下载线性代数武汉工程大学线性代数练习题答案.doc
将本文档下载到自己电脑,方便修改和收藏,请勿使用迅雷等下载。
点此处下载文档

文档为doc格式


声明:本文内容由互联网用户自发贡献自行上传,本网站不拥有所有权,未作人工编辑处理,也不承担相关法律责任。如果您发现有涉嫌版权的内容,欢迎发送邮件至:645879355@qq.com 进行举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内联系你,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。

相关范文推荐

    武汉大学2014年线性代数真题

    武汉大学2014年线性代数真题 11一.由A00 230001,且[(A)*]1BA6AB12E,求B. 22010s0s1 s2 sn1sn1sn1x000二.计算Ds1snkk,其中skx1x2k. xns2n1xn 三.有1,2, 则1,2,四.线性空间V定义的第,......

    线性代数习题答案

    习题 三 (A类) 1. 设α1=(1,1,0),α2=(0,1,1),α3=(3,4,0).求α1-α2及3α1+2α2-α3. 解:α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2) 2. 设3(α1......

    线性代数习题答案

    综合练习一01AA.01BB、C.01CA.01DA.01Er2,s5,t8或r5,s8,t2或r8,s2,t5.01Fi2,j1.01G12.01Ha13a25a31a42a54;a13a25a32a44a51;a13a25a34a41a52.01I排列的逆序数为k2;当k为偶数......

    线性代数试题及答案

    线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、 单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内......

    线性代数试题及答案

    线性代数(经管类)试题答案 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或......

    线性代数试题及答案

    04184线性代数(经管类) 一 、 二 、单选题 1、 B:-1 A:-3 C:1 D:3 做题结果:A 参考答案:D 2、 B:d A:abcd C:6 D:0 做题结果:A 参考答案:D 3、 B:15 A:18 C:12 D:24 做题结果:A 参......

    线性代数C答案

    线性代数模拟题 一.单选题. 1. 设五阶行列式aijm,依下列次序对aij进行变换后,其结果是( A ). 交换第一行与第五行,再转置,用2乘所有的元素,再用-3乘以第二列加于第三列,最后用4除第......

    线性代数练习题(1-2章)答案(精选五篇)

    线性代数练习题(行列式·矩阵部分) 一、填空题 10000100Dn1.n阶行列式素均为零)的值为 1 。 00001001(主对角线元素为1,其余元1024152212.设行列式D=1x21001,元素x的代数余子式的值......