第一篇:线性代数武汉工程大学线性代数练习题答案
线性代数练习题(1)详细解答
1.(1)×;
(2)×;
(3)×;
(4)×。
1110402.(1)6k1222;(2)040; 333040201(3)ABBAO;(4)010。0021313.解:214001267811341312056。402121012101214.解:因为0288~0288~01445990313903131210120310029~0144~01016~01016,001300130013x129,所以x216,x33.213220585.解:3AB2A21720,ATB056。4292290049
第二篇:线性代数第四章练习题答案
第四章
二
次
型
练习4、1
1、写出下列二次型的矩阵
2(1)f(x1,x2,x3)=2x12x24x1x32x2x3;
(2)f(x1,x2,x3,x4)=2x1x22x1x32x1x42x3x4。
解:(1)因为
2
f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)022所以二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为:02011011210x1x2x3, 21。0(2)因为
0f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4)1101所以二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为:11***11010x1x2x3x4,10。10
2、写出下列对称矩阵所对应的二次型: 11(1)2121201212;
(2)21201211212112012012。12102
T解:(1)设X(x1,x2,x3),则
1f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3)21212021222x1x2x3
=x122x32x1x2x1x34x2x3。(2)设X(x1,x2,x3,x4)T,则
01
f(x1,x2,x3,x4)=XTAX=(x1,x2,x3,x4)2101211212112012012121x1x2x3x4
2=x2x4x1x22x1x3x2x3x2x4x3x4。
练习4、2
1、用正交替换法将下列二次型化为标准形,并写出所作的线性替换。
22(1)f(x1,x2,x3)=2x1x24x1x24x2x3;
(2)f(x1,x2,x3)=2x1x22x2x3;
222(3)f(x1,x2,x3)=x12x23x34x1x24x2x3。
解:(1)二次型f(x1,x2,x3)的矩阵 2
A=2021202。0A的特征方程为
det(EA)=
20202=(2)(254)=0,12由此得到A的特征值12,21,34。
对于12,求其线性方程组(2EA)X0,可解得基础解系为
1(1,2,2)T。
对于21,求其线性方程组(EA)X0,可解得基础解系为:
2(2,1,2)T。
对于34,求其线性方程组(4EA)X0,可解得基础解系为:
3(2,2,1)T。
将1,2,3单位化,得
11111(,122T,),3332123T
2212(,3323),3令
33(,21T,),33132
P=(1,2,3)=323231323232,3132则
PTAP=diag(-2,1,4)=0001000。4作正交替换X=PY,即
122xyyy3121333212
x2y1y2y3,333x2y2y1y3123333二次型f(x1,x2,x3)可化为标准形:
222
2y1y24y3。
(2)类似题(1)方法可得:
12
P=0121212121201T,PAP=020120200,202即得标准形:2y222y3。
(3)类似题(1)的方法可得: 2
P=3231323232322T,PAP=0301305000,1222即得标准形:2y15y2y3。
2、用配方法将下列二次型化为标准形:
222(1)f(x1,x2,x3)=x12x25x32x1x22x1x36x2x3;
(2)f(x1,x2,x3)=2x1x24x1x3;
(3)f(x1,x2,x3)=4x1x22x1x32x2x3。解:(1)先将含有x1的项配方。
f(x1,x2,x3)=x1+2x1(x2x3)+(x2x3)-(x2x3)+2x2+6x2x3+5x3
22=(x1x2x3)+x2+4x2x3+4x3,22222再对后三项中含有x2的项配方,则有
22222
f(x1,x2,x3)=(x1x2x3)+x2+4x2x3+4x3=(x1x2x3)+(x22x3)。
1TT设Y=(y1,y2,y3),X=(x1,x2,x3),B=002211012,0令Y=BX,则可将原二次型化为标准形y1y2。
(2)此二次型没有平方项,只有混合项。因此先作变换,使其有平方项,然后按题(1)的方法进行配方。令
x1y1y2x11
x2y1y2,即x2=1xyx0333110001y1y2。y3则原二次型化为
f(x1,x2,x3)=2(y1y2)(y1y2)+4(y1y2)y3 =2y12-2y2+4y1y3+4y2y3
=2(y1y3)2-2(y2y3)2,1TT设Y=(y1,y2,y3),Z=(z1,z2,z3),B=0001011,02令Z=BY,则可将原二次型化为标准形2z122z2。
(3)类似题(2)的方法,可将原二次型化为标准形:
4z14z2z3。
2223、用初等变换法将下列二次型化为标准形:
222(1)f(x1,x2,x3)=x12x24x32x1x24x2x3;
222(2)f(x1,x2,x3)=x13x2x32x1x22x1x36x2x3;
(3)f(x1,x2,x3)=4x1x22x1x36x2x3。(此题与课本貌似而已,注意哈)解:(1)二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为 1
A=1012202。4112010024001100100012110024001100100010110000。221于是
110AE=100122010024001100100令
1
C=0011022,1作可逆线性变换X=CY,原二次型可化为标准形:f(x1,x2,x3)=y12y2。
(2)类似题(1)的方法,原二次型可化为标准形:
2f(x1,x2,x3)= y124y2y3。
(3)类似题(1)的方法,原二次型可化为标准形:
f(x1,x2,x3)= 2y12
4、已知二次型
22cx32x1x26x1x36x2xf(x1,x2,x3)=5x125x212y26y3。
22的秩为2。求参数c的值,并将此二次型化为标准形。
解:二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为 5
A=1315333。c因为A的秩为2,令detA=0,可得c=3。
222即
f(x1,x2,x3)=5x15x23x32x1x26x1x36x2x3
也就是
5A= 1315333,322通过初等变换法,即可将其化为标准形:4y29y3。
5、设2n元二次型
f(x1,x2,,x2n)=x1x2nx2x2n1xnxn1 试用可逆线性替换法将其化为标准形。
解:令 x1y1y2n1x2y2y2n10xnynyn
1,P=xn1ynyn1xyy2n122n101xyy12n2n01011110111010,01即作正交变换X=CY,二次型f(x1,x2,,x2n)可化为标准型:
22y12ynyn1y2n。
223x32ax2x3(a>0)通过正交变换化为标准
6、已知二次型f(x1,x2,x3)=2x123x2225y3,求a的值及所作的正交替换矩阵。型fy122y2222解:因为原二次型可化为fy12y25y3,可知原二次型的矩阵的特征值为
1,2和5。
而原二次型的矩阵为 2
A=0003a0a。3故A的特征方程为
det(EA)=
0000a3a=(2)(69a)=0。
223因此将此特征方程的解1,2,5代入得:a=2。
对于11,求其线性方程组(EA)X0,可解得基础解系为
1(0,1,1)。
T对于22,求其线性方程组(2EA)X0,可解得基础解系为:
2(1,0,0)。
对于35,求其线性方程组(5EA)X0,可解得基础解系为:
T
3(0,1,1)。
T将1,2,3单位化,得
11111(0,12,12),T
2212(1,0,0),1212T
3故正交替换矩阵为:
33(0,),T0P=(1,2,3)=21210001。212练习4、3
1、判别下列二次型是否为正定二次型:
222(1)f(x1,x2,x3)=5x16x24x34x1x24x2x3;
222(2)f(x1,x2,x3)=10x12x2x38x1x224x1x328x2x3;
2222(3)f(x1,x2,x3,x4)=x1x24x37x46x1x34x1x44x2x3
2x2x44x3x4。解:(1)二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为 5
A=205226262002。45262由于5>0,=26>0,202=84>0, 4即A的一切顺序主子式都大于零,故此二次型为正定的。
(2)二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为
10
A=41242141214。1由于
1042141214=-3588<0,|A|=412故此二次型不为正定的。
(3)二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为: 10
A=320122324222。27由于
101232=-9<0,03故此二次型不为正定的。
2、当t为何值时,下列二次型为正定二次型:
222(1)f(x1,x2,x3)=x14x2x32tx1x210x1x36x2x3;
222(2)f(x1,x2,x3)=x1x25x32tx1x22x1x34x2x3;
222(3)f(x1,x2,x3)=2x1x2x32x1x2tx2x3。
解:(1)二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为: 1
A=t5t4353。1由于
1tt412=4t,tt4353=t230t105,15但易知不等式组
24t0
2
t30t1050无解,因此,不论t取何值,此二次型都不是正定的。
(2)二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为: 1
A=t1t1212。5
此二次型正定的充要条件为
1>0,451tt1=1t2>0,|A|=5t24t>0,由此解得:t0。
(3)二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为:
2A=100t。2011t2由
2>0, 2111>0,|A|=1t22>0,解得:2t2。
3、设A、B为n阶正定矩阵,证明BAB也是正定矩阵。证明:由于A、B是正定矩阵,故A及B为实对称矩阵。所以(BAB)=BAB=BAB,即BAB也为实对称矩阵。
由于A、B为正定矩阵,则存在可逆矩阵C1,C2,有
A= C1TC1,B= C2TC2,所以 BAB= C2TC2C1TC1C2TC2=(C1C2TC2)T(C1C2TC2),即
BAB也是正定矩阵。
4、如果A,B为n阶正定矩阵,则A+B也为正定矩阵。
证明:由于A、B是正定矩阵,故A及B为实对称矩阵。从而A+B也为实对称矩阵,而且
fXAX,gXBX,为正定二次型。于是对不全为零的实数x1,x2,,xn,有
XAX0,XBX0。TTTTTTTT故
h=XT(AB)X=XTAX+XTBX0,即二次型h=XT(AB)X为正定的,故A+B为正定矩阵。
5、设A为正定矩阵,则A-1和A*也是正定矩阵。其中A*为A的伴随矩阵。证明:因为A为正定矩阵,故A为实对称矩阵。从而(A1)T(AT)1A1 即A1也为对称矩阵,(A*)T(AT)*A*即A*也为对称矩阵。
由已知条件可知,存在可逆矩阵C,使得
ACTC。
于是
A1(CTC)1C1(C1)T=QTQ,A*=|A|A1|A|C1(C1)T=
1A1C[1AC1TT]=PP,其中Q=(C1)T,P=(-1*1AC1T)都为可逆矩阵。
故A和A都为正定矩阵。
6、设A为n×m实矩阵,且r(A)=m 证明(1)因为A为n×m实矩阵,所以AT为m×n矩阵,又r(A)=m AX=O , 只有零解。于是对于任意的 X O , 有 AX O。则 TTTX(AA)X=(AX)(AX)> 0。因此,ATA为正定矩阵。 (2)因为A为n×m实矩阵,所以AT为m×n矩阵,又r(A)=m XT(AAT)X=(A T X)T(A T X) 0。因此,AAT为半正定矩阵。 7、试证实二次型f(x1,x2,,xn)是半正定的充分必要条件是f的正惯性指数等于它的秩。 证明:充分性。设f的正惯性指数等于它的秩,都是r,则负惯性指数为零。于是f可经过线性变换X=CY变成 2f(x1,x2,,xn)=y1y2yr。 2从而对任一组实数x1,x2,,xn,由X=CY可得Y=CX,即有相应的实数y1,,yr,,yn,使f(x1,x2,,xn)=y12y2yr20.即f为半正定的。 必要性。设f为半正定的,则f的负惯性指数必为零。否则,f可经过线性变换X=CY化为 f(x1,x2,,xn)=y12ysys21yr2,s 于是当yr=1,其余yi=0时,由X=CY可得相应的值x1,x2,,xn,带入上式则得 f(x1,x2,,xn)=-1<0。 这与f为半正定的相矛盾,从而f的正惯性指数与秩相等。 8、证明:正定矩阵主对角线上的元素都是正的。 证明:设矩阵A为正定矩阵,因此fXTAX 为正定二次型。于是对不全为零的实数x1,x2,,xn,有 XTAX0,T取Xi(0,,0,1,0,,0),(i=1,2,…,n) 2-1 2T则iAidi0,(i=1,2,…,n)即主对角线上的元素都是正的。 (注:所有答案我已全部整理至此,有些题没找到,希望对大家有所帮助!——君不器) 1、设A,B为n阶方阵,则ABAB.()参考答案:正确 2、行列式如果互换任意两行,则行列式的值不变.()参考答案:错误 3、行列式中如果有两列元素对应成比例,则此行列式等于零.()参考答案:正确 142533331.()44行列式111222参考答案:错误 320224728,则5A,BA2B 471011491参考答案:正确 6、若A,B,C为矩阵,则有A(BC)(BC)A 参考答案:错误 7、若A,B为n阶矩阵,则有(AB)2A22ABB2 参考答案:错误 128、A为任一n阶方阵,且满足A2AE0,则AA2E,参考答案:正确 9、若2232546,则有XX1308 21参考答案:错误 10、对n维向量组1,,m, 若有不全为零的常数k1,,km, 使得 k11kmm0,称向量组1,,m线性相关() 参考答案:正确 11、向量组1,2,,m,m2线性相关的充要条件是该向量组中任一个向量都可以用其余m1个向量线性表示()参考答案:错误 12、向量组1,2,3线性无关, 则向量组112, 223, 331也线性无关 参考答案:正确 5113 13、列向量10, 21, 31, 43 则4可由1,2,3线性表 1111示 参考答案:正确 kx1x2x30 14、齐次线性方程组 x1kx2x30有非零解,则k0.()3xxx0123 参考答案 :错误 15、如果两个矩阵等价,那么它们的秩相等.()参考答案 :正确 16、如果ABC,则r(C)r(A).()参考答案 :正确 17、如果一个矩阵的秩是r,那么所有r阶子式都不为零.()参考答案 :错误 18、设是方阵A的一个特征值,则1是AE的一个特征值 参考答案:正确 19、设A是3阶方阵,A的特征值有3,则A一定有特征值参考答案:正确 20、一个实二次型f的矩阵A的秩称为该二次型的秩 参考答案:正确 选择题 11 30a01、三阶行列式b0c的值为().0d0选项A) abcd 选项B) acbd 选项C) adbc 选项D) 0 参考答案:D x1x2x3x3y3z32、若三阶行列式 y1y2y32,则三阶行列式x2y2z2().z1z2z3x1y1z1选项A) 选项B) 2选项C) 0 选项D)参考答案:A x1x2x32x12x22x33、若三阶行列式 y1y2y31,则三阶行列式y1y2y3(z1z2z3z1z2z3选项A)0 选项B) 2选项C)2 选项D)1 参考答案:B 33424、三阶行列式4812().246选项A) 8选项B) 8 选项C) 1选项D) 0 参考答案:D 5、当x取何值时,二阶行列式x119x0().选项A)x2 3选项B)x23 选项C)x3 选项D)x13或x13 参考答案:D 1236、已知三阶行列式D312,则元素a312的余子式 M31为().231选项A)1 选项B)1 选项C)2).选项D)2 参考答案: A 7、已知三阶行列式D3 中第一行的元素自左向右依次为1,1,2,它们的代数余子式分别为3,4,5,则三阶行列式D3=().选项A)7 选项B)8 选项C)9 选项D)10 参考答案: C 218、已知A0230,则A1=(004310选项A)14220 001310选项B)14220 001310选项C)220 001100选项D)110220 345参考答案:A 9、设A12,则A =().34选项A)1234 选项B)4231 选项C)4231 选项D)4231 ).参考答案:B 10、设A,B为n阶矩阵,为数,下列错误的是().选项A)ATA 选项B)ABAB 选项C)BAAB 选项D)AA 参考答案:D 11、设A为任一n阶方阵,下列结论正确的是().选项A)AAT 为反对称矩阵 选项B)AAT为对称矩阵 选项C)A 可以表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 选项D)AAT与AAT都同为对称矩阵 参考答案:C 12、已知A320471,B224,则(011A2B)T(选项A)728491 34选项B)2701 20选项C)2141 74选项D)29 81 参考答案:D 113、设A123321,B331,则AB().22选项A)13111113 选项B)11131311 ).111313选项D)11选项C)参考答案:A 11 1313 11011,则A().12 14、已知A选项A)21 1001选项B) 1221选项C) 1011选项D) 01参考答案:A 15、下列各行向量组线性相关的是().选项A)1(1,0,0),选项B)1(1,2,3),选项C)1(1,2,3),选项D)1(1,2,2),参考答案:B 16、下列各向量组中线性无关的是().选项A)1,2,0 选项B)(1,2),(2,4)选项C)(0,1),(1,2),(2,3)选项D)(1,2),(1,3)2(0,1,0),3(0,0,1)2(4,5,6),3(2,1,0)2(2,4,5); 2(2,1,2),3(2,2,1)参考答案:D 17、下列说法中错误的是().选项A)向量组线性相关,则向量组含有零向量 选项B)向量组1,2线性相关,则对应分量成比例 选项C)向量组1,2,,n线性相关,则1,2,,n中至少有一个向量能表示为其余向量线性组合 选项D)若向量组1,2,,n线性无关,则其部分向量组也线性无关 参考答案:A T18、向量组1线性相关,则数k().(k,-1,1),2(4,4,4)T(其中T为转置符号)选项A)1 选项B)2 选项C)3 选项D)4 参考答案:A 19、向量组1,2,,n线性无关的充要条件为().选项A)1,2,,n均不为零 选项B)1,2,,n中任两个向量的分量不成比例 选项C)1,2,,n中任一个向量不能由其余向量线性表示 选项D)1,2,,n中有一部分向量线性无关 参考答案:C 20、设n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A的秩为r,则Ax0有非零解的充分必要条件是().选项A)rn 选项B)rn 选项C)rn 选项D)rn 参考答案:B 21、线性方程组x1x20x1x20,当取何值时,方程组有非零解().选项A)0 选项B)1 选项C)2 选项D)任意实数 参考答案:B 22、已知A是mn矩阵,r(A)r,下列结论正确的是().选项A)rn时,Axb有唯一解 选项B)mn时,Axb有唯一解 选项C)rn时,Axb有无穷多解 选项D)mn时,Axb有解 参考答案:A 21110023、矩阵311左乘初等矩阵001 相当于进行下列哪种初等变换(278010选项A)第一行与第二行互换 选项B)第二行与第三行互换 选项C)第一列与第二列互换 选项D)第二列与第三列互换 参考答案:D 24、设矩阵A112331,则A的秩是().选项A)1 选项B)2 选项C)3 选项D)4 参考答案:B).2225、用正交变换化二次型x1为标准型是()2x1x2x22选项A)2y1 22选项B)y12y2 22选项C)2y1y2 222选项D) y1y2y3 参考答案:A a000a0的特征值是().26、矩阵000a选项A)a 选项B)0选项C)1 选项D)1,2,,n 参考答案:A 27、矩阵 31的特征值2对应的一个特征向量是().13选项A)(1,2)选项B)(1,1)选项C)(1,3)选项D)(1,4)参考答案:B 28、3阶矩阵A的特征值为1,0,1,矩阵BA2A4E的特征值为 选项A)1,2,3 选项B)3,0,3 选项C)7,4,3 2选项D)3,4,5 参考答案:C 29、已知向量(0,1,0)T,(1,0,1)T下列计算不正确的是()选项A)(1,1,1)T 选项B)(1,1,1)T 选项C)(,)0 选项D) 2(1,2,1)T 参考答案:D 30、矩阵A有n个特征值分别为2,3,4n,n1,A,B相似,则BE(选项A)1选项B)2 选项C)n 选项D) n!参考答案:D) 线性代数综合练习题 (六)一、选择题 1.设A是mn矩阵,齐次线性方程组AX0仅有零解的充要条件是()。(A)A的列向量组线性相关 (B)A的列向量组线性无关 (C)A的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性无关 2.1,2,,s(s2)线性无关的充要条件是() 都不是零向量 任意两个向量的分量不成比例 至少有一个向量不可由其余向量线性表示 每个向量均不可由其余向量线性表示(A)(B)(C)(D) ab223.设矩阵A。ba其中ab0且ab1,则A为() (A)正定矩阵 (B)负定矩阵 (C)初等矩阵 (D)正交矩阵 4.A为n阶方阵,i(i1,2,,n)是A的特征值,则必有()。 (A)i(i1,2,,n)互异 (B)i(i1,2,,n)不等于零 (C)12na11a22ann (D)12na11a22ann 5.若存在一组数k1k2km0使得k11k22kmm0成立,则向量组1,2,,n() (A)线性相关 (B)线性无关 (C)可能线性相关也可能线性无关 (D)部分线性相关 二、填空题 1223,B为非零矩阵,AB0,则t 。1.设A4t3112.设n阶方阵A的n个特征值为1,2,…,n,则AE。 1233.设列向量组13,23,32线性相关,则t。 2111024.已知正交矩阵A的两个列向量11,20,则A012。14112C355.若B,则BC10316 三、计算行列式 。111.11111234 491682764123234n12 2.Dn345n12n 1四、确定下列方程组是否有解,若有解,求其通解。 x12x2x3x4x512xxx2x3x212345 3x2xxx2x2234512x15x2x32x42x5 1五、解矩阵方程AXB求X,其中 101231 A012,B101 1101411211225011 六、求向量组1,2,3,4,5的最大线性无 0123314101关组,并把其他向量用最大线性无关组线性表示。 七、设n阶矩阵A满足AA,E为n阶单位矩阵,求证:R(A)R(AE)n。 23 八、设矩阵Ak421k,问当k为何值时,存在可逆矩阵P使得P1AP,232其中为对角矩阵?并求出相应的对角矩阵。 线性代数综合练习题 (六)参考答案 一、选择题 1.B 2.D 3.D 4.D 5.C 二、填空题 1021. 3,2.(n1)!,3. 1,4.100120,5.1212021422. 三、计算题行列式 1.解:原式(21)(31)(41)(32)(42)(43) 1 2121212n(n1)23n(n1)34n(n1)452n12n123134152n(n1)14n2.解:原式12n(n1)12n11312 112n1012n(n1)00111n111n11n11111 2n(n1)1n111n11111n(n1)0n0n112n(n1)(1)21(n1) 2nn00四(10分)、解:此方程组的增广矩阵为 1121111211232r0B(A)03211220251221所以系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,方程组有解.T0010001212785858011200 0T98385893511特解为(8,8,8,0,0),对应的齐次线性方程组的基础解系为1(1,0),2,2,2,1552(7)T.8,8,8,0,1所以通解为Xk11k22,(k1,k2R).五、解: 101231r012101(AB) 011170101231r012101 00127110r041000103141 0012714100所以XA1B3141.271 六、解:A1,2,3,4,5 11221112202151r022031315021104115002211221104r02151110300111 r0001100000000010010r0103100111 00000所以1,2,3是一个最大无关组,并且 41323,52 3七、证:由A2A得A(AE)0,所以 AE的列向量为方程组AX0的解,设R(A)r,则有R(AE)nr 所以 R(A)R(AE)rR(AE)rnrn 1112111 0 又R(EA)R(AE),所以 nR(AEA)R(A)R(EA)R(A)R(AE) 即 nR(A)R(AE),故 R(A)R(AE)n.八、解: 3AEk4得11,231,2122k3(1)(1)20 所以,A的特征值有重根,因此对于231而言,当方程组(AE)X0有两个线性无关的解时,A可以对角化.4AEk4224r0kk022220k 00若k0,则R(AE)2,方程组(AE)X0只有一个线性无关的解.422211r0000,当k0时,AE0042200011所以对应于231的特征向量为:12,20,021对应于11的特征向量为30,11111001令P200,且有PAP010.021001 线性代数综合练习题 (七)一、选择题 1.设A、B为n阶矩阵,则下面必成立的是()。 (A)ABAB (B)(AB)1A1B(C)ABBA (D)ABBA 2.设A为n阶矩阵,且A0,则(EA)1()。 (A)EA (B)EAA2Ak1 (C)EAAA2k1k (D)EA 3.设向量组1,2,,m的秩为3,则()。 (A)任意三个向量线性无关 (B)1,2,,m中无零向量 (C)任意四个向量线性相关 (D)任意两个向量线性无关 4.线性方程组Amnxn1bm1,(b0)有解的充要条件是()。 (A)R(A)R(A|b) (B)R(A)m (C)R(A)n (D)R(A)R(A|b) 5.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是()。 (A)A的n个特征值互不相同 (B)A可逆 (C)A无零特征值 (D)A有n个线性无关的特征向量 二、填空题 1.各列元素之和为0的n阶行列式的值等于。 2.设三阶矩阵A412321,则A 。3.设矩阵A111,B2,则AB,BA ,33。(BA) (k为正整数)k14.设R(A34)2,P0012012,则R(PA) 。35.设向量组1,2,3线性无关,则向量组112,223,331线性。 6.设三阶可逆矩阵A的特征值分别为2、3、5,则A ,A的伴随矩阵A的特征值为。 7.设实二次型f(x1,x2,x3)x12x2kx32x1x22x1x32x2x3为正定二次型,则参数k的取值范围是。 三、计算题 01.设1010000X110000102110387954,求矩阵X。62222.当取何值时,线性方程组 x1x2x31x1x2x3 xxx2123有(1)惟一解;(2)无解;(3)无穷多解,并求通解。 11012121363.设四维向量组1,,24351124,求001115该向量组的秩及一个极大线性无关组,并把其余向量用该极大线性无关组线性表示。 4.求一个正交变换XPY,将实二次型 f(x1,x2,x3)2x1x2x34x2x3 222化为标准形,并判断该二次型是否正定。 四、证明题 21.设A为n阶矩阵,如果AE,则R(AE)R(AE)n。 2.设n阶矩阵A0,A0(k为正整数),则A不能与对角矩阵相似。 k线性代数综合练习题 (七)参考答案 一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.A 5.D 二、填空题 01.0 2.01201300 3.3, 01412312132k12, 33113123121322 31134.2 5.无关 6.30,15,10,6 7.k1 三、计算题 01.解:X100101231001004560011213879879514060514060001001010 102011301 078.92.解:线性方程组的系数行列式 A11111(2)(1),21(1)当A0,即2且1时,方程组有惟一解; (2)当2时,R(A)2R(Ab)3,方程组无解; (3)当1时,1b)111111111r1110010010010 0A(A因为R(A)R(A)13,所以方程组有无穷多解,且通解为 111xk11k200,k1,k2为任意实数.0103.解:A(1,2,3,4,5)110012110111132126r45100001001100001012,30所以 R(1,2,3,4,5)3,1,2,4为向量组1,2,3,4,5的一个极大线性无关组,且 312,51223 424.解:二次型的矩阵 A00A的特征多项式 01202,12AE00012021(1)(2)(3),所以A的特征值为11,22,33.0011对应的线性无关的特征向量为11,单位化得p112112110,单位化得p20; 00; 22对应的线性无关的特征向量为20033对应的线性无关的特征向量为31,单位化得p312.112x1所求正交变换为 x2x301212210020y11y2,21y322二次型的标准形为 fy12y23y3,因为110,所以该二次型不是正定二次型.四、证明题 1.证:由A2E,得(AE)(AE)0,则 R(AE)R(AE)n; 又 R(AE)R(AE)R(AE)R(EA)R(2E)n,所以 R(AE)R(AE)n.2.证:反证法,假设A与对角矩阵相似,则存在可你矩阵P,使得 P1APdiag(1,2,,n),1(1,2,,n)P则 APdiagkkkk,1(1,2,,n)P从而 APdiag0,所以 10,20,…,n0,因而 A0,这与A0矛盾,故A不能与对角矩阵相似.第三篇:线性代数机考练习题
第四篇:线性代数综合练习题及答案6
第五篇:线性代数综合练习题及答案7