线性代数1-2章精选练习题

第一篇：线性代数1-2章精选练习题

第一章

行列式

一、单项选择题

1．下列排列是5阶偶排列的是（）.(A)24315

(B)14325

(C)41523

(D)24351 2．如果n阶排列j1j2jn的逆序数是k, 则排列jnj2j1的逆序数是（）.n!n(n1)k

(A)k

(B)nk

(C)k

(D)223.n阶行列式的展开式中含a11a22的项共有（）项.(A)0

(B)n

2(C)(n2)!

(D)(n1)!

004．01005.***00010（）.0000（）.1012中x3项的系数是（）.312a11a13 a23a33a112a12a212a22（）.a312a32(A)0

(B)(C)1

(D)2(A)0

(B)1

(C)1

(D)2 2xx11x16．在函数f(x)32x000a11a12 a22a32a13a23a33(A)0

(B)1

(C)1

(D)2 7.若Da21a31a11a21a12a221，则D12a2122a31ka22ka21

(A)4

(B)(C)2

(D)2 8．若a，则

a12a11（）.(A)ka

(B)ka

(C)k2a

(D)k2a

9． 已知4阶行列式中第1行元依次是4,0,1,3, 第3行元的余子式依次为2,5,1,x, 则x（）.(A)0

(B)(C)3

(D)2 8743623110.若D，则D中第一行元的代数余子式的和为（）.11114375(A)1

(B)2

(C)3

(D)0

30411111.若D01053201，则D中第四行元的余子式的和为（）.02(A)1

(B)2

(C)3

(D)0

x1x2kx3012.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1kx2x30有非零解.kxxx0231（）

(A)1

(B)2

(C)3

(D)0

二、填空题

1.2n阶排列24(2n)13(2n1)的逆序数是2．在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符号是3．四阶行列式中包含a22a43且带正号的项是

...4．若一个n阶行列式中至少有n2n1个元素等于0, 则这个行列式的值等于.105.行列式***11000.6．行列式0n020000.n10a11a1(n1)a21a2(n1)7．行列式an10a11a12 a22a32a13a1n00.a11a133a12 3a12a233a22a333a323a223a328．如果Da21a31a23M，则D1a21a33a31.9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为

.111x111x1110．行列式1x111x1111111111．n阶行列式

11则该行列式的值为

..111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，1513．设行列式D482637372648，A4j(j1,2,3,4)为D中第四行元的代数余子式，15.则4A413A422A43A44ac14．已知Dbabbaccaab，D中第四列元的代数余子式的和为ccbd23513462.1315．设行列式D11446，A4j为a4j(j1,2,3,4)的代数余子式，则72.A41A42，A43A441116．已知行列式D13205032n100，D中第一行元的代数余子式的和为

100n.kx12x2x317．齐次线性方程组02x1kx0仅有零解的充要条件是.2x1x2x30x12x2x18．若齐次线性方程组302x25x30有非零解，则k=.3x12x2kx30

三、计算题

abcda2xy1.b2c2d2xya3b3c3d3;

2．yxyx；bcdacdabdabcxyxy

xa1a2an201x1a1xa2an23．解方程101xa2xan2x1100；

4．a11x10a1a2a3xa1a2a3an1a01111a1115.11a21(aj1,j0,1,,n)；

111an

；

11111111131b116.112b1

111(n1)b

1111b1a1a1a17.b1b2a2a2；

b1b2b3an

1x21x1x2x1xn9.xx2211x2x2xn;

xnx1xnx21x2n

1aa00011aa0011．D011aa0.0011aa00011a

四、证明题

a21a2a1a1b21b111．设abcd1，证明：

b2bc2110.c2cc1d211d2dd1

a1b1xa1xb1c1a1b1c12．a2b2xa2xb2c2(1x2)a2b2c2.a3b3xa3xb3c3a3b3c3xa1a2ana1xa2an8．a1a2xan;a1a2a3x210001210010.01200000210001

211ab3．2ab2a4b4 1cc2c41d(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)(abcd).2dd41a14．1a22a21an2ana12a1n2a1naii1n1ijn(ajai).n2n2a2anna2nan

11bb31c0的充要条件是abc0.c35．设a,b,c两两不等，证明aa

3参考答案

一．单项选择题

A D A C C D A B C D B B 二．填空题

1.n;2.“”;3.a14a22a31a43;4.0;5.0;6.(1)n1n!;7.(1)n(n1)2a1na2(n1)an1;8.3M;9.160;10.x4;11.(n)n1;12.2;

n113.0;14.0;15.12,9;16.n!(1);17.k2,3;18.k7

k1k三．计算题

1．(abcd)(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)； 2.2(x3y3)； 3.x2,0,1;

4.nn(xak1n1k)

5.(ak1)(1k01);

6.(2b)(1b)((n2)b);k0ak17.(1)n(bk1nkak);

8.(xak)(xak);

k1k1nn9.1xk;

10.n1;k1n11.(1a)(1a2a4).四.证明题(略)

第二章

矩阵

一、单项选择题

1.A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是()。(a)A2A2(b)

A2B2(AB)(AB)(c)

(AB)AA2AB

(d)(AB)TATBT 2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足()时，B=C。

(a)AB =BA(b)A0(c)方程组AX=0有非零解(d)B、C可逆 3.若A为n阶方阵，k为非零常数，则kA()。(a)kA

(b)

kA

(c)knA

(d)

kA

n4.设A为n阶方阵，且A0，则()。

(a)A中两行(列)对应元素成比例(b)A中任意一行为其它行的线性组合(c)A中至少有一行元素全为零(d)A中必有一行为其它行的线性组合 5.设A，B为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是()。(a)(AB)1A1B1(b)(AB)TAB

(c)(A1B)TA1B(d)(AB)1A1B1 6.设A为n阶方阵,A*为A的伴随矩阵,则()。(a)(a)A*A1(b)A*A(c)A*An1(d)A*An1

7.设A为3阶方阵,行列式A1,A*为A的伴随矩阵,则行列式(2A)12A*()。

(a)278278(b)(c)(d)8278278.设A，B为n阶方矩阵,A2B2,则下列各式成立的是()。

(a)AB(b)AB(c)AB(d)AB 9.设A，B均为n阶方矩阵,则必有()。

(a)ABAB(b)ABBA(c)ABBA(d)AB 10.设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）。（a）2A2AT(b)(2A)12A1

(c)[(A1)1]T[(AT)T]1(d)[(AT)T]1[(A1)T]T

a1111.如果Aa21a31a12a22a32a13a113a31a23a21a33a31a123a32a22a32a133a33a23，则A（）。a332222100103003100（a）010(b)010(c)010(d)010

30100110103113112.已知A220，则（）。

311（a）ATA(b)A1A*

100113100113（c）A001202（d）001A202

01031101031113.设A,B,C,I为同阶方阵，I为单位矩阵，若ABCI，则（）。

（a）ACBI（b）CABI（c）CBAI（d）BACI 14.设A为n阶方阵，且|A|0，则（）。（a）A经列初等变换可变为单位阵I（b）由AXBA，可得XB

（c）当(A|I)经有限次初等变换变为(I|B)时，有A1B

（d）以上（a）、（b）、（c）都不对 15.设A为mn阶矩阵，秩(A)rmn，则（）。

（a）A中r阶子式不全为零（b）A中阶数小于r的子式全为零

Ir（c）A经行初等变换可化为00（d）A为满秩矩阵 016.设A为mn矩阵，C为n阶可逆矩阵，BAC，则()。(a)秩(A)> 秩(B)(b)秩(A)= 秩(B)(c)秩(A)< 秩(B)(d)秩(A)与秩(B)的关系依C而定 17.A，B为n阶非零矩阵，且AB0，则秩(A)和秩(B)()。

(a)有一个等于零(b)都为n(c)都小于n(d)一个小于n，一个等于n 18.n阶方阵A可逆的充分必要条件是()。

(a)r(A)rn(b)A的列秩为n(c)A的每一个行向量都是非零向量(d)伴随矩阵存在 19.n阶矩阵A可逆的充要条件是()。(a)A的每个行向量都是非零向量(b)A中任意两个行向量都不成比例

(c)A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示

(d)对任何n维非零向量X，均有AX0

二、填空题

1.设A为n阶方阵,I为n阶单位阵,且A2I,则行列式A_______ 0ab2.行列式a0c_______ bc01013.设2A020，则行列式(A3I)1(A29I)的值为_______ 0014.设A123232，且已知A6I，则行列式A11_______ 125.设A为5阶方阵，A*是其伴随矩阵，且A3，则A*_______ 6.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______ a1b1a2b17.非零矩阵abn1a1b2a2b2anb2a1bna2bn的秩为________

anbn8.设A为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X，均有AX0，则A的秩为_______ 9.若A(aij)为15阶矩阵，则ATA的第4行第8列的元素是_______

4IA10.若方阵与相似，则_______ A2K1KK12_______ 11.limK113KK1212.lim0n01211_______ 3104n

三、计算题

1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).223220101320211)110X32 ； 2)100X 111012102001 ；

3101013)X(IB1C)TBTI,其中B404 ； C212

422121 ；1014)AXA2XI,其中A020

101；4235)AXA2X,其中A110123；

2.设A为n阶对称阵,且A20,求A.1103.已知A021,求(A2I)(A24I)1.101A1123400124.设A1,A3,A4,求A,A22300010131125.设A224,求一秩为2的方阵B,使AB0.336A2A4.2110116.设A101,B121,求非奇异矩阵C,使ACTBC.1101107.求非奇异矩阵P,使P1AP为对角阵.12121A131 1)A 2)12201

8.已知三阶方阵A的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为(0,0,1)T,(1,1,0)T,(2,1,1)T,求矩阵A.5329.设A644,求A100.445

四、证明题

1.设A、B均为n阶非奇异阵,求证AB可逆.2.设Ak0(k为整数), 求证IA可逆.3.设a1.a2,,ak为实数,且如果ak0,如果方阵A满足Aka1Ak1ak1AakI0,求证A是非奇异阵.4.设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA.5.证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.6.证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.8.证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。

第二章参考答案

一：1.a；2.b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.二．1.1或-1；2.0；3.-4；4.1；5.81；6.0；7.1；8.100；9.ai4ai8；

i1150210.I；12.0；11.00.100

三、1.1）、132160122）、；2121301432013）、4）、153；030；；

102164012138603101215）、296.2.0；3.131； 1204.002129；1000013110101131111不唯一；6.100；2115.17.1）、.2)、；111001122003100（20221001）221003100310013***223）442（23）（231）8.100；9.（.100100100111（231）（213）（23）1

第二篇：线性代数机考练习题

1、设A,B为n阶方阵，则ABAB.()参考答案：正确

2、行列式如果互换任意两行，则行列式的值不变.()参考答案：错误

3、行列式中如果有两列元素对应成比例，则此行列式等于零.()参考答案：正确

142533331.()44行列式111222参考答案：错误

320224728，则5A,BA2B 471011491参考答案：正确

6、若A,B,C为矩阵，则有A(BC)(BC)A

参考答案：错误

7、若A,B为n阶矩阵，则有(AB)2A22ABB2

参考答案：错误

128、A为任一n阶方阵，且满足A2AE0，则AA2E，参考答案：正确

9、若2232546，则有XX1308 21参考答案：错误

10、对n维向量组1,,m, 若有不全为零的常数k1,,km, 使得

k11kmm0，称向量组1,,m线性相关（）

参考答案：正确

11、向量组1,2,,m,m2线性相关的充要条件是该向量组中任一个向量都可以用其余m1个向量线性表示（）参考答案：错误

12、向量组1,2,3线性无关, 则向量组112, 223, 331也线性无关 参考答案：正确

5113

13、列向量10, 21, 31, 43 则4可由1,2,3线性表

1111示

参考答案：正确

kx1x2x30

14、齐次线性方程组 x1kx2x30有非零解，则k0.()3xxx0123 参考答案 ：错误

15、如果两个矩阵等价，那么它们的秩相等.()参考答案 ：正确

16、如果ABC,则r(C)r(A).()参考答案 ：正确

17、如果一个矩阵的秩是r,那么所有r阶子式都不为零.()参考答案 ：错误

18、设是方阵A的一个特征值，则1是AE的一个特征值 参考答案：正确

19、设A是3阶方阵，A的特征值有3，则A一定有特征值参考答案：正确

20、一个实二次型f的矩阵A的秩称为该二次型的秩 参考答案：正确 选择题

11 30a01、三阶行列式b0c的值为().0d0选项A)

abcd

选项B)

acbd

选项C)

adbc

选项D)

0

参考答案：D x1x2x3x3y3z32、若三阶行列式 y1y2y32，则三阶行列式x2y2z2().z1z2z3x1y1z1选项A)

选项B)

2选项C)

0

选项D)参考答案：A x1x2x32x12x22x33、若三阶行列式 y1y2y31，则三阶行列式y1y2y3(z1z2z3z1z2z3选项A)0

选项B)

2选项C)2

选项D)1 参考答案：B 33424、三阶行列式4812().246选项A)

8选项B)

8

选项C)

1选项D)

0 参考答案：D

5、当x取何值时，二阶行列式x119x0().选项A)x2

3选项B)x23

选项C)x3

选项D)x13或x13

参考答案：D

1236、已知三阶行列式D312，则元素a312的余子式 M31为().231选项A)1 选项B)1

选项C)2).选项D)2 参考答案: A

7、已知三阶行列式D3 中第一行的元素自左向右依次为1,1,2，它们的代数余子式分别为3,4,5，则三阶行列式D3=().选项A)7 选项B)8 选项C)9 选项D)10 参考答案: C



218、已知A0230，则A1=(004310选项A）14220 001310选项B）14220

001310选项C）220 001100选项D）110220 345参考答案:A

9、设A12，则A

=（）.34选项A）1234 选项B）4231

选项C）4231 选项D）4231

).参考答案:B

10、设A,B为n阶矩阵，为数，下列错误的是（）.选项A）ATA

选项B）ABAB 选项C）BAAB 选项D）AA

参考答案:D

11、设A为任一n阶方阵，下列结论正确的是（）.选项A）AAT 为反对称矩阵 选项B）AAT为对称矩阵

选项C）A 可以表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 选项D）AAT与AAT都同为对称矩阵 参考答案:C

12、已知A320471,B224，则(011A2B)T(选项A）728491

34选项B）2701

20选项C)2141 74选项D)29 81

参考答案:D

113、设A123321,B331，则AB（）.22选项A）13111113 选项B）11131311 ).111313选项D）11选项C）参考答案:A 11 1313 11011，则A（）.12

14、已知A选项A）21 1001选项B）

1221选项C）

1011选项D）

01参考答案:A

15、下列各行向量组线性相关的是().选项A）1(1,0,0),选项B）1(1,2,3),选项C）1(1,2,3),选项D）1(1,2,2),参考答案：B

16、下列各向量组中线性无关的是().选项A）1,2,0 选项B）(1,2),(2,4)选项C）(0,1),(1,2),(2,3)选项D）(1,2),(1,3)2(0,1,0),3(0,0,1)2(4,5,6),3(2,1,0)2(2,4,5)；

2(2,1,2),3(2,2,1)参考答案：D

17、下列说法中错误的是（）.选项A）向量组线性相关，则向量组含有零向量 选项B）向量组1,2线性相关，则对应分量成比例

选项C）向量组1,2,,n线性相关，则1,2,,n中至少有一个向量能表示为其余向量线性组合

选项D）若向量组1,2,,n线性无关，则其部分向量组也线性无关 参考答案：A

T18、向量组1线性相关，则数k().（k,-1,1）,2(4,4,4)T（其中T为转置符号）选项A）1 选项B）2 选项C）3 选项D）4 参考答案：A

19、向量组1,2,,n线性无关的充要条件为().选项A)1,2,,n均不为零

选项B)1,2,,n中任两个向量的分量不成比例 选项C)1,2,,n中任一个向量不能由其余向量线性表示 选项D)1,2,,n中有一部分向量线性无关 参考答案：C

20、设n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A的秩为r，则Ax0有非零解的充分必要条件是（）.选项A)rn 选项B)rn 选项C)rn 选项D)rn 参考答案：B

21、线性方程组x1x20x1x20，当取何值时，方程组有非零解（）.选项A)0 选项B)1 选项C)2 选项D)任意实数 参考答案：B

22、已知A是mn矩阵，r(A)r，下列结论正确的是（）.选项A)rn时，Axb有唯一解 选项B)mn时，Axb有唯一解

选项C）rn时，Axb有无穷多解 选项D)mn时，Axb有解 参考答案：A 21110023、矩阵311左乘初等矩阵001

相当于进行下列哪种初等变换(278010选项A)第一行与第二行互换

选项B)第二行与第三行互换 选项C)第一列与第二列互换

选项D)第二列与第三列互换 参考答案：D

24、设矩阵A112331，则A的秩是（）.选项A)1 选项B)2 选项C)3 选项D)4 参考答案：B).2225、用正交变换化二次型x1为标准型是（）2x1x2x22选项A)2y1

22选项B)y12y2

22选项C)2y1y2

222选项D)

y1y2y3

参考答案：A

a000a0的特征值是().26、矩阵000a选项A)a 选项B)0选项C)1 选项D)1,2,,n 参考答案：A

27、矩阵

31的特征值2对应的一个特征向量是().13选项A)(1,2)选项B)(1,1)选项C)(1,3)选项D)(1,4)参考答案：B 28、3阶矩阵A的特征值为1,0,1,矩阵BA2A4E的特征值为 选项A)1,2,3 选项B)3,0,3 选项C)7,4,3

2选项D)3,4,5 参考答案：C

29、已知向量(0,1,0)T,(1,0,1)T下列计算不正确的是（）选项A)(1,1,1)T

选项B)(1,1,1)T

选项C)(,)0

选项D)

2(1,2,1)T

参考答案：D

30、矩阵A有n个特征值分别为2,3,4n,n1，A,B相似，则BE(选项A)1选项B)2 选项C)n

选项D)

n!参考答案：D)

第三篇：线性代数第四章练习题答案

第四章

二

次

型

练习4、1

1、写出下列二次型的矩阵

2（1）f(x1,x2,x3)=2x12x24x1x32x2x3；

（2）f(x1,x2,x3,x4)=2x1x22x1x32x1x42x3x4。

解：（1）因为

2

f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)022所以二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为：02011011210x1x2x3, 21。0（2）因为

0f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4)1101所以二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为：11***11010x1x2x3x4，10。10

2、写出下列对称矩阵所对应的二次型： 11（1）2121201212；

（2）21201211212112012012。12102

T解：（1）设X(x1,x2,x3)，则

1f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3)21212021222x1x2x3 

=x122x32x1x2x1x34x2x3。（2）设X(x1,x2,x3,x4)T，则

01

f(x1,x2,x3,x4)=XTAX=(x1,x2,x3,x4)2101211212112012012121x1x2x3x4 

2=x2x4x1x22x1x3x2x3x2x4x3x4。

练习4、2

1、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。

22（1）f(x1,x2,x3)=2x1x24x1x24x2x3；

（2）f(x1,x2,x3)=2x1x22x2x3；

222（3）f(x1,x2,x3)=x12x23x34x1x24x2x3。

解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵 2

A=2021202。0A的特征方程为

det(EA)=

20202=(2)(254)=0，12由此得到A的特征值12，21，34。

对于12，求其线性方程组(2EA)X0，可解得基础解系为

1(1,2,2)T。

对于21，求其线性方程组(EA)X0，可解得基础解系为：

2(2,1,2)T。

对于34，求其线性方程组(4EA)X0，可解得基础解系为：

3(2,2,1)T。

将1,2,3单位化，得

11111(,122T,)，3332123T

2212(，3323)，3令

33(,21T,)，33132

P=(1,2,3)=323231323232，3132则

PTAP=diag(-2,1,4)=0001000。4作正交替换X=PY，即

122xyyy3121333212

x2y1y2y3，333x2y2y1y3123333二次型f(x1,x2,x3)可化为标准形：

222

2y1y24y3。

（2）类似题（1）方法可得：

12

P=0121212121201T，PAP=020120200，202即得标准形：2y222y3。

（3）类似题（1）的方法可得： 2

P=3231323232322T，PAP=0301305000，1222即得标准形：2y15y2y3。

2、用配方法将下列二次型化为标准形：

222（1）f(x1,x2,x3)=x12x25x32x1x22x1x36x2x3；

（2）f(x1,x2,x3)=2x1x24x1x3；

（3）f(x1,x2,x3)=4x1x22x1x32x2x3。解：（1）先将含有x1的项配方。

f(x1,x2,x3)=x1+2x1(x2x3)+(x2x3)－(x2x3)+2x2+6x2x3+5x3

22=(x1x2x3)+x2+4x2x3+4x3，22222再对后三项中含有x2的项配方，则有

22222

f(x1,x2,x3)=(x1x2x3)+x2+4x2x3+4x3=(x1x2x3)+(x22x3)。

1TT设Y=(y1,y2,y3)，X=(x1,x2,x3)，B=002211012，0令Y=BX，则可将原二次型化为标准形y1y2。

（2）此二次型没有平方项，只有混合项。因此先作变换，使其有平方项，然后按题（1）的方法进行配方。令

x1y1y2x11

x2y1y2，即x2=1xyx0333110001y1y2。y3则原二次型化为

f(x1,x2,x3)=2(y1y2)(y1y2)+4(y1y2)y3 =2y12－2y2+4y1y3+4y2y3

=2(y1y3)2－2(y2y3)2，1TT设Y=(y1,y2,y3)，Z=(z1,z2,z3)，B=0001011，02令Z=BY，则可将原二次型化为标准形2z122z2。

（3）类似题（2）的方法，可将原二次型化为标准形：

4z14z2z3。

2223、用初等变换法将下列二次型化为标准形：

222（1）f(x1,x2,x3)=x12x24x32x1x24x2x3；

222（2）f(x1,x2,x3)=x13x2x32x1x22x1x36x2x3；

（3）f(x1,x2,x3)=4x1x22x1x36x2x3。（此题与课本貌似而已，注意哈）解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为 1

A=1012202。4112010024001100100012110024001100100010110000。221于是

110AE=100122010024001100100令

1

C=0011022，1作可逆线性变换X=CY，原二次型可化为标准形：f(x1,x2,x3)=y12y2。

（2）类似题（1）的方法，原二次型可化为标准形：

2f(x1,x2,x3)= y124y2y3。

（3）类似题（1）的方法，原二次型可化为标准形：

f(x1,x2,x3)= 2y12

4、已知二次型

22cx32x1x26x1x36x2xf(x1,x2,x3)=5x125x212y26y3。

22的秩为2。求参数c的值，并将此二次型化为标准形。

解：二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为 5

A=1315333。c因为A的秩为2，令detA=0，可得c=3。

222即

f(x1,x2,x3)=5x15x23x32x1x26x1x36x2x3

也就是

5A= 1315333，322通过初等变换法，即可将其化为标准形：4y29y3。

5、设2n元二次型

f(x1,x2,,x2n)=x1x2nx2x2n1xnxn1 试用可逆线性替换法将其化为标准形。

解：令 x1y1y2n1x2y2y2n10xnynyn

1，P=xn1ynyn1xyy2n122n101xyy12n2n01011110111010，01即作正交变换X=CY，二次型f(x1,x2,,x2n)可化为标准型：

22y12ynyn1y2n。

223x32ax2x3(a>0)通过正交变换化为标准

6、已知二次型f(x1,x2,x3)=2x123x2225y3，求a的值及所作的正交替换矩阵。型fy122y2222解：因为原二次型可化为fy12y25y3，可知原二次型的矩阵的特征值为

1，2和5。

而原二次型的矩阵为 2

A=0003a0a。3故A的特征方程为

det(EA)=

0000a3a=(2)(69a)=0。

223因此将此特征方程的解1，2，5代入得：a=2。

对于11，求其线性方程组(EA)X0，可解得基础解系为

1(0,1,1)。

T对于22，求其线性方程组(2EA)X0，可解得基础解系为：

2(1,0,0)。

对于35，求其线性方程组(5EA)X0，可解得基础解系为：

T

3(0,1,1)。

T将1,2,3单位化，得

11111(0,12,12)，T

2212(1,0,0)，1212T

3故正交替换矩阵为：

33(0，)，T0P=(1,2,3)=21210001。212练习4、3

1、判别下列二次型是否为正定二次型：

222（1）f(x1,x2,x3)=5x16x24x34x1x24x2x3；

222（2）f(x1,x2,x3)=10x12x2x38x1x224x1x328x2x3；

2222（3）f(x1,x2,x3,x4)=x1x24x37x46x1x34x1x44x2x3

2x2x44x3x4。解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为 5

A=205226262002。45262由于5>0，=26>0，202=84>0, 4即A的一切顺序主子式都大于零，故此二次型为正定的。

（2）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为

10

A=41242141214。1由于

1042141214=-3588<0，|A|=412故此二次型不为正定的。

（3）二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为： 10

A=320122324222。27由于

101232=-9<0，03故此二次型不为正定的。

2、当t为何值时，下列二次型为正定二次型：

222（1）f(x1,x2,x3)=x14x2x32tx1x210x1x36x2x3；

222（2）f(x1,x2,x3)=x1x25x32tx1x22x1x34x2x3；

222（3）f(x1,x2,x3)=2x1x2x32x1x2tx2x3。

解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为： 1

A=t5t4353。1由于

1tt412=4t，tt4353=t230t105，15但易知不等式组

24t0

2

t30t1050无解，因此，不论t取何值，此二次型都不是正定的。

（2）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为： 1

A=t1t1212。5

此二次型正定的充要条件为

1>0，451tt1=1t2>0，|A|=5t24t>0，由此解得：t0。

（3）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为： 

2A=100t。2011t2由

2>0, 2111>0，|A|=1t22>0，解得：2t2。

3、设A、B为n阶正定矩阵，证明BAB也是正定矩阵。证明：由于A、B是正定矩阵，故A及B为实对称矩阵。所以(BAB)=BAB=BAB，即BAB也为实对称矩阵。

由于A、B为正定矩阵，则存在可逆矩阵C1，C2，有

A= C1TC1，B= C2TC2，所以 BAB= C2TC2C1TC1C2TC2=(C1C2TC2)T(C1C2TC2)，即

BAB也是正定矩阵。

4、如果A，B为n阶正定矩阵，则A+B也为正定矩阵。

证明：由于A、B是正定矩阵，故A及B为实对称矩阵。从而A+B也为实对称矩阵，而且

fXAX，gXBX，为正定二次型。于是对不全为零的实数x1,x2,,xn，有

XAX0，XBX0。TTTTTTTT故

h=XT(AB)X=XTAX+XTBX0，即二次型h=XT(AB)X为正定的，故A+B为正定矩阵。

5、设A为正定矩阵，则A-1和A*也是正定矩阵。其中A*为A的伴随矩阵。证明：因为A为正定矩阵，故A为实对称矩阵。从而(A1)T(AT)1A1 即A1也为对称矩阵，(A*)T(AT)*A*即A*也为对称矩阵。

由已知条件可知，存在可逆矩阵C，使得

ACTC。

于是

A1(CTC)1C1(C1)T=QTQ，A*=|A|A1|A|C1(C1)T=

1A1C[1AC1TT]=PP，其中Q=(C1)T，P=(-1*1AC1T)都为可逆矩阵。

故A和A都为正定矩阵。

6、设A为n×m实矩阵，且r(A)=m

证明（1）因为A为n×m实矩阵，所以AT为m×n矩阵，又r(A)=m

AX＝O , 只有零解。于是对于任意的 X  O , 有 AX  O。则

TTTX（AA）X＝（AX）（AX）＞ 0。因此，ATA为正定矩阵。

（2）因为A为n×m实矩阵，所以AT为m×n矩阵，又r(A)=m

XT（AAT）X＝（A T X）T（A T X） 0。因此,AAT为半正定矩阵。

7、试证实二次型f(x1,x2,,xn)是半正定的充分必要条件是f的正惯性指数等于它的秩。

证明：充分性。设f的正惯性指数等于它的秩，都是r，则负惯性指数为零。于是f可经过线性变换X=CY变成

2f(x1,x2,,xn)=y1y2yr。

2从而对任一组实数x1,x2,,xn，由X=CY可得Y=CX，即有相应的实数y1,,yr,,yn，使f(x1,x2,,xn)=y12y2yr20.即f为半正定的。

必要性。设f为半正定的，则f的负惯性指数必为零。否则，f可经过线性变换X=CY化为

f(x1,x2,,xn)=y12ysys21yr2，s

于是当yr=1，其余yi=0时，由X=CY可得相应的值x1,x2,,xn，带入上式则得

f(x1,x2,,xn)=－1<0。

这与f为半正定的相矛盾，从而f的正惯性指数与秩相等。

8、证明：正定矩阵主对角线上的元素都是正的。

证明：设矩阵A为正定矩阵，因此fXTAX 为正定二次型。于是对不全为零的实数x1,x2,,xn，有

XTAX0，T取Xi(0,,0,1,0,,0)，(i=1,2,…,n)

2-1

2T则iAidi0，(i=1,2,…,n)即主对角线上的元素都是正的。

（注：所有答案我已全部整理至此，有些题没找到，希望对大家有所帮助！——君不器）

第四篇：线性代数综合练习题及答案6

线性代数综合练习题

（六）一、选择题

1.设A是mn矩阵，齐次线性方程组AX0仅有零解的充要条件是（）。（A）A的列向量组线性相关

（B）A的列向量组线性无关

（C）A的行向量组线性相关

（D）A的行向量组线性无关

2.1,2,,s(s2)线性无关的充要条件是（）

都不是零向量

任意两个向量的分量不成比例

至少有一个向量不可由其余向量线性表示 每个向量均不可由其余向量线性表示（A）（B）（C）（D）

ab223.设矩阵A。ba其中ab0且ab1，则A为（）

（A）正定矩阵

（B）负定矩阵

（C）初等矩阵

（D）正交矩阵

4.A为n阶方阵，i(i1,2,,n)是A的特征值，则必有（）。

（A）i(i1,2,,n)互异

（B）i(i1,2,,n)不等于零

（C）12na11a22ann

（D）12na11a22ann 5.若存在一组数k1k2km0使得k11k22kmm0成立，则向量组1,2,,n（）

（A）线性相关

（B）线性无关

（C）可能线性相关也可能线性无关

（D）部分线性相关

二、填空题

1223，B为非零矩阵，AB0，则t

。1.设A4t3112.设n阶方阵A的n个特征值为1，2，…，n，则AE。

1233.设列向量组13，23，32线性相关，则t。

2111024.已知正交矩阵A的两个列向量11，20，则A012。14112C355.若B，则BC10316

三、计算行列式

。111.11111234

491682764123234n12 2.Dn345n12n

1四、确定下列方程组是否有解，若有解，求其通解。

x12x2x3x4x512xxx2x3x212345 3x2xxx2x2234512x15x2x32x42x5

1五、解矩阵方程AXB求X，其中

101231

A012，B101

1101411211225011

六、求向量组1，2，3，4，5的最大线性无

0123314101关组，并把其他向量用最大线性无关组线性表示。

七、设n阶矩阵A满足AA，E为n阶单位矩阵，求证：R(A)R(AE)n。

23

八、设矩阵Ak421k，问当k为何值时，存在可逆矩阵P使得P1AP，232其中为对角矩阵？并求出相应的对角矩阵。

线性代数综合练习题

（六）参考答案

一、选择题

1.B

2.D

3.D

4.D

5.C

二、填空题

1021.

3，2.(n1)!，3.

1，4.100120，5.1212021422.

三、计算题行列式

1.解：原式(21)(31)(41)(32)(42)(43)

1

2121212n(n1)23n(n1)34n(n1)452n12n123134152n(n1)14n2.解：原式12n(n1)12n11312

112n1012n(n1)00111n111n11n11111 2n(n1)1n111n11111n(n1)0n0n112n(n1)(1)21(n1)

2nn00四（10分）、解：此方程组的增广矩阵为

1121111211232r0B(A)03211220251221所以系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组有解.T0010001212785858011200

0T98385893511特解为(8,8,8,0,0)，对应的齐次线性方程组的基础解系为1(1,0)，2,2,2,1552(7)T.8,8,8,0,1所以通解为Xk11k22，(k1,k2R).五、解：

101231r012101(AB)

011170101231r012101

00127110r041000103141

0012714100所以XA1B3141.271

六、解：A1,2,3,4,5

11221112202151r022031315021104115002211221104r02151110300111 r0001100000000010010r0103100111

00000所以1,2,3是一个最大无关组，并且

41323，52

3七、证：由A2A得A(AE)0，所以 AE的列向量为方程组AX0的解，设R(A)r，则有R(AE)nr

所以 R(A)R(AE)rR(AE)rnrn

1112111 0

又R(EA)R(AE)，所以

nR(AEA)R(A)R(EA)R(A)R(AE)

即 nR(A)R(AE)，故

R(A)R(AE)n.八、解：

3AEk4得11，231，2122k3(1)(1)20

所以，A的特征值有重根，因此对于231而言，当方程组(AE)X0有两个线性无关的解时，A可以对角化.4AEk4224r0kk022220k 00若k0，则R(AE)2，方程组(AE)X0只有一个线性无关的解.422211r0000，当k0时，AE0042200011所以对应于231的特征向量为：12，20，021对应于11的特征向量为30，11111001令P200，且有PAP010.021001

第五篇：线性代数综合练习题及答案7

线性代数综合练习题

（七）一、选择题

1.设A、B为n阶矩阵，则下面必成立的是（）。

（A）ABAB

（B）(AB)1A1B（C）ABBA

（D）ABBA 2.设A为n阶矩阵，且A0，则(EA)1（）。

（A）EA

（B）EAA2Ak1

（C）EAAA2k1k

（D）EA

3.设向量组1,2,,m的秩为3，则（）。

（A）任意三个向量线性无关

（B）1,2,,m中无零向量

（C）任意四个向量线性相关

（D）任意两个向量线性无关 4.线性方程组Amnxn1bm1，(b0)有解的充要条件是（）。

（A）R(A)R(A|b)

（B）R(A)m

（C）R(A)n

（D）R(A)R(A|b)

5.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是（）。

（A）A的n个特征值互不相同

（B）A可逆

（C）A无零特征值

（D）A有n个线性无关的特征向量

二、填空题

1.各列元素之和为0的n阶行列式的值等于。

2.设三阶矩阵A412321，则A

。3.设矩阵A111，B2，则AB，BA

，33。(BA)

（k为正整数）k14.设R(A34)2，P0012012，则R(PA)

。35.设向量组1,2,3线性无关，则向量组112，223，331线性。

6.设三阶可逆矩阵A的特征值分别为2、3、5，则A

，A的伴随矩阵A的特征值为。

7.设实二次型f(x1,x2,x3)x12x2kx32x1x22x1x32x2x3为正定二次型，则参数k的取值范围是。

三、计算题

01.设1010000X110000102110387954，求矩阵X。62222.当取何值时，线性方程组

x1x2x31x1x2x3 xxx2123有（1）惟一解；（2）无解；（3）无穷多解，并求通解。

11012121363.设四维向量组1，，24351124，求001115该向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表示。

4.求一个正交变换XPY，将实二次型

f(x1,x2,x3)2x1x2x34x2x3

222化为标准形，并判断该二次型是否正定。

四、证明题

21.设A为n阶矩阵，如果AE，则R(AE)R(AE)n。

2.设n阶矩阵A0，A0（k为正整数），则A不能与对角矩阵相似。

k线性代数综合练习题

（七）参考答案

一、选择题

1.D

2.B

3.C

4.A

5.D

二、填空题

01.0

2.01201300

3.3, 01412312132k12, 33113123121322 31134.2

5.无关

6.30，15，10，6

7.k1

三、计算题

01.解：X100101231001004560011213879879514060514060001001010

102011301

078.92.解：线性方程组的系数行列式

A11111(2)(1)，21（1）当A0，即2且1时，方程组有惟一解；

（2）当2时，R(A)2R(Ab)3，方程组无解；

（3）当1时，1b)111111111r1110010010010 0A(A因为R(A)R(A)13，所以方程组有无穷多解，且通解为

111xk11k200，k1,k2为任意实数.0103.解：A(1,2,3,4,5)110012110111132126r45100001001100001012，30所以

R(1,2,3,4,5)3，1,2,4为向量组1,2,3,4,5的一个极大线性无关组，且

312，51223

424.解：二次型的矩阵

A00A的特征多项式

01202，12AE00012021(1)(2)(3)，所以A的特征值为11，22，33.0011对应的线性无关的特征向量为11，单位化得p112112110，单位化得p20； 00； 22对应的线性无关的特征向量为20033对应的线性无关的特征向量为31，单位化得p312.112x1所求正交变换为

x2x301212210020y11y2，21y322二次型的标准形为

fy12y23y3，因为110，所以该二次型不是正定二次型.四、证明题

1.证：由A2E，得(AE)(AE)0，则

R(AE)R(AE)n；

又

R(AE)R(AE)R(AE)R(EA)R(2E)n，所以

R(AE)R(AE)n.2.证：反证法，假设A与对角矩阵相似，则存在可你矩阵P，使得

P1APdiag(1,2,,n)，1(1,2,,n)P则

APdiagkkkk，1(1,2,,n)P从而

APdiag0，所以 10，20，…，n0，因而 A0，这与A0矛盾，故A不能与对角矩阵相似.