2013数学建模A题公路通行能力的计算方法

第一篇：2013数学建模A题公路通行能力的计算方法

车道被占用对城市道路通行能力的影响

影响道路通行能力的主要因素有道路状况、车辆性能、交通条件、交通管理、环境、驾驶技术和气候等条件。

道路条件是指道路的几何线形组成，如车道宽度、侧向净空、路面性质和状况、平纵线形组成、实际能保证的视距长度、纵坡的大小和坡长等。车辆性能是指车辆行驶的动力性能，如减速、加速、制动、爬坡能力等。

交通条件是指交通流中车辆组成、车道分布、交通量的变化、超车及转移车道等运行情况的改变。

环境是指街道与道路所处的环境、景观、地貌、自然状况、沿途的街道状况、公共汽车停站布置和数量、单位长度的交叉数量及行人过街道等情况。气候因素是指气温的高低、风力大小、雨雪状况!

公路通行能力的计算方法

公路通行能力的计算方法(一)、无平交路段通行能力(1)基本通行能力一般路段是指不受信号、暂停标志、铁公路口等外界因素的中断，保证大体连续的交通流的公路部分。多车道公路的基本通行能力是以高速公路上观测到的最大交通量为基准确定的。根据观测结果，城市快速路比城际间高速公路的值来得大一些，在大体接近城市快速路最大交通量处确定了多车道公路的基本通行能力为每车道2200pcu/h。往返2车道公路的基本通行能力用往返合计值表示。其理由为往返2车道公路通常不进行往返车道的分离，以供对面车辆超车用，这种方法是比较现实的。实际上，在往返2车道公路上发生超车时的最大交通量的观测数据非常少，在美国《公路通行能力手册》中写明往返2车道公路的基本通行能力大约为多车道公路中2车道基本通行能力的二分之一，并确定为2500pcu/h。另外，与多车道公路相同，对单向通行公路，把其基本通行能力定为每车道2200pcu/h。(2)可能通行能力可能通行能力是用基本通行能力乘以公路的几何结构、交通条件对应的各种补偿系数求出的。亦即C= CB*γL*γC*γI*……(2.1)式中，C：可能通行能力；

CB:基本通行能力；

γLγCγI:各种补偿系数。就多车道公路而言，先用(2.1)式求出每车道的可能通行能力，然后乘以车道数求出公路截面的可能通行能力。对往返2车道公路，用往返合计值求出。在用实际车辆数表示可能通行能力时，需要用大型车辆的小客车当量系数换算成实辆数。影响通行能力的因素有以下几种，各因素的补偿系数也已决定。a)车道宽度(γL)：基本通行能力方面而言，必要充分的车道宽度WL为3.50m；根据日本的观测结果，最大交通量在宽度为3.25m的城市快速路上得到，对车道宽度小于3.25m的公路应进行补偿,其系数如参考表2.1。表2.1 公路宽度补偿系数车道宽度WL补偿系数γL3.25m1.003.00m0.942.75m0.882.50m0.82b)侧向净空(γC):称从车道边缘到侧带或分隔带上的保护轨、公路标志、树木、停车车辆、护壁及其它障碍物的距离为侧向净空，必要充分的侧向净空为单向l.75m，在城市内高速公路上，以0.75m的侧向净空时的最大交通量出现次数多，所以，对比0.75m窄的情况需要进行补偿，如表2.2所示。c)沿线状况(γI)：在沿线不受限制的公路上，通行能力的减少原因有从其它道路和沿道设施驶入的车辆或行人、自行车的突然出现等潜在干涉。并且，在市内因有频繁停车，所以停车的影响也较大，因为通常认为通行能力与沿道的城市化程度有很大关系，所以确定了城市化程度补偿系数，如表2.3所示。表2.1 公路宽度补偿系数γL车道宽度WL(m)补偿系数γL3.25m1.003.00m0.942.75m0.882.50m0.82表2.2 侧向净空补偿系数γC侧向净空Wc(m)补偿系数γc0.75m1.000.50m0.950.25m0.910.00m0.86表2.3 沿线状况补偿系数γI(a)不需要考虑停车影响城市化程度补偿系数非城市化区域0.95-1.00部分城市化区域0.90-0.95完全城市化区域0.85-0.90(b)考虑停车影响的场合城市化程度补偿系数非城市化区域0.90-1.00部分城市化区域0.80-0.90完全城市化区域0.70-0.80d)坡度:因为坡度对大型车辆的影响尤其大，所以通常包含在大型车辆影响中。e)大型车辆(γT)：大型车辆比小客车车身长，即使保持同一车间距离，车头距离也较大。并且因大型车在坡道处降低车速，故通行能力将减小。大型车辆的影响程度用一辆大型车辆相当的小客车辆数即小客车当量系数

(passenger car equivalent)来表示。一般认为，小客车当量系数随大型车辆混入率、车道数、坡度大小及长度而变化，并用表2.4所示值表示。在用实辆数表示通行能力时，应该用下式所示补偿系数乘以小客车当量交通量γT=100/[(100-T)+ET*T]

(2.2)

式中，γT：大型车辆补偿系数^fen^

ET：大型车辆的小客车当量系数^fen^

T：大型车辆混入率(%)。f)摩托车和自行车:对摩托车和自行车交通量应该用表2.5示小客车当量系数乘以交通量求出小客车当量交通量。但是，在用实辆数表示通行能力时，应与大型车辆的方法相同，对当量交通量进行补偿。g)其它因素:除上述几种因素外，使通行能力降低的原因还有:公路线形，尤其是曲线路段和隧道、以及驾驶技术、经验的不同等，但这些原因目前还没有较好的定量化方法。表2.4 大型车的小客车换算系数表2.5 摩托车和自行车的小客车换算系数车型地区摩托车自行车地方0.750.50城市市区0.500.33真的是不太懂,答案来自新浪爱问,希望对你有帮助.

第二篇：2013年9月建模“通行能力”思路解析A题

2013国赛思路解析A题

此题为交通运输类问题，可以视作优化类问题，而且本题重点在于目标的选取和目标函数的建立，而最优值的求解反而不是问题的重点（因为哪里会发生交通事故、持续时间、车流量等等都是不可控制的参数，本题几乎没有可决策变量）。可以用到的知识有排队论，元胞自动机，模拟仿真等等，用这些手段来建立函数关系；

关键概念：通行能力，指单位时间内通过断面的最大车辆数TC（traffic capacity）=n/t=vd（n为通过车辆数，t是时间，v为车辆平均速度，d是道路宽度）；

问题一：求出函数表达式TC=f（t），可以根据视频中的信息，隔一段时间求一次对应的TC值，再通过插值方法求出解f，或者深入研究事故发生时对车辆行进情况的变化机理来求解f，最后用图像或者解析式来表达出结果；

第三篇：提高公路收费站通行能力的方法探讨

提高公路收费站通行能力的方法探讨

陈得道孙广远

（铁道第一勘察设计院公路与城市道路设计研究院730000）

[摘要]收费站是用来对通过车辆收取通行费的设施，然而对曾建成的收费站，随着交通量的增长，已不能满足目前的收费现状，为此结合串列式收费方式，对如何提高公路收费站通行能力的方法进行探讨。

[关键词]公路收费站；通行能力；串列式收费

Research into Way of Improvement for Passing Power of the Toll Station

Chen DedaoSun Guangyuan

（Design Research Institute For Highways And Urban roads of The First Survey And Design

Institute Of Railways730000China）

[Abstract] The toll station is used to toll passing vehicles.However the built station can’t content with the toll reality with the growth of traffic estimation.So combining tandem tolling mode , we discuss how to improve passing power of the toll station.[Key words] Toll Road Station； Power passing； tandem tolling mode1、概述

在一些建成的公路收费站，随着交通量的不断增长，服务时间与服务水平已愈来愈不能满足要求，而传统的方法是扩建收费站、增加收费车道数量，即横向拓宽收费广场。然而这样做存在着一些问题，其中包括征用土地、拆迁、施工工期、交通干扰等，而工程费用则可能是最重要的问题。在一些收费站特别是城市的收费站，这种扩建方案基本上是行不通的。另外，计算表明，收费广场的占地面积和车道数平方成正比，扩建将大大增加占地面积。因而，在现有收费广场的情况下，如何提高收费广场的通行能力是很重要的问题。现探讨串列式收费方式对提高公路收费站通行能力的方法。

2、串列式收费方式

一个简单、经济、实用的做法是采用串列式收费亭(TTB)的配置形式，TTB就是在一条收费车道上设置两个或多个收费亭，同时为两辆或多辆车服务，从而提高收费车道的通行能力。

2.1单一收费亭

普通的收费广场每车道只设一个收费亭，如图1所示，服务位置SP是指车辆检测、发卡或验卡位置，等待位置WP是指车道上位于正在接受服务车辆的下

一辆车的位置。

以SP开始将车辆编号，设1号车离开SP时，1号车与0号车之间的车头时距为：

H=H0+S

式中：H——0号车离开SP时的车头时距；

S——1号车的服务时间。

2号车1号车0号车

→

WP2WP1SP（收费亭处）

图1收费广场单一收费亭示意图

一般情况下

H0=R+M

式中：R——反应时间，是指0号车离开SP和1号车开始进入SP所经历的时间；

M——推进时间，是指车辆在等待位置进入服务位置所需要的时间。如果对于每一辆车来说，车头时距是随机变化的话，那么其数学期望值为

EXP（H）=EXP（H0）+EXP（S）

=EXP（R）+EXP（M）+EXP（S）

每辆车是按车头时距列队行进的，故每个收费车道的通过能力Ca为EXP（H）的倒数

Ca=1EXP（H）

2.2 TTB：邻近服务的情况

一般的TTB有两个SP（SP1在前，SP2在后），二者之间无等待空间，如图2所示。跟随在后的两辆车的WP也分别标以WP1、WP2，等待在WPl的车辆在SPl处服务，等候在WP2的车辆在SP2处服务，今以SP2开始将车辆编上号。

2号车1号车0号车

→

WP2WP1SP2（收费亭2处）SP1（收费亭1处）

图2收费广场收费车道TTB邻近服务示意图

图2中，设0号车离开SP2的瞬间到1号车离开SP1的瞬间之间经过的时间为T’1，则有

T’1=R’1+M’1+S’

1式中R’

1、M’

1、S’1分别是1号车的反应时间、推进时间和服务时间。同理，0号车离开SP2的瞬间到2号车离开SP2的瞬间之间经过的时间T’2为

T’2=R’1+（R’2+M’2+S’2）

式中R’1是2号车附加的反应时间，因为1号车未进入SP2以前，2号车不能进人SP2。

由于SPl和SP2之间仅有一辆车的间隙，故2号车的驾驶员在看到1号车离开SP1之前是不会离开SP2的，因此从0号车离开SP2所经过的周期时间H’必须为

H’> T’1+ R’

2事实上，2号车将在SPl和SP2都过后才会离开SP的位置，故0号车和2号车之间的周期时间H’应由下式决定：

H’= max（T’2，T’1+ R’2）

= max[R’1+（R’2+M’2+S’2），R’2+（R’1+M’1+S’1）]一般情况下，可以认为R’

1、R’2等于单一收费亭情况的反应时间R1、R2，S’

1、S’2等于单一收费亭情况下的服务时间S1、S2。但单一收费亭情况下的推进时间要小于TTB时间的M’值，即

M’=M+△M

式中△M是车辆驶过两个SP之间距离需要的附加时间。若假设反应时间和△M不随车辆有较大的变化，那么，可以求得简化的周期方程为

H’≈R+△M+ max（H1，H2）

式中H1、H2就是在单一收费亭情况下观测到的车头时距。

邻近服务情况下，TTB的通过能力C’a为

C’a=2 EXP（H'）

与单一收费亭相比，TTB通过能力增加的百分数为

△Ca（%）=100×{2/EXP（H')－1} 1/EXP(H)

=100×{2EXP（H）1} RMEXP[max（H1，H2）]

从上式可以看出，如果TTB的周期时间小于普通收费亭车头时距的2倍，那么采用TTB方式可以提高通行能力。同时，由于R和M值比S值小，故通过能力的增加是显著的，如果车头时距是个常数，那么Ca的增加最显著。

2.3 TTB：成批服务的情况

如果在TTB情况下，采取成批服务的方法，那么通过能力还可提高。所谓成批服务是指每一个收费亭每次对几辆车同时进行服务，而不是每次一辆。这种方案的优点是服务时间中随机变化成分减轻，空闲时间减少。

如果设每一个收费亭每次处理n辆车，那么在SP2后可跟随2n辆车。前面的n辆车在SPl处服务，后面的n辆车在SP2处服务。为了保证在SP2处服务不被在SP1处服务的车辆中断，两个收费亭之间的空间距离要稍大于n辆车的位置长度。事实上，只要位置数m值满足下列关系式，则一般不会出现中断现象：

m≥n+[2σH／EXP（H）]（n-1）1/

2式中：σH ──H的标准偏差。

一般情况下

2σH／EXP（H）→

1对应于不同n的m值为

m=INT[n+（n-1）1/2]

m值取得太大，导致不必要的收费亭之间的空间距离。

0号车离开收费亭到2n辆车离开收费亭所经过的时间H’’可由下式来决定：

H’’=n（R+△m）+ max（Hi,Hi）

i1in1n2n

通行能力

C’’a=2n/EXP（H’’）

n如果用H1n和H2表示两组n个独立车头时距的平均值，那么上式可简化为

nEXP（H’’）=nEXP[R+△M+max（H1n，H2）]

n若两个收费亭的业务水平相近，则H1n和H2具有相同的期望值EXP（H）和

n标准偏差σH／n1/2，只要n>2，H1n和H2具有相似的正态分布。在这些条件下，最大值的期望值为

nEXP[max（H1n，H2）]≈EXP（H）+0.4σH／n1/2

此时C’’a=2n/EXP（H’’）可改写成C’’a=2[EXP（R）+EXP（△M）+ EXP（H）+0.4σH／n1/2]-1

当n=1时，C’’a →C’a。

2.4通行能力的比较

设EXP（R）+EXP（△M）=2s，EXP（R）=5s，σH=2.5s，则单一收费亭的通行能力Ca=0.2辆／s（即720辆／h）；邻近服务的TTB（n=1），C’a=0.250辆／（即s900辆／h），车道通行能力提高25％；成批服务的TTB（n=4），C’’a=0.267（0.267辆／s（即960辆/ h），增加车道通行能力33％；n=16，C’’a≈0.276辆／s（即1000辆/ h）；n→∞，C’’a≈0.286辆／s（即1028辆/ h）。

由此可见，采用TTB方案后，在同等条件下，其通过能力要比单一收费亭大25％以上，最大不超过43％。

3、结束语

总之，由上文分析可知，采用收费口串列式收费确实是一种行之有效的提高收费站服务效率的方法。事实上根据前文论述不难发现，如果在一条收费车道上多设几个收费口，会相应地提高收费口的通行能力，但这样会增加收费系统的建设成本，与两个收费口相比，其效益费用比反而下降了，而且采用串列式收费要求前后车辆行动一致，收费口多了，难以做到这一点。

参考文献：

[1] 刘伟铭王哲人郑西涛高速公路收费系统理论与方法人民交通出版社.2000.4

[2] 高速公路丛书编委会高速公路交通工程及沿线设施人民交通出版社.1999

[3] 当代科技重要著作·交通领域道路通行能力手册美国交通研究委员会专题报告209号中国建筑工业出版社.1991.6

作者简介：陈得道（1964 —），男，甘肃兰州人，铁道第一勘察设计院公路与城市道路设计研究院工程师孙广远（1971 —），男，甘肃武威人，铁道第一勘察设计院公路与城市道路设计研究院工程师

第四篇：2011数学建模A,B题

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）

A题

城市表层土壤重金属污染分析

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、„„、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现要求你们通过数学建模来完成以下任务：

(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2)通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3)分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？

B题

交巡警服务平台的设置与调度

“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。

试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：

（1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。

对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。

根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。

（2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。

如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。

附件1：A区和全市六区交通网络与平台设置的示意图。

附件2：全市六区交通网络与平台设置的相关数据表（共5个工作表）。

第五篇：2014数学建模A题

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

摘 要：

嫦娥三号卫星采用的是软着陆方式登陆月球，在卫星高速飞行的情况下，我们要精确地在月球预定区域内实现软着陆，需要对其运行轨道进行设计并制定相应控制策略。由于天体的运动均满足开普勒三大定律以及总能量守恒定律，我们据此建立一系列的方程，最终求得卫星在近月点处的速度大小Vab/(ac)*GM/a1.6922km/s 求得卫星在远月点处的速度大小Vbb/(ac)*GM/a1.6139km/s。其速度方向均为当前运动轨道的切方向。

嫦娥三号的软着陆过程又分为6个阶段，对每个阶段都要进行一定的控制。通过对数值的分析，我们制定如下策略：在主减速阶段，首先卫星的发动机应全部用于水平方向的减速，竖直方向以自由落体状态加速下降，直至竖直方向速度达到56.8505m/s，水平方向速度为4.9522m/s，耗费燃料90kg，卫星下落高度约为14695m。之后发动机推力仍以最大输出工作，其推力在竖直方向上瞬间产生约3752N的向上阻力，在水平方向上产生6494N的阻力，使得卫星在主减速的后半阶段在竖直方向开始匀速运动，水平方向继续做减速运动水平速度最终降为0，直至卫星降落到距月3000m高度处；在快速调整阶段，姿态发动机调整卫星的运动方向为竖直向下，主发动机继续工作，发动机在水平方向上产生1097N推力，竖直方向上产生3752N推力，使得卫星水平方向的速度降为0m/s，竖直方向继续以57m/s的速度做匀速运动；在粗避障阶段，卫星对其正下方月面进行拍照获得数字高程图，利用matlab软件对图像进行灰度色差分析，进而初略确定了一个着陆点的像素点坐标(193，1169），过程中，姿态发动机根据图像进行卫星的位置调整，主发动机用于竖直方向上的减速工作，使得卫星在距月100m处达到悬停状态；精避障阶段，进行更精细的月面拍摄，采用同粗避障段类似方法得到更精确的像素点坐标为(318，651),同时利用姿态发动机调整运动方向的同时主发动机工作对水平方向进行速度控制，使其在距月30m处水平速度为0m/s；缓慢下降阶段，发动对卫星竖直方向进行减速控制，使其在距月4m处合速度变为0m/s；在最后阶段，关闭发动机，使其做自由落体运动，最终成功着陆。

关键词：

软着陆 开普勒定理 优化控制 基于C语言编程

一、问题重述

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。此次嫦娥三号采用的是软着陆方法。

但嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是对着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，并要求满足每个阶段在关键点所处的状态，尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据题目给出的已知量建立合适的模型求解分析下列几个问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二、问题分析

本问题的一个关键点在于求解出嫦娥三号卫星的绕月运行轨道。由于已知卫星的运行轨迹为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道。

对于第一问的关键就是求解出该椭圆轨道与月球赤平面的夹角。由于已知落点的经纬度坐标和软着陆过程中6个状态的数值，我们就可以使用逆推法求解出着陆准备轨道近月点和远月点的经纬度坐标位置。由于卫星的运动满足开普勒三大定律以及能量守恒定律，我们可以根据这几大定律确定几个等式联立方程组从而求得嫦娥三号在近月点和远月点的相应速度大小与方向。

对于第二问，要设计一种方案使得在软着陆的过程中耗能最少，并达到预设的各项指标。我们需要不断的去设计、计算、调整，在不断的尝试摸索中寻找出一个比较不错的软着陆方案。

三、模型假设及符号约定

3.1 模型假设（1）假设卫星在主减速阶段的运动轨迹为抛物线

（2）假设卫星在3000m处基本就处于目标地点的竖直上方（3）假设月球为球体

（4）假设在近月点即将开始软着陆状态的前后速度基本不变

3.2 符号约定 符号

含义 G

引力常量

M

月球的质量

m(t)

t时刻卫星的质量 月球的半径

月球表面的重力加速度 r

g'

Vi

ai

Si

Ei

Ti

Ft Ve i位置处卫星的速度大小 i方向的加速度

i位置处相对应的面积大小 i位置处卫星的能量 到i位置所用时间 t时刻发动机的推力 以m/s为单位的比冲 单位时间燃料消耗的质量 椭圆的半长轴 椭圆的半短轴 椭圆的焦点 m a

b

c

四、模型建立与求解

4.1 模型建立

4.1.1 问题1卫星轨道模型的建立

我们将嫦娥三号卫星绕月运行的椭圆轨道抽象出如下图所示的一个简单的几何图形，月球的月心位于椭圆的一个焦点F上，椭圆的半长轴为a，半短轴为b，半焦距为c。A点为近月点，速度为Va，B点为远月点，速度为Vb。易知A、B两点距月心的距离Laac，Lbac。在一个极小的时间段t内，卫星与月心连线扫过的面积分别为SaVa/2*t*La，SbVb/2*t*Lb。由开普勒第二定律可知，卫星与中心天体连线在单位时间内扫过的面积相等，所以SaSb，代入化简后可得公式(1)Vb(ac)/(ac)*Va；由于卫星运动的总机械能等于其动能和引力势能之和，所以在A点，卫星的总机械 能Ea1/2*mVa2(GMm/La)（公式2），同理B点的总机械能。卫星在运行过程中只有动能和引力势能Eb1/2*mVb2(GMm/Lb)（公式3）之间的转化，机械能守恒，所以EaEb（公式4）。[1] 由上面(1)(2)(3)(4)四个公式我们可以解得Vab/(ac)*GM/a，Vbb/(ac)*GM/a。

4.1.2 问题2卫星软着陆各阶段控制策略模型的建立

主减速段控制策略：

第一阶段，主减速发动机全力用于水平方向减速，竖直方向呈自由落体加速下落，至下落速度达到V1y(m/s)为止，用时记为T1，质量减少到M1；

V1yg'*T1(1)当0tT1时，由Fm*Ve可得出下式，tm(t)2400mdt024002.5510t(2)三号卫星运行速度V水平方向分量为：

(3)在0tT1内，卫星下落的高度ht0.5*g'*t^2, 水平方向位移

t s(t)(170002940ln(2400)2940ln(24002.2210t))dt

(4)第二阶段，竖直方向以V1y匀速下降，主减速发动机仍以最大推力工作，F(t)的竖直方向分力为m(t)*g'，水平方向分力为Fx(t)75002(m(t)*g')2。

记第二阶段结束时刻，即距月面3000m时为T2，当T1tT2时，m(t)24007500*t/294024002.5510t(5)下落高度 h(t)0.5*g'*T12V1y*(tT1)(6)水平方向加速度

2ax(t)fx(t)/m(t)(75002(24002.5510*t)2*g')/(24002.5510t)(7)水平方向速度

ttVx(t)Vx(T1)T1222ax(s)dsVx(T1)(7500(24002.5510s)g')/(24002.5510s)dsT1 1=Vx(T1)2.5510gg'(24002.5510t)'(24002.5510T1)(75002u2/u)du

17500=Vx(T1)(75002u27500ln2.5510t75002u2u

(9)

'(24002.5510T1))gg'(24002.5510t)(8)水平方向位移 s(t)s(T1)快速调整段控制策略：

Vx(t)dt T1

在快速调整阶段，卫星仍然以Vyg'*T157m/s的速度下落，水平方向推力逐渐减小到0，这样卫星的方向就正对目标下方了。

在tT2时，发动机给与卫星水平方向一个力Fx，使得其水平方向的速度最终降为0m/s；同时主发动机在竖直方向上也对卫星施加一个力，使其在竖直方向上做匀速运动。水平方向位移Sx(T3)V0T30.5*a*T3^2。

水平方向推力为Fx(t)m(t)*ax(t)，合力为

gm1ve2tT2m(r)dr

两边对t求导得：

m'(t)gm1ve2m(t)

再由tT2时，m(t)m(T2)得，当T2tT24.96时：

m(t)m(T2)exp(gm1ve2(tT2)

水平方向速度

vx(t)vx(T2)ax(r)drvx(T2)tT2T2t

水平方向位移

s(t)s(T2)vx(r)drs(T2)(vx(T2)T2)(tT2)0.5(t2T2)T2t2

(s(T24.96)，15000)就是近月点坐标。

粗避障段控制策略：

以下步骤的实施均在matlab上实践，源代码见附录2 将抓拍到的图片利用matlab读入，求出图像平均灰度，以此来表示理想降落地点的高度。但通过比较发现平均灰度并不能代表理想地点高度，于是求出灰度众数average，作为理想降落高度。

然后新建图像，使新图像上的每点的灰度等于原图像对应点的灰度与灰度众数average的差的绝对值。于是新图像上灰度越高的点表示越不理想的点。（matlab运行效果图见附录3）

选取10 作为分界线，灰度值大于10的改为150，表示不理想的降落地点，灰度值小于10的改为0，表示理想的降落地点。将图片边界四周都像素点全部改为灰度150，表示不理想降落地点，因为越靠近图片边缘则越缺少信息。(matlab运行效果图见附录4)接下去通过将不理想的点向四周扩散来逐渐覆盖全图，留下0.001的空隙时停止扩散，则此时剩余的空隙则为相对理想的降落地点，求出这些降落地点中离中心飞船最近的地点，作为最终降落地点。

最后我们分别绘制了覆盖率为0.7时的图像、覆盖率为0.99的图像、覆盖率为0.999的图像(分别件附录5、6、7)。

精避障段控制策略：

此阶段只是在粗壁障阶段的基础上对着落点做了一个更精确的定位，所以选点的原理同上。

4.2 模型求解 4.2.1 问题1

由题目已知，卫星近月点为15km，远月点为100km，据此我们可以得出下面一个等式c15(cr)100，求解得c9r/2 km。据此又可以导出椭圆的半长轴的大小acr15243/2*r，半短轴ba2c2。然后将a、b、c等数值代入模型中，便可以直接求出卫星在近月点的速度大小Va1.6922km/s，卫星在远月点的速度大小Vb1.6139km/s。

4.2.2 问题2 主减速阶段：

由天体运动黄金代换式GMR2g'，得出g'GM/R21.6243m/s2 利用C语言编程使用迭代法搜索T1的值： 具体编程算法见附录1 Step 1 令t=T1, 下落高度 h(t)0.5*g'*t^2, deltt=1 竖直方向速度Vy(t)g'*t, 水平方向速度（初始速度有第一问可知为1692m/s）

Vx(t)16922940ln(2400)2940ln(24002.2210t)水平方向位移

S(t)(16922940ln(2400))tStep 2 令t=t+ deltt

29402.2210t(ulunuu)2400 24002.2210下落高度 h(t)0.5*g'*T1^2Vy*(tT1)竖直方向速度Vy(t)g'*T1 水平方向速度由（8）式计算可得 水平方向位移

Step 3 如果h(t)120002641 and Vx(t)2 如果h(t)120002641 and Vx(t)step 1 如果h(t)120002641, then end

最后利用C语言编程解得

572Vy(t)2, then go to step

572Vy(t)2, then T1T11, goto T135s,h14695.85m,Vx4.9522m/s,Vy56.8505m/s。

从而我们可以得出，在主减速阶段，首先卫星的发动机的全部动力要用于卫星水平方向上的减速，竖直方向以自由落体状态加速下降，直至竖直方向速度达到56.8505m/s，水平方向速度为4.9522m/s，此时卫星的质量约为2310kg，耗费燃料90kg，卫星下落高度约为14695m。之后发动机推力仍以最大输出工作，其推力在竖直方向上瞬间产生约3752N的向上阻力，在水平方向上产生6494N的阻力，使得卫星在主减速的后半阶段在 竖直方向开始匀速运动，水平方向继续做减速运动水平速度最终降为0，直至卫星降落到距月3000m高度处。

快速调整阶段：

根据分运动的等时性，可以利用卫星竖直方向上的运动方程hV0t，求得卫星在快速调整阶段的最大用时th/V010.52s，从而根据水平方向的运动公式VVoa*t求得水平方向的最小加速度a0.475m/s。所以可以得出该过程中发动机在水平方向上的最小推动力Fxmin1097N，竖直方向上的推力Fxymg'3752N，并求得水平位移S15234m。

五、模型评价与推广

5.1 模型评价

优点：本模型采用了化繁为简的方法，将复杂问题简单化，把卫星绕月运行抽象出一个椭圆的几何问题再结合物理模型利用数学方法求解相应的运动数值

缺点：本模型很多地方理想化，比如忽视了月球的扁率，卫星运行中姿态是变化的某些部分不应该用质点来处理

5.2 模型推广

利用本模型的算法可以求出任何天体在每个时刻的运行速度及其他物理量，方便研究天体运动，方便针对性的对需要探测的星球设计相应的卫星轨道。

六、参考文献

[1] 王健伟 李兴，近日点和远日点速度的两种典型求法，物理教师，第34卷第6期：58，2013

七、附录

附录1：

下面采用的是C语言程序来摸索求解T1的值（运行环境VC++ 6.0）文件夹内find_t1.cpp文件

#include #include #include #define g 1.6243

int main(){

int t,t1,deltt=1;

t=t1=4;

double h,vx,vy,compare,u1,u2;

h=0.5*g*t*t;

vx=1692-2940*log(2400)+2940*log(2400-2.2210*t);

vy=g*t;

while(1)

{

compare=sqrt(57*57-vy*vy);

if(h<12000+2641 && vx>compare)

{

t=t+deltt;

u1=g*(2400-2.5510*t1);

u2=g*(2400-2.5510*t);

vy=g*t1;

h=0.5*g*t1*t1+(t-t1)*vy;

vx=1692-2940*log(2400)+2940*log(2400-2.2210*t)-(1.0/2.5510)*(sqrt(7500*7500-u1*u1)+7500*log((7500-sqrt(7500*7500-u1*u1))/u1)-(sqrt(7500*7500-u2*u2)+7500*log((7500-sqrt(7500*7500-u2*u2))/u2)));

}

else if(h<12000+2641 && vx

{

t1++;

t=t1;

h=0.5*g*t*t;

vx=1692-2940*log(2400)+2940*log(2400-2.2210*t);

vy=g*t;

}

else if(h>12000+2641)

{

printf(“t1=%dn”,t1);

printf(“h=%lfn”,h);

printf(“vx=%lfn”,vx);

printf(“vy=%lfn”,vy);

break;

}

}

return 0;}

附录2：

big=imread('附件3 距2400m处的数字高程图');

[m,n]=size(big);

notenum=[1:256];

for i=1:m;for j=1:n;notenum(big(i,j)+1)=notenum(big(i,j)+1)+1;end end

max=0;maxnum=0;for i=1:256;if max

big1=big;for i=1:m for j=1:n big1(i,j)=abs(int8(big1(i,j))-average);end end

big2=big1;

for i=1:m for j=1:n if big2(i,j)>15 big2(i,j)=150;else big2(i,j)=0;end

end end

for i=1:m;big2(i,1)=150;end

for i=1:m;big2(i,m)=150;end

for j=2:n-1;big2(1,j)=150;big2(m,j)=150;end

for k=1:200 num=[m:n];

numsum=0;for i=1:m;for j=1:n;if big2(i,j)>20;num(i,j)=1;numsum=numsum+1;else num(i,j)=0;end

end end

if numsum/(m*n)>0.999 break end

for i=2:m-1;for j=2:n-1;sum=0;if num(i,j)==1;continue else

for i1=-1:1;for i2=-1:1;if num(i+i1,j+i2)==1;sum=sum+1;end

end

end

if rand(1)*3

end

end end end

distance=[m,n];for i=1:m;for j=1:n;if num(i,j)==0;distance(i,j)=(i-m/2)*(i-m/2)+(j-n/2)*(j-n/2);else distance(i,j)=m*m+n*n;end end end

min=m*m+n*n;mini=0;minj=0;

for i=1:m;for j=1:n;if num(i,j)== 0;if min > double(distance(i,j));min=double(distance(i,j))mini=i;minj=j;end end end end

附录3

附录4

附录5 覆盖率为0.7的图像

附录6 覆盖率为0.99的图像

附录7 覆盖率为0.999的图像