第一章直角三角形的边角关系解直角三角形及其应用复习含答案

第一篇：第一章直角三角形的边角关系解直角三角形及其应用复习含答案

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解直角三角形及其应用

1.定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2.直角三角形的边角关系：如图:

（3）边角之间的关系：

3.解直角三角形的四种基本类型：如下图：

http://www.xiexiebang.com OD：北偏西60°

东西与南北方向线互相垂直。

5.运用解直角三角形的方法解决实际问题：

基本思路：要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的边角关系。（即构建数学模型：直角三角形），才能运用解直角三角形的方法求解。一般有以下几个步骤：

（1）审题：根据题意画出正确的平面图或截面示意图，在图形中弄清已知和未知。（2）将已知条件转化为示意图中的边、角关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题。（3）选择适当关系式解直角三角形。

典型例题

例1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，解直角三角形：（1）a＝8，b＝6（2）c＝16，∠A＝32° 分析：略 解：

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分析：图中CD是已知条件，但不在直角三角形中，根据生活经验知，△ABC、△ABD是Rt△，利用DC＝BD－CB，设AB＝x可求，也可利用角度关系得出CD＝AC，再解Rt△ABC。解：法一：设AB＝x 在Rt△ADB中，∠D＝30°

在Rt△ABC中，∠ACB＝60°

又DC＝BD－BC＝100

法二：如图，∵∠D＝30°，∠ACB＝60° ∴∠D＝∠DAC＝30° ∴AC＝DC＝100 在Rt△ABC中，∠ACB＝60°

答：

例4.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝高23米，坝面宽BC＝6米，根据条件求：（1）斜坡AB的坡角α；

（2）坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1米）。

http://www.xiexiebang.com 在Rt△ADC中，∠ADC＝45°，DC＝6 ∴AC＝DC＝6

∠BDE＝45°

由勾股定理得：BC＝8

在Rt△BDE中，∠BDE＝45°

例6.如图，一艘轮船以20海里/小时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/小时的速度由南向北移动，距台风中心

海里的图形区域（包括边界）都属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB＝100海里。

（1）若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，说明理由。

（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60海里的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，问船速至少应提高多少？（提高的船速取整数

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答：船速至少应提高25.5海里/小时。

模拟试题

一、填空题。

1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＝__________，sinA＝__________。

2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，∠A＝45°，则a＝__________，b＝__________，∠B＝__________。

3.如果等腰三角形的顶角为120°，腰长为6cm，这个三角形的面积为__________。4.如图Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，则AC＝__________。，5.若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高________ m。6.如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45°和30°，如果这两艘船一个正东，一个正西，那么它们之间的距离为__________。

二、选择题。

1.Rt△ABC中，∠C＝90°，则

（）

A.4

B.8

C.1

D.6 2.在Rt△ABC中，斜边AB是直角边BC的4倍，则cosA＝（）A.B.C.D.http://www.xiexiebang.com 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，6cm，求AB、AD的长。，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝

3.如图，甲、乙两建筑物的水平距离为30m，从A点测得C点的仰角为60°，测得D点的俯角为30°，求建筑物甲的高CD。

4.如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m，现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长。

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参考答案

一、填空题。

1.∠A＝30°，2.3.4.5.6 m 6.二、选择题。

1.A（引进参数，可计算2.B（3.B 4.C 5.C

三、解答题。

1.解：如图，过AB作AD⊥BC于D

。））

在Rt△ABD中，又

在Rt△ACD中，∠C＝45°

又

2.解：如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，DC＝6

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又CD＝50，即又∠C＝30°，5.解：（1）

分别过点D、C作DE⊥AB，CF⊥AB于E、F

设CF＝60 ∴BF＝3CF＝180

（米）

（2）在Rt△ADE中，i＝1：1.5，DE＝60

又EF＝CD＝10

（米）

（3）∴土方答：略。

（米3）

（米）

第二篇：第一章_直角三角形的边角关系_解直角三角形及其应用复习(含答案)

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解直角三角形及其应用

1.定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2.直角三角形的边角关系：如图:

（3）边角之间的关系：

3.解直角三角形的四种基本类型：如下图：

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典型例题

例1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，解直角三角形：（1）a＝8，b＝6（2）c＝16，∠A＝32° 解：

例2.如图某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，可以将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度（精确到1cm）。

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又DC＝BD－BC＝100

例4.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝高23米，坝面宽BC＝6米，根据条件求：（1）斜坡AB的坡角α；

（2）坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1米）。

解：分别过B、C两点作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BCFE为矩形 ∴BE＝CF，BC＝EF（1）在Rt△BAE中，i＝1：3

（2）在Rt△ABE中，i＝1：3，BE＝23 ∴AE＝3BE＝3×23＝69（米）

在Rt△CDF中，i＝1：2.5，CF＝BE＝23 ∴DF＝2.5×23＝57.5（米）

例5.45°，DC＝6，求∠BAD的正切值。

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模拟试题

一、填空题。

1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＝__________，sinA＝__________。

2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，∠A＝45°，则a＝__________，b＝__________，∠B＝__________。

3.如果等腰三角形的顶角为120°，腰长为6cm，这个三角形的面积为__________。4.如图Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，则AC＝__________。，5.若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高________ m。6.如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45°和30°，如果这两艘船一个正东，一个正西，那么它们之间的距离为__________。

二、选择题。

1.Rt△ABC中，∠C＝90°，则

（）

A.4

B.8

C.1

D.6 2.在Rt△ABC中，斜边AB是直角边BC的4倍，则cosA＝（）

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2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，6cm，求AB、AD的长。，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝

3.如图，甲、乙两建筑物的水平距离为30m，从A点测得C点的仰角为60°，测得D点的俯角为30°，求建筑物甲的高CD。

4.如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m，现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长。

第三篇：直角三角形的边角关系复习与反思

复习与反思

1．判断正误：

(1)当锐角确定时，的三角函数值也就确定了；

（）(2)已知 tan A＝3，且∠A为锐角，则∠A＝30°；

（）(3)cos 75cos(3045)cos 30cos 45；

（）(4)在Rt△ABC中，各边都扩大到原来的5倍，则∠A的三角函数值也都扩大到原来的5倍．

（）2．计算：

(1)cos245°＋sin245°；

(2)1－2 sin230°·cos 30°；

cos45sin30(3)sin 30°·cos 45°＋cos30°·sin 45°；

(4)；

1cos60tan452(5)3 tan 30°＋2 sin 60°－2 tan 45°；

(6)tan2302 sin 60cos 45tan 45cos2301；

tan60(7)(1＋tan 30°－sin 60°)(1－tan 30°＋sin 60°)． 3．填空：

(1)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则cos B＝________；(2)在△ABC中，∠C＝90°，如果tan B＝2，则 sin A＝________；(3)在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝3AC，则∠A＝________；(4)在△ABC中，∠C＝90°，若AC的长等于斜边上中线的4，则较大锐角的余3弦值是________；

(5)等腰三角形的一腰长为 2 cm，面积为 1 cm2，则顶角的大小为________；

AD(6)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在线段AC上，∠CBD＝30°，则

DC的值为________；

(7)天河宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2 m，其侧面如图所示(单位：m)，则购买地毯至少需要________元；

(8)在高为h的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h表示这个建筑物的高是________． 4．选择题：

(1)如图，一台起重机的机身高AB为 20 m，吊杆AC的长为 36 m，吊杆相对于水平线的倾角可以从 30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是________m；

[

] A．36＋20和36 tan 30° B．36 sin 80°和 36 cos 30°

C．36 sin 30°＋20和 36 cos 30° D．36 sin 80°＋20和 36 cos 30°

(2)水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD＝6 m，坝高DE＝24 m，斜坡AB的坡角是45°，斜坡CD的坡比i＝1∶2，则坝底BC的长是________m．

[

] A．42

B．302

43C．78

D．3083

5．如图，甲建筑物上从A到E挂有一长为30 m的宣传条幅，在乙建筑物的顶部D点测得A的仰角为45°，E的俯角为30°．求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC(答案可带根号)．

6．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE，求sin ∠ACE的值．

7．某森林管理处雇用两架农用直升飞机向森林喷洒药物，两飞机在同一地点出发，甲机沿北偏东 45°方向以 20 km/h的速度飞行，乙机沿南偏东 30°方向以202 km/h的速度飞行．3 h后，乙机发现有部分药品误放在甲机上，而此时，乙机只能沿北偏东 15°的方向追赶甲机．乙机以怎样的速度飞行才能正好赶上甲机？ 答案：

1．(1)√；(2)×；(3)×；(4)×． 2．(1)1；(2)223；(3)

246；(4)

212；(5)232；

63711(6)；(7)． 1223123．(1)(6)1；(2)355；(3)30°；(4)

2h． 32；(5)30°或150°； 331；(7)504；(8)4．(1)D；(2)C． 5．(45153)m． 6．sin∠ACE＝31010．

31010提示：过点 E 作 BD 的垂线，垂足为F．在Rt△CEF中，cos∠ECF＝而∠ACE＋∠ECF＝90°，所以sin∠ACE＝cos∠ECF． 7．乙机以 20(31)km/h的速度飞行才能正好赶上甲机．，提示：如图，∠BAC＝105°，∠B＝45°，∠C＝30°，过点A作BC的垂线，垂足为D． 由AB2023602，得 BD＝60．

由∠C＝30°，得AC＝120，所以CD603．

设乙机应以x km/h的速度飞行，则有

120606033． 20x解得x20(31)．

第四篇：直角三角形的边角关系的应用(二)

直角三角形的边角关系的应用

（二）学习目标：

1.认识仰角、俯角，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用.2.体会解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学问题，并通过作辅助线的方法转化成直角三角形来解。学习重点：

体会三角函数在解决实际问题过程中的应用.学习难点：

发展学生数学应用意识和解决问题的能力。学习过程：

一、复习回顾

1、如右图：在Rt△ABC中，说出∠A、∠B的三角函数值

2、说出30°、45°、60°的三角函数值

3、测得某坡面垂直高度为2m, 坡面为4m,则坡度为_______，坡角为______。

二、新课讲解

1、定义：仰角：

俯角：

右图：一人站在旗杆前，那么他看旗杆顶的仰角是__________ 他看旗杆底的俯角是__________

2、例题：如图，A、B两座楼相距30米，某同学在A楼家中观测B楼测得B楼的顶部仰角为45°，B楼的底部的俯角为30°，你能求出B楼的高吗？

练习：

1、右图：在甲楼A处测得乙楼顶的仰角为30°，测得乙楼底的俯角为45°，两楼相距60米。求两楼高度

2、右图：在甲楼A处测得乙楼顶的仰角为60°，测得乙楼底的俯角为45°，甲楼高100

米。求乙楼高度和两楼距离

3、右图：在甲楼顶测得乙楼顶的仰角为30°，在甲楼底测得乙楼顶的仰角为60°，甲楼的高为50米。求乙楼高度

例

2、右图：小明在A处测得塔顶仰角为45°，前进10米至B处, 测得塔顶仰角为60°。求塔高

练习：

1、右图：小明在A处测得塔顶仰角为30°，前进100米至B处, 测得塔顶仰角为45°。求塔高

2、如图，一飞机从一高炮C的正上方D点2 000 m 经过，沿水平方向飞行，稍后到达B点，此时仰角45°，一分钟后飞机到达A点，仰角为30°，求飞机从B到A的速度?

练习：

1、右图：身高1．80米的同学测得旗杆顶的仰角为60°，他与旗杆的距离为5米 求旗杆高

2、右图：发射塔AB在山顶上，在距离山100米的C处，测得A、B的仰角为60°和45° 求发射塔AB高度

3、右图：在甲楼顶测得乙楼顶的仰角为30°，在甲楼底测得乙楼顶的仰角为60°，两楼相距50米 求两楼高度

4、右图：在甲楼顶测得乙楼顶的仰角为30°，在甲楼底测得乙楼顶的仰角为45°，两楼相距300米 求两楼高度

5、右图：在甲楼顶测得乙楼顶的仰角为30°，在甲楼底测得乙楼顶的仰角为60°，甲楼高50米。求乙楼高度

6、右图：在甲楼顶测得乙楼顶的仰角为30°，在甲楼底测得乙楼顶的仰角为60°，乙楼高50米。求甲楼高度

7、右图：小明在A处测得塔顶仰角为30°，前进100米至B处, 测得塔顶仰角为45°。求塔高

8、右图：小明在A处测得塔顶仰角为45°，前进100米至B处, 测得塔顶仰角为60°，已知山高50米 求CD

1、右图：从楼顶测得C的俯角为30°，D的俯角为45°，已知CD=50米。求楼高

2、右图：太阳光与地面夹角为60°，一棵树与地面夹角为30°，树影长6米。求树高

3、右图：太阳光与地面夹角为60°，一棵树与地面夹角为45°，树影长4米.求树高

4.一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30º的B处。上午9时行至C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是 海里。（结果保留根号）

5.在一次实践活动中，小兵从A地出发，沿东北方向行进了5 千米到达B地，然后再沿西北方向行进了5千米到达目的地C。（1）A、C两地的距离为 千米。（2）试确定目的地C在A地的什么地方？

6.某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h（即 m/s）。交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度监测点A，在如图所示的坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60º方向上，点C在北偏东 45º方向上。

（1）请在图中画出表示北偏东45º方向的射线AC，并标出点C的位置。

（2）点B的坐标为，点C的坐标为。

(3)我开着车从点B行驶到点C用了15s，请帮我算一算，我的车在限速公路上是否超速行驶？（取1.7)

7.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A到点E挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为40°,测得条幅底端E的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC的长(精确到0.1米).AFDEBC

8.如图,小山上有一座铁塔AB,在D处测得点A的仰角为∠ADC=60°,点B的仰角为∠BDC=45°;在E处测得A的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).A

B

EDC

9.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A处测得黑匣子B在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C处,测得黑匣子B在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离.北F

6030 AC

10.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与ABA等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶点A的仰角为60°,树的底部B点的俯角为30°, 如图所示,问距离B点8米远的保护物是否在危险区内?

C6030EDB

第五篇：解直角三角形的应用教案

解直角三角形的应用教案

教学目标：1.使学生能运用解直角三角形模型，将斜三角形问题转化为解直角三角形。

2.通过对比练习，使学生体会到用斜三角形构造直角三角形，要构造为可解(含特殊角)的直角三角形。及方程思想的运用。

教学重点：

将斜三角形问题转化为解直角三角形和实际问题转化为数学模型。

教学难点：

将斜三角形问题转化为解直角三角形及方程思想的运用 教学过程：

一、让学生回忆解直角三角形的依据和哪两种情形？

依据：1.边的关系（勾股定理）2.锐角的关系（互余）3.边角关系（锐角三角函数关系式）情形有：1.已知两边，2，已知一边一锐角，二、练习直接解直角三角形

试一试：如图，在RtΔABC中，已知∠C=90°，(1)若AC=3,AB=5,求 sinA ；（已知两边）

A

(2)若AC=3, ∠A=60°,求BC；（已知一条直角边和一个锐角）

C

(3)若AB=5，∠A=60°,求BC.（已知斜边和一个锐角）

三、解斜三角形

变式：1）如图1，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=4，求AB。2）图2 中，∠B=135°，∠C=30°，AC=4，求AB。

BA

BB

图1

CC图2

A

四、用解斜三角形解决实际问题

典型中考题赏析：

将实际问题化为解斜三角形

例：（2013遂宁）如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，船B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少?（结果保留根号）

方程思想的渗透

变式训练：如果将上题中“C在B的北偏东15°方向”改为“C在B的北偏东30°方向”,其它条件不变，你能解吗？

小结：解决与斜三角形有关的实际问题

北450AC北300B的方东

法是构造可解的直角三角形（1）形内构造（2）形外构造

练习：如图，海岛A四周45海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行18海里到C，见岛A在北偏西45˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？

教学反思：