《高等数学一》第二章 极限与连续 历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析)

第一篇：《高等数学一》第二章 极限与连续 历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析)

第二章 极限与连续

[单选题]

1、若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则

=（）

A、0 B、C、1 D、∞

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【正确答案】 A 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有[单选题]

2、与A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 都存在是

函数在点处有极限的（）..【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 A 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

时，数在极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若

与

函点处有极限，则必有都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题]

3、（）.A、B、1 C、D、0

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【正确答案】 A 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

[单选题]

4、如果A、0 B、1 C、2 D、5 则（）.【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 D 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

根据重要极限,[单选题]

5、（）.A、0 B、∞

C、2 D、-2

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【正确答案】 C 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

分子分母同除以[单选题]

6、，即

（）.A、0 B、∞ C、2 D、-2 【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 C 【您的答案】 您未答题

【答案解析】

[单选题]

7、设，则（）.A、B、2 C、D、0

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【正确答案】 B 【您的答案】 您未答题

【答案解析】

[单选题]

8、当A、B、C、D、时，与等价的无穷小量是（）.【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 B 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

由于推广，当[单选题]

9、时，与A、故时，与等价，等价的无穷小量是（）.B、C、D、【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 A 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

由于推广，当[单选题]

10、，故时，与等价，函数A、x=

6、x=-1 的间断点是（）.B、x=0、x=6

C、x=0、x=

6、x=-1

D、x=-

1、x=0

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【正确答案】 C 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

由于所以[单选题]

11、的间断点是x=0，x=6，x=-1., 设,则是的（）.A、可去间断点

B、跳跃间断点

C、无穷间断点

D、连续点

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【正确答案】 A 【您的答案】 您未答题 【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题]

12、计算A、（）.B、C、D、【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 D 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

[单选题]

13、计算（）.A、B、C、D、1

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【正确答案】 A 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

[单选题]

14、（）.A、1

B、﹣1

C、2

D、﹣2

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【正确答案】 B 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

[单选题]

15、下列各式中正确的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 D 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

A，当时，极限为，错误；

B，错误；

C，[单选题]

16、，错误，D正确.函数A、0 的间断点个数为（）.B、1

C、2

D、3

【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

[单选题]

17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）

在x=0和x=1处，无定义，故间断点为2个.A、B、C、D、arctanx

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【正确答案】 C 【您的答案】 您未答题 【答案解析】，[单选题]

18、.（）

A、0 B、1

C、不存在，但不是∞

D、∞

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【正确答案】 C 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

[单选题]

19、函数，则x=0是f(x)的()A、可去间断点

B、跳跃间断点

C、无穷间断点

D、连续点

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【正确答案】 A 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

故为可去间断点.[单选题] 20、（）.A、-1 B、2 C、1 D、0

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【正确答案】 D 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

为有界函数，故原式=[单选题]

21、.（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 B 【您的答案】 您未答题

【答案解析】

[单选题]

22、下列极限存在的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 D 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

当x趋近于0时，[单选题]

23、下列变量在为有界函数，故极限存在.的变化过程中为无穷小量的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 C 【您的答案】 您未答题 【答案解析】，[单选题]

24、，不存在, 极限=()A、0 B、2/3 C、3/2 D、9/2

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【正确答案】 C 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

[单选题]

25、函数f(x)=的所有间断点是()A、x=0 B、x=1 C、x=0，x=-1 D、x=0，x=1

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【正确答案】 D 【您的答案】 您未答题

【答案解析】 x=1时，分母为0，无意义。x=0时，分子的指数分母为0，无意义。[单选题]

26、极限A、－∞

B、0

C、1D、＋∞（）．

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【正确答案】 B 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

参见教材P48～50．（2015年4月真题）[单选题]

27、函数A、x＝0，x＝

1B、x＝0，x＝

2C、x＝1，x＝

2D、x＝0，x＝1，x＝2 的所有间断点为（）．

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【正确答案】 D 【您的答案】 您未答题

【答案解析】 本题考查间断点，由定义可知答案为D。参见教材P64．（2015年4月真题）[单选题]

28、设函数f（x）＝2x2，g（x）＝sinx，则当x→0时（）．

A、f（x）是比g（x）高阶的无穷小量

B、f（x）是比g（x）低阶的无穷小量

C、f（x）与g（x）是同阶但非等价的无穷小量

D、f（x）与g（x）是等价无穷小量

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【正确答案】 A 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

当x→0时，sinx和x是等价无穷小量，2x2是x的高阶无穷小量． 所以选择A．

参见教材P59～61。（2014年4月真题）[单选题]

29、设函数A、a＝1，b＝

4B、a＝0，b＝

4C、a＝1，b＝

5D、a＝0，b＝5

在x＝2处连续，则（）．

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【正确答案】 B 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

在x＝2点连续，那么在这一点左右极限相等，且等于该点函数值． 所以有3x2－4＋a＝b＝x＋2，解得a＝0，b＝4，选B．

参见教材P63～64。（2014年4月真题）[单选题]

30、若函数

A、1B、2C、3D、4

在x＝0处连续，则常数k＝（）．

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 D 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

在x＝0点连续，因此因此选择D．

参见教材P63～64。（2014年10月真题）[单选题]

31、函数A、1B、2 的间断点的个数为（）． C、3D、4

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 B 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

解得 x＝±1． 因此选择B．

参见教材P64。（2014年10月真题）[单选题]

32、设函数，则为（）。

A、不存在B、0 C、1 D、2

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【正确答案】 D 【您的答案】 您未答题 【答案解析】 [单选题]

33、当

。参见教材P48。

时，下列变量为无穷小量的是（）。

A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 D 【您的答案】 您未答题 【答案解析】 当时，。参见教材P59。

[单选题]

34、极限=（）.A、-2 B、0 C、2 D、﹢∞

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 D 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

参见教材P48。[单选题]

35、函数的所有间断点是（）.A、0 B、-1 C、D、【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 C 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

根据间断点的定义可知，[单选题]

均是函数的间断点。参见教材P64。

36、极限=（）.A、0 B、1 C、2 D、3

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 B 【您的答案】 您未答题

【答案解析】 等于最高次项的系数之比。故选B。[单选题]

37、极限的所有间断点为（）.A、x=-1 B、x=2 C、x=2 D、x=2，x=3

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 D 【您的答案】 您未答题

【答案解析】 当x=2，x=3时，f(x)没有意义，所以极限 的所有间断点为2，3。故选D。[单选题]

38、极限（）.A、0 B、C、D、∞

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 C 【您的答案】 您未答题

【答案解析】 等于最高次项的系数之比。故选C。参见教材P52。[单选题]

39、函数的全部间断点为（）.A、x=－1及x=4 B、x=－1及x=－4 C、x=1及x=－4 D、x=1及x=4

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 C 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

当x=1，x=－4时，f(x)没有意义，所以函数的全部间断点为x=1，x=－4。故选C。参见教材P64。[解答题] 40、极限=_________． 【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

【您的答案】 您未答题 【答案解析】

[解答题]

41、极限【从题库收藏夹删除】

_________.【正确答案】 1 【您的答案】 您未答题 【答案解析】。

[解答题]

42、讨论函数【从题库收藏夹删除】

在x=0处的连续性．

【正确答案】，所以在x=0处连续。

【您的答案】 您未答题 [解答题]

43、设求.【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

故

【您的答案】 您未答题 [解答题]

44、计算

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

【您的答案】 您未答题 [解答题]

45、证明方程在区间(0,1)内必有根.【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

设当即时，则

在[0,1]上连续，当

时，根据零点定理：存在即，使得

在区间(0,1)内必有根.【您的答案】 您未答题 [解答题]

46、设【从题库收藏夹删除】，在内连续，求的值.【正确答案】

要使在在处，内连续，则保证

在和

点连续，所以在处，所以

.【您的答案】 您未答题 [解答题]

47、计算极限【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

【您的答案】 您未答题 [解答题]

48、计算

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 此题是0/0型，所以用洛必达法则上下求导得到

此题还可以用等价替换来做

【您的答案】 您未答题 [解答题]

49、求a的值，使得函数f(x)=【从题库收藏夹删除】

在x=0处连续.【正确答案】，所以当

时函数f(x)在x=0处连续.【您的答案】 您未答题 [解答题]

50、求极限【从题库收藏夹删除】

．

【正确答案】 e6

【您的答案】 您未答题 【答案解析】

参见教材P55～58．（2015年4月真题）[解答题]

51、求常数a的值，使函数在x＝0处连续． 【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 a＝1 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

当x≠0时，当x＝0时，f(x)＝a．

由于函数在x＝0处连续，所以a＝1． 参见教材P63～64．（2015年4月真题）[解答题]

52、求极限．

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 －3

【您的答案】 您未答题 【答案解析】

参见教材P59～61．（2015年4月真题）[解答题]

53、求极限【从题库收藏夹删除】

．

【正确答案】

【您的答案】 您未答题 【答案解析】

参见教材P48～50。（2014年4月真题）[解答题]

54、已知极限【从题库收藏夹删除】，求常数a的值．

【正确答案】 2 【您的答案】 您未答题 【答案解析】，则有a＝2． 由题意得参见教材P48～50。（2014年10月真题）[解答题]

55、判断方程sinx＋x－1＝0在区间（0，【从题库收藏夹删除】）内是否有实根，并说明理由．

【正确答案】 有

【您的答案】 您未答题 【答案解析】

令f（x）＝sinx＋x－1，则f（x）是连续函数

f（0）＝sin0＋0－1＝－1＜0

所以

． 由零点存在定理可知：

至少存在介于0，使得，即之间的一个点，则方程sinx＋x－1＝0在区间（0，）上至少有一个实根．

参见教材P65～67。（2014年10月真题）[解答题]

56、求极限【从题库收藏夹删除】。

【正确答案】

【您的答案】 您未答题 【答案解析】 P55。

[解答题]

。参见教材

57、已知函数【从题库收藏夹删除】

在点连续，试确定常数的值。

【正确答案】

【您的答案】 您未答题 【答案解析】

由函数在，而

点连续，可得，因此[解答题]

58、，故可得。参见教材P63。

求极限.【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 5 【您的答案】 您未答题 【答案解析】

这个分式的极限等于最高次项前面的系数比。

参见教材P52。[解答题]

59、确定常数的值，使得函数【从题库收藏夹删除】

在处连续.【正确答案】

【您的答案】 您未答题 【答案解析】

欲使函数则有在处连续，又所以[解答题]

.参见教材P63。

60、求极限.【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

【您的答案】 您未答题 [解答题]

61、求极限【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

.【您的答案】 您未答题 [解答题]

62、求常数a的值，使函数【从题库收藏夹删除】

在x=0处连续.【正确答案】

f(0)=1+0=1

要在x=0处连续 所以故求出a=1

【您的答案】 您未答题 [解答题]

63、求极限【从题库收藏夹删除】

.【正确答案】

【您的答案】 您未答题

【答案解析】 参见教材P61。[解答题]

64、求极限【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

【您的答案】 您未答题 【答案解析】 参见教材P56。

第二篇：函数极限与连续习题(含答案)

1、已知四个命题：（1）若

（2）若

（3）若

（4）若f(x)在x0点连续，则f(x)在xx0点必有极限 f(x)在xx0点有极限，则f(x)在x0点必连续 f(x)在xx0点无极限，则f(x)在xx0点一定不连续f(x)在xx0点不连续，则f(x)在xx0点一定无极限。其中正确的命题个数是（B、2）

2、若limf(x)a，则下列说法正确的是（C、xx0f(x)在xx0处可以无意义）

3、下列命题错误的是（D、对于函数f(x)有limf(x)f(x0)）

xx04、已知f(x)1

x，则limf(xx)f(x)的值是（C、1）

x0xx2

x125、下列式子中，正确的是（B、limx11）2(x1)

26、limxaxb5，则a、x11xb的值分别为（A、7和6）

7、已知f(3)2,f(3)2,则lim2x3f(x)的值是（C、8）

x3x38、limxa

xxaa（D、3a2）

29、当定义f(1)f(x)1x

2在x1处是连续的。1x10、lim16x12。

x27x31111、lim12、x21xxx12x31

limx2x112 3x1113、lim(x2xx21)1

x

214、lim(x2xx21)1

x2

x,0x1115、设(1)求xf(x),x1

2

1,1x2

1时，f(x)的左极限和右极限；(2)求f(x)在x1的函数值，它在这点连续吗？(3)求出的连续区间。

答：（1）左右极限都为1（2）不连续（3）（0，1）（1，2）

第三篇：成人专升本高等数学一模拟试题之二

模拟试题

一、选择题（每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填写在题后的括号中）

sin2mx1． lim等于

x0x2A：0

B： D：m

2C：m

2．设f(x)在x0处连续，则：下列命题正确的是 A：limf(x)可能不存在

xx0

B：limf(x)存在，但不一定等于f(x0)

xx0C：limf(x)必定存在，且等于f(x0)

xx0D：f(x0)在点x0必定可导

3．设y2x，则：y等于 A：2C：2x

B：2D：2x

xln2

xln2

4．下列关系中正确的是

dbf(x)dxf(x)

A：dxaC：

dxf(t)dtf(x)B：

dxaD：baf(x)dxf(x)

baf(x)dxf(x)C

5．设f(x)为连续的奇函数，则：A：2af(x)

C：0

aaf(x)dx等于

B：2

a0f(x)dx

D：f(a)f(a)

6．设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)f(1)，则：在(0,1)内曲线yf(x)的所有切线中

A：至少有一条平行于x轴 C：没有一条平行于x轴

7．B：至少有一条平行于y轴 D：可能有一条平行于y轴

10f(2x)dx等于

B：A：1f(1)f(0)

1f(2)f(0) 2C：2f(1)f(0) D：2f(2)f(0)

2z8．设zysinx，则：等于

xyA：cosx

C：cosx

B：ycosx D：ycosx

9．方程y3y2yxe2x的待定特解应取 A：Axe

22x2x

B：(AxB)e2x D：x(AxB)e2x C：Axe

10．如果ui1n收敛，则：下列命题正确的是

B：limun必定不存在

nA：limun可能不存在

nC：limun存在，但limun0

nnD：limun0

n

二、填空题（每小题4分，共40分）11．设当x0时，f(x)sinx，F(x)在点x0处连续，当x0时，F(x)f(x)，则：xF(0)

12．设yf(x)在点x0处可导，且x0为f(x)的极值点，则：f(0)13．cosx为f(x)的一个原函数，则：f(x)14．设15．设

x0f(t)dte2x1，其中f(x)为连续函数，则：f(x)k1dx，且k为常数，则：k21x2

016．微分方程y0的通解为17．设zln(x2y)，则：dz18．过M0(1,1,2)且垂直于平面2xy3z10的直线方程为

xn19．级数的收敛区间是3nn1(不包含端点)20．dx0120dy

三、解答题

21．（本题满分8分）设yxtanx，求：y 22．（本题满分8分）

x22求曲线y的渐近线 3(x2)23．（本题满分8分）计算不定积分1x(2x1)dx

24．（本题满分8分）

设zz(x,y)由x2y33xyz22z1确定，求：25．（本题满分8分）计算

22D，其中区域满足xy

1、x0、y0 xdxdyzz、xyD26．（本题满分10分）

求微分方程yy2y3e2x的通解 27．（本题满分10分）

设f(x)为连续函数，且f(x)x3x28．（本题满分10分）

设F(x)为f(x)的一个原函数，且f(x)xlnx，求：F(x)

310f(x)dx，求：f(x)

第四篇：多元函数的极限与连续习题

多元函数的极限与连续习题

1.用极限定义证明:lim(3x2y)14。x2y1

2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。

（1）f(x,y)xy； xy

(2)f(x,y)(xy)sisi； 1

x1y

x3y3

(3)f(x,y)2； xy

1(4)f(x,y)ysi。x

3.求极限（1）lim(xy)x0y022x2y2；

（2）limx2y2

xy122x0y0；

（3）lim(xy)sinx0y01； 22xy

sin(x2y2)（4）lim。22x0xyy0

ln(1xy)4.试证明函数f(x,y)xy

x0x0在其定义域上是连续的。

1.用极限定义证明:lim(3x2y)14。

x2y1

因为x2,y1，不妨设|x2|0,|y1|0，有|x2||x24||x2|45，|3x2y14||3x122y2|

3|x2||x2|2|y1|15|x2|2|y1|15[|x2||y1|]

0，要使不等式

|3x2y14|15[|x2||y1|]成立 取min{



30,1}，于是

0，min{



30,1}0，(x,y)：|x2|,|y1|

且(x,y)(2,1)，有|3x2y14|，即证。

2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）f(x,y)

xy

； xy

xyxy

limli1，limlim1

y0x0xyx0y0xy

二重极限不存在。

xyxy1

或lim0，li。

x0xyx0xy3

yx

y2x

(2)f(x,y)(xy)sin

11sin； xy

0|(xy)sinsin||x||y|

xy

可以证明lim(|x||y|)0所以limf(x,y)0。

x0y0

x0y0

当x

111，y0时，f(x,y)(xy)sinsin极限不存在，kxy

因此limlim(xy)sisi不存在，x0y0xy

lim(xy)sisi不存在。同理lim

y0x0

x1y

x3y3

(3)f(x,y)2；

xy

2x3

limf(x,y)lim0，x0x0xx

yx

当 P(x, y)沿着yxx趋于（0,0）时有

yxx

x3(x3x2)3limf(x,y)li21，x0x0xx3x223

x0y0

所以 limf(x,y)不存在；

limlimf(x,y)0，limlimf(x,y)0。

x0y0

y0x0

(4)f(x,y)ysinx

0|ysin||y|

x

∴limf(x,y)0，x0y0

limlimysi0，limlimysi不存在。x0y0y0x0xx

3.求极限（1）lim(xy)

x0

y0

2x2y2；

(x2y2)2

0|xyln(xy)||ln(x2y2)|，22

(x2y2)2t

ln(x2y2)limlnt0，又 lim

x0t044

y0

∴lim(xy)

x0

y0

2x2y2

e

limx2y2ln(x2y2)(x,y)(0,0)

1。

（2）lim

x2y2xy1

x0y0；

(x2y2)(x2y21)lim2。lim2222x001xy1xy1x

y0y0

x2y2

（3）lim(xy)sin

x0y0

；22

xy

||xy|，|(xy)sin2

xy

而lim(xy)0

x0

y0

故lim(xy)si20。2x0xyy0

sin(x2y2)

（4）lim。22x0xyy0

令xrcos，yrsin，(x,y)(0,0)时，r0，sin(x2y2)sinr2

limlim21。22x0r0rxyy0

ln(1xy)

4.试证明函数f(x,y)x

y

x0x0

在其定义域上是连续的。

证明：显然f(x, y)的定义域是xy>-1.当x0时，f(x, y)是连续的，只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续。以下分两种情况讨论。（1）在原点（0,0）处

f(0, 0)=0,当x0时

0ln(1xy)1f(x,y)

xyxyln(1xy)

由于limln1(xy)

x0

y0

1xy

y0,y0

1

1xy

不妨设|ln1(xy)从而0，取

xy

1|1，|ln1(xy)|2，当0|x|,0|y|时，

ln(1xy)

0||yln(1xy)xy||

x

|y||ln(1xy)|2|y|，于是，无论x0,x0，当|x|,|y|时，都有limf(x,y)0f(0,0)

x0y0

1xy

（2）在(0,)处。（0)

xy

当x0时，|f(x,y)f(0,)||yln(1xy)

1xy

|

1(xy)|y(ln1)(y)| 1||y|

|y||ln(1xy)

xy

当x=0时,|f(x,y)f(0,)||y|,1xy

注意到，当0时limln1(xy)

x0

y1，于是，无论x0,x0，当0时lim|f(x,y)f(0,)|0，x0y即 f(x, y)在在(0,)处连续，综上，f(x, y)在其定义域上连续。

第五篇：函数极限习题与解析

函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）

一、填空题

1、设f(x)2xlglgx，其定义域为。

2、设f(x)ln(x1)，其定义域为。

3、设f(x)arcsin(x3)，其定义域为。

4、设f(x)的定义域是[0，1]，则f(sinx)的定义域为。

5、设yf(x)的定义域是[0，2]，则yf(x2)的定义域为。

x22xk4，则k=。

6、limx3x3x有间断点，其中为其可去间断点。sinxsin2x8、若当x0时，f(x)，且f(x)在x0处连续，则f(0)。

xnnn22)。

9、lim(2nn1n2nn7、函数y

10、函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0连续的条件。

(x31)(x23x2)。

11、limx2x55x312、lim(1)n2nkne3，则k=。

x2113、函数y2的间断点是。

x3x

214、当x时，1是比x3x1的无穷小。x15、当x0时，无穷小11x与x相比较是无穷小。

16、函数ye在x=0处是第类间断点。

31x17、设yx1，则x=1为y的间断点。x118、已知f13，则当a为时，函数f(x)asinxsin3x在x处连续。

333sinxx02x19、设f(x)若limf(x)存在，则a=。

1x0(1ax)xx0xsinx2水平渐近线方程是。20、曲线yx221、f(x)4x21x12的连续区间为。

xa,x022、设f(x) 在x0连续，则常数

cosx,x0a=。

二、计算题

1、求下列函数定义域（1）y

（3）ye ；

2、函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？（1）f(x)lnx

（2）f(x)x

（3）f(x)1, 21 ；（2）ysinx ； 1x21x,g(x)2lnx ； ,g(x)x2 ；

g(x)sec2xtan2x ；

3、判定函数的奇偶性

（1）yx2(1x2)；

（2）y3x2x3 ；

（3）yx(x1)(x1)；

4、求由所给函数构成的复合函数（1）yu

2（2）yu

（3）yu2,usinv,vx2 ； ,u1x2 ； ,uev,vsinx ；

5、计算下列极限（1）lim(1n111123(n1)n)；

（2）lim ；

n242n2

x25x22x1（3）lim ；

（4）lim ； 2x1x2x3x

111x32x2（5）lim(1)(22)；

（6）lim ； 2xx2xx(x2)

1x21（7）limxsin ；

（8）lim ； 2x0x

（9）2xlimx(x1x)；

6、计算下列极限（1）limsinwxx0x ；

（3）limx0xcotx ；

（5）limx1x(x1)x1 ；

7、比较无穷小的阶

（1）x0时，2xx2与x2x3 ；

（2）x1时，1x与1(1x22)；

x13x1x2）limsin2xx0sin5x ；

4）lim(xx1x)x ； 16）lim(1x)xx0 ；

（（（8、利用等价无穷小性质求极限

tanxsinxsin(xn)（1）lim ；

（2）limx0x0(sinx)msinx39、讨论函数的连续性

(n,m是正整数)；

x1,x1 f(x)在x1。3x,x

110、利用函数的连续性求极限

（1）limln(2cos2x)；

（2）lim(xxx2xx2x)；

6（3）limlnx0sinx12x ；

（4）lim(1)；

xxx

（5）设f(x)lim(1)nxnn,求limf(t11)； t

1（6）limxln(xx1)； x1

ex,x011、设函数f(x)

ax,x0应当怎样选择a，使得f(x)成为在(，)内的连续函数。

12、证明方程x3x1至少有一个根介于1和2之间。

5（B）

1、设f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数定义域（1）yf(ex)

（2）yf(lnx)

0,xo2、设f(x)x,x0求

0,x0 g(x)2x,x0f[g(x)],g[f(x)] f[f(x)],g[g(x)]，3、利用极限准则证明：（1）lim1n11（2）limx[]1 ；

x0xn

（3）数列2,4、试比较当x0时，无穷小232与x的阶。

5、求极限

（1）limx(x1x)；

（2）lim(xx22,222,的极限存在 ；

xx22x3x1)； 2x

1（3）limx0tanxsinx ； 3x

axbxcxx（4）lim()x0

31(a0,b0,c0)；

1,x0xsin6、设f(x)

要使f(x)在(,)内连续，x2ax,x0应当怎样选择数a ？

x11,x0

求f(x)的间断点，并说明间断点类型。

7、设f(x)eln(1x),1x0

（C）

1、已知f(x)ex2,f[(x)]1x，且(x)0，求(x)并写出它的定义域。

2、求下列极限：

1x)coslnx] ；（1）、lim[cosln(（2）、milxx01xnisxcosx ；

xxax3x252)9，求常数a。sin ；（3）、求lim（4）、已知lim(x5x3xxax（5）、设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)a,f(b)b，证明：在开区间(a,b)内至少存在一点，使f()。

第一章 函数与极限习题 解 析

（A）

一、填空题（1）(1,2]

（2）(1,)

（3）[2，4]

（4）x2kx(2k1)（6）-3

（7）xk,kz（10）充分

（11）,kz

（5）[2,;x0

（8）2（9）1

2]

3（12）

（13）x=1 , x=2（14）高阶 22（15）同阶

（16）二

（17）可去

（18）2

（19）-ln2（20）y=-2

（21）[2,1](1,2]

（22）1

二、计算题

1、（1）

(,1)(1,1)(1,)

（2）

[0,)

（3）(,0)(0,)

2、（1）不同，定义域不同

（2）不同，定义域、函数关系不同

（3）不同，定义域、函数关系不同

3、（1）偶函数

（2）非奇非偶函数

（3）奇函数

24、（1）y(sinx2)

2（2）[y1x]

（3）[ye2sinx] 

5、（1）[ 2 ]

（2）[]

（3）-9

（4）0

（5）2（6）

（7）0

（8）2（9）

6、（1）w

（2）2121 2212

1（3）1

（4）e

（5）e

（6）e 5237、（1）2xx是xx的低阶无穷小

（2）是同阶无穷小

0,mn1

8、（1）

（2）1,mn

2,mn

9、不连续

10、（1）0

（2）1

（3）0

（4）e

（5）0

（6）-2

211、a=1

（B）

1、（1）提示：由0e1 解得：x(,0]

（2）提示：由0lnx1解得：x[1,e]

2、提示：分成xo和x0两段求。f[f(x)]f(x)，g[g(x)]0，xf[g(x)]0 , g[f(x)]g(x)

4、（1）提示：11111111

（2）提示：x(1)x[]x

xxxnn

（3）提示：用数学归纳法证明：an222

2x3x22x13x1x

5、提示：

令21t（同阶）

xxx（2）提示：除以2x ；e 21

（3）提示：用等阶无穷小代换 ；

26、（1）提示：乘以x21x ；axbxcxx（4）提示：()

33xxxxxxa1b1c1a1b1c113ax1bx1cx13x1（3abc）

7、提示：limf(x)limf(x)f(0)

（a0）

x0x0

8、x1是第二类间断点，x0是第一类间断点

（C）

1、解：因为fxe2(x)1x，故(x)ln(1x)，再由ln(1x)0，x0。得：1x1，即x0。所以：(x)ln(1x)1xsinxsin2x1xsinxcos2x2、解：原式=lim=lim

x0x0x(1xsinxcosx)2xsinx(xsinx)=0 x0x223、解：因为当x时，sin~，xx=lim123x2523x2526x2106sin=lim=lim2则lim=

x5x3xxx5x3x5x3x5a1xaxeax=a=e2a)=lim

4、解：因为：9=lim(aexxax1x所以e2ax9，aln3

5、证明：令F(x)f(x)x，F(x)在a,b上连续，且

F(a)f(a)a0，F(b)f(b)b0。由闭区间上连续函数的零点定理，在开区间(a,b)内至少存在一点(a,b)，使F()0，即f()。