学好几何证明的几点意见

第一篇：学好几何证明的几点意见

触类旁通，取舍得当

数学的几何证明是如今许多中学生普遍感到比较头疼的问题，不知从哪下手，甚至寄希望于考试时少出些几何题，然而这类题型又是初中数学的主要题型，它可以从不同的方面去锻炼学生的各种能力：观察能力、逻辑思维能力、推理能力及综合运用能力。那么怎样才能学好几何证明呢？我认为应做到以下八个字“触类旁通，取舍得当”。要做到“触类旁通，取舍得当”则要求学生要有扎实的几何系统知识，即几何相关概念、命题、性质、公理、定理等基础知识，并且要熟记，还要能从中找出他们的必然联系。

那么怎样理解“触类旁通，取舍得当”这八个字的学习方法呢？

一、触类旁通

1、根据已知想想有关的性质就可以得到你可能用到的东西

如：见到正方形，脑子马上就要想到正方形的有关性质：对边平行；四边都相等；四角都相等且为90度；对角线互相平分、相等、垂直且平分每一组对角。再如见到等腰三角形马上想到：两腰相等；两底角相等；三线合一。

2、根据已知分析想想相关的解决办法

如：要证两个三角形全等，马上联想到证三角形全等的办法：SAS;ASA;AAS;SSS;HL。

3、找出相关可能的解决办法后再来捋顺相关思路

如：我们已确定用三角形全等的方法来证明此题以后，接下来我们就要确定究竟选择哪种判定可以证出，如题目告之一角一边，我们就选

择SAS、ASA、AAS，再看角与边哪个好找相应的方法；如题目告之是两边或两角，则就选用SAS、SSS（ASA、AAS）；如果是直角三角形就优先考虑HL，在考虑其它方法。这样一来思路就很明确了。

二、取舍得当

我们在证明过程中，由一个知识点可能得到很多相关的性质、结论，但并不是所有的结论都要写在证明过程中的，如果这样做就会使证明过程含糊不清，适得其反。所以在写证明步骤中要做到“取舍得当”：即推理需要怎样的结论我们就写与之有关的结论，不需要的坚决不写，做到取舍得当，这样我们的证明过程就简捷、明确，推理就具有逻辑性。

第二篇：几何证明

1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________.3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于

_________________；

相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项.5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.o推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____；90的圆周角所对的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________.6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：

圆的内接四边形的对角______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________.7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________.8.相交弦定理:圆内两条相交弦，_____________________的积相等.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，_____________的两条线段长的积相等.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是__________的比例中项.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____；

圆心和这点的连线平分_____的夹角.

第三篇：几何证明

龙文教育浦东分校学生个性化教案

学生：钱寒松教师：周亚新时间：2010-11-27

学生评价◇特别满意◇满意◇一般◇不满意

【教材研学】

一、命题

1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．

2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果„„，那么„„”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．

3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．

二、互逆命题

1．概念：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个

命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．

2．说明：

（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；

（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；

（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

2．说明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．

所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．

【点石成金】

例1． 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）直角三角形的两个锐角互余；

（3）对顶角相等．

分析：解题的关键是找出原命题的题设和结论，然后再利用互逆命题的特征写出它们的逆命题．

（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．

（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是课题：几何证明

对顶角”．

名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果„„，那么„„”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．

例2．某同学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗?

分析：写出一个命题的逆命题，是把原命题的题设和结论互换，但有时需要适当的变通，例如“等腰三角形的两底角相等”的逆命题不能写成“两底角相等的三角形是等腰三角形”，因为我们还没有判断出是等腰三角形，所以不能有“底角”这个概念．

解：上面的写法不对．原命题条件是直角三角形，斜边是直角三角形的边的特有称呼，该同学写的逆命题的条件中提到了斜边，就已经承认了直角三角形，就不需要再得这个结论了．因此，逆命题应写成“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．

名师点金：在写一个命题的逆命题时，千万要注意一些专用词的用法．

例3．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题(要求写出已知，求证及证明过程)

解：选①②③作为题设，④作为结论．

已知：如图19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

求证：BD=CE,证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．

即∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．

名师点金：本题考查的是证明三角形的全等，但条件较为开放．当然，此题的条件还可以任选其他三个．

【练习】

1．“两直线平行，内错角相等”的题设是____________________，结论是_________________________

2．判断：（1）任何一个命题都有逆命题．()

（2）任何一个定理都有逆定理．()

【升级演练】

一、基础巩固

1．下列语言是命题的是()

A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗

C．延长线段AD到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等

2．下列命题的逆命题是真命题的是()

A．直角都相等B．钝角都小于180。

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C．如果x+y=0，那么x=y=0D．对顶角相等

3．下列说法中，正确的是()

A．一个定理的逆命题是正确的B．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是正确的C．任何命题都有逆命题

D．定理、公理都应经过证明后才能用

4．下列这些真命题中，其逆命题也真的是()

A．全等三角形的对应角相等

B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形

C．等边三角形是锐角三角形

D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

5．证明一个命题是假命题的方法有__________．

6．将命题“所有直角都相等”改写成“如果„„那么„”的形式为___________。

7．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。

二、探究提高

8．下列说法中，正确的是()

A．每个命题不一定都有逆命题B．每个定理都有逆定理

c．真命题的逆命题仍是真命题D．假命题的逆命题未必是假命题

9．下列定理中，没有逆定理的是()

A．内错角相等，两直线平行B．直角三角形中两锐角互余

c．相反数的绝对值相等D．同位角相等，两直线平行

三、拓展延伸

10．下列命题中的真命题是()

A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角

c．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角

11．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为()

A．0个B．1个C．2个D．3个

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第四篇：几何证明

几何证明

1.如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30 o，求∠EAD、∠DAC、∠C的度数

2.已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的位置关系

3.如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由。

4.如图，已知AB//CD，AE//CF，求证：BAEDCF

AEFCD B

5.如图，AB//CD，AE平分BAD，CD与AE相交于F,CFEE。求证：

AD//BC。

6.如图，已知AB//CD，B40，CN是BCE的平分线，

A

D

F

B

C

E

CMCN，求BCM的度数。

7.如图若FD//BE，求123的度数

A

N

M

C

D

E

第三题

o

8.如图已知CAOC，OC平分AOD，OCOEC63求D，BOF的度

数

第四题

9.已知如图DB//FG//EC，若ABD60，ACE36AP平分BAC求PAG的度数

第五题

10.，已知如图AC//DE，DC//FE，CD平分BCA，那么EF平分BED？为什么？

B

11.1）已知三角形三边长分别是4,5,6-x,求x的取值范围

（2）已知三角形三边长分别是m，m-1，m+1，求m的取值范围

oo

12.在ABC中，B70BAC:BCA3:2，CDAD垂足为D且ACD35

oo

求BAE的度数

A50oD44 13.已知AC，BD交与O，BE，CE分别平分ABD,ACD且交与E，o

求E的度数。

E

o

14.ACE90AC=CE，B为AE上的一点，EDCB于D，AFCB交CB的延长

线于F，求证：AF=CD

第22题

15，已知AB=CD，BC=DA，E，F为AC上的两个点，且AE=CF，求证BF//DE

第23题

16.AD，BC交于D，BEAD于E,DFBC于F且AO=CO,BE=DF,求证 ＡＢ＝ＣＤ

o

17.中AB=AC，BAC90分别过BC做过A点的直线的垂线，垂足为D,E,求证DE=BD+CE

第25题

第五篇：空间几何证明

立体几何中平行、垂直关系证明的思路

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面性质

判定线⊥线线⊥面面⊥面

线∥线线⊥面面∥面

线面平行的判定：

a∥b，b面，aa∥面

a b 

线面平行的性质：

∥面，面，ba∥b

三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则

a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

P O a

线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a O α b c

面面垂直：

a⊥面，a面⊥

面⊥面，l，a，a⊥la⊥

α a l β

a⊥面，b⊥面a∥b

面⊥a，面⊥a∥

a b 

定理：

1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。作用：判断直线是否在平面内；证明点在平面内；检验平面。2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

作用：确定平面；判断两个平面是否重合；证明点线共面。推论：a.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；

b.经过两相交直线，有且只有一个平面；

c.经过两条平行直线，有且只有一个平面。

3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

作用：a.判定两个不重合平面是否相交；

b.判断点在直线上。

4.平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性）。5.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6.（直线与平面平行的判定定理）

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。条件：a.一条直线在平面外；

b.一条直线在平面内；

c..这两条直线互相平行。7.（平面与平面平行的判定定理）

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。条件：a.两条相交直线；

b.相交直线在一个平面内；

c.对应平行。

8.（直线与平面平行的性质定理）

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

条件：a.一条直线与一个平面平行；

b.过这条直线的任一个平面与此平面相交；

c.交线与直线平行。9.（平面与平面平行的性质定理）

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。条件：a.两个平行平面：平面1和平面2和第三个平面：平面3

b.平面1与3相交，平面2与3相交

c.交线平行

点、线、面的相关证明

一.多点共线和多线共点问题证明

方法：公理3的熟练应用；两个相交平面有且只有一条公共直线。

1.如下图，在四边形ABCD中，已知AB//CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，F，G，H。求证：E，F，G，H四点必定共线。

2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q.求证：B，Q，D1三点共线。

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB 的中点，F为AA1的中点，求证：

a.E，C，D1，F四点共面；

b.CE，D1F，DA三线共点。

二．计算异面直线所成角度

方法：平移法和辅助线（中位线）构造角度

1.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角度为______________.2.如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面面积为3，体积为√2/2，E为侧棱PC的中点，则PA与BE 所成的角为____________.3.如图所示，正三棱锥S-ABC（侧面为全等的等腰三角形，底面为正三角形）的侧棱长与底面边长相等，E、F分别是SC、AB的中点，异面直线EF与SA所成的角为____________.4.如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2√2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点，直线MN与PQ所成的度数_______________.