证明与全等一

第一篇：证明与全等一

暑假辅导学案

辅导班级或学生：辅导时间：周学科：

证明

（一）证明：根据已知的定义、基本事实、定理（包过推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。外角：由△ABC的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角

外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

证明几何命题时，表达格式是：首先按题意画出图形，分清命题的条件和结论，结合图形，在‘已知’中写出条件，在‘求证’中写出结论，然后在‘证明’中写出推理过程（添加辅助线要写入证明中）

例题1：证明命题：三角形不共顶点的三个外角的和等于360°

A

2：已知，如图，∠B+∠C+∠D=360°，求证：AB//DE

C

E

3:已知：如图,BC垂直AC于点C，CD垂直AB于点D，∠EBC=∠A，求证：BE//CD

4.命题‘若n是自然数，则代数式(3n+1)(3n+2)+1的值是3的倍数’是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由；然后认为是真命题，给出证明。

5.如图，在Rt△ABC中, ∠C＝90°，∠A＝30°（1）以直角边AC所在的直线为对称轴，将Rt△ABC作轴对称变换，请在原图上作出变换所得的像。（2）Rt△ABC和它的像组成了什么图形？最准确的判断是（）

（3）利用上面的图形，你能找出直角边BC与斜边AB的数量关系吗？并请说明理由。

全等三角形及判定

（一）能完全的重合的图形称为全等图形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个全等三角形重合时（1）能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点；互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角；‘全等’可用符号‘≌’来表示，如△ABC和△DEF全等，记做‘△ABC≌△DEF’，读做三角形ABC全等于三角形DEF

1．能够完全重合的两个图形叫做

全等图形的特征：全等图形的和都相同． 2．全等三角形.两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

（二）、全等三角形的对应元素及表示

1．平移翻折旋转

A

D

A

BC

B

C

甲

EF

乙

D

D

B

丙

E

C

启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，•但、都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略． 2．全等三角形的对应元素（说一说）

（1）对应顶点（三个）——重合的（2）对应边（三条）——重合的（3）对应角（三个）——重合的3．寻找对应元素的规律

（1）有公共边的，公共边是；（2）有公共角的，公共角是；（3）有对顶角的，对顶角是；

（4）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角．

简单记为：（1）大边对应大边，大角对应;

(2)公共边是对应边，公共角是4．“全等”用“”表示，读作“

如图甲记作：△ABC≌△DEF读作：△ABC全等于△DEF 如图乙记作：读作：如图丙记作：读作：

注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．

（三）、全等三角形的性质

课堂探究

活动一：观察下列各组的两个全等三角形，并回答问题：

A

BDB

E E

BCE第（1）题图第（4）题图

B

DB

D

EC

4．如图：△ABC≌△DBF，找出图中的对应边，对应角．

B答：∠B的对应角是，∠C的对应角是，∠BAC的对应角是；DAB的对应边是，AC的对应边是，BC的对应边是 A

5．如下图，ABC≌CDA，并且BCAD，则下列结论错误的是（）

A．12B．ABCDC．BDD．ACDC

6．如下图，ABC≌BAD，若AB6，AC4，BC5，则AD的长为（）

C

A．4B．5C．6D．以上都不对

7．如下图，直角△ABC沿直角边BC所在直线向右平移得到DEF，下列结论错误的是（）A．ABC≌DEFB．DEF90C．ACDFD．ECCF 8．在ABC中，BC，与ABC全等的三角形有一个角为100，则ABC中与这个100角对应相等的角是（A．AB．BC．CD．B或C

F）

第二篇：全等三角形定义与证明

全等三角形

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

三边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“SSS”

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“AAS” 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可以简写成“HL”

角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上。

轴对称

一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，我们也说这个图形关于这条直线成轴对称。

能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重叠的点是对应点，叫做对称点。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

与一条线短两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

点（X,Y）关于X轴对称的点的坐标为（X,-Y）

点（X,Y）关于Y轴对称的点的坐标为（-X,Y）

两条边是相等的三角形是等腰三角形。

等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°，三个角都是相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

实数

如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为a,读作“根号a”，a叫做被开方数。

规定，0的算术平方根是0。

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方跟。这就是说如果x的平方等于a，那么x叫做a的平方根。求一个数a平方根的运算叫做开平方。

正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，这就是说，如果x³=a，那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根运算，叫做开立方。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.类似于平方根，一个数的a的立方根，用符号“3a”表示，读作“三次根号a”。其中a是开方数，3是根指数。

很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫做无理数。有理数和无理数统称实数。

实数有理数有限小数或无限循环小

无理数无限不循环小数数

数a的相反数是-a，一个正实数的绝对值是本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.一次函数

我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量。

在一个变化对象中，如果有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说a是自变量，y是x的函数。当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a是的函数值。

对于一个函数，如果把自变量与函数的每队对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。

正比例函数

形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一条经过原点的直线，我们称它为y=kx。当k＞0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随着X的增大y也增大，当k＜0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

一次函数

形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b，即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。当k＞0时,y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小。

函数解析式ykxb选取

解出满足条件的两定点（x1，y1）与（x2，y2）画出取数一次函数的图像

任何一元一次方程都可以转化成ax+b=0(a,b为常数，a≠0)的形式，所以借一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。

由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当函数值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围。每个二元一次方程都对应两个一次函数，于是也就对应两条直线。从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程相当于确定两条直线交点的坐标。

整式的乘法

am

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。乘anamn（m，n都是正整数）amnamn（m，n都是正整数）

n积的乘方，等于我们把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。abanbn（n为

正整数）

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加。两个数的和与这两个数差的积，等与这两个数的平方差。ababab 22

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加，（或减）它们的积的2倍。ab2

2aaba22abb2abb222

添括号时，如果括号前面是正号，扩到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，扩到括号里的各项都改变符号。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。aamnamn(a≠0，m，n都是正整数，并且m

＞n)

任何不等于0的数的0次幂都等于一。a1(a0)

单项式相除，把系数与同底数分别相乘作为商的因式，对于只在被除数里含有的之母，则连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以多项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

因式分解

我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。即整式乘法的逆运算。两个数的平方差，等于这个数的和与这个数的差的积。ababab

两个数的平方加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。220ab2

2aaba22abb2abb222

第三篇：全等三角形证明

全等三角形的证明

1.翻折

如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；

旋转

如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；

平移

如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。

2.判定三角形全等的方法：

（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边（直角三角形中）公理

（2）推论：角角边定理

3.注意问题：

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

一、全等三角形知识的应用

（1）证明线段（或角）相等

例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

（2）证明线段平行

例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AE=CF.求证：AB∥CD

（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE

例4 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．

．

例5：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO为等腰Rt三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

例6.如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。

N

M

FE

C

A B

第四篇：全等三角形证明

全等三角形证明

1、已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，问AF=CE吗？说明理由。

CA2、已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，问AE=DF吗？说明理由。

F3、已知，点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，问∠D=∠E吗？说明理由。

4、已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，问AB∥CD吗？

A B

C

第五篇：全等三角形证明检测题班级一

全等三角形证明检测题

班级姓名

1、已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D。求证；△ABC≌△ADC(本题10分)解：∵∠1=∠2，∠B=∠D A

在△ABC和△ADC中，∠1＝∠

2AC＝AC

∠B＝∠D

∴△ABC≌△ADC（AＳA）

B DC。求证：△ADC≌△CBA(本题10分)

2、已知：如图，AB=CD，DA⊥CA，AC⊥BC

B AB=CD，DA⊥CA，AC⊥BC A 在△ADC和△CBA中，AB=CD

D C DA⊥CA

AC⊥BC

∴△ADC≌△CBA（ＳＳＳ）

4、已知：AD为△ABC中BC边上的中线，CE∥AB交AD的延长线于E。

求证：（1）AB＝CE；解：∵AD为△ABC中BC边上的中线，CE∥AB交AD的延长线于E

在△ＡＢＣ和△ＡＣＥ中，AB＝CE

ＡＤ＝ＣＤ

ＡＣ＝ＡＣ

∴△ABC≌△ＡＣＥ（ＳＳＳ）

（2）AD

∴AD1（AB + AC）(本题15分)解：∵△ABC≌△ＡＣＥ（ＳＳＳ）21（AB + AC）

2B5、已知：AB＝AC，BD＝CD解：∵AB＝AC，BD＝CD

∴ＢＥ＝ＣＦ

又∵在△ＡＢＥ和△ＡＣＦ中，AB＝AC ∠B＝∠C ＢＥ＝ＣＦ

∴△ＡＢＥ≌△ＡＣＦ（ＳＡＳ）

求证：（1）∠B＝∠C

（2）DE＝DF(本题15分)

∴DE＝DF

FE

D

C6、小明作业本上画的三角形被墨迹污染，他想画出一个与原来完全一样的三角形，请帮助小明想办法用尺规作图法画一个出来，并说明你的理由。(本题15分)

7、已知：如图，AE＝CF，∠DAF＝∠BCE，AD＝CB。解：∵AE＝CF，∠DAF＝∠BCE，AD＝CB．．．

问：△ADF与△CBE全等吗？请说明理由。(本题25分)

AD

解：∵在△ＡＤＦ和△CBE中，ＡＤ＝ＣＢ

F ＣＥ＝Ｄｆ

ＡＦ＝ＢＥ

∴△ＡＤＦ≌△CBE（ｓｓｓ）B C

如果将△BEC沿CA边方向平行移动，可有下列３幅图，如上面的条件不变，结论仍成立吗？请说明理由。EA

D C(A)A(E)D E

B

F

C B B C(F)F

第五章考試卷

班級_________ 學號________ 得分_______

一、填空題：（50分）

1、（1）三角形任意两边之和_________第三边。（2）三角形任意两边之差_________第三边。（3）三角形三内角的和等于_________。

（4）直角三角形的两个锐角_________。（5）全等图形的_________和_________都相等。（6）全等三角形的_________相等，对应角________。（7）三角形全等的四种判定方法是_________，_________，_________，_________，另外直角三角形还有一种是__________。

2、如右图，在⊿ABC中∠ABC 和∠ACB的角平分线相交于O，∠BOC=116度，求∠A的度数_________。

3、AD是⊿ABC的中线。⊿ABD的周长比⊿ADC的周长大4，则AB与AC的差为_________。

4、如图，a，b，c分别表示⊿ABC的三边，那么a，b的夹角是

b，c的夹角是B是a是和的夹边。

5、如图，已知∠A =∠C，要证明⊿AOB≌⊿COD,根据“ASA”还要一个条件__________。

6、如图2，沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，如果AD=7cm，DM=5cm，∠DAM=300，则AN=cm，NM=cm，∠NAM=；

A7、如图，∠D=∠B，∠DAC =∠BAC 解：∵在⊿ABC和⊿ADC中

D=∠B

B∠DAC =∠BAC

AC=AC

∴⊿DAC≌⊿BAC（）∴BC = DC（）

二、選擇題：(20分)

1、下列4组线段能组成三角形的是（）A、3，3，6B、3.1，3，6C、1，2，1D、3，2，12、三角形的高（）A、在边上B、在三角形内C、在三角形外D、以上均可

如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形

4、若⊿ABC≌⊿DEF那AC的对应边是（）A、DEB、DFC、EFD、BC5、如图加条件能满足AAS来判断⊿ACD≌⊿ABE的条件是（）A、∠AEB =∠ADC∠C=∠D

B、∠AEB=∠ADCCD=BEC、AC = ABAD = AED、AC = AB∠C =∠B6、下列由几根木条用钉子钉成如下的模型，其中在同一平面内不具有稳定性的是（）

ABCD7、两个直角三角形全等的条件是（）A、一个锐角对应相等B、两个锐角对应相等C、D

M

N

C

图

2③

一条边对应相等D、两条边对应相等

8、如图，某人不小心把一块三角形的玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A带①去B带②去C带③去D带①和②去

9、如图，AB=CD，AD=BC，AC和BD交于点M，那么图中全等三角形有（）A、2对B、3对C、4对D、5对 C

10、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高（）B11、与图1所示图形不全等的图形是()

B

A B

D

(A)

D C

A

(B)

C B A

D

(图1)AB

D

三、画一画：（9分）

1、利用尺规，用三种不同的方法作一个三角形与已知直角三角形ABC全等，并简要说明理由。（同种理由视为是同一种方法）

四、證明解答題：（21分）

1、如图，图中的两个三角形全等，A和B，C和D是对应顶点。

C（1）用符号表示两个三角形全等。

E

（2）写出它们的对应角、对应边。

（3）用等号表示各对应角，对应边之间的关系。

OB

CBA

A图572、已知：如图57，DC⊥CA，EA⊥CA，CD=AB，CB=AE

求证：△BCD≌△EAB

证明：∵DC⊥CA，EA⊥CA(已知)

∴∠C=∠A=90°(垂直定义)

在△BCD与△EAB中 CD=AB(已知)∠C=（已证）

∴△BCD≌△EAB()

3、如图，已知DB⊥AB，DC⊥AC，B，C分别为垂足，DB=DC。求证：DA平分∠BDC。（5分）

D

C

4如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，（5分）

(1)两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE大小有什么关系？(2)两个滑梯BC，EF所在的位置关系如何？