构造性证明与存在性证明小议（最终定稿）

第一篇：构造性证明与存在性证明小议

构造性证明与存在性证明小议

幸 克 坚

（遵义师范学院 贵州 遵义 ５６３００２）

摘 要：构造性证明与存在性证明是数学证明中常见两种证明方法。本文对它们的概念、来历及证明思路和作用与意义，乃至相互之间的关系，作了概略的议论。并主张将它们作为一对哲学范畴，贯穿在数学教学和数学研究之中。

关键词： 构造性存在性证明

中图分类号：O171文献标识码：E文章编号：1009-3583（2004）04-00

一、构造性证明与存在性证明：

在数学中对命题：“存在x，使得命题F(x)成立”的证明，有两种办法：构造性证明与存在性证明。构造性证明就是通过有限步的推导或计算，具体地找（构造）出这样的x；存在性证明则是从逻辑上证明所述对象x确实存在，但x具体是多少？在哪里？并不一定知道。因此，构造性证明不仅要证明所述对象的存在，而且要具体地求出对象的位置或多少（大小），而存在性证明则只需要证明该对象的存在即可。简言之,构造性证明相信“眼见为实”，而存在性证明只是证明了“没有被看到的”的存在，是一种理性的承认。

二、构造性证明的来历及思路分析

从历史的渊源上看，构造性证明的基本思路可以说源于我国古代数学。我国古代数学有两大特点：其一是典型的算法体系，一切结论只是通过计算结果来说明，以汉代的《九章算术》为典型代表，将九类问题总结出九类算法，算法比较机械，有相对固定的步骤（既我们今天常说的程序），每前进一步后，都有有限多个确定的可供选择的下一步，这样沿着一条有规律的刻板的道路一直往前走就可以得出结果；另一个特点是宋元时期，把许多几何问题转化为代数方程与方程组的求解问题，创造了相当于现代多项式的概念，建立了“天元法、四元法”等代数工具，进一步丰富了算法的内容。这都体现了显著的“构造性”或称作“可操作性”特色。

现代意义上的构造性证明则来源与一种被称为“构造性数学”的数学哲学观点（流派），它的根本特征就是对可构造性的强调。所谓可构造性是指能具体地给出某一对象或者能给出某一对象的计算方法。即当我们把能证实“存在一个x满足性质Ａ”的证明称为构造性的，是指能从这个证明中具体地给出满足性质Ａ的一个x；或者能从此证明中得到一个机械的方法，使其经有限步骤后即能确定满足性质Ａ的这个x来。如果进一步追溯下去，构造性数学最早起源于一种构造性哲学思想，这种思想可以追溯到康德那里。康德认为，数学的最终真理性在于数学概念可以通过人的智慧构造出来。他说：“数学必须根

基金项目：遵义师范学院科研基金项目（200418）

收稿日期：2004-12-16

作者简介：幸克坚（1954--），贵州遵义人，遵义师范学院数学系副教授，从事数学哲学和数学史研究 1

据纯粹直观，在纯直观里它才能够具体地，然而却是先天地把它的一切概念提供出来，或者像人们所说的那样，把这些概念构造出来”。又说“数学知识是从概念的构造得出来的理性知识。构造一个概念，意即先天地提供出来与概念相对应的直观。”

由于构造性证明不仅要证明所述对象的存在，而且要通过有限的步骤具体地计算或推导求出对象的位置或多少（大小）。所以，在证明过程中就具有鲜明的“构造性”或“可操作性”。如一元二次方程的求解⑴

bb24ac就是要具体地得出用方程的系数表示解的求根公式：x，而这个结果是通过配方一步步2a

得到的。

构造性证明基本上都是直接证明，是通过式子的变换一步步“构造”出命题的结论所描述的对象。因此，“构造”时往往具有较高的技巧和灵活性，对相关知识和方法的掌握运用要比较熟练。

三、存在性证明的来历及思路分析

存在性证明应该说源于经典数学的“公理化”思想方法，起源于古希腊。希腊是一个特别喜好追溯理性、探究一般性真理的民族，他们总是力图将一切知识体系建立在一个相对比较精练的理论基础和一套严谨的逻辑推理规则上，欧几里得《几何原本》就是这方面的代表作，它创造了一套用定义、公理、定理构成的逻辑演绎体系。而现代意义上的存在性证明当首推“数学王子”高斯，高斯发现了代数基本定理并给出存在性证明，是对代数学的重要贡献，也可以说是开创了数学研究的新途径。但真正第一个认识到存在性证明的深刻价值和意义的人是“现代数学的巨人”希尔伯特，希尔伯特在解决代数不变式问题时，采用直接的、非算法的方法，证明了不变式系的有限整基的存在性定理。

顾名思义，存在性命题证明的关键是证明其存在性，它与构造性证明不同，由于相应命题所述对象的不可构造或不易构造，一般只能从逻辑和理论上证明所述对象确实存在，但不能具体求出。因此，其证明常常表现为间接证明，即假定所述对象不存在，就会导致矛盾；有时候必须依靠一种紧密联系的“逻辑链”才能说明其存在性。如微分学中有两组定理：其一是三条中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理都属于存在性命题，证明罗尔定理时的依据是最大值最小值定理，然后对拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明则是构造辅助函数： ⑵

(x)f(x)f(a)

把问题转化为利用罗尔定理的结论上来。f(b)f(a)(xa)ba

类似的逻辑链式的定理还有：用实数的构造理论想法构造数列证明了单调有界定理——区间套定理——确界存在定理——最大值和最小值定理——介值定理,这几条定理都属于存在性命题，其证明也是逻辑上紧密联系的，并且都是构造一系列区间套，“套”出结论中的对象——那一个点。这种逻辑上的极强前后连贯性（或称为依赖性），很好地体现了公理化方法的特色。

四、构造性证明与存在性证明的评价及哲学意义

对构造性证明与存在性证明,有两种比较偏颇的观点：

第一种观点认为构造性证明才合理而存在性证明则不合理。如希尔伯特在研究不变量理论时给出一个存在性证明，当时曾引起一场轩然大波。德国的克罗内克认为：“没有构造就不算是存在”；还说：“上帝⑶

创造了整数，其余都是人做的工作。”主张自然数与数学归纳法是数学最根本的和直观上最可信的出发点，其它一切数学对象都必须能在有限步骤内从自然数中构造出来，否则就不能作为数学对象。由此克罗内克把许多数学成果划到不合法的行列里，如无限集合、纯存在性证明等。不变量之王果尔丹甚至说：“这不是数学，是神学”。

希尔伯特坚持这样的观点：只要能证明一个概念的属性绝不会引出矛盾，那么就自然确定了这个数学概念在数学上是存在的，克莱因支持并赞美这种证明，说：“非常简单，在逻辑上是不可抗拒的。”„„希尔伯特指出：“纯粹的存在性证明之价值恰恰在于，通过它们就可以不必去考虑个别的构造，而且各种不同的构造包括于同一个基本思想之下，使得对证明来说是最本质的东西清楚地突现出来；达到思想的简洁和经济，就是存在性证明生存的理由„禁止存在性证明„等于废弃了数学科学。”

第二种观点则认为数学应该注重理论上和思想上的价值，从这个意义上说，存在性证明才有说服力。只有建立在古希腊的逻辑、公理体系上的存在性证明才是一种理性思维成果，构造性证明思想实际上是一种相信数学的理念，对数学真理性的认识包括了相当的非理性成分。在这种观念指导下，在相当长的一段时期和较大的范围内，存在着这样一种观点：建立在算法基础之上的中国古代数学只是一种“术”——即只停留在技术层面上、功利性地偏重于实用的操作技能，算不上科学。并且以此为理由在数学史中全面否定中国古代数学。

事实上，构造性证明体现了一种所谓的“机械化”思想，即按部就班有步骤地进行，这确实是中国古代数学的特征；“机械化”是相对于“公理化”而言的。公理化思想起源于古希腊，19世纪以来，希尔伯特等一批数学家和哲学家在建立数学基础的工作中，进一步明确和强调了这种思想。应该说，这确实是中西传统数学的各自特点，各有其长处，在现代数学体系中也起到了各自的作用。不应该狭隘地看待。

例如，就构造性证明而言，作为人类智慧新成果之一的数学定理的机器证明，就是我国著名数学家和数学史家吴文俊院士继承我国古代数学传统开创的数学机械化工作的一部分，吴文俊先生以其深厚的几何学和拓扑学功底，吸收了我国古代数学的上述两大特点之后，将几何问题用代数方程表达，用之于计算机。1977年先在平面几何定理的机器证明方面取得成功；1978年推广到微分几何；1983年我国留美青年学者周咸青在全美定理机器证明学术会议上介绍了吴（文俊）方法，并且自编软件，一鼓作气证明了500多条难度颇高的几何定理，轰动了国际数学界。

而存在性证明那种“非常简单，在逻辑上不可抗拒”，雄辩地让人无可辩驳的“理性的承认”确实体现了人类理性思维的威力。如中值定理使我们确实相信“中值”的存在，代数基本定理中我们确实相信“任何一个n（n＞0）次多项式f(x)在复数域内有n个根。其关键是证明其“确实存在”，并没有回答 “等于多少”或“在什么位置”？甚至在多数情况下，最终也无法回答这个问题。但丝毫不影响对命题结论可靠性的信服和运用。例如，正是立足于代数基本定理的结论，才得到与多项式因式分解理论相关的一系列成果，数学分析中有理函数的不定积分可以说是解决得十分完善的，也得益于这一结果。

而且，存在性证明与构造性证明是常常是紧密相依、相辅相成、互为补充的。首先，在一定意义上说，构造性证明中已经包含了“存在”——不但存在，而且已经找出。其次，存在性的证明往往也需构造，如上述微积分中两组重要定理的存在性，也是用构造法证明的；再次，有些存在性命题也能够具体的求出结果，从而转化为构造性命题，如我们熟知的数列极限、函数极限的“ε—N”、“ε—δ”定义，本身显然是存在性命题，但对于具体的问题和给定的具体的ε，如果需要的话，也可以求出相应的N和δ。所以可以说“构造中蕴涵着存在，有存在才可能构造”。又如十七世纪产生的将运动变化的辨证法引入数学的微积分、被称为 “数学中的转折点”，就充分体现了构造性证明与存在性证明的完美结合：如极限存在的两个准则——夹逼准则和单调有界准则中夹逼准则“anbncn”需要求出liman与limbn，属于构造nn⑸⑷⑴

性证明，而单调有界准则则是从逻辑上确信其极限存在，属于存在性证明；又如“求导”过程：从依定义

求了一小部分基本初等函数的导数入手，经过讨论导数的运算性质、反函数、复合函数、隐函数的求导法则，十分彻底地解决了整个庞大的初等函数类的求导问题，既解决得十分彻底，又在逻辑上前后紧紧相依，密切联系，是典型的构造性结果；积分法中的换元与分部乃至特殊函数的积分，也体现出明显的构造性色彩，具有很强的可操作性。而上述中值定理和区间套定理等两组重要定理，则可以说是存在性证明的典型例子。

综上所述，存在性证明与构造性证明之间有紧密的相依关系，二者是互为补充而不是互相对立、互不兼容的关系。从哲学的观点来看，存在性命题与构造性命题可以作为一对哲学范畴，它们之间体现了一种对立统一关系。按希尔伯特的上述说法，还呈现为一般与特殊、抽象与具体的关系。应该把这种观点带到数学教学和研究之中：在向学生传授具体的数学知识的同时，将存在性证明与构造性证明及其作用与关系结合具体例子介绍，逐步给他们一定的数学哲学、数学史和数学方法论方面的知识。在用这种观点从事数学研究，有可能使自己看问题更加客观、全面。

参考文献：

⑴ 郝宁湘．构造性数学及其哲学意义［J］http:// 2004年12月4日

⑵ 杜瑞芝．数学史辞典［M］．济南∶山东教育出版社．2000．170

⑶ 华东师范大学数学系．数学分析（上）［Z］．北京∶人民教育出版社．1980．197-216

⑷ 张顺燕．数学的源与流［Z］．北京∶高等教育出版社．2000．44

⑸ 席泽宗．科学史十论［M］．上海∶复旦大学出版社．2003．4—5

第二篇：高中奥数—存在性证明

数论中的存在性问题

一．概念

满足一些条件的某些对象存在或不存在的问题称为数论存在性问题。例如：（2000.第41届IMO试题）确定是否存在满足下列条件的正整数n，使得恰好能被2000个互不相同的素数整除，并且21能够被n整除。n

二．基本方法

解决数论存在性问题没有什么固定的程式，所用知识是普遍的，采取的方法也是灵活多样的。

但是由于数论中存在性问题是常见的题型，因此，解决的方法我们大致归纳如下：

1．反证法

例1．已知n是确定的正整数，A＝{1，2，……，n}，f：AA为映射，满足k1k2,f(k1)f(k2)，求证：m,f(m)m

证明：假设对于1mn的任何m，都有f(m)m,则由f(1)1,f(1)1f(1)f(2)2.所以f(1)2,f(2)2f(2)3.以此类推，可得f(n)

n+1,这与已知矛盾。假设错。

2．数学归纳法

例2．在黑板上依次写出数a11,a2,a3，……，法则如下：如果an－2为正整数，而且未写出过，则写an1＝an—2，否则就写an＋3，证明：所有出现在该序列中的完全平方数都是由写在它前面的那个数加3得到的。

证明：首先证明，当n=5m的时候，由1到n所有的正整数都已经被写出，而且

a5m5m2，此时，对于任何k5m，都有ak5ak5。

对m进行归纳：当m＝1，n＝5。a11,a24,a32,a45,a53,a66假设，当n=5m时，结论也成立。

当n＝5（m+1）时，有

a5m15m1,a5m25m4,a5m35m2,a5m45m5,a5m55m3

结论也成立。

再考虑平方数被5除的余数，只能是0，1，4。而序列中被5除余0，1，4的数都是由前一个数加3得到的。

例3．证明存在无穷多的合数n，使3n12n1是n的倍数。

证明：xy,kN,有x-y|xkyk

而3222t(2为合数，令)xy

ttt23*2t22n

则32|(3)

2t|n12tt2t2kt(2)2kkt*23kt2因此，本题只要证明n12k即,t

用归纳法证明：t=1时成立

假设t=m时成立

t=m+1时，有32

由假设，2|3

而2|3

命题得证。

2mmm1。1(321)(321）mm2m1, 1,则m+1时也成立。

3．按模分类

例4．非常数的正整数无穷序列{

2，……，求证：数列{an}满足递推关系an12an1或an12a1，n=1，an}中至少有一项为合数。

证明：用mod3分类。由于单调增，不妨假设a1>3,否则去掉前面几项（由于是递增数列）

（1）如果a10（mod 3）,则3|a1

（2）如果a11（mod 3）,且a1为素数，否则a1为合数。

若a22a11a20（mod 3）,得证

若a22a11a21(mod 3）

因此依次分析下去，或者得到ai0(mod3），或者得到一个序列

a1a2……1（mod 3）,则an12an1an112(an1)为等比数列。

an1＝2n（a11）＋1

a1由费马小定理，aa121(a11)1a1110（mod a1）a1|aa1,得到

aa1为合数。

（3）a12（mod 3）同理可证。

4．试验，猜想，证明

例5．证明有无穷多个自然数n，使得n|2n2,n1|2n1

证明：显然，n＝2满足条件。

nnn|22,n1|21成立。假设，nN，使得

nnn|22,n1|21，可得2|n,且n不能被4整除。由

由n1|2n1

n1k 2n1＝k*(n－1)，其中k,n-1为奇数。则 2212(n1)k1(2n11)M，其中M为整数。

2n11|2212n2|222 n1n2

n另一方面，由n|22，n不是4的倍数，则可设22＝n t ,t为奇数。则

n2n2n221＝2nt1(2n1)T，其中T为整数。2n1|221

2nn因此，当n|22,n1|21时有22|2nn22，2n1|221。找到了无穷多n2

个n满足条件。

5．构造法

（1）按归纳法构造

例6．证明：对nN，n2, 一个由n个整数构成的集合S,使S中任意两个不同的数

a ,b满足(ab)2|ab

证明：对n采用归纳构造。

n=2,取S={1,2}

设n=k时，存在k个元素的集合Sk{a1,a2,……，ak}满足aiaj|aiaj(ij)令A=a1a2……ak,考虑如下k个数：

A,Aa1,……,A+ak

考虑它们所构成的集合Sk1，则可以验证所得的集合满足条件。

（2）按阶乘构造

例7．证明：可以把N分成两个子集A,B，使A中任何3个数都不成等差数列，而且不存在由B中无穷多个数构成的等差数列。

证明：令A={n!n|nN}，B=N-A

（1）对mnk1有(k!k)(m!m)m!m 

m(n!)m3(n!)m

2(n!)n!m2(n!n)

因此A中任意三个数都不是等差数列。

（2）若B中含有首项为a1，公差为d的的无限长等差数列，则此数列中有一项为a1((a1d)!1)d(a1d)!(a1d)A，矛盾！d

因此B中没有无穷多个数构成的等差数列。

6．关于数论知识的综合应用

例8．（I）p, q, r, aN，满足pqra,且r是系数，（p ,q）=1,证明：p ,q中有一个为完全

平方数。

（II）是否存在素数p ,使p(2

证明：（I）显然。

（II）设p(2p1p121)为完全平方数。1)b2,p2时，b214，不是完全平方数

p2,设p2q1。

由于p|b2p|b,设b=pa,则有p(2p11)p2a2，2p11pa2，p1而2122q21(2q11)(2q12pa，由（1）知，1)

2q11,2q11中有一个数为完全平方。

(1)若2q11c22q1c21,q1,则4|2q1，但是c21不是4的倍数矛盾

1(2若)q21c2q122c1c(c1)(1)

c12q1,c12q2,q1q2,。q1q2q1，而2q12q22 2q2(2q2q11)2。

2q2q111q11,q22q2p5。

但是p(2p11)＝5×63不是完全平方数矛盾！

因此不存在！

习题：

1． 证明：nN,19817都是合数

2． 求证数列｛2—3｝中存在子序列，使其中项两两互素 nn

第三篇：根的存在性证明(零点定理)

根的存在性定理：如果f(x)在闭区间[a,b]上连续

f(a)f(b)0,则存在（a,b）使得f()0。

证明利用构造法的思想，将f(x)的零点范围逐步缩小。先将[a,b]二ababab],[,b]，如果f()0。则定理获证。如果222

ababf()0，)异号，则f(a)和f(b)中必然有一个与f(记这个小区间22

ba为[a1,b1],它满足f(a1)f(b1)0且区间的长度b1-a1。又将[a1,b1]二等2等分为[a,分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为

[a2,b2]，它满足[a,b][a1,b1][a2,b2]，b2a2ba且f(b2)f(a2)0。采22

用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{[an,bn]}，它满足:①

[a,b][a1,b1][a2,b2]；②bnanba；③f(bn)f(an)0。2n

anlimbn[a,b]，如果f()0，由单调有界定理，可以得到limnn

则定理获证。如果f()0，因为f(x)在点连续，因而由连续函数的局部保号性：存在一个0，使得f(x)在(,)[a,b]上与f()同号。根据所构造的区间的性质②，存在正整数N，当n>N时，[an,bn](,)[a,b]。根据区间的性质③，f(bn)f(an)0，矛盾。

综上所述，只有f()0，且[a,b]。定理获证。

注：上面采用的证明方法是非常有用的二分法，其思想可以广泛的应用于各个领域，而an,bn实际上是函数零点的近似值。

第四篇：存在与唯一性定理的证明

Picard存在与唯一性定理的证明

定义：设函数f(x,y)在闭区域上有定义，如果存在常数L0，使对任何(x,y1),(x,y2)均满足不等式f(x,y1)f(x,y2)Ly1y2，则称f(x,y)在上关于y满足Lipschitz条件，称L为

Lipschitz常数

Picard定理：设f(x,y)在闭矩形域：xx0a,yy0b上连续，且关于y满足Lipschitz条

dy

f(x,y)

件，则初值问题dx·········①

y(x0)y0

在区间Ix0h,x0h上有且只有一个解，其中hmin(a,证明：整个证明过程分成如下五个部分

x

b),Mf(x,y)M(x,y)Ⅰ，首先证明求初值①的解等价于求积分方程yy0

x0

·········②的连续解。f(x,y)dx,xI·

d((x))

f(x,(x))

事实上，若y(x)(xI)是初值问题①的解，则有dx,xI

(x0)y0

由此，f(x,(x))在I上连续，从而可积，于是对恒等式

x

d((x))

f(x,(x)),xI积分并利用初始条件，dx

得到(x)y0

x0

f(x,(x))dx,xI即，y(x)(xI)是积分方程②的解

x

反之，设y(x)(xI)是方程②的连续解，即有恒等式(x)y0

x0

f(x,(x))dx,xI

x

因为f(x,(x))在I上连续，故(x)y0

x0

f(x,(x))dx,xI右端是积分上限xI的可微函数，从而

(x)在I可微

x

于是将(x)y0

x0

f(x,(x))dx,xI两边对x求导，得恒等式

d((x))

f(x,(x)),xI，并令xx0得y(x0)y0，因此 dx

y(x)(xI)是初值问题①的解

因此，我们只需证明积分方程②存在唯一定义在区间Ix0h,x0h上的连续解。我们采用Picard的逐次逼近法来证明，基本思路就是在所设条件下构造出一个一致收敛的连续函数序列，它的极限函数恰是积分方程②的唯一解

Ⅱ，用逐次迭代法在区间I上构造逐次近似的连续函数序列

x



yn1(x)y0f(x,yn(x))dx

·········③ ,xI·x0



y0(x)y0

当n0时，注意到f(x,y0(x))是I上的连续函数，所以由③知

x

y1(x)y0f(x,y0(x)),(xI)在I

x0

上是连续可微的，而且满足不等式

x

y1(x)y0

x0



f(x,y0(x))Mxx0于是在区间I上y1(x)y0Mhb

因此，f(x,y1(x))在I上是连续的，所以由式③知

x

y2(x)y0f(x,y1(x)),(xI)

x0

在区间I上是连续可微的，而且满足

x

y2(x)y0

x0



f(x,y1(x))dxMxx0于是在区间I上y2(x)y0Mhb

以此类推，应用数学归纳法易证： 由③式给出的所谓Picard序列

yn(x)

是区间I上的连续函数序列，而且满足不等式

yn(x)y0Mxx0Mhb,n0,1,....Ⅲ，证明Picard序列yn(x)在区间I上一致收敛

考虑级数

y0y1(x)y0...yn(x)yn1(x)...··········④它的部分和为

y0yk(x)yk1(x)yn(x)，于是，要证明序列yn(x)在区间I上一致收敛，只需证明级数④在I

k1

n

上一致收敛。为此我们归纳证明不等式：

yn1(x)yn(x)ML

n

xx0

n1

(n1)

(n0,1,...)·······⑤在I上成立事实上，当n0时由

x

y1(x)

x0

f(x,0y(x))dx

k1

知式M0xx⑤成立，假设当nk时⑤式成立，即有

yk1(x)yk(x)ML

k

xx0

(k1)

x

(k0,1,...)在I上成立

则由式③知yk2(x)yk1(x)

x0

[f(x,y

k1

(x))f(x,yk(x))]dx根据Lipschitz条件和归纳假设得

x

yk2(x)yk1(x)

x

x0

Ly

k1

(x)yk(x)dx

xx0

k2

MLk1

x0



xx0

k1

(k1)

dxMLk1

(k2)

即当nk1时式⑤也成立，因此有数学归纳法知式⑤得证

hn1

(n0,1,...)因当xI时，xx0h，故由式⑤知yn1(x)yn(x)ML

(n1)

n

hn1

因正项级数ML收敛，故由函数项级数一致收敛的Weierstrass（魏尔斯特拉斯）判别法知级数

(n1)n0



n

④在区间I上一致收敛从而Picard序列yn(x)在区间I上一致收敛 设其极限函数为(x)，即当xI时一致的有limyn(x)(x)

n

则y(x)在I上是连续的且由yn(x)y0b推知(x)y0b,xI Ⅳ，证明y(x),(xI)是积分方程②的解

x

在式③两端令n得到(x)y0lim

n

x0

f(s,y(s))ds

n

x

x

因此问题归结为证明lim

n

x0

f(s,y(s))dsf(s,(s))ds

n

x0

因Picard序列yn(x)在I上一致收敛，则任给0，存在自然数NN()，当nN时，对I中所



Lh

故当xI时，由Lipschitz条件知

有x有yn(x)(x)

x

n

x

x0

f(s,y(s))dsf(x,(x))ds

x0

xx0x





f(s,yn(s))f(s,(x))ds



x0x

Ly(s)(s)ds

n



x0

L

dsLh



xx0hhh

x

x

n

因此式lim

n

x0

f(s,y(s))dsf(s,(s))ds成立

x0

x

因而当xI时有(x)y0

x0

f(s,(s))ds，所以y(x),(xI)是积分方程②的一个连续解

Ⅴ，证明积分方程②的连续解的唯一性

x

设y(x)也是方程②的定义在区间I上的连续解，则(x)y0

x0

f(x,(x))dx,xI于是与步骤Ⅲ类

hn1

(n0,1,...)在I上成立 似，可归纳证明得yn(x)(x)ML

(n1)

n

从而Picard序列yn(x)在区间I上也一致收敛与(x)，因此我们推出(x)(x),xI 所以，积分方程②的连续解是唯一的。至此，定理得证。【注】定理中数hmin{a,b的几何意义 M

dy

f(x,y)的积分曲线上任一点的切线斜率介于Mdx

与M之间。过点p(x0,y0)分别引斜率为M与M的直线B1C和BC1：

因为在闭矩形域上有f(x,y)M，所以方程

yy0M(xx0),yy0M(xx0)，当M

显然方程

bb

时，如图㈠所示；当M时，如图㈡所示 aa

dy

f(x,y)过点p(x0,y0)的积分曲线y(x)(如果存在的话)不可能进入图㈠或㈡所示的两dx

bb

(即a)由图㈠可见解y(x)在整个区间xa,xa上有定义；若

Ma

个阴影区域内。若M

M

bb

(即a)由㈡可见，不能保证解y(x)在xa,xa上有定义。它可能在Ma

xx1(x0x1x0a)或xx2(x0ax2x0)外到达的上边界yy0b或下边界yy0b，于

是，当xx1或xx2时，y(x)没有定义。此时，由于点B1,C1,B,C的横坐标分别为x0

b

及M

x0

bbbb，故可保证解y(x)在区间x0,x0上有定义。综上，只要取hmin{a,，则MMMM

当xx0h时，有(x)(x0)(x)y0Mxx0Mhb，即当xI[x0h,x0h]时，积分曲线y(x)不会跃出闭矩形域

第五篇：信仰之不可证明性与不确定性

一提到“信仰”，无论是宗教意义上的还是政治意义上的，人们首先想到的便是其坚定性和确定性，因为假如没有这两个特征，信仰便不足以成为人生的指南。为此，思想家们、信仰主义者们想出种种办法来强化、巩固信仰的坚定性，比如基督教思想史上就曾产生过关于上帝存在的诸种理性证明。不过，克尔凯郭尔借假名作者约翰尼斯·克利马克斯之口不仅强烈反对用理性去证明上帝的存在，而且他还提出了一个惊人的观点：基督教信仰的死敌是“确定性”，只有在“不确定性”信仰才能找到有用的导师。[i] 从结果上看，克尔凯郭尔并没有因此削弱信仰的坚定性，相反，在他眼中，“信仰”是一个自身即具有“强力”（Magt;Power）的特殊的“器官”。克尔凯郭尔为什么要反对对上帝存在的理性证明，他为什么视“确定性”为基督教信仰的大敌，这将是本文试图回答的两个问题。这里将主要讨论克尔凯郭尔归在假名作者克利马克斯名下的两部最具哲学意味的著作《哲学片断》和《附言》。

一、信仰之不可证明

西方文化具有两大思想源头：希腊理性主义和希伯莱信仰主义，在根本上它们是不同的两类精神系统，甚至在某些方面还相互反对。希腊人不相信、不信任个人的感觉，他们追求从林林总总的现象背后挖掘出恒定不变的规律、规则，追求过硬的理性证明。而“信仰”的英文对应词faith源自拉丁词fides，其主要意思就是对某种无法给出证明的东西的坚定信念，或者说在无可证明的前提下对某种信念义无反顾的接受。“信仰”无需亦无从证明，它的最佳伴侣就是“接受”。但是，在基督教思想史上曾经有一些神学家尝试性地把希腊的理性证明精神与基督教信仰结合起来，成就了一批对上帝存在的著名证明，使“基督教哲学”成为了可能，从而使希腊的哲学精神得以在基督教思想中保存和延续了下来。这些证明不啻将成为人们相信上帝存在的理由，进而成为基督教信仰的强化剂。有证明就有反证明。在基督教思想史上，同样有一批颇有见地的思想家强烈反对把哲学的证明精神运用到基督教信仰的领域，认为这种做法混淆了哲学和宗教、理智和信仰之间的界限，克尔凯郭尔就是其中一个。

在《哲学片断》当中，假名作者克利马克斯针对斯宾诺莎“本质包含存在”的命题对从本体论上证明上帝存在的思路进行了否定和批判。根据斯宾诺莎，“存在”和 “完美性”是上帝的本质属性，因此从逻辑上讲，上帝的存在是不证自明的。某物越完美，它所包含的存在也就越多、越必然。因此，上帝的存在不仅最多，而且最必然。[ii] 在克利马克斯看来，这个推论犯了偷换概念的毛病。斯宾诺莎命题旨在证明上帝的存在，但实际上它所讨论的是“本质”（V?sen）而不是“存在”（V?ren），或者说是“概念的、理想性的存在”而不是“真实的存在”；这些概念之间本应有着严格的区分，就像想像中的一百块钱与口袋中实际拥有的一百块钱完全不可同日而语一样。克利马克斯以一个经验主义的态度指出，从“概念”推导出“存在”的道路是行不通的，因为对于可感觉事物而言，能够确定它存在与否的只有我们的感知觉。即便是像“上帝”这样的“至上概念”也并不享受任何特权；我们并不能因为上帝是一个我们无法设想的比之更完善的东西就得出结论说上帝是存在的（这是圣安瑟伦的基本思路）。克利马克斯明确而大胆地指出，“就真实的存在而言，讨论什么或多或少的存在毫无意义。一只苍蝇，当其存在的时候，它有着与上帝同样多的存在。……就真实的存在而言，起作用的是哈姆雷特的辩证法：在还是不在。” [iii]

显然，克利马克斯抓住了关于上帝存在的本体论证明的症结，这类证明把“本质”与“存在”混为一谈，以概念与存在的同一性为前提，尤其是以最高的概念本身即包含有实在性为前提，结果在证明开始之前，证明者其实就必须对“上帝是否存在”这一点做出判断了。假如说上帝不存在，则这证明无法开始；而若说上帝是存在着的，则这证明毫无意义。最终，对上帝存在的本体论证明充其量只能算是在逻辑层面上对“上帝”概念的一种不彻底的展开，一种形式化的逻辑演绎。倘若从奥古斯丁所提出的“信仰寻求理解”的口号出发，这类证明的意义似乎还好理解：先确信“上帝”是存在的，然后调动理性积极探求这种存在的合理性，进一步清除接受信仰的逻辑障碍，从而为信仰注入强心剂。问题是，这类证明对于那些原本无信的人是

否有用？

克利马克斯的答案显然是否定的。在他看来，对上帝存在的证明不仅是无效的，而且从虔诚的角度来看，这种证明恰恰暴露出了求证者的怀疑和“心虚”。对于真正的信仰者来说，不管证明与否，上帝都是存在的，证明不能为信仰增添任何份量。相反，那些努力寻求对上帝存在的证明的人在内心深处往往害怕上帝并不存在，或者至少对上帝的存在没有把握，所以他们才会求助于概念和逻辑的帮助以使自己心安理得。把理性的证明行为看做是“怀疑”的结果这一点并不是克利马克斯的独道见解，笛卡尔就曾把严格的理性求证与彻底的怀疑精神紧密地联系在一起。笛卡尔怀疑感觉经验的可靠性，认为人类只能认识自明的真理，或者认识从自明的前提出发通过逻辑推理得出的真理。因此，为了获得可靠的知识，我们首先必须采取一种彻底怀疑的态度，怀疑一切可以怀疑且又不会造成自相矛盾的事物。然后从一个不受怀疑影响的基点出发，通过理性推理来获得知识。所不同的是，克利马克斯并不怀疑感觉经验的可靠性，在他看来，错误的来源不是感觉经验，而是我们在此基础上做出的判断。而且正是从感觉主义的角度出发，克利马克斯有力地批驳了混淆“本质”与“存在”的错误。虽然克利马克斯并没有提到对上帝存在的其他证明，但是我们可以推断，他从根本上是不赞成用理性来证明上帝存在这一思路的。证明的行为不会使上帝出场，上帝的出场依靠的是一个“跳跃”（Spring），它发生在我们放弃或者终止求证行为之时。上帝的存在应该被视为一个“永恒的设定”，视为是我们生存的勇气的源泉。

二、信仰之不确定性

在《哲学片断》中克利马克斯否定了对上帝存在的理性证明的意义，把人们通常认为的信仰的强化剂剥除掉了。接着，在《附言》当中，他又进一步提出“确定性”为信仰的大敌，把信仰推到某种“不确定性”的状态之中。[iv] 这与我们通常的认识是反对的。信仰总是对某种确定的东西的相信和接受，确定性能够给人以目标感、归属感，能够让人踏踏实实地知道自己信仰的对象是什么、可能的“收益”是什么。信仰之所以能够成为飘泊心灵的抚慰剂（宗教之为鸦片）正是因为信仰的确定性。而信仰某种不确定性的东西是困难的，我们不仅无法完全认识信仰的对象，更不知道我们的信仰最终能否得到预期的“回报”。但是，如果在这种不确定的情况下我们依然能够对信仰保持着高度的激情，那么这样的信仰一定会坚如磐石。在以下的篇幅中我们首先来看看克利马克斯所谓信仰之不确定性的涵义，从而厘清他反对在信仰与确定性之间联姻的根据。

在克利马克斯的语汇表中，“确定性”与“客观性”是相对应的，“不确定性”则与“主观性”、“主体性”相呼应。因此，疏离信仰与确定性之间的关系首先意味着反对把基督教信仰当成某种客观的知识体系。“信仰”与“知识”的混淆是克利马克斯对其时代最大症结的诊断。基督教信仰不是一种“知识形态”，因为我们信仰的“对象”“上帝”不是某种具有客观确定性的知识的“对象”，而是一个“不可知者”，是存在中最大的不确定性。不难看出，克利马克斯的根本出发点来自“ 上帝”的绝对的、至上的超越性存在，这是基督教的立教之本。如果“上帝”成了客观的、具有确定性的认知对象，这就会与上帝的超越性存在发生矛盾。“上帝” 不是具体的存在者，“上帝”就是全部的存在、是存在本身；“上帝”不是认知的对象，而是智慧本身，因此“上帝”不应该表现为任何确定性的形式，这一点正是耶和华强烈反对偶像崇拜、而且一再强调“人见我的面不能存活” [v] 的理路之所在。问题是，有限性的人类如何才能接近超越性的“上帝”并且领会其传递出来的智慧信息呢？在基督教思想史上，许多具有深刻思辨精神的教父们、经院哲学家们提出了“启示”和“理智认知”两条道路并行的方法。他们在著作中不约而同地感叹，相比于上帝的智慧，人类理智是有限的，无论我们如何调动理智也不可能认识上帝的全部，于是接受启示就是十分必要的。与此同时，他们也并不轻言放弃，他们在明知不可为的情况下依然努力进行理智认知。这类感叹无疑有着那个时代人类思想遭受禁锢的烙印，但它也传达出了相当深刻的哲理。如同赫拉克利特曾说的那样，“自然喜欢躲藏起

来”，对于至上的存在、对于存在本身，无论人类的思维能力如何进步，我们也不可能完全把握其全貌，而这一点又成为人类不断思考并寻求解决问题的尝试的起点。不过，克尔凯郭尔并不认同这种“启示”与“理智认知”并行的办法，他从基督教的核心思想之一悖论性出发指出，对于“理智”（Forstand，德文Verstand）判断力而言——请注意，与康德一样，克尔凯郭尔在这里并没有采用“理性”（Fornuft，德文Vernunft）的概念，基督教上帝的存在本身即是一个荒谬的、不可思议的悖论，一种最高程度的“不可能性”，它表现为永恒的（《旧约》中所说的“自有永有的”）、神圣的上帝要以人子的身份在时间当中临现，甚至被钉死在十字架上。这个悖论是被给定的，是信仰者必须接受的前提，如果非要用理智判断力来把握它的话，那么无论对上帝还是对理智都构成了“冒犯”。信仰与理智是相冲突的两类不同质的东西，通达信仰的有效途径不是认识、不是知识，而是激情和爱。

而一旦信仰不再是客观确定性的“知识形态”，那也就不存在人人都可以通过认知活动来达至信仰的可能性。也就是说，在坚持基督教信仰的悖论性的情况下，人类认知活动所体现出的普遍精神将被消解，信仰将处于一种更大的不确定性之中。克利马克斯一再强调，在他生活的时代做一名基督徒过于容易了，一个人只要出生在基督教国家、生长在基督教家庭就顺理成章就成了一名基督徒，为此，他要使成为基督徒变得困难起来，而他采取的行动的第一步便是重新在关于基督教的知识和对基督教的信仰之间做出严格区分，重返被认知活动的普遍精神掩盖住的基督教的另一个核心思想“差别意识”。

基督教原本就是一种在结果上具有高度不确定性的宗教。克利马克斯区分并讨论过两种不同的宗教：人的宗教或心性的宗教（即“宗教A”）和基督教（“宗教B”）。“人的宗教”认为人应当在其自身内部与永恒建立关系，真理就存在于人的内心，因此人有能力按照真理塑造自身、有能力解放自己。而在基督教那里，人当与在时间当中显现的“上帝”的启示建立关系，人的拯救并非来自我们对上帝的意识，而是来自“上帝”的显现者。这也就是说，“人的宗教”传达出的是一种普遍性的精神，真理就在身内，只要我们返求诸己，就有可能修成正果；而基督教倡导的是一种与普遍精神相反对的“不可能性”和“差别意识”，基督教从一开始就没有为每个人在天堂预留位置，人无法依靠自己的力量战胜罪从而实现自我解放，人的拯救需要依靠外部的力量。拯救最终取决于上帝的恩典，信仰的最终结果并不在我们的掌握之中，正是这一点使得基督教信仰变得如此不确定。这里，克利马克斯是在重弹“过窄门”的旧调。《圣经》有言：“你们要进窄门。因为引到灭亡，那门是宽的，路是大的，进去的人也多；引到永生，那门是窄的，路是小的，找着的人也少”。[vi] “ 窄门”并非人人都能通过。只有那些愿意且能够通过的人才能最终与永恒福祉建立关联，在克利马克斯眼中这些人就是“幸福的和不幸的恋人”，那些敢于正视悖论、敢于追求“不可能性”的人们，这类人是有激情的。他并不看好那些出于理性的精明算计而定时定量往个人事功的账户上“存款”的平庸之辈，因为这类人自以为能够通过人为的努力赢得上帝的恩典，恕不知上帝的意志根本不是人类理智所能参透的。

在个人需要依靠外部力量获得拯救的前提下，真正意义上的信徒不能挖空心思地想着如何“讨好”上帝，从而为自己在天堂赢得一席之地，他所能做的就是放弃自我，承认自己在上帝面前一无所是，然后“尽心、尽意、尽力”地爱上帝。因为信仰者明白，是我们需要上帝无边无际的爱而非相反，是我们需要以上帝作为生存的勇气的源泉。而且，上帝是先爱我们的，上帝不会滥用他的意志，上帝定会做出他的选择。尤为重要的是，对上帝的爱和信仰并不是一次性的、一劳永逸的，它将贯穿个体整个的生命历程，贯穿在生命的每一个“瞬间”。“瞬间”是克利马克斯突出基督教信仰的意义时特意提出的一个重要概念，它与“决断”是紧密相联的。[vii] 任何人在面临是否接受信仰的时候都会做出自己的“决断”。问题是，有的人只在接受洗礼、坚信礼等重要时刻才做出“决断”，似乎只要一次性地做出了接受基督教信仰的“决断”，他就无可争议地成了基督徒。但是，只此一次地把自我毫无保留地交给上帝并不难，难的是在生命的每一瞬间都做出忠于信仰的正确决断，无论身处顺境还是逆境。而每当个体最终克服了怀疑的情绪、克服了来自理智和意志的冲动并且做出了决断的时候，他的信仰也就随之得到了强化。信仰者应该清楚地知道，上帝与人之间存在着无可逾越的鸿沟，因此对于信仰者来说，我们所能做的只是在生命的每一瞬间不断地去“接近”上帝，从而使上帝充盈到我们生命的整个流程之中。

三、信仰之为特殊的“器官”

在考察了克利马克斯所谓信仰之不确定性的涵义之后，现在就来看看他心目中的信仰究竟是什么。

从否定的意义上来看，克利马克斯竭力反对把对信仰的知识与信仰本身等同起来，认为基督教信仰不是客观的知识体系，它不会从学术性的考量之中直接产生，它甚至也不会从“历史事件”（指耶稣被钉死在十字架上）直接产生。信仰就是信仰，它是一个与知识完全不同类的“新的器官”，它本身就是有“力量”的；任何想以知识来替代信仰的意向和行动都是对信仰的冒犯。进一步说，信仰与客观性无关。在《附言》第一部分“关于基督教的客观真理”之中，克利马克斯逐一考察了围绕着基督教真理的三个“客观的”因素：《圣经》、教会以及基督教发展史，认为它们不仅与人们获得信仰无关，而且人们还有可能在客观性之中丧失获得信仰的条件。

从肯定的意义上来看，克利马克斯心目中的基督教信仰有三个关键性的名词“精神、心性、主体性”，以及三个有意味的形容词“充满激情的、无限的、个体性的 ”。克利马克斯认为：“基督教是精神，精神是心性，心性是主体性；主体性本质上就是激情，最强烈的激情就是对其永恒福祉的无限的、个体性的投入。” [viii] 信仰完全是一桩个体性的（personal）、主体性的（subjective）事业。永恒福祉只与个体建立关联，它通过与他、他、每一个单个的他建立关联，最终才能与所有的人建立关联。这种一对一的关系是上帝作为惟一神而向人提出的要求。如此一来，信仰只与主体、个体有关，信仰完全是主体与“上帝”之间的一桩“密谋”。一个人成为基督徒不能靠出身，不能因为国教、家庭等客观因素就自然成为基督徒，一个人必须通过“选择”而成为基督徒，并且这种选择是发自主体“心性”的一种精神追求。克利马克斯一再强调把信仰与知识分离开来就是为了强化信仰的这个涵义。

信仰还是一桩充满激情的事业。一个人选择成为基督徒不是因为历史、现实、知识等客观因素，不是出自理性的算计，而是出自主体的“激情”，信仰与“激情”才是合适的一对儿，“激情”是应对悖论、应对“不可能性”的惟一有效的手段。对于“激情”所做出的选择是不需要理性做出任何证明的，只有 当信仰开始丧失激情、当信仰开始终止为信仰的时候，证明才是必要的，为的使自己心安理得，也为了向他人展示自己的坚定性。热恋中的人往往不需要证明对方是自己惟一的挚爱，只有当热恋的温度有所下降的时候，人们才会在心中列举对方的好处，以此作为自己始终不渝地爱对方的理由。前面说过，克尔凯郭尔与康德在批判关于上帝存在的本体论证明的问题上是有着一定的相通性的，不过，在康德的主张之下，宗教应该成为“纯粹理性范围内的宗教”，而克尔凯郭尔的宗教则在剥除了理智的影响之后进一步向“激情”靠拢，从而成为了对“不可能性”的充满激情的探索。

最后，由于上帝是存在当中最大的“客观不确定性”，因此人类能否最终通达“永恒福祉”也就具有了高度的不确定性。但是如果一个人发自内心地选择了以“永恒福祉”作为至上的目标，那么即使知道自己永远无法企及之，他仍然会全身心地投入到对“永恒福祉”的追求过程之中。于是，信仰实际上就是个体在其生命的整个历程之中不断“接近”永恒福祉的过程，它是个体终其一生的行动，同时也是个体的冒险之旅。这也就是克利马克斯强调信仰是个体对永恒福祉的“无限的”投入的涵义之所在。

克利马克斯对信仰的解读是很深刻的，他的态度不禁让人联想到美国作家丹·布朗的畅销小说《达·芬奇密码》，[ix] 其中冷静的符号学家兰登和狂热的圣杯历史学家蒂宾向我们展示

出了一个与我们所熟悉的基督故事完全不同的一个版本。读完此书后人们不禁会问，这样的言论会动摇世界上成千上万的基督徒的信仰吗？蒂宾认为，一个受过良好教育的基督徒本应了解自己的信仰的历史，而兰登教授的解释似乎更中鹄的。他指出，任何一种宗教信仰都建立在“虚构”的基础之上，这一点正是信仰的定义——对某种我们认为是真实的、但却无法证实的东西的接受。宗教教义的传达都是通过“隐喻”而完成，一个真正理解自己的信仰的人必须明确宗教的隐喻意义，从而他才能借助信仰在这个世界上更好地生活下去。设想，假如克尔凯郭尔知道了“死海古卷”的存在，假如他读到了《达·芬奇密码》或者了解到了“圣经考古学”的新发现，他会有什么样的反应呢？他是否会以惯常的反讽口吻说一句“又当如何”呢？因为在根本上，所有这些历史性的、学术性的客观因素都与个体的永恒福祉无关。对于一个从内心深处已经认定基督教作为心灵皈依的个体来说，任什么都不会影响他的选择的，因为信仰只关乎个体的精神追求和主动选择。