第一篇：高等概率论证明的十八个小技巧
高等概率论证明的十八个小技巧
1．Good sets principle（好集原理）
例如为证明某一个sigma代数F具有某种性质，可首先设具有该性质的属于F的集合组成的族为G，然后证明G为一个sigma代数，从而F＝G。
2．sigma可加性
要证明某一个集函数可列可加，先证明其为有限可加，然后证明其满足上连续或下连续，则可列可加成立。
同样的道理，证明F为sigma代数，只需要证明F为代数且对上升序列极限封闭即可。
3．证明两个sigma代数相等，总体思想通常是双包含，加以其他的技巧。
4．由代数G生成sigma代数F，则F中任一集合均可以由G中的集合列任意逼近，这在证明一些性质由G扩张到F上时仍成立时会用到。
5．证明不等号成立，若直接证不容易时，可尝试在较大的一侧添加一个可以任意小的epsilon>0，得到一个不等式，完成证明后使epsilon趋于0得原不等式。
类似的思想，也可以在较小的一侧乘以系数b，b在0、1之间，得到不等式，然后令b趋于1，这个过程中应注意保证不等式与b的选取无关。
6．Monotone class theorem（单调类定理）
设F为域（也即代数），C为单调族，若C包含F，则C包含F生成的sigma代数。
利用此思想，证明问题时先构造一个符合要求的单调族（因单调极限封闭相对容易满足），然后去证明F包含在这个单调族内。
单调族定理证明中的方法也值得学习，另单调族定理实质是说明由域生成的最小单调族与最小sigma代数相同。
7．证明一个问题对sigma有限测度成立，可证明该问题对有限测度成立，因对sigma有限测度u，可拆成有限u(n)加和。
8．对可列可加的情形，通常先证明有限的情形，再讨论无穷的情形，或者看作有限的逼近。
9．证明对Borel可测函数成立，可在有意义的前提下证明对非负Borel可测函数成立，更进一步只需要证对非负简单函数成立即可。
这个方法的另一套思路是：设H为满足所要证明问题性质的非负Borel可测函数组成的族，证明H是一个单调系（monotone system），再证明H包含了所有的示性函数即可。这里的Borel可推广到一般的可测含义。
10．单调收敛定理
单调上升的非负Borel可测函数序列hn（x）收敛到h（x），则其序列积分收敛到极限的积分。
11．划分积分区间为可列小块，分别考虑。
12．Fatou引理
引理内容不再叙述，很常用的引理。
13．控制收敛定理
同样是Very Important
14．要证明某个性质几乎总成立，可转化证明其对立面几乎总不成立，也即证明不具有此性质的集合测度为零。若不具有此性质的集合比较复杂，可看是否能利用1/n或者有理数将其拆成可列个集合之并，然后证明每个集合的测度为零，由可列可加性保证原比较复杂的集合测度为零。
15．证明性质对可测函数成立的经典步骤
证明对示性函数成立》》》》对非负简单函数成立》》》》对非负Borel可测函数成立》》》对一般可测函数成立
若与积分有关，则有非负情形推广到任意情形时，需要先说明积分存在，也即说明正部、负部积分不同时为无穷。
16．对测度而言
按照 有限测度》》》sigma有限测度》》》任意测度》》》符号测度 的顺序进行
17．构造符合性质的集合A
选取一列单调上升的集合序列An，An无穷趋向于A，则A为所有An之并。
反向可取单调下降到A的集合序列，则A为所有集合之交。
18．证明E|X|---->0
去证明EX+---->0，EX----->0。注意三者中知道两者，可推出第三者，这个轮换的思想常用。
第二篇：高等数学公式总结、概率论、线性代数考点总结
决定考研了，暑假开始复习，没有报任何辅导班，先从数学开始（PS：我是理工科，数学
一）。
7月中旬开始胡乱看书，高数、线代、概论每天轮着看，看了两个多星期，一头雾水！每天闷在家里扛不住了！
和一个学姐聊天，她告诉我，复习数学的时候不能一起复习，应该分开看：高数---线性代数---概率论！我尝试了一下，还真有用！自己把书上的知识点总结了一下，现在复习效果很好！
搜集1000份资料，报再多的辅导班都不如自己总结！跟大家分享一下我整理的数学资料，2011的研友们，坚持就是胜利！
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高等数学：
考研数学重点及难点归纳辅导笔记（主要知识点的概括包括经典例题）
考研高等数学公式(数3专用）（这个对我们数一来说就太Easy了）
高等数学考研公式（非常经典、很全面）
2011考研数学大纲（不知道2011是否出大纲了，不过还是很有帮助）
考研高等数学易混淆概念（从极限开始，例题+概念，很有帮助）
新东方2010考研数学基础班讲义：高数、概论、线代（可以看看，参考）
考研数学真题近十年考题路线分析(高数部分)（这个比较狠！）
2011考研数学全程五轮四阶复习规划（看来我复习晚了）
考研数学公式最新总结大全高等数学，线性代数，概率统计(比较综合)
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线性代数：
线性代数复习资料（基本知识点总结）
2011年新东方考研数学基础班线性代数讲义（确实不错）
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概率论：
概率论易错知识点总结（经常看看）
考研概率论必备凶器经典归纳（的确凶悍！总结彻底！）
【2011考研精华资料】概率论与数理统计公式（打印出来方便记忆）
新东方考研概率论讲义（可以参考，看书是关键）
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近5年真题（2005-2010）：
2010年数学真题
2010年全国硕士研究生入学考试数学一试题
2010年全国硕士研究生入学考试数学二试题
2010年全国硕士研究生入学考试数学三试题
2009年数学真题
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案
2008年数学真题
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题及答案
2007年数学真题
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题及答案
2006年数学真题
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题及答案
2005年数学真题
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案
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考研经验（常看看，给自己鼓励！）：
怎样合理规划考研复习（好的方法，事半功倍）
学习计划的制定：考研复习阶段分析（计划+执行+坚持=考研成功）
跨校考研注意事项（跨校的同学一定看看）
考研第一考上清华研究生的经历（坚持就是胜利）
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导师信息库：
211高校研究生导师信息库（了解自己未来的导师的研究方向！）
全国各高校研招办联系方式汇总（可以打电话到学校研招办咨询）
还有很多，听学姐说10月之前都是混战，大家都在搜集资料，包括政治、数学、英语、专业课的资料，还有自己想报考的学校的资料等等。
报考本校的话还算容易，报考外校的话比较困难，自己如果信息闭塞的话会吃亏！所以大家晚上上完自习回来有时间的话还是要经常上网看看，及时了解各方面的信息，千万不要闷着头复习！
第三篇：高等概率论的一些学习心得兼推荐一些相关书籍
高等概率论的一些学习心得兼推荐一些相关书籍 zz
2010-10-09 15:58 星期六
学习概率已经有快2年了，几乎查阅了所有跟概率相关的书籍，到目前为止没有找到我认为特别好的。有人认为Feller的概率论及其应用是经典，我买了两本中译本，对我来说帮助不大。看了程士宏的测度论与概率论基础，反而有所收获。下面是我转载的一片网文，里面认为的现代型是我追求的目标，也就是说希望从测度论和实分析的角度去理解概率这门学科。
高等概率论的一些学习心得兼推荐一些相关书籍
一般人们对概率论这门学科的理解可以划分为三个层次：1，古典型--未受过任何相关训练的人都属于此类，他们只能够理解一些离散的（古典的）概率模型；2--近代型，通常指学过概率论基础的非数学专业理科生，他们从微积分的角度理解各种连续分布，概率模型的数字特征；3--现代型，这类人能够抽象地从测度论和实分析高度理解这门学科，任何数学专业的本科毕业生达不到这个层次都是可耻的。建立在测度基础上的概率论通常所谓的高等概率论。而我的主要目的就是为希望学习高等概率的学生--选择适合自己的书籍--提供些许帮助。
选一本适合自己的好的教材对自己以后的学习是决定性的重要--这是学数学的人首先必须明白的--不仅是对概率方向，对数学的各个分支都是如此。大一的时候齐名友老师跟我特别提到过这一点，可惜我当时不以为然，结果走了很多弯路，到研究生以后才慢慢明白这个道理。一本山寨小学校的老师七拼八凑编写的烂书，常常对学习（特别是自学）不仅无益反而有害，因为你往往浪费了时间却只能得到这个一些支离破碎的印象，这样你会遗忘得很快，很可能到头来你还得重新学一遍；另一些时候，你选择了众人推荐的名著，但你如果当前的水平达不到一定的层次，它往往会打击你的信心让你灰心丧气，甚至会让你不再有学下去的欲望。这两种情形显然都是人们应该尽量避免的。
需要指出的是，有的书适合作教材，有的书却只适合作参考书；就算都是教材，它定位的读者群体也可能不一样。每个人都应该根据自己的实际情况做出选择。一般好书大多都是国外的，所以如果有可能最好去看国外的原版书，就算没有这个能力也应该去锻炼这个能力。读原版书其实没看起来的那么难，你不需要懂得任何高深的语法，记熟100个单词/词组就能轻易上手，记熟300个你就能在大多数情况下不需要字典了。我记得我法语学了不到一年就来到法国读书，老师上课基本听不懂，只能自己找书看，而图书馆里绝大多数参考书都是法语的（当时不知道在网上找书）。按说我当时法语应该比大多数中国大学生英语要远差，但我抱着一本法语的拓扑书回家一边查字典一边看，两三天就完全适应了。真正看外文原版书，要克服的首要困难永远都是数学本身，而不是生词或者语法。
我推荐的学习方法是这样的：读一本简单而直观的入门书，这样能比较容易地把握一个领域的主干，明白它要达到哪些目的，通过什么样的方法，关键性的定理有哪些；等掌握大体框架之后再找一本详尽而严密的教材慢慢推敲其细节。中文的书我没什么好推荐的--在国内的时候看的书质量都不高（当时抱着一本书就看，对好书和烂书也没有概念）而出国之后就没再看过中文书了。我依稀记得汪嘉冈的《现代概率基础》还不错，其它的我就不知道
了。对于外文书，我倒是有很多可以推荐。这样我首先要推荐的是David Williams写的Probability with martingales。书写得很薄，严格意义上说它不是一本教材，但完全可以把它当做现代概率论和鞅理论的入门书来看。我觉得很少有书能够写得象它那样把严密性，直观性以及趣味性完美的融合到一起，并且自成体系(即所谓self-contained，就是说你不需要一边看这本书一边在别的书里寻找相关定理，定义或者其它背景知识)。它只引入对主题有帮助的概念，因此这样读者就可以不必顾及细枝末节从而能够快速领悟其精髓。等你入门之后，可以看的进阶级书就很多了，比如Chung Kai Lai的A course in probability theory。
测度论的基础对于高等概率以及随机过程的学习无疑是很重要的，尽管刚开始的时候你完全可以跳过许多内容（单调类定理，测度的扩张定理，radon-nikodym定理等），但真正想把这个方向学好的人最后一定还是得回头啃这些相对枯燥的基础知识。我看过严加安的《测度论讲义》和halmos的测度论，个人感觉后者更友善些，并且更适合自学。严的书里，开篇就罗列一大串定义：什么是pi类，半环，半代数，sigma代数，单调类，lamda类，再罗列它们的一些性质，诸如a推b，b推c，c推d，d推a之类，我以为这样不容易让人抓住重点。测度论理真正重要的集类首先是sigma代数和pi类，然后是单调类和代数，其它的集类不知道也罢。
看书除了看教材，当然还得找几本参考书以备不时之需。剑桥出的Grimmett和Stirzaker合著的probability and random process，其特点是例子和习题详尽而丰富，从经典的概率论逐步过度到现代的测度空间。它虽然名为本科生教材，但我觉得其内容之丰富使其作为阶段性的参考资料已经绰绰有余了。然后是大名鼎鼎的Feller的两本An introduction to probability theory，公认的经典。其特点是通过大量的实例讲叙了许多概率论和随机过程在现实中的应用，以及各种概率模型的由来及其推导，据说适合从本科生到博士生的一切人群。但feller的书写成已经有半个世纪之久，因此一些内容还是显得太陈旧了。想看更现代一点的参考书的话，我推荐Kallenberg的Foundations of modern probability。这是一本很新的书，也是一本名副其实的参考书--因为它只能作参考书--仅600页竟然就讲完了概率论各个大大小小分支的主要内容，书里你可以找到几乎所有的重要定理，命题，及其证明。
如果你能把书基本看懂，那你已经可以算差不多入门了；如果你能闭着眼睛说出任何一个定理的证明思路，那么恭喜你，你已经学有小成。但是仅仅看书显然是不够的，想要学得好，学得牢，无论如何你还得做一定量的相应的习题--计算题为辅，证明题为主，并且要勤于思考养成习惯。为了一道题如果你的思考时间还不到一个甚至半个就放弃而去翻答案，那么根本就不算你曾为这个问题花费过努力--事实上如果你不认真思考，那么你会觉得所有的答案，所有的证明都只不过是理所当然的，trivial的，从而你也不会领悟到真谛。
其它没啥了。哪天有心情再说说随机分析吧。
第四篇：概率论复习重点
概率论复习重点（老师所划重点，仅供参考）
1.一、二大题为选择、填空题，所占全卷24%【各章都有，主要靠基本概念知识】
2.第一章：2个大题占全卷15%
⑴概率的计算【概率的性质、古典概型】
⑵全概率公式、逆概公式（贝叶斯公式）
3.第二章：2个大题占全卷15%
⑴随机变量的概率分布【离散4种、连续3 ⑵函数的分布【主要为连续型】F(y)=P（Y≤y）=P（（fx）≤y）=P（x∈Dy）=
第五篇：浅谈专升本高等数学中的概率论复习技巧
浅谈专升本高等数学中的概率论复习技巧
以下为我的观点，做题目一定要思考，要举一反三。不能关看书本上硬硬的条子，也不能钻牛角尖。具体内容自己回去慢慢整理，本人也是10年专升本的，在校参加过竞赛获奖，对数学颇有灵感，高升基础班没上过，冲刺班上了，觉的徐老师教的怪有意思的，跳跃性思维和解题技巧灵活，共同讨论
概率论的理解与掌握要从三个方面来看
第一，基本的古典概率事件要掌握，最好是背了
1.基本的组合与排列事件，就是组合与排列的定义以及计算公式
2.硬币，撒子问题，基本的简单的离散型概率分布
3.排队与抽签的整体与局部问题，把某些人看为整体绑定再与其他种类排列
4.分类，分组，分堆三者的区别
5.映射问题是常考的，比如说往四个杯子里装五个球，不限制每个杯子中的球的个数，问排列方式
6.重复与不重复，放回与不放回事件的概率是不同的第二，离散型与连续性概率的一维的概率分布，数学期望，方差，密度的求解与记忆离散型的一定要掌握，数学期望和方差都是高中学过的，密度就是一个数值嘛，分布函数就按基本公式想象，一定要画图想象，数形结合是数学里最好的方法
连续性的要参照离散型的去看，要和它比较，你硬硬的死看，当然看不出道了。连续性中的密度函数就是离散型中的某点概率;连续性中的积分符号你深入研究过理解过它嘛，那个符号如果对应成图像就是面积，是某段区间的面积，相当于把这些区间无限的切割成小方块的面积(微积分的书中求某个函数与坐标轴围成的面积那张以及体积那些一定要好好看，要看精明了)，求这些小方块的面积之和，小方块的面积不就是每点所对应概率相加嘛，换成离散型来想就是。
连续性的积分符号就是离散型的连加，连续性的X就是离散型所对应的各点
其他的数学期望，方差不就和离散型不就是一样的嘛，就那么简单的东西，要想方设法的记住，会记住会运用的方法就是好方法
再看连续型的分布函数，也就是从基本公式来
我总结的方法是：
看见定积分，广义积分就去想面积，面积怎么求积分就怎么求
看见连续型就去想离散型，离散型怎么求，连续型就是怎么求的第三，要记住一维的连续性概率基本类型的方差以及数学期望的公式，以及数学期望与方差的关系公式
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