数量关系知识点总结

第一篇：数量关系知识点总结

山东省考数量关系常用知识点总结

第一章 带入与排除法 一，直接带入法

直接带入法常用于多位数问题，不定方程问题，同余问题，年龄问题，周期问题，复杂行程问题和和差倍比问题，并与其它运算方法相结合，带入排除法不仅仅意味着把选项带入题干，而且在计算过程中，一边计算一边比较答案选项，很可能算到一半答案就出来了。

二，倍数特性法

倍数特性法是一种特殊的带入排除法

1，2，5—后一位； 4，25—后两位； 8，,125—后三位 3—数字和除以三； 9—数字和除以9 7—末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数

7--末三位与剩下数的差（大数减小数）是7的倍数 11—奇数位之和与偶数位之和的差是11的倍数（1）直接倍数法

两个数的和为a，差为b，则两个数分别为a+b/2，a-b/2.（2）因子倍数法

当题干中涉及小数的时候，相乘不一定保留原来的倍数关系，2和5因子相乘后会消失，但是3,7,9,11,13等质因子会一直存在

（3）比例倍数法（和差倍比）

若a:b=m:n，则说明a占m份，是m的倍数；b占n份是n的倍数，(m与n互质)a+b占m+n份，是m+n的倍数，a-b占m-n份是m-n的倍数 三，综合特性法

大小特性，奇偶特性，尾数特性，余数特性，幂次特性，质数特性

（1）两个数字和差为奇，二者奇偶相反；两个数字和差为偶，二者奇偶相同。（2）两个数字的和为奇数，二者差也为奇数；两个数字和为偶数，二者差也为偶数

（3）正整数加，减，乘运算中，每个数最后N位，经过同样运算，可以得到结果最后N位

经典例题：

奇偶运算基本法则 【基础】奇数±奇数= ； 偶数±偶数= ； 偶数±奇数= ； 奇数±偶数=。【推论】

一、任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。

二、任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。

倍数关系核心判定特征

如果，则 a是m 的倍数； b是n 的倍数。

如果，则 a是m 的倍数； b是n 的倍数。如果，则应该是 m±n 的倍数。

【例1】两个数的差是2345，两数相除的商是8，求这两个数之和？（）

A.2353 B.2896 C.3015 D.3456

【解析】：两个数的差为奇数，所以两个数的和也应该为奇数，排除掉B和D，两数相除商为8，即a:b=8:1,所以a+b 是9的倍数，所以选C

【例2】：一单位组织员工乘车去泰山，要求每辆车上的员工数相等。起初，每辆车22人，结果有一人无法上车;如果开走一辆车，那么所有的旅行者正好能平均乘到其余各辆车上，已知每辆最多乘坐32人，请问单位有多少人去了泰山？（）

A.269 B.352

C.478 D.529

【解析】：每辆车22人，结果有一人无法上车，即总人数除以22余1，也就是总人数-1能被22整除，即能同时被2和11整除，首先排除掉B和C，A和D减1后都能被2整除，只要看下能不能被11整除即可，所以答案为D.【例3】某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增加5%，员工总数比去年增加3人，问今年男员工有多少人？

A.329 B.350

C.371 D.504

【解析】：这是2011年的国考题。如果设去年男员工人数为x时，那今年男员工人数则为（1-6%）x=0.94x。也就是说今年男员工人数含有0.94的因子，即能被0.94整除，答案选A。

所以熟练掌握数字特性法对于解决某一类数学运算非常有效，所以考生须熟记几个非常常用的特性，比如因子、倍数、因子、比例特性。

【例22】（江苏2006B-76）在招考公务员中，A、B两岗位共有32个男生、18个女生报考。已知报考A岗位的男生数与女生数的比为5：3，报考B岗位的男生数与女生数的比为2：1，报考A岗位的女生数是（）。A.15 B.16 C.12 D.10

【答案】C，【解析】报考A岗位的男生数与女生数的比为5：3，所以报考A岗位的女生人数是3的倍数，排除选项B和选项D；代入A可发现不符合题意，所以选择C。【例23】（上海2004-12）下列四个数都是六位数，X是比10小的自然数，Y是零，一定能同时被2、3、5整除的数是多少？（）

A.XXXYXX B.XYXYXY C.XYYXYY D.XYYXYX

【答案】B，【解析】因为这个六位数能被 2、5整除，所以末位为0，排除A、D；因为这个六位数能被3整除，这个六位数各位数字和是3的倍数，排除C，选择B。【例24】（山东2004-12）某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少？（）A.33 B.39 C.17 D.16

【答案】D，【解析】答对的题目+答错的题目=50，是偶数，所以答对的题目与答错的题目的差也应是偶数，但选项A、B、C都是奇数，所以选择D。

【例25】（国2005一类-

44、国2005二类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少元？（）A.1元 B.2元 C.3元 D.4元

【答案】C，【解析】因为所有的硬币可以组成三角形，所以硬币的总数是3的倍数，所以硬币的总价值也应该是3的倍数，结合选项，选择C。

【注一】很多考生还会这样思考：“因为所有的硬币可以组成正方形，所以硬币的总数是4的倍数，所以硬币的总价值也应该是4的倍数”，从而觉得答案应该选D。事实上，硬币的总数是4的倍数，一个硬币是五分，所以只能推出硬币的总价值是4个五分即两角的倍数。

【注二】 本题中所指的三角形和正方形都是空心的。

【例26】（国2002A-6）1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?（）

A.34岁，12岁 B.32岁，8岁 C.36岁，12岁 D.34岁，10岁

【答案】D，【解析】由随着年龄的增长，年龄倍数递减，因此甲、乙二人的年龄比在3-4之间，选择D。

【例27】（国2002B-8）若干学生住若干房间，如果每间住4人则有20人没地方住，如果每间住8人则有一间只有4人住，问共有多少名学生？（）。

A.30人 B.34人 C.40人 D.44人

【答案】D，【解析】由每间住4人，有20人没地方住，所以总人数是4的倍数，排除A、B；由每间住8人，则有一间只有4人住，所以总人数不是8的倍数，排除C，选择D。

【例28】（国2000-29）一块金与银的合金重250克，放在水中减轻16克。现知金在水中重量减轻1/19，银在水中重量减轻1／10，则这块合金中金、银各占的克数为多少克？（）A.100克，150克 B.150克，100克 C.170克，80克 D.190克，60克 【答案】D，【解析】现知金在水中重量减轻1/19，所以金的质量应该是19的倍数。结合选项，选择D。

【例29】（国1999-35）师徒二人负责生产一批零件，师傅完成全部工作数量的一半还多30个，徒弟完成了师傅生产数量的一半，此时还有100个没有完成，师徒二人已经生产多少个？（）A.320 B.160 C.480 D.580

【答案】C，【解析】徒弟完成了师傅生产数量的一半，因此师徒二人生产的零件总数是3的倍数。结合选项，选择C。

【例30】（浙江2005-24）一只木箱内有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个。小明一次取出5个黄球、3个白球，这样操作N次后，白球拿完了，黄球还剩8个；如果换一种取法：每次取出7个黄球、3个白球，这样操作M次后，黄球拿完了，白球还剩24个。问原木箱内共有乒乓球多少个?（）A.246个 B.258个 C.264个 D.272个

【答案】C，【解析】每次取出7个黄球、3个白球，这样操作M次后，黄球拿完了，白球还剩24个。因此乒乓球的总数=10M+24，个位数为4，选择C。

【例34】（北京社招2005-11）两个数的差是2345，两数相除的商是8，求这两个数之和？（）A.2353 B.2896 C.3015 D.3456 【答案】C，【解析】两个数的差是2345，所以这两个数的和应该是奇数，排除B、D。两数相除得8，说明这两个数之和应该是9的倍数，所以答案选择C。

【例35】（北京社招2005-13）某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。这个剧院共有多少个座位？（）A.1104 B.1150 C.1170 D.1280 【答案】B，【解析】剧院的总人数，应该是25个相邻偶数的和，必然为25的倍数，结合选项选择B。

【例36】（北京社招2005-17）一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，速度为1500千米/时，回来时逆风，速度为1200千米/时，这架飞机最多飞出多少千米，就需往回飞？（）A.2000 B.3000 C.4000 D.4500 【答案】C，【解析】逆风飞行的时间比顺风飞行的时间长，逆风飞行超过3小时，顺风不足3小时。飞机最远飞行距离少于1500³3＝4500千米；飞机最远飞行距离大于1200³3＝3600千米。结合选项，选择C。

【例37】（北京社招2005-20）红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行60米，队尾的王老师以每分钟步行150米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分钟。求队伍的长度？（）A.630米 B.750米 C.900米 D.1500米 【答案】A，【解析】王老师从队尾赶到队头的相对速度为150+60＝210米／分；王老师从队头赶到队尾的相对速度为150-60＝90米／分。因此一般情况下，队伍的长度是210和90的倍数，结合选项，选择A。

第二章

转化归纳法

一，化归为一法

如果题干中没有涉及某个具体量的大小，并且不影响最终结果，我们可以用化归为一法，将这个量设为某一个计算的数值。

一般应用于工程问题，混合比例问题，和差倍比问题，加权平均数问题，流水行船问题，往返行程问题，几何问题和经济利润问题。

※其中，设“1”思想是设“1”或设“100”或设“最小公倍数”，（每题只能设一次）二，比例假设法—利用数字矛盾

尽管假设数字会与题干已知条件矛盾，但我们仍然可以强行假设某一个数字，然后利用倍数关系对推算出来的矛盾双方进行比较，按照比例放大或缩小即可，假如一次假设计算过程中出现分数或小数，可以二次假设或重新假设方便计算的量。※（采用假设比例法时，必须有一个量固定不变，其它两个量成比例关系）三，工程问题（重点必考点）

工程问题是研究工作量，工作时间和工作效率之间的关系 工作量=工作时间*工作效率

核心思想：化归为一法，比例假设法，特值法

主要分类：1.基础运算型；2.同事合作型；3.先后合作型；4.交替合作性（注意周期）5.撤出加入型；6.两项工程型；7.三项工程型 工程问题经典题型：

1.某行政村計劃15天完成春播任務1500畝，播種5天後，由於更新機械，工作效率提高25%，問這個行政村會提前幾天完成這1500畝的春播計劃？ A.4 B.3 C.2 D.1 2.某工廠的一個生產小組，當每個工人在自己的工作崗位上工作時，9小時可以完成一項生產任務。如果交換工人甲和乙的工作崗位，其他人的工作崗位不變時，可提前1小時完成任務；如果交換工人丙和丁的工作崗位，其他人的工作崗位不變時，也可提前1小時完成任務。如果同時交換甲和乙、丙和丁的工作崗位，其他人的工作崗位不變，可以提前多少小時完成這項任務？ A.1.6 B.1.8 C.2.0 D.2.4 3.有20人修築一條公路，計劃15天完成。動工3天後抽出5人植樹，留下的人繼續修路。如果每人工作效率不變，那麼修完這段公路實際用多少天？ A.16 B.17 C.18 D.19 4.單獨完成某項工作，甲需要16小時，乙需要12小時，如果按照甲、乙、甲、乙、„„的順序輪流工作，每次1小時，那麼完成這項工作需要多長時間？ A.13小時40分鍾B.13小時45分鍾C.13小時50分鍾D.14小時

5.甲、乙兩車運一堆貨物。若單獨運，則甲車運的次數比乙車少5次；如果兩車合運，那麼各運6次就能運完，甲車單獨運完這堆貨物需要多少次？ A.9 B.10 C.13 D.15 6.某計算機廠要在規定的時間內生產一批計算機，如果每天生產140臺，可以提前3天完成；如果每天生產120臺，要再生產3天纔能完成，問規定完成的時間是多少天？ A.30 B.33 C.36 D.39 7.甲、乙兩單位合做一項工程，8天可以完成。先由甲單位獨做6天後，再由兩單位合做，結果用6天完成了任務。如該工程由乙單位獨做，則需多少天纔能完成任務？ A.8 B.12 C.18 D.24 8.甲1天做的工作等於乙2天做的工作，等於丙3天做的工作。現有一工程，甲2天可完成。問乙與丙合作要多少天完成？ A.12天 B.5天 C.2.4天 D.10天

9.一只木桶，上方有兩個注水管，單獨打開第一個，20分鍾可注滿木桶；單獨打開第二個，10分鍾可注滿木桶。若木桶底部有一個漏孔，水可以從孔中流出，一滿桶水用40分鍾流完。問當同時打開兩個注水管，水從漏孔中也同時流出時，木桶需經過多長時間纔能注滿水？

A.8分鍾 B.9分鍾 C.10分鍾 D.12分鍾

10.一個游泳池，甲管注滿水需6小時，甲、乙兩管同時注水，注滿要4小時。如果只用乙管注水，那麼注滿水需多少小時？ A.14 B.12 C.10 D.8 答案及解析：

1.中公解析：本題答案選C。原來的工作效率為100畝/天，提高25%後則每天播種125畝，剩餘的1000畝需要8天播完，因此可以提前2天完成任務。

3.中公解析：本題答案選D。設每人每天乾活1個單位，那麼，題意可以理解為15人乾活需要乾滿20天。因為有5個人另乾了3天，即相當於15個人乾了一天的活，所以15人現在只需乾活20-1＝19天。

6.中公解析：本題答案選D。生產的計算機總量不變，每天生產120臺比每天生產140臺多用6天，故每天生產140臺需要120³6÷(140-120)=36天，故規定時間為36+3=39天。本題也可用方程法求解。

第三章 典型解题技巧 一，十字相乘法—本质就是一个简化方程

※ 算出来的是总量比，如要算单位比，再除以单价。二，构造设定法（与极端思维法配合使用）

根据题目要求，直接进行构造，如有必要，可以回头验证构造结果。我们构造的只是满足题目的情况之一，不是唯一。

三，极端思维法（当题干中出现至多，至少，最多，最少，最大，最小时）使用极端构造思维构造极端思维时可能得到的是非整数解：

如果题目问最大时，就往小取整；如果题目问最小时，就往大取整。四，枚举列举法

1.直接枚举说满足条件的所有情况（当满足条件情况较少时用）

2.当答案要求数字很大时，我们可从较小的数字出发，总结归纳出通用规律 N条直线可将平面分割成n(n+1)/2个部分

（2，4，7，11,16,22,29,37,46,56）差为（2,3,4,5,6,7,8,9,10）五，逆向思维法（除以2，加1→减1，乘以2）

1.逆向推导型：将运算过程完全颠倒，从后往前逆推。

2.正反互补型：若“正面”不好求解，用总体剔除与之互补的“反面”求解。十字相乘法：

十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。但是，如果使用不对，就会犯错。

（一）原理介绍

通过一个例题来说明原理。

某班学生的平均成绩是80 分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。方法一：男生一人，女生一人，总分160 分，平均分80 分。男生和 女生的比例是l : 1。

方法二：假设男生有A，女生有B。(A * 75 + B85)/(A 十B)= 80 整理后A = B，因此男生和女生的比例是1 : 1。方法三：

男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生= 1 : l。

一个集合中的个体，只有2 个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A 的个体与取值为B 的个体的比例。假设A 有x , B 有（1 一X）。

AX + B(1 一X)= C X =（C 一B)/(A 一B)1 一X =（A 一C)/ A 一B 因此：X :(l 一X)=(C 一B):(A 一C)上面的计算过程可以抽象为： A C 一B C B A 一C 这就是所谓的十字相乘法。十字相乘法使用时要注意几点：

第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。

第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。．某体育训练中心，教练员中男占90 %，运动员中男占80 %，在教练员和运动员中男占82 %，教练员与运动员人数之比是 ： A 2: 5 B l: 3 C 1: 4 D l: 5 答案：C，分析：

男教练：90 % 2 % 82 % 男运动员：80 % 8 % 男教练：男运动员＝2 % : 8 ％= 1 ：4 2 ．某公司职员25 人，每季度共发放劳保费用15000 元，己知每个男职必每季度发580 元，每个女职员比每个男职员每季度多发50 元，该公司男女职员之比是多少 A.2: 1 B 3: 2 C 2: 3 D.1: 2 答案：B 分析：职工平均工资15000 / 25 = 600 男职工工资：580 30 600 女职工工资：630 20 男职工：女职工＝30 : 20 = 3 : 2 3 ．某城市现在有70 万人口，如果5 年后城镇人口增加4 %，农村人口增加5.4 %，则全市人口将增加4.8 ％。现在城镇人口有（）万。A 30 B 31.2 C 40 D 41.6 答案A 分析：城镇人口：4 % 0.6 %

4.8 % 农村人口：5.4 % 0.8 % 城镇人口：农村人口=0.6 % ：0.8 ％=3 : 4 70 *(3 / 7)= 30 4 ．某班男生比女生人数多80 %，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20 %，则此班女生的平均分是： A 84 分 B 85 分 C 86 分 D 87 分 答案：A 分析：假设女生的平均成绩为X，男生的平均Y。男生与女生的比例是9：5。男生：Y 9 75 女生：X 5 根据十字相乘法原理可以知道，X=84 5 ．某高校2006 年度毕业学生7650 名，比上年度增长2 % ．其中本科毕业生比上年度减少2 % ．而研究生毕业数量比上年度增加10 % ,那么，这所高校今年毕业的本科生有：

A 3920 人B 4410 人C 4900 人D 5490 人 答案：C 分析：去年毕业生一共7500 人。7650 /(1 + 2 %)= 7500 人。本科生：-2 % 8 % 2% 研究生：10 % 4 % 本科生：研究生=8 % : 4 % = 2 : 1。7500 *(2 / 3)= 5000 5000 * 0.98 = 4900 6 资料分析：

根据所给文字资料回答121 一125 题。

2006 年5 月份北京市消费品市场较为活跃，实现社会消费品零售额272.2 亿元，创今年历史第二高。据统计，l-5 月份全市累计实现社会消费品零售额1312.7 亿元，比去年同期增长12.5 ％。

汽车销售继续支撑北京消费品市场的繁荣。5 月份，全市机动车类销售量为5.4 万辆，同比增长23.9 ％。据对限额以上批发零售贸易企业统计，汽车类商品当月实现零售额32.3 亿元，占限额以上批发零售贸易企业零售额比重的20.3 ％。

据对限额以上批发零售贸易企业统计，5 月份，家具类、建筑及装潢材料类销售延续了4 月份的高幅增长，持续旺销，零售额同比增长了50 ％。其中，家具类商品零售额同比增长27.3 %，建筑及装演材料类商品零售额同比增长60.8 ％。同时由于季节变换和节日商家促销的共同作用，家电销售大幅增长，限额以上批发零售贸易企业家用电器和音像器材类商品零售额同比增长13.6 ％。

．北京市2006 年5 月份限额以上批发零售贸易企业社会消费品零售额占社会消费品零售总额的百分比约为：

A.50.5 % B.58.5 % C , 66.5 % D.74.5 % 答案：B 分析：(32.3 / 2 0.3 %)/ 272.2。结果和160 / 270 相当。接近60 ％。所以选B。

．若保持同比增长不变，预计北京市2007 年前5 个月平均每月的社会消费品零售额：

A ．将接近255 亿元B，将接近280 亿元C ．将接近300 亿元D ．将突破300 亿元 答案：C 分析：(1312.5 / 5)*(l + 12.5 %）。12.5 ％=l / 8。（1312.5 * 9)/ 40 接近300。

2006 年5 月份，限额以上批发零售贸易企业中，家具类商品零售额占家具类和建筑及装演材料类商品零售额的比例是：A.27.4 % B.29.9 % C.32.2 % D.34.6 % 答案：A 分析：两种方法。

方法一：比较常规的做法假设2005 年家具类所占比例为X。X *(l + 27.3 %)+(l 一X)*(l + 60.8 %)= l + 50 % X = 32.2 ％。

【32.2 % *(l + 27.3 %)】/【32.2 % *(l + 27.3 %)+(l 一32.2 %)*(1 + 60.8 % 0)】= 27.4 % 整个过程计算下来，至少5 分钟。方法二：十字相乘法原理．最快． 家具27.3 %，近似为27 %;建筑60.8 %，近似为61 ％。

家具：27 % 11% 50 % 建筑：61 % 23 % 家具：建筑＝11 % : 23 ％大约等于1 : 2。注意这是2006 年4 月份的比例。建筑类2006 年所占比例为：l *(l + 27.3 %)/ [ 1 *(l + 27.3 %)+ 2 *(l + 60.8 %)= 1.27 /(1.27 + 3.2)= 1.27 / 4.5 = 28 ％。和A 最接近。124 ．下列说法正确的是：.2006 年1-5 月份北京市每月平均社会消费品零售额比去年同期增长12.5 % 11.2006 年5 月份家具类、建筑及装潢材料类、家电类限额以上批发零售贸易企业零售额的增长率相比较，建筑及装潢材料类增长最快 1ll.2005 年，北京市机动车类销售量约为4.36 万辆

A ．仅1 B ．仅11 C.I 和11 D.II 和111 答案：C 分析：1 一5 月份全市累计实现社会消费品零售额1312.7 亿元，比去年同期增长12.5 ％。累计增长A/B＝同比增长（A/5)/(B / 5）。I 正确,11 正确，文中直接找答案。5.4 /(1 + 23.9 %）约等于4.36。125 ．下列说法肯定正确的是：

A.2006 年前5 个月中，5 月份的社会消费品零售额最高

B.2006 年5 月，几类商品的零售额都比前4 个月高

C.2006 年5 月，限额以上批发零售贸易企业零售额比前4 个月都高

D ．至少存在一类商品，其2006年前5个月的零售额同比增长不高于12.5%，答案：D 分析：1 一5 月份全市累计实现社会消费品零售额1312.7 亿元，比去年同期增长12.5 %，而5 月份各类零售增长率都超过了12.5 ％。因此可以肯定，至少存在一类商品，其2006 年前5 个月的零售额同比增长不高于12.5 ％。构造题型题目解析：

当题干中出现“至少„„(才)保证„„”、“至少„„”、“最„„最多(少)„„”、“排名第„„最多(少)”等字眼时，均可判定该题为最值问题。

常见题型：

1.最不利构造：

特征：至少(最少)„„保证；方法：答案=最不利的情形+1。

2.多集合反向构造：

特征：都„„至少„„；方法：反向、加和、做差。

3.构造数列：

特征：最„„最„„，排名第„„最„„；方法：构造一个满足题目要求的数列

2012-河北42.要把21棵桃树栽到街心公园里5处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪上至少要栽几棵？()

A.7 B.8

C.10 D.11

【答案】A

【解析】本题属于构造数列题型。要使面积最大的草坪栽种的树最少，就要保证其他的草坪栽种的树最多，设面积最大的草坪至少栽种X棵，则其他的草坪可栽种X－1,X－2, X－3,X－4棵，则X＋X－1＋X－2＋X－3＋X－4=21，即5X－10=21，X=6.2，而X必须取整数，所以X=7。因此，答案选择A选项。

2011-河北-44.某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试，第一次得90分以上的学生为70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，请问在四次考试中都是90分以上的学生至少是多少？()

A.40% B.30%

C.20% D.10%

【答案】C

【解析】设共有100人考试，则得90分以上的同学依次有70、75、85、90人，因此没过90分的依次有30、25、15、10人，则没过90分的最多有30+25+15+10=80(人)，故90分以上的至少有100-80=20(人)，占20%。因此，答案选择C选项。

2010-河北-39.某中学初二年级共有620名学生参加期中考试，其中语文及格的有580名，数学及格的有575名，英语及格的有604名，以上三门功课都及格的至少有多少名同学？()

A.575 B.558

C.532 D.519

【答案】D

【解析】要使三门功课都及格的人数最少，则需要三门功课的人中，每人都只有一门不及格，不及格的人数总数为(620-575)+(620-580)+(620-604)＝101(人)，故三门功课都及格的人数最少为620-101＝519(名)。因此，答案选择D选项。

2009-河北-108.100名村民选一名代表，候选人是甲、乙、丙三人，每人只能投票选举一人，得票最多的人当选。开票中途累计前61张选票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票。在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定当选？()

A.11 B.12

C.13 D.14

【答案】A

【解析】本题属于构造数列题型。甲至少再得多少票就一定当选的意思就是票数最多的甲最少得多少张票。我们可以发现对甲最有竞争力的就是丙，所以最极端的情况就是甲取得了x票，剩下的39-x全部投给了丙，这样甲也当选了。即满足35+x＞16+39-x，即2X＞20，X＞10，所以甲至少要得11张。因此，答案选择A选项。

第四章 方程与不等式 方程法是整个数学运算的第一重要方法（通常可知列不求）

主要题型：盈亏问题，鸡兔同笼问题，和差倍比问题，牛吃草问题 一，基本方程思想（巧设未知数，快速解方程）

1.当方程有小数或是分数而计算复杂时，同乘化整。

2.方程组中若存在多个未知数，尽量消去无关未知数，保留所求未知数。3.方程中存在一些无关未知数，完全可以作为整体直接消去。4.比例型的方程形式，可能存在很好的化简方法。5.未知数转变且无法消除时，可直接令x=0得到答案。6.若题目中存在xy这样的乘积项，先化简或消掉。

（1）A/B=C/D→A+C/B+D=A-C/B-D(当两个分子或分母的和或差为常数时)（2）A/B=C/D→A±B/B=C±D/D→A/B±A=C/D±C（条件同上）整体解方程—整体代换，无需求出每一个未知数。逆向解方程—倒推法。

二，不定方程（组）--最新考察热点 多元不定方程或方程组：特值代入法；

二元不定方程：带入试值法，令最复杂的一项为“0”； 三，不等式—直接解出满足不等式的范围

列出不等式，找好是“＞”还是“≥”，是“＜”还是“≤”。四，盈亏与鸡兔同笼问题

列方程，解方程是最高效，最准确的方法。五，和差倍比

第五章 基础运算模块 一，纯粹计算问题 基本公式：

a²-b²=（a+b）（a-b）；a+b≥2跟下ab；ab≤（a+b/2）²→（a-b）²≥0；(a±)²= a²+2ab+b²； a*b*c≤（a+b+c/3）³

a的m次方*a的n次方=a的m+n次方，a的m次方的n次方=a的m*n次方；（a*b）的n次方= a的n次方+b的n次方

※ 弃九法※（当整数范围内+，-，*三种运算方法中可使用）

1.在计算中，将计算过程中数字全部除以9，留其余数进行相同的计算；

2.计算中如有数字不在0—8之间，通过加上或减去9或9 的倍数调整到0—8之间； 3.将选项除以9留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。注意循环数的求法，因数分解！※ 裂项相消公式

B/M*(M+A)=(1/M-1/M+A)*B/A(“小分之一”减去“大分之一”乘以二者差分之分子)在比较复杂的计算中，将相近的数化为相同，从而作为一个整体相抵消

乘方尾数的算法：地鼠留个位，指数除以4，留余数，余数为零，去4！1.直接计算题；2.弃九推断；3.乘法分配率；4.循环数字； 5.比较大小； 6.裂项相消；7.整体消去； 8.乘方尾数。二，运算拓展模型

1.定义运算：XΦY,X△Y，2.抽象函数f（x）3.恒等变换； 4.二次方程； 5.极值求解 一，数列综合运算 1.等比数列：

设首项为；末项为 , 项数为 , 公差为 , 前 项和为

则有:① ② ③ ④ 其中 ：

=平均数*项数=中位数*项数；

通项公式：

等差数列奇数项求和=项数² 2.等比数列

等比数列求和公式：an=a1*q^(n-1)

第六章 计数问题模块 一，容斥原理

（一）两集合容斥原理

1.当题目中出现①满足条件A的数目，②满足条件B的数目，③同时满足A，B的数目，④条件A,B都不满足的数目，⑤总数

公式：满足A+满足B-满足A,B+A，B都不满足=总数 2.若出现：只满足条件A或只满足条件B→用两集合图示标数。

（二）三集合容斥原理

1.关于满足两个条件的描述，如果题目只涉及①满足A，B条件；②满足B，C条件；③满足A，C条件的数目→标准公式

2.若题目涉及“只满足条件A，B的数目”，一般采用三集合图示标数； 3.若题目涉及“满足一个条件的数目”和“满足两个条件的数目”； 只给出一个总数而不是分项数字，一般用“三集合整体重复型”。

※标准型公式：1.两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+BA∩BC∩A +A∩B∩C 如左边代表至少满足三个条件之一的情况，也等于总数减去三个条件都不满足的情况；

（三）三集合图示标数型

1.特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区别； 2.特别注意有没有“三个条件都不满足”的情况； 3.标数时，注意从中间向外围标记。

（四）三集合整体重复型

在三集合容斥题型中，假设三个条件的元素数量分别是A,B,C,而至少满足三个条件之一的元素的总量为W；其中：满足一个条件的元素数量为X，满足两个人条件的元素数量为Y，满足三个条件的元素数量为Z。① W=X+Y+Z;② A+B+C=X*1+Y*2+Z*3 详细推理：

1、等式右边改造 = {[（A+BB∩C]-C∩A }+ A∩B∩C

2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C

3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分： 那么A∪B∪C还缺部分7。

4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。

5、等式右边{}里减去C∩A（即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。如图所示：

二，基础排列组合

加法原理 排列：与顺序有关，乘法原理 组合：与顺序无关，排列公式： 组合公式：

逆向公式：满足条件的情况—不满足条件的情况数。三，拓展排列组合

1.相邻问题—捆绑法—先考虑相邻元素，然后将其视为一个整体考虑；

2.不邻问题—插孔法—先考虑剩余元素，然后将不邻元素进行插孔（路灯熄灭问题）3.错位配列—0,1,2,9,44,256； 4.重复剔除型

平均分租时，一旦有N个组人数相同，最后都要除以Ann以剔除重复情况，例：将6个人平均分成3组，请问一共有多少种分法？ C62*C42*C22/A33=15 5.圆桌排列：N个人排成一圈，有Ann/n=（n-1）！种方法；

6.分配插板型（将M个元素，分到N组，每组至少分一个），Cm-1，n-1 需满足条件：①元素相同，②分配到不同的组，③每个组至少分一个（三者缺一不可）

① 如果没有至少分到一个，只说把6个苹果分到3组，可以先借三个苹果没人分一个，再按照公式去分；

② 如果题干说至少分得N的元素，则分给每组N-1元素，构造成每组至少分得一个的情况。经典例题分析： 难点：

⑴从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； ⑵限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解；

⑶计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； ⑷计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。例题

【例1】 从1、2、3、„„、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？

分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c，可知b由a,c决定，又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，„„，19或2，4，6，8，„„，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，A（10,2）*2=90*2，因而本题为180。

【例2】 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入：

（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步；

（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；

（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右；

从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数。∴ 本题答案为：C（8,3）=56。分析

分析是分类还是分步，是排列还是组合

注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。【例3】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种？ 分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。第一类：A在第一垄，B有3种选择；

第二类：A在第二垄，B有2种选择； 第三类：A在第三垄，B有1种选择，同理A、B位置互换，共12种。

【例4】从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有多少种？（A)240(B)180(C)120(D)60 分析：显然本题应分步解决。

（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；

（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。

（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；

（四）由于选取与顺序无关，因

（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。或分步

⑴从6双中选出一双同色的手套，有C（6,1）=6种方法 ⑵从剩下的5双手套中任选两双，有C（5,2）=10种方法

⑶从两双中手套中分别拿两只手套，有C（2,1）³C（2,1）=4种方法。同样得出共⑴³⑵³⑶=240种。

【例5】．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C（6,2）³C（4,2）³C（2,2）=90种。

【例6】在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法? 分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。

以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。第一类：这两个人都去当钳工，C（2,2）³C（5,2）³C（4,4）=10种； 第二类：这两个人都去当车工，C（5,4）³C（2,2）³C（4,2）=30种； 第三类：这两人既不去当钳工，也不去当车工C（5,4）³C（4,4）=5种。

第四类：这两个人一个去当钳工、一个去当车工，C（2,1）³C（5,3）³C（4,3）=80种；

第五类：这两个人一个去当钳工、另一个不去当车工，C（2,1）³C（5,3）³C（4,4）=20种；

第六类：这两个人一个去当车工、另一个不去当钳工，C（5,4）³C（2,1）³C（4,3）=40种；

因而共有185种。

【例7】现有印着0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数? 分析：有同学认为只要把0，1，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。抽出的三数含0，含9，有32种方法； 抽出的三数含0不含9，有24种方法； 抽出的三数含9不含0，有72种方法； 抽出的三数不含9也不含0，有24种方法。因此共有32+24+72+24=152种方法。

【例8】停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法有多少种? 分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有A（9,9）=362880种停车方法。特殊优先

特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。【例9】六人站成一排，求

⑴甲、乙既不在排头也不在排尾的排法数

⑵甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数 分析：⑴按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数 第一步：排出首位和末尾、因为甲乙不在首位和末尾，那么首位和末尾实在其它四位数选出两位进行排列、一共有A（4,2）=12种；

第二步：由于六个元素中已经有两位排在首位和末尾，因此中间四位是把剩下的四位元素进行顺序排列，共A（4,4）=24种；

根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共12³24=288种。⑵第一类：甲在排尾，乙在排头，有A（4,4）种方法。第二类：甲在排尾，乙不在排头，有3³A（4,4）种方法。第三类：乙在排头，甲不在排尾，有3³A（4,4）种方法。

第四类：甲不在排尾也不在排头，乙不在排头也不在排尾，有6³A（4,4）种方法（排除相邻）。

共A（4,4）+3³A（4,4）+3³A（4,4）+6³A（4,4）=312种。

【例10】对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能? 分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。

第一步：第五次测试的有C（4,1）种可能； 第二步：前四次有一件正品有C（6,1）中可能。第三步：前四次有A（4,4）种可能。∴ 共有576种可能。捆绑与插空

【例11】8人排成一队 ⑴甲乙必须相邻 ⑵甲乙不相邻

⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻 ⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻 ⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻

分析：⑴甲乙必须相邻，就是把甲乙 捆绑（甲乙可交换）和7人排列A（7,7）³A（2，2）

⑵甲乙不相邻，A（8,8）-A（7,7）³2。或A（6,6）³A(7,2)

⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻，先求甲乙必须相邻且与丙相邻A（6,6）³2³2 甲乙必须相邻且与丙不相邻A（7,7）³2-A（6,6）³2³2 ⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻A（6,6）³2³2

⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻，A（8,8）-A（7,7）³2³2+A（6,6）³2³2

【例12】某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况? 分析：∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即A（5,2）。

【例13】 马路上有编号为l，2，3，„„，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种? 分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。∴ 共C（6,3）=20种方法。方法二：

把其中的3只灯关掉总情况有C（8，3)种 关掉相邻的三只有C（6，1)种

关掉相邻的两只有2*C（7，2)-12种

所以满足条件的关灯方法有:

C（8，3)-C（6，1)-[2*C（7，2)-12]

=56-6-(42-12)

=20种 间接计数法 ⑴排除法

【例14】三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形? 分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。

所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，∴ 共76种。

【例15】正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体? 分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，∴ 共C（8,4）-12=70-12=58个。

【例16】1，2，3，„„，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数? 分析：由于底数不能为1。

⑴当1选上时，1必为真数，∴ 有一种情况。

⑵当不选1时，从2--9中任取两个分别作为底数，真数，共A（8,2）=56，其中log2为底4=log3为底9，log4为底2=log9为底3,log2为底3=log4为底9,log3为底2=log9为底4.因而一共有56-4+1=53个。

【例17】 六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相邻），共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢? 分析：

（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有A(6，6)/2=360种。

（二）先考虑六人全排列A(6,6)种；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了A(3,3)种，∴ 有A(6，6)/A(3,3)=120种。

【例18】5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法? 分析：首先不考虑男生的站位要求，共A（9,9）种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了A(5,5)次。因而有A(9,9,)/A(5,5,)=9³8³7³6=3024种 若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法，同理也有3024种，综上，有6048种。

【例19】 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法? 分析：先认为三个红球互不相同，共A（5,5）=120种方法。

而由于三个红球所占位置相同的情况下，共A（3,3）=6变化，因而共A（5,5）/A（3,3）=20种。

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列（即排序）。（P是旧用法，教材上多用A，Arrangement)公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。挡板的使用

【例20】10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法? 分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共36种。区别与联系

所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段（排序）可转化为排列问题。

【例21】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，⑴可组成多少个不同的四位数? ⑵可组成多少个不同的四位偶数

⑶可组成多少个能被3整除的四位数? 分析：⑴有A（6,4）-A（5,3）=300个。

⑵分为两类：0在末位，则有A（5,3）=60种：0不在末位，则有C（2,1）³A（5,3）-C（2,1）³A（4,2）=96种。∴ 共60+96=156种。

⑶先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选 0，1，2，3 0，1，3，5 0，2，3，4 0，3，4，5 1，2，4，5 它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有：4³[A（4,4）-A（3,3）]+A（4,4）=96种。分组问题

【例22】 5名学生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，则分配方法共有多少种？

分析：

（一）先把5个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。

其中涉及到平均分成四组，有C（5,3）=10种分组方法。可以看成4个板三个板不空的隔板法。

（二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有A（4,4）=24种，由

（一）（二）可知，共10³24=240种。几何问题

【例23】某区有7条南北向街道，5条东西向街道（如右图）⑴图中共有多少个矩形？

⑵从A点到B点最近的走法有多少种？

分析：⑴在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线 可组成1个矩形，故可组成矩形C（7,2）²C（5,2）=210个

⑵每条东西向的街道被分成4段，每条南北向的街道被分成6段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的，共有C（10,6）=C（10,4）=210种走法（同样可以从10段中选出4段走南北方向，每一种选法即是1种走法）。所以共有210种走法。口诀

排列、组合、二项式定理公式口诀：

加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。[4] 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。四，概率问题（基于排列组合）

（一）基础计算题

（二）分步乘法型=满足条件的每个步骤的概率之积（猜密码）；

（三）分类加法型=总体概率=满足条件的各种情况概率之和（比赛问题）；

（四）逆向计算型=某条件成立概率=1-该条件不成立的概率；

（五）拓展技巧型

1.几何概率：满足条件的概率=满足条件的几何区域面积（总几何面积）； 2.条件概率：“A成立”时，“B成立”的概率=“A,B同时成立的概率/A成立的概率”； 3.概率期望值：各个实现值乘以各自成立的概率，最后再相加。五，抽屉原理

1.最不利原则：考虑对于需要满足的条件的“最不利情况”，最后加“1”即可； 2.遇到有排列组合的，先算出排列组合再算最不利原则。

第七章 比例计算模块 一，溶液问题—基本方法—十字相乘（注意饱和溶液陷阱）1.混合稀释型

③ 溶液倒出比例为a％的溶液，再加入相同的溶液，则浓度变为：1-a％； ④ 溶液加入比例为a％的溶液，再倒出相同的溶液，则浓度变为：1/1+a％ 2.在浓有关度问题中，有类题目不涉及具体溶液总量，只涉及溶质和溶液的相对比例，通常令其中的“不变量”或者“相等量”为一特值，简化计算过程。行测考试中，“溶液问题”是一类典型的“比例型”计算问题，大家首先要熟悉“溶液”、“溶质”和“溶剂”三者的关系，这是解题的基础和关键，然后考生还需掌握溶液问题常用的方法和技巧，比如方程法，赋值法等。

一、需要掌握的关键点

溶液=溶质+溶剂;浓度=溶质÷溶液;

溶质=溶液³浓度;溶液=溶质÷浓度

二、重点题型

溶质不变型(简单溶液混合、等溶质增减溶剂、溶液比例问题)

溶质变化型(混合稀释问题)

饱和浓度型

三、重点方法

简单溶液混合：运用溶液基本概念或基础公式

等溶质增减溶剂：设处溶质，得出溶液，即可解决

溶液比例问题：运用设整思想，根据所给条件将溶质或者溶液设出

溶质变化混合稀释问题：抓住浓度本质，看溶质最后剩下多少就能快速得到答案

四、例题巩固

1、溶质不变型

例：一容器内有浓度为30%的糖水，若再加入30千克水与6千克糖。则糖水的浓度变为25%。问原来糖水中含糖多少千克?()

A.15千克 B.18千克

C.21千克 D.24千克

【答案】B

【讲授说明】方程法。设原有糖水里糖为3X，则糖水的质量为10X，(3X+6)÷(10X+36)=25%。可知3X=18，原有糖水中含糖18千克。

2、溶质变化型

例：杯中原有浓度为18%的盐水溶液100ml，重复以下操作2次，加入100ml水，充分配合后，倒出100ml溶液，问杯中盐水溶液的浓度变成了多少?

A.9% B.7.5% C.4.5% D.3.6%

【答案】C

【讲授说明】加入比例为1，则浓度为：18%³(1/2)2=4.5%,选择C。

小结：等于混合稀释型溶液问题，需记得下列两个公式：

溶液到出比例为M的溶液，再加入相同的溶液，则浓度变成原来的(1-M)

溶液加入比例为M的溶剂，再倒出相同的溶液，则浓度变成原来的1/1+M

3、饱和浓度型

例：将28g某种溶质放入99g水中恰好配成饱和溶液，从中取出溶液加入4g溶质和11g水，请问此时浓度

A.21.61% B.22.05% C.23.53% D.24.15%

【答案】B

【讲授说明】由于99g水最多可溶解28g溶质，则11g水最多可溶解28/9g溶质，即小于4g的溶质，因此饱和溶液加入4g和11g谁为饱和溶液，故浓度为28/(28+99)=22.05%。

小结：判断溶液的浓度，首先要判断溶液是否饱和。特别是题目中出现“饱和”字眼，或再次加溶质的问题，一定要判断溶液是否饱和。

二，牛吃草问题

经典公式：原有草量=（牛头数-每天草长量）*天数

草长速度=（牛头数1*吃草时间1-牛头数2*吃草时间2）/（吃草时间1-吃草时间2）① 基本公式题型

牛头数*天数=原有草量+每天草长量*天数；

当题干出现“连续不断的开采”或“不至于枯竭”时，指的是时间整无穷大； ② 牛羊混吃型

将其全部转化为牛或羊，再代入公式进行计算； ③ 自然消亡型（不用牛吃草也可以自行消亡）

当计算出草长量为负数时，则不是自然生长，而是自然消亡； ④ 大小草场型

如果草场有面积区别“如m头牛吃w亩草”，则N用m/w表示； 将题干转换成m/w头牛，一亩地，吃多长时间； ⑤ 增添型或撤减型

N出现阶段性变化，则先算出总量，再根据：时间*（牛头数-草长速度）来计算； ⑥ 特殊变形

售票厅或收银员问题（针对好每个量对应牛吃草中的含义）；

行测秒杀技巧之“牛吃草”问题

【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】 草总量＝原有草量＋草每天生长量³天数

【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？

解 草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量³天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量

因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1³10³20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以

1³10³20＝原有草量＋20天内生长量

同理 1³15³10＝原有草量＋10天内生长量

由此可知（20－10）天内草的生长量为

1³10³20－1³15³10＝50

因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5（2）求原有草量

原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1³15³10－5³10＝100

（3）求5 天内草总量 5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5³5＝125（4）求多少头牛5 天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。

因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头）答：需要5头牛5天可以把草吃完。

例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？

解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：（1）求每小时进水量

因为，3小时内的总水量＝1³12³3＝原有水量＋3小时进水量 10小时内的总水量＝1³5³10＝原有水量＋10小时进水量

所以，（10－3）小时内的进水量为 1³5³10－1³12³3＝14 因此，每小时的进水量为 14÷（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1³12³3－3小时进水量＝36－2³3＝30（3）求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是 30÷（17－2）＝2（小时）

答：17人2小时可以淘完水。

华图差量法解读牛吃草：

牛吃草问题是公务员考试中比较难的一类问题，常规的解决牛吃草问题的办法是牛吃草公式，即y=（N-x）³T，其中y代表原有存量（比如原有草量），N代表促使原有存量减少的外生可变数（比如牛数），x代表存量的自然增长速度（比如草长速度），T代表存量完全消失所耗用时间。注意此公式中默认了每头牛吃草的速度为1。运用此公式解决牛吃草问题的程序是列出方程组解题，具体过程不再详细叙述，接下来我们从牛吃草公式本身出发看看此公式带给我们的信息。

牛吃草公式可以变形为y+Tx=NT，此式子表达的意思是原有存量与存量增长量之和等于消耗的总量，而一般来说原有存量和存量的自然增长速度是不变的，则在此假定条件下我们可以得到x△T=△(NT)，此式子说明两种不同吃草³方式的该变量等于对应的两种长草方式的改变量，而且可以看出草生长的改变量只与天数的变化有关，而牛吃草的改变量与牛的头数和天数都有关。这个式子就是差量法解决牛吃草问题的基础。例如：

例

1、有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？（）（2003年广东公务员考试行测第14题）

A、20 B、25 C、30 D、35

这道题目用差量法求解过程如下：设可供x头牛吃4天。则10头牛吃20天和15头牛吃10天两种吃法的改变量为10³20—15³10,对应的草生长的改变量为20—10；我们还可以得到15头牛吃10天和x头牛吃4天两种吃法的改变量为15³10—4x,对应的草生长的改变量为10—4。则我们可以列出如下的方程：

=，解此方程可得x=30。

如果求天数，求解过程是一样的，比如下面这道题目：

例

2、林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可以在9周内吃光，21只猴子可以在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）（）（2007年浙江公务员考试行测A类第24题）

A、2周B、3周C、4周D、5周

这道题目可设需要x周吃光，则根据差量法列出如下比例式：

=，解此方程可得x=4.以上两种情况是最常规的牛吃草问题，实际上牛吃草问题还有很多变形，比如有些时候牛吃草的速度会改变，但是依然可以用差量法解决。

例

3、一个水库在年降水量不变的情况下，能够维持全市12万人20年的用水量。在该市新迁入3万人之后，该水库只够维持15年的用水量，市政府号召节约用水，希望能将水库的使用寿命提高到30年。那么，该市市民平均需要节约多少比例的水才能实现政府制定的目标？（）（2009年国家公务员考试行测试卷第119题）

A、2/5

B、2/7

C、1/3

D、1/4

这道题目设该市市民需要节约x比例的水才能实现政府制定的目标。则12万人20年和15万人15年两种吃水方式的差为12³20—15³15，对应的降水量的改变量为20—15；15万人30年与15万人15年两种吃水方式的差为15³（1—x）³30-15³15，对应的降水量的改变量为30—15，则可列出如下的比例式：

=，解此方程得x=2/5。

如果改变的是草生长的速度一样可以用差量法解答。例如下面的例子：

例

4、在春运高峰时，某客运中心售票大厅站满等待买票的旅客，为保证售票大厅的旅客安全，大厅入口处旅客排队以等速度进入大厅按次序等待买票买好票的旅客及时离开大厅。按照这种安排，如果开出10个售票窗口，5小时可使大厅内所有旅客买到票；如果开出12个售票窗口，3小时可使大厅内所有旅客买到票，假设每个窗口售票速度相同。如果大厅入口处旅客速度增加到原速度的1.5倍，在2小时内使大厅中所有旅客买到票，按这样的安排至少应开售票窗口数为（）（2008年江苏公务员考试行测试卷C类第19题）

A.15 B.16 C.18 D.19

此题设至少应开售票窗口数为x。10个售票窗口5小时可使大厅内所有旅客买到票和开出12个售票窗口3小时可使大厅内所有旅客买到票两种方式票的差量为5³10—3³12，对应的旅客差量为5-3；10个售票窗口5小时可使大厅内所有旅客买到票和大厅入口处旅客速度增加为原速度1.5倍时开出x个售票窗口2小时可使大厅内所有旅客买到票这两种方式的差量为5³10—2x，对应的旅客差量为5-2³1.5，则可列出下列比例式：

=

解得x=18。

除了上述两种变形的情况以外，还有另外一种变形的牛吃草问题，即改变原有草量。此种类型的题目表面上看似乎不能用差量法解了，实际上经过简单的变换后依然可以用差量法解答，比如：

如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？（）

A、50

B、46

C、38

D、35

根据题意我们可以知道40公亩牧场吃54天需要22³40÷33=80/3头牛，而40公亩牧场吃84天需要17³40÷28=170/7头牛，列出差量法的比例式如下：

=，解得x=35。

本例子中出现了不是整头牛的情况，不太容易理解，实际上把消耗量的整体看作一个整体的话，牛的数目并不重要，只要计算出消耗草的能力即可。

综上所述，差量法是一种比牛吃草公式更为简捷的办法，而且对于所有变形的牛吃草问题都适用，是一种很值得推广的方法。核心公式

【熟记】 牛吃草问题的核心公式：草场草量=（牛数－每天长草量)×天数，通常设每天长草量为x 基础题型演练

【例1】有一块牧场可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供25头牛吃？天

【解答】 根据核心公式：（10－x)×20=（15－x)×10=（25－x)×？

（10－x)×20=（15－x)×10→x=5

将x=5代入，?=5

【例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供?头牛吃4天

【解答】 根据核心公式：（10－x)×20=（15－x)×10=（?－x)×4（10－x)×20=（15－x)×10→x=5

将x=5代入，?=30 较为复杂的情形

【例3】22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽；

17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽；

？头牛吃40公亩牧场的草，24天可以吃尽？

A.50 B.46 C.38 D.35

【解答】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供x头牛吃1天，每公亩牧草量为y 根据核心公式：33y=（22－33x)×54→y=（2－ 3x)×18=36－54x 28y=（17－28x)×84→y=（17－28x)× 3=51－84x

40y=（?－40x)×24 36－54x=51－84x→x=1/2→y=9

40×9=(?-20)×24→?=35 其它情形 ：漏水问题，排队等候问题...等均可看作这种问题。

三，钟表问题

1.钟表一圈分成12格，则时针每小时转一格30°，分针12格/小时； 2.钟表表面每两格之间30°，时针与分针成某种角度都有对称的两种； 3.重合问题的实质是追击问题

4.快钟，慢钟问题，根据标准时间进行对比（常用比例法）；

时钟问题是一类古典题型，在行测考试中经常出现。有关时钟问题的题目中，考查得比较多的是表盘计算与快慢钟计算问题，在本文中，华图公务员[微博]考试研究中心将给出解决这两类问题的思路方法。1.表盘计算

表盘计算，主要涉及的是时间和指针(通常是时针和分针)角度的对应关系。我们知道，n点时，分针与时针之间的角度为30n度(这个度数是指分针沿顺时针方向到时针的度数)；同时，时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6°，所以过m分时，分针比时针多走度(6-0.5)m=5.5m，因此，n点m分时，时针和分针之间的角度就应该是30n-5.5m度(这个度数仍然是指分针沿顺时针方向到时针的度数)。

这样，我们就得到了关于表盘计算的核心公式：n点m分，时针和分针之间的角度为30n-5.5m度，利用该公式，我们可以轻松解决很多行测考试中的表盘指针计算问题。关于该公式的使用，需注意以下两点：1.该公式算出的度数为分针沿顺时针方向到时针的度数，因此，若算出的角度为负数，则取其绝对值；若算出的角度大于180°，则用360°减去该角即可；2.当时间为12点时，取n=12或n=0皆可，但为了计算方便，往往取n=0。

【例3】(黑龙江2010)张某下午六时多外出买菜，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°，那么张某外出买菜用了多少分钟？()A.20分钟 B.30分钟C.40分钟 D.50分钟 [答案]C

2.快慢钟计算

钟表问题中，常常涉及到的第二类问题就是快慢钟问题。快慢钟的产生，是因快(慢)钟走的速度与标准钟走的速度不同导致的，所以，快慢钟问题本质上是比例行程问题，解决快慢钟问题的关键，是抓住不同钟表的“速度比”。

【例1】(深圳事业单位2010)火车速度为118千米/时，一位旅客的手表比标准时间每小时要慢1分钟，则在该旅客手表所显示的2小时内，火车跑了大约()千米。A.230 B.236 C.240 D.248 [答案]C

【例2】(河北2009)一个快钟每小时比标准时间快3分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢2分钟。如果将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示11点整时，慢钟显示9点半。则此时标准时间是()A.10点35分 B.10点30分C.10点15分 D.10点06分 [答案]D

【例3】(浙江2010)有一只怪钟，每昼夜设计成10小时，每小时100分钟。当这只怪钟显示5点时，实际上是中午12点，当这只怪钟显示8点50分钟，实际上是什么时间？()A.17点50分 B.18点10分C.20点04分 D.20点24分 [答案]D

由以上例题可以看出，处理“已知时间，求角度”的问题，直接使用表盘计算公式计算即可，而在处理“已知角度，求时间”的问题时，分析出分针沿顺时针方向到时针的度数是正确使用表盘计算公式的关键之处。

而对于快慢钟问题，首先需根据已知条件找出不同钟表的“速度比”，再根据“速度比”求出题目中要求的时间。只要掌握了以上两种问题的处理方法，便能轻松应对行测考试中的时钟问题了。

第八章 初等数学模块

一，最大公约数和最小公倍数（短除法）

1.小数分数型

① 将给定的小数和分数乘以N（可以不是整数），使之全部变为整数； ② 求第一步得到的整数的最大公约数和最小公倍数；

③ 将得到的最大公约数和最小公倍数分别除以N，即是结果； 2.约数个数型

如果将一个数进行质因数分解，把各个质因数的幂次分别加1，再相乘，得到的数字就是这个数字的约数的个数，最小公约数为1，最大公约数为自己 例如：360=2³*3²*5，共有（3+1）*（2+1）*（1+1）=24个约数； 二，多位数字问题

代入排除法：逐位选择型（考虑各个位置可以选择的范围，利用排列组合）页码数字型：利用公式 三位数页码公式—页码=字数÷3+36，多位数表示型：100a+10b+c； 三，余数同余问题 1.代入排除法，2.余数等式型：被除数=除数*商+余数（0≤余数＜除数）3.余同加余，和同加和，差同补差，公倍数做周期

4.经典题型：

在1000以内除以3余2，除以7余3，除以11余4的数共有几个？

挨个尝试：满足除以3 余2 的数有：2,5,8,11,14,17„„；同时满足除以7余3的第一个数是17，→同时满足两个条件的是21N+17；同理所求在21N+17中找第一个满足除以11余4 的数是59，所以，同时满足三个条件的数是：21N*11+59=231N+59.四，平均数值问题

核心公式：总和=平均数*个数，等差数列中，平均数=中位数； 1.总体平均数：直接利用公式，列方程解决； 2.等差中位数 若条件是给出“等差数列”，我们可以通过计算其“平均数”来得到数列的“中位数”； 3.参照相对数

当数字较大时，我们可以以平均数作为参照，计算所有数字减去平均数之后的相对数字，用这个相对数字来代替原来的数字，这样可以简化计算。五，星期日期问题 1.星期每七天一循环

2.“每隔N天”指的是“每N+1天”，但是“每隔N小时”，就是“每N小时”； ① 日期加总型：实质是等差数列，注意跨年/跨月的情况； ② 日期推断型，按整月计算，③ 星期推断型，如果条件日期与提问日期相差不到一年，利用上述方法计算；

如果提问N年之后星期几=N天之后（无闰年）；

如果之间有闰年，先按平年计算，再看之间经过几个2月29日； 六，循环周期

若一连串事物以“T”为周期，且“A÷T=N„„a”,那么第A项等于第a项； ① 以7为分母的分数，化为小数后，循环周期为6；

② 若算余数时出现整数，即余数为0，那就等同于周期的最后一项。

第九章 行程问题模块

一，基础计算型—方程，方程组，比例法（尽量多设未知数，多列方程）

（一）双人运动型—比例法

（二）变速运动型—比例法

（三）提前出发型—提前多长时间出发，就相当于多用了多长时间；

（四）迟到早到型—迟到多长时间就多用多长时间，早到多长时间就少用多长时间；

（五）火车运动型—桥长+车长；

（六）比例计算型—S甲/S乙=V甲/V乙*T甲/T乙，若T相等，S与V成正比；若V相等，S与T成反比；若S相等，V与T成反比；

（七）间歇运动型—考虑与选项相近的一个整周期，带入其中进行计算； 二，相对速度问题

相对速度问题中，带入公式计算出的速度是两个速度的和或差；

（一）相遇追击型：

1.相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）*相遇时间； 2.追击问题：追击距离=（打速度-小速度）*相遇时间； 3.背离问题：背离距离=（打速度+小速度）*背离时间；

（二）环形运动型

1.反向运动：第N次相遇路程和为N个周长

环形周长=（大速度+小速度）*相遇时间； 2.同向运动：第N次相遇路程差为N个周长

环形周长=（大速度-小速度）*相遇时间；

（三）流水行船问题

1.顺水：S=（V船+V水）*T顺，V静=（V顺+V逆）/2； 2.逆水：S=（V船-V水）*T逆，V水=（V顺-V逆）/2；

（四）上下扶梯型

1.顺行：扶梯长度=（V人+V梯）*V顺，L梯=S人+S梯； 2.逆行：扶梯长度=（V人-V梯）*V逆，L梯=S人-S梯；

（五）队伍行进型（同追击，相遇）

（六）往返相遇型（画图数关键）1.两端同时出发型

第N次迎面相遇，路程和=全程*（2N-1），第N次追击相遇，路程差=全程*（2N-1）；

2.一端出发型

第N次迎面相遇，路程和=全程*2N，第N次追击相遇，路程差=全程*2N;三，典型行程模块

（一）等距离平均速度：V=2V1V2/V1+V2(结果略小于算数平均数)，（二）等时间间隔发车

发车时间间隔=2V1V2/V1+V2=T，V车/V人=T1+T2/T1-T2；

（三）不变速沿途数车

计算出途中所见车辆的出发时间，从而确定可以遇到的车辆数，（四）不间歇相遇（只限两次）1.单岸型：S=3S1+S2/2，2.两岸型：S=3S1-S2；

（五）无动力顺水漂流

漂流时间T=2T顺*T逆/T逆-T顺

行程问题经典例题解析：

一、相遇问题 1.一次相遇

例1.甲、乙二人同时从相距54千米的A、B两地同时相向而行，甲的速度为4千米/时，乙的速度为5千米/时。问：假设甲乙相遇地点为C，则CB相距多少千米?这一段路程和甲乙第一次相遇时乙走过的路程是什么关系? 解析：CB为30千米，即为到第一次相遇时乙走过的路程。甲再一次回到C点是从B到的C，故甲走过的路程实际上是一个全程加上CB，即54+30=84(千米);甲乙再一次相遇的时候，两人走过的路程和为3倍的全程，每个人所走过的路程也是他第一次相遇时走过的路程的3倍，则甲走过的路程是24³3=72(千米)(甲第一次相遇时走过的路程为4³6=24千米)。2.多次相遇

例2.甲从A地、乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离A地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，则AB两地相距多少千米? 解析：根据“多次相遇中的2倍关系”原理，可知甲从第一次相遇之后到第二次相遇走了6³2=12千米，在整个时间段内甲走了6+12=18千米。因为甲是到达B地之后返回，相遇地点距离B地3千米，因此AB两地间的距离是18-3=15千米。3.环行相遇问题

例题3.甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多少分钟才能在A点相遇?【2011-事业单位】 A.10 B.12 C.13 D.40 解析：甲、乙要在A点相遇，则甲、乙行走的路程必是400的整数倍，而甲乙的速度和是130米/分钟，设所需时间为t，则有130t必然是400的倍数，排除A、B、C三项，选择D。若正面求解：甲走一圈需400÷80=5分钟;乙走一圈需400÷50=8分钟，取5和8的最小公倍数，即40分钟。

二、追及问题

1.两者追及问题 例4.高速公路上行驶的汽车A的速度是100公里每小时，汽车B的速度是每小时120公里，此刻汽车A在汽车B前方80公里处，汽车A中途加油停车10分钟后继续向前行驶。那么从两车相距80公里处开始，汽车B至少要多长时间可以追上汽车A? A.2小时 B.3小时10分 C.3小时50分 D.4小时10分

解析：汽车AB间的追及距离为80公里，当A车加油停车时两者的速度差为120公里每小时，当A车行驶时两者速度差为120-100=20公里每小时。A车加油的10分钟B车追上120³ =20公里。剩下80-20=60公里，B车追上用时为60÷20=3小时。故汽车B至少要3小时10分钟可以追上汽车A。

备考：相遇问题里面有多次相遇，那么追及里面的多次追及有没有，如果有是怎么样的情况? 1.环形追及问题

例5.甲乙分别在环形跑道的直径上同时同向出发，环形跑道周长为60米，甲得速度为60米/分，乙的速度为70米/分，那么乙要多少分钟才能第二次追上甲? 解析：甲乙为追及问题，甲乙的速度差为10米/分，环形周长为60米，所以第一次追上的追及路程为30米，所以用了3分钟，第二次追上甲追及路程为一个环形跑道的周长，即需要用6分钟，那么总共用了9分钟。

三、流水行船问题

例6.一客船往返于A、B两地，已知A、B相距36千米，客船一往一返分别需要2小时和3小时，假设水流速度保持不变，求水流速度及船速分别是多少千米/小时? A.5，13 B.4，14 C.3，15 D.2，16 解析：设水速为x千米/小时，船的静水速度是y千米/小时，则有下面两个方程：，解得：x=3，y=15 备考：商场里面的扶梯问题;人在风中行走„等也属于流水行船问题。

四、牛吃草问题

例7.有一牧场长满牧草，每天牧草匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，问可供25头牛吃多少天? A.8 B.6 C.5 D.4 解析：此题为典型的牛吃草问题。设一头牛一天吃草量为1，牧草的生长速度为x，牧场可供25头牛吃t天。根据题意可得(10-x)³20=(15-x)³10=(25-x)³t，由第一个等式解得x=5，代入x解得t=5天，故选择C。

备考：池塘抽水问题;森林砍树问题...也都属于牛吃草问题。

五、时钟问题

例8.四点半钟后，时针与分针第一次成直线的时刻为()。

A.4点40分 B.4点45 分

C.4点54 分 D.4点57分

解析：时针一小时走30度，每分钟走0.5度;分针1分钟走6度。四点半时，时针与分针的夹角是45度，则第一次成直线需要(180-45)÷(6-0.5)=24又54又分时第一次成直线。

分，即4点备考：时钟问题里面还常常考一个钟坏了，经过多少时间，坏钟实际时间等。

六、接送问题

例9.AB两个连队同时分别从两个营地出发前往一个目的地进行演习，A连有卡车可以转载正好一个连的人员，为了让两个连队的士兵同时尽快到达目的地，A连士兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接B连的士兵，两营的士兵恰好同时到达目的地，已知营地与目的地之间的距离为32千米，士兵行军速度为8千米/小时，卡车行驶速度为40千米/小时，求两营士兵到达目的地一共要多少时间? 解析：由于卡车的速度为士兵行军速度的5倍，因此卡车折回时已走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的3倍，而卡车折回所走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的2倍，卡车接到B连士兵后，还要行走3倍B连士兵遇到卡车时已走路程的才能追上A连士兵，此时他们已经到达了目的地，因此总路程相当于4倍B连士兵遇到卡车时已走路程，所以B连士兵遇到卡车时已走路程为8千米，而卡车的总行程为(3+2+3)³8=64，这一段路，卡车行驶了64/40=1.6小时，即1小时36分钟也是两营士兵到达目的地所花的时间。

第十章 几何问题模块 一，几何公式法

1.几何长度

正方形周长C正=4a，C长=2（a+b），C圆=2πR，C扇=n/360°*2πR，2.几何面积

S正=a²，S菱或正=（对角线1*对角线2）/2，S圆=πR²，S△=ah/2=absinc/2=acsinb/2=bcsina/2，S梯=（a+b）h/2，S扇=n°/360*πR²，S球表面积=4πR²=πD²，3.几何体积

V正=a³，V长=a*b*c，V球=4/3πR³，V棱柱=SH,V圆锥=1/3SH=1/3πR³，特殊勾股数：5,12,13；7,24,25；8,15,17；10,24,26； 二，割，补，平移（单一或组合使用）

1.分割求解型

将一个不规则的图形分割成多个有规则的部分 2.嵌套求补型

当两个规则图形存在包含关系的时候，大规则图形挖去小规则图形所剩下的形状往往是不规则的，其面积一般是两个有规则面积的差； 3.平移补齐型

4.立体切割型（利用空间想象）； 三，几何特性法

1.一个几何图形，若其尺度为原来的M倍，则：

①内角角度不变，②边长为原来的M倍，③面积原来的M²倍，④体积为原来的M³倍 2.①平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大； ②平面图形中，若面积一定，越接近于圆，面积越小； ③立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大； ④立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越小； 四，几何极端问题

（一）植树问题

1.单边线性植树，棵树=总长÷间隔+1；总长=（棵树-1）*间隔； 2.单边环形植树，棵树=总长÷间隔，总长=棵树*间隔； 3.单边楼间植树，棵树=总长÷间隔-1，总长=（棵树+1）*间隔；

（二）方阵问题

1.最外层 每条边有M个人：

三角形 3M-3，五边形 5M-5，四方形 4M-4，M边型 MN-N，2.M排N列 长方形方阵（实心）S总=M*N, 最外层：2M+2N-4，S总=M²，最外层：4N-4，① 无论是矩形，还是长方形，相邻两圈差8人，② 在方阵中，总人数=N²=（最外层÷4+1）²，3.①M排N列长方形（一行一列），M*N-（M-1）*（N-1）； ②N排N列的方阵（一行一列），N²-（N-1）²； ③N排N列的方阵（最外一层），N²-（N-2）²； ④N排N列的方阵（最外二层），N²-（N-4）²；

（三）排队型

队伍有N人，A排在第M位，则A前面有M-1人，后面有N-M人，（四）爬楼梯问题

1.从地面爬到第N层楼，要爬N-1层，休息N-2次； 2.从M楼爬到N楼，要爬|M-N|层楼，休息|M-N|-1次；

（五）割绳子问题

一条绳子，对折N次，切M刀，分成X段，X=2的N次方*M+1（X必为奇数）；

（六）空间分割问题

1.N条直线分割平面或分割圆

当N取1,2,3,4,5,6，7,8,9,10时，可把空间分成2,4,7,11，16,22,29,37,46,56份； 是一个差为2,3,4,5,6,7,8,9,10的二级等差数列； 2.N个圆分割平面

当N取1,2,3,4,5,6,7,8,9,10时，可把平面分割成2,4,8,14,22,32,44,58,74,92份； 是一个差为2,4,6,8,10,12,14,16,18的二级等差数列；

第十一章 趣味杂题模块

一，比赛问题

N支队伍单循环，共有N*（N-1）/2场比赛，淘汰赛：注意轮空—最常用方法：

二，年龄问题（年龄差永远不会变）--尽可能根据条件多列方程 1.核心知识点

主要特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变。年龄问题往往是“和差”“差倍”等问题的综合应用。解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。解答年龄问题的一般方法：几年后的年龄=大小年龄差÷倍数差－小年龄 ；

几年前的年龄=小年龄－大小年龄差÷倍数差 ；

2.解题方法

（一）直接分析法

例题1：父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的年龄的8倍时，父子的年龄和是多少？

A.36 B.54 C.99 D.162 【答案详解】父子的年龄差是一个不变量，二者的年龄差为44-16=28岁。因此，当父亲的年龄是儿子的8倍时，儿子的年龄为28÷（8-1）=4岁，此时父子的年龄和为4³（8+1）=36岁。

例题2：在一个家庭中有爸爸、妈妈、女儿和儿子。现在把所有成员的年龄加在一起是77岁，爸爸比妈妈大3岁，女儿比儿子大2岁。5年前，全家所有人的年龄总和是58岁。现在爸爸的年龄是多少岁？ A.67 B.32 C.35 D.78 【答案详解】根据5年前全家所有人的年龄和是58岁，可以推出现在全家人的年龄总和应该是58+4³5=78岁。但实际上的年龄总和却是77岁，差了1岁，说明有一个人只长了4岁，这个人只能是儿子（5年前尚未出生）。女儿就应该是4+2=6岁，现在父母的年龄和是77-4-6=67岁，又知他们的年龄差是3岁，可求出爸爸的年龄是（67+3）÷2=35岁。

（二）方程法

例题3：1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁? A．34岁，12岁 B．32岁，8岁 C．36岁，12岁 D．34岁，10岁

【答案详解】设1998年乙的年龄是x岁，那么甲的年龄是4x岁。从1998年到2002年经过了4年，两个人都长了4岁，那么这个时候，甲的年龄是4x+4岁，乙的年龄是x+4岁。由于甲的年龄是乙的 3倍，所以，4x+4=3（x+4），x=8。也就是说1998年，乙的年龄是8岁，则2000年的年龄是10岁，直接选择D。

（三）和差倍关系法

例题4：2004年小强小学毕业时正好12岁，妈妈40岁，多少年前妈妈的年龄正好是小强的5倍？

A.4 B.5 C.8 D.7 【答案详解】妈妈和小强的年龄差为40-12=28岁；当妈妈的年龄是小强的5倍时，妈妈与小强的年龄差就相当于小强年龄的4倍，此时小强的年龄为28÷（5-1）=7岁。12-7=5，故5年前妈妈的年龄正好是小强的5倍。

（四）表格法 例题5：5年前甲的年龄是乙的3倍，10年前甲的年龄是丙的一半，若用y表示丙当前的年龄，下列哪一项能表示乙当前的年龄？

（五）数轴法

例题6：甲、乙两人年龄不等，已知当甲像乙现在这么大时，乙8岁；当乙像甲现在这么大时，甲29岁。问今年甲的年龄为多少岁？ A．22 B．34 C．36 D．43

（六）代入排除法

例题7：张繁30多岁时她女儿出生，2008年她女儿的年龄是她的年龄5的倍数，2009年张繁多少岁？

A.61 B.51 C.62 D.52 【答案详解】由题意可知，2008年张繁的年龄为5的倍数，因此2009年张繁的年龄除以5余1，排除C、D两项。

若2008年张繁60岁，则她女儿为24岁，张繁36岁时女儿出生，符合题意，选择A。

若2008年张繁50岁，则她女儿为20岁，张繁30岁时女儿出生，不符合题意，排除。

第二篇：事业单位数量关系解题技巧总结

数字敏感度训练

1、现在有10颗树，以怎样的栽植方式，能保证每行每列都是4颗？（画出种植图）化学与数学的结合题型

2、水光潋影晴方好，山色空蒙雨亦奇。欲把西湖比西子，淡妆浓抹总相宜。[宋]苏轼 《饮湖上初晴后雨》 后人追随意境，写了对联： 山山水水，处处明明秀秀。晴晴雨雨，时时好好奇奇。

在 以下两式的左边添加适当的数学符号，使其变成正确的等式： 1122334455=10000 6677889900=10000

我们首先应该掌握的数列及平方数 自然数列：1，2，3。。。奇数数列：1，3，5。。偶数数列：2，4，6。。素数数列（质数数列）：1，3，5，7，11，13。。自然数平方数列：1*，2*，3*。。*=2 自然数立方数列：1*，2*，3*。。*=3 等差数列：1，6，11，16，21，26„„ 等比数列：1，3，9，27，81，243„„ 无理式数列：。。。等

平方数应该掌握20以下的，立方数应该掌握10以下的；特殊平方数的规律也的掌握：如，15，25。的平方心算法。

数量关系

数量关系测验主要是测验考生对数量关系的理解与计算的能力，体现了一个人抽象思维的发展水平。

数量关系测验含有速度与难度的双重性质。解答数量关系测验题不仅要求考生具有数字的直觉能力，还需要具有判断、分析、推理、运算等能力.知识程度的要求：大多数为小学知识，初中高中知识也只占极少部分。

一、数字推理

数字推理的题型分析 ：

1、等差数列及其变式

2、等比数列及其变式

3、等差与等比混合式

4、求和相加式与求差相减式

5、求积相乘式与求商相除式

6、求平方数及其变式

7、求立方数及其变式

8、双重数列

9、简单有理化式

10、汉字与数字结合的推理题型

11、纯数字排列题目

二级等差数列的变式

1、相减后构成自然数列即新的等差数列

25，33，（），52，63

2、相减后的数列为等比数列

9，13，21，（），69

3、相减后构成平方数列

111，107，98，（），57

4、相减后构成立方数列

1，28，92，（），433

5、平方数列的隐藏状态

10，18，33，（），92

二级等比数列的变式

1、相比后构成自然数列（或等差数列）6，6，12，36，144，（）

2、与交替规律的结合（相比后构成循环数列）6，9，18，27（）8，8，12，24，60，（）

3、常数的参与（采用+，-，*，/）11，23，48，99，（）3，8，25，74，（）也可称做+1，-1法则

其他例题我会尽快编出,供大家参考.(2)数字推理常见的排列规律

(1)奇偶数规律：各个数都是奇数(单数)或偶数(双数)；[自然数列，质数数列等](2)等差：相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减。(3)等比：相邻数之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减；(4)二级等差：相邻数之间的差或比构成了一个等差数列；(5)二级等比数列：相邻数之间的差或比构成一个等比数理；(6)加法规律：前两个数之和等于 实际问题（数字应用题）-------------数学模型 推理 演算

实际问题的解----------还原说明-----数学模型的解

数学计算的题型分析

1.四则运算、平方、开方基本计算题型 ２.大小判断 ３.典型问题

（１）比例问题（２）盈亏问题（３）工程问题（４）行程问题（５）栽树问题（６）方阵问题（７）“动物同笼”思维模型（８）年龄问题（９）利润问题（１０）面积问题（１１）爬绳计算又称跳井问题（１２）台阶问题（１３）余数计算（１４）日月计算（１５）溶液问题（１６）和差倍问题（１７）排列组合问题（１８）计算预资问题（１９）归一问题(20)抽屉原理(21)其他问题 数字计算的解题方法

１.加强训练 提高对数字的敏感度 ２.掌握一些数学计算的解题方法及技巧 ３.认真审题 把握题意 ４.寻找捷径 多用简便方法 ５.利用排除法提高做题 数字计算的规律方法概括 一.基本计算方法（１）尾数估算法（２）尾数确定法

（３）凑整法 是简便运算中最常用的方法，即根据交换律、结合律把可以凑成10、20、30、50、100。。的数放在一起运算，从而提高运算速度。基本的凑整算式：25*8=200等。（４）补数法 a、直接利用补数法巧算 b、间接利用补数法巧算又称凑整去补法

（５）基准数法 当遇到两个以上的数相加且这些数相互接近时，取一个数做基准数，然后再加上每个加数与基准数的差，从而求和。（6）数学公式求解法

如：完全平方差、完全平方和公式的运用考查。

（7）科学计数法的巧用 二.工程问题的数量关系

工作量＝工作效率x工作时间

工作效率＝工作量 /工作时间

总工作量＝各分工作量之和

此类题：一般设总的工作量为1；

三.行程问题（1）相遇问题

甲从a地到b地，乙从b地到a地，然后两人在途中相遇，实质上是甲乙一起走了ab之间这段路程，如果两人同时出发，那么：ab之间的路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度*相遇时间+乙的速度*相遇时间=甲乙速度和*相遇时间

相遇问题的核心是速度和时间的问题（2）追及问题

追及路程=甲走的路程—乙走的路程=甲乙速度差*追及时间 追及问题的核心是速度差问题（3）流水问题

顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速—水速 因此 船速=（顺水速度+逆水速度）/2 水速=（顺水速度—逆水速度）/2

四.植树问题

（1）不封闭路线

(a)两端植树，则颗树比段数多1； 颗树=全长/段数+1（b）一端植树，则颗数与段数相等； 颗数=全长/段数

（c）两端不植树，则颗数比段数少1。颗数=全长/段数-1(2)封闭路线

植树的颗数=全长/段数

五，跳井问题或称爬绳问题

完成任务的次数=井深或绳长-每次所爬米数+1 六，年龄问题

方法1：几年后的年龄=大小年龄差/倍数差-小年龄 几年前的年龄=小年龄-大小年龄差/倍数差 方法2：一元一次方程解法

方法3：结果代入法，此乃最优方法 甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在岁数时，你将有67岁。甲乙现在各有（）。A．45岁，26岁 B．46岁，25岁 C．47岁，24岁 D．48岁，23岁 甲-4=甲-乙，67-甲=甲-乙 七，鸡兔同笼问题 1，《孙子算经》解法：设头数为a,足数是b。则b/2-a是兔数，a-(b/2-a)是鸡数。2，《丁巨算法》解法：鸡数=（4*头总数-总足数）/2 兔数=总数-鸡数 兔数=（总足数-2*头总数）/2 鸡数=总数-兔数

著名古典小说《镜花缘》中的米兰芬算灯用的也是鸡兔同笼问题的解法。八，溶液问题 溶液=溶质+溶剂

浓度=溶质/溶液=溶质的质量分数 此类题涉及的考查类型：

（1）稀释后，求溶质的质量分数；（2）饱和溶液的计算问题；

注意：一种溶剂可以同时和几种溶质互溶。

有关溶液混合的计算公式是：

m(浓)×c％(浓)+m(稀)×c％(稀)= m(混)×c％(混)由于m(混)=m(浓)+m(稀)，上式也可以写成： m(浓)×c％(浓)+m(稀)×c％(稀)= [m(浓)+m(稀)]×c％(混)此式经整理可得：

m(浓)×[c％(浓)-c％(混)] =m(稀)×[c％(混)-c％(稀)]

九、利润问题

利润＝销售价（卖出价）－成本

利润率＝利润／成本＝（销售价－成本）／成本＝销售价／成本－１ 销售价＝成本＊（１＋利润率）成本＝销售价／（１＋利润率）

利润总额 =营业利润+投资收益(减投资损失)+补贴收入+营业外收入-营业外支出 营业利润=主营业务利润+其他业务利润-营业费用-管理费用-财务费用

主营业务利润=主营业务收入-主营业务成本-主营业务税金及附加 其他业利润=其他业务收入-其他业务支出

1、资本金利润率

是衡量投资者投入企业资本的获利能力的指标。其计算公式为：

资本金利润率=利润总额/资本金总额X100%

企业资本金利润率越高，说明企业资本的获利能力越强。

2、销售收入利润率

是衡量企业销售收入的收益水平的指标，其计算公式是：

销售收入利润率=利润总额/销售收入净额X100%

销售收入利润率是反映企业获利能力的重要指标，这项指标越高，说明企业销售收入获取利润的能力越强。

3、成本费用利润率

是反映企业成本费用与利润的关系的指标。其计算公式为：

成本费用利润率=利润总额/成本费用总额X100%

十、预资问题 对预资问题的分析，我们会发现此类问题与比例问题是相通的。按照比例问题的解法对预资问题同样适用。

十一、面积问题

解决面积问题的核心是“割、补”思维，既当我们看到一个关于求解面积的问题，不要立刻套用公式去求解，这样解会进如误区。对于此类问题的通常解法是“辅助线法”，即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全为很容易求得面积的规则图形，从而快速求的面积。

十二、和、差、倍问题 求大小两个数的值 １、（和＋差）／２＝较大数 ２、（和－差）／２＝较小数 和差问题的基本解题方法是： １、（和＋差）／２＝较大数 较大数－差＝较小数

（和－差）／２＝较小数 较小数＋差＝较大数 ２、一元一次方程解法

1、南京长江大桥共分两层，上层是公路桥，下层是铁路桥。铁路桥和公路桥共长11270米，铁路桥比公路桥长2270米，问南京长江大桥的公路和铁路桥各长多少米？

2、三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比 3×3×3×3×3=35(种)

十四、盈亏问题

把一定数量（未知）平分成一定份数（未知），根据两次试分的盈（或亏）数量与每次试分的每份数量，求总数量和份数的公式是

份数=两次盈（或亏）的相差数量÷两次每份数量差，总数量=每份数量×份数+盈（或－亏）

1、用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，还差1米不到井口，那么井深多少米？绳长多少米？ 这是个典型盈亏问题。盈亏总数=3*2+4*1=10米。

解答：井深=（3*2+4*1）/（4-3）=10米，绳长=（10+2）*3=36米。

2、有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加1条船，正好每条船坐6人；如果减少1条船，正好每条船坐9个人。问：这个班共有多少名同学？

分析：增加一条和减少一条，前后相差2条，也就是说，每条船坐6人正好，每条船坐9人则空出两条船。

这样就是一个盈亏问题的标准形式了。

解答：增加一条船后的船数=9*2/（9-6）=6条，这个班共有6*6=36名同学。

第三篇：数量关系讲义

第一节数字拆分

一.数字加法拆分

1.某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同的部门，假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名？

A10

B11

C12

D13 变形一：某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同的部门，假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都少，问行政部门分得的毕业生人数至多为多少名？

变形二：某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同的部门，假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，且每个部门分到的毕业生人数互不相同，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名？

变形三：某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同的部门，假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都少，且每个部门分到的毕业生人数互不相同，问行政部门分得的毕业生人数至多为多少名？

变形四：某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同的部门，且每个部门分到的毕业生人数互不相同，假设行政部门分得的人数为第四多，问行政部门分得的毕业生人数至多为多少名？

2.某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店？ A2

B3

C4

D5 二.数字乘法拆分

3.赵先生34岁，钱女士30岁，一天，他们碰上了赵先生的三个邻居，钱女士问起了他们的年龄，赵先生说：他们三人的年龄各不相同，三人的年龄之积是2450，三人的年龄之和是我俩年龄之和。问三个邻居中年龄最大的是多少岁? A.42

B.45

C49

D50 4.孙儿孙女的平均年龄是10岁，孙儿年龄的平方减去孙女年龄的平方所得的数值，正好是爷爷出生年份的后两位，爷爷生于上个世纪40年代。问孙儿孙女的年龄差是多少岁？

A.2

B.4

C.6

D.8

第二节工程问题

一.基本工程问题

1.3个人用3分钟时间可以把3只箱子装上车，按这个工作效率，用99分钟把99只箱子装上卡车需要几个人？ A3

B9

C18

D99 2.一项工程，工作效率提高四分之一，完成这项工程的时间将由原来的十小时缩短到几小时？

A4

B8

C12

D16 3.2台大型收割机和4台小型收割机在一天内可收完全部小麦3/10，8台大型收割机和10台小型收割机在一天内可收完全部小麦。如果单独用大型收割机和单独用小型收割机进行比较，要在一天内收完小麦，小型收割机要比大型收割机多用多少台? A8

B10

C18

D20 二.全程合作工程问题

4.一项工程，甲一人做完需30天，甲、乙合作完成需18天，乙、丙合作完成需15天，甲、乙、丙三人共同完成该工程需多少天？ A10

B12

C8

D9 5.一项工程如果交给甲乙两队共同施工，8天能完成；如果交给甲丙两队共同施工，10天能完成；如果交给甲丁两队共同施工，15天能完成；如果交给乙丙丁三队共同施工，6天就可以完成。如果甲队独立施工，需要多少天完成？ A.16

B.20

C.24

D.28 三.分阶段工程问题

6.有20名工人修筑一段公路，计划15天完成。动工3天后抽出5人去其他工地，其余人继续修路。如果每人的工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？ A.19天

B.18天

C.17天

D.16天

7.甲乙合作一项工作需要15天才能完成。现甲乙合作10天后，乙再单独做6天，还剩下这项工作的1/10,则甲单独做这项需要多少天？ A40

B38

C36

D32 四.两项工程型问题

8.某市有甲乙丙三个工程队，工作效率比为3:4:5。甲单独完成A工程需要25天，丙单独完成B工程需要9天。现由甲队负责B工程，乙队负责A工程，而丙队先帮甲队工作若干天后转去帮助乙队工作。如希望两个工程同时开工同时竣工，则丙队要帮乙队工作多少天？ A 6

B 7

C8

D9

第三节浓度问题

一.溶液混合问题

1.某盐溶液100克，加入20克水稀释，浓度变为50%，然后加入80克浓度为25%的盐溶液，此时，混合后的盐溶液浓度为多少？ A.30%

B.40%

C.45%

D.50% 2.瓶中装有浓度为20%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入200克和400克的A、B两种洒精溶液，瓶里的溶液浓度变为15%，已知A种酒精溶液的浓度是B种酒精溶液浓度的2倍。那么A种酒精溶液的浓度是多少? A.5%

B.6%

C.8%

D.10% 3.在某状态下，将28g某种溶质放入99g水中恰好配成饱和溶液，从中取出1/4溶液加入4g溶质和11g水，请问此时浓度变为多少？ A.21.61%

B.22.05%

C.23.53%

D.24.15% 4.甲乙两个容器中分别装有17%的酒精溶液400克，9%的酒精溶液600克，从两个容器中分别取出相同重量的酒精溶液倒入对方容器中，这时两个容器的酒精浓度相同，则从甲容器倒入乙容器中的酒精溶液是多少？ A200

B240

C250

D260 二.等量挥发稀释问题 5.一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为10%，再蒸发掉同样多的水后，溶液浓度变为12%，第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少？ A.14%

B.17%

C.16%

D.15% 6.已知盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为6％，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为4％，第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少？

A．3％

B．2.5％

C．2％

D．1.8％

第四节抽屉原理

1.在一个口袋里有10个黑球，6个白球，4个红球，至少要取出几个球才能保证其中有白球？

A14

B15

C17

D18 2.黑色布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的袜子各3种，如果闭上眼睛从布袋中拿这些袜子，为保证拿到两双（每双颜色要相同）袜子，至少要拿多少只？ A5

B6

C7

D8 3.有红黄绿三种颜色的手套各6双，装在一个黑色的布袋里，从袋子里任意取出手套来，为确保至少有2双手套不同颜色，则至少要取出多少只手套？ A20

B25

C27

D30 4.有300名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理类分别有100、80、70和50人。问至少有多少人找到工作，才能保证一定有70名找到工作的人专业相同? A.71

B119

C258

D277

第五节计数模型

一.比赛问题

1.abcde这五个小组开展扑克比赛,每两个小组之间都要比赛一场,到现在为止,a组己经比赛了4场,b组已经比赛了3场,c组已经比赛了2场,d组已经比赛1场,e组比了几场? A0

B1

C2

D3 2.张、王、刘和李四人进行象棋比赛，每两人之间都要赛一局。已知张胜了两局，王平了三局，问刘和李加起来最多胜了几局？ A0

B1

C2

D3 3.某羽毛球赛共有23支队伍报名参赛，赛事安排23支队伍抽签两两争夺下一轮的出线权,没有抽到对手的队伍轮空，直接进入下一轮。那么，本次羽毛球赛最后共会遇到多少次轮空的情况? A1

B2

C3

D4 二.植树问题

4.某单位购买一批树苗计划在一段路两旁植树。若每隔5米种1棵树，可以覆盖整个路段，但这批树苗剩20棵。若每隔4米种1棵树且路尾最后两棵树之间的距离为3米，则这批树苗刚好可覆盖整个路段。这段路长为多少？ A195

B205

C375

D395 三.剪绳问题

5.一根绳子对折三次后，从中间剪断，共剪成多少段？ A9

B6

C5

D3 6.李先生去10层楼的8层去办事，恰赶上电梯停电，他只能步行爬楼。他从第1层爬到第4层用了48秒，请问以同样的速度爬到第8层需要多少秒？ A112

B96

C64

D48 四.方阵问题

7.某学校的全体学生刚好排成一个方阵，最外层人数是108人，则这个学校共有多少名学生？

A724

B744

C764

D784 8.有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层人数共有60人，中间一层共有44人，则该方阵士兵的总人数是多少？ A156

B210

C220

D280 五.空瓶换酒

9.超市规定每3个空汽水瓶可以换一瓶汽水,小李有11个空汽水瓶,最多可以换几瓶汽水？ A.5

B.4

C.3

D.2

第六节初等数学问题

一.牛吃草问题

1.一片草地（草以均匀速度生长），240只羊可以吃6天，200只羊可以吃10天，则这片草可供190只羊吃的天数是多少天？ A11

B12

C14

D15 2.某演唱会检票前若干分钟就有人开始排队等候入场，而每分钟来的观众人数一样多。从开始检票到等候队伍消失，若同时开4个入场口需50分钟，若同时开6个入场口则需30分钟。问如果同时开7个入场口需几分钟？

A.18分钟

B.20分钟

C.22分钟

D.25分钟

二.盈亏问题

3.为加强绿色环保，某单位积极参加植树活动。现有一批树苗，若每人栽8棵，则剩下19棵；若每人栽9棵，则还少4棵。这批树苗共有多少？ A186

B192

C203

D240 4.小王周末组织朋友自助游，费用均摊，结帐时，如果每人付450元，则多出100元;如果小王的朋友每人付430元，小王自己要多付60元才刚好，这次活动人均费用是多少？

A.437.5元

B.438.0元

C.432.5元

D.435.0元

三.鸡兔同笼问题

5.鸡和兔被关在同一笼子中，上有65个头，下有198只脚，那么鸡，兔各有多少只？

A28.37

B29.36

C30.35

D31.34 6.某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才计划。两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月共培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训？

A.8

B.10

C.12

D.15 四.周期问题

7.把黑桃,红桃,方片,梅花四种花色的扑克牌按黑桃10张,红桃9张,方片7张,梅花5张的顺序循环排列.问第2015张扑克牌是什么花色? A.黑桃

B.红桃

C.梅花

D.方片

8.书架的某一层上有136本书，且是按照“3本小说、4本教材、5本工具书、7本科书、3本小说、4本教材„„”的顺序循环从左至右排列的。问该层最右边的一本是什么书？

A.小说

B.教材

C.工具书

D.科技书

五.星期问题

9.2010年2月15日后第80天是？

A5月5日

B5月6日

C5月3日

D5月4日

六.分段计价

10.某市出租车运费计算方式如下：起步价2公里6元，2公里之后每增加1公里收费1．7元。6公里之后每增加1公里收费2．0元，不足1元按四舍五入计算。某乘客乘坐了31公里，应该付多少元车费? A63

B64

C65

D66

11.某市居民用电实行分段式收费，以人为单位设定了相同的基准用电度数，家庭人均用电量超过基准用电度数的部分按照基准电费的两倍收取电费。某月，家庭5口人用电250度，电费175元；家庭3口人用电320，电费275元。该市居民每人的基准用电为多少度？ A50

B35

C30

D25 七．余数同余

12.四位数的自然数P满足：除以9余2，除以8余2，除以7余2，则满足条件的P有几个？

A12

B15

C18

D20 13.有一个自然数X。除以3的余数是2.除以4的余数是3.问除以X的余数是多少？

A1

B5

C9

D11 14.一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3.这样的三位数有多少个？ A5

B6

C7

D8

第七节和差倍比

一.基本和差倍比

1.3月12日是植树节，初三年级170名同学去参加义务植树活动，如果每名男生平均一天能挖树坑3个，每个女生平均一天能种树7棵，正好是每个树坑种上一棵树，问该年级男女各多少人？

A115.55

B119.51

C130.40

D125.45 二.基本方程问题

2.某单位共有职工72人，年底考核平均分数为85分，根据考核分数，90分以上的职工评为优秀职工，已知优秀职工的平均分数为92分，其他职工的平均分数是80分，问优秀职工的人数是多少? A.12

B.24

C.30

D.42 3.某单位原有45名职工，从下级单位调入5名党员职工后，该单位的党员人数占总人数的比重上升了6个百分点。如果该单位又有2名职工入党，那么该单位现在的党员人数占总人数的比重为多少？ A.50%

B.40%

C.70%

D.60%

第八节平均数

一.基本平均数

1.一个房间里有10个人，平均年龄是27岁。另一个房间里有15个人，平均年龄是37岁。两个房间的人合在一起，他们的平均年龄是多少岁？ A30

B31

C32

D33 2.有四个数，去掉最大的数，其余三个数的平均数是41，去掉最小的数，其余三个数的平均数是60，最大数与最小数的和是95.则这四个数的平均数是多少？ A49.75

B51.25

C53.75

D54.75 二.调和平均数 3.一辆汽车从A地到B地的速度为每小时60千米，返回时速度为每小时90千米，则它往返的平均速度为多少？ A64

B72

C75

D84 4.商店购进甲乙两种不同的糖所用的钱数相等，已知甲种糖每千克6元，乙种每千克4元。如果把这两种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克的成本是多少元？

A7

B8

C9

D10

第九节数列问题

一.等差数列求和

1.某条公交线路上共有10个车站，一辆公交车在始发站上了12个人，在随后每一站上车的人数都比上一站少1人。到达终点站时，所有乘客均下了车。如果每个车站下车乘客数相同，那么有多少人在终点站下车？ A.7

B.9

C.10

D.8 2.在自然数1至50中，将所有不能被3除尽的数相加，所得的和是多少？ A865

B866

C867

D868 二.等差数列和项转化

3.某天办公桌上台历显示是一周前的日期,将台历的日期翻到当天,正好所翻页的日期加起来是168。那么当天是几号? A20

B21

C27

D28 4.某成衣厂对9名缝纫工进行技术评比，9名工人的得分恰好成等差数列，9人的平均分是86分，前五名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是是多少？

A602

B623

C627

D631 三.等比数列

5.小赵，小钱，小孙，小李，小周五个人的收入依次成等比，已知小赵的收入是3000元，小孙的收入是3600元，那么小周比小孙的收入高多少？ A700

B720

C760

D780

第十节行程问题

一.基础行程问题

1.甲每分钟走80米。乙每分钟走72米，两人同时从A地出发到B地，乙比甲多用4分钟。AB两地相距多少米? A320

B288

C1440

D2880 2.小张和小王同时骑摩托车从A地向B地出发，小张的车速是每小时40公里，小王的车速是每小时48公里。小王到达B地后立即向回返，又骑了15分钟后与小张相遇。那么A地与B地之间的距离是多少公里？ A.144

B136

C132

D128 3.一架飞机所带的燃料最多可用6小时，飞去时顺风，时速为1500km；回来时逆风，时速为1200Km,问这架飞机最多飞出去几小时，就要往回飞？ A3750

B3900

C4000

D4200 4.AB两山村之间的路不是上坡就是下坡，相距60千米。邮递员骑车从A村到B村，用了3.5小时;再延原路返回，用了4.5小时。已知上坡时邮递员车速是12千米/小时，则下坡的车速是多少？ A10

B12

C14

D20 5.一列长为280米的火车，速度为每秒20米，经过2800米的大桥，火车完全通过这座大桥需要多长时间？

A48

B2分20秒

C2分28秒

D2分34秒

二.拓展行程问题

6.甲乙丙三人沿着400米环形跑道进行800米跑比赛，当甲跑1圈时，乙比甲多跑了1／7圈。丙比甲少跑1/7圈。如果他们各自跑步的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，甲在丙前面多少？

A、85米

B.90米

C.100米

D.105米

7.小王去一个离家10千米的地方，他每小时步行3千米,每步行50分钟他要休息10分钟，8点整出发，他几点可以到目的地？ A12：00

B12:30

C12：35

D12：40 三.相对速度

8.两港口相距450千米，甲航行要15小时，乙船行要12小时，甲因为有事先开2小时后，乙船出发追甲船，乙船要行多少千米才能追上甲船？ A300

B255

C240

D150 9.运动场的跑道一圈长400米，甲练习骑自行车，平均每分骑350米，乙练习跑步，平均每分跑250米，两人从同一处同时同向出发，经过多少分钟首次相遇？ A1

B2

C3

D4 10.一艘汽船往返于两码头间，逆流需要10小时，顺流需要6小时。已知船在静水中的速度为12公里/小时。水流的速度是多少公里/小时？ A.2

B.3

C.4

D.5 11.一条执行考察任务的科考船，现从B地沿河驶向入海口，已知B地距人海口60千米。水速为每小时6千米，若船顺流而下，则用4小时可以到达人海口，该船完成任务从人海口返回并按原速度航行4小时后，由于海水涨潮，水流方向逆转，水速变为每小时3千米。则该船到达B地还需再航行多少小时? A5

B4

C3

D2 12.商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒钟向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？

A.80

B100

C120

D140 13.一支部队排成长度为800米的队列行军，速度为80米/分。在队首的通讯员以3倍于行军速度跑步到队尾，花1分钟传达命令后，以同样的速度跑回到队首。往返过程中通信员所花费的时间为？ A7.5

B8

C8.5

D10 四.典型行程问题

14.小王登山，上山的速度是每小时4千米，到达山顶后原路返回，速度为每小时6千米。设山路长为9千米，小王的平均速度为多少？ A5

B4.8

C4.6

D4.4 15.地铁检修车沿地铁线路匀速前进，每6分钟有一列地铁从后面追上，每2分钟有一列地铁迎面开来。假设两个方向的发车间隔和列车速度相同，则发车间隔是多少？

A．2分钟

B．3分钟

C．4分钟

D．5分钟

16.从甲乙两车站同时相对开出第一辆公共汽车，此后两站每隔8分钟再开出一辆，依次类推。已知每辆车的车速相同而且都是匀速的，每辆车到达对方车站都需45分钟。现有一乘客坐车从甲站开出的第一辆车去乙站，问他在路上会遇到几辆从乙站开出的公共汽车？ A4

B5

C6

D7 17.甲从A地，乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离A地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，则AB两地相距多少千米？

A10

B12

C18

D15 18.甲乙两车同时从AB两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地，乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。求AB间路程 A130

B150

B180

D200

第十一节容斥原理

一.容斥原理两集合容斥

1.某班对50名学生进行体检，有20人近视，12人超重，4人既近视又超重。该班有多少人既不近视又不超重？ A22

B24

C26

D28 2.某科研单位共有68名科研人员，其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之。没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员是多少人？ A13

B10

C8

D5 二.三集合容斥

3.某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为多少？

A.7人

B.8人

C.5人

D.6人

4.对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙9种，三种维生素都不含的有7种，则三种维生素都含的有多少种？

A.4

B.6

C.7

D.9 三.三集合容斥整体思维

5.某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐剂添加不合格的9种，外包装不规范的6种，其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种，问三项全部合格的多少种？ A14

B21

C23

D32 6.某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？ A120

B144

C177

D192 四.多集合容斥

7.建华中学共有1600名学生，其中喜欢乒乓球的有1180人，喜欢羽毛球的有1360人，喜欢篮球的有1250人，喜欢足球的有1040人，问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人？

A．20人

B．30人

C．40人

D．50人

第十二节排列组合

一.基础排列组合

1.甲乙丙三个人到旅店住店，旅店里只有三个房间，恰好每个房间住一个人，则共有多少种住法？ A5

B6

C7

D8 2.把6个标有不同标号的小球放入三个大小不同的盒子里。大号盒子放3个，中号盒子放2个，小号盒子放1个，则有多少种方法？ A50

B60

C70

D40 二.分类分步型

3.三年级有5个班，四年级有6个班，五年级有3个班，王老师可以从中选择不同年级的两个班上课，那么他有多少种选择方法？ A.45

B.63

C.120

D.48 4.有3个单位共订300份报纸，每个单位最少订99份，最多订101份。一共有多少种不同的订法？ A4

B5

C6

D7 5.小王的手机通讯录上有一手机号码，只记下前面8个数字为15903428。但他肯定，后面3个数字全是偶数，最后一个数字是6，且后3个数字中相邻数字不相同，请问该手机号码有多少种可能？ A.15

B.16

C.20

D.18 三.捆绑插空

6.ABCDE五个人排成一排，其中AB两人必须站在一起。有多少种排法？ A120

B72

C48

D24 7.ABCDE五个人排成一排，其中AB不站在一起，有多少种排法？ A120

B72

C48

D24 8.7个人排成一排照相，要求甲乙丙不相邻，有多少种不同的方法？ A1440

B720

C360

D180 四.分配插板法

9.把9个苹果分给5个人，每人至少一个苹果，那么不同的分法一共有多少种？ A30

B40

C60

D70 10某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？

A.7

B.9

C.10

D.12 五.错位排列型

11.小明给住在5个国家的5位朋友分别写了一封信，这些信都装错了信封的情况共有多少种？

A 32

B 44

C 64

D 120 六.重复剔除型

12.将6个人分成三组。有多少分配方法？ A15

B30

C45

D90

第十三节概率问题

一.基础计算型

1.匣中有4只球,其中红球,黑球,白球各1只,另有1只红,黑,白三色球,现从匣中任取2球,其中恰有1球有红色的概率? A1/6

B2/3

C1/3

D1/2 2.将自然数1—100分别写在完全相同的100张卡片上，然后打乱卡片，先后随机取出4张，问这4张先后取出的卡片上的数字呈增序的几率是多少? A、1/16

B、1/24

C、1/32

D、1/72 二.分类分步

3.小王和小张各加工了10个零件，分别有1个和2个次品，若从两人加工的零件里各随机取2个，则选出的4个零件中正好有2个次品的概率是多少？ A.小于25%

B.25%~35%

C.35%~45%

D.45%以上

4.甲某打电话时忘记了对方电话号码最后一位数字，但记得这个数字不是“0”。甲某尝试用其他数字代替最后一位数字，恰好第二次尝试成功的概率是多少？ A.1/9

B.1/8

C.1/7

D.2/9 三.逆向计算

5.小王开车上班需经过4个交通路口，假设经过每个路口遇到红灯的概率分别为0.1，0.2，0.25，0.4，他上班经过4个路口至少有一处遇到绿灯的概率是? A．0.988

B．0.899

C．0.989

D．0.998 6.甲乙两人射击的命中率都是0.6，他们对着目标各射击一次，恰有1人击中的概率是? A0.36

B0.48

C0.84

D1 四.期望

7.某商场以摸奖的方式回馈顾客，盒内有5个乒乓球，其中一个为红色，2个为黄色，2个为白色，每位顾客从中任意摸出一个球，摸到红球奖10元，黄球奖1元，白球无奖励，则每一位顾客所获奖励的期望值为多少? A．10

B．1．2

C．2

D．2．4

第十四节几何问题

一.长度

1.一个圆形牧场面积为3平方，牧民起码以每小时18公里的速度围着牧场外沿巡视一圈，需要多少分钟? A12

B18

C20

D24 二.面积

2.一个正三角形和一个正六边形周长相等，六边形面积是三角形的几倍？ A1

B1.5

C2

D2.5 三．体积

3.相同表面积的四面体，六面体，正十二面体，正二十面体体积最大的是？ A四面体

B六面体

C正十二面体

D正二十面体

第十五节经济利润问题

一.普通经济利润

1.甲乙两件商品的成本共400元，分别百分之25和百分之40的利润定价，然后分别以定价的9折，8.5折售出，共获得65.6元的利润，乙的售价是多少元？ A216.8

B285.6

C294.6

D272.8 2.某服装如果降价200元之后再打8折出售，则每件亏50元。如果直接按6折出售，则不赚不亏。如果销售该服装想要获得100%的利润，需要在原价的基础上加价多少元？

A.90

B.110

C.130

D.150 二.抽象经济利润

3.某商店的两件商品成本价相同，一件按成本价多35%出售，一件按成本价少13%出售，则两件商品各售出一件时盈利为多少? A.6%

B.8%

C.10%

D.12% 4.一商品的进价比上月低了5%，但超市仍按上月售价销售，其利润率提高了6个百分点，则超市上月销售该商品的利润率为？ A.12%

B.13%

C.14%

D.15%

三.价格最优

5.去某地旅游，旅行社推荐了以下两个报价方案：甲方案成人每人1000元，小孩每人600元；乙方案无论大人小孩，每人均为700元。现有N人组团，已知1个大人至少带3个小孩出门旅游，那么对于这些人来说？

A.只要选择甲方案都不会吃亏

B.甲方案总是比乙方案更优惠

C.乙方案总是比甲方案更优惠

D.甲方案和乙方案一样优惠

第十六节趣味问题

一.年龄问题

1.今年，哥哥和弟弟的年龄之和是35岁，哥哥在弟弟这么大的时候，哥哥的岁数是弟弟的2倍，问哥哥今年几岁？ A20

B21

C22

D23 2.哥现在的年龄是弟弟当年年龄的三倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁哥现在的年龄是弟弟当年年龄的三倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁，问哥哥现在多少岁？

A15

B16

C18

D20 二.奇偶性 3.有7个杯口全部向上的杯子，每次将其中4个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下？

A.3次

B.4次

C.5次

D.几次也不能

三.过河爬井

4.有42个人需要渡河，现仅有一只小船，每次只能载6人，但需要3个人划船。请问一共需要几次才能渡完？ A7

B9

C10

D13 5.有一只青蛙掉入一口深10米的井中。每天白天这只青蛙跳上4米晚上又滑下3米，则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出？ A7

B8

C9

D10

第四篇：数量关系方法总结

数

量

关

系

第一节

代入排除法

代入排除法： 范围：

1、特征选项：年龄、不定方程、余数、多位数；

2、选项充分：问法特征：分别、各位、比例。

3、两项必代：只剩两项时，代入一项即可

4、条件复杂：题长、数多、关系乱，要么放弃要么代入 方法：

1、先排除：尾数、奇数、偶数、倍数

2、再代入：最值、好算

第二节

数字特性

一、奇偶特性

看答案是奇数还是偶数

1、和差：同奇同偶则为偶，一奇一偶才为奇，■和差同性很重要：a+b与a-b的奇偶性相同。■着重点为和或者差，两个数确定，做和做差奇偶同性

2、乘（除法不考虑奇偶）：

一个（至少一个）为偶数则为偶，全部为奇才为奇。三个数相乘，只要有一个数为偶，则乘积为偶；三个数都是奇数，则乘积为奇。

3、不定方程：看到ax+by=c,a,b,c可正可负，先看c的奇偶性，c为常数，可确定奇偶性，观察式子左侧，哪个的系数为偶数则乘积为偶数，可推算出剩余的数的奇偶性。

4、其他：

①质数：逢质必奇，2是唯一特殊的偶质数；

②两者相等：A和B相等，假设都为X，A=B=X，则A+B=2X为偶数； ③A是B的2倍：A是2的倍数，则A为偶数。知识点链接：整除判定法则

1、一般口诀发（3/9看各位和；4/8看末2/3位；2/5看末位）

2、懒得记口诀的可以用拆分法

要验证是否是a的倍数，只需要将它拆分成a的整数倍+（-）一个小数字，若小数字也能被a整除，原数即能被a整除。

3、复杂倍数用因式分解

判断一个数能否15整除，只需要判断它是3和5的倍数即可

注意：分解后的2个数必须互质

二、倍数特性

范围：

1、分数、百分数、比例、倍数

2、平均分配

方法：

1、A/B=m/n；A是m的倍数，B是n的倍数，则A加减B是m加减n的倍数

2、ax+b，若b是a的倍数，答案-b能被a整除；若b不是a的倍数，则答案不被a整除

第三节

方程法

一、普通方程：设小不设大、设中间量、求谁设谁；

二、不定方程（组）：

1、数字特性：奇偶特性；倍数特性、尾数法

2、代入排除：

3、不定方程组：先消元，转化成不定方程

三、赋零法

1、范围：不定方程组；未知数可以非整数；求的是算式；

2、方法：社方程中系数较复杂的未知数为零，解出其余未知数即可

第四节

工程问题

一、给具体题型

1、识别：题干有效率，总量的具体值

2、方法：代公式，列方程求解，主要是计算难度大一点。

二、赋值总量型

1、识别：题干只给多个完工时间

2、方法：赋值总量——算出效率——列式求解

3、技巧：总量——设公倍数，公倍数难算用乘积。

四、赋值效率型

1、识别：题干给出效率比，效率倍数

2、方法：赋值效率——求出总量——列式求解

3、技巧：按照比例设效率，尽量设整数。

第五节

行程问题

一、行程问题

1、基础公式：路程=速度*时间（s=v*t）（两个变形：速度=路程/时间

时间=路程/速度）

2、平均速度：

平均速度=总路程/总时间

3、等距离平均速度：

V平均=（2V1*V2）/（V1+V2）

4、火车过桥（路程上有坑）：

①过车过桥的时间有多久：火车车头到桥头即为时间开始0，火车车尾离开桥尾的时间为t,，过桥时间为t ②火车运动的路程=车身长度+桥长=火车速度*过桥时间 ③火车在桥/隧道上的时间：桥长-车长=车速*在桥上的时间

知识点链接：

1、两地之间有上下坡（无论上下坡多少次），且是往返，则可以直接用等距离平均公式

2、极端思维：上下坡比例不确定时，可以想象从家到学校几乎只有下坡，从学校到家几乎只有上坡 知识点链接

相遇公式：路程和=速度和*相遇时间

直线相遇与环形相遇：相向而行/背向而行（环形）/反向而行，最终都会相遇。

1、直线相遇：两个小动物从两端出发，速度分别为V1、V2，经过t时间相遇，则V1*t+V2*t=（V1+V2）*t=S和

2、环形相遇：两人同点背向而行，则V1*t+V2*t=1圈=S和

3、相遇公式：S和=V1*t+V2*t=（V1+V2）*t 追及公式：路程差=速度差*追击时间

1、直线追及：兔子（速度为V快）追乌龟（速度为V慢）

则S差=V快*t追-V慢*t追=（V快-V慢）*t追

注意：S差是两者进入追及状态最开始的路程差，不需要考虑中途的路程差会变化之类的

2、环形追及

公式：S差=V快-V慢）*t追

结论：同时同向出发，第n次追上，路程差就是n圈 知识点链接：

一、直线多次相遇

结论：

1、从两头出发往返第n次相遇，共走了（2n-1）个全程（即奇数个全程）。

2、从同一头出发往返第n次相遇，共走了2n个全程

二、流水行船问题

1、相关概念：V船即为船的自身速度；V水即为水流速度

2、公式：V顺=V船+V水；V逆=V船-V水

V船=（V顺+V逆）/2（相当于等差数列中项），V水=（V顺-V逆）/2

3、V静即为船在静水中的速度，V漂为船的漂流速度；V静=V船：V漂=V水

二、比例行程

1、公式：S=V*t

2、结论：路程S定，则V和T成反比；V（T）一定，则S与T（V）成正比。

第六节

经济利润问题

一、基础公式：利润=售价-成本

利润率=利润/成本

总价=单价*数量

折扣=折后价/折前价

二、拓展公式：售价=进价*（1+利润率）注意：利润率有两种考法：

1、数学中：利润率-利润/成本（进价）

2、资料分析中：利润率=利润/售价（营收）

三、折扣=折后价/折前价

其他说法：降价30%=7折；降价到30%=3折

五、总价=单价*数量

类似有总成本=单件成本*数量

总收入=单价售价*数量

总利润=单价利润*数量 必须带单位才能同这样的公式

六、分段计算

第七节 排列组合和概率

一、排列组合

分类用加法（1或者2；要么……要么……），分步用乘法（1且2；先……再……）有序用排列A（不可互换），无序用组合C（可以互换）题型：

1、排队： A.B.C.站一排，全排列；

要相邻，捆绑法，先考虑可相邻的； 不相邻，插空法，先考虑可相邻。

2、插板法：n个相同的物品分给m个人。

3、全错位排列（0、1、2、4、9、44），常考9和44，拓展了部分错位。

二、概率

1、给情况求情况数：概率=满足要求的情况数/所有情况数

2、给概率求概率：分类用加法，分不用乘法。

3、正面太难就从反面想，1-反面情况概率 知识点链接：

插板法：n个物品分给m个人，每个人至少分1个，总共有C（n-1，m-1）种情况

结论：将n个相同的物品看为n-1个空隙，m个人看成m-1个木板，故共有C（n-1，m-1）种情况

注意：若给每个人分多个物品，则先分一部分

第八节

容斥原理

一、公式

1、两集合：A+B-AB=总数-都不

2、三集合标准公式（满足两个条件的给出三个数据）

A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不

3、三集合非标准公式（满足两个条件的给出1个数据）

A+B+C-满足两个-满足三个*2=总数-都不

二、画图

1、画圆圈，标数据，去重复

2、交叉部分重点标注（从内往外标）

第九节 最值问题

最不利情况+1 提问：至少保证……

有m中情况，保证至少n，则每种取n-1，再加1。

第五篇：数量关系年龄问题

一、解答题

2、年龄问题例1：全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁。问：现在父亲、母亲的年龄是多少？（）

A．32，29 【答案】B 【解题关键点】73-58=15≠4×4，一般四个人四年应该增长了4×4=16岁，但实际上只增长了15岁，这是因为在4年前，弟弟还没出生。父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12岁，15-12=3，则现在在弟弟3岁。那么，姐姐3+2=5岁，父母今年的年龄和是73-3-5=65岁，则父亲是（65+3）÷2=34岁，母亲是65-34=31岁。

【结束】

3、年龄问题例2：哥哥5年后的年龄和弟弟3年前的年龄和是29岁，弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍。哥哥今年几岁？（）

A.10 B.12 C.15 D.18 【答案】 C 【解析】方法1，设今年哥哥x岁，弟弟y岁，则（x＋5）＋（y－3）＝29，y＝4（x－y），解得x＝15.B．34，31 C．35，32

D．36，33 方法2，由第二个条件弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍，y＝4（x－y），即可知4x＝5y，即哥哥的年龄应是5的倍数，在A、C中选择，代入A项，哥哥5年后15岁，弟弟3年前14岁，可知A不符合题意。直接可以推出C项正确。

【结束】

4、年龄问题例3：爸爸在过50岁生日时，弟弟说：“等我长到哥哥现在的年龄时，那时我和哥哥的年龄之和正好等于那时爸爸的年龄。”问：哥哥现在多少岁？（）A.24 B.25 C.34 D.36 【答案】 B 【解析】本题注意分析题干的关系。当弟弟长到哥哥现在的年龄时，如果哥哥与爸爸的年龄都同时减少到现在的年龄，那么弟弟与哥哥年龄和仍然等于爸爸的年龄，即爸爸现在的年龄是哥哥的2倍，所以哥哥现在的年龄是50÷2＝25（岁）。

或直接列方程求解：设弟弟今年为a岁，经过k年和哥哥现在的年龄一样大，那时的哥哥为（a＋k＋k）岁，爸爸为50＋k岁，则可得关系式：

（a＋k）＋（a＋k＋k）＝50＋k，即2（a＋k）＝50，a＋k＝25岁。【结束】

5、年龄问题例4：今年父亲的年龄是儿子年龄的10倍，6年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍，则今年父亲、儿子的年内分别是（）

A.60,6 B.50,5 C.40,4 D.30,3 【答案】D 【解析】法一：设今年父亲的年龄为X，儿子的年龄为Y，则X=10Y，X+6=4(Y+6)从而可以计算出答案X=30，Y=3.法二：此种类型题在考试的时候完全可以使用带入法，将四个选项都加上6，看看是否成4倍的关系很快就能够得出答案。此种方法很快！

【结束】