高等数学课程考试说明小教（精选五篇）

第一篇：高等数学课程考试说明小教

高等数学B(1)课程考试说明

四川电大责任教师

本期高等数学B(1)内容包括函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积

一、函数

本章的重点是理解函数的基本概念和掌握基本初等函数的解析式、定义域、性质及图形。对函数的概念要着重理解定义域和对应关系，能熟练求出函数的定义域和函数值。函数有四种属性：单调性、奇偶性、周期性、有界性，要注意一个函数并不是一定具有上述四种属性或其中之一，而是可能具有。要会判断函数是否具有上述性质，记住这四种属性的图形特点。理解复合函数和初等函数的概念，会把这复合函数分解成较简单函

例1求函数y

1x23ln(x1)

［分析］函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围。一般地是使解析表达式有意义的x的取值，如对数函数中的真数要大于0，分式中分母不为0，偶次根式下的表达式不小于0 解:

x10ln(x1)0x230因此定义域是xx1

x2

x3 3且x2例2

下列函数中，哪些是奇函数，哪些是偶函数?(1)yxsin2x 3axax(a0,a1)（2）y2axax(a0,a1)（3）y2(4)ylnx((5)yxlnxx21)

［分析］根据奇偶函数定义：若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)，则f(x)

解(1)

f(x)(x)3sin(2x)(x)3(sin2x)x3sin2xf(x)

故yx3sin2x

axa(x)(2)f(x)

2axaxf(x)

2axax故 y

axa(x)axax(3)f(x)

22axaxf(x)

2(4)f(x)ln(x(x)1)

ln(xx21)

ln(xx21)(xx21)xx12 ln1xx12

ln(xx21)

f(x)

故f(x)

(5)f(x)xln(x)f(x)(或f(x))

f(x)

注意：既是奇函数又是偶函数的函数存在吗?存在，只有f(x)0

例3

x22x0y 1x0

arctanxx0求f(1), f(0)，f()，f(1)，f()（a0［分析］求分段函数的函数值,应注意y2解:

f(1)123, f()1 121a

12f(1)arctan(1)4

111f()()2222 aaa

(1)函数y1x1 的定义域为____________ln(3x)

2(2)设函数f(x1)x1，求f(1)，f(x)(3)下列每对函数中，哪一对函数是相等的函数? Af(x)x2,g(x)x

f(x)lnx2,g(x)2lnxx21f(x)x1,g(x)

x1f(x)ln(x1)xln(x1)，g(x) xx2(4)将函数y2sin2x42lnx(5)下列函数中，哪一个是偶函数?

f(x)sin2xcosx

f(x)lnxx2

f(x)ln(x21x)

f(x)eexx

(1)1x3且x2(2)1，x2x2(3)D

s2

(4)f(x)uv,u2,ssint,t2x;

vw,w42p,plnx

二、本章的重点是求极限和理解函数的连续性概念。极限的概念是难点，要知道极限是描述变量变化趋势的概念，是由变量的变化趋势所决定的。函数在一点极限存在的充分必要条件是它在该点的左、右极限存在且相等，与在该点函数是否有定义无关(即存在极限未必有定义)，x21lim2x1x1如f(x)

xxx0在x00x0

无穷小量是一种特殊的且很重要的变量，它有两个很重要的性质，对求极限很有用：①有限个无穷小量之和还是无穷小量；②无穷小量与有界变量乘积仍是无穷小量。要理解无穷小量的概念及其性质，会判断一个变量是否为无穷小量。求极限是重要的计算问题之一，其方法很多，技巧性强，学员应多做练习去掌握。比较基本的方法有以下几种：(1)(2)(3)

sinx11和lim(1)xex0xxx1变量形式及自变量变化趋势。若设tx11tsin

1和

lim(1)te

limtt0tt(4)lim

limsinmx1f(x)m，lim(1)ex0f(x)xf(x)

(5)用洛比塔法则计算(第四章内容)本章的另一个重点是函数的连续性，函数f(x)在一点x0处如①f(x)在x0②f(x)在x0③limf(x)f(x0)

xx0

则称f(x)在x0处连续，否则称x0是f(x)的间断点。会判断函数在一点的连续性、间断点的类型。掌握连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为连续函数，初等函数在

例4

(1)limx0sin3xx112

(2)lim(x2xx)

xx501(3)limx(2x1)30(x1)20

tan(x1)2(4)lim

2x1x11x22x1)（5）lim((xx)sin2x1x1x12

(1)［分析］分子、分母当x0时，同趋于0，先将分母有理化后，再利用重要极限计

解

limx0sin3xx11limx0sin3x(x11)(x21)21limsin3x(x11)

x0x3lim6 sin3xlim(x11)

x03xx0(2)［分析］x时，x22x，不能直接得x22xx0，应有理

解 ：

xlim(x2xx)lim2(x22xx)(x22xx)x2xx2x

limx22xx2x2xx2121x2x

limx(分母、分子同除以x)1

(3)［分析］x时，分子、分母同趋于，由于分子、分母都为x多项式，故分子、分母同除以x解 ： 5050

1150x501xlim lim30203020xx(2x1)(x1)11(2)(1)xx

=(4)

解 ：

1302tan2(x1)sin2(x1)cos2(x1),x21(x1)(x1)

sin(x1)tan(x1)122 lim()lim2x1x1x14x1(x1)cos(x1)2(5)［分析］这是一个和式求极限，第一项消去x1零因子后再计算，第二项利用无穷

解：

1x22x1x22x11lim((xx)sin)limlim(x1)sin x1x1x1x1x1x21x212limx1x100x1

例5

问k

1x0sin(ln)f(x)

x1x0k在x0处连续。

解 ：

limf(x)f(0)

x0limf(x)limsin(lnx0x0x01)x1

limsinln10 故k0时函数f(x)在x0

(1)下列变量哪些是无穷小量?

lnx(xo)，②

e

(x)，③ e

(x)x1xx)sinx(x0), ⑥ ④

lnx(x1)，⑤

(1cos⑦(x1)sin(2)

sinx(x0)x1(x1)，⑧ x1

1x1(x1)

(cotx)① lim1x0xx1xlim()xx312x3x1lim(sin(x1)3)xx3xx22limtanxsinx

x0sin3xsinxcosxlim(2)xx1x1⑥ limx(x2arctanx)

⑦ lim(x12xx0)

1x1sin3x(3)13xf(x)(1x)kx0x0

在x0处连续，则k______________

(1)(2)①0，②e，③（３）e 134

2112, ④，⑤，⑥１，⑦e6322

三、本章的重点是理解导数的定义、几何意义及求导数(或微分)。对导数定义要结合导数的导数是微积分中的重要计算问题之一，导数(或微分)基本公式表和四则运算法则是求导(或微分)

(1)(2)复合函数求导法则求导(一阶、二阶)

(3)隐函数微分法(一阶)，注意y是x的复合函数，含y的项求导时一定会产生y′项。(4)参数式表示的函数求导数(一阶)

x(t)y(t)dydydt, 则 dxdxdt(x)(5)幂指函数y(x)例6

(1)y的求导和多个函数相乘除的求导，这是采用对数求导法计算

xsinx1'，求yxsin2x2

（2）y2，求 dy

(3)ycos(ln1)，求y'(1)x1(4)设xet2ytt

/

求yx

(5)设yy(x)解：(1)yexy2sin(xy)1确定，求y'

xsinx11sinx1

xxxx1x)'(sinx'1)()' xx故y'（11xcosxsinx12 22xxxxsin2x2(2)dy2xln2(sin2)'dx

2xx1ln22sincosdx

222x

=2sin2x2ln2sin222sinxdx

=2(3)ysin(ln/11')(ln)x1x11x11'sin(ln)()

x11x1(x1)sin(ln11) x1(x1)211sin(ln)x1x111y/(1)sinln

22(4)yt2t'12t,xt'12tet

dydx2t12t12tet4tt1et

(5)方程两边对x2

(xy2)'exy(xy)'cos(xy)0(12yy)e'xy2(yxy')cos(xy)0

(exyycos(xy))' y2yxcos(xy)

(1)下列结论正确的是（）A

(2)函数y2lnx在(1,2)处的切线方程是（）A． yx

1Ｂ． yx1 Ｃ． y

2111

Ｄ． y1 xx

//(3)函数ylncosx，则y（Aysecxtanx

Ｂ． ysecxtanx11

22cosxcosx

x(4)①yarctane，求dy ②求由方程x3y33axy所确定的隐函数y(x)的导数y/③求由参数方程

x1tdy

 t

所确定的函数y(x)的导数ydxt4④y1ln2xesinx，求y/⑤yarcsin(2 lnx)，求y/x ⑥yxcosx，求y/

(1)(2)(3)

exayx2dx，②2(4)①dx,1e2xyax④

8t1 2(t4)lnxx1ln2xesinxcosx

⑤2arcsin(lnx1lnx)22xxxlnx⑥（cosxsinxlnx)xcosx x

四、本章的重点是用导数讨论函数单调性、极值点及极值，讨论凹凸性及拐点，求解极值应

4.1

会用中值定理证明恒等式、不等式、求函数的零点，记住中值定理的条件和结论(罗尔定理、拉格朗日定理)

4.2会用洛必塔法则求“0”或“”型未定式极限，方法是分子、分母各自求导0

4.3判别函数的单调性：设函数yf(x), x(a,b)，掌握f(x)单调的判别方法，即

0,f(x)在(a,b)单调增加 f'(x)0，f(x)在(a,b)单调减少个别孤立的导数为0，不影响其3

如x在(,)上单调，但是y/(0)0除外., y/04.4

设f(x)连续且f/(x0)0或f/(x0)0,x0不是极值点 f/(x0)f/(x0)(其中0）0，x是极值点0 f/(x0)0，则x0f/(x0)0，则x04.设yf(x), x(a,b)，f/(x0)0且f(x)f//(x0)0,f(x)在(a,b)内是的 //f(x)在(a,b)内是的f(x)0,00,(x0,f(x0))不是拐点（其中0）f//(x0)f//(x0)0,(x0,f(x0))是拐点

4.6

(1)设出变量、自变量与因变量(目标函数)(2)

(3)求一阶导数，令y/0(4)

x例7

证明：当x0时，有ex1

［分析1］证明的关键是找到满足中值定理的函数。对本题，令f(x)ex，任取x0，显然f(x)在区间[0,x]上连续，在区间(0,x)

［分析2］用函数的单调性。令f(x)exx1，显然f(x)在x0的区间上连续，可导。

设法证明f/(x)0，当x0时，又x0时，f(x)0。所以x0时，f(x)0。例8

(1)

excosx1lim x0sin2xx1（2）lim(（3）lim11)x1lnxxxxx

（4）limx(x2arctanx)

解:(1)当x0时，分子、分母都0excosx1excosxexsinx1limlim x0x02cos2x2sin2x(2)

lim(x1110lnx(x1))lim(“”)x1(x1)lnxx1lnx0111xxlim

=lim

x1x1x1xlnxx1lnxx11lim x1lnx112(3)“

xlimxxxlim1100x12x11 10(4)0型，化成“

xlimx(2arctanx)lim2xarctanx1x2121x limx12x 例9 求函数yxln(1x)2x1x22x(x1)2y 解:

y1221x21x1x'y的定义域是(,)，且对任意的x,都有y/0，故函数yxln(1x2)在定义域区间(,)内是单调增加的，从而函数yxln(1x)22(1x2)2x2x2(x21)因y 2222(1x)(1x)////当x1时，y0，//当x1时，y0，2故函数yxln(1x)在区间(,1)内是凸的，在(1,)内是凹的。(1,1ln2)是拐点。

例10

设水桶的底半径为r,高为h。水桶水平放置，上方中央(h/2处)有一个小孔, 小孔到水桶底的最远距离是a。试求r及h为何值时，水桶有最大的容积?

解:

设容积为V

(2)2hvr2h

4变量h，rh4r2()2a2 从中解出r，代入到Vv h2h(a()2)

v'hh((a2()2)h)422令V′＝０，得h23a

23在h有意义的范围内，只有一个驻点，故为所求。于是当ha

r6a

时，6

(1)下列命题不正确的是（）

f(x00)f(x00)xx0limf(x)

x0处可导，则一定在x0[a,b]上恒有f/(x)0，则f(x)在右端点xb

处达到最大值。(2)函数y(x1)2

1的单调增加区间是_________________

x2y21

内，求使其面积为最大的矩形边长。(3)设一矩形内接于椭圆46(4)把一根长为a的铅丝切成两段，一段围成圆形，另一段围成正方形，问这两段铅丝

(5)讨论yxlnx

(1)(2)x1

(3)提示：设矩形在第一象限内的点为P(x,y)，则矩形面积为S4xy，其中y632x,x2 是S的最大值点，2 当矩形边长分别是22和23(4)提示：设圆周长为x，则正方形周长为ax，其面积之和为

x2ax2)()，24a4a当铅丝长分别是，44s（(5)单调增加区间是(1,)，减少区间是(0,1)，极小值点是x1，极小值是1，在(0,)内是凹的，没有拐点，最小值是1

5.1掌握原函数与不积分是导数(或微分)导F(x)Cf(x)(F/(x))

 F(x)C f(x)积分积分的概念并不难理解，在区间上的函数f(x)和F(x)，只要满足F/(x)f(x)，F(x)就是f(x)的一个原函数，F(x)C就是f(x)的不定积分，即f(x)dxF(x)c

5.2 5.2.1

直接利用积分公式或对被积函数进行恒等变形后再直接用积分公式得到积分结 5.2.2

分第一换元积分法和第二换元积分法，它们是同一个问题从不同方向进行分析而

f(x)dxF(x)c

则括号内的x换成任何可微函数或变量，上式都成立，即

f((x))d(x)F((x))c

实际问题中，上式左端常常是

f((x))(x)dx形式，这就需要将(x)dx

''凑成d(x)，而这一步往往是不易看出来的，而要经过大量练习后方能掌握各种凑微分

无论是第一换元法还是第二换元法，都是为了使被积函数化成基本积分公式的形式，以便得出结果，23x13xdx

12dx

2112d(1x)d(13x)

26因为

xdx122u13xx13xdx(13x)d((13x))（令）63212312

(13x)4c

8第二换元法主要用于去根号，一类是进行三角变换

3xasint,xatant,xasect等；一类是令xnt,xtm。

5.2.3

''分部积分法是uvdxuvuvdx 或udvuvvdu

分部积分主要有三个类型(七种)(1)∫多项式×指数(或正(余)弦)函数×dx

三(角函数)、指(数函数)动，多(项式函数)不动。如计算

xcos2xdx，dxdtgx

所以选vtant，uxcos2x(2)∫多项式函数×对数(或反三角)函数×dx 因为多(项式函数)动，对(数函数)、反(三角函数)不动。如(x1)lnxdx，选dv(x1)dx1d(x1)2,ulnx2(3)∫指数函数×正(余)弦函数×dx

动与不动可任意选择.2x有时需要多次使用分部积分，如xedx

例11

(1)(3x

1x1xsinx)dx

x（2）4dx

2(12x）xx5（3）e(e2)dx

（4）23xdx

（5）1lnxxlnxdx

(6)解:(1)ex2dx

1x3(x1x1xsinx11)dx3xdxdxdxsinxdx xxx3=x32xlnxcosxc 42)由于dx41d(12x)，故 2414=dx(2(12x）(12x)22d(12x))

2=(3)

令te2 xd(12x)（令u12x）2(12x)2c

12xdtexdx16tc 6

5xx5e(e2)dxtdt

=(4)

23xdx1x(e2)c 6123xd(23x)

333212(23x)2c(23x)2c 339(5)由于1dxdlnx

x1lnx11dxdxxlnxxlnxxdx dlnxlnxlnx=ln(lnx)lnxc 11(6)设t，则dt2dx

xx=etx2dxe(dt)

=ecec

例12

(1)

t1x1xex21x2x12dx

（2）1xx12dx

(3)dx

（4）ln(xx21)dx

解:

(1)由于是1x2型，故设xsint，则1x21sin2tcos2tcost，dxcostdt 于是积分sin2tcostdt

dx 2cost1xx22=sintdt =11tsin2tc 24x1x2由三角形知，设sintx，则 cost

11sin2t2sintcost2x1x2

x21x2dx1xarcsitn1x2c 22(2)

由于是x21型，故设xsectx21sec2t1tant

dxtantsectdt

故x1x21dx1tantsectdt

secttant

tc

1c x12(3)设t2x1，x(t1)

2dxtdt，于是

arccose2x1dxettdttdet

tetetc

e(4)2x1(2x11)c

2x2x212

1ln(xx1)dxxln(xx1)x1)222xx1xdx

xln(x(xx21)x(xx1)x122dx

xln(xx21)xdxx12

xln(xx21)x21c

5.3

形如p(x)dxq(y)dy解法：分离变量，例13

y3y'10 , y(1)1

解:

方程变形为 y3y'1 , 分离变量

y3dydx

两端积分得

将y(1)1代入，得C 14yxc 44 5y44x5

练习(1)若f(x）dx5x3c，则f(x)（32

Ａ．5x

Ｂ．15x

Ｃ．15xc

Ｄ．(2)计算下列积分

①(x1)lnxdx

②sin254x 4xdx

x21dx

dx

④③1xx1lnx⑤1xdxdx

⑥1ex12x

21x122⑦4exdx

⑧xcosdx

2x答案

(1)B(2)①

111(x1)2lnxx2xlnxc；

242②2xcosx2sinxc；

③1(x1)2ln(x1)c；

2exc ；

④21lnxc；

⑤lnxe111212x2c；

⑦ex(22)c；

⑥2xx⑧2xsin21xx1x8xcossinc。

22626

定积分及其应用

本章的重点是定积分的计算及其应用(求面积和求体积)6.1

定积分是一个和式的极限，要记住：定积分是一个定值，它与积分变量无关，即

bbf(x)dxf(t)dt

aa常用性质：

abaf(x)dx0；

f(x)dxf(x)dx

aabbcbf(x)dxf(x)dxf(x)dx

aac

aaf(x)dx0，当

aaf(x)f(x)

af(x)dx2f(x)dx

当

0f(x)f(x)

定积分与不定积分是两个不同的概念，牛顿—莱布尼兹公式把它们联系在一起，设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)bf(x)dxF(b)F(a)

a从而解决了定积分的计算问题。因此，不定积分的计算方 法都可以搬到定积分上来。先求处)，有了F(x)，只要再求F(x)在上限与下限值的差即可。不过，这样计算定积分，有时显得繁了些，因此，定积分有换元积分法和分部积分法。注意，“换元必须换限”；当计算熟练以后，用凑微分的方法，又常常不引积分中间变量，也就是不进行变量替换，“不换元决不能换限。”

6.2

微积分基本定理，原函数的存在性为引入牛顿—莱布尼兹公式奠定了基础。求变上限的定积分的导数是重要内容，变上限定积分的导数，等于被积函数在上限处的值。要

设函数f(x)在[a,b]上连续，当x[a,b]时，f(x)在[a,x]上的定积分

xf(x)dxF(x)c(为求定积分，此处的C没有用(x)f(t)dt是变上限x的函数，它是f(x)的一个原函数，a即

(x)f(x)注意：

(x)'(1)(baf(t)dt)'f((x))'(x)dx((x)是可导函数)；

(2)(f(t)dt)f(x)

x'6.3

6.4掌握求平面图形面积和旋转体体积的方法 例13

12x23x51xdx

（２）2(1)dx

02x31x05解: 52x23x52x(x3)3(x3)4dx(1)dx

x3x30055(2x304)dx

x3(x23x4ln(x3))

104ln84ln

3(2)1201x1x2dx=12011x2dx120x1x2dx

=arcsinx(1x2)

=63

12x例14

求下列极限

(1)

limx0x0co2stdtx

（２）limx00arctatdntx2

［分析］这两个极限都是“00解:

(1)limx0x0cos2tdtxcos2xlim1

(用洛比塔法则)x01limarctanx

x02x(2)limx0x0arctantdtx2

=lim1

x02(1x2)

=22例15

求C值，使抛物线yx2x与直线ycx所围成图形的面积是 抛物线yx22x、直线x2c和直线y0所围成图形面积的一半。解:

yx22x交x轴于(0,0)及(2,0)点，它与ycx交于(0,0)及(2+C,C(2+C))点，所以直线x2c过yx22x与ycx(非原点)的交点。

yx22x与ycx所围图形及yx22x，y0，x2c所围图形的面积分别记为A和B2c

A 2(cx2xx)dx

01(c2)3 622(2xx)dx

b2c

=(c2)(c2)13324 3由B＝２Ａ，得(c2)2423，所以c2，33舍去负值，得C＝练习

x232

3(1)极限limx02sintdt0x2 ________________________(2)2dx①

②21xxln202ex1dx

12③xcos2xdx

④x001x2dx

dxdx⑤x

⑥

x220ee1x(1x)1答案

① ln④ 4

② 2

③

322e

⑥ 1

⑤ tan1644

第二篇：高等数学课程总结

姓名：学号：

高 等 数 学

课 程 总 结

班级：机械设计制造及其自动化 指导老师： 2015年9月我步入合肥学院，并在这里开始了我新的学习生涯。在这里一切都和高中有所不同，一切都变得陌生，新奇而又迷茫。10月份我第一次接触高数，并在之后几月的学习中对高数有了一定的了解。

对于许多文科学生来说，数学也许是一个令人有些畏惧的名词，有些同学也许就是因为数学学不好或者不太喜欢数学，而选择了学文科的，但是，对于任何一个文科生来说，数学都是非常重要的，有人把数学比做是文科生的生命线，有人说数学和英语在很大程度上决定了一名文科生的层次，这都是有一定道理的。因此，一定要尽自己最大的努力来学好数学.在我看来，数学其实是一门非常奇妙而有趣的学问。只要你有一双善于发现、敢于发现的眼睛，你就能够找到数学的魅力所在，就会对它产生兴趣。而兴趣是最好的老师，如果你既对数学感兴趣，又下定决心努力学好数学，那又怎么会学不好呢?

课本对于数学来说，是很重要的。我们做的试题,有很多都是课本例题或其“变种”只要花上一点点时间把课本好好看看，要拿下这些题便易如反掌；反之，要是对一些基本的概念、定理都含混不清，不但基础题会失分，难题更不可能做得好。数学的逻辑性、分析性极强，可以说是一种纯理性的科学，要求思维清晰明了，因而基础知识十分重要，尤其是对于数学不是特别好的同学来说。合院版《高等数学上册》共分四个大章节，分别为第一章 函数与极限；第二章 一元函数微分学； 第三章 一元函数积分学； 第四章 常微分方程。

第一章函数与极限：

函数与极限为基础学习模块是之后微积分学习的工具，主要要求掌握函数的定义域和两个重要的函数。

第二章 一元函数微分学：

该章节为本书重点章节，要求掌握导数的意义，隐函数的导数，导数的定义，洛必达法则，曲线的切线方程，单调性凹凸性，微分近似计算，中值定理，麦克劳林公式等。

第三章 一元函数积分学

该章节重点要求掌握定积分的计算，不定积分的第一、第二换元法，定积分的定义，反常积分的计算，变上限积分的计算，曲线弧长面积，旋转体体积的解法等

第四章 常微分方程

要求掌握可分离变量的微分方程的解法，和一阶线性微分方程的解法。

以下是我个人觉得在数学学习过程中非常必要的几点:

1、按部就班。数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。所以，平时学习不应贪快，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。

2、强调理解。概念、定理、公式要在理解的基础上记忆。我的经验是，每新学一个定理，便尝试先不看答案，做一次例题，看是否能正确运用新定理；若不行，则对照答案，加深对定理的理解。

3、基本训练。学习数学是不能缺少训练的，平时多做一些难度适中的练习，当然莫要陷入死钻难题的误区，要熟悉常考的题型，训练要做到有的放矢。

4、标出重点。平常看题看课本的时候,碰到有好的解题方法或重点内容,可以用鲜艳的彩笔划出来,以便以后复习时能一目了然.

第三篇：高等数学课程简介

数学的学习，本质的目的不仅仅是让你去解题或掌握数学知识，而是让你在脑子里形成一种严谨、动态的思维方式，这种思维方式对 其他科目的学习是极为重要的。初等数学：几何学：研究空间形式

代数学：研究数量关系

高等数学 解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几何部分内容已经在中学学过

线性代数：研究如何解线性方程组及有关问题

高等代数：研究方程式的求根问题

微积分：研究变速运动及曲边图形的求面积问题

概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理

所有这些学科构成高等数学的基础部分，在此基础上建立了高等数学的宏伟大厦。

初等数学和高等数学最大的区别就是： 高等数学是建立在微积分 之上的，而初等数学不是。微积分是现代数学最基本的一个工具，所 以说没学过微积分就等于没有学过真正的数学。

内容： ： 基础——极限

主要——微积分： 一元微分： 导数与微分 导数与微分的应用 多元微分： 多元微分以及应用

一元积分： 定积分，不定积分，广义积分 定积分在几何及物理上的应用。多元积分： 重积分 曲线积分 曲面积分 三种积分在几何，物理上的应用。

微积分里面最漂亮的定理就是斯托克斯公式，这个公式也是多元微积分的顶峰。单变量微积分中的牛顿-莱布尼茨公式就是其表现形式，多元微积分学中的格林公式和高斯公式也是其表现形式。现代数学最基本的两门学科就是微积分和线性代数。正如华罗庚的大弟子龚升教授所说的： “一个学生或者老师说他学了多么多么高深的专业，但是他连微积分和线 性代数这两门课都弄不清楚的话，那一切都是空的，糊弄外行是可以，但是如果真刀真枪干数学是不行的”。如何学好高等数学平心而论，高等数学确实是一门比较难的课程。极限的运算、无穷小 量、一元微积分学、多元微积分学、无穷级数等章节都有比较大的难度。很多学生对“怎样才能学好这门课程？”感到困惑。要想学好高等数 学，要做到以下几点： 首先，理解概念。数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质，弄 清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。其次，掌握定理。定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到 有的放矢。不是每个定理都是关键的定理，因为有些定理只是关键定理的推广而 已。我们可以用读故事的心态去学数学，每一个定理就像一个故事中 的结局一样，一定有它的前因后果，只有弄清楚了某些定理和定义的 终极目的，我们才能真正掌握它。如果我们学了一系列的定理或者定 义，却不知道这些定理和命题是为了什么而服务，那么一切都是无用 功。第三，在弄懂例题的基础上作适量的习题。要特别提醒学习者的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例 题的特点和解法在理解例题的基础上作适量的习题。作题时要善于总结----不仅总结方法，也要总结错误。这样，作完之后才会有所收获，才能 举一反三。第四，理清脉络。要对所学的知识有个整体的把握，及时总结知识体 系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。高等数学有两个特点：1.等价代换。在极限类的计算里，常等价代换 一些因子（这在量的计算中是不可理解的），但极限是阶的计算。2.如果原函数形式使计算很困难，可使用原函数的积分或微分形式，这是化简计算的思想。这三个函数之间的关系就是微分方程。

现代数学是自然科学的基本语言，是应用模式探索现实世界物质 运动机理的主要手段，更是现代技术与工程必不可少的工具。历史物理学、天文学、力学的许多重大发现无不与数学的进步息息相关，如：牛顿力学、爱因斯坦的相对论、电磁波和光的本质的发现、海王 星和冥王星的发现、量子力学的诞生等等。20世纪最伟大的技术成就 电子计算机的发明和应用都是以数学为基础的。而现代的许多所谓高 科技更是本质上就是“数学技术”，如：医学上的 CT 技术、指纹的存储和识别、飞行器的模拟设计、石油地质勘探的数据处理分析、信息 安全技术、保险精算、金融风险分析和预测等等。当今的数学不再只 是通过其他学科间接地应用于各技术领域，而是广泛地直接地应用于各技术领域中。

第四篇：高等数学课程简介

高等数学课程简介

课程的性质、目的和任务

《高等数学》是培养学生掌握科学思维能力、掌握数学知识和数学技术的重要基础课程。该课程所论及的科学思想和方法论，在自然科学、工程技术、经济和社会科学等领域中具有广泛应用和强劲的活力。

大学是一所以工为主、文理结合的综合性大学，其中理工类专业占绝大多数，本课程是大学理工科各专业的一门必修公共基础课，因此本课程安排在第一学期和第二学期开设，是考虑到工科学生必须具备高等数学的基础知识，才能理解掌握用数学语言表述的数学规律，并学会用数学的方法解决数学问题，为基础课专业基础课打下良好的基础。

课程教学的主要任务是培养学生掌握经典数学和近代数学的基本概念、基本原理及解题方法，掌握当代数学技术的基本技能；培养学生学会建立数学模型，具备用数学学方法解释自然规律探索自然界奥秘的科学思维能力。

（二）教材与参考书

高等数学教研组的几位具有多年教学经验的教师于97年组织编写了一套《高等数学》教材，由机械工业出版社出版，此教材是根据我校工科各专业特点而编写，至2003年末已连续使用5届，学生们及后续专业课教师普遍反映很好，2004年我们采用了面向21世纪国家级重点教材—同济大学主编的《高等数学》（第五版）。此外，我校图书馆及应用数学系资料室又购进大批面向21世纪的国优、省优的相关教学参考书。

（三）师资队伍及学术水平

《高等数学》课程由应用数学系教师担任，师资力量雄厚，有教师18人、其中教授5人、副教授4人，讲师5人，助教4人，年龄均在50岁以下，平均年龄为37岁，职称结构合理，年龄结构优化，充满生机和活力。部分教师已有20多年的教龄，具有丰富的教学经验，带动和培养了青年教师的教学水平的提高。18人中有4人正在职攻读博士学位，2人即将毕业，3人正在攻读硕士学位。中、青年教师承担了多项科研和教改课题，具有较强的教学和科研开发能力，近4年来，在各类学术刊物上发表论文100余篇，统编教材4部，完成和正在承担的科研和课程建设项目19项。其中国家级3项，省级3项，市校级10项，获省级以上科研成果奖励3项（佐证材料参看附表六和附表七）。高职授课率为100%

（四）教学设备和图书资料

学校近几年陆续建设了大量的多媒体教室，为一些课程进行现代化教学提供了方便条件，近几年，高等数学课的教学采用多媒体教学与传统教学手段相结合的方式，先后购买引进、联合开发、自主开发了本课程的三套教学课件。近四年里，应用数学系资料室购置国内外数学图书500余册，每年订阅相关杂志30余种。

（五）教学内容、方法与基本要求

理工类《高等数学》课程内容做统一要求，其中包括：（1）极限与连续；（2）一元函数微分学；（3）一元函数积分学；（4）向量代数与空间解析几何基础；（5）多元函数微分学；（6）多元函数积分学;（7）级数；（8）微分方程。（佐证材料参看附表十六到附表二十三）。

课程的基本要求：提炼经典数学内容、加强近代数学知识及前沿的内容。三百多年来，高等数学理论的发展推动和促进了许多工程技术学科的形成，在高等数学有限的学时内为了打开接触现代高科技领域的窗口，使其具有较强的可持续发展性。

教学方法的改革，本课程在长期的教学实践中形成了如下“三结合”的特色：（1）教学与科研相结合。为了从根本上提高教学质量，教师应该努力提高科研水平，将当代最新的科研成果渗透到课堂中，才能为学生指明正确的方向。近几年来，我们发表科研及教学法研究论文 篇，主持国家级科研项目 3 项，主持省部级科研项目5 项。（2）教学手段与教学内容改革相结合。几年来，自主开发、联合开发、购买引进高等数学CAI课件3套，极大地丰富了教学手段，同时，鼓励教师开展丰富多彩的课外辅助教学，并准备开设网上答疑系统。在教学内容上，将数学建模的思想渗透到理论教学中，结合教学进度，将数学软件Maple、Matlab介绍展示给学生，增强了学生的应用技能。（3）参加数学建模竞赛与教学改革相结合。通过参加数学建模竞赛，使得广大教师摆脱了传统教学体系的束缚，广泛借鉴了兄弟院校的教学改革经验，将数学建模竞赛中思想、方法渗透到日常的理论教学之中，并通过课件的反复修改提炼，使全体教师的教学水平进一步提高。

（六）现代化教学

先后购买引进、联合开发、自主开发了本课程的三套CAI课件，连续四年来（02——06年）广泛开展了教学手段与教学内容的改革。普遍采用多媒体教学与传统教学相结合的教学手段，将数学建模的思想方法、Maple 与Matlab等当代数学软件的基本功能，渗透穿插于理论教学的全过程，突出应用技能的培养。（佐证材料参看附表二十五）。

（七）建立和使用试题库

96年引进西安交通大学的《高等数学》试题库，04年又购买了其升级版，使用近8年，01年引进高教出版社出版的《线性代数》、《复变函数》、《概率论与数理统计》和《近代数学学》试题库，近六年的《高等数学》考试完全由试题库组题。（佐证材料参看附表二十四）

（八）考核方式

经过多年的教学实践，我们总结经验，制定了严格、细致的命题实施细则和评卷实施细则，在日常教学与考核方式上实行“五统一”，即：统一教学大纲、统一教学日历、统一命题、统一阅卷、统一学生评教系统。（佐证材料参看附表十六到附表二十三以及附表三

十二、附表三十三和附表三十四）。

（九）课程建设

近五年来，高等数学课程申报了多项省级及校级课程立项并获得批准，资助金额十余万。提供了参加学术会议、购买图书资料、教材的建设、多媒体课件的开发等经费。通过近几年的建设，今年准备申报校及省级精品课。（佐证材料参看附表十）。

（十）青年教师培养

近五年来，我们引进中青年教师6人，其中原来是高校教师的1人，科研单位的1人，博士毕业生1人，硕士毕业生3人（现1人已获得博士学位，1人在读博士），本科毕业生2人（1人已获得硕士学位，1人在读硕士）。一直以来，我们非常重视教师队伍的建设，对青年教师的培养尤为重要，青年教师入校时，校内组织岗前培训，分配到各院系后，院系制定详细的培养计划，每一位青年教师都有专门的老教师进行指导培养。院里多次组织青年教师的教学比赛，选拔出几名优秀的教师参加校级的教学比赛，其中我系青年教师赵冰、李静、张彦分获得燕山大学青年教师教学基本功竞赛一、二等奖。组织青年教师聆听优秀教师讲课，听名师讲座和知识创新讲座。鼓励青年教师继续深造，近四年有4名教师考取博士生和2名教师考取硕士生，其中1名博士和1名硕士已毕业。（佐证材料参看附表十三和附表十四）。

（十一）教学组织管理与教学研究改革

严格执行学校的教学规章制度，教学日历科学严谨，课前准备充分，有完整的教案及讲义，课堂教学严肃认真，内容传授条理清楚，语言表达准确，课后辅导答疑细致、耐心，学生作业批改及时、认真。坚持听课制度，教师之间互相听课，互相交流，实行年轻教师的导师负责制（佐证材料参看附表十一）。

组织全体教师积极投入到教学研究和教学改革中，2005年申报成功校级课程建设项目“工科高等数学教学课程体系的建设”，从课程体系、教学内容、教学手段、考核方式、实践环节等各方面对本课程进行全方位改革和建设。（佐证材料参看附

第五篇：高等数学课程教学设计方案

高等数学（2）课程教学设计方案

中央电大教务处教学管理科

（2005年04月15日）

（修订稿）

一、课程概况

1．课程的性质、任务

“高等数学（2）”课程是中央广播电视大学电子信息技术专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。

通过本课程的学习，要使学生掌握课程内容的基本概念和基本方法，逐步培养抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、对实际问题进行统计判断的能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。

2．课程内容的设置及其指导思想

“高等数学（2）”课程计划学时是63学时，内容包括“空间解析几何与向量代数”、“多元函数微积分”、“傅立叶级数”。具体设置见教学大纲。

“高等数学（2）”课程的教学内容设置是根据电大电子信息技术专业专科层次的培养目标要求，以“必需、够用”为度，其指导思想是降低理论推导，加强基本概念和基本方法的训练，不追求繁琐的计算和变换技巧。

二、学习者需求分析

广播电视大学是远程开放教育，学习者主要是在职的成人和社会青年，他们学习的主要特征是：

学习的目的性明确，他们或为提高自身的业务水平而学习，或为就业做准备而学习。因此要求所学内容要针对性强，能够学以致用。

实践经验丰富，自学能力比较强。他们一般欢迎方便自学的学习媒体。

工学矛盾突出、缺少必要的学习环境、负担较重。希望学习媒体具有方便、经济和效率高的特点

基本素质参差不齐。要求学习媒体能够因材施教，需要教学服务系统的支持。

三、教学实施方案

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（一）教学大纲

教学大纲是课程教学的根本依据。“高等数学”教学大纲所规定的教学内容符合教育部理工专科层次“高等数学”的教学基本要求，符合基础课内容设置“必需”、“够用”的基本原则。教学过程中，应遵循教学大纲实施教学。

（二）教材

1．文字教材

“高等数学（2）”文字主教材使用《高等数学（下册）》和《高等数学（上册第二分册）》，柳重堪主编，中央电大出版社出版。

教学内容为第9章至第12章以及第7章中“傅立叶级数”的内容，63学时。

2．录像教材

录像教材由柳重堪教授主讲，共34学时，可与高等数学文字教材配套使用。

3．VCD教材

VCD教材的内容采用分标题、模块式讲座的教学方式，主要讲授课程的的基本概念和基本计算方法，以重要知识点为模块，利用VCD的可交互性，供学生自主学习使用。

（三）其他辅导措施

每学期利用BBS进行一至两次辅导，主要内容是各章自我检测题目解答、各章内容的总结辅导及期末复习。

（四）形成性考核

1．形成性考核要求

独立完成形成性考核是学好本课程的重要手段。形成性考核的作业题目应根据教学基本要求精选，份量要适度，由易到难。通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。

每学期学生必须完成形成性考核的4次课程作业，形成性考核内容由中央电大统一规定。中央电大和省市电大将对规定的形成性考核的完成情况进行检查。任课教师必须认真批阅学生形成性考核的作业，并根据作业完成的情况进行评分，给出形成性考核成绩并计入学生期末总成绩。

开设本课程的地方电大可以根据教学情况，适当补充一定的练习。

2．形成性考核的作业评判

学生必须按规定时间完成形成性考核的作业，态度认真，字迹工整，抄写题目，解答题有解答过程。

任课教师必须按时收取形成性考核的作业，对于规定的作业进行详批详改，公平公正评定成绩，并对学生的作业情况做详细记录。任课教师应将批改后的作业返还学生，学生对做错的题目应认真进行改正。

形成性考核的作业最终成绩按平均值确定。

任课教师批改形成性考核的作业应记相应的教学工作量。

各省市电大须及时布置并检查学生作业的完成情况，并将检查结果进行通报。

3．形成性考核的作业成绩的认定

经办学单位鉴定，报上级教学部门审定，验收合格后成绩有效。

各省市级电大须在学期的第19周前对形成性考核的作业进行全部检查，并将作业成绩报送中央电大。

（五）考试

考试是对教与学的全面验收，是不可缺少的教学环节。

考试题目要全面，符合大纲要求，同时要做到体现重点，难度适中，题量适度，难度及题量的梯度应按照教学要求的三个不同层次安排，对未作具体要求教学的内容不作考试要求。

本课程的期末考试全国统一命题，统一评分标准，统一考试时间。

学生本课程的成绩由期末考试成绩和形成性考核成绩两部分组成，其中期末考试成绩占80％，形成性考核成绩占20％。

各地要严格考试纪律，统一把握评分标准，及时上报考试统计结果及分析报告。

中央广播电视大学高等数学（2）课程组

2005年03月25日