10.7相似三角形的应用 教案

第一篇：10.7相似三角形的应用 教案

相似三角形的应用(第3课时)备课时间：___________ 上课时间___________ 主备：刘拥军 审核：

课型：新授 一．教学目标

2教学重点、平行光线所形成的投影称为平行投影。

物体的视图实际上是该物体在平行光线下且光线与投影面垂直时形成的投影。

太阳光线可以看成平行光线，在阳光下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；在同一时刻，不同物体的影子长与它们的高度成比例，即两物体影子之比等于其对应的高的比。3.教学难点：

（1）探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为______投影.眼睛所在的位置称为_________.由视点出发的线称为___________.看不到的地方称为_____________。（2）。物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影（projiction）现象。我们主要学习了两种投影：_____投影、____投影。

二．例题讲解

例1：一条河的两岸有一段是平行的，在该河岸的这一段每隔5米有一棵树，河对岸每隔50米有一根电线杆。在这岸离开岸边25米处看对岸，看到对岸相邻d两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，且这两棵树之间还有3棵树，求河的宽度。

三．小结与思考

1、当进行平行投影时，在同一时刻，甲、乙两物体的高度之比等于_______________。

太阳光线可以看成平行光线，不同时刻物体在太阳光下形成的影子的大小和方向是______________.2、当进行中心投影时，灯光的光线可以看成是从一点发出的，在同—灯光下物体的影子与物体上对应点的连线肯定过光源所在位置。

3、视图与平行投影的联系：视图实际上就是该物体在某一平行光线下的________．

主视图（或正视图）就是一束平行光从正面照射物体产生的投影，左视图就是一束平行光从左面照射物体产生的投影，俯视图就是一束平行光从上面照射物体产生的投影．

四．训练巩固

1、由视点发出的线称为 _________，看不到的地方称为__________。

2、平行投影是由_______光线形成的；皮影戏中的皮影是由 投影得到的.3、张旭在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子（）A、相交 B、平行 C、垂直 D、无法确定

4、刘经纶同学分别于上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵随太阳转动的情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（）A、上午8时 B、上午9时30分 C、上午10时 D、上午12时

5、在太阳光下，转动一个正方体，观察正方体在地上投下的影子，那么这个影子最多可能是几边形（）A、四边形 B、五边形 C、六边形 D、七边形

6、有两根木棒AB、CD在同一平面上直立着，其中AB这根木棒在太阳光下的影子BE如图所示，请你在图中画出这时木棒CD的影子.7、陈可建和江悄悄到扬州大剧院观看张学友领衔主演的音乐剧《雪狼湖》．(1)坐在二层的陈可建能看到江悄悄吗?为什么?(2)江悄悄坐在什么位置时，陈可建才能看到她?

8、冬至时是一年中太阳相对于地球位置最低的时刻，只要此时能采到阳光，一年四季就均能受到阳光照射。此时竖一根a米长的竹杆，其影长为b米，某单位计划想建m米高的南北两幢宿舍楼（如图所示）。试问两幢楼相距多少米时，后楼的采光一年四季不受影响（用m,a,b表示）

9、我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？

10、加入你想利用树影测校园内的树高，你在某一时刻测得树高为1.5米时，其影长为1.2米。当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影长在墙上。经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么树高是多少米？

第二篇：《相似三角形应用举例》教案

《相似三角形应用举例》教案

一、教学目标

1． 进一步巩固相似三角形的知识．

2． 能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．

3． 通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．

二、重点、难点

1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．

2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．

三、例题的意图

相似三角形的应用主要有如下两个方面：（1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；（2）测距(不能直接测量的两点间的距离)．本节课通过教材P49的例3——P50的例5（教材P49例3——是测量金字塔高度问题；P50例4¬——是测量河宽问题；P50例5——是盲区问题）的讲解，使学生掌握测高和测距的方法．知道在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的各条线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解．讲课时，可以让学生思考用不同的方法解这几个实际问题，以提高从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题的能力． 应让学生多见些不同类型的有关相似三角形的应用问题，便于学生理解：世上许多实际问题都可以用数学问题来解决，而本节的应用实质是：运用相似三角形相似比的相关知识解决问题，并让学生掌握运用这方面的知识解决在自己生活中的一些实际问题的计算方法． 其中P50的例5出现了几个概念，在讲此例题时可以给学生介绍．（1）视点：观察者眼睛的位置称为视点；（2）视线：由视点出发的线称为视线；（3）仰角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；（4）盲区：人眼看不到的地方称为盲区．

四、课堂引入

问：世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．

在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？

五、例题讲解

例1（教材P49例3——测量金字塔高度问题）

分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度． 解：略（见教材P49）

问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？（如用身高等）

解法二：用镜面反射（如图，点A是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形）．（解法略）

例2（教材P50例4¬——测量河宽问题）

分析：设河宽PQ长为x m，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有，即 ．再解x的方程可求出河宽． 解：略（见教材P50）

问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？

解法二：如图构造相似三角形（解法略）．

例3（教材P50例5——盲区问题）分析：略（见教材P50）解：略（见教材P51）

六、课堂练习

1． 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米? 2． 小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高?

七、课后练习

1． 教材P51.练习1和练习2．

2． 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)3． 小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？

第三篇：三角形相似教案

相似三角形的判定（1）教学设计

一、课题

相似三角形的判定（1）（选自2013年人教版数学九年级下册27.2.1，第1课时）

二、教材分析

1.内容要点

本节课让学生利用相似三角形的定义来进一步探索相似三角形的判定条件，从而让学生在学习新知里发展思维，加强与前面已学过的知识：图形的相似、相似多边形的主要特征（相似多边形对应的角相等，对应边的比相等），相似比甚至引导学生联系八年级上册所学的相等三角形的判定定理和平行从对比探索中增强学生的推理归纳和类比应用的能力。2.地位

本节课处于承上启下的位置，既增强了对图形的相似和相似多边形定义联系和运用，又为下一课时相似三角形的判定2以及以后的几何证明奠定了基础。3.作用

从初步认识相似三角形到探索如何利用平行线的特点判定两个三角形相似，从无到有的知识萌发，让学生由探究得到的平行线分线段成比例定理初步返回去严谨地认识两个图形的相似，在探索过程中掌握自主探究、类比、归纳以及转化的思想方法，增强推理能力，进而让学生感受到数学图形之美。经过对平行线分线段成比例定理以及相似三角形判定定理的探究学习，使学生的合情推理意识和主动探究的学习习惯得到发展。

三、学情分析 1.认知基础

学生在八年级上册中已经全面地认识了三角形，并且掌握了全等三角形的判定定理，加上平行线同位角等性质，并且在上一节课已学过了图形的相似以及相似多边形的主要特征，为本节课的学习相似三角形打下了基础。学生在观察、想象、合作探究、归纳概括等方面有了初步的体验，再加上学生会做辅助线，这为本课的学习奠定了一定的基础，但学生对转化思想，几何论证推理能力还在初步形成阶段，这使本节课的学习还有一定的困难。2.情意基础

学生是九年级的学生，对于新知识有一定的接受能力，且数形结合思想，转化思想都相对成熟，对探索学习饶有兴趣，但是思维容易固化，对问题看待不够全面。

四、教学目标

1.理解相似三角形不因位置改变而改变，书写三角形相似时对应角的字母顺序对应；

2.能运用平行线和三角形中线比例关系证明“A字型”三角形相似，能运用三角形全等的方法将“X字型”三角形转化为“A字型”三角形证明其相似；

3.理解相似三角形概念，能正确找出相似三角形的对应边和对应角； 4.能掌握并运用相似三角形判定的“预备定理”； 5.让学生参与探索，获取相似三角形判定条件，感受数学的魅力，体会到数学的充满探索与创造,在学习中发现数学的乐趣并在数学学习生活中形成自主，自信，健康的心理。

五、教学重难点

1.教学重点

相似三角形判定的“预备定理”的探索； 2.教学难点

探索过程中的各种三角形相似的有关证明；

六、教学方法和手段 1.教学方法 引导探究法 2.教学媒体 PPT

七、教学设计思想

探究式的教学方法是新课改的一个重要内容，布鲁纳主张学习的目的是以发现学习的方式使学科的基本结构转变为学生头脑中的认知结构，并且指出学生的知识学习是通过类别化信息的加工过程，积极主动地形成认知结构。利用学生的好奇心，设疑，解疑，组织互动，有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探究与合作交流中理解和掌握本节课的内容，增强直观效果，提高课堂效率。其次，数形结合思想，化归思想以及归纳法和分析法的应用，让学生对新知的认识更加透彻，对问题的探索思路更加明确，并从中让思维得到进一步的提升。

八、教学过程

（一）复习引入（5分钟）1.复习概念性质（3分钟）

T：同学们还记得相似图形的概念是什么吗？ S：对应角相等，对应边成比例的两个图形相似。T：相似的两个图形会随它们位置的改变而改变吗？ S：不会。

T：很好，大家先记着我们刚刚回忆的内容。下面我们来了解一下最简单的多边形----三角形的相似情况。

T：刚才我们回忆了相似图形的一些性质，那现在我手头上有根据相似图形性质画出来的两个相似三角形，不论它们之间的相对位置如何，乃至处于不同的平面，这两个三角形仍然是相似的。（老师拿出两个相似三角形并在同一平面变换两个三角形纸片的位置，然后让两纸片处于不同平面变换位置）（老师将两纸片贴在黑板上并标明字母）T：同学们我们要用字母表示这两个三角形相似，应该怎么写呢？我们一起来写，首先把两个三角形表示出来，分别是∆ABC∆DEF，同学在写的时候还要注意对应的顶点字母相对应，那中间用什么符号来表示两个三角形相似呢？有同学可以告诉我吗？

S：大写字母S横着写。

T：很好，这跟我们曾经学过的什么符号很像呢？ SSS：全等符号。

T：那课后大家思考全等三角形与相似三角形之间有什么联系，下节课我再叫同学回答这个问题。2.创设情境（2分钟）

（老师利用这组相似三角形纸片，将两个三角形的一个对应顶点重叠，贴在黑板上）

T：同学们你们看，相似三角形∆ABC和∆DEF的∆ABC的顶点A与∆DEF的顶点D重合并且∠BAC与∠EDF重合，那边EF和边BC有什么关系吗？

S：平行。

T：为什么呢？

S：同位角相等两直线平行。

T：嗯，AEB三点共线，且∠AEF=∠ABC，所以EF和BC平行。

（二）探索新知（20分钟）

T：如果平行于∆ABCBC边的直线与其他两边AB、AC相交与点E、F，所构成的∆AEF是否与∆ABC相似呢？

S：相似（不相似）。

T：大部分同学都说相似，接下来我们该做些什么去证明这两个三角形相似呢？

T：首先我们从我们学过的类似的图形出发，假设这条平行线是三角形中位线，我们来证明看看。同学们自行思考，待会来分享思路。[PPT显示相应题目和图形]（2min过去了，期间教师下台观察学生情况，选一名写完了的同学上台分享思路）

S1：（在黑板上画△ABC并取分别AB、AC中点D、E，连接DE）∵DE是△ABC的中位线∴DE＝1/2BC（由三角形中位线定理）

∴AB/AD ＝AC/AE ＝BC/DE ＝1/2.又∵两直线平行同位角相等 ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC.T：同学们觉得S1的解答对吗？ S：对。

T：S1的解答充分运用了已学的三角形中位线的知识，找出来隐含在三角形ADE和三角形ABC中边的比例关系，依照定义证明出了这两个三角形相似，证明过程很完整，是对的，让我们给他一些掌声鼓励。（解析S1的做法，并给予肯定）

（老师和学生一起鼓掌）T：接下来加大难度咯，“如图过点D作DE∥BC交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？”，请同学们自行思考，待会请同学上来分享思路。[PPT显示相应题目和图形]（4min过去了）

S2：由同位角相等可知三个角对应相等，只需证明对应边成比例.因为DE∥BC，所以AD/AB=AE/EC=k, 只需证明DE/BC=k.过点D作DF∥AC交BC于点F，则由两组对边分别平行，得四边形DFCE为平行四边形.所以DE/BC=FC/BC，∵DF∥AC ∴FC/BC=DA/BA，故DE/BC= DA/BA =k ∴△ADE∽△ABC.T：S2将问题转化为了求三角形的一边对应成比例，通过作辅助线DF，构造出了平行四边形，并灵活运用平行四边形和相似的性质，得到了三边对应相等，从而证明了两个三角形相似，做的很棒，让我们把掌声送给他！（和同学们一起鼓掌）T：以上都是平行线与边AB和边AC相交的情况，现在我们延长AB和AC，如图当DE与三角形两边延长线交于边BC下方时，所构成的三角形和原三角形是否相似呢？ [PPT显示相应题目和图形] S：相似。

T：要怎样证明呢？ S：和上一题一样。

T:对，没错。像这种平行线位于点A下方的，我们统称为“A字型”，凡是拥有这种形状的三角形和平行线，都隐藏着相似三角形。那如果DE与三角形两边延长线交于边点A上方时，所构成的三角形和原三角形是否相似呢？请同学们自行思考。[PPT显示相应题目和图形]（T下台观察、指点。2min后）

T：老师刚刚发现，大部分同学都不再用定义进行繁琐的证明了，而是直接由“A字型”的结论出发，将新图形转换为“A字型”加以证明。有哪位同学愿意上台分享一下，你是怎样转化的呢？

S3：分别在边AB和边AC作点N’和M’，使AN=AN’，AM=AM’，由对顶角相等和SAS可得

△AMN≌△AM’N’，从而得到“A字型”，故新三角形和原三角形相似。T：S3分析的很好！让我们给他掌声鼓励！（和同学们一起鼓掌）我们称这种图形为“X字型”，通过“A字型”和“X字型”的相似三角形探究，我们现在可以总结得出我们一开始要证明的结论了，同学们还记得是什么吗？

S：逆命题（刚刚的猜想）。

T：没错，我们给这个刚刚证明的猜想一个名称“预备定理”，大家请看屏幕，一齐朗读一边[PPT显示预备定理] S：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；

T：预备定理比定义要简便的多，它的几何语言也是相当简洁 ∵EF∥BC ∴△ADE∽△ABC.（三）知识迁移（7分钟）（备注：此环节题目让学生以同桌为单位交流完成，老师再请同学发言说明思路）

（四）总结反思（7分钟）

定义：„„。要求三边三角满足对应关系，非常严谨但证明过程过于繁琐且使用条件有限。

预备定理：„„。只要求有找到原三角形一边的平行线，构成“A字型”或“X字型”，极大简化了证明过程。

（备注：以上总结，老师说整体性语言，关键字引导学生说出）

（五）布置作业（1分钟）

1.常规作业（第几页第几题）

2.探索作业：请以本节课所学知识，“测量”教室天花板的高度，写一测量方案。

九、板书设计

十、反思

第四篇：相似三角形教案

相似三角形

【基础知识精讲】

1．理解相似三角形的意义，会利用定理判定两个三角形相似，并能掌握相似三角形与全等三角形的关系．

2．进一步体会数学内容之间的内在联系，初步认识特殊与一般之间的辩证关系，提高学习数学的兴趣和自信心．

【重点难点解析】

相似三角形的概念及相似三角形的基本定理．

【典型热点考题】

例1 如图4-21，□ABCD中，M是AD延长线上一点，BM交AC于点F，交DC于G，则下列结论中错误的是（）

图4-21 A．△ABM∽△DGM B．△CGB∽△DGM C．△ABM∽△CGB D．△AMF∽△BAF

点悟：用本节概念和定理直接判断． 解：应选D．

例2 如图4-22，已知MN∥BC，且与△ABC的边CA、BA的延长线分别交于点M、N，点P、Q分别在边AB、AC上，且AP∶PB＝AQ∶QC．

图4-22 求证：△APQ∽△ANM． 证明：∵ AP∶PB＝AQ∶QC，∴ PQ∥BC，又MN∥BC，∴ MN∥PQ ∴ △APQ∽△ANM．

例3 写出下列各组相似三角形的对应边的比例式．

(1)如图4-23(1)，已知：△ADE∽△ABC，且AD与AB是对应边．(2)如图4-23(2)，已知：△ABC∽△AED，∠B＝∠AED．

图4-23 点悟：要写出两个相似三角形的对应边的比例式，首先要确定两个相似三角形的对应边．因为相似三角形是全等三角形的推广，所以要确定两个相似三角形的各组的对应边，可以参照确定全等三角形对应边的方法，从确定这两个相似三角形对应的顶点出发．

解：(1)已知△ADE∽△ABC，且AD和AB是对应边，它们所对的顶点E和C为对应顶点，而A是两三角形的公共顶点，∠BAC为公共角，所以两三角形另两组对

ADDEBCEACA应边为DE和BC，EA和CA，得AB．

(2)已知△ABC∽△AED，且∠ABC＝∠AED，A为公共顶点，另一对应顶点为D和C，三组对应边分别是AD和AC，AE和AB，DE和CB．

ADAEABDECB得AC．

本题两类相似三角形的图形是相似三角形的基本图形． 第一类为平行线型．

平行线型是由两条平行线和其他直线配合构成的两个相似三角形，它的对应元素比较明显，对应边，对应角，对应顶点有同样的顺序性，对应边平行或重合．基本图形有两种(图4-24)：

图4-24 第二类是相交线型．

这一类型的对应元素不十分明显，对应顺序也不一致，对应边相交．它的基本图形，也有两种，一种是有一个公共角，另一种是一组对顶角(图4-25)．

图4-25 其他类型的相似形多可以分解成这两种基本类型或转化为这两种基本类型． 例4 如图4-26，已知：△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于F．求证：AB·DF＝BC·EF．

图4-26 点悟：如果我们把条件和结论涉及的线段AD，CE，AB，DF，BC，EF在图中都描成红线，可以发现一个完全由红线构成的三角形，即△DBE，还有一条线AC，是△DBE的截线，分别截△DBE的三边DB，BE，DE(或它们的延长线)于A，C，F．这类问题添辅助线的方法至少有三种，即过红线三角形任一顶点作对边的平行线，并与该三角形的截线或其延长线相交(如图4-27)，在每一种图形中，虽然只有一对平行线，但与这对平行线有关的基本图形都能找到两对，根据每一个基本图形都可以写出包含辅助线段在内的一个比例式．

图4-27

ADDFBHEFCEBC以(2)为例，可以写出ABBHABDFAD，又可以写出BH．前两式均有BH，于是

BC可得，及

BHBCEF，所以，有

ABDFEF．又因为ADCEADCE＝CE，于是有AB·DF＝BC·EF．(证略)利用比例线段也可以证明两直线平行或两线段相等．

例5 如图4-28，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE相交于G，CE和DF相交于H，求证：GH∥AD．

图4-28 点悟：条件中的AD∥BC，给出了两个基本图形，而AE＝ED，BF＝FC，又使从两

AGDHHF个基本图形中给出的比例式有一个公共的比值，从中可以得到GF．所以GH∥AD．

证明：∵ AD∥BC，AEAGGFEDDHHF∴ BF，FC．

∵ AE＝ED，BF＝FC，AGDHHF∴ GF，∴ GH∥AD．

例6 如图4-29，已知：AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15cm，AF＝4cm． 求：BE和DE的长．

图4-29 点悟：题设中的两对平行线起着不同的作用．由DE∥AC，AD平分∠BAC，可以得到AE＝DE．这样已知及欲求的线段BE，AE，AB，AF都在AB和AC这两条边上，利用EF∥BC，就可以得到相应的比例线段．求得答案． 解：∵ DE∥AC，∴ ∠3＝∠2，又AD平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠3，∴ ED＝AE． ∵ EF∥BC，ED∥CF，∴ EDCF为平行四边形，∴ ED＝CF＝AE．

设AE＝x，则 CF＝x，BE＝15－x． ∵ EF∥BC，AEAFCFx4x∴ BE，即15x，2∴ x4x600

解得，x110(舍)，x26． ∴ DE＝6cm，BE＝9cm．

例7 如图4-30，已知：在△ABC中，AD和BE相交于G，BD∶DC＝3∶1，AG＝GD． 求BG∶GE．

图4-30 点悟：按照例4的分析，过点G作GM∥AC，根据平行线截得比例线段定理，得BG∶GE＝BM∶MC，于是只要求出BM∶MC的值即可． 解：作GM∥AC交BC于M，则 BG∶GE＝BM∶MC． ∵ AG＝GD，DMMC12DC∴ ．

BD∵ DCBD131，61BD即2DC，MC61161．

71BDMCMCBM，即MC，∴ BG∶GE＝7∶1．

点拨：以上四例中，我们复习了线段成比例和平行线分线段成比例的有关知识．

【易错例题分析】

例1 已知：在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP． 证明：在正方形ABCD中，∵ Q是CD的中点，AD2∴ QCBP，3BC4DQ∵ PC，∴ PC．又∵ BC＝2DQ，∴ PCDQPC，∠C＝∠D＝90°，2．

AD在△ADQ和△QCP中，QC∴ △ADQ∽△QCP． 警示：证此类题应避免没有目标而乱推理的情况．

例2 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图4-31(1)、(2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)．

解：由AB＝1.5米，SΔABC1.5平方米，得BC＝2米．设甲加工的桌面边长为x米，∵DE∥AB，Rt△CDE∽Rt△CBA，CDDEAB672xx1.5∴ CB，即2．

解得 x，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高BH，交DE于P，交AC于H．

由AB＝1.5米，BC＝2米，SΔABC1.5平方米得AC＝2.5米，BH＝1.2米． 设乙加工的桌面边长为y米，∵ DE∥AC，∴ Rt△BDE∽Rt△BAC．

BPDEAC1.2yy2.5∴ BHy，即1.2

3037303722即x＞y，xy，解得，6因为7所以甲同学的加工方法符合要求． 警示：解此类要避免看不出相似直角三角形而无法解的情况，更要避免看不出对应线段造成的比值写错而形成的计算错误．

例3 如图4-32，AD是直角△ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AFBEBDAC于E、F．求证：AD．

图4-32(2002年，安徽)正解：∵ BA⊥AC，AD⊥BC，∴ ∠B＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∴ ∠B＝∠DAC．又∵ ED⊥DF，∴ ∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°，∴ ∠BDE＝∠ADF，∴ △BDE∽△ADF．

BDBEAFAFBEBD∴ AD，即 AD．

警示：本例常见的错误是不证三角形相似，直接进行线段的比，这是规范的一种情况．

【同步达纲练习】

一、选择题

1．如图4-33，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，则图中与△ADC相似的三角形共有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．多于3个

2．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图4-34在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下宽为1cm的矩形纸条a1、a2、a3…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是（）

A．24 B．25 C．26 D．27

图4-33 图4-34

二、填空题

3．如图4-35，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，则AD∶________＝________∶BC＝________∶AB．

图4-35 图4-36 4．如图4-36，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则图中与△ABC相似的三角形共有________个，它们是_______________．

5．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区，已知亮区到窗下的墙脚最远距离是8.7m，窗口高1.8m，那么窗口底边离地面的高等于________．

三、解答题

6．如图4-37，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2PEPF．

7．已知：如图4-38，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE是△ABC的外角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF的延长线交AE于E．求证：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．

图4-37 图4-38 8．四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D．求证：AC·BE＝AD·CE．

参考答案

【同步达纲练习】

1．C 2．C 3．AC，ED，AE 4．4，△ADF、△DBE、△FEC、△EFD

5.4m 6．连结PC，先证明△ABP≌△ACP，∴PB＝PC，再证明△PCF∽△PEC，∴PC∶PE＝PF∶PC．∴PC2PEPF，∴PB2PEPF

7．(1)由已知可求得∠ABF＝∠BAC＝36°，∠C＝∠BFC＝72°，∴BC＝BF＝AF

(2)∵△EAF、△BCF都是底角为72°的等腰三角形，∴△EAF∽△BCF，∴EF∶BF＝AF∶CF，又AF＝BC，∴EF∶BF＝BC∶FC

8．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠D＝∠B，∵∠ECA＝∠D，∴∠ECA＝∠B，又∵∠E＝∠E，∴△ECA∽△EBC，∴AC∶BC＝CE∶BE，∴AC∶AD＝CE∶BE，∴AC·BE＝AD·CE

第五篇：相似三角形复习教案

相似三角形复习教案

教学目标: 本课为相似三角形专题复习课，是对本章基本内容复习基础上的深化，通过对一个题目的演变，紧紧围绕一线三直角这个基本模型展开，由浅入深对相似三角形进行，同时结合数学中的方程思想，分类思想，模型思想，数形结合思想等拓展深化.教学重点:相似三角形的一些基本图形特别是一线三直（等）角的复习.教学难点: 一线三直（等）角模型的拓展深化.教学过程: 练习:1.如图，AB＞AC，过D点作一直线与AB相交于 点E，使所得到的新三角形与原△ABC相似.2.如图，直角梯形ABCD中，E是BC上的一动点，使△ABE与△ECD相似，则AB、BE、CE、CD之间满足的关系为____________.得到相似中最基本的几种图形，即：

A型 斜A型 一线三直角反射型

在得到上述基本图形后，通过找相似三角形，让学生体会基本图形的应用。并通过对这个题目的演变，将本课内容提要呈现出来.例1：在平面直角坐标系中，两个全等Rt△OAB与Rt △A’OC’如图放置，点A、C’在y轴上，点A’在x轴上，BO 与A’ C’相交于D.你能找出与Rt△OAB相似的三角形吗？ 请简要说明理由 在上述条件下，设点B、C’ 的坐标分别为（1，3），（0，1），将△ A’OC’绕点O逆时针旋转90°至△ AOC，如图所示：

（1）若抛物线过C、A、A’，求此抛物线的解析式及对称轴；

（2）设抛物线的对称轴交x轴与点M，P为对称轴上的一动点，求当∠APC=90°时的点P坐标.本题主要是应用一线三直角这个基本图形，从而利用相似三角形的对应边关系求解，在教学过程中对P点的位置应作说明，可借助于几何画板演示.【变一变】线段BM上是否存在点P，使△ABP和△PMC相似？如存在，求出点P坐标，如不存在，请说明理由.本例让学生进一步应用基本图形，同时体会到数学思想——分类思想的应用.【拓展一】若点N是第一象限内抛物线上的一动点，当

∠NAA’=90°时，求N点坐标.通过添加一条辅助线构造一线三直角来提升对学生的要求。另外利用本题比较特殊的情况，即△AOA为等腰直三角形的 条件，采用一题多解的方法，帮助学生提高解题的能力.【拓展二】点N是抛物线的顶点，点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线绕Q点旋转180°后得到新抛物线的顶点为M，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点M、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

/本例难度较大，通过引导让学生知道本题仍然可通过构造一线三直角的模型来解决，因为要添加较多辅助线，教师可将第一种情况和辅助线添加出来，从而让学生类比得到第二种方法的辅助线.课堂小节:对本节课复习模型的整理;相似应用的技巧梳理;学生疑惑的交流.