高中数学教学论文“数学归纳法”中的三个问题

第一篇：高中数学教学论文“数学归纳法”中的三个问题

“数学归纳法”中的三个问题

参加“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”第八次课题研讨会之前，绍兴的子课题研究成员特别围绕这次会议的主题举行了研讨会，鲁迅中学的老师开设了研讨课“数学归纳法”。在衢州的会议中，笔者不但听到了四堂精彩的研究课，而且有幸聆听到许多专家的点评，收获很大。在听课和讨论的过程中，想的最多的是以下三个问题： 1．数学归纳法到底是归纳法，还是演绎法？

讨论的过程中，好几个老师提到这个问题。甚至有老师肯定的说数学归纳法是演绎法。这就奇怪了，如果是演绎法，为什么取个名字叫某某归纳法？数学当中很多名称都可以顾名思义看到本质，比如“反函数”——反过来也是函数；“零点”——方程的根，就是数轴上的点。我想“数学归纳法”也不会例外。

首先，从数学归纳法的本质讲，数学归纳法是自然数理论中的皮亚诺公理即归纳公理的直接应用，既然是公理，数学归纳法的正确性就无需证明，只需要理解与接受。众所周知，p(n)表示与正整数n有关的待证命题，证明主要有两个步骤：

（1）证明p(1)为真；（2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真； 有了这两步的保证，就可实现以下的无穷动态的递推过程： P(1)真 P(2)真 P(3)真„  P(k)真 P(k+1)真 „ 因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真。

纵观全过程，这是一个“个别——特殊——一般”的推理形式，完全合乎归纳推理程序，从这个意义上讲，它是归纳的。

当然，在这个归纳的过程中，是由无数个“三段论”——“演绎论证”构成的，大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(1)真，结论是P(2)真；大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(2)真，结论是P3)真；„„

命题“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”的证明更是需要用演绎法来证明。

然而在证明过程的某个局部有演绎，并不妨碍我们说这个证明过程从整体上讲是归纳。举个例子，写记叙文，有“顺叙”和“倒叙”。把后发生的事情写在前面，把先发生的事情写在后面，叫“倒叙”，但在“倒叙”的一个局部(如上课)，仍必然按时间顺序写——先写老师走进教室，再写讲课，再写下课。如果统统倒过来:下课，讲课，老师走进教室，谁能看得明白?这个局部的“顺叙”，不能妨碍我们说文章从整体上讲是“倒叙”。

所以这种证明方法叫做“数学归纳法”（mathematical induction），mathematical除了可以翻译成“数学的”之外，还可以翻译成“精确的”，不妨把“数学归纳法”称作“精确的归纳法”，它的本质是归纳，而演绎是其灵魂，是一种美妙而独特的数学方法。教材把数学归纳法放在第二章

用心

爱心

专心 的第三节，也就是1-2节“合情推理与演绎推理”之后，是很有深意的。可以看出新教材特别重视思想方法的渗透，在学习数学归纳法方法的同时渗透和体验“归纳-猜想-证明”的思想方法。2．学习数学归纳法的必要性在哪里？

学生知道了不完全归纳法属于合情推理，它能帮助我们研究数学问题，进行数学猜想、发现数学规律、找到数学结论，并为证（解）题提供思路和方向．但由于由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法．上课的时候一般我们都会举个例子来说明不完全归纳法是不一定准确的，所以有必要学习数学归纳法。

笔者认为，数学归纳法作为一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它能促进学生从有限思维发展到无限思维。如果我们可以通过一一验证的方法来证明，数学归纳法是不是就变成可有可无了？所谓“不愤不启，不悱不发”，学生如果没有经历“愤悱”的痛苦，教师的“启发”就显得单薄无力。所以关键是让学生体验无法一一验证的痛苦。有了体验之后，学生必然会思索有没有一种对付这类涉及无穷性的命题，既不需做完全的考察而又是十分可靠的办法，来克服不完全归纳的局限呢?至此引出即将讲述的科学方法—数学归纳法。它是用有限的步骤，证明命题对无限的自然数都成立的方法，体现了有限与无限的对立统一。3．数学归纳法的教学重心是什么？

数学归纳法是数学中的“大法”。由于数学归纳法处理的对象涉及自然数的无限性、其本身的思维方式之别致、概念之难、形式变之多端、应用之广、题目型态之多样使得很多同学只能达到“依样画葫芦”式的工具性理解，而达不到对该方法的“关系性理解”。

数学归纳法教学的重心应是让学生体味到方法的“精髓”，而不是记住解题的程式。

人类文明花了两千年才认识到“从n=k时命题成立，证明n=k+1时命题成立”这一步骤的重要性，在教学中企图一步到位地实现所谓“透彻地理解”是不现实的。苏步青先生指出中学数学教学有时要“混而不错”。“不错”是大前提，关注的是大方向、本质。“混”是放松严格性的要求，现阶段讲不清楚的问题用写意的方式说明，但仍不失其真。用“多米诺骨牌效应”写意式地诠释数学归纳法是很合适的。第一块骨牌不倒，后面的骨牌就不倒，这隐喻了归纳奠基的必要性、重要性。每两块骨牌间的距离要恰当，其中任何一块骨牌倒下时，都会正好倒在下一块骨牌上，并使之跟着倒下，这隐喻了归纳假设推理重要性。数学归纳法的原理对学生讲不清楚，但学生对数学归纳法本身有了一定的认识，正好用此法把原理“混”过去，使学生在直观上对其基础有个感性认识。历史上的归纳公理正是吸收了数学归纳法思想的精髓后才形成的。这样一种处理方式是一种“混而不错”的处理法。“淡化形式，注重实质”其实关注的是思想的发生、发展。

在李柏青老师耐心细致的启发下，学生自己理解了由k到k+1的递推性：n=1真n=2真，由n=2真n=3真，由n=3真n=4真，„„即保证若n取任意一个值时结论为真，能推出n取下

用心

爱心

专心

[1]一个值时结论也为真；即假设n=k时结论成立，能推出n=k+1时结论也为真。保证k从第一个值时的任意一个整数都能成立，由此只要第一个值成立，就能确保可以一直递推下去。应该说学生已经领悟到了数学归纳法的精髓。

数学归纳法的教学过程中“理解”和“练习”不应该是对立的双方，而应该是两者的统一，或者说两者的整合，而且两者对于学生“原理的理解”和“运用的促进”是一个循环上升的过程，即原理的深入理解促进运用，进一步运用后的反思，特别是障碍克服后的反思，又促进对原理的理解。[2]

参考文献： [1]徐章韬 [2]王琛 基于数学史的数学归纳法的教学案例设计 “数学归纳法”两种教学思路的比较与启示 用心

爱心

专心数学通讯(2008年第7期)数学教学(2002年第3期)

第二篇：关于经济体制改革中三个问题的意见

关于经济体制改革中三个问题的意见

赵紫阳

中国网 china.com.cn时间： 2011-04-12发表评论>>

（一九八四年九月九日）

耀邦、小平、先念、陈云同志：

去年八月六日，我在国务院常务会议上出了十个需要调查研究的题目。向政治局常委报告后，常委各同志都有指示，肯定了进行调查研究的必要，也肯定了提出这些问题的思路和方向。

按照小平同志批示“希望如期实行”的精神，一年来，各专门小组和有关部委就上述十个问题进行了大量的调查研究工作，中央财经领导小组也议过多次。除电子工业发展纲要尚待进一步组织讨论外，其他九题都已理出一些头绪。

具体的进展情况是：（1）引进人才工作正在逐步开展。（2）建筑建材业和食品饲料业的发展纲要，已有一些初步设想，拟通过编制“七五”规划，进一步研究并加以落实。（3）在讨论提高企业素质问题的基础上，制定了进一步扩大企业自主权的十条规定，已于今年五月公布实施。（4）利改税，去年已实行第一步，第二步也有了实施方案，待人大常委会审议批准后，即可在今年第四季度全面推行。（5）计划工作改革（第一步），价格改革（今明两年），外贸体制改革，劳动工资改革已有初步设想；机关工资改革正在草拟具体方案。（6）除了以上十个问题以外，在此期间，还讨论了建筑行业体制改革、机械行业体制改革和商品流通体制改革等问题，分别形成了一些文件，正在付诸实施。

一年来经济体制改革的研究工作和实际工作，是从提高企业活力这个中心环节出发的。以利改税作为整个城市经济体制改革的突破口，有利于解决国家和国营企业的关系，使国营企业逐步做到自负盈亏，也保证了国家财政收入随着经济的发展得以稳定增长。我国的经济体制改革，有可能避免大的社会震荡，较为平稳地顺利推开。

下一步，是要具体落实“扩权十条”和其他业已提出的各项改革措施。由于经济体制是一个统一的整体，看来，有以下三个原则问题需要进一步确定，以便在统一的方向下，使各项改革配起套来，互相协调，尽量做到同步进行。

第一个问题：计划体制问题

各项改革都牵涉到计划体制，这是经济体制的核心。关于这个问题，《关于建国以来党的若干历史问题的决议》已有原则规定，现在需要进一步加以具体化。根据多年和这一段的实践，反复考虑，建议把我国的计划体制概括为以下四层意思：

（一）中国实行计划经济，不是市场经济。

（二）自发地盲目地通过市场进行调节的生产和交换，只限于小商品、三类农副产品和服务修理行业，它们在整个国民经济中起辅助作用。

（三）计划经济不等于指令性计划为主。指令性计划和指导性计划都是计划经济的具体形式。

我国幅员辽阔，现代化手段不发达，交通不便，信息不灵，编制包罗万象的指令性计划，不

仅不可能，而且有害。在当前和今后相当长的时期内，我们的方针应该是逐步缩小指令性计

划，扩大指导性计划。

（四）指导性计划主要用经济手段调节，指令性计划也必须考虑经济规律特别是价值规律的作用。社会主义经济是以公有制为基础的有计划的商品经济。计划要通过价值规律来实现，要运用价值规律为计划服务。“计划第一，价值规律第二”这一表述并不确切，今后不宜继

续沿用。应该如实地把两者统一起来，而不要把它们割裂开来或对立起来。

看来，明确以上四条，可以把中国的经济体制既同资本主义的市场经济模式相区别，又不与

旧的模式雷同。社会主义制度是优越的，但旧的模式清规戒律太盛，把企业捆得死死的，使

本来应该生机盎然的社会主义企业失去了活力。中国应该走自己的路。中国式的社会主义，应该是企业有活力的社会主义。中国式的计划经济，应该是自觉依据并运用价值规律的计划

经济。

第二个问题：价格改革问题

这个问题，必须同计划体制改革配合起来考察。放，决不是撒手不管。价格是最重要的经济

调节手段，比计划指标灵得多，这已为多年来的实践所反复证明。价格不合理，必然给人们

以错误的信息，引导企业走上错误的方向，过去“一放就乱”的症结正在于此。今后要做到

活而不乱，关键是要有合理的价格体系。因此，计划体制改革的步子到底迈多大，也不能以

主观愿望为转移，而应取决于价格改革的进程。

现在价格体系极不合理。有几个层次：第一个层次是同类商品内部，质量有优有劣，差价没

有拉开。这个问题对社会效益影响极大，但不难解决。完全可以在稳定该类商品总的价格水

平的前提下，积极拉开档次。第二个层次是不同商品之间比价不合理，特别是煤炭、生铁、木材等初级产品（同时也是短线产品）与加工产品的比价不合理。第三个层次是同类商品的购销价格倒挂，主要是粮食和油料。第四个层次是房租等公用设施收费过低，使这些本应成为经济支柱的产业无法发展，甚至趋于萎缩。后三类问题比较复杂，但都必须解决，也有办

法解决。现在正在进行论证，年底以前有可能提出改革的方案和大体的步骤。

除了调整价格体系以外，还有一个改革价格管理体制的问题。现在小商品的价格已经放开。

粮棉除了集市贸易价格以外，计划收购价格和超购加价已合并为一种价格（比例价格）。燃

料和原材料过去是一种价格，现在已出现多种价格（国家规定的价格和企业超产自销的价

格）。将来的趋势很可能是：（1）国家定价的范围逐步缩小，放开的比重逐步扩大；（2）国

家规定的价格，通过调整，逐步向市场价格靠拢。这种趋势，大体上将同计划体制的改革相

适应。

有一点需要说明：我们调整价格，主要是由于商品的比价不合理，而不是由于财政性发行，因此，它是结构性的调整物价，而不是通货贬值。在严格控制货币发行量的条件下，国民党

时代那种恶性货币膨胀的现象是完全有可能防止的。当然，在调整物价时，一定要积极慎重，采取负责态度，把工作做细，把生活指数算准，以便同时对工资、社会救济金、储蓄利率等

进行相应的调整，务必使绝大多数城乡居民的实际生活水平不仅不降低，而且尽可能有所提

高。

理顺经济的主要标志是建立合理的价格体系。价格改革难度最大，是整个经济体制改革成败的关键。一条是计划体制改革，一条是价格改革，这两条奏了效，对中国的社会生产力将是

又一次大解放，很可能要引起一次飞跃。近几年来，国外许多不同学派的经济专家，都建议

我们在适当时候进行价格改革。他们认为，改革价格最好选在经济发展较顺利、人民生活水

平提高较快的时候。现在中国有此条件，正处在改革价格的黄金时代。这个论点值得重视。

第三个问题：国家领导经济的职能问题

这也是一个大问题。计划体制的改革，价值规律的运用，都要求国家的经济职能产生相应的变化。在这方面，近期改革的主要内容应是政企分开。各级政府主管经济的部门，都要逐步

简政放权，逐步减少对企业正常经济活动的干预，学会运用经济手段来进行宏观控制。这也

需要一个过程。准备从外贸商业系统和机械行业开始。实行利改税，加上政企分开，发展经

济上的横向联系，条块分割等一系列的老大难问题是有可能解决的。

与此联系的一个问题是公司的体制。这几年成立了许多公司。有的办得好，有的办得不好。

经验是两条：（1）公司必须是企业性的，不应是行政性的。（2）全国性的公司也不应垄断；

而且一般不宜过“实”，不应把所属企业（特别是大企业）的权收上来。主要的经济实体应

是大企业，应以大企业为基础，以城市为中心，在互有需要的基础上发展企业之间的横向联

系，进行改组联合，可以是紧密的联合，也可以是松散的联合。不符合这两条的，要进一步

改革。

以上三个问题，都涉及方向、原则，对今后改革关系较大。现将一些看法报告如上，当否，请指示！

关于党政分开

赵紫阳

来源：人民网

（一九八七年十月十四日）

这里，我想着重谈一下党政分开的问题。因为这是政治体制改革的首要关键。

这次全会审议的文件中，《十三大报告》有这个内容，《政治体制改革总体设想》也有这个内容。政治体制改革，首先是领导体制改革。党政不分、以党代政这个问题不解决，整个政治体制改革都无从展开。在全会讨论两个文件之前，我想作几点说明。

现在许多社会主义国家都在讲政治体制改革。所有搞政治体制改革的社会主义国家，又无例外地都提出要克服党政不分的弊端，要充分发挥政权机关的作用。看来，在社会 主义各国，党政分开是个大的潮流。这项改革，非搞不可，或迟或早，总得进行。还需要指出一点，就是在党政不分的程度上，在社会 主义国家中，我们是搞得比较严重的国家之一。撇开中央一级、地方各级的情况不说，至少在基层，在企业事业单位中，其他社会主义国家多少年来一直是搞行政首长负责制，企事业单位的党委则同我们的机关党委差不多，行使保证监督的职能。而我们，除了在解放初期，在东北和其他某些地区，曾经在很短暂的时间内实行过一段厂长负责制以外，从五十年代后期起，一直是强调党委对企事业单位的一元化领导，甚至把是否承认这种体制作为拥护还是反对党的领导的标志之一。每搞一次运动，这种体制就强化一次，以致使党委包揽了许多行政事务，并且相应地建立了

相当庞大的办事机构，配备了许多脱产干部。所以，对我们的同志来说，从一元化领导到党政分开，这个弯是拐得相当大的。对此，必须有足够的估计和充分的思想准备。

现在提出党政分开，这是我们党的领导体制的一大改革。党政分开，有中央、地方、基层等几个层次的内容。（1）党中央，要对各方面工作实行政治领导，即在政治原则、政治方向和内政、外交、经济、国防等重大决策方面实行领导，并向中央国家机关推荐重要干部。（2）省、市、县各级地方党委，应在执行党中央统一路线和国家统一政令的前提下，在本地区实行政治领导，具体规定了五条职责。〔1〕（3）乡镇一级的党政分开，打算有意识地推到县一级关系理顺后再加考虑。（4）企业党委，一律起监督保证作用；事业单位的党委，随着行政首长负责制的执行，逐步转变职能，起监督保证作用。看来，中央一级，困难不大。现在党中央并没有什么与政府对口的工业部、财贸部、文教部等，今后要做的，是把政府各部的党组逐步撤销，国务院提请政治局或政治局常委决策的议题不再经过中央书记处“过滤”，同时注意改进领导方式、工作方法。地方各级，过去设立了一些与政府对口的机构，而且，还配了一些工业书记、农业书记、财贸常委、文教常委等等，包揽政府的工作比中央多，实行党政分开的工作量就比中央大。但是，既然中央一级可以实行党政分开，地方上就不应该有什么党政分不开的理由。问题在于基层，过去配了那么多的专职党务干部，包揽了那么多的行政事务，要转过来，就得有很坚决的态度，做很多深入细致的思想工作和组织工作，转变过去那种党委包揽一切的***惯、老传统。在步骤上，企业党委应该坚决地、主动地转到执行保证监督的职能方面来，以配合经济体制改革，保证厂长负责制和经理负责制的顺利推行，不能犹犹豫豫，动动摇摇；学校、研究所党委的职能转变，步子应该稳妥，但方向也必须明确。

我们许多同志在党政分开问题上之所以存有某些顾虑，一个重要原因，就是对党政分开的好处没有多少体会。好处讲多了，顾虑就会减少。希望大家在全会上多议一议党政分开的好处。我在这里也着重讲一下党政分开的好处。我想至少可以讲四条：

第一，党政不分不是提高或加强了党的领导，而是降低、削弱了党的领导，党政分开才能真正提高并加强党的领导，才能真正提高党的政治领导的水平。领导者直接包揽被领导者的事情，是把自己降低到被领导者的地位。党委包揽政府事务，就把自己变成了政府；包揽企业事务，就把自己变成了企业。党是政治领导者，应当做政治领导的工作。分钱，分物，定项目，批条子，这些都应该是政府部门的日常事务，党委直接出面干预，不仅不能发挥政府的作用，而且也使自己放弃了自己应起的作用。领导，一定要很冷静，高瞻远瞩，深思熟虑，不能陷到事务堆里。成天陷在琐细的事务之中，不可能真正成为好的领导。这里有个放心不放心的问题。有人认为把工作交给政府不放心，怕抓不好，这也不符合实际情况。我们许多同志今天当书记，明天当市长，不是照样抓了工作？如果书记不管具体事务，站得高一点，看得远一点，倒是有更高的解决问题的能力。屁股坐在具体事务堆上，看问题就有局限性。

第二，党政不分使党顾不上抓党的建设，党政分开才能真正做到“党要管党”。要把我们的党建设好，党委就应该把自身的建设提到议事日程上来，就必须善于摆脱各种繁杂事务的干扰。别的方面的工作，有政府，有人大，有各种社会团体、经济组织、文化组织在做，应当把他们的作用充分发挥出来。但是，党的工作、党的思想建设和组织建设，党委责无旁贷，其他各种组织无法替代。在执政的条件下，在改革、开放的条件下，如何使我们党胜任愉快地担负起领导社会主义现代化建设的伟大任务，如何使我们党经得起执政的考验和改革开放的考验，如何使党在群众中具有崇高的威望和强大的凝聚力和感召力，这是一个崭新的重大课题。党的思想建设和组织建设，党的群众工作，必须由各级党委亲自抓，而且必须认真抓好，千万不能“种了别人的地，荒了自己的田”。

第三，党政不分使党委处于行政工作第一线，甚至成为矛盾的一个方面，党政分开，可以使党处在超脱的、驾驭矛盾和总揽全局的地位，从而发挥“协调各方”的领导作用。社会主义社会内部，不是“铁板一块”，各种社会成员当然具有共同的利益，但决不能无视它们的特殊利益。有矛盾，就要协调。政府固然要协调各种利益、各种矛盾；党委更要善于做协调工作。地方党委的五条职责中，就有一条叫做“协调本地区各种组织的活动”。党委自己包办了政府的工作，又包办了各种经济文化组织的工作，什么都是党委自己决定、自己执行，就使党委变成了当事人的一方，毫无回旋余地，实际上使自己丧失了本来应该具有的协调矛盾的资格。

第四，党政不分使党委自己成了执行者，党政分开才能使党委真正具有监督的职能。为了提高效率，必须强化行政系统，但也唯其如此，必须加强监督。自己不能监督自己。你自己包揽了行政工作，就失掉了监督行政的资格。在我们各级领导机关的工作中，克服官僚主义是一项十分重要的任务。党委包办行政工作，自己就会成为滋长官僚主义的温床；相反，党政分开以后，党委不管日常行政工作，就能使自己真正成为同官僚主义作斗争的力量。

我就讲这四条道理。这四条道理，都说明了一点：党政分开的方向必须明确。为了不降低党的领导作用，为了使党委具有协调各方和监督行政的作用，为了在新的历史条件下加强党的建设，都必须实行党政职能分开。至于具体的形式、方法，那是技术性的问题，应该在实际中探索。干部配备，那是根据党政工作的具体特点如何适当调整的问题，也不应该成为党政不分的理由。如果从上到下，大家都认识到党政必须分开的道理，都认真地自觉地朝着这个方向转变，党政分开是可以较为顺利而又平稳地付诸实施的。这个问题解决好了，政治体制改革的其他各项措施也就能够较为顺利而又平稳地逐步展开。这个问题关系重大，希望能够引起大家的重视。

当然，对党政不分这种状况，要作历史的分析，不能简单化。过去采用这种体制，有过去的历史条件、历史背景。这种体制，是在革命战争年代形成的，是在频繁的政治运动中强化的，是与高度集中的指令性计划经济模式相适应的。现在情况不同了。现代化建设需要发挥各种组织和各个方面的积极性，需要把各种组织的正常秩序建立起来。战争年代的体制不能适应和平时期的需要，群众运动的体制不能适应现代化建设的需要，高度集中的体制适应不了发展商品经济的需要。形势、任务起了变化，领导体制就不能固守原来的那种方式，这是历史条件决定的，不是哪一个人的责任。实行党政分开，也要讲清这方面的道理，千万不要把做党的工作的同志搞得灰溜溜的，好象犯了什么“错误”。千万不能这样。相反，要使大家认识到，所以必须实行党政分开，是因为形势发展了，党的事业发展了，对党的工作提出了更高的要求，从而自觉地、积极地、高高兴兴地投入这场改革，实现这一历史性的转变。

* 这是赵紫阳同志在中国共产党第十二届中央委员会第七次全体会议预备会上讲话的一部分。

注释

〔1〕省、市、县地方党委的五条职责是：（1）贯彻执行中央和上级党组织的指示；（2）保证国务院和上级政府指示在本地区的实施；（3）对地方性的重大问题提出决策；（4）向地方政权机关推荐重要干部；（5）协调本地区各种组织的活动。（见中国共产党第十二届中央委员会向第十三次全国代表大会的报告）

第三篇：高中数学教学论文

浅谈如何提高高中数学课堂效率

高中数学较初中数学，所涉及的知识点多，面广，较抽象，学生难以理解和全面掌握，而新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特别重视课堂的学习效率，寻求正确的学习方法从而提高课堂效率。

一、教学内容的设计由易到难、循序渐进

学习任何东西都要遵循从易到难的顺序，对于高难度的数来来说，更应该如此，只有打好基础，以后才能更好地学习后面有难度的知识。由易到难的教学方法不仅有利于学生以后的学习，还有利于培养他们的自信心，培养好学心理。所以我认为，一定要注重基础知识的积累，不能因为基础知识简单而忽视对基础的学习与巩固，越是简单易懂的基础越要重视，每天都要督促学生温习一遍基础知识，把基础打扎实。例如，二、情景创设的趣味性

常言道：兴趣是最好的老师。学生只有对学习本身感兴趣，思维才能处于最活跃状态，才能进行主动的学习，这样的教学才能取得事半功倍的效果。高中的数学知识本身就繁多抽象，如果只是以单一枯燥的方式提出问题，或者直接进行新知识的讲授，学生会对学习数学心生厌倦，而降低学习热情与动力，这样的教学就很难取得成功。因此，教师在进行教学前要充分考虑到学生的兴趣爱好，设计富有趣味性与新颖性情境，更好地吸引学生的注意力，使学生在愉悦的氛围中展开主动思考与积极思维，这样的教学自然能够取得事半功倍的效果。因此，在情景创设时我们要尽量避免过于直白的提问，可以运用故事、游戏、操作多媒体等来创设丰富而有趣的问题情境，以达到吸引学生注意力、激发学生学习兴趣的目的。如在学习

学习“等差数列求和公式”时，我们可以用数学家高斯在小学时巧解从1到100的自然数相加的结果的故事来引发学生的好奇心，激发学生求知欲。

三、利用多媒体技术，提高数学教学的有效性

数学具有很强的抽象性，而学生的认知规律是由形象到抽象再到形象的过程，这决定了在教学中我们要将抽象深奥的数学知识寓于直观的实物与模型中，让学生从中获取大量感性材料，通过独立思考与积极思维进行信息的提取与分析，进而抽象出数学模型，达到对抽象知识的深刻理解，由此上升为理性认知。在以往的教学中所能用到的教具有限，而且这些教具并不能进行动态呈现，使得以往的数学教学抽象枯燥，学生并没有达到对基本概念与定理的真正理解，只是在机械地记忆与运用，只知其然而不知其所以然。而多媒体技术具有很强的模拟演示功能，可以收集丰富的信息来呈现抽象的数学知识，以图文声像的形式动态而直观地将概念与定理的形成过程展现出来，多媒体进行教学，声形并茂地展示了数学知识。让学生从中获取大量感性认知，从而总结出内在规律，进而达到真正的理解。如在学习“椭圆的概念”这一内容时，我们可以利用多媒体来进行动态演示，固定两点，使绳子的长度大于、等于、小于固定点间的距离，来分别演示所形成的轨迹，带给学生初步感知。让学生认识到当绳子长度大于固定点的距离时形成椭圆。然后再通过改变两定点间的距离来演示轨迹的形成。这样的教学将整个过程动态地展现出来，再加上教师的启发与指导，通过学生的积极思考，学生便可以认识到各系数变化对椭圆形状的影响。这样的教学重视结果，更重视过程，真实地再现了知识形成的全过程，学生对于知识的学习不再只是机械地记忆结果，而是深入过程，亲历知识形成的全过程，是对知识的真正理解与掌握，更加利于学生创造性地加以运用；更为重要的是可以增强学生的探究意识，培养学生创新能力。

四、调动学生的积极性，建立合作探究的学习模式

教学要充分体现以学生为主题，以学会学习方法提高数学能力为目标。教师在进行知识的学习和探究的时候，要多鼓励学生进行合作学习和思考。让学生在课堂上动起来，主动地去探究知识和感受数学知识学习的乐趣。给学生设置问题情境，让学生以小组的形式思考讨论、探究结果；或是让学生动手制作一些教具，让学生在动手中体会数学知识的形成„„例如在学习椭圆的时候，教师就可以让学生自己准备一个绳子和两个图钉，在课堂上让学生用图钉固定绳子的两端，但不要把绳子拉紧，之后让学生用笔去撑起这个绳子，并且沿着绳子去画所呈现的图像，学生会看到一个“椭圆”，呈现在了自己的本上。通过学生的动手增加了学生的学习兴趣，启发了学生的求知欲和好奇心，教师再引入椭圆的概念以及相关知识，学习效果会事半功倍。例如在学习了《二次函数》后，通过做题，教师可以让学生共同去总结和归纳二次函数的综合问题的做题规律是什么？一个学生的认识可能存在不全的时候，但是在学生共同的探究和总结中，学生就会总结出：二次函数的综合问题多涉及二次函数、二次方程、二次不等式的关系问题，处理时一般是相互转化。一般规律是：在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图像数形结合来解，一般从开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析。在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图像、性质求解。通过学生的合作，学生们把问题分析的非常全面和透彻，这正是集体智慧的结晶。所以，在教学过程中，教师要充分调动学生的积极性，让学生自主进行合作探究，促进学生的共同提高。

第四篇：高中数学教学论文

高中数学复习应注重的两种方法

甘肃省合水县第一中学

745400

刘克江

一、系统复习高三教材及总结数学思想与方法

系统复习教材。教师归纳知识体系是单元复习的重点。要提高复习效果，掌握复习教材的方法。对教材要有正确认识，万丈高楼平地起，学会把教材“由厚变薄”，强调“给知识演电影”，建立学科知识体系，漫无边际地看教材意义不大，复习教材的方法是“看目录—想内容—去翻书—作练习”，尤其是教材中“总复习参考题”的内容，经常有高考题的基础题，是它们的引伸、变形、拓宽；挖掘典型例题、练习题，把握学科思想方法；学习“由厚变薄”到“由薄变厚”是质的飞跃。

教材复习的两个层次要求：首先是“熟练教材，适当拓宽”。具体包括教材中概念、定理、法则、公式等知识系统的把握，灵活运用；掌握知识的来龙去脉，能够自己推导公式。掌握教材体系，是复习教材的基本要求，是“继承”。同时对曾经做过的练习题、课堂学习笔记、错题本等内容进行整理复习，系统掌握，进行知识拓宽。

其次是“构建网络，形成体系”。是在上一步的基础上，按照知识结构、学习系统、解题规律等方面对教材内容进行科学整合，这是建立知识体系的过程，是一种较高要求，是“发展”，体现创新精神，同时，又是归纳、概括能力的重要标志。

系统总结数学思维与方法。考查数学思想方法是高考中考查能力的要求。高中阶段数学思想主要包括函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、参数思想等。数学方法主要包括换元法、消元法、待定系数法、配方法、判别式法、反证法、比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法等。各个单元的特殊的思想与方法，要在复习中认真总结。例如立体部分中的割补思想、等积法、平面展开图法等；函数部分中集合思想、对称思想、图象法、反函数法、单调性法、变换法、运动法、导数法等；三角函数部分中切割化弦的思想、化积思想、转化思想、公式活用、公式逆用、降幂思想、变角、变结构、变名称等。公式多，选择多，歧路多，要学会选择，主要体现化归的思路；数列部分中迭加法、叠代法、递推法、错位相减法、演绎法、归纳法、构造法、极限法、数学归纳法等；解析几何部分中运动思想观点、对称观点、代点法、定义法、点差法、参数法、交轨法等。

我们可以肯定的是：“习题”无限，而“学科思想”有限，“学科方法”有限，“知识点”有限，“题型”有限。强调“以题带法，以法解题，解一个题，即代表一类题”，这是提高学习效率，轻负担的必由之路!

二、备考要有“针对性”注意各类题型的方法总结 加强各种题型宏观指导：判断题注意概念(尤其是内涵与外延)；选择题注意方法；填空题注意技巧；解答题注意过程。

1.选择题的常用解法有：计算法、排除法、赋值法、验证法、图象法、分析法、极限法、估 算法、特例法（包括特殊点、特殊值、特殊图形、特殊方程、特殊模型等），此外，分析法、观察法、反证法、猜测法等，都可用来解选择题，充分利用题目的信息，综合运用，很多选 择题的解决不是单一的，因而可择最佳解法。

2.填空题的解法：填空题题小，跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以有目的、和谐的综合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略技巧。如：整体代入法、图象法、分类法、顺推巧算、建立模型法、特例法，直接法等等，根据题的需要，选准思维策略，灵活选择方法，推演步步为营，迅速准确无误，最终提高填空题的速度和准确率。

3.完整的“解题训练”：完整的解题训练包括审题关、步骤关、结果关、反思关。我们学生的普遍情况是同学们重视结果，忽视审题，欠缺步骤，不具备反思。

坚持审题三读，具体包括，泛读，明确是几个条件，求什么?细读，关键要把握关键字、词，数量关系、单位等；精读，就是要深入思考，注意挖掘隐含条件。

书面表达要求：要坚持“字迹工整、格式规范、推证合理、详略得当”。字迹工整，是网上阅卷要求，强调字迹要求写工整，包括字间距、行距适中，笔画交代清楚，用黑色钢笔书写。

格式规范包括文字说明的规范化，计算结果的规范化，运算过程的规范化，作图的规范化，表达书写中符号语言表达的规范化等。

推证合理就是要先有“因为”，后有“所以”，不能没有“因为”，一直“所以”，造成推理论证的逻辑错误。详略得当就是要求重点内容、难点突破要详写，其他内容略写。

4.数学应用题：应用题主要是考察学生解决实际问题的能力，是综合思维能力的反映。要想解好应用题，最好要过以下“五关”：心理关，相信自己能够通过数学知识的系统学习，解决数学应用题；事理关，就是数学问题要符合实际，学生本人在具体思考解决过程中要符合生活实际，不能异想天开；文理关，就是要能够读懂问题，包括关键的字、词的理解；数量关，就是在具体的处理中，分清数学应用题的类型，按照各个单元的知识，建立数学的模型，从而解决问题。情理关，数学问题的结果要符合实际。

应用题要做到审题在先，坚持2至3遍，书面表达过程中坚持“设—列—解(化简)—答”的过程。“设”包括引进的各种量的含义、单位等，“列”就是建立数学模型的过程，“解”就是化简过程，“答”就是去伪存真的过程。

在高考复习教学中，只要做到能够贯彻以上两种方法。同时，加强对学生的练习要求，一定能提高学生的解题能力。

第五篇：高中数学教学论文

数学教学中学生素质的培养

【摘要】 中学数学是重要的基础学科，在推进素质教育的过程中肩负着自身的历史重任，对培养和发展中学生素质意义重大。这是因为，即将跨入二十一世纪的莘莘学子，如果他的大脑思维离开了敏捷、灵活、深刻、创造、批判，而是迟钝、呆板、肤浅、因循、保守的。那么何谈他已具备了能经受世纪风雨洗礼，能为“四化”再创辉煌的优良素质呢？在数学教学中，如何面向二十一世纪，培养和提高中学生数学素质，适应社会主义现代化建设的需要，是广大数学教育工作者面临的重大课题。本文围绕这个热点课题，就数学教学中如何培养中学生数学素质作一探讨。

一、数学素质的内涵

关于什么是数学素质，众说纷纭。根据目前的研究结果，一般认为是在先天的基础上，主要通过后天的学习所获得的数学观念、知识、能力的总称，是一种稳定的心理状态。具体地说有以下几种提法：

1、张奠宙教授《数学素质教育设计》（草案）中的一个界定：即从数学知识观念、创造能力、思维品质、科学语言等四个层次进行分析研究；朱成杰教授《数学思想方法教学研究导论》指出数学素质包括：思想政治、科学文化、心理健康和劳动技能素质等四个方面。

2、就“大众数学”的教育目标来说，可分为：数学知识、公民意识、社会需要、语言交流等四个方面，这是着重从人生活的实际需要出发而提出的。

二、中学生数学素质的培养

1、面向全体，因材施教，重视数学意识的培养

前国家教委付主任柳斌指出：素质教育的要义即面向全体，全面发展，主动发展。面向全体，“为一切人的数学”已成为国际数学教育改革的主流。数学要面向全体，就是要对每一位学生负责，在对大多数学生进行教学的同时，兼顾学习有困难和学有余力的学生，“使所有学生都达到基本要求”并且尽可能的提高。而现代教学要求以人为本，对“教师主导”和“学生主体”进行有机结合，立足学生主体，实施因材施教即教师根据学生在知识、技能、能力、志趣、特长等方面的个性差异，从学生实际情况出发，有区别有针对地进行教学，让不同程度的学生都能有所得，都能尽最大努力，既能“吃得了”，又能“吃得饱”，让每个学生数学素质都能得到全面和谐发展，最终实现“差生”转化、中等生优化、优生深化发展的目标，这是素质教育的出发点和归宿。教师应及时利用课堂这主阵地不断地调动学生学习主动性，树立学生学习自信心，向学生传授数学知识，数学思想方法，使他们形成科学的数学观。只有这样，才能使所有学生喜欢数学，酷爱数学，变被动学习为主动学习，自觉地做学习的主人翁。

2、加强逻辑思维能力的培养，形成良好的思维品质

当今世界数学教育的改革热点是讨论“如何在增长知识的同时，不断提高思维能力和解决实际问题的能力”。数学教育不仅要注意具体的解题技能方法，更应注意数学知识发生过程中的思想方法，培养学生的数学能力和优良数学品质。

数学中的逻辑思维能力是根据正确的思维规律和形式对数学对象的属性进行综合分析、抽象概括、推理论证的能力。它是基本数学能力之一，也是数学素质的核心。高考改革内容强调：“继续发挥数学等基础学科的作用，强调基础性、通用性、工具性，将考查重点放在思考和推理上。”因此加强逻辑思维能力的培养，是数学教师的一大根本任务。

3、加强思想方法的教学，教会学生猜想，培养创新能力

心理学表明创新能力是教师根据一定的目的任务，运用一切己知信息，开展能动思维，产生新颖独特，有社会和个人价值的智力品质。在科学技术、知识经济时代，一个国家、民族创造水平如何，已成为决定其荣辱兴衰的重要因素。数学思想方法是数学的灵魂与精髓，是核心，它是学生获取知识的手段，是联系各项知识的纽带，是知识转化为能力的桥梁，它比知识更具有普通适用性，抽象概括性。学生掌握了数学思想方法就能更快捷地获取知识，更透彻地理解知识，并能终身受益。中学数学涉及到的思想方法大致可分为三种类型：技巧型（如特殊、一般、消元、换元、降次、配方、待定系数法等）、逻辑型（如类比、归纳、分析、综合、演绎、反证法等）、宏观型（如函数与方程、分类讨论、数形结合、归纳猜想、整体化归、数学模型等）。

现代教育科研理论指出：教育要把实践中的经验上升到理论高度，进一步指导实践，使学生有意识地、主动地运用思想方法解决数学问题。高考改革内容也强调：更加注重能力的考查，在此基础上考察与高中水平相适应的创新能力和实践能力。教师要充分挖掘教材中蕴含的数学思想方法，突出数学思想方法教学，进行学生创新能力的培养。如猜想是一种非常重要的数学思想方法，科学上突破、技术上创新等发明创造往往是从猜想开始的。

教师要教会学生通过观察、实验，进行猜想；通过对特例分析，归纳出一般（共性）的规律，作出猜想；通过比较、概括，得到猜想；通过从宏观作出估算，先有猜想，再有严密数学证明。这样“既教猜想，又教证明”，激励学生猜想欲望，让学生体会到数学也是生动、活泼，充满激情，并富有哲理的一门学科。在实际教学中应该介绍一些科学家的著名猜想、科学发现的重大作用，如介绍德国数学家哥德巴赫猜想、我国数学家陈景润等人的杰出贡献，形成良好氛围。

4、强化语言训练，促进信息交流，提高综合能力

当今世界上许多事物大多需要综合多门学科知识来解决，靠单学科知识就能解决毕竟是少数。数学学科本身具备很强的综合性，代数、三角、几何教材中综合了许多政治、历史、地理、物理、化学、生物等相关学科知识。因此教学中数学应发挥基础学科作用，加强学科内联系，挖掘各知识交汇点，提高学生综合运用知识能力，帮助学生解决相关学科生产、生活中的数学问题，并正确运用数学语言加以表述。

数学教学中，要加强概念教学，丰富学生语言词汇，提高解决问题的综合能力。不仅要让学生记住数学概念、表示符号，更重要的是要掌握其所揭示的具体内容。如“△”在几何中是三角形符号，而在代数中则是指一元二次方程根判别式。强化数学语言的教学，注意同一对象的不同语言互译训练，它利于

思维能力的培养，如几何中“ A a ”、“直线a经过点A”与“点A 在直线a上，记为A∈a”是三种语言的互化。一个学生能否流畅地解决问题，关键在于能否准确理解互译各种语言。近年中考高考频繁出现语言互译、阅读理解、学科内小综合问题，学生失分率很高。由此可知，加强数学语言的训练，提高学生综合运用知识的能力，对培养学生数学素质起重大作用。随着社会数学化、科学数学化程度日益提高，数学语言必将成为人类交流和信息存贮的重要手段，从而使学生掌握数学语言，就是为学生提供了将来更好地工作和生存的一种工具。

让问题进入课堂，以问题解决来培养学生应用能力。义务教育数学教学大纲明确指出“要使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，形成应用数学的意识，教材中对于数学联系并应用实际也给予充分的注意。”由于“应试教育”的影响，却恰恰忽视了这一点，造成一个直接结果是，学生缺乏应用数学能力。可喜的是近几年全国高考和各地中考命题中都注意并加大了应用数学题的力度。

另外必须形成应用数学的强烈意识。首先，让教师进行应用数学方面的培训，开展应用数学的研究；其次，积极开展社会实践，深入实行调查，进行数学建模活动。在高考中出现的实际应用题，都是经过人工改造，抽象概括过的问题，这对数学建模活动有所不同，数学建模中必须自己提出问题，并进行抽象概括，比解应用题更复杂，更富创造性。在活动中要以学生为主体，充分发动学生，让他们动手动眼，获得丰富第一手材料，布置学生撰写建模小论文，激发他们参与建模热情，培养他们创新能力，学习兴趣。我们的数学教育不仅要让学生学会继续深造所必需的数学基本知识，基本技能，更重要的是让学生用数学眼光看待世界，用数学思维方式去观察分析现实社会，去解决现实生活中问题。

养成教育是社会、家庭要为学校进行素质教育创设良好的外部环境。学校本身要有良好的校风、学风、教学管理制度；班级要有优良的班级文化、班风；社会要在人才选拔、学校建设等方面进行改革，在重教的同时，大力宣传素质教育的意义；家庭要有正确的子女成才观，营造良好的家庭气氛，根据孩子的禀赋，顺其天性，积极引导，使学生都感到自己能成为有用之才，从而养成自愿自觉的学习习惯，并能逐渐开发自己的数学潜能，以达到提高自身的数学素质。

参考文献

i.饶汉昌 的《高中数学新教材体系问题研究》

ii.谌业锋的《基础教育课程改革基本理念》