第一篇：全国初中数学竞赛辅导 第五十讲《生活中的数学(三)——镜子中的世界》教案1 北师大版
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第五十讲 生活中的数学(三)——镜子中的世界
在日常生活中，人们为了观察自己的服装仪表是否整洁漂亮，常常要照镜子．如果镜面是很平的，那么在镜子中，人或物体与其像是完全一样的．而且我们都有这样的经验：当人走近镜面，人在镜中的像也走进镜面；当人远离镜面，人在镜中的像也远离镜面．如果你留心的话，就可以发现：人和像与镜面的距离保持相等(图2-155)，这种现象叫作面对称．如果我们只取一个侧面，那么镜面就可用一条直线来表示，人和人在镜中的像可用一个平面图形来表示，这样，人、像与镜就成了轴对称，也叫直线对称(图2-155)．
如果实物是△ABC，那么它在镜中的像就成了图形△A′B′C′．直线l表示镜，这时称l为△ABC和△A′B′C′的对称轴(图2-156)．图中，A与A′，B与B′，C与C′是对称点．以对称点为端点所连结的线段AA′，BB′，CC′被对称轴l垂直平分，因此，如果以直线l为折痕，把△ABC翻折过来，它必与△A′B′C′重合，所以成轴对称的两个图形必全等．
例1 设图形ABCDEF是半个蝴蝶形(图2-157(a))，试以直线l为对称轴，画出整个蝴蝶来．！
解 为了画出整个蝴蝶，只需要画出图形ABCDEF关于直线l的轴对称图形就可以了．因为A点、F点在直线l上，所以它们的对称点分别和A，F是同一点，这样，只要画出B，C，D，E关于l的对称点就行了．为此，先分别过B，C，D，E向l作垂线，设垂足分别为M，N，P，Q，然后在BM，CN，DP，EQ的延长线上取B′，C′，D′和E′点，使得B′M=MB，C′N=NC，D′P=PD，E′Q=QE，最后连结AB′，B′C′，C′D′，D′E′，E′F，于是就得到完整的蝴蝶形ABCDEFE′D′C′B′了(图 2-157(b))．
例2 设直线l1和直线l2平行，且l1和l2间的距离为a．如果线段AB在l1的右侧，并设AB关于l1的对称图形是A′B′，而A′B′关于l2的对称图形是A″B″(图2-158)，那么，线段AB和A″B″有什么关系？
解 因为l1平行于l2，并且AA′A″垂直于l1，当然也垂直于l2，同理BB′B″也垂直于l1和l2．我们知道：“在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，所以
AA′A″∥BB′B″． ①
另一方面，因为AP=PA′，A′P′=P′A″，所以
AA′A″＝2PP′=2a，同理BB′B″=2a，所以
AA′A″=BB′B″． ②
通过例2，我们可知，如果在平面上两条直线互相平行，有一个图形以这两条直线为对称轴，连续作了两次轴对称移动，那么相当于这个图形作了一次平行移动，平行移动的距离刚好是这两个对称轴间距离的2倍．
如果我们反复利用例2的原理，就可以做成带形的花边图案．例如，我们把一张等宽的长纸条像图2-159那样折叠起来，并在上面用小刀刻出一个三角形的洞，然后再展开这张纸条，就会得到如图2-160那样的带形图案．！
如果我们把图2-160中的m2，m1，m0，m-1，m-2，m-3看成镜子，A0看作实物，那么A1，A2和A-1，A-2就是A0在镜子中的像了．其实，图中的A1是A0以m0为对称轴作对称移动的对称图形，也可以把A1看作是A-1作一次平行移到所得到的图形．由此，怎样看待A1和A2的关系以及A2和A0的关系呢？请同学们自己作出回答．
有了上面的知识，同学们不仅可以自己设计一些带形花边图案，还可以了解某些广告上画的花边图案的原理了．下面的图2-161和图2-162是两个带形图案，你能看出它们是怎样设计的吗？
如果我们把前面图2-160中的m2，m1，m0，m-1，m-2等看作平行的镜子，A0看作一个人，如果这个人在镜子中m0和m-1之间反复映照，那么就会看到图2-163的情况．
可以想象，在镜子m0中的像A1，A2，A3，…，以及在镜子m1中的像A-1，A-2，A-3，…是无限多的．还可以知道：A0在镜m0中的像是A1，A1在镜m-1中的像是A-2，A-2在镜m0中的像是A3，…如此等等．因为A0和A1，A1和A2是轴对称移动，所以A0到A2是平行移动．！
例3 设直线l1和直线l2相交，交点为O，其夹角为α．如果线段AB关于l1的轴对称图形是A′B′，而A′B′关于l2的轴对称图形是A″B″．试问AB和A″B″间有什么关系？(见图2-164)
解 因为已知AB关于l1的对称图形是A′B′，A′B′关于l2的对称图形是A″B″，所以AB=A′B′，A′B′=A″B″，所以
AB=A″B″，①
由于∠AOP=∠A′OP，∠A′OP′=∠A″OP′，所以
∠AOA″＝2∠POP′＝2α．
同理∠BOB″=2∠POP′=2α，所以
∠AOA″＝∠BOB″＝2α． ②
由①，②可知：在平面上，如果两条直线相交，一个图形以这两条直线为对称轴，连续作两次对称移动，那么相当于这个图形以这两条直线的交点为旋转中心，以这两条直线的交角的2倍为旋转角，作了一个旋转移动，在旋转移动下，图形的大小不变．
例4 同学们小时候常常玩万花筒，它是由三块等宽、等长的玻璃片围成的．为什么在万花筒中会出现美丽奇特的图案呢？试用前边的知识揭开万花筒的秘密．
解 万花筒中所以能呈现千变万化、美丽而奇特的图案，主要是利用了图形的对称和旋转原理．为具体说明，给出的图2-165为万花筒中的一个图案，它是用一个小圆、一个平行四边形和一段短线在万花筒中连续反射而成的图形．
为了清楚地说明上图形成的原理，我们取出图形中的一部分(图2-166)加以分析．！
正△ABO以OB为对称轴作轴对称移动，就得到△CBO；△CBO以OC为对称轴作轴对称移动，就得到△CDO．经过这样两个轴对称移动，实际上相当于△ABO以O为中心，以120°为旋转角，作了一个旋转移动．这样：
点A→点C，边AO→边CO，点B→点D，边AB→边CD，点O→点O，边BO→边DO．
在这样旋转移动下，△ABO中的平行四边形、小圆和曲线也跟着旋转了120°．经多次反复，就形成了图2-165的绮丽景色．如果同学们有兴趣，可以自己在纸上再现万花筒中的世界！
练习二十九
1．设l1和l2是两面平行相对的镜子，如果把一个小球放在l1和l2之间(图2-167)，试问：
(1)小球A在镜l1中的像A′在什么位置？！
(2)小球A在镜l1中的像A′在镜l2中的像A″又在什么位置？分别画在图上；
(3)小球A和像A″之间的距离与l1和l2之间的距离有什么关系？
2．图2-168是万花筒中的一个图案，其中菱形FJKG变成菱形FDAC，如果看成经过以F点为旋转中心、旋转角为x的旋转移动得到的，那么x等于多少度？请从下面的四个答案中选出一个正确的答案来．
(A)60°；
(B)120°；
(C)180°；
(D)以上答案都不对．
3．图2-169是游乐园中的大型旋转车的简图，游人坐在旋转车的车斗中，任凭旋转车不停地旋转，但总是头朝上，绝不会掉下来．试问车斗所作的移动是什么移动？请在下面答案中选一个正确的答案．
(A)旋转；(B)对称；
(C)平移；(D)以上答案都不对．
4．图2-170表示一张长方形球台，设P，Q为两个球，若击P球，使它碰CD边后，反弹正好击中Q球．试问P应碰撞CD边的哪一点？！
第二篇：全国初中数学竞赛辅导 第十六讲《质数与合数》教案1 北师大版
第十六讲 质数与合数
我们知道，每一个自然数都有正因数(因数又称约数)．例如，1有一个正因数；2，3，5都有两个正因数，即1和其本身；4有三个正因数：1，2，4；12有六个正因数：1，2，3，4，6，12．由此可见，自然数的正因数，有的多，有的少．除了1以外，每个自然数都至少有两个正因数．我们把只有1和其本身两个正因数的自然数称为质数(又称素数)，把正因数多于两个的自然数称为合数．这样，就把全体自然数分成三类：1，质数和合数．
2是最小的质数，也是唯一的一个既是偶数又是质数的数．也就是说，除了2以外，质数都是奇数，小于100的质数有如下25个：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97．
质数具有许多重要的性质：
性质1 一个大于1的正整数n，它的大于1的最小因数一定是质数．
性质2 如果n是合数，那么n的最小质因数a一定满足a≤n．
性质3 质数有无穷多个(这个性质将在例6中证明)．
性质4(算术基本定理)每一个大于1的自然数n，必能写成以下形式：
这里的P1，P2，…，Pr是质数，a1，a2，…，ar是自然数．如果不考虑p1，P2，…，Pr的次序，那么这种形式是唯一的．
关于质数和合数的问题很多，著名的哥德巴赫猜想就是其中之一．哥德巴赫猜想是：每一个大于2的偶数都能写成两个质数的和．这是至今还没有解决的难题，我国数学家陈景润在这个问题上做了到目前为止最好的结果，他证明了任何大于2的偶数都是两个质数的和或一个质数与一个合数的和，而这个合数是两个质数的积(这就是通常所说的1+2)．下面我们举些例子．
例1 设p，q，r都是质数，并且
p+q=r，p＜q．
求p．
解 由于r=p+q，所以r不是最小的质数，从而r是奇数，所以p，q为一奇一偶．因为p＜q，故p既是质数又是偶数，于是p=2．
例2 设p(≥5)是质数，并且2p+1也是质数．求证：4p+1是合数．
证 由于p是大于3的质数，故p不会是3k的形式，从而p必定是3k+1或3k+2的形式，k是正整数．
若p=3k+1，则
2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)是合数，与题设矛盾．所以p=3k+2，这时
4p+1=4(3k+2)+1=3(4k＋3)是合数．
例3 设n是大于1的正整数，求证：n+4是合数．
证 我们只需把n+4写成两个大于1的整数的乘积即可．
n+4=n+4n+4-4n＝(n+2)-4n ＝(n-2n+2)(n+2n+2)，因为
n+2n＋2＞n-2n+2=(n-1)+1＞1，所以n+4是合数．
例4 是否存在连续88个自然数都是合数？
解 我们用n！表示1×2×3×…×n.令
a=1×2×3×…×89=89！，那么，如下连续88个自然数都是合数：
a+2，a+3，a+4，…，a+89．
这是因为对某个2≤k≤89，有
a+k=k×(2×…×(k-1)×(k+1)×…×89+1)
是两个大于1的自然数的乘积．
说明 由本例可知，对于任意自然数n，存在连续的n个合数，这也说明相邻的两个素数的差可以任意的大． 4
用(a，b)表示自然数a，b的最大公约数，如果(a，b)=1，那么a，b称为互质(互素)．
例5 证明：当n＞2时，n与n！之间一定有一个质数．
证 首先，相邻的两个自然数是互质的．这是因为
(a，a-1)=(a，1)＝1，于是有(n！，n！-1)=1．
由于不超过n的自然数都是n！的约数，所以不超过n的自然数都与n！-1互质(否则，n！与n！-1不互质)，于是n！-1的质约数p一定大于n，即n＜p≤n！-1＜n！．
所以，在n与n！之间一定有一个素数．
例6 证明素数有无穷多个．
证 下面是欧几里得的证法．
假设只有有限多个质数，设为p1，p2，…，pn.考虑p1p2…pn+1，由假设，p1p2…pn+1是合数，它一定有一个质约数p．显然，p不同于p1，p2，…，pn，这与假设的p1，p2，…，pn为全部质数矛盾．
例7 证明：每一个大于11的自然数都是两个合数的和．
证 设n是大于11的自然数．
(1)若n=3k(k≥4)，则
n＝3k=6+3(k-2)；
(2)若n=3k+1(k≥4)，则
n=3k+1=4+3(k-1)；
(3)若n=3k+2(k≥4)，则
n=8+3(k-2)．
因此，不论在哪种情况下，n都可以表为两个合数的和．
例8 求不能用三个不同合数的和表示的最大奇数．
解 三个最小的合数是4，6，8，它们的和是18，于是17是不能用三个不同的合数的和表示的奇数．
下面证明大于等于19的奇数n都能用三个不同的合数的和来表示．
由于当k≥3时，4，9，2k是三个不同的合数，并且4+9+2k≥19，所以只要适当选择k，就可以使大于等于19的奇数n都能用4，9，2k(k=n-13/2)的和来表示．
综上所述，不能表示为三个不同的合数的和的最大奇数是17．
练习十六
1．求出所有的质数p，使p+10，p+14都是质数．
2．若p是质数，并且8p+1也是质数，求证：8p-p+2也是质数．
3．当m＞1时，证明：n+4m是合数．
4．不能写成两个合数之和的最大的自然数是几？
5．设p和q都是大于3的质数，求证：24｜p-q．
6．设x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，并且
求x+y的值．
第三篇：全国初中数学竞赛辅导 第四十六讲《同余式》教案1 北师大版
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第四十六讲 同余式
数论有它自己的代数，称为同余理论．最先引进同余的概念与记号的是数学王子高斯．
先看一个游戏：有n＋1个空格排成一行，第一格中放入一枚棋子，甲乙两人交替移动棋子，每步可前移1，2或3格，以先到最后一格者为胜．问是先走者胜还是后走者胜？应该怎样走才能取胜？
取胜之道是：你只要设法使余下的空格数是4的倍数，以后你的对手若走i格(i=1，2，3)，你走4-i格，即每一次交替，共走了4格．最后只剩4个空格时，你的对手就必输无疑了．因此，若n除以4的余数是1，2或3时，那么先走者甲胜；若n除以4的余数是0的话，那么后走者乙胜．
在这个游戏里，我们可以看出，有时我们不必去关心一个数是多少，而要关心这个数用m除后的余数是什么．又例如，1999年元旦是星期五，1999年有365天，365=7×52＋1，所以2000年的元旦是星期六．这里我们关心的也是余数．这一讲中，我们将介绍同余的概念、性质及一些简单的应用．
同余，顾名思义，就是余数相同．
定义1 给定一个正整数m，如果用m去除a，b所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作
a≡b(modm)，并读作a同余b，模m．
若a与b对模m同余，由定义1，有
a=mq1＋r，b=mq2+r．
所以 a-b=m(q1-q2)，即 m｜a-b．
反之，若m｜a-b，设
a=mq1＋r1，b=mq2＋r2，0≤r1，r2≤m-1，则有m｜r1-r2．因｜r1-r2｜≤m-1，故r1-r2=0，即r1＝r2．
于是，我们得到同余的另一个等价定义：！
定义2 若a与b是两个整数，并且它们的差a-b能被一正整数m整除，那么，就称a与b对模m同余．
同余式的写法，使我们联想起等式．其实同余式和代数等式有一些相同的性质，最简单的就是下面的定理1．
定理1(1)a≡a(modm)．
(2)若a≡b(modm)，则b≡a(modm)．
(3)若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)．
在代数中，等式可以相加、相减和相乘，同样的规则对同余式也成立．
定理2 若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则
a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．
证 由假设得m｜a-b，m｜c-d，所以
m｜(a±c)-(b±d)，m｜c(a-b)＋b(c-d)，即
a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．
由此我们还可以得到：若a≡b(modm)，k是整数，n是自然数，则
a±k≡b±k(modm)，ak≡bk(modm)，a≡b(modm)．
对于同余式ac≡bc(modm)，我们是否能约去公约数c，得到一个正确的同余式a≡b(modm)？
在这个问题上，同余式与等式是不同的．例如
25≡5(mod 10)，约去5得
5≡1(mod 10)．
这显然是不正确的．但下面这种情形，相约是可以的．
定理3 若ac≡bc(modm)，且(c，m)=1，则
n
n 2！
a≡b(modm)．
证 由题设知
ac-bc=(a-b)c=mk．
由于(m，c)=1，故m｜a-b，即a≡b(modm)．
定理4 若n≥2，a≡b(modm1)，a≡b(modm2)，………… a≡b(modmn)，且M=[m1，m2，…，mn]表示m1，m2，…，mn的最小公倍数，则
a≡b(modM)．
前面介绍了同余式的一些基本内容，下面运用同余这一工具去解决一些具体问题．
应用同余式的性质可以简捷地处理一些整除问题．若要证明m整除a，只需证a≡0(modm)即可．
例1 求证：
(1)8｜(552n1999
＋17)；
(2)8(3＋7)；
(3)17｜(191000
-1)．
1999
证(1)因55≡-1(mod 8)，所以55
19998)，于是8｜(55＋17)．
2n
≡-1(mod 8)，55
1999
＋17≡-1＋17=16≡0(mod
(2)3=9≡1(mod 8)，3≡1(mod 8)，所以3＋7≡1＋7≡0(mod 8)，即8｜(3＋7)．
(3)19≡2(mod 17)，19≡2=16≡-1(mod 17)，所以19≡1(mod 17)，于是
17｜(19
1000
1000
2n2n
=(19)250≡(-1)250
-1)．！
例2 求使2-1为7的倍数的所有正整数n．
解 因为2≡8≡1(mod 7)，所以对n按模3进行分类讨论．
(1)若n=3k，则
2-1＝(2)-1＝8-1≡1-1＝0(mod 7)；
(2)若n=3k＋1，则
2-1=2·(2)-1=2·8-1
≡2·1-1＝1(mod 7)；
(3)若n=3k＋2，则
2-1=2·(2)-1=4·8-1
≡4·1-1＝3(mod 7)．
所以，当且仅当3｜n时，2-1为7的倍数．
例3 对任意的自然数n，证明
A=2903-803-464＋261
能被1897整除．
证 1897=7×271，7与271互质．因为
2903≡5(mod 7)，803≡5(mod 7)，464≡2(mod 7)，261≡2(mod 7)，所以
A=2903-803-464+261
≡5n-5n-2n+2n=0(mod 7)，故7｜A．又因为
2903≡193(mod 271)，n
n
n
n
n
n
n
n
n
k
n
3k
k
k
n
3k
k
n
3k
k
k3n 4！
803≡261(mod 271)，464≡193(mod 271)，所以
故271｜A．因(7，271)=1，所以1897整除A．
例4 把1，2，3…，127，128这128个数任意排列为a1，a2，…，a128，计算出
｜a1-a2｜，｜a3-a4｜，…，｜a127-a128｜，再将这64个数任意排列为b1，b2，…，b64，计算
｜b1-b2｜，｜b3-b4｜，…，｜b63-b64｜．
如此继续下去，最后得到一个数x，问x是奇数还是偶数？
解 因为对于一个整数a，有
｜a｜≡a(mod 2)，a≡-a(mod 2)，所以
b1＋b2＋…＋b64
=｜a1-a2｜+｜a3-a4｜+…+｜a127-a128｜
≡a1-a2＋a3-a4+…+a127-a128
≡a1＋a2＋a3＋a4+…+a127＋a128(mod 2)，因此，每经过一次“运算”，这些数的和的奇偶性是不改变的．最终得到的一个数
x≡a1＋a2＋…＋a128＝1＋2＋…＋128
＝64×129≡0(mod 2)，故x是偶数．！
如果要求一个整数除以某个正整数的余数，同余是一个有力的工具．另外，求一个数的末位数字就是求这个数除以10的余数，求一个数的末两位数字就是求这个数除以100的余数．
例5 求证：一个十进制数被9除的余数等于它的各位数字之和被9除的余数．
10≡1(mod 9)，故对任何整数k≥1，有
10≡1＝1(mod 9)．
因此
k
k
即A被9除的余数等于它的各位数字之和被9除的余数．
说明(1)特别地，一个数能被9整除的充要条件是它的各位数字之和能被9整除．
(2)算术中的“弃九验算法”就是依据本题的结论．
例6 任意平方数除以4余数为0和1(这是平方数的重要特征)．
证 因为
奇数=(2k＋1)=4k＋4k+1≡1(mod 4)，偶数=(2k)=4k≡0(mod 4)，所以
例7 任意平方数除以8余数为0，1，4(这是平方数的又一重要特征)．
证 奇数可以表示为2k＋1，从而！
奇数=4k＋4k+1=4k(k＋1)+1．
因为两个连续整数k，k＋1中必有偶数，所以4k(k＋1)是8的倍数，从而
奇数=8t+1≡1(mod 8)，偶数=(2k)=4k(k为整数)．
(1)若k=偶数=2t，则
4k=16t＝0(mod 8)．
(2)若k=奇数=2t+1，则
4k=4(2t＋1)=16(t＋t)+4≡4(mod 8)，所以
求余数是同余的基本问题．在这种问题中，先求出与±1同余的数是一种基本的解题技巧．
例8(1)求33除2
(2)求8除7
2n+1
1998的余数．
-1的余数．
解(1)先找与±1(mod 33)同余的数．因为
2＝32≡-1(mod 33)，所以 2≡1(mod 33)，2
所求余数为25．
(2)因为7≡-1(mod 8)，所以
2n＋1
199810
=(2)·2·2≡-8≡25(mod 33)，1019953
≡(-1)
2n＋1
＝-1(mod 8)，7
2n＋1
-1≡-2≡6(mod 8)，！
即余数为6．
例9 形如
Fn＝2+1，n=0，1，2，… 的数称为费马数．证明：当n≥2时，Fn的末位数字是7．
证 当n≥2时，2是4的倍数，故令2=4t．于是
Fn=2＋1=2+1=16＋1 ≡6＋1≡7(mod 10)，即Fn的末位数字是7．
说明 费马数的头几个是
F0＝3，F1＝5，F2＝17，F3＝257，F4＝65537，它们都是素数．费马便猜测：对所有的自然数n，Fn都是素数．然而，这一猜测是错误的．首先推翻这个猜测的是欧拉，他证明了下一个费马数F5是合数．证明F5是合数，留作练习．
利用同余还可以处理一些不定方程问题．
例10 证明方程
x+y+2=5z
没有整数解．
证 对于任一整数x，以5为模，有
x≡0，±1，±2(mod 5)，x≡0，1，4(mod 5)，x≡0，1，1(mod 5)，即对任一整数x，x≡0，1(mod 5)．
同样，对于任一整数y
y≡0，1(mod 5)，4442
t2n
4t
t
n
n
2n 8！
所以 x+y+2≡2，3，4(mod 5)，从而所给方程无整数解．
说明 同余是处理不定方程的基本方法，但这种方法也非常灵活，关键在于确定所取的模(本例我们取模5)，这往往应根据问题的特点来确定．
练习二十五
1．求证：17｜(19
100044
-1)．
2n
2n
2．证明：对所有自然数n，330｜(6-5-11)．
4．求21000
除以13的余数．
5．求1＋2＋3＋…＋99＋100除以4所得的余数．
6．今天是星期天，过3天是星期几？再过5
19985
天又是星期几？
7．求n=1×3×5×7×…×1999的末三位数字．
8．证明不定方程x+y-8z=6无整数解．
第四篇：生活中数学 教案
生活中的数学
教学目标
挖掘生活中的数学小趣事，让孩子们认识到数学的用处，提高孩子们对
数学的兴趣。教学过程
师：同学们，你们是不是认为，数学嘛，这么难学，出来在学校和书本上，在生活中还用不到，真不知道学了有什么用，是这样觉得吧？
学：是，不是……（回答是的，举手回答，有什么用，举例子说故事都行……）（三分钟）
师：其实啊，数学在我们的生活中，用处可大了呢。用得好的，还可以帮我们多赚钱哦。现在，老师给你们讲一个需要运用到数学的小故事。题目叫《少了一元钱》，听好了哦。
少了一元钱
楠楠的妈妈下岗后，在市场卖茶叶蛋，生意还不错。双休日到了，楠楠帮妈妈卖蛋，她把蛋分成两份：大茶叶蛋30个，一元两个；小的也是30个，因为小些，所以一元三个。很快，茶叶蛋卖光了，同学们，帮楠楠算算，赚了多少钱呀？算出来了的同学，举手，让大家看看你是怎么算的。（叫举手的同学回答、讲解）很好，xx同学很聪明，对的，一共是1*（30/2）+1*（30/3）=25元。这是楠楠上午赚的钱。
下午到了，楠楠又去市场卖茶叶蛋，还是60只。她想，分蛋很麻烦，干脆我把蛋放在一起搭配着卖算了。大的一元两个，小的一元三个，合起来就是两元五个，两个大的三个小的，价格和上午的是一样的。很快，茶叶蛋又卖完了。可是，楠楠一点钱，发现下午只卖了24元钱。同学们算算，是不是24元呢？是的，是只卖了24元。
那么，同样是60只茶叶蛋，价格不变，只是用不同的方式卖，为什么下午会少卖1元钱呢？这把楠楠难住了，回到家，楠楠仔细思索，又拿出笔在纸上画画算算，终于弄明白了。同学知道为什么吗？现在老师给同学们五分钟，看谁能不能为大家解释解释。
是的，xx同学太聪明了
原来啊，按上午的卖法，大小茶叶蛋各有30只，我们刚刚算出的，可以买25元。但是如果以下午的卖法去卖，卖出5个为一批，那么当自己卖出十批后，已卖出20只大茶叶蛋，30只小茶叶蛋，也就是这时一元三只的蛋已经没有了，只剩下一元两只的蛋。这十个蛋按上午的卖法，应该卖到5元，但自己还是以两元钱五个的搭配方式卖出，只卖了4元，所以搭配的这60个蛋比分开卖的要少1元钱。同学们看，小小的茶叶蛋生意，也包含了很多数学学问吧。我们按上午的卖法，是不是就比下午的多赚了一元钱呀。所以呀，学好数学，好好运用，它能给你带来意想不到的收获哦。
（如果还有时间，就给大家再讲一个平均数的故事）
骗人的“平均数”
刘木头开了一家小工厂，生产一种儿童玩具。
工厂里的管理人员由刘木头、他的弟弟及其他六个亲戚组成。工作人员由5个领工和10个工人组成。工厂经营得很顺利，现在需要一个新工人。
现在，刘木头来到了人才市场，正与一个叫小齐的年青人谈工作问题。
刘木头说：“我们这里报酬不错。平均薪金是每周300元。你在学徒期间每周得75元，不过很快就可以加工资。”
小齐上了几天班以后，要求和厂长刘木头谈谈。
小齐说：“你骗我！我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元。平均工资怎么可能是一周300元呢？”
刘木头皮笑肉不笑地回答：“小齐，不要激动嘛。平均工资确实是300元，不信你可以自己算一算。”
刘木头拿出了一张表，说道：“这是我每周付出的酬金。我得2400元，我弟弟得1000元，我的六个亲戚每人得250元，五个领工每人得200元，10个工人每人100元。总共是每周6900元，付给23个人，对吧？”
“对，对，对！你是对的，平均工资是每周300元。可你还是骗了我。”小齐生气地说。
刘木头说：“这我可不同意！你自己算的结果也表明我没骗你呀。”
接着，刘木头得意洋洋地拍着小齐的肩膀说：“小兄弟，你的问题是出在你根本不懂平均数的含义。怪不得别人呦。”
小齐气得说不出话来，最后，他一跺脚，说：“好，现在我可懂了，我不干了！”
在这个故事里，狡猾的刘木头利用小齐对统计数字的误解，骗了他。小齐产生误解的根源在于，他不了解平均数的确切含义。
“平均”这个词往往是“算术平均值”的简称。这是一个很有用的统计学的度量指标。但是，如果有少数几个很大的数，如刘木头的工厂中有了少数高薪者，“平均”工资就会给人错误的印象。
类似的会引起误解的例子有很多。譬如，报纸上报道有个人在一条河中淹死了，这条河的平均深度只有2尺。这不使人吃惊吗？不！你要知道，这个人是在一个10多尺深的陷坑处沉下去的。
所以，同学们，你们仔细去观察生活，就会发现，平均数给大家留下的错误印象还有很多很多呢。
总结：
生活中有很多很多的关于数学的故事，人类靠着劳动的双手创造了财富，数学也和其他科学一样产生于实践。可以说有生活的地方就有数学。同学们，做生活的有心人，会发现数学在我们的生活中应用很广。
课后作业：
好了，同学们，这节课，老师就给你们讲到这里，现在，老师给大家留个家庭作业，同学们，去找找生活中的数学小故事，你们去翻书也好，问爸爸妈妈也好，自己去找也好，每个同学准备好一个小故事，下节课每个同学都要上讲台来讲一个关于数学的小小故事哦。
第五篇：北师大版数学小学三年级《镜子中的数学》
陈丽莉
《镜子中的数学》教学设计
教学目标：
知识目标：
1、使学生了解镜子的反射的图案有什么特点。
2、能够根据镜子的反射画出对称图形。
能力目标：
1、使学生经历探索镜面对称现象的一些特征的过程，培养并发展学生的空间知觉和空间观念。
2、充分挖掘课程资源，进而培养学生实践能力和创新意识。
德育目标：
培养学生多观察、多思考，意识到生活中处处都有数学的存在。
教学重点：
结合实例和具体活动，感知镜子中形成的图案是对称的、并且和实际的图形的左右方向是相反的。
教学难点：
发展学生的空间观念，提高学生的想象能力。
教具、学具准备：
学生每人准备一面小镜子、美术字“王”、对称图片；教师：机灵狗图片。
教学过程：
一、创设情境，导入新课
1、师：同学们，你们还记的我们的老朋友机灵狗吗？（板贴）。它昨天下午要去看一场五点半的电影，可是每看成，你知道为什么吗？原来，机灵狗为了晚上看电影精力充沛，下午就睡了个懒觉，一觉醒来，估计时间差不多了，赶紧到家中的镜子前化妆，巧的很，它家的时钟在镜子对面的墙上，机灵狗从镜子中一看，时针刚好指到5，吆，路上用半个小时，现在出发正好。就在它兴高采烈地赶到电影院时，电影院却已经关门了。售票员阿姨说：“现在是7点半，电影早就散场了。”
咦，我明明从镜子中看到的是5点半，怎么一下子7点多了呢？
2、小组讨论，为什么晚了？
生1：路上太慢了。
生2：时间看的不对。
3、师：时间到底对不对呢？镜子中有什么数学问题吗？让我们一起探讨一下好吗？ 板书课题：镜子中的数学
二、展开活动，探究新知
1、活动一：让学生拿出准备好的对称图片（美术字“王”、Α、8、喜喜），把镜子放在对称图形的对称轴上，看一看发现了什么？
让学生互相说一说，再指名汇报。
2、活动二：
A、将镜子放置物体的一侧，摆一摆，发现了什么？
B、让学生用右手遮住自己的右眼，照着镜子看一看，说说镜子中的你是用哪只手遮着自己的一只眼睛？它在镜子中是左眼还是右眼？
3、你发现镜子中有什么数学学问？
A、小组交流
B、汇报总结：镜子中看到的物体与原物体是对称的，但左右对称。
三、利用知识，解决问题
1、机灵狗当时看到的是几点？
教师板画时钟的对称轴，使学生明确：左右所指时刻不同，时间不同。当时镜中的时针指着5，实际镜子外的时针是指着7，当时已经7时了，因此机灵狗晚了2个小时。（可以让学生动手操作，得到正确时间）。
2、师：如果我们来看一片树叶，会怎样呢？
完成课本18页练一练的第1题。
（再次使学生体会：镜子内外，左右错位，而不是上下错位。）
四、拓展练习，提高认识
1、师：如果机灵狗想从镜中看时间，在镜中几时才不会晚了看电影呢？
（让学生探讨：实际的5时，在镜中应当是几时，再次体会左右错位）。
2、讨论：用镜子观察物体时需要注意什么？镜子有什么作用？它能帮我们做什么？你能用镜子作哪些事情？
在学生讨论的基础上引导学生归纳小结。
五、课堂小结
1、这节课你学到了什么？小小的一面镜子中蕴藏了哪些知识？
2、布置作业：课本18页的第2题及实践活动。
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