高中数学 2.2.3等差数列的前n项和教学设计1 苏教版必修5

第一篇：高中数学 2.2.3等差数列的前n项和教学设计1 苏教版必修5

2.2.3 等差数列的前n项和（1）

教学目标：

要求学生掌握等差数列的求和公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题．

教学重点：

掌握等差数列的求和公式． 教学难点：

推导该公式的数学思想方法．

教学方法：

启发、讨论、引导式．

教学过程：

一、问题情境

高斯计算从1一直加到100的和，这里的算法非常高明，回忆他是怎样算的．（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，……，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了．高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果．我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？

二、学生活动

由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义．

提问：你能说出高斯解题的思想方法是什么吗？

三、建构数学

等差数列的前n项和公式；

四、数学运用 1．例题．

例1 已知等差数列﹛an﹜中，a1＝50，a8＝15，求S8．

例2 已知等差数列﹛an﹜中，a13＝0.7，a3＝1.5，求S7． 2．练习．

（2）在等差数列﹛an﹜中，①若a2＋a5＋a12＋a15＝36．求S16．②已知a6 ＝20．求S11．

（3）求1000以内能被7整除的所有自然数之和．

（4）南北朝《张秋建算经》：今有女子善织布，逐日所织布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？（一匹为四丈）

五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容：

1．运用从特殊到一般的方法得到了等差数列前n项和公式．

Snn(a1an)n(n1)dna1； 222．探究过程中得到了一种重要的求和方法：倒序相加法．

第二篇：《等差数列的前n项和》教学设计

《等差数列的前n项和》

教学设计

教学内容分析

本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）中第二章的第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．在教学中应注意以下两点：

1．本小节重点是等差数列的前n项和公式．学习中可能遇到的困难是获得推导公式的思路，克服困难的关键是通过具体例子发现一般规律．

2．本小节首先通过高斯算法,发现等差数列任意的第k项与倒数第n+1-k项的和等于首项、末项的和，从而得出求和的一般思路． 等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法． 学生情况分析 在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍． 设计思想

建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据本班学生的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析问题、解决问题的能力，达到了分层教学的目的． 教学目标

1、知识目标

（1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法；（2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和．

2、能力目标 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力．

3、情感目标

通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功． 教学重点和难点

教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；

教学难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得． 教学过程

第一环节 创设情境 引入新课

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:1+2+„100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10„算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+„+100=5050．”

教师问：“你是如何算出答案的？”

高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；„50+51=101，所以（1＋100）＋（2＋99）＋„„＋（50＋51）=101×50=5050．” 这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法． 第二环节 推进新课 探究新知 提问：在公差为的等差数列如何求？

中，定义前项和，由前面的大量铺垫，学生容易得出如下过程： ∵

∴ ∴

从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性． 组织学生讨论：在公式1中若将式? 即

此公式要求

（公式2）

必须已知三个条件：

（有时比较有用）．

代入又可得出哪个表达

(公式1)第三环节 应用举例 巩固新知

例1 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的．

解（2）解

练习如何求下列和？

①1+2+3+„+100 =

5050

； ②1+3+5+„+(2n-1)=

③2+4+6+„+2n =

；

．

．

．

例2 等差数列－10，－6，－2，2，„前多少项和是54? 解 设题中的等差数列是，公差为，前n项和为

=54

.，则

=－10，d=－6－（－10）=4，由等差数列前n项和公式，得

解得

n=9或n=－3（舍去）.因此，等差数列的前9项和是54． 练习

已知例3 已知一个等差数列

前10项的和是310，前20项的和是的公式吗？ 1220．由这些条件能确定这个等差数列的前项和分析：将已知条件代入等差数列前项和的公式后，可得到两个关于与的关系式，它们都是关于与的二元一次方程，由此可以求得与，从而得到所求前项和的公式． 解

设等差数列，将它们代入公式

得到 的公差为，由题意可得

解这个关于与的方程组，得到，所以

练习

一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式与前项和公式．

第四环节 课时小结

本节课主要学习了：1.等差数列的前项和公式1：2.等差数列的前项和公式2：

在学习过程中，让学生能够体验倒序相加法的妙处以及能够正确运用等差数列的前n项和的两个公式． 第五环节 布置作业

1．课本P52习题2.3 第2、3、4题． 2．探索题

（1）数列的前项和，求； }（2）若公差为中，到的表达式？

第六环节 教学反思

d(d≠0）的等差数列{

，你能否由题（1）的启发，得

1、合理地对教材进行了个性化处理，挖掘了教材中可探究的因素，促使学生探究、推导．例如，等差数列前n项和的公式一，是通过具体的例子，引到一般的情况，激励学生进行猜想，再进行论证得出；而第二个公式并不象书本上那样直接给出，而是让学生从已知公式中推导得到的．这样处理教材，使学生的思维得到了很大的锻炼．

2、本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题．在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了．

第三篇：必修5教案2.2等差数列前n项和(三)

§2.2第5课时 等差数列的前n项和（3）

教学目标

（1）能熟练地应用等差数列前n项和公式解决有关问题；

（2）能利用数列通项公式与前n项和之间的关系解决有关问题。

教学重点，难点

1．等差数列前n项和公式的应用；

2．数列通项公式与前n项和之间的关系的应用。

教学过程

一．问题情境

1．情境：已知等差数列an中，Snan2(a1)na2，任何求an？（an4n1）

二．学生活动

（1）求出a1和d，再用等差数列的通项公式求an；

(n1)S1（2）利用an与Sn的关系：an

SS(n2)n1n（3）把等差数列的条件去掉，求an。

三．数学运用 1．例题：

例1．（1）如果数列{an}满足a13，11，求an； 5（nN）

an1an（2）已知数列{an}的前n项和为Snn22n，求an．

11}是公差为5的等差数列，其首项为，an31115n14 ∴，5(n1)an333 ∴an．

15n14（2）当n1时，a1S13，解：（1）由题意：{22 当n2时，anSnSn1(n2n)[(n1)2(n1)]2n1，所以，an2n1（nN）。

例2．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和S'n，且

解：∵S13 所以，a7Sn7n2，求的值。b7S'nn313(a1a13)13(b1b13)13a7，S'1313b7，22a7S13713293' b7S1313316说明：若等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和S'n，则

例3．在等差数列中，a1023，a2522，（1）该数列第几项开始为负？（2）前多少项和最大？（3）求an前n项和？

解：设等差数列an中，公差为d，由题意得：anS2n1 n1bnS2a25a1015d45a501 d323a1(101)(3)53，3（1）设第n项开始为负，an503(n1)533n0，n 所以从第18项开始为负。

（2）

（法一）设前n项和为Sn，则

n(n1)31033103231032(3)n2n(n)()，2222626 所以，当n17时，前17项和最大。Sn50n

an0533n05053（法二），则，n，所以n17．

3503n03an10

533n,0n17（3）an533n，3n53,n17∴Sna1a2a3ana1a2a17(a18a19an)，'32103nn，2231033103 当n17时，S'n(n2n)2S17n2n884，2222当n17时，S'n32103nn(n17)22'所以，Sn

(3n2103n)2S3n2103n884(n17)172222

说明：（1）a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值；

（2）Sn最值的求法：

①若已知Sn，可用二次函数最值的求法（nN）；

an0an0②若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可如下确定或．

a0a0n1n1

四．回顾小结：

1．an与Sn的关系：an

2．若等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和S'n，则

(n1)S1

SnSn1(n2)anS2n1

n1bnS2

3．（1）a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值；

（2）Sn最值的求法：

①若已知Sn，可用二次函数最值的求法（nN）；

an0an0②若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可如下确定或．

a0a0n1n1

五．课外作业： P45 10 补充： 1．已知数列{11113}成等差数列，且a3，a5，求a8的值。an267 2．数列{an}的前n项和Sn32nn2，求证{an}是等差数列。

23．设Sn是等差数列{an}的前n项和，并对nN，S2n14n1，求这个数列的通项公式及前前n项和公式

4．数列an是首项为23，公差为整数的AP数列，且a60，a70，（1）求公差d；

（2）设前n项和为Sn，求Sn的最大值；

（3）当Sn为正数时，求n的最大值。

第四篇：2.2《等差数列的前n项和1》教案(苏教版必修5)

Sna1(a1d)[a1(n1)d]或利用定义可得：

Snan(and)[an(n1)d]两式相加可得：2Snn(a1即Sn

an)

n(a1an)2将ana1(n1)d代入可得：Snna1综上所述：等差数列求和公式为：

n(n1)d

2Snn(a1an)n(n1)na1d 22师：下面来看一下求和公式的简单应用

例1：一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？

解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为an，其中a11,a120120，根据等差数列前n项和的公式，得

S120120(1120)7260

2答：V形架上共放着7260支铅笔。

例2：等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：设题中的等差数列为an，前n项为Sn 则：a110,d(6)(10)4,Sn54 由公式可得10nn(n01)454 2解之得：n19,n23（舍去）

∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54（Ⅲ）课堂练习生：（书面练习）（板演练习）

师：给出答案，结合学生所做讲评练习。（Ⅳ）课时小结

师：1。等差数列前n项和公式：Snn(a1an)2Snna1n(n1)d

22．等差数列前n项和公式获取思路

高二文科数学小练(29)1.已知函数fxlog12x在其定义域上单调递减，则函数

agxloga1x2的单调减区间是__________；

2已知奇函数fx在,0上单调递减，且f20，则不等式x1fx1＞0的解集是__________；

253.函数yx23x4的定义域为0,m，值域为则实数m,4，4的取值范围是__________； 4.已知f(x)的定义域是R，且f(x2)f(x1)f(x),f(1)lg3lg2，f(2)lg3lg5，则f(2010)__________；

5.函数f(x)x3mx21(m0)在(0,2)的极大值为最大值，则m的取值范围是__________；

6.已知mR时，函数f(x)m(x21)xa的图象和x轴总有公共点，求实数a的取值范围

第五篇：等差数列前n项和教学设计说明

《等差数列前n项和》的教学设计说明

本课的教学设计反映了等差数列求和公式推导过程中数学思想方法——倒序相加法的生成过程，这是本节课教学设计的重中之重；设计中结合本班学生学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节并以此来确定教学目标。下面从以下几个方面进行详细说明。

一、教学内容的本质、地位及作用分析

等差数列前n项和S n

 a 1 

a 2 



 a

，这是教材给出的前n项和的定n1an义，但需要说明的是这只是一个形式定义，表示求和是一般意义的加法运算，而本节课的数学本质是倒序相加法及其生成过程（即变不同“数”的求和为相同“数”的求和），进而推导和掌握等差数列的求和公式。

本节内容是必修五第二章第三节的第一课时，本节课对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式及性质的基础上进一步研究等差数列，其学习的平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用．

对求和公式的认识中，将公式1与公式2与梯形的面积公式建立了联系，从而起到延伸知识，提示事物间内在联系，更能激发学生学习兴趣，感受思考的魅力。

二、教学目标分析

本节课是等差数列的前n项和的第一课时，从知识点来说，掌握求和公式对每个学生来说并不困难，而难点是在于如何从求和公式的推导过程中体会倒序相加求和的思想方法及生成过程，渗透新课标理念，根据学情进行了具体分析，并结合学情制定本节课的教学目标。

学情分析：

1、学生已学习了函数、数列等有关基础知识，并且高二学生的抽象逻辑推理能力基本形成，能在教师的引导下独立地解决问题。

2、学生基础知识比较扎实、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题。

3、学生对新知识很有兴趣，对用多媒体进行教学非常热爱，思维活跃。结合以上的学情分析，确定知识技能目标是：（1）理解等差数列前n项和的概念（2）掌握等差数列的前n项和公式的推导过程（3）会灵活运用等差数列的前n项和公式。过程与方法的目标是：（1）通过对等差数列前n项和公式的推导过程，渗透倒序相加求和的数学思想且自然生成的过程（2）通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归的能力及掌握方程的思想和方法。并且从教学过程渗透本课的情感态度目标：结合具体情景，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。

三、教学问题诊断

1、根据教学经验，在本课的学习中，学生对公式的掌握及简单应用并不困难，而难点在于在推导等差数列前n项和的过程中如何自然地生成倒序相加求和法，是本课教学环节中的一个重点内容。首先让学生回顾高斯求和法，学生容易进行类比，将首末两项进行配对相加，但是很快遇到问题，当项数为奇数的前n项和时配不成对，这里引导学生意识到奇数项与偶数项的问题影响了首尾配对法。为了改进首尾配对法的局限性，设计了两个探索与发现，分别对应项数为奇数和偶数时，根据动画引导学生发现颠倒顺序再相加变为上下配对，体现了倒序相加法自然的生成过程，避免了对项数是奇与偶的讨论，从而实现变不同“数”的求和为相同“数”的求和。

2、在对两个求和公式的认识中，学生不容易想到将两个公式与梯形面积公式建立联系，此时教师可做适当的动画来提示，学生便能迅速找到二者的关系。认识过程中再次强调倒序相加的思想方法且强化了对公式的记忆和理解。

3、本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，多次设计动画帮助学生观察和思考，形象直观且高效地提升了课堂的效益和效率，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。

4、等差数列求和的两个公式中涉及的量比较多，有a1、n，sn，d，an五个量，通过公式应用及练习引导学生体会方程的思想方法，具体来说就是熟练掌握“知三求二”的问题和方法。

四、教法特点及预期效果分析 根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用“探究——发现”教学模式．引导学生在活动中进行探究，在师生互动交流中，发现等差数列前n项和的推导方法，教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导，学生的学法突出探究与发现，通过创设情景激发兴趣，在与教师的互动交流中，获得本节课的知识与方法。

根据学生具体情况，我力求达到：1、形成学生主动参与，自主探究的课堂气氛。

2、掌握求和公式的方法特点，并能从梯形面积的角度认识和牢记公式。3、提高学生类比化归及方程的思想方法。由于本课内容不多，难度不大，相信大多数学生都能掌握本课知识，实现预期的目标。