《数学之美》读后感：数学的艺术

第一篇：《数学之美》读后感：数学的艺术

数学的艺术

——《数学之美》读后感

-张小镛

这本书一共31章，主要介绍了这些数学方法：统计方法、统计语言模型、中文信息处理、隐含马尔科夫模型、布尔代数、图论、网页排名技术、信息论、动态规划、余弦定理、矩阵运算、信息指纹、密码学、搜索技术、数学模型、最大熵模型、拼音输入法、贝叶斯网络、句法分析、维特比算法、各个击破算法等。从第一章开始其明了幽默的语言就深深的吸引了我，让我觉得如果早一点看这本书，也许数学之于我就是另一番天地。

第一章里作者从原始人类的通信方式开始入手，人类最早利用声音进行的通信依赖于开篇给出的“编码-传输-解码”的基本原理，指出原始人的通信方式和今天的通信方式没什么不同，这世界上近现代最普遍的原理大部分都在人类发展的历史上被无意识的使用着。

第六章信息论给出了信息的度量，它是基于概率的，概率越小，其不确定性越大，信息量就越大。引入信息量就可以消除系统的不确定性，同理自然语言处理的大量问题就是找相关的信息。信息熵的物理含义是对一个信息系统不确定性的度量，这一点与热力学中的熵概念相同，看似不同的学科之间也会有着很强的相似性。事务之间是存在联系的，要学会借鉴其他知识。

这本书里也能找到不少在学的课程知识，如大学专业课里，数电总是要比模电简单不少，而自然界里大部分的信号都属于模拟信号。所谓模拟信号，是指从时间和数值两种维度上看来都是连续变化的信号。在实际电路中，模/数转换是一个很重要的过程，将预处理的模拟信号经过模/数变换为数字信号，然后进行数字信号处理。而数字化处理有很多优点，比如功能强大、抗干扰能力强、易于传输等。

简而言之，如果没有数学，就没有数字信号处理和传输的概念，而数字信号传输在当下大规模的集成电路里是必不可少的，这是通信成功的基本要求。

作者把生活中遇到的复杂的问题，以简单清晰，直观的模型或者公式展现出来。我们可能过于注意生活中的种种奇妙现象，往往忽略了追求其理论逻辑的演绎，而这，()也是大部分问题的主要根源。

罗素曾经说过：“数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美”;爱因斯坦也曾说过：“纯数学使我们能够发现概念和联系这些概念的规律，这些概念和规律给了我们理解自然现象的钥匙。”数学在所有科学领域起着基础和根本的作用。“哪里有数，哪里就有美”.在这里，我也想把《数学之美》真诚推荐给每一位对自然、科学、生活有兴趣有热情的朋友，不管你是从事职业，读一读它，会让你受益良多。

吴军老师在《数学之美》中提到：“这本书的目的是讲道而不是讲术。很多具体的搜索技术很快会从独门绝技到普及，再到落伍，追求术的人一辈子工作很辛苦。只有掌握了搜索的本质和精髓才能永远游刃有余”.回到我们日常的生活中，需要学习的东西、技术太多太多，如果一味地只为去追技术的脚步，那么我们也会很累很累。然而基本的原理却是没有怎么变化的。只见森林，不见树木，难免迷失；站在高处向下看，也许我们一直看不到底，但是站在底处却是可以看见底的。

第二篇：《数学之美》读后感

确切的来说，《数学之美》并不是一本书，它是谷歌黑板报中的一系列文章，介绍数学在信息检索和自然语言处理中的主导作用和奇妙应用，每一篇文章都不长，但小中见大，从看似高深的高科技中用通俗易懂的案例展示了数学之美，深深的吸引了我。

这一系列文章的作者是google公司的科学家吴军。他毕业于清华大学计算机系（本科）和电子工程系（硕士），并于1993-1996年在清华任讲师。他于1996年起在美国约翰霍普金斯大学攻读博士，并于XX年获得计算机科学博士学位。在清华和约翰霍普金斯大学期间，吴军博士致力于语音识别、自然语言处理，特别是统计语言模型的研究。他曾获得1995年的全国人机语音智能接口会议的最佳论文奖和XX年eurospeech的最佳论文奖。

吴军博士于XX年加入google公司，现任google研究院资深研究员。到google不久，他和三个同事们开创了网络搜索反作弊的研究领域，并因此获得工程奖。XX年，他和两个同事共同成立了中日韩文搜索部门。吴军博士是当前google中日韩文搜索算法的主要设计者。在google其间，他领导了许多研发项目，包括许多与中文相关的产品和自然语言处理的项目，并得到了公司首席执行官埃里克.施密特的高度评价。吴军博士在国内外发表过数十篇论文并获得和申请了近十项美国和国际专利。他于XX年起，当选为约翰霍普金斯大学计算机系董事会董事。

正是他在信息检索与自然语言处理领域中的一系列工作，使他讲述了我所看到的内容－数学之美。

看了数学之美，立即联想到了金庸小说中的武林高人，总是把一套大多数人都会的入门功夫使得威力无比，击溃众多敌者。东西放在那，它的威力如何，并键在于使用者，武术如此，数学同样如此。

于我而言，语音视别是一类高科技，作为非专业人土，深觉高奥。但看完数学之美之后，顿感惊诧，原来如此深奥东西的解决方法自己也学过，并且理工科读过大学的人都学过，那就是统计学中的条件概率p(a/b)，即b事件发生条件下a事件发生的概率。

如果s表示一连串特定顺序排列的词w1，w2，…，wn，换句话说，s可以表示某一个由一连串特定顺序排练的词而组成的一个有意义的句子。现在，机器对语言的识别从某种角度来说，就是想知道s在文本中出现的可能性，也就是数学上所说的s的概率用p(s)来表示。利用条件概率的公式，s这个序列出现的概率等于每一个词出现的概率相乘，于是p(s)可展开为：

p(s)=p(w1)p(w2|w1)p(w3|w1w2)…p(wn|w1w2…wn-1)

其中p(w1)表示第一个词w1出现的概率；p(w2|w1)是在已知第一个词的前提下，第二个词出现的概率；以次类推。不难看出，到了词wn，它的出现概率取决于它前面所有词。从计算上来看，各种可能性太多，无法实现。因此我们假定任意一个词wi的出现概率只同它前面的词wi-1有关(即马尔可夫假设），于是问题就变得很简单了。现在，s出现的概率就变为：

p(s)=p(w1)p(w2|w1)p(w3|w2)…p(wi|wi-1)…

(当然，也可以假设一个词又前面n-1个词决定，模型稍微复杂些。）

接下来的问题就是如何估计p(wi|wi-1)。现在有了大量机读文本后，这个问题变得很简单，只要数一数这对词（wi-1,wi)在统计的文本中出现了多少次，以及wi-1本身在同样的文本中前后相邻出现了多少次，然后用两个数一除就可以了,p(wi|wi-1)=p(wi-1,wi)/p(wi-1)。

也许很多人不相信用这么简单的数学模型能解决复杂的语音识别、机器翻译等问题。其实不光是常人，就连很多语言学家都曾质疑过这种方法的有效性，但事实证明，统计语言模型比任何已知的借助某种规则的解决方法都有效。比如在google的中英文自动翻译中，用的最重要的就是这个统计语言模型。去年美国标准局(nist)对所有的机器翻译系统进行了评测，google的系统是不仅是全世界最好的，而且高出所有基于规则的系统很多。

这就是数学的美妙之处了，它把一些复杂的问题变得如此的简单。

看到《数学之美》，在感叹数学的美妙与神奇之处时，自然而然联系到自己专业（地质工程而或岩土工程）中的数学应用。

现在找文献，搜索期刊一大堆基于数学的专业文献，灰色数学的、模糊数学的、非线性的、系统的，等等，这么多的数学的使用，促进了一大批的文章，但这些数学方法的应用究竟是发现了哪些问题？还是解决了实际问题吗？还是仅发了文章，满足了需求？现实是文章好发，用着难用，解决问题还得传统的方法，那么是这些数学方法不行，还是用的太肤浅，根本没发挥其威力来？如果没有发挥出威力来，那怎么用？怎么发挥？

第三篇：数学之美读后感

数学之美读后感

（一）我第一次看到这本书是在两三年前，当时看的是电子书，虽然没太仔细看，但是第一次近距离了解到这些互联网应用背后的数学原理。

前段时间，我在小孙同学的桌上看到了《数学之美》的纸质书，就向他借来读。虽说“书非借不能读也”，但实际上借了书也没能好好读，断断续续读了有一个月才读完。

由于工作背景的缘故，吴军博士的这本书主要内容集中在语言识别和搜索领域，但这丝毫不妨碍它确实反映了很多共同的道理。我总结了几点供大家探讨。

1.简单就是美

欧拉公式，最美的数据公式之一。

虽然在大家的眼里，数学是一门深奥的学科，但是很多数学规律却能用非常简单的公式表示出来。我想“简单却非常有用”或许就是数学之美的内涵吧。

书中作者给了很多“简单却非常有用”的例子，比如简单的布尔代数就是搜索引擎的数学基础；比如助Google一举逆袭成为搜索老大pagerank算法就是矩阵乘法迭代结合TF-IDF公式；地图导航搜索就是简单的动态规划；统计语言模型可以轻松解决看似难度、复杂度超高机器翻译、语音识别。

数学的精彩之处就在于简单的模型可以干大事。从本质上讲，数学的思维方法就是抽象与简化。简单的模型怎么来？靠的是先抽象，后简化。对于复杂的问题，往往可以通过抽象，然后用数学模型来描述它。选择了合理的模型就成功了一半。但是有了模型，往往模型看着简单，但求解比较困难。这就需要合理假设继续简化，或者说通过增加合理的假设条件来简化计算。以书上提到的马尔科夫链为例，虽然公式的求解非常困难，但是一旦加上适当的假设，问题就一下子简化了非常多。

所以，针对纷繁芜杂的现实情况，我们一定要能时刻准备着把复杂问题简单化，一定要做到大胆合理假设，尽可能的简化问题，抓住其主要矛盾，先用很小的代价解决大部分的问题，剩下的部分再分步解决。

2.透过现象看本质

作者说到，技术分为术和道两种，具体的做事方法是术，做事的原理和原则是道。技术容易学，但也容易落伍，所以追求术的人一辈子工作很辛苦，只有掌握了道的本质和精髓才能永远游刃有余。真正做好一件事没有捷径，需要一万小时的专业训练和努力。

道是什么？道实际上就是方向，就是判断。

我想有些领导之所以成为优秀的领导，是因为他们掌握了道，反而对具体的术不那么关注。

举个书上的两个例子，都是关于搜索的：一个例子是搜索的本质是什么？自动下载尽可能多的网页；建立快速有效的索引；根据相关性对网页进行公平准确的排序。另一个例子是搜索引擎作弊的本质是什么？是在网页排名信号中加入了噪声，因此反作弊的关键是去除噪声。

所以，我们在工作的时候，要善于理解事物的原理与本质。要先回答是什么、为什么？最后才是怎么做。再比如，在学习某个软件或某项技术时，就需要先掌握它的工作原理与工作机制，以便于我们判断其适用的场景和不适用的场景，而不是先去熟悉怎么用它。

3.循序渐进、逐步演化

书上对自然语言处理着墨很多。最初的自然语言处理是基于规则的句法分析，但是一段时间过后，人们发现句法分析的准确率很难提升。正当句法分析派走投无路的时候，统计语言模型出现了，而且越走越顺，很快就把句法分析派远远抛在了后面。问题就来了，那为什么最开始科学家们不直接研究统计语言模型？答案当然是不能，原因是时机还不成熟，因为统计语言模型所需要基于的大数据量的语言库还没有，大规模并行计算的能力还不够。同样的，统计语言模型就是最好的吗？当然是不尽然，科学家们现在开始研究基于深度学习的自然语言处理，相信不久的将来，语言识别、机器翻译会有另外一个质的飞跃。

我们做什么事情都不可能是一蹴而就，一步到位，想毕其功于一役的往往最后的结局都是失败的。

对我们团队而言，不管是架构规划也好、系统建设也好、管理工作也好，更是需要找准突破口，循序渐进，逐步演化。当然，我们也不能固步自封、墨守成规。

数学之美读后感

（二）看数学之美，悟技术之道

周旭龙

一、关于此书

数学之美

记得几年前看完了《浪潮之巅》之后，便知道了吴军老师还有另外一本非常出名的著作《数学之美》，但是一直没有列入计划阅读。直到2016年我看完了《硅谷之谜》以及《智能时代》之后，便自己上网买了一本第二版的《数学之美》。正如李开复博士所说：“在我认识的顶尖研究员和工程师里，吴军博士是极少数具有强大叙事能力和对科技、信息领域的发展变化有很深的纵向洞察力，并能进行有效归纳总结的人之一。”，正是因为在前面几本书中我看到了吴军老师强大的“讲故事”的能力，他能用通俗易懂，深入浅出的语言将技术原理讲清楚，这就十分腻害了，在《数学之美》中他也再次展示了这一点。

最近除了阅读《数学之美》，还订阅了吴军老师的《硅谷来信》，每天在早上洗漱时听一封信，在睡觉前也会听一封信，借吴军老师之眼去看世界，也可以读到一流的科学家/工程师对于各种事件非常独特的见解，以丰富自己的眼界。在此，感谢之前Sobey公司的我的前老板刘总的推荐，我也将《硅谷来信》推荐给你们（可以利用你们的碎片时间来学习）。

二、看数学之美

Part 1 简单即是美的方法

这本书一共29章，主要介绍了这些数学方法：统计方法、统计语言模型、中文信息处理、隐含马尔科夫模型、布尔代数、图论、网页排名技术、信息论、动态规划、余弦定理、矩阵运算、信息指纹、密码学、搜索技术、数学模型、最大熵模型、拼音输入法、贝叶斯网络、句法分析、维特比算法、各个击破算法等。

例如，在统计语言模型一章中，我们会发现原来使用简单的数学模型就可以解决复杂的语音识别、机器翻译等问题，但是使用很复杂的文法规则和人工智能却做不到，而这些仅仅需要我们了解概率论和统计学的知识就可以应用到工程中。（当然，最先提出将统计学方法应用到计算机应用工程问题的先驱们是真的值得我们为其鼓掌的！）此外，简单的布尔代数就是支撑搜索引擎索引的数学基础，一个漂亮的pagerank矩阵乘法迭代加上一个TF-IDF公式，就可以大程度地改善搜索结果的质量，()无一不体现出简单即是美的特点，而数学模型刚好符合这个要求。

又如，在信息的度量和作用一章，我们再次回顾了信息熵的重要性，这也是吴军老师一直在重复提及的信息论（吴军老师喜欢站在信息论的高度看问题，而不只是看到片面的表象）。一个事物内部会存在随机性，也就是不确定性，而从外部消除这个不确定唯一的办法是引入信息，而需要引入的信息量取决于这个不确定的大小。就像我们在追一个女生的时候，很多时候往往不是一拍即合，一见钟情的，只有互相表达的信息（即引入信息）足够了，才会消除各自对于对方的顾虑。等到引入的信息量消除了处在两个人之间的屏障，那么我们就可以跟对方告白宣告在一起了。

本书中介绍的所有的这些方法在吴军老师的笔下都只为了突出一句话：数学的精彩之处就在于简单的模型可以干大事。

PS：对于书中提到的大部分的数学模型都有其开源的代码实现，而我们这些工程人员只需要使用这些开源工具到自己的实际项目中即可，么么哒！

Part 2 传道授业的专家们

这本书除了在高层讲述数学方法在计算机应用（主要是语音识别等互联网应用领域）的基本原理（吴军老师称其为“道”）外，还穿插了一些传道的专家们的故事，包括：贾里尼克、辛格、马库斯以及维特比等。

比如，吴军老师的博士生导师贾里尼克教授。贾里尼克教授少年坎坷，也并非开始就投身到自然语言方面的研究，关键是他的思想和他的道。贾里克尼教授治学严谨、用心对待自己的学生，对于学生的教导，教授告诉你最多的是“什么方法不好”。这让我回想起当年看李开复博士的《世界因你而不同》一书中听到的一句话（李开复博士的导师罗迪教授给李开复讲的一句话）“我不赞同你，但我支持你”，于是也就有了李开复在语音识别领域的一鸣惊人的成就。贾里尼克的一生富于传奇色彩，先在哈佛大学、康奈尔大学教书，接着在IBM任职，之后又去约翰-霍普金斯大学教书。他的贡献主要有如下几个：第一，提出了统计语言识别的框架结构；第二，共同提出了BCJR算法；第三，领导建立了世界著名的CLSP实验室。

又如，辛格博士现任主管Google搜索的高级副总裁，并被学术界公认是当今最权威的网络搜索专家。他奉行简单的哲学，并一直坚持寻找简单有效的解决方案。令我印象最深刻的就在于，吴军博士在设计分类器时，依照吴军力求完美的态度，应该还会花很多时间去尽善尽美，但是被辛格博士止住了，“在工程上简单实用的方法最好”。这种做事情的哲学其实非常值得我们借鉴，即先帮助用户解决80%的问题，再慢慢解决剩下的20%的问题，是在工业界成功地秘诀之一。许多失败并不是因为人不优秀，而是做事情的方法不对，一开始追求大而全的解决方案，之后长时间不能完成，最后不了了之。在我们的日常工作中也是一样，在项目开发设计中，很多人不管业务场景和技术要求，一上来就这种架构那种模式，往往不考虑到底这种设计是不是大牛拉小车，最后虽然解决了问题但是交付时间被延后，既让用户不满意也让部门不满意。

三、悟技术之道

吴军老师在《数学之美》中提到：“这本书的目的是讲道而不是讲术。很多具体的搜索技术很快会从独门绝技到普及，再到落伍，追求术的人一辈子工作很辛苦。只有掌握了搜索的本质和精髓才能永远游刃有余”。回到我们日常的开发工作中，作为IT工程师，程序员，要跟上技术的大潮流，需要学习的技术太多太多，如果一味地只为去追技术的脚步，那么我们也会很累很累，而且可能会是花了80%的时间却只得到了20%的效果，更别谈期望值最大化了，或许根本就达不到你期望值的60%。相反，比如cnblogs（博客园）在招聘工程师一直提到的“3大原理，2个协议，1种结构”（计算机原理、操作系统原理、编译原理、TCP/IP协议、HTTP协议、数据结构）却是没有怎么变化的（甚至是短时间不会变化的），而这些东西恰好是在这个浮躁的社会，我们这些所谓的计算机系的毕业生，所谓的科班毕业生所缺乏的（因为大部分人都没有在大学期间将这些东西真正地学好，而只是为了所谓的几个学分去图书馆奋战一两个周末而已）。站在高处向下看，也许我们一直看不到底，但是站在底处却是可以看见底的，这也是我为什么在毕业之后还要去重新温故操作系统原理和数据结构等科目的原因。

愿我们能够在底层站的更稳后，能够以一种更加全局的视角去看待上层建筑，感悟技术之道！

数学之美读后感

（三）《数学之美》，读来确实有感：数学美。

——邓毅雄

吴军博士的《数学之美》

读来确实有感：数学美。

——邓毅雄

这本书，主要涉及自然语言处理、网络搜索引擎等问题，介绍解决问题的数学方法，这些方法基本不属高大上，用到的数学知识并不复杂，有的甚至属中等数学，如余弦定理。像较好解决复杂的自然语言识别与翻译的统计方法，只是条件概率与马尔可夫链的应用；解决网页排名的PageRank算法，其核心是数学的n维向量和数值计算中的迭代法；密码学中的公开密钥方法，仅仅是较大素数的乘、除运算而已，等等。复杂的现实问题，简单的数学方法，彰显数学之韵味和数学之美。

数学之美

数学之美，源自数学的概括与抽象。而数学的抽象，又恰恰是许多人难以接受数学之梗阻。所以，一般来说，能够欣赏到数学之美，必有一定的数学基础。不过，吴军的《数学之美》，语言通俗，略沉心境，顺利读懂其要义，应该是不难的事。有这种说法，真正的大师，能够将复杂的东西，通俗表达。这话我不尽信，但也确实佩服那些把数学理论通俗易懂、形象生动描述的专家，读了《数学之美》，觉得吴军博士不错。

人类发明了许许多多的语言，如自然语言（包括各国各民族的语言）、音乐、绘画等，数学也是一种语言。读懂各种语言，需要下一定功夫，只是有些语言本身比较通俗，功夫不用太深，但像数学这样的语言，数字化，符号化，抽象化，逻辑化，难言大众望而生畏，也着实不少人望而却步。如果我们的数学老师们，能够将这些“化”都“简化”，或者尽量简化些，那是不是有更多的人有迎难而上的勇气呢？也许吧！然而，毕竟数学除了作为工具性角色，还要培养和训练人的思维，一味地简化和通俗，那种逻辑思维的特征要素，失之亦可惜呀。前些日，读了保罗.洛克哈特（美国）的《度量：一首献给数学的情歌》，其对形状和运动的度量叙述，非常通俗，给人启发，但对我这数学背景出身的人来说，因思想深处固守那份对抽象性和逻辑性的呆痴，而总感觉其味不够，犹如爱好辣味的江西人，怕不辣二无味。

五世纪著名数学评论家普洛克拉斯说：“哪里有数,那里就有美”。我国著名数学家华罗庚说：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美。”数学之美表现丰富，如美的形式符号、美的公式、美的曲线、美的曲面、美的证明、美的方法、美的理论等。从内容来说，数学之美有可分为结构美、语言美与方法美，数学也有简洁之美、对称之美、和谐之美。罗素说，数学的美，“是一种冷而严肃的美”。所以，欣赏数学的美，是需要一定能力和技巧的。

数学的应用，也是数学美的特征。科学发展到现在，数学应用无处不在，数学应用的方法很多。一个数学的抽象，包含了无穷的客观现实。解决问题，尽量方法简单，能简不繁，是一种原则。数学应用之美，就在于简单，在于巧妙，在于效奇。

作者：邓毅雄

第四篇：浅谈数学之美

浅谈数学之美

姓名：

学院： 专业： 学号：

摘要：通过重新了解认识数学是什么或不是什么即对数学概念多方位的分析讨论与认识，发现数学之美，感受数学不同的美。数学之美主要概括为：形式美、奇异美和方法美。数学美是自然美的客观反映。数学史自然科学的语言，具有一般语言文学与艺术所共有的美得特点，即数学在其内容结构上，方法上也都具有自身的某种美。所谓数学之美，即数学中所蕴涵着的无穷魅力。关键词：认识；形式美；奇异美；方法美

引言：美是人类创造性实践活动的产物，是人类本质力量的感性显现。通常我们所说的美以自然美、社会美以及在此基础上的艺术美、科学美的形式存在。数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。简言之数学美就是数学中奇妙的有规律的让人愉悦的美的东西。数学中充满着美的因素，数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的呈现，它不是什么虚无飘渺、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容。

一、重新认识数学

关于数学最大的误区就是把数学看成自然科学。对于一般人说这种分法似乎已经习惯成自然，主要表现在粗糙的学科分类中。但二者还是存在明显的差异，例如，自然科学的本质是发现而数学的本质则是发明；自然科学目标为寻求对客观事实的解释而数学则是寻求概念之间的逻辑关系，其结果形成定理或算法等。数学还与艺术存在共性与差异。虽然表面上数学与其并无直接明显干系，但都具有创造性，强调原创性。以显示为参照物却都突破了现实的局限。二者的差异性也很明显，数学求真而艺术求美。数学理解有程序性而艺术带有直观性。

由此我们看到了数学虽然与自然科学，艺术有共同特征。但也存在相当的差别，数学不是自然科学，也不是艺术。

数学是一个具有内在统一性的科学技术群。数学是一类知识，一种科学语言，一个工具，各门学科的基础，一门科学、艺术、技术，甚至为一种文化。数学是研究现实世界中数与形之间的各种形式模型结构的一门科学。

二、数学之美

（一）形式美

数学美要求以最合理、最恰当的形式及最佳形式表现美的内容；在表现同一内容的众多形式中，力求选择一种最理想的表现形式；力求形式上的创新，不断地改造就形式，创造新的形势。数学的形式美与传统的形式美存在着差异。可以说数学形式美是传统形式美的高级阶段。数学形式质料是抽象的数学符号，反映着自然事物的内在形式即内在关系和结构，因而数学形式美往往给人以理性的冷峻感。数学形式美是由一般科学的内在形式经过历史沉淀和思维抽象演化而来的。其比传统形式美的形式规律更加抽象、精确，并且比传统的形式规律要多得多。

数学的形式美体现在其的简单，对称和多样统一的美。数学的简单体现在其简洁的数学符号、公理体系和精确的计算与严密的推理。对称又包括有对称的图形、原理和对称的思维。除此之外，数学还有统一的数学方法和统一的数学结构。一个数学方程，一条数学定理，反应了一类事物之间质的共性；不同的数学方程，不同的数学定理，反映了不同事物之间质的差异性。不停地发现又不断地统一，为数学其中一种美所在。

（二）奇异美

人们提起数学的时候，通常会说“其妙的数学”，数学的学习和解题中也有一些非常规的奇妙的解法。关于数学的奇异性，讲一个蒲丰用投针求圆周率的近似值的试验也是数学方法奇异性的一个典型例子。有一天蒲丰邀请许多宾朋来家做了一个奇特的实验。他事先在白纸上画好了一条条有等距离的平行线，将纸铺在桌上，又拿出一些质量匀称长度为平行线间距离之半的小针，请客人把针一根根随便仍到纸上，蒲丰则在一旁计数，结果共投2212次，其中与任意平行线相交的有704次，蒲丰又做了一简单的除法，然后他宣布这就是圆周率的近似值，还说投的次数越多越精确。这个实验使人震惊，圆周率和一个表面看来毫不相干的随便投针实验沟通在一起。然而，这确实是有理论根据的。计算圆周率的这一方法新颖、奇妙而让人叫绝，充分显示了数学方法的奇异美。另外，四元数理论、突变理论、非欧几何等等无不显示出数学的奇异美。

神秘的东西都带有某种奇异的色彩，使人产生幻想和揭示其奥妙的欲望。某些数学对象的本质在没有充分暴露之前，往往会使人产生神秘或不可思议感。这便是数学的奇异之美。

还有一个是知识的奇异美。它值所得的结果的新颖奇特，出人意料。七巧板拼图是小学数学课常采用的内容。用七块板可以拼成一个最简单的正方形，也可以拼出千变万化的复杂图案：如人形、鸟兽、花草、房屋等。通过七巧板拼图练习，学生感到图案之多，出人意料；图形之美，妙趣横生。

有趣的数学知识，不仅能让学生感受到不同的美，而且利用数学的奇妙还能装扮人们的生活。比如：搞服装设计，如果拥有黄金分割的知识，就会感觉自己的设计很舒服。数学知识的奇异美体现在生活的各个方面。

（三）方法美

数学同其他各门科学一样，在其发展的进程中，形成了一套有效的思想方法，而且还在不断地产生新的思想方法。可以说，数学思想方法是数学的灵魂。历史表明，一个重大数学成果的取得，往往与数学思想方法的突破分不开。历史表明，数学的发展，不仅表现为量的积累，而且还表现为质的飞跃。数学思想方法在历史上经历了五次重大转折：从算数到代数，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，从小数据到大数据。举几个关于方法美的例子：自然数的个数是无限的：1、2、3、4、„„奇数的个数是无限的1、3、5„„人们采用“一一对应’的数学方法：神奇地发现自然数列与奇数列还有如下关系：1、2、3、4、„„把一个圆形，分割成8份、16份、32份，相等的近似的三角形拼摆后，圆形神奇地转化成近似的长方形，所分的份数越多，所拼得图形越接近于长方形。曲与直的这种转化，在生活中可以找到它的活生生的典型”砌墙用的一块块方砖面是长方形，可以砌成横断面是圆形的烟囱；把用方砖砌成的横断面是圆形的烟囱拆开，又可以得到一块块的面是长方形的方砖。

参考文献：

（1）《大学文科数学》（2）《数学之美 》

第五篇：感悟数学之美

感悟数学之美(图)2007-03-30 08:35:00 来源: 天津日报 网友评论 0 条 进入论坛

顾沛教授，南开大学数学科学学院副院长，天津市数学会常务副理事长。1945年生人，1963年考入北京大学数学力学系，1978年考入南开大学数学系攻读研究生。获硕士学位后留校任教至今。曾教本科课程有：数学分析、空间解析几何、高等代数、抽象代数、数学文化。顾沛教授获校级及校级以上教学优秀奖、课程优秀奖、教书育人奖、优秀教师奖等三十余项。2002年获得由陈省身设立的首届“吴大任——熊知行数学教学奖”。2003年9月，教育部授予顾沛教授首届高等学校“国家级教学名师”的称号。

文／本报记者 常 微 见习记者 姜枫炎

3月22日，由天津科技传播发展基金委员会、天津市科协联合主办，天津市教研室、天津科技馆、天津日报《经济周刊》承办的科普科学报告会“感悟数学之美”在天津科技咨询大厦报告厅举行。为活跃科技推动天津经济发展的氛围，普及科学技术知识，传播科学思想，主办方已经成功举行了四期系列报告会，均受到了与会者的热情参与和好评，取得了良好的社会反响。

此次报告会是主办方在2007年举办的第二场科普报告会，由南开大学数学系教授顾沛主讲。展现数学文化之美，感受数学的人文情怀是报告会贯穿始终的精髓。顾沛教授从不同侧面展示了数学的简洁美、和谐美、对称美与奇异美，使与会者感受到了数学文化的魅力所在。

从“数学文化”谈起

在报告会的开始，顾教授以陈省身先生设计出版的“数学之美”挂历为背景，表达了对这位已故数学大师的敬仰。顾教授谈道，“作为国内提倡„数学之美‟的先行者，陈省身先生不仅具有高深的数学科研知识，同时也大力提倡数学的美应当为大众所了解，鼓励青少年喜欢数学，学好数学，为我国数学文化的发展做出了巨大贡献。”据顾教授介绍，陈省身先生曾在第二届“走进美妙的数学花园”论坛中提出：“让青少年对数学有一个全面的了解，感受数学好玩、数学之美和数学是有用的。”这同时也反映出了数学文化的重要意义与人文价值。

当谈到“数学文化”一词的使用时，顾教授说：“„数学文化‟一词，最近五六年才用得多起来。对许多人来说，„数学文化‟一词还是陌生的。而这个词的使用频率近年大大增加，说明它是有生命力的，说明许多人为着某种需要更愿意从文化这一角度来关注数学，更愿意强调数学的文化价值。”

顾教授认为，在“数学文化”一词被日益广泛地使用的同时，“物理文化”、“化学文化”这样类似的词汇，并没有得到广泛的使用。“这表明，数学科学的确在本质上有不同于物理科学、化学科学等自然科学的地方。数学，具有超越具体科学和普遍适用的特征，具有公共基础的地位，”顾教授特别指出，“不同的社会现象和自然现象，可能遵循同样的数学规律，这反映出社会现象与自然现象在数量关系上的共性。数学超越了具体的社会科学和自然科学，也成为联系社会科学和自然科学的纽带。”

“狭义的数学文化指的是数学思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。而广义的涵义除上述内容以外，还包含数学史，数学美，数学教育，数学与人文的交叉，数学与各种文化的关系，”谈到数学文化的内涵时，顾教授强调，“数学作为一种文化，已日益融入现代人的生活之中，数学文化已成为现代人文化素质的一部分。”

数学是一种思维模式

数学不仅是一种重要的“工具”，也是一种思维模式，即“数学方式的理性思维”；数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化”；数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”，数学素养使人终身受益。这是本次报告会中，顾沛教授关于学习数学的指导思想。

顾教授谈道，“在一个人的学历教育中，从小学一年级到大学一年级，一般要学十三年的数学课程，但许多人并未因此就掌握数学的精髓，学习到数学方式的理性思维。”相反，顾教授认为，大多数学生仍然对数学的思想、精神了解得较肤浅，对数学的宏观认识和总体把握较差，误以为学数学就是为了会做题、能应付考试，不知道“数学方式的理性思维”的重大价值，不了解数学在生产、生活实践中的重要作用，不理解数学文化与诸多文化的交汇。“大学生毕业后走入社会，如果不是在与数学相关的领域工作，他们学过的具体的数学定理、公式和解题方法可能大多用不上，以至很快就忘记了；而他们有所欠缺的数学素养，反而是数学让人终生受益的精华。”顾教授说。

在谈到数学思维、数学素养的重要性时，顾教授引用了日本学者米山国藏的一段话：“因为不管人们从事什么工作，深深铭刻在头脑中的数学的思想精神、数学的思维方法和看问题的着眼点等，都会随时随地发生作用，使人们终生受益。”因此，顾教授在报告会中强调应当提倡发展数学素质教育，这应当成为当今数学教育者工作的重点和努力方向。

目前，在新课程的教学过程中，讲究“知识与技能”、“过程与方法”以及“情感、态度、价值观”的三维目标的实现。顾教授指出，如果在教学中渗透数学文化，会有利于“三维目标”的实现。他同时对与会的数学教育工作者寄予了期望，“教师如果在教学中自然而然地渗透数学文化，„润物细无声‟，就非常有利于三维目标的实现，非常有利于学生的全面发展和长远发展。也可以说，这就是数学课堂教学中的素质教育。”

数学历史轨迹中的经典

“在生产和生活的很多实践中都可以发现和感悟到数学之美。”顾教授说。他从数学问题、数学典故、数学方法、数学观点、数学思想五个角度切入，列举了数学发展过程中的经典案例和与会者一起分享。

重点提到的是数学发展历史过程中的三次危机。第一次数学危机是由不能将2写成两个整数之比引发的。这一危机发生在公元前5世纪，当时认为所有的数都能表示为整数比，但突然发现2不能表示为整数比。其实质是2是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，要添加无理数。彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数理论的建立。

“第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的17世纪”，顾教授讲道，第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由英国大主教贝克莱(ＢｉｓｈｏｐＢｅｒｋｅｌｙ)提出的，是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。危机的消解来自给出了极限的准确描述，消除了历史上各种模糊的用语，诸如“最终比”、“无限地趋近于”，等等。这样一来，分析中的所有基本概念都可以通过实数和它们的基本运算及关系精确地表述出来。

顾教授谈道，第三次数学危机罗素悖论则成就了“数学基础”的曙光——集合论，到19世纪，数学从各方面走向成熟。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。1922年，弗兰克加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。

“数学的发展有顺利也有曲折。危机也意味着挑战，解决危机就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学史上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。”顾教授说。

“勾股定理”、“蒲丰投针”、“阿基里斯追乌龟”这些数学典故也被顾教授讲述得绘声绘色，同时还将类比、抽象、归纳等这些数学思想穿插其中，使数学这门严肃的科学立刻生动立体起来，使与会者真正感悟到了数学真谛。

顾教授最后表示，“这些例子虽然并不是从学校的教材中选来的，但参加报告会的老师们可以由此拓宽思路后，举一反三，从各自教学的材料中找到许多类似的例子，丰富自身的数学文化教学；对于不是教师的听众，也一定能从生活、生产实践中，找到许多类似的例子，由此提高数学素养，透过现象看本质，感悟到数学之美。”

精彩问答

Q:数学教育在现代教育中扮演着重要角色，您能谈谈数学教育的作用有哪些吗？

A:数学教育在五个方面发挥作用：第一，掌握必要的数学工具，用来处理解决本学科中普遍存在的数量化问题及逻辑推理问题；第二，了解数学文化，提高数学素质，这种素质将使人终身受益；第三，潜移默化地培养学生“数学方式的理性思维”，如抽象思维、逻辑思维等；第四，培养全面的审美情操；第五，为学生今后的进一步学习打基础、做准备。

Q:现在提倡素质教育，数学素养已成为现代人文化素质的一部分。那么请您谈谈什么是数学素养？

A:具有从数学的角度看问题的出发点；有条理地理性思维，严密地思考、求证，简洁、清晰、准确地表达；在解决问题时、总结工作时，具有逻辑推理的意识和能力；对所从事的工作，能够合理地量化和简化，周到地运筹帷幄。这就是我认为现代人应具有的数学素养。

Q:听说您在南开大学开设了一门“数学文化”课，广受学生们的欢迎。请您谈谈开设这门课程的意义。

A:开设这门课程有利于培养学生的理性思维方式，提高其数学素养。数学与现代人的工作和生活关系越来越密切。有些人认为，数学对数学家而言，是理论，对其他学科而言，是工具；这不错，但不完全。数学对所有的人而言，还是一种思维方式，即数学的理性思维方式，是一种文化精神。特别是，数学作为一种文化，已经日益融入现代人的生活之中。“数学文化”一词，大约是20年前出现的，最近几年才用得多了起来。而这个词的使用频率近年来大大增加，说明许多人更愿意从文化这一角度来关注数学。重视数学的文化价值可以提高人们的生活质量。从某种意义上说，数学方式的理性思维，为现代人打开了一个特殊的理解事物的视野。

数学之美

大多数的数学家会由他们的工作及一般数学里得出美学的喜悦。他们形容数学是美丽的来表示这种喜悦。有时，数学家会形容数学是一种艺术的形式，或至少是一个创造性的活动。通常拿来和音乐和诗歌相比较。

伯特兰·罗素以下列文字来形容他对数学之美的感觉：

Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty — a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show.The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as poetry.(The Study of Mathematics, in Mysticism and Logic, and Other Essays, ch.4, London: Longmans, Green, 1918.)

保罗·埃尔德什形容他对数学不可言说的观点，而说：“为何数字美丽呢？这就像是在问贝多芬第九号交响曲为什么会美丽一般。若你不知道为什么，其他人也没办法告诉你为什么。我知道数字是美丽的。且若它们不是美丽的话，世上也没有事物会是美丽的了。”

它的最美之处莫过于在无形之中就让你思维变得敏捷．考虑事情时，不在那么偏激，那么单一．

作为一个公民来说了不了解它是一个后话，至少应该不否定它．尤其是学生．

品味数学之美

??谈数学课堂情境创设

美的事物，总是为人们乐意醉心追求的。然而，一提到美，人们最容易想到的是“江山如此多娇”的自然美，抑或是悦目的图画，动听的乐章、精妙的诗文……这些艺术美。然而，数学，这自然科学的皇后里面，蕴含着比诗画更美丽的境界。正如古希腊数学家普洛克拉斯的一句颇打动人心的名言所说：“哪里有数，哪里就有美。”

数学是一门科学，但数学教学却是一门艺术。我常常在思考：数学课上，我以什么来吸引学生、感染学生，我的学生在数学课堂上应该得到什么？在长期的数学教学实践中，我感悟到：数学是科学，数学是艺术，数学蕴涵着人类文化的美。数学教育是面向全体学生的，要以学生的发展为本，让不同的学生得到不同的发展。我们应该让学生成为课堂探究的主角，让课堂成为师生共同发展个性、开发潜能、实现生命价值的舞台。我们与学生一起营造的数学课堂应该是充盈生命活力，促进智慧生成、洋溢生活气息、呈现灵动色彩的课堂。

源于生活之美

数学来源于生活，数学课不仅要带领孩子们走进“数”的海洋，它还要再现生活数学的美丽图景。数学的教学如果仅就教学内容进行教学是相当乏味的，只有把我们所要教的数学溶入生活，让孩子有真正的生活体验，数学的美才能显现其动人的色彩。我听过不少的数学课，我常常会自语，这不就是生活吗？孩子们的数学学习是生活，是他们对生活的感悟成就了美丽的数学课堂。有几节认识数的课，如“5”，老师让孩子说出生活中的“5“，孩子们不仅有“手有五指，五边形”这样的答案，还有“奥运五环”“五彩缤纷”“五花八门”等美妙的事物、成语；又如“7”，孩子们除了“一周七天”这样的答案外，还有孩子会说出“七仙女”等美丽的传说。另外的例子是认识“+”号时，老师孩子说说“像什么”，“十字架”、红十字、十字路口等一大堆的生活中的事物就从孩子们的口中崩了出来。我还听过这样课，一位教师上完四边形之后，在小结环节时，请孩子们说这节课学会了什么？一位孩子说，我懂得了我家里的许多东西是四边形，如电视桌、冰箱。家具、楼房、道路、生活用品、学习用品，这些孩子们熟悉的东西，或许还没教几何图形之前，孩子们说不出个所以然来，但当他们学到这里时，当他们把所学的带到生活中去时，他们会突然领悟自己就是生活在一个个“图形”中，这就是他们正在学习的。他们还会领悟，生活中这些美丽的事物就是数学，生活中处处有数学。

数学是美的，关键是我们要有一双善于发现美的眼睛，要有一颗关于发现美的心灵。在今后的学习过程中，我们将一起去发现，去展示数学中的美。

用于生活之美

数学只有契合学生的生活经验才能真正走进学生心里。对小学生来说，数学是现实的、有趣的，有用的、富有挑战性的。溢满生活气息的数学，解决现实问题的数学，才能让学生感到数学的价值，产生积极愉快的情感。数学知识与生活的有效链接能让数学学习更具有实际意义。

在一年级第二册教学了“认识人民币”的知识之后，我安排学生们开展一次“小小商店“的数学实践活动。想借助“小小商店”这一学生熟悉的生活背景，通过“角色扮演”的活动形式，进一步加深学生对人民币的认识，掌握人民币的换算及计算方法，培养学生应用数学的意识和能力，同时复习一些简单的数量关系。令我高兴的是，学生们在活动前就热情高涨，兴奋不已，准备了许多物品和复印好的不同面值的人民币，并制作了精巧的标价卡，在活动中扮演营业员的学生能介绍和推销自己的物品，扮演顾客的学生都能有礼貌地挑选、购买喜欢的物品，学生们不仅提高了人民币的换算和计算能力，更重要的是体会到数学与生活的密切联系，学会运用学到的知识妥善的解决一些生活问题。“小小商店”有着数学的生活背景，有着学生乐于参与的空间，让数学贴近生活，让学生体会到生活中充满数学，同时也在应用中感受到“成功”的喜悦。

生活本身就是一个巨大的数学课堂，数学课堂中，只有再现数学知识与人类生活的密切联系，把鲜活的生活题材引入课堂，用生活问题激活课堂，把学生的生活经验巧用于课堂，生动的生活事例活用于课堂，数学课堂才会有生活之水的滋润，才能充满个性与灵气，才能更加富有情趣和魅力。

罗丹说：自然总是美的。伽利略则宣称道：自然这本书是用数学语言写成的。哪里有数，哪里就有美。数学总是美的，数学是美的科学。“数学很美！”这是参加本届“国际华人数学家大会”上的数学家们传递出的共同见解。

“我无法离开数学。我不知道，除了数学我还能做什么！”“陈省身奖”获得者、纽约大学数学教授林芳华这样说。

获得本届“晨兴数学奖”金奖的香港中文大学数学教授辛周平教授表示，当年看过媒体对华罗庚、杨乐等数学家的报道，走上数学的道路；当发现了数学的美时，便欲罢不能了。

“我没有理由后悔。数学是最无私的！”辛周平说。

大数学家陈省身的弟子、著名华裔科学家丘成桐认为，中国文化倡导的“真善美”与数学追求的“真善美”不谋而合，“这是数学的魅力！”在他看来，大自然中所有的一切都可以用数学公式来描述。

数学的美还体现在作为现代科学大厦的厚重、泰然的奠基之美，威力之美。具有悠久历史的数学是人类智慧的结晶，几乎是所有学科的基础。“数学的力量是无穷的！”浙江大学数学研究中心执行主任、本届“晨兴数学奖”金奖获得者刘克峰如此感叹。

数学的美还体现在应用上。“数学最吸引我的，是以新方法和新角度，解开自然的奥秘，”本届“晨兴数学奖”应用数学金奖获得者、美国加州理工学院教授侯一钊说：“数学家用自己的语言来描述复杂的自然界。”

侯一钊的“计算流体力学”研究成果广泛运用于环境保护和石油开发，美国柏克莱加州大学计算机系和数学系教授刘艾克的研究可使信息传递得更快捷……

“数学的美在于简洁，简简单单一个公式，包含了无穷无尽的内容；掌握了它独有的语言，数学就是看得见摸得着的！”中国内地的数学家、本届“晨兴数学奖”获得者朱熹平教授说。

“学好数学，兴趣是关键。”中国当代著名数学家、本届大会“陈省身奖”获得者杨乐说。

数学家们认为，如何让“数学之美”深入亿万人心田，让学子们对这门学科充满兴趣，满怀热情地为建构中国现代科学大厦和国家未来夯筑基石，这个课题已经摆在了人们面前。