第一篇：论数学史的教育价值
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****年**月**日
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1.2 最早的国家之一，因此在研究数学起源时，必须提及埃及的数学。例如，希腊的逻辑学家亚里士多德再起《形而上学》一书中指出“一所以在埃及能够产生数学，是受到上帝的恩赐”，对此，恩格斯在《反杜林论》中明确指出：“数学是人的需要中产生的，是从丈量土地和测量容积，从计算时间和制造器皿产生的”事实上埃及的数学产生，符合恩格斯的精辟阐述。数学应人需要而产生，也随之发展，从累积石块、结绳、石刻、再到兽皮、甲骨、竹帛、纸张、到现在的计算机等。数学史对理解数学发展的作用
2.1数学史是研究数学科学发生发展及规律的科学，简单的水就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程、而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此数学是研究对象不仅包括具体的数学内容，而且设计历史学、哲学、文化学、宗教等科学与人文科学的内容，是一门交叉性的学科。数学史即属史学领域，又属数学科学领域，因此数学史研究既要遵循历史学规律，又要遵循数理科学的规律。根据这一特点，可以将树立分析作为数学史研究的特殊辅助手段，在缺乏史料或史料真伪莫测的情况下，站在现代数学的高度，对古代数学内容与方法进行数学原理分析，以达到正本清源、理论概括以及提出历史假说的目的。弄清数学发展的过程中的基本史实，现在其本来的面貌，同时透过这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式做出科学、合理的解释、实名与评价，进而探究数学发展的规律与文化本质。
3数学史对数学教育的作用
3.1当我们学习数学史后，自然会有这样的感觉；数学的发展并不符合逻辑，或者说，数学发展的 实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。我们今日初中所学的数学内容基本上属于17世纪微积分学以前的初等数学知识、而大学数学系学习的大部分内容是17、18世纪的高等数学。这些数学教材经过千锤百炼，是在科学性与教育要求下相结合的原则指导下经过反复编写的，是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，3
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忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法，而弥补这方面的不足的最好途径就是通过数学史学习。数学史在课堂教学中的作用
4.1 数学教科书舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素。如果在数学课堂教学中渗透数学史内容而让数学活起来，这样便可以激发学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养，其他专业的学生通过数学史的学习可以了解数学概貌。而历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。
4.2数学史是学习数学、认识数学的工具。人们要弄清楚数学概念、数学思想和方法的发展过程，增长对数学知识的认识，建立数学的整体意识、就必须运用数学史作为补充和指导。特别是，现代数学的体系犹如茂密繁盛的森林，使人站在外面窥不见他的全貌，深入内部又可能陷身迷津，数学史的作用就是指引方向的路标，给人以启迪和明鉴。数学史与数学哲学、科学哲学、社会文化是都有着密切的联系。数学与人类思想的革新，数学与其他科学技术，数学与社会进步等关系，有助于深刻理解数学的文化内涵。对于培养学、才、识兼备的数学专业人才有重要的意义。学、才、识及时知识、能力以及见识和思想，其中识更是引导知识和能力走向何方的根本性问题。如果数学教育只停留在数学理论本身的学习上，甚至对数学理论的实质也没有深入研究，学生就不可能理解依托于数学知识体系之上的数学思想和信仰，贯穿于数学研究活动中的科学精神很数学美感及鉴赏能力与数学的社会功能密切相关的伦理准则等数学文化的底蕴，更不会形成才与识。因此，课堂教学中融入数学史是以素质教育为目标的数学教育的内在要求，它对于培养学生的人文主义精神以及数学观念、数学能力、数学整体意识有特殊的意义。
5结论
数学史在教学中使学生们领会数学内容的教育价值、数学的应用、各科的联系与交叉。数学思想及数学发现的过程对于开设数学课程至关重要。
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总之，数学史的教育价值是不可低估的，正如法国伟大数学家庞加莱所说“如果我们希望预知数学未来，最合适的途径是研究这门学科的历史和现状”，只有这样，才有可能真正理解现代数学的真谛，正确把握现代数学的发展方向，实现把中国建设成数学大国的梦想。
参考文献：
1、梁宗巨.世界数学通史【M】辽宁教育出版社。2001.2、李迪.中外数学史教程【M】福建教育出版社。1993.3、曲建民.谈谈数学史教学【j】长春大学学报。2006.4、高夯.现代数学与中学数学【M】北京师范大学出版社。2010
5、徐利治.数学史与数学教育的结合【j】.数学教育学报.1994
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致 谢
在论文的准备和写作过程中，笔者得到了XXX老师的悉心指导和热情帮助
XXX
XXXX年XX月于河南师范大学
第二篇：论数学史的教育价值 正文版
论数学史的教育价值
The educational value of Mathematics History
专
业:
数学与应用数学
作
者:
指导老师:
二○一四年五月
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摘 要
数学史是穿越时空的数学智慧，数学的发展史给我们呈现了一幅源远流长、日新月异的画卷。学习数学史能使我们获得思想上的启迪和精神上的陶冶，有利于激发学习数学的兴趣、帮助我们理解数学、加深对数学的认识，有利于学生和老师形成正确的数学观，有利于培养学生的数学思维和方法，有利于从数学发展的本质对数学教育提供理论指导。数学史也是数学课程不可缺少的组成部分，在数学教学中融入数学史教育，不仅能体现数学知识、数学思想方法的价值，也能体现情感、态度、价值观方面的价值。只有把数学史中数学思想方法的发展过程和学生学习数学过程中的认知变化过程相结合，才可以体现数学史的教育价值。著名数学家M．克莱因认为：“每一位中学和大学数学教师都应该知道数学史，有很多理由，但最重要的一条理由或许是，数学史是教学的指南。”
数学史具有多方面的教育价值：它有利于激发学生学习数学的兴趣；有利于对学生进行爱国主义教育；有利于帮助学生理解数学及培养数学思维方法；有利于辩证唯物主义世界观的形成；有利于提高学生的美学修养。
关键词: 数学史 数学教育 数学史教育 价值
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[空一行黑体小三号]
Abstract
[空一行黑体小四号]
Based on adding Lipchitz condition, we prove the high dimensional implicit function theorem using Picard iterative, which provides another proof of it.Furthermore, we obtain a method for the approximate explicit expression of implicit function.Keywords: Picard iterative method;implicit function theorem;Lipchitz condition [注: 以上英文摘要部分的字体都是Times New Roman, 且每一段开始都需空四个英文字符, Abstract为加粗小三, Keywords为加粗小四, 其余小四, 关键词之间用分号隔开, 关键词首写字母不大写(专有名词除外)]
II 湖南理工学院
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目录
摘 要....................................................................I ABSTRACT.................................................................II 0 引言...................................................................1 1 什么是数学史...........................................................1 2 数学史的发展...........................................................2 3 数学史的重要意义.......................................................1 4 为什么数学教育需要数学史...............................................2 5 数学史的教育价值.......................................................1 5.1有利于激发学生学习数学的兴趣......................................3 5.2有利于帮助学生理解数学............................................3 5.3有利于培养数学思维和方法..........................................4 5.4从数学发展的本质对数学教育提供理论指导............................4 5.5有利于辩证唯物主义世界观的形成....................................3 5.6有利于对学生进行爱国主义教育......................................4 5.7人文教育价值......................................................3 5.8有利于提高学生的美学修养..........................................4 6 如何将数学史与数学教育结合.............................................2
参考文献................................................................10
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1什么是数学史
数学史研究的任务在于弄清楚数学发展过程中的基本史实，再现其本来的面貌，同时通过这些历史现象对数学成就、理论体系及发展模式作出科学合理的解释、说明与评价，从而进一步探究数学科学发展的规律与文化本质。作为数学史研究的基本方法与手段，常有历史考证、比较研究、数理分析等方法。
史学家的职责就是根据史料叙述历史，求实是史学的基本准则。从17世纪开始，西方历史学就形成了考据学，在中国出现更早，鼎盛于清代乾嘉时期，时至今日仍为历史研究的主要方法。只不过随着时代的进步，考据方法在不断地改进，应用范围也在不断拓宽而已。当然，应该认识到史料也存在真伪，考证过程中会涉及到考证者的心理状态，这就必然会影响到考证材料的取舍与考证的结果。这也就是说，历史考证结论的真实性是相对的。同时又应该认识到，考据也并非史学研究的最终目的，数学史研究不能为考证而考证。
不会比较就不会思考，所有的科学思考与调查都不能缺少比较，或者说，比较是认识的开始。当今世界的发展是多极的，不同国家、地区、不同民族之间在文化交流中共同发展，因而随着多元化世界文明史研究的展开与西方中心论观念的淡化，异质的区域文明日益受到重视，从而不同地域数学文化的比较以及数学交流史研究也日趋变得活跃。数学史的比较研究往往围绕数学成果、数学科学范式、数学发展的社会背景等三方面展开。
数学史既属于史学领域，又属于数学科学领域。因此，数学史研究既要遵循史学规律，又要遵循数理科学的规律。根据这一特点，可以将数理分析作为数学史研究特殊的辅助手段，在缺乏史料或是史料真伪莫辨的情况下，站在现代数学的高度，对古代数学内容与方法进行数学原理分析，以达到正本清源、理论概括及提出历史假说的目的。数理分析实际上是“古”与“今”之间的一种联系。
1.1数学史的研究内容
（1）数学史研究方法论问题；（2）总的学科发展史──数学史通史；
（3）数学各分支的分科史（包括细小分支的历史）；
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（4）不同国家、地区、民族的数学史及其比较；（5）不同时期的断代数学史；
（6）数学家传记；
（7）数学概念、数学思想、数学方法发展的历史；
（8）数学发展与其他科学、社会现象之间的关系；
（9）数学教育史；
（10）数学史文献学；等等。
1.2数学史的研究范围
按研究的范围可分为内史与外史。
内史是从数学内在的原因（包括与其他自然科学之间的关系）来研究数学发展的历史；
外史是从外在的社会原因（包括经济、政治、哲学思潮等原因）来研究数学发展和其他社会因素间的关系。
数学史和数学研究的各个分支，和社会史、文化史的各个方面都有着密切的联系，这表明数学史具有多学科交叉及综合性强的性质。
从研究材料上来说，考古资料、各种历史文献、历史上的数学原始文献、文化史资料，以及对数学家的访问记录等等，都是重要的研究对象，其中数学原始文献是最常用且最重要的第一手研究资料。从研究目标来说，可以研究数学概念、理论、思想、方法的演变史；可以研究数学科学和人类社会的互动关系；可以研究数学思想的传播及交流史；可以研究数学家的生平，等等。
1.3一般数学教育工作者对数学史的理解
数学史是研究数学发生发展的历史。具体地说，它研究数学思想与数学理论的演化过程及其发展规律，研究数学家的思维方式、研究方法，研究数学科研中的成败原因，研究数学发展中的不同观点与理论之间的纷争和融合，研究影响数 湖南理工学院
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学发展的各种历史因素等等。数学史的内容是非常丰富的，岗位不同的数学教育者根据不同的需要对数学史的理解也是不相同的[1]。
1.3.1 数学史就是数学家的故事
在义务教育和高中阶段，很多数学教师认为要激发学生学习数学的兴趣，就必须利用数学家的故事来吸引学生。他们经常结合以数学家名字命名的公理、定理、原理，来介绍这些数学家的生平、数学成就及崇高的品质，以此来提高学生的学习积极性，培养学生热爱数学和追求真理的良好品质。数学家的名言和故事能够使学生看到数学家深奥的思想、高度的智慧以及刻苦钻研的精神，有利于启发学生对数学的热爱。显然，在课堂教学中数学家的故事是很容易活跃课堂气氛、激发学生的求知欲、培养学生的科学精神，但这些仍然不能保证学生的兴趣能够长期维持下去，尤其是当学生在学习过程中遇到了理解性困难的时候。
数学家的高尚情操及追求真理的科学精神，数学家的成长及发展道路给人的教育和启发甚至超过了数学知识本身，但这一切在数学教育中对学生的影响并不具有一般性，而且这些其他的科学家一样可以给学生带来同样的影响。所以如果只是把数学史当作数学家的故事集的话，数学史和数学本身的特性则显示不出来。
1.3.2 数学史就是数学成果史
数学史研究的是数学发展的历史，但是很多教师仍然只是把数学史当作数学发展史。在课堂上强调的是数学如何发展到今天的体系，好像一切的产生是那么地自然，却很少提到在数学发展过程中数学发生的一面，也很少提及到数学发生是数学家思想观念的碰撞、迷惑，很少提到数学家为了解决这些困惑所采取的方法尤其是不成功的方法。教师沉迷于数学成果的伟大之中，希望学生能够对数学产生兴趣，殊不知也就是在这种数学史的灌输下，很多学生都认为数学是天才才能学习的学科，从而对部分学生的数学学习产生了负面的影响。
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本科毕业论文 数学史的发展
2.1 数学史的发展阶段
数学的发展具有阶段性，因此研究者根据一定的原则把数学史分为了若干时期。目前学术界通常将数学的发展划分为以下5个时期：
① 数学萌芽期（公元前600年以前）；
② 初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）；
③ 变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）；
④近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）；
⑤ 现代数学时期（20世纪40年代以来）。
2.2 数学的发展史
古代史
① 古希腊曾有人写过《几何学史》，但未能流传下来。
② 5世纪普罗克洛斯对欧几里得的《几何原本》第一卷的注文中还保留有一部分资料。
③ 中世纪阿拉伯国家的部分传记作品和数学著作中，讲述到一些数学家的生平和其他有关数学史的材料。
④ 12世纪时，古希腊和中世纪阿拉伯数学书籍传入西欧。这些著作的翻译既是数学研究，也是对古典数学著作的整理和保存。
⑤ 1556年，英国数学家用英语写成了基础算术和代数教科书《知识宝库》。近代史
从18世纪，由C.博絮埃、J.蒙蒂克拉、A.C.克斯特纳同时开始，而以蒙蒂克拉1758年出版的《数学史》（1799～1802年又经拉朗德增补）为代表。从19世纪末起，研究数学史的人逐渐增多，断代史和分科史的研究也渐渐展开，1945年以后，更是有了新的发展。19世纪末以后的数学史研究可以分为以下几个方 湖南理工学院
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面。
1．通史研究
代表作可以举出M.B.康托尔的《数学史讲义》 以及C.B.博耶、D.E.史密斯、洛里亚等人的著作。法国的布尔巴基学派写了一部数学史收入《数学原理》，以尤什凯维奇为代表的苏联学者和以弥永昌吉、伊东俊太郎为代表的日本学者也都有多卷本数学通史出版。1972年美国M.克莱因所著的《古今数学思想》一书，是70年代以来的一部佳作。
2．古希腊史
许多古希腊数学家的著作被译成了现代文字，在这方面作出成绩的有胡尔奇、J.L.海贝格、T.L.希思等人。洛里亚和希思还写了古希腊数学通史。20世纪30年代起，著名的代数学家范·德·瓦尔登在古希腊数学史方面也作出了成绩。60年代以来匈牙利A.萨博的工作则更为突出，他从哲学史出发论述了欧几里得公理体系的起源。
3．古埃及史
把巴比伦的楔形文字泥板算书和古埃及的纸草算书译成现代文字是很艰难的工作。查斯和阿奇博尔德等人都译过纸草算书，而诺伊格鲍尔锲而不舍数十年对楔形文字泥板算书的研究则更为有名。他所著的《楔形文字数学史料研究》、《楔形文字数学书》都是这方面的权威性著作。他所著《古代精密科学》一书，汇集了半个世纪以来关于古埃及和巴比伦数学史的研究成果。范·德·瓦尔登的《科学的觉醒》一书，则又加进了古希腊数学史，成为古代世界数学史的权威性著作之一。
4．断代史
德国数学家（C.）F.克莱因著的《19世纪数学发展史讲义》一书，是断代体近现代数学史研究的开端，它成书于20世纪，但其中所反映出来的对数学的看法却大部分是19世纪的。直到1978年法国数学家让·亚历山大·欧仁·迪厄多内所写的《1700～1900数学史概论》出版前，断代体数学史专著并不多，但却有（C.H.）H.外尔写的《半个世纪的数学》之类的著名论文。对数学各分支的历史，从概率论、数论，直到流形概念、希尔伯特数学问题的历史等，有多种专著出现，并且不乏名家手笔。许多著名数学家参与了数学史的研究，可能是基于 湖南理工学院
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（J.-）H.庞加莱的以下信念，即:“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状”，或如H.外尔所说的：“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念方法和结果，我们就不可能理解近50年来数学的目标，也不可能理解它的成就。”
5．数学家传
他们的全集与《选集》的整理和出版，是数学史研究的大量工作之一。此外还有多种《数学经典论著选读》的出现，记录了历代数学家成名之作的珍贵片断。
6．数学杂志
最早出现于19世纪末叶，M.B.康托尔和洛里亚都曾主编过数学史杂志，最有名的是埃内斯特勒姆主编的《数学宝藏》。现代则有国际科学史协会数学史分会主编的《国际数学史杂志》。
外国史
在17、18世纪以前，三角学在欧洲已有所发展。就以三角学的名字而言，是德国数学家毕的斯克斯(B.Pitiscus, 1561-1613)在 1595 年出版的《三角學，或解三角形五卷(Trigonometriae Sive, De dimensione Triangulor Libriquinque)》中，首先提出来的，解释说：“Trigonometriae est doctrina dedimausione triangulaum(三角学就是解三角形的学说)”。其“Trigonometriae”一词是由拉丁文“trigonon(三角形)”及“metron(测量)”两词所组成，而这两词是由希腊文“Τριγωμον(三角形)”及“Μετρον(测量)”演变来的。如将“trigonometriae”直译为汉语，应是“三角形的测量”。例如《大测》中所说“大测者，测三角形之法也。„„，大於他测，故名大测”。若以近代术语来表示，当为“解三角形”。三角学虽然起源很早，但其名称却形成较晚，由其名称的形成来分析，三角形的测量或解三角形也是三角学的起源之一。在中国，“三角学”一名是由“三角算法”﹑“平三角”﹑“弧三角”等名称渐渐演变而来的。
三角学的发展，由起源迄今差不多经过了三﹑四千年之久，在古代，由於古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题 湖南理工学院
本科毕业论文 的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学；虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。在古希腊，为了便于观察天体的运行及解球面三角形，著名天算家托勒密(Ptolemy,約87-165)在前人希巴卡斯(Hipparchus,约公元前180-125)的基础上，也编制了所谓“弦表”，他借助于几何知识，编制了从 0到 90每隔(1/2)弧的弦长表，在编制中，也曾发现一些球面三角学与平面三角学的关系式，并且计算过(90－)弧的弦长；可是，希腊人却未引用“α余弧的弦”或“余弦”这类名称。
8-12世纪，希腊文化传入印度以及阿拉伯，在这些国家里，不但提出“正弦”一词，还以几何方式定义了“余弦线”﹑“正切线”﹑“余切线”以及“正矢线”的意义，并编制了各种三角表；其编制方法虽不相同，但编制的数值却相当精密，对三角学提供了不少贡献，阿拉伯天文学家纳速拉丁(Nasir al-Din al-Tusi,1201-1274)在他的著作《论四边形》里，首先把三角学从天文学中分割出來，看作为一门独立的学科。12-15世纪，三角学传入欧洲，德国著名数学家列吉奧蒙坦(Regiomontanus,1436-1476)兴纳速拉丁一样，也把三角学看作一门独立学科，着有《论各种三角形(De triangulis omnimodis)》，其中重点讨论了三角形的解法，并编制了十分精密的“正弦表”，还创造了一些三角公式，对三角学理论提高到一定的水平，为三角学发展起到了不可忽视的作用。
中国史
中国以历史传统悠久而著名于世界，在历代正史的《律历志》“备数”条内经常论述到数学的作用和数学的历史。例如较早的 《汉书·律历志》说数学是“推历、生律、制器、规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量，探赜索稳，钩深致远，莫不用焉”。《隋书·律历志》记录了圆周率计算的历史，记载了祖冲之的光辉成就。历代正史《列传》中，有时也给出了一些数学家的传记，正史的《经籍志》则记载有数学书目。
在中国古算书的序、跋中，常常会出现数学史的内容。如：刘徽注《九章算术》序中曾谈到《九章算术》形成的历史；王孝通“上缉古算经表”中曾对刘徽、祖冲之等人的数学工作进行了评论；祖颐为《四元玉鉴》所写的序文中讲述了由天元术发展为四元术的历史。宋刊本《数术记遗》之后附录有“算学源流”，这是中国，也是世界上最早用印刷术保存的数学史资料。程大位《算法统宗》书末 湖南理工学院
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附有“算经源流”，记载了宋明间的数学书目。
以上所述都属于零散的片断资料，对中国古代数学史进行较为系统的研究和整理，则是在乾嘉学派的影响下，清代中晚期进行的。主要有：对古算书的整理和研究，《算经十书》（汉唐间算书)和宋元算书的校订、注释和出版；编辑出版了《畴人传》（数学家和天文学家的传记），它“肇自黄帝，迄于昭（清）代，凡为此学者，人为之传”，它是由阮元、李锐等编辑的（1795～1799）。其后，罗士琳作“补遗”（1840），诸可宝作《畴人传三编》（1886），黄钟骏又作《畴人传四编》（1898）。《畴人传》，实际上就是一部人物传记体裁的数学史。收入人物多，评论允当，资料丰富，完全可以和蒙蒂克拉的数学史相媲美。
利用现代数学概念，对中国的数学史进行研究和整理，从而使中国数学史研究建立在现代科学方法之上的学科奠基人，是李俨和钱宝琮。他们都是从五四运动前后开始，搜集古算书，进行考订、整理，然后开展研究工作的。经过半个多世纪，李俨的论文自编为《中算史论丛》（1～5集，1954～1955），钱宝琮则有《钱宝琮科学史论文集》（1984）行世。从20世纪30年代起，两人都有通史性中国数学史专著出版，李俨有《中国算学史》（1937）、《中国数学大纲》（1958）；钱宝琮有《中国算学史》（上，1932）并且主编了《中国数学史》（1964）。钱宝琮校点的《算经十书》（1963）和上述各种专著一样，都是权威性的著作。
从19世纪末，就有人（伟烈亚力、赫师慎等）用外文发表中国数学史方面的文章。20世纪初日本人三上义夫的《数学在中国和日本的发展》，以及50年代李约瑟在其巨著《中国科学技术史》中对中国的数学史进行了全面的介绍。有一些中国的古典算书已经有英、法、日、俄、德等文字的译本。在英、美、日、俄、法、比利时等国都有人直接用中国古典文献进行中国数学史的研究，以及和其他国家、地区数学史的比较研究。
2.3 数学史上的三次危机
无理数的发现──第一次数学危机
大约在公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然和社会中不变因素的研究，把天文、几何、算术、音乐称为“四艺”，在其中追寻宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间的一切事物都可 湖南理工学院
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以归结为整数或者整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献就是证明了勾股定理，但由此也发现有些直角三角形的斜边并不能表示成整数或整数之比(不可通约)的情形，如直角边长都为1的直角三角形就是如此。这一悖论直接触碰了毕氏学派的根本信条，引起了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法把这个矛盾解决了。他处理不可通约量的方法，出现在了欧几里得《原本》第5卷中。欧多克斯和狄德金在1872年给出的无理数的解释与现代解释基本保持一致。今天中学几何课本对相似三角形的处理，仍然反映了不可通约量带来的某些困难和微妙之处。第一次的数学危机对古希腊的数学观点有着极大的冲击，这表明几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数或整数比来表示，反之却可以由几何量来表示，整数的权威地位开始动摇，几何学的身份却升高了。危机也表明了直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是最可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并因此建立了几何公理体系，这绝对是数学思想上的一次巨大革命！
无穷小是零吗？──第二次数学危机
18世纪，微分法和积分法在生产和实践中都有了广泛且成功的应用，大部分的数学家对这理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表了《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，他将矛头指向了微积分的基础——无穷小问题，提出了所谓的贝克莱悖论。他指出：“牛顿在求xn的导数时，采用了先给x以增量0，再应用二项式(x+0)n，从中减去xn求得增量，并除以0以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让0消失，这样得出增量的最终比。在这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，即假设x没有增量。”他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬的，“dx为失去量的灵魂”。无穷小量到底是不是零？无穷小及其分析又是否合理？由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，引发了数学史上的第二次数学危机。
18世纪的数学思想的确不怎么严谨，直观地强调形式的计算而忽视了基础的可靠。其中特别是：没有清楚无穷小的概念，从而导致微分、导数、积分等概念也不清楚，无穷大的概念不清楚，符号的不严格使用，发散级数求和的任意性，湖南理工学院
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不考虑连续就进行微分，不考虑导数和积分的存在性以及函数能否展成幂级数等等。
直到19世纪20年代，有些数学家才开始关注于微积分的严格基础。从阿贝尔、柯西、波尔查诺、狄里赫利等人的工作开始，到戴德金、威尔斯特拉斯和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。
悖论的产生——第三次数学危机
数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击出现的，从整体来看，到现在还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到了许多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然而然地引起了对数学整个基本结构的有效性的怀疑。
1897年，福尔蒂揭露了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了与之很相似的悖论。1902年，罗素又发现一个悖论，它除了涉及集合概念本身外没有涉及到别的概念。罗素悖论曾被多种形式通俗化，其中最著名的是罗素在1919年给出的，它牵涉到某村理发师的困境。理发师宣布了一条这样的原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且只给村里这样的人刮脸。当人们尝试回答下列疑问时，就认识到了这类情况的悖论性质：“理发师是否自己给自己刮脸呢？”如果他不给自己刮脸的话，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他也就不符合他的原则。
罗素悖论动摇了整个数学大厦。无怪乎弗雷格收到了罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》中的第2卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信竟把我置于这种境地”。于是就终结了近12年的刻苦钻研，承认无穷集合、无穷基数，仿佛一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在渐渐地丧失。现代公理集合论的大堆公理，真的难说孰真孰假，但又不能把它们都消除掉，它们 湖南理工学院
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跟整个数学是紧密相连的。所以第三次危机表面上是解决了，实质上更深刻地以其它形式在延续着。数学史的重要意义
3.1科学意义
每一门科学都有发展的历史，作为历史上的科学，不仅有其历史性而且有其现实性。其现实性首先表现在科学概念和方法的延续性方面，今日的科学研究在一定程度上是对历史上科学传统的一种深化与发展，或者是对历史上的科学难题的解决，因此我们无法割裂科学史与科学现实之间的联系。数学科学有着悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性的科学，概念和方法更具有延续性，比如古代文明中形成的四则运算法则和十进位值制记数法，我们今天仍在使用；诸如哥德巴赫猜想、费尔马猜想等历史上的难题，一直以来都是现代数论领域中的研究热点，数学传统和数学史材料可以在现实数学研究中获得发展。国内外许多著名的数学家都具有深厚的数学史修养或是兼及数学史研究，并善于从历史素材中吸取养分，做到古为今用，推陈出新。中国著名数学家吴文俊早年在拓扑学研究领域取得了杰出的成就，七十年代开始研究中国数学史，在中国数学史研究的理论及方法方面开创了新的局面，尤其是在中国传统数学机械化思想的启发下，建立了被誉作“吴方法”的关于几何定理机器证明的数学机械化方法，他的工作不愧是古为今用，振兴民族文化的典范。
科学史的现实性还表现在为我们当前的科学研究提供了经验教训和历史借鉴，使我们明确科学研究的方向，少走弯路或错路，不仅为当今科技发展决策的制定提供了依据，同样是我们预见科学未来的依据。多了解数学史知识，我们也不会出现诸如解决三等分角作图等荒唐事，可以避免我们在这样的问题上浪费时间和精力。总结中国数学发展史上的经验和教训，对当今中国数学发展不无益处。
3.2 文化意义
美国数学史家M.克莱因曾说过：“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显”。“数学不仅 湖南理工学院
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是一种方法、一种语言或一门艺术，数学更是一门有着丰富内涵的知识体系，其内容对社会科学家、哲学家、自然科学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时也影响着政治家和神学家的学说”。数学已广泛地影响着人类的生活及思想，是形成现代文化的重要力量。因而数学史是从侧面反映的人类文化史，又是人类文明史最重要的组成部分。许多历史学家利用数学这面镜子，了解古代其它主要文化的特征和价值取向。古希腊数学家强调严谨的推理和由此得出的结论，因此他们并不关心这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象的推理，激发人们对理想与美的追求。通过希腊数学史的考察，就很容易理解为什么古希腊具有很难被后世超越的优美文学、极端理性化的哲学，以及理想化的建筑和雕塑。而罗马数学史告诉我们，罗马文化是外来的，罗马人缺乏独创精神而更注重实用。
3.3 教育意义
当我们学习了数学史之后，自然会有一种这样的感觉：数学的发展并不合逻辑。或者说，数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书有很大的不同。我们今日中学所学的数学内容大多属于17世纪微积分学以前的初等数学知识，而大学数学学习的内容则基本上是17、18世纪的高等数学。这些数学教材已经过千锤百炼，是在教育要求与科学性相结合的原则指导下经过反复编写的，是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构、学习要求加以取舍编纂而成的知识体系，这样就必然舍弃了许多数学方法和概念形成的知识背景、演化历程和导致其演化的各种因素，因此仅仅依靠数学教材的学习，难以获取数学的原貌和全景，同时忽视了那些被历史淘汰掉的但或许对现实科学有用的数学材料和方法，而弥补这方面不足的最好途径就是学习数学史。
在一般人看来，数学是一门枯燥乏味的学科，因而很多人将其视其为畏途。从某种程度上说，这是因为我们的数学教科书教授的往往是一些死板的、一成不变的数学内容，如果我们在数学教学中渗透数学史内容而让数学灵活起来，这样就可以大大激发学生的学习兴趣，同时也有助于学生对数学方法、概念和原理的理解与认识的深化。
科学史是一门文理交叉的学科，从当今的教育现状来看，文科与理科的鸿沟导致了我们的教育培养的人才已经越来越不能适应今日自然科学和社会科学高 湖南理工学院
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度渗透的现代化社会，正是由于科学史的学科交叉性才能显示出其在沟通文理科方面的作用。通过数学史的学习，可以使学数学的学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养，文科或者其它专业的学生通过学习数学史可以了解数学的概貌，获得数理方面的修养。而历史上数学家的业绩和品德也会在青少年的人格培养方面发挥十分重要的作用。
中国数学历史悠久，14世纪前一直是世界上数学最发达的国家，出现过许多杰出的数学家，取得了很多辉煌的成就，交替影响着世界数学的发展。但由于各种复杂原因，16世纪以后中国落后了，经历了漫长艰巨的发展历程才慢慢汇入现代数学的潮流。由于教育上的失误，导致接受现代数学文明熏陶的我们，常常数典忘祖，对祖国的传统科学一无所知。数学史可以使学生了解中国古代数学的光辉成就，了解中国近代数学落后的原因、中国现代数学研究的现状、以及与发达国家数学之间的差距，从而激发学生的爱国热情，振兴民族的科学。为什么数学教育需要数学史？
4.1数学家遇到的困难或挫折同样也会为课堂上的学生所经历
米勒认为, 许多重要的数学概念如此缓慢地进入人类的智力生活, 并遭遇重重阻挠,这对于那些初次遇到这些概念的人, 或试图把它们教给他人的人来说是极有意义的。意义何在? 琼斯举例说: 当学生了解到负数概念发展并被人们接受、使用和理解经过了漫长岁月时,他就不会因自己不理解这个概念而感到特别担心。
M1 克莱因则坚信, 历史上大数学家所遇到的困难,正是学生也会遇到的学习障碍,因而历史是教学的指南:从一流数学诞生开始, 数学家花了 1000年才得到负数概念, 又花了 1000 年才接受负数概念,因此我们可以肯定,学生学习负数时必定会遇到困难, 而且他们克服这些困难的方式与数学家大致也是相同的[2] [3]。另一方面,他认为讲述数学家遭遇困难、挫折、失败的经历对学生有着很好的教育意义: / 课本中的字斟句酌的叙述, 未能表现出创造过程中的斗争、挫折, 以及在建立一个可观的结构之前,数学家所经历的艰苦漫长的道路。而学生一旦认识到这些,他将不仅获得真知灼见,还将获得顽强地追究他所攻 湖南理工学院
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问题的勇气, 并且不会因为他自己的工作并非完美无缺而感到颓丧。[4] 事实上,数学史告诉我们:数学不过是人类的一种文化活动,人人可学, 人人可做,尽管并非人人都有数学家的才能;而从事这种文化活动的数学家也是平凡的人, 同样会遇到困难、挫折、失败。了解这一点, 那么学生就不会为自己在学习过程中所遇困难、挫折和失败而灰心丧气,甚至错误地认为自己没有数学头脑了。
4.2 学生学习数学的认知过程与数学史的发展过程相似
早在18 世纪,法国实证主义哲学家、社会学创始人孔德(A.Comte, 1798-1857)提出, 个体知识的发生与历史上人类知识的发生必然是一致的。卡约黎认为,如果孔德的理论正确的话,那么数学史对于数学教学来说就是一种十分有效、不可或缺的工具。[5] 19 世纪, 德国生物学家海克尔(E.Haeckel ,1843-1919)提出一个生物发生学定律:“个体发育史重蹈种族发展史”。德国著名数学家 F.克莱因(F.Klein, 1849-1925)认为,数学教学至少在原则上要遵循这项定律, 因为科学的教学方法只是诱导人去作科学的思考, 而不是一开头就教人去碰冷漠的、经过科学洗练的系统。按照历史顺序教授数学,能使学生“看清一切数学观念的产生是如何迟缓;所有观念最初出现时,几乎常是草创的形式,只是经过长期改进,才结晶为确定方法,成为大家熟悉的有系统的形式”。法国著名数学家庞加莱(H.Poincar ,1854-1912)主张数学课程的内容应完全按照历史发展顺序展现给读者, 他说: “动物学家坚持认为,在一个短时期内,动物胚胎的发育重蹈所有地质年代其祖先们的发展历史。人的思维发展似乎也是如此。教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历,迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段。鉴于此,科学史应该是我们的指南”。匈牙利著名数学家和数学教育家波利亚(G.Plya, 1887 ~1985)则指出: “只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识, 我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断”。荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔(H.Freudenthal , 1905~ 1990)亦持有类似观点,称“年轻的学习者重蹈人类的学习过程,尽管方式改变了”。[6] M.克莱因完全赞同上述各家观点, 坚信历史顺序是教学的指南,并以此为依据,对美国当时的新数运动进行了尖锐的批判:“数学家花了几千年时间才理解无 湖南理工学院
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理数,而我们竟贸然给中学生讲戴德金分割。数学家花了三百年才理解复数, 而我们竟马上就教给学生复数是一个有序实数对。数学家花了约一千年才理解负数, 但现在我们却只能说负数是一个有序自然数对。从伽利略到狄利克雷, 数学家一直绞尽脑汁去理解函数的概念, 但现在却由定义域、值域和有序对(第一个数相同时第二个数也必须相同)来玩弄把戏。从古代埃及人和巴比伦人开始直到韦达和笛卡儿,没有一个数学家能意识到字母可用来代表一类数,但现在却通过简单的集合思想马上产生了集合这个概念”。
M.克莱因指出:“ 数学绝对不是课程中或教科书里所指的那种肤浅观察和寻常诠释。换句话说,它并不是从显明叙述的公理推演出不可怀疑的结论来”。[7]算术、代数、几何、三角和微积分都不是通过操作无意义的符号或按规则玩弄游戏而产生的。从历史上看,在曾经鼎盛过的数以百计的文明中,只有一个希腊文明发展起我们今天所崇尚的演绎数学,这就充分说明: 抽象的、演绎的数学并不是自然的,它远离一般人的思想、兴趣和行为, 是一门高度复杂、深奥难懂的学科。历史是一面镜子。无理数、负数和复数概念以及微积分等学科的历史都说明: 数学家更多地往往是以直观的方法进行思考, 因而在数学教学中,直观方法是主要的,而演绎方法则是一个辅助性的工具。“新数”教材把数学当作一系列严密的演绎结构, 无疑是本末倒置的。
一些美国学者坚信, 指导个体认知发展的最佳方法是让他回溯人类的认知发展1152。即使知识点A 在逻辑上先于知识点B,但如果B 在历史上先于A 出现, 那么我们仍应先教B。
4.3 历史上的数学问题提供了丰富的社会文化信息
美国学者史韦兹(F.J.Swetz)认为, 用历史来丰富数学教学和数学学习,一个直接的方法是让学生去解一些早期数学家感兴趣的问题。[8]这些问题让学生回到问题提出的时代, 反映当时人们所关心的数学主题。学生在解决数世纪以前的数学问题时,会经历某种激动和满足。他主张,教师可以搜集历史上不同时期和不同文化的数学问题, 并布置给学生去解决、比较, 如不同文化背景(如巴比伦、中国、意大利)下的勾股定理应用问题。史氏认为, 从历史上的数学问题中, 学生还可以获得一些文化的和社会的信息。如“给船制作帆布, 每块帆布
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1000平方腕尺,帆高与宽之比为1 比3/2。问帆高为多少?”从中可以了解到公元前250 年一艘埃及船只桅杆的高度;“当 1蒲式耳小麦值8 里拉时, 面包师傅可制作一块重6盎司的面包;问:当1 蒲式耳值5 里拉时,一块面包重几盎司?”从中可以推出15 世纪威尼斯一块面包的大小;“一位先生劳动一天,得工钱4 元, 每周付伙食费 8 元;10 周后他挣得144 元;问他空闲的天数和劳动的天数?”从中可以确定内战后美国人12 小时工作日每小时的薪水,等等。
4.4 数学史与数学教育课程整合的意义
将数学史与数学教育课程进行整合, 对强化教师教育课程的整体功能, 促进学生专业成长, 从而更好地适应基础教育课程改革都具有积极的推动作用。1.将数学史与数学教育课程整合, 提升“数学史”的教育价值
在数学专业中, 《数学史》课时普遍比较少(约 30-45课时), 因而只能以粗拙的大线条略带专题的方式进行教学, 学生难得有深入思考的机会。至于让学生考察数学史在数学教育中的价值与运用就更加不可能。这就导致了一种尴尬局面: 师范生学了“数学史”, 从教后却不能运用数学史搞好数学教育、教学工作。将数学史与数学教育课程整合, 即对《数学史》、《数学教育学概论》、《数学教学法》 等课程进行整合性思考, 分析数学史与数学教育的深刻联系, 适当调整课程内容与课程安排, 以提升“数学史”的教育价值, 为德育教育提供舞台。
2.强化教师教育课程的整体功能, 促进学生的专业成长
将数学史与数学教育课程进行整合, 可以提升数学教育的文化价值, 强化教师教育课程的整体功能: 既优化提升了数学教育类课程的教育效果, 又延伸并服务于基础教育数学课程改革, 促进学生的专业成长, 达到提高学生 “数学专业素养”与“教师职业素养”的目的。3.满足普通高中数学新课程标准的需求
在普通高中数学新课程标准的视域下, 将数学史与数学教育课程进行整合, 改革《数学史》课程的设置与教学方案, 加强数学教育整体功能的发挥, 有利于探寻为普通高中数学课程标准服务的“数学史”教育途径, 推进数学教育更好地适应基础教育课程改革, 从而推进自身改革的健康发展。[9]
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5.1 有利于激发学生学习数学的兴趣
兴趣是最好的老师。数学的历史背景通常是有趣并且富有启发意义的，它对于提高学生学习数学的积极性是非常有效的。希腊著名几何难题、阿基米德、卡丹、伽罗瓦、高斯等人的故事都是课堂上的精彩有趣的历史话题。在众多的情境中, 可以让学生明白数学并不是一门枯燥无味的学科，而是一门不断进步的生动有趣的学科。[10]让学生了解数学历史文化发展的灿烂进程和中国现代数学的发展，领悟数学家勇于探索、刻苦钻研、为之奋斗终身的精神, 一定会被数学家的惊人毅力、执著精神以及他们取得的巨大成就所折服。榜样的力量是无穷的。浏览一下众多历史伟人的传记，可以从中发现,在影响它们成功的众多因素中，总是包括某些杰出的先驱。特别是对那些最活跃、最具创造性人生的人，其作用更为明显。
5.2 有利于帮助学生理解数学
读史使人明“知”，数学专业知识与历史知识是互补的，专业知识的学习需要历史知识帮助分析与思考。通过数学史的学习，能够帮助学生更好地理解数学。数学家发现数学的时候，是火热地思考着的，一旦研究完毕，呈现在我们面前的则是冰冷的美丽形式。因此我们要通过数学史的说明，了解当时的数学家为什么和如何研究数学。一个明显的例子是古希腊的演绎几何，为什么古希腊人要用公理化方法展开数学？他们所处的时代背景如何中国古代数学的特点和古希腊数学的特征有何不同？弄清这些问题，对学生理解数学很有好处。至于数学教师，如果没有这样的修养，显然很难把数学课上好。
5.3 有利于培养数学思维和方法
数学理论的形成和发展不是单纯的知识、技巧的堆砌，不是单纯的逻辑推导。数学的每一部重大发展，往往伴随着科学认识论的突破和新的思想方法的产生。数学史不仅可以给出某些确定的数学知识, 而且可以给出相应知识的创造性思维过程。而这些对于学生们的思想方法的形成是有启发和培养作用的。它不仅可 湖南理工学院
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以让学生经历探索思维和创造的体验, 体会数学创造过程的快乐和艰辛, 而且从中可以获得数学思维的规律和方法的启迪, 从而实现对数学知识的深刻理解和灵活运用。波利亚在写他的方法论巨著《数学与合情推理》[11]一书时，不仅参考了他在教学一线研制的《解题表》，而且运用了大量的数学历史文献，M.克莱因的《古今数学思想》更明确地告诉我们：重要的数学思想，是在数学历史上逐渐形成的，他同数学的发展密不可分。总之，数学史的“数学思想、方法”的含量，是极为丰富的，致使人们把“数学史”作为“数学方法论”研究的一个重要分支。
5.4 从数学发展的本质对数学教育提供理论指导
我们知道，人类的认识规律是基本一致的，研究前人在学习数学，发现数学中的困难和错误也是现在学生学习的困难和易犯错误。从这个角度考虑改革数学教学。这是最本质的改进与影响。若干年前，美国数学协会(MAA)下属的数学教育委员会曾发出题为《呼唤变革：关于数学教师的数学修养》的建议书，其中呼吁所有未来的教师注意培养自身对各种文化在数学思想的成长与发展过程中所作的贡献有一定的鉴赏能力；对来自各种不同文化的个人在古代、近代和当代数学论题的发展上所作的贡献有所研究，并对中小学数学中主要概念的历史发展有所认识。对于今后的中小学数学史教学，我们应该将数学文化尽可能地结合数学课程的内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用，同时也反映社会发展对数学发展的促进作用。使学生通过数学文化的学习，了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律；了解人类从数学的角度认识客观世界的过程；发展求知、求实、勇于探索的情感和态度；体会数学的系统性、严密性、应用的广泛性，了解数学真理的相对性；提高学习数学的兴趣。
5.5 有利于辩证唯物主义世界观的形成
众所周知，数学内部充满着矛盾，充满着辩证法。从数的角度看，数有大小、整数与分数，运算有加与减、乘与除，随之有正与负、有理与无理、实与虚。从形的角度看，有直与曲、凸与凹、连续与离散，又发展到常量与变量、微分与积分、收敛与发散、有穷与无穷、精确与模糊。正是这些矛盾的运动和转化，才推 湖南理工学院
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动了数学的发展。数学史上的“ 三次数学危机” 便是这些矛盾运动的缩影。将这些丰富的素材穿插到数学教学中，会使学生感到数学是有血有肉的，对他们的辩证唯物主义世界观的形成会起到促进作用。[12]
5.6 有利于对学生进行爱国主义教育
结合数学学科特点，对学生进行思想品德教育，也是数学教学的目标之一；然而空洞地说教只会使学生产生反感，教师在课堂上给学生讲述数学家艰苦创业、献身数学研究的光辉事迹，既可以满足学生的心理需求，也可以对学生进行爱国主义教育。
中国是世界数学大国，中国的数学成就之高之大世界公认。历史上许多优秀的数学家为了振兴中国的数学，不懈努力奋斗，甚至奉献终身。陈景润在中学时代从当时国立清华大学航空系主任沈云教授那里听到了关于“哥德巴赫猜想”这一引人入胜的故事后，这颗“皇冠上的明珠”深深地吸引着他使他献身于数论研究。在深入钻研了当代很多著名数论论文后，奋然向“哥德巴赫猜想”的顶峰攀登，终于在(1 + 2)的证明上取得重大突破。华罗庚之所以能够以初中学历成为世界级的数学家和美、德等多国科学院的院士，主要是靠他坚强的意志和为国争光的奋斗目标以及为科学献身的精神。饱含热爱祖国的赤子之心，他毅然放弃国外的优厚待遇，回到祖国，为祖国培养了一批又一批年轻的数学家。还有苏步青教授在中学时就继承了数学老师的思想：“为了救亡图存，必须振兴科学；数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学。”从此他便立下了“读书不忘救国，救国不忘读书”的座右铭。在日本获得理学博士学位后，谢绝日本东京北帝国大学的聘请，和日本妻子一同返回祖国，为中国近代数学的发展作出了巨大贡献。
5.7 人文教育价值
数学史由折反复的事件构成，事由人所为；发展的每个时期都充满了可歌可泣的故事。为了使学生们学好几何，不怕繁琐和劳累，坚持苦干许多年，终于把大量零碎无序的几何事实和他从老师亚里士多德那里学来的“形式逻辑”串联起来的欧几里得；顶住各方面的压力，甚至不顾老师克隆尼克的坚决反对，发明和 湖南理工学院
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坚持推进“集合论”的康托；坚持只身奋斗，舍得一身剐，敢把皇帝（欧氏几何是唯一正确的几何的传统观念）拉下马，创立和维护新几何的罗巴切夫斯基；“数学情种”艾尔德什；数学英雄欧拉；坚决捍卫数学完整性的大师级数学家希尔伯特； 靠数学锻造的美丽心灵，从而起死回生的数学家纳什；具有伯乐的敏锐眼光，发现并培养了中国数学大师华罗庚和印度数学奇才拉玛努金的英国伟大的数学家哈代；逻辑大师哥德尔；当代最伟大的世界数学大师陈省身„„他们的业绩、他们的精神、他们的奋斗历程，决不单单属于一个国家、一个民族，而是全世界的文化遗产，具有无限的教育价值。以此为素材，实施“数学家人品教育”，“数学情感教育”，“数学人文精神教育”，是大有可为的。
5.8 有利于提高学生的美学修养
数学美指的是数学具有简洁性、对称性、和谐性和奇异性，无数数学家都为这种数学的美所折服。能欣赏美的事物是人的一个基本素质，数学史的学习可以引导学生领悟数学美。很多著名的数学定理、原理都闪现着美学的光辉，例如毕达哥拉斯定理（勾股定理）是初等数学中大家都十分熟悉的一个非常简洁而深刻的定理，有着极为广泛的应用。两千多年来，它激起了无数人对数学的兴趣，意大利著名画家达芬奇、印度国王Bhaskara、美国第20任总统Carfield等都给出过它的证明，充分展现了这个定理的无穷魅力。黄金分割同样十分优美和充满魅力，早在公元前6世纪它就为毕达哥拉斯学派所研究，近代以来人们又惊讶地发现，它与著名的斐波那契数列有着十分密切的内在联系。同时，在感叹和欣赏几何图形的对称美、尺规作图的简单美、体积三角公式的统一美、非欧几何的奇异美等时，可以形成对数学良好的情感体验，数学素养和审美素质也得到了提高，这是德育教育一个新的突破口。如何将数学史与数学教育结合
数学史和数学教育怎么结合，在数学教育界也有很多研究。在此，我按照数学史知识在数学教育中的作用将其分为两种类型：辅助型手段和解释型手段。
辅助型手段
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在研究数学史和数学教育的关系时，我们往往把数学史知识当作史料介绍给学生，希望学生能够从中吸取经验，或激发学生学习数学的的兴趣。常常采取的手段有：（1）数学史知识以阅读材料或附录的形式在章末出现，这在国外已有成功的经验。它的优点是既不打破原教材的格局，又能发挥数学史料的作用。（2）以选修课的形式出现，介绍世界数学史，使学生开阔眼界。（3）经常举办一些数学史的专题讲座。选择一些情节生动、发展曲折具有教育意义的专题。[13]在此学习数学史料就当做了进行数学教育的辅助手段。
还有一些学者认为需要改革现行的应试教育考试制度，大力推行素质教育，这样能促使学生更好地学习数学史知识。对此我不敢苟同，毕竟数学史和数学教育还是有主次之分的。不管是哪种方法他们都有一个共同的特点，就是在保证数学史和数学教材各自独立的前提下互相影响。显然这种影响没有深入到学生的认识过程中，对学生的数学学习中理解帮助有限。当然如果要很详细地研究数学史的话，对数学学习是有非常大的帮助，但是对于数学教育和数学史的关系来说则有些主次不清，且增加学生学习负担。不过通过辅助型手段尽管可以促进数学史在数学教育中的作用的实现，但是对于有利于学生理解数学知识的本质，有利于培养学生的思维能力，有利于培养学生的数学研究能力，由于要深入到学生数学学习过程中去，所以辅助型手段就显得有些无力。
解释型手段
要想使学生理解数学知识，则必须解决学生在数学学习过程中出现的疑惑。我们可以采取两种方式来解决：教师解释和教辅解释。
教师解释
在数学学习过程中，数学教师要学生的困惑进行解释，引导学生继续学习。这就要求教师对数学史有很深的了解。绝不能仅仅局限于数学家的故事和数学成果，除了这些之外还要对数学思想和数学理论的演化过程及其发展规律，研究数学家的思维方式和研究方法非常熟悉，这样才能防患于未然，使数学家困惑的数学思想方法和数学知识不至于在学生学习的过程中长时间地困扰学生。例如讲解函数，如果仅仅讲解函数发展过程中的几种不同定义，显然还是不足够的。因为在数学学习过程中函数定义的发展仍然不能代表函数思想方法发展的过程。如果要使学生真正理解函数思想则需要使学生深刻理解未知数、字母表示数、变量以 湖南理工学院
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及它们之间的关系，然后才能理解函数。这些内容在数学学习过程中跨度很大，在数学史的发展中也有很长时间，所以教师必须时刻从整体上把握对学生的学习进行引导。
教辅解释
教材中所讲述的数学理论经过数百年来的发展和演变已经取得了近乎完美形式，但教材毕竟是教材，既要服从教学大纲的安排，又受数学课时所限，不可能完整地描述出相关的历史发展过程。由于教师水平的差异，课时的局限，所以对于数学学习过程中学生的困惑的解释仍然是不够的。故我们可以用辅导资料把数学史和数学教育结合起来对学生的学习困惑和我们日常所说的以习题训练为主的是有很大区别的。
M·克莱因说：“对学数学的学生来说，通常一些课程所介绍的只是些近乎没有什么关系的数学片断，数学史可以提供整个课程的概貌，不仅使课程的内容互相联系，而且使它们跟数学思想的主干也联系起来。”[14]显然让我们的学生系统深刻地学习数学史是不可能的，那么我们所做的就是把学习数学课程中的思想方法的空白给补充完整。
我们仍然以数学课程为纲，以各个数学知识为基点，把课程中出现的知识产生、发展过程中的思维方式和思想方法的变化给补充出来，以解决学生数学学习中的困惑为目的。如：弧度是怎么来的；为什么圆要分成360等分；无穷大、无穷小和极限的关系等等。在解决这些困惑的过程中展现各种数学思想方法是怎么样渐渐清晰成型的。这样不仅仅能够从数学本身来解决学生的困惑、促进学生的数学理解，而且一旦让学生认识到这些看似完美的数学知识并不是一蹴而就的，将获得顽强地追究所攻问题的勇气。
以上两种解释形式都完全把数学史和数学课程的体系给打破了，所以要想真正做好，还需要进一步的研究。
总而言之，要想把数学教育做好，就必须和数学史结合。尽管结合的方式很多，但是只有深入到学生的数学学习过程中去，找到数学史数学思想方法发展和学生学习数学过程中的认识变化的接合点，才能真正体现数学史的教育价值，而不至于想数学史和数学相关性很低的情况了。
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致谢
本文是在万正苏老师的悉心指导下完成的, 从论文的选题到成稿，都离不开万老师的帮助与指教，在此对万老师表示衷心的感谢！
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第三篇：数学史的教育价值
数学史的教育价值
——以伟大数学家祖冲之为例
摘要：通过数学史学习，可以使数学系的学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养，文科或其它专业的学生通过数学史的学习可以了解数学概貌，获得数理方面的修养。而历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。本文将以中国历史上最伟大的数学家祖冲之为例探讨数学史的教育价值。
关键字：数学史
教育价值
祖冲之
伟大 1.数学史概述
数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。
数学史既属史学领域，又属数学科学领域，因此，数学史研究既要遵循史学规律，又要遵循数理科学的规律。根据这一特点，可以将数理分析作为数学史研究的特殊的辅助手段，在缺乏史料或史料真伪莫辨的情况下，站在现代数学的高度，对古代数学内容与方法进行数学原理分析，以达到正本清源、理论概括以及提出历史假说的目的。数理分析实际上是“古”与“今”间的一种联系。
中国数学有着悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就，其源远流长的以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展。由于各种复杂的原因，16世纪以后中国变为数学入超国，经历了漫长而艰难的发展历程才渐渐汇入现代数学的潮流。由于教育上的失误，致使接受现代数学文明熏陶的我们，往往数典忘祖，对祖国的传统科学一无所知。数学史可以使学生了解中国古代数学的辉煌成就，了解中国近代数学落后的原因，中国现代数学研究的现状以及与发达国家数学的差距，以激发学生的爱国热情，振兴民族科学。2.祖冲之
祖冲之是我国杰出的数学家、天文学家、文学家、地质学家、地理学家和科学家。南北朝时期人，汉族，字文远。生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县），为避战乱，祖冲之的祖父祖昌由河北迁至江南。祖昌曾任刘宋的“大匠卿”，掌管土木工程，祖冲之的父亲也在朝中做官。祖冲之在世界数学史上第一次将圆周率（π）值计算到小数点后七位，即3.1415926到3.1415927之间。他提出约率22／7和密率355／113，这一密率值是世界上最早提出的，比欧洲早一千多年，所以有人主张叫它“祖率”也就是圆周率的祖先。他将自己的数学研究成果汇集成一部著作，名为《缀术》，唐朝国学曾经将此书定为数学课本。他编制的《大明历》，第一次将“岁差”引进历法。提出在391年中设置144个闰月。推算出一回归年的长度为365.24281481日，误差只有50秒左右。3.从祖冲之看数学史教育价值
3.1
祖冲之在世界数学史上第一次将圆周率（π）值计算到小数点后七位，即3.1415926到3.1415927之间，而这个成就比欧洲同等成就足足领先了一千多年，求算圆周率的值是数学中一个非常重要也是非常困难的研究课题。中国古代许多数学家都致力于圆周率的计算，而公元5世纪祖冲之所取得的成就可以说是圆周率计算的一个跃进。祖冲之经过刻苦钻研，继承和发展了前辈科学家的优秀成果。他对于圆周率的研究，就是他对于我国乃至世界的一个突出贡献。祖冲之对圆周率数值的精确推算值，用他的名字被命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。这个成就让民族自豪感相当强烈的中国人可以骄傲的向世界宣告：我自豪我是中国人，几千年以前我们的祖先祖冲之就领先世界一千年了！这一成就不知道已经激励了多少代中国的数学爱好者，也正是因为这一成就不知道出现了多少著名的数学家。一直以来数学就被看作各种学科中最麻烦、最枯燥的课程，如果没有这样的精神动力在支撑我们一代一代的学生，我想能坚持到最后的数学家可能会更少。感谢祖冲之，他为后代的数学家竖起了一座永远不倒的丰碑！
3.2 在推算圆周率时，祖冲之付出了不知多少辛勤的劳动。如果从正六边形算起，算到24576边时，就要把同一运算程序反复进行十二次，而且每一运算程序又包括加减乘除和开方等十多个步骤。我们现在用纸笔算盘来进行这样的计算，也是极其吃力的。当时祖冲之进行这样繁难的计算，只能用筹码（小竹棍）来逐步推演。如果头脑不是十分冷静精细，没有坚韧不拔的毅力，是绝对不会成功的。祖冲之顽强刻苦的研究精神，是很值得推崇的。要作出这样精密的计算，是一项极为细致而艰巨的脑力劳动。我们知道，在祖冲之那个时代，算盘还未出现，人们普遍使用的计算工具叫算筹，它是一根根几寸长的方形或扁形的小棍子，有竹、木、铁、玉等各种材料制成。通过对算筹的不同摆法，来表示各种数目，叫做筹算法。如果计算数字的位数越多，所需要摆放的面积就越大。用算筹来计算不象用笔，笔算可以留在纸上，而筹算每计算完一次就得重新摆动以进行新的计算；只能用笔记下计算结果，而无法得到较为直观的图形与算式。因此只要一有差错，比如算筹被碰偏了或者计算中出现了错误，就只能从头开始。要求得祖冲之圆周率的数值，就需要对九位有效数字的小数进行加、减、乘、除和开方运算等十多个步骤的计算，而每个步骤都要反复进行十几次，开方运算有50次，最后计算出的数字达到小数点后十六、七位。今天，即使用算盘和纸笔来完成这些计算，也不是一件轻而易举的事。让我们想一想，在一千五百多年前的南朝时代，一位中年人在昏暗的油灯下，手中不停地算呀、记呀，还要经常地重新摆放数以万计的算筹，这是一件多么艰辛的事情，而且还需要日复一日地重复这种状态，一个人要是没有极大的毅力，是绝对完不成这项工作的。一千多年之后的我们有这样舒适的学习环境，有这样好的学习条件，如果把当时祖冲之的计算量放在现在的计算机上可能只是几秒的时间，而我们伟大的祖先却不知道用了多少个日日夜夜。既然我们已经有如此好的条件和环境，我们就没有理由不像前人那样刻苦努力，哪怕只是祖冲之当时辛苦的千分之一，我想若干年后的我们也不会是一般人。
3.3 看过祖冲之简介之后我们不难看到他不仅仅是伟大的数学家，在天文、历法、机械等方面他也是相当有成就。在祖冲之之前，人们使用的历法是天文学家何承天编制的《元嘉历》。祖冲之经过多年的观测和推算，发现《元嘉历》存在很大的差误。于是祖冲之着手制定新的历法，宋孝武帝大明六年（公元462年）他编制成了《大明历》。他设计制造过水碓磨、铜制机件传动的指南车、千里船、定时器等等。此外，他在音律、文学、考据方面也有造诣，他精通音律，擅长下棋，还写有小说《述异记》。是历史上少有的博学多才的人物。我们在惊叹他博学的同时也不禁发现：历史伟大的人物往往都不仅仅是在一方面成就显著，他们很多都是各个方面的天才和领跑者。这就告诉我们现在的学生，机械专业的在学习自己本专业知识的同时也应该看看如数学等专业的书；数学专业的当你对于书本上那些烦杂的公式头疼的时候或许看看其他方向书籍对你有很好的帮助。
3.4 祖冲之出生在南北朝时期的南朝，当时由于南朝社会比较安定，农业和手工业都有显著的进步，经济和文化得到了迅速发展，从而也推动了科学的前进。因此，在这一段时期内，南朝出现了一些很有成就的科学家，祖冲之就是其中最杰出的人物之一。俗话说环境造就英雄，当时的历史环境造就了我们伟大的祖冲之，我们现在的社会呢？社会安定，经济飞速发展，我们拥有优越的学习和工作环境，正是造就英雄的另一个黄金时期，如果能看到机会能把握住机会，也许你就是下一个祖冲之，也会像他一样永留史册。
3.5 祖冲之之所以有如此伟大的成就，还有个很重要的原因就是他善于学习，善于研究前人的经验，对于古代科学家刘歆、张衡、阚泽、刘徽、刘洪等人的著述都作了深入的研究，充分吸取其中一切有用的东西对他计算圆周率有相当重要的帮助。其实任何一种东西的出现和研究都是这样，都是站在巨人的肩膀上去取得更大的成就，哪怕只是一点点改变和改进也是重大的成就，不要怪别人投机取巧，不要怪自己没有机会，先问问自己你学习了吗？前人的东西你都了解了吗？如果没有，请不要抱怨。4.数学史的教育意义
当我们学习过数学史后，自然会有这样的感觉：数学的发展并不合逻辑，或者说，数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。我们今日中学所学的数学内容基本上属于17世纪微积分学以前的初等数学知识，而大学数学系学习的大部分内容则是17、18世纪的高等数学。这些数学教材业已经过千锤百炼，是在科学性与教育要求相结合的原则指导下经过反复编写的，是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，这样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素，因此仅凭数学教材的学习，难以获得数学的原貌和全景，同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法，而弥补这方面不足的最好途径就是通过数学史的学习。
中国数学有着悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就，其源远流长的以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展。由于各种复杂的原因，16世纪以后中国变为数学入超国，经历了漫长而艰难的发展历程才渐渐汇入现代数学的潮流。由于教育上的失误，致使接受现代数学文明熏陶的我们，往往数典忘祖，对祖国的传统科学一无所知。数学史可以使学生了解中国古代数学的辉煌成就，了解中国近代数学落后的原因，中国现代数学研究的现状以及与发达国家数学的差距，以激发学生的爱国热情，振兴民族科学。
在一般人看来，数学是一门枯燥无味的学科，因而很多人视其为畏途，从某种程度上说，这是由于我们的数学教科书教授的往往是一些僵化的、一成不变的数学内容，如果在数学教学中渗透数学史内容而让数学活起来，这样便可以激发学生的学习兴趣，也有助于学生对数学概念、方法和原理的理解与认识的深化。科学史是一门文理交叉学科，从今天的教育现状来看，文科与理科的鸿沟导致我们的教育所培养的人才已经越来越不能适应当今自然科学与社会科学高度渗透的现代化社会，正是由于科学史的学科交叉性才可显示其在沟通文理科方面的作用。通过数学史学习，可以使数学系的学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养，文科或其它专业的学生通过数学史的学习可以了解数学概貌，获得数理方面的修养。而历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用！
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第四篇：数学史的教育价值
数学史的教育价值
1.引言
数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展及其与社会政治、经济和文化一般联系的一门学科。1972年，在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics, 简称HPM)，它标志着数学史与数学教育关系作为一个学术研究领域的出现。
2001年7月《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》出台，其第四部分的“课程实施”中，每个学段的“教材编写建议”都有“介绍有关的数学背景知识”，要求在数学教育中凸显数学史的文化价值，突出数学史特殊的地位和作用。教育部近年来颁布的《普通高中数学课程标准》中指出：“高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对数学文化的学习要求，设立数学史选讲等专题。”可见对数学史与数学文化在数学教学中的作用是很重视的。
纵观中小学数学教材，数学史彰显的魅力无处不在，它们或以数学故事引入，或以数学活动置入，或以趣味习题插入，以各种方式出现在每种版本的数学教材之中。在数学教学中穿插数学史知识，渗透数学史内容，营造数学史的文化意境，让学生感知数学美，发现数学美，能开阔学生的视野，树立学好数学的信心。
老师们往往特意在原先常规的教学设计中,加一点数学史的知识,介绍一些数学概念产生的背景材料，以期彰显数学文化价值，这也是每个数学老师应担负的重要责任。
数学教育目的是让学生理解和掌握课程中的数学概念、数学方法和数学思想。本文探讨基于学生已有的知识经验和生活经验，在数学史视角下的教学课堂凸显数学文化的价值的意义,选取了三个层面研究：理解数学知识本质，掌握数学思想方法，提高数学教学效果。
2.数学史促进学生理解数学知识本质 建构主义学习理论告诉我们,学生只有利用已有的知识重新组合,来理解现在的新知识,才能达到最深刻的主体建构,才能真正地理解。教师只有把课本的内容放到历史的背景上考察,才能求得自己的理解,然后,才有可能帮助学生理解。数学史可以提供各种数学历史背景,让学生理解数学的原始思考,来龙去脉,获得真正的理解。
数学是以概念为起点,以公理、定理为依托,用各种思维方法总结出来的一个学科体系。一个概念只有在与其历史背景联系时,才能容易被人所理解、所接受。在当前的数学教学中,往往局限于一个概念、一个定理、一种思想的局部历史的介绍,缺乏宏观的历史进程的综合性描述。实际上,用宏观的数学史进程,可以更深刻地揭示数学的含义。
数学史是关于数学发展的历史，它揭示了数学知识的来源和背景，涵盖了大量的数学知识的发现和认识；数学史给学生提供了数学学科的纵向和横向的联系，从纵向看可以追溯到数学理论和概念的来龙去脉；从横向看可以将各种数学概念的关系进行有机的整合。
中学教学教材由于受“编排”、“教材特点”等限制, 虽有一定系统性, 但不可能把知识来龙去脉叙述得十分清楚细致, 我们可以运用数学史上人类认识自然的过程, 在教材知识主干上纵横延伸串联, 使知识脉络更加清晰, 形成科学系统, 这样便于学生对知识深刻理解、记忆。
数学史不仅能够促进学生加深对主要数学知识本身的理解,认识其文化价值,体会到数学发明创造过程中的火热思考,培养学生的数学思维能力,而且通过数学史的学习,能够让学生了解到数学发展的历史长河,把握数学发展的整体概貌,从而能够站在历史发展的长河之岸,鸟瞰所学知识在数学发展过程中的地位、作用,从整体上加以认识和把握,组织起结构良好的知识网络。历史可以提供整个课程的概貌,不仅是课程的内容互相联系,而且使它们跟数学思想的主干也联系起来。在传统的数学教学中,由于学生缺乏数学史知识,虽然学了许多知识,但却不知所学知识有何用,不知所学知识在数学学科中的历史地位和作用,这是遗憾的,也是不应该的。数学家庞加莱指出:“如果我们想要遇见数学的未来,适当的途径是学习这门学科的历史和现状。”
数学史可以提供各种数学问题的历史背景,让学生理解数学的原始思考和来龙去脉,以获得真正的理解,也能把握数学发展的整体概貌,组织起结构良好的知识网络,使学生再不会感到数学课学到的彼此没有关系的数学片 段。
现代数学的体系犹如“茂密繁盛的森林”，使人“站在外面窥不见它的全貌，深入内部又可能陷身迷津”，数学史的作用就是指引方向的“路标”，给人以启迪和明鉴。数学知识过于“冰冷的美丽”（弗赖灯塔尔语）的背后，有着数学家艰难求索的足迹，再现数学知识的来龙去脉，还数学以本质，还知识以原貌，还结论以原点，可以帮助学生了解数学发展的基本轨迹，触摸数学发展的蜿蜒曲折，加深对数学史的文化理解。
中国古代数学表现出非常强烈的算法精神，例如：《九章算术》。而古希腊数学表现出很强的逻辑推理思想，例如：欧几里得的《几何原本》。为什么会产生这些现象呢？因为不同的文化孕育出不同的数学，文化可以影响人们的思想和思维习惯，所以才造成中国古代和古希腊的不同风格的数学产生。作为数学教师，应该仔细品位数学史的文化内涵，充分挖掘中国古代数学的算法精神和古希腊的演绎精神，在课程教学中让学生能够吸取中西数学文化的精华。
例如，在小学数学课程中，就大多数小学生而言，数学与其他学科相比确实是比较抽象、枯燥乏味的，如果用历史回顾和历史轶事点缀，学生的学习兴趣就会大大增加。
当教学四年级上册“数的产生”时，这样导入：同学们，你们一定都知道阿拉伯数字为1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，而你们知道这些数是如何产生的吗？这些抽象的数是从人们长期的记数实践中产生的，至于它的记法，又是经过漫长的历史演变的。最早可能是手指记数，当指头不敷运用时，就出现了石子记数等。但记数的石子很难长久保存信息，于是又有结绳记数和刻痕记数。又经历了数万年的发展，直到距今大约五千多年前，终于出现了书写记数以及相应的记数系统。你们知道“阿拉伯数字”的由来吗？3世纪时，印度人发明了一种特殊的数字。后来，这种印度数字传到了阿拉伯。12世纪时，阿拉伯商人又把印度数字带到了欧洲，欧洲人称他们为“阿拉伯数字”。慢慢地，阿拉伯数字成为一种世界通用的数字。听完后，同学们顿悟：噢！原来阿拉伯数字不是阿拉伯人发明的。这样教学，既能活跃课堂气氛，还能激发学生学习数学的兴趣。通过教学中数学史的不断渗透,不仅可以让学生了解关于数学发展的一些知识,还能丰富学生对数学的整体认知。
又如，在人教版初中数学二年级下册勾股定理的教学中,一般勾股定理 的教案,都喜欢用发现法,即用一连串的实验单,从边长为3、4、5 的直角三角形开始,逐步地发现勾股定理。
勾股定理最好的教学设计,是运用数学史实加以展开。首先是建造金字塔的古埃及,没有勾股定理的记载,然后是古巴比仑泥版上发现了勾股数,中国的陈子、商高的勾三股四弦五,古希腊的毕达哥拉斯的结论及证明的记载,中国赵爽的代数方法巧证。这些史实,展现人类文明的特征。然后联系到今天的寻找外星人是使用勾股定理的图案,2002年北京数学家大会采用赵爽证明作为会标, 以及作为勾股定理不能推广到高次的费马大定理的解决,一幅幅绚丽的历史画卷,将会使得学习者赏心悦目, 受到深刻的文化感染。由此对数学文明产生一种敬畏和感恩之心,并从而了解数学、热爱数学。
3.数学史促进学生掌握数学思想方法
数学史中存在着大量的思想方法，通过这些思想方法，我们能够看到数学产生的过程，使学生感受活生生的数学发现。数学史作为数学思想的发展史，其中蕴含了丰富的思想方法。
数学学习要使学生形成一定的数学思想方法，这已经是大家公认的事实。因为数学中最本质、最精彩、最有价值的就是数学思想方法，它们比数学知识更为重要、更加有用，对人的成长更有影响。因此，在数学教学中，要善于挖掘其中的数学思想方法，并在课堂教学中进行渗透、领悟，并最终培养学生的创新精神和创造能力。
下面介绍常见的数学思想方法以及数学史融入其中的的教学案例。观察法是人们对周围世界客观事物和现象在其自然条件下，按照客观事物本身存在的实际情况，研究和确定它们的性质和关系，从而获取经验材料的一种方法。数学史中存在着很多运用观察法发现规律的思想方法。
实验法是人们根据研究的需要，有时要借助专门仪器工具，人为地变革、控制研究对象，在有利条件下获取经验材料的方法。有很多人认为数学家似乎不会总是用到这种方法吧，难道数学史能够给予我们很多实验法的文化价值吗？其实，实验法在数学史中的思想方法中也占有很高的地位。
归纳法—是指通过对特殊的、具体的事物的分析、认识、研究，从而导出一般性结论的方法。数学史中可以找到大量数学家运用归纳法的影子，数学归纳法中所含的递推思想可以在古希腊时代找到远源，在中世纪犹太数学 文献中则可以找到较为明确的应用。最先明确而清晰地阐述并使用了数学归纳法的是法国数学家帕斯卡，他在1645年写出著作《论算术三角形》中，用数学归纳法证明了所谓的“帕斯卡三角形”的三个命题。
数学归纳法是一种重要的思想方法，它包括完全归纳法和不完全归纳法。其中研究了某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物的一般性结论的，称之完全归纳法；通过对某类事物中的部分对象的研究，概括出关于该类事物的一般性结论的，称之不完全归纳法。应用不完全归纳法得出的一般性结论，未必正确，应用完全归纳法推出的一般性结论，则必定正确。不完全归纳法的可靠性虽不是很大，但它在科学研究中有着重要作用，许多数学猜想(如哥德巴赫猜想)都来源于不完全归纳法。实际上，数学中许多著名定理、公式、都是先用不完全归纳法从经验中概括出一般结论，然后再经过严格的数学推导，给予证明。例如：著名的“四色定理”是1840年提出的猜想，1976年借助于计算机给出证明；著名的哥德巴赫猜想的真实性至今尚未给出证明。
类比推理是根据两个或两类对象在某些性质上相似，推断出它们在另外的性质上也相似的一种逻辑推理。著名数学家拉普拉斯说：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”数学家们运用类比方法去猜想和进行数学发现的例子很多，比如欧拉经常运用类比推理解决很多数学难题；费尔马经常运用类比提出很多问题，难怪有人叫他问题大师。数学家们运用类比的思想方法，给予了我们很多启示，我们在中学数学中就可以经常运用类比的思想进行教学；比如，在教学中就可以进行“数”与“形”的类比；平面与空间的类比；有限与无限的类比；高维与低维的类比；甚至还有解题方法的类比„„这些多种多样的类比有助于培养学生的创新精神。
最后说说数形结合思想。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
数形结合的思想起源比较早，在毕达哥拉斯时期，就有早期的数形结合意识；我国古代数学家刘徽在《海岛算经》一书中就把全部九个几何问题，都用代数的形式来表示；自从笛卡儿创立了解析几何以后，数形结合思想的运用更是达到了高潮，尤其是通过图象显示的几何意义来解题的思想日渐被后人所重视；我国著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少 数时少入微，数形结合千般好，数形分离万事休。”
在当今的中学数学课程中，处处可见数形结合的影子，作为数学教师应该十分重视数形结合的思想方法的运用，要培养学生运用数形结合进行解决问题的能力。在解决问题的过程中，尤其要培养学生通过图象显示的几何意义来解题的能力，因为通过图象显示的几何意义来解题不仅能够给解题带来捷径，而且还能够锻炼学生的观察能力和融会贯通的能力。
先看一个观察法的例子。在三角函数图象与性质教学中，三角函数的图象和性质高一学生最容易感到混淆。因为他们涉及三角函数的三种变换：振幅变换、周期变换、平移变换。
充分运用观察法，我们可以让学生观察每一组图象的定义域、值域、周期、单调区间及其再观察每一组图象相互之间的关系、特点，然后进行小组讨论、交流；最后，再让学生总结振幅变换、周期变换、平移变换的一般特点，从而逐步加深对函数图象的初等变换的认识。
实验法也是数学家研究数学的一种重要方法，数学家可以通过这种实验法来发现数学中的一些必然性与偶然性的一些联系，这种方法看起来也具有直观的特点，一般人很容易理解这种方法；在数学教学中，一定要重视实验法的运用。
中学概率教学中，如果能叫学生模仿数学家的投币实验，不仅能让学生体会到概率和频率之间的关系，加深对概率的理解，而且能使学生意识到必然性和偶然性之间的联系，从而得到了辨证思维能力的提升。
在八年级中心对称和平形四边形中的旋转中，若不借助于计算机与实际操作实验，学生则很难想象一些结论是怎样产生的。“数学实验”使学生从“听”数学的学习方式，改变成在教师的指导下“做”数学，对那些持怀疑态度的问题可以在实验中得以确认。通过对数学史中的实验法的了解，学生会很容易接受这种方法，而且容易掌握这种方法的运用。
再来看看数学归纳法。在高考考纲中就明确要求了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题。数学归纳法是高中数学中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法，数学归纳法这一方法，贯通了高中数学的几大知识点：不等式，数列，三角函数，平面几何等。通过对它的学习，能起到以下几方面的作用：提高学生的逻辑思维、推理能力；培养学生辩证思维素质，全面提高学生数学能力；培养学生科学探索的创新精神，提高学生综合素质。由于数学归纳法需要学生初步形成“观察一归纳一猜想一证明”的思维方法，不仅需要学生发现结论，而且还需要他们能够证明结论。
因此，让学生适当了解数学归纳法的产生历史，则可以使学生加深对这种方法的理解，从而更好的掌握这种方法。
来看看类比思想的例子。高一立体几何中有这样一个问题：“求证正四面体A一BCD内的任意一点P到各个面的距离之和等于常数。”有很多高中学生觉得这道题很难。
其实我们只要运用类比的思想，将它与平面几何的一个问题:“求证等边三角形内的任意一点P到三角形的三边的距离之和等于常数。”进行类比，由于平面几何中的这个命题是采用“面积法”证明出来的，这个立体几何问题则可运用类似的方法采用“体积法”，于是问题可以马上得到解决的办法。
最后介绍数形结合的例子。在北师大版教材小学数学四年级下册图形的规律中，教师引导学生通过观察图形找到数学规律，建立起与代数知识的联系，从而转化问题的解决策略，归纳出一类题型的解题方法。
通过这个典型例题学生不仅看到数形结合可以给解题带来捷径，而且可以发现运用图象显示的几何意义来解题，可以显示出数形结合的巨大威力；通过做此类问题，学生不仅能够得到观察能力与形数结合能力的培养，而且可以学会融会贯通的处理问题的能力，从而得到了思维品质的提升。数形结合思想是数学历史留给我们的宝贵精神遗产，作为教师应该充分的将数形结合的这种思想运用到自己的课程教学中。
4.数学史促进教师提高课堂教学效果
首先，活跃课堂气氛，激发学生的求知欲和创造欲。课堂教学中渗透一些相关的数学史知识，可以激发学生的好奇心，使学生更好地领会所学知识，调动学生学习的积极性。
其次，感受前人严谨态度，增强自我探索精神。数学是人类文明的重要组成部分，是人类智慧的结晶，数学的历史像一条大河几乎贯穿了人类的整个文明史，它时而波涛汹涌，时而风平浪静。数学今天的繁荣昌盛是千百年来无数数学先驱前仆后继，辛勤耕耘的结果。数学先贤们的严谨态度值得我们学习，他们的献身精神值得我们景仰，他们的经验教训值得我们去借鉴，许多数学家孜孜不倦、锲而不舍地追求真理的精神值得我们去感动。
再次，了解祖国传统数学，培养学生爱国情怀。数学是璀璨夺目的中国古代文化的重要组成部分，古代伟大的数学贡献不仅是当今进行爱国注意教育的绝佳材料，而且古代数学家实事求是，敢于坚持真理、勇于攀登高峰的高尚品德，也可以激励后人振兴中华，为实现中华民族伟大复兴而奋斗的自强精神。
举个例子，在讲质数这一内容的时候，由于质数过于抽象，学生不太好理解，积极性受到一定的挫折。教师给他们讲起了“哥德巴赫猜想”———“每一个大于2的偶数都是两个素数的和”，历代数学家都试探过，但直到250多年后的今天，还没有人能完全证明这个猜想。这时部分学生已经开始拿起纸笔“埋头苦干”了。继续说道：“如果把数学比作一个王国的话，数论就是国王头上的皇冠，而‘哥德巴赫猜想’就是这顶皇冠上最璀璨的明珠！”当说完这句话的时候，学生的热情空前高涨，每个人都摩拳擦掌，跃跃欲试。虽然最后谁也没能完全证明这个猜想是对的，但学生对质数的态度却有了明显的改观。这样的教学,不仅学生留下了深刻的印象，又提高了教学效率。
再比如，在四年级上册的“数学广角”中，例2让学生学习“如何合理安排”。在教学过程中，告诉学生这就是著名的“统筹方法”，它是我国著名数学家华罗庚提出的。同学们恍然大悟。一会儿有的学生疑惑：华罗庚到底是怎样的一个人物？于是讲述了华罗庚的故事：华罗庚是一个传奇式的人物，是一个自学成才的数学家。他在十八岁那年不幸罹患伤寒，卧床达半年之久，后来病虽痊愈，但左腿却残疾了。左腿残疾后，走路时左腿要先画一个大圆圈，右腿再迈上一小步。华罗庚幽默地戏称这是“圆与切线的运动”。他的誓言是：“我要用健全的头脑，代替不健全的双腿！”学生们听完后无不惊叹！再继续讲述，在数学史上，这样的的数学家还有许多，他们崇高的理想、顽强的意志、为真理献身的精神及高尚的道德情操，是我们应该继承的宝贵遗产。
还举个例子，当教完圆周率后，讲述这样的历史：在2000年前，中国的古代数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的说法，意思是说圆的周长是直径的3倍；约1500 年前，中国有一位伟大的数学家和天文学家祖冲之，他计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值的计算精确到7位小数的人。他的这项伟大成就比国外数学家得出这 样精确数值的时间，至少要早一千年。类似这样的例子在教学中讲一讲，能使学生深深感受到我国历史的悠久和古代人民的智慧，产生民族自豪感，更激起学生对数学的热爱。
5.小结
本文通过选取三个层面，阐释了数学史的教育价值：促进学生理解数学知识本质，促进学生掌握数学思想方法，促进教师提高课堂教学效果。我查阅了很多相关课题研究的资料，从中汲取到了许多有用的思想观点，以及大量的数学史例证。本文阐述观点与列举例证结合，比较系统的研究了数学史的教育价值中的重要层面。
参考文献
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第五篇：数学史的教育价值
随着新课程在全国的推进，数学史教育受到广大的中小学数学教师的重视。数学史是反映数学文化的历史，数学史教育体现数学的文化价值。当前正在我国推进的基础教育改革十分重视这一点，采取了一系列措施，加强数学史和数学文化的教育。
新课标要求培养学生正确的数学观和数学价值观，特别要了解数学文化价值。学生只有了解数学的价值，才能自觉学习数学。数学史能帮助学生了解数学的文化价值，这对学生今后的发展是终身受用的。那么从数学史的视角来看，数学史教育应该渗透哪些文化价值呢？中国科学院我国著名数学史专家李文林在作数学史与数学教育的录音谈话中说到：我们应从五个角度去挖掘数学史的文化价值，首先，数学为人类提供精密思维的模式；其次，数学是其他科学的工具和语言；其三，数学是推动生产发展、影响人类物质生活方式的杠杆；其四，数学是人类思想革命的有力武器；最后，数学是促进艺术发展的文化激素。另外他还谈到一个信息：重视数学史与数学文化在数学教学中的作用，实际上可以说是一种国际现象。若干年前，美国数学协会(MAA)下属的数学教育委员会曾发出题为《呼唤变革：关于数学教师的数学修养》的建议书，其中呼吁所有未来的中小学教师注意培养自身对各种文化在数学思想的成长与发展过程中所作的贡献有一定的鉴赏能力；对来自各种不同文化的个人在古代、近代和当代数学论题的发展上所作的贡献有所研究，并对中小学数学中主要概念的历史发展有所认识。
从以上材料我们可以看出，数学史教育中渗透文化价值成了数学史教育的一项重任，数学史与数学文化的结合应该是必要的，而且几乎是必然的。对于今后的中小学数学史教学，我们应该将数学文化尽可能地结合数学课程的内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用，同时也反映社会发展对数学发展的促进作用。使学生通过数学文化的学习，了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律；了解人类从数学的角度认识客观世界的过程；发展求知、求实、勇于探索的情感和态度；体会数学的系统性、严密性、应用的广泛性，了解数学真理的相对性；提高学习数学的兴趣。
浅析数学史的教育价值
看到新教材丰富多彩的数学内容，认为这是中学数学教育的一大盛事，也是当前学生的一大幸事，尤其系列3中《数学史选讲》专题的开设更值得我们教师去重视，去思考，去运用。
《数学史选讲》的内容包括九讲：“
1、早期的算术与几何；
2、古希腊数学；
3、中国古代数学瑰宝；
4、平面解析几何的产生；
5、微积分的产生；
6、近代数学两巨星——欧拉与高斯；
7、千古谜题——伽罗瓦的解答；
8、对无限的深入思考——康托的集合论；
9、中国现代数学的发展”。它以其深刻浑厚的内容、生动流畅的描述和扣人心弦的数学家故事呈
现出数学发展历程的坎坷与艰辛，成功与愉悦。这无疑是既弥补了中学数学课程上的空白，也增进了学生对数学的理解。
数学史在数学教育中的价值一直就是国际数学教育研究的一个热点问题。例如，在1997年专门成立的一个国际组织——数学史与数学教学关系国际研究小组，简称HPM。它隶属于国际数学教育委员会，专门推动数学史在教育上的应用工作，1998年4月，由国际数学教育委员会（ICMZ）发起，HPM主办的“数学史在数学教育中的作用”国际研讨会在法国召开，会议内容是探讨数学史和数学教育的关系。现行的《普通高中数学课程标准》中也提到：“教材可以在适当的地方介绍一些有关数学家的故事、数学趣闻与数学史料，使学生了解数学知识的产生与发展首先源于人类生活的需要，激发学生学习数学的兴趣”。这些都反映了数学史在教育教学工作的运用中具有重要意义。有鉴于此，以下将从数学史的弥补价值、素养价值、激励价值和教学价值等方面做出总结分析，希望能促进我们重视数学史，运用数学史。
一、《数学史选讲》弥补了中学课程上的空白，丰富了中学数学教育的内容。纵观几十年来的中学数学教材，涉及数学史的内容很少，也比较零碎，真正能够成为专题并安排到学生的课程上来的，就只有新课程开设的《数学史选讲》。在过去很长的时期里，我们的中学数学教育已基本上形成了重知识的双基教学和能力培养，轻知识的素养教育和情感熏陶；重形式体系和逻辑推理，轻人文意义和算理算法的惯性，这也就造成了不少学生能求解千奇百怪的数学难题（仅仅是“习题”，而不是“问题”），而不了解最基本的道理，能记住种种解题的模式，却忘掉了数学的本和源，读完中小学的12年后，留给他们的数学仅仅是加减乘除，开方乘方而已。当问到陈省身是谁？有的学生反而问：“他是不是一个大款？还是一个歌星？黑客？”而有些学生对希腊的几何大师——欧几里得、数学之神——阿基米德；德国的数学王子——高斯，数学巨星——希尔伯特；身残志坚的瑞士数学英雄——欧拉，甚至连我国古代的著名数学家祖冲之、刘徽等都不知道，这不能不说是我们中学数学教育的一大缺陷。新课程开设的《数学史选讲》专题，它将弥补了数学课程上的空白，为学生构建一个了解数学的产生和发展历程的平台，也给学生提供了了解若干重要数学事件、数学人物和数学成果的机会。
二、数学史知识具有提高学生数学素养的价值。
正如哲学家培根所说的“读史使人明智”，学生学习一些数学史知识，可以较好地了解数学的发展轨迹，更好地体会数学概念所反映的思想方法，感受数学家们刻苦钻研，勇于开拓和锲而不舍的精神，这对开阔视野、启发思维以及学习和掌握数学知识大有益处。
第一，能够提高学生对数学问题的解决技能，数学史提供了解决类似问题的多种途径，不同算法和多种策略，促进学生形成思考多种解题方法并给予合理评价的能力；第二，能让学生奠定深刻理解数学问题的基础和意识，数学史知识能使教学主题容易被学生接受，也能指明特定思想和程序产生的由来，为深刻地理解数学概念做好了铺垫；第三，有助于学生认
识和建立丰富多样的数学联系，包括不同数学知识之间的联系，数学及其应用之间的联系，数学与其他学科之间的联系，而这些联系承载着不同的时代，超越了不同的文化，也跨越了不同的领域；第四，能够让学生明确数学与社会的相互作用，数学与社会的作用是互动的，一方面，不同文化的规范和实践影响了数学，社会实践是数学发展的动力，生活实践是数学的真正源泉，另一方面，数学也影响了人们思考问题和改造世界的方式。
总而言之，数学史在提高学生数学素养上有它独特的魅力。它有助于学生培养严谨、朴实的科学态度和勤奋、自强的工作态度，逐步形成理智、自律的人格特征和宽容、谦恭的人文精神。
三、中国数学史能够激发学生为祖国现代数学的振兴而读书的学习热情。
中国是一个具有五千年悠久历史的文明古国，涌现了刘徽、祖冲之、赵爽、秦九韶、杨辉等一批数学名家，创造了许许多多灿烂辉煌的数学成就。例如，较为著名的数学著作《周髀算经》、《九章算术》和《算经十书》；数学历史名题“韩信点兵问题”、“鸡免同笼问题”和“百钱买百鸡问题”。从考古中发现，在殷代遗留下来的甲骨文字中，自然数的记法已毫无例外地用着十进位值制，说明了我国最早创用了十进位值制。我们的祖先还最早发现了负数，首创了代数学，在16世纪之前，除了阿拉伯某些数学著作外，代数学的发展都是由中国推动的。
四、数学史料在课堂教学的合理运用，能够激发学生的学习兴趣，有助于学生树立勇攀科学高峰的信心。
课堂是教师发挥教学主导作用的主阵地，也是学生获得大量知识的主要空间。在数学教学过程中，合理地运用数学史知识，可以丰富教学内容，增加教学的生动性，趣味性和思想性；提高学生掌握知识的深刻性，积极性和应用性，培养学生开拓创新，追求真理的高尚品质。因此，作为数学知识的传播者，教师不仅要教会学生解题和应用，还要懂得古为今用，取精用弘，灵活地把数学史的文化内涵，文化价值应用于课堂教学。
例如，在教学正四棱台的体积公式时，我们可以从这个公式在距今四千年前就被古埃及人所掌握，到现今仍旧巍然耸立的古埃及金字塔，从公元前约1850年的一册古埃及数学课本所记录的正四棱台体积问题的成功证明，到我国数学名著《九章算术》也给出的正四棱台的体积公式V＝［(2b + d)a +(2d + b)c］做一下简单的介绍。这样将能改变数学课堂的枯燥和单调，使教学的内容丰满、多姿。
又如，在学习复数知识时，我们可以简单地描述：最初遇到这种数的人是法国的舒开；第一个认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的“怪杰”，三次方程解法的获得者之一的卡丹；差不多过了100年，笛卡儿又给这种“虚幻之数”取了一个名字叫“虚数”，与“实数”形成相对；又过了约140年，大数学家欧拉用i来表示它的单位；德国数学家高斯首先提出复数这个名词，而挪威的测量学家末塞尔找到了复数的几何表示法；从18世纪起，以欧拉为首的一些数学家就开始发展了一门新的数学分支叫复数函数论，大家都学过函数，但在中学里，函数自变量的取值范围仅限于实数，如果把函数自变量z和取值范围扩大到复数，那么这种函数就叫做复变函数，即复变函数w = f(z)，其中z ,w都是复数。19世纪以后，由于柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯等数学家的巨大贡献，复数取得了飞跃的发展，并且广泛应用到空气动力学、流体力学、理论物理学等方面。把这种“虚幻之数”第一次应用到工程部门并取得重大成就的是俄国的“航空之父”——儒可夫斯基。他研究了围绕和流过障碍物的不断运动着的气流分子，成功地解决了空气动力学的主要问题，创立了以空气动力学为基础的机翼升降原理，并找到了计算飞机翼型的方法，儒可夫斯基翼型是依赖于有名的儒可夫斯基变换，这是一个广分式线性的复变函数w =(z +),其中z为自变量，w为函数，a是一个常数。这一切的成就，都是依赖于那个前人感到不可捉摸的“虚幻之数”，以及由它延伸出来的复变函数论。
［7］
当学习椭圆知识时则可以把数学史料融入其中设计出如下问题，引导学生带着疑问和乐趣走进数学课堂。
问题1 古希腊有一个音乐厅，它的甲等座位并不在靠近乐队和演唱的地方，而是在一个特定的地点，这个特定的地点就是椭圆的一个焦点，而发声处则是另一个焦点，因此，甲等座位收听到的声音最大的效果也是最好的，这是为什么？
问题2 据说，当年西西里岛的统治者曾经设计了一座岩洞监狱，被关在里面的犯人每次密谋越狱和暴动，所有的计划均被看守者知晓，囚徒之间互相猜疑、指责，却始终也找不到告密者，这座监狱是一个名叫刁尼秀斯的官员设计的，它的形状就像一个耳朵，所以称为“刁尼秀斯之耳”，这只耳朵也的确具备了听声的功能，囚徒们议论的轻微的声音都会被山洞口的看守者听到，这些奥秘在哪儿呢？
这两个问题既可以让学生初步接触椭圆知识及其聚焦效应功能，也可以调动学生的学习积极性。
除了以上介绍的几个例子，中学数学的内容都有与其相关的一些数学史料，例如，回归直线方程与高斯的“最小二乘法”；正多面体与欧拉公式；赌徒梅累与概率论的产生；解析几何与笛卡儿的坐标系等等，如果教师能把数学史与课堂教学巧妙地结合，那就能给数学的教学带来新的活力，改变以算为主，以练为辅的传统数学课堂形式，既增加了学生对数学的认识和对数学发展历程的了解，也激发了学生的学习兴趣，激励学生为探索大自然的奥秘而不懈努力的斗志。
数学史源远流长，内容丰富多彩，它将逐渐受到人们的重视，新课程开设了数学史，也将使它的教育价值更加突出。重视数学史，灵活运用数学史于数学教育，这将是我们中学数学教师的一项重要的工作内容
数学史在数学教育中的重要性
杨淑芬
数学课程在中小学里成为最不受欢迎、最枯燥乏味、最没有成就感的科目，早已是司空见惯的事，即使是大学数学系的学生，也经常是愈念愈不知所学理论究竟从何而来？又该从何而去？使数学不为学生所排斥，成为学生所喜爱的科目之一，相信是所有关心数学教育者心中企盼能达成的目标。
然而，要使大部分学生对数学产生兴趣，让学生去感受数学在人类文化上所发挥的功用，经历一些创造数学的乐趣，乃是达到此一目的的方法之一。就数学作为文化产物的观点而言，自然而然引发出数学史在数学教育上的重要性;即使从鼓励学生经历数学的创造过程来看，数学的概念发展历史在数学教育上，同样有着极其珍贵的应用价值。国际数学教育界近二十年来对数学史的逐渐重视，并成立有专门的研究小组，以及近几年来有关这方面的论文、会议、期刊的出现，即足以说明数学教育中应用数学史的这一趋势，正方兴未艾地进行着。
事实上这样的作法，可以追朔到Felix-Klein的时候。在1945年出版，为中学教师所撰写的《初等数学》(Elementary Mathematics)中，Klein就经常从历史发展的角度来引入一个新概念。而采取这种历史取向(historical approach)的原因，则出自于个体发展与历史发展相似的想法上。例如 Klein即谈到:
从数学教学的观点来看，我们当然应该避免使学生过早接触这样抽象困难的事物。为了对我这个看法作更详细的说明，我很乐意提出生物遗传定律(Biogenetic Fundamental Law)。
根据此定律，个体的发展会缩短其阶段地经历种族的所有发展阶段。这样的想法已经成为每一个一般文化的重要部份。现在，我认为在数学中的教育，如同其它科目的教育，都应该依循此一定律，至少一般而言是如此(Klein1945，p.268)。
不只Klein有这样的想法，Henri Poincar´e更早在1908年出版的《科学与方法》(Science and Method)中透露了同样的理念:
动物学家认为:动物胚胎的发育，在短暂的期间内经过其祖先演化过程的一切地质时代，而重演其历史。看来思维的发展亦复如此。教育工作者的任务，就是要使儿童思想的发展，踏过前人的足迹，迅速地走过某些阶段，但毫不遗漏，由于这个缘故，科学史理应成为我们的第一向导(Poincar´e，1946，p.437)。
而极为关心数学教育的数学家George Polya，也写过“数学教学与生物发生律”一文，并相信这个生物定律能引发许多极为有用的研究。
当然，大师们的想法不一定完全正确，生物学上的重演说也随着遗传基因的发现而被修正，并随着科学研究器材的进步而趋于末落，但这至少给了我们一个启发:透过数学概念的历史发展，我们能够了解多少学生的想法、犯错的原因、困难阻碍发生的地方？如果我们比较一下Jean Piaget的发生认识论与数学得历史发展，将会发现这两者有某种程度的相似性是可能的(注一)。换句话说，我们有透过概念的历史发展以了解学生的想法得可能。这对以所有学生为数学教学的对象、冀望从学生的角度去帮助学生作思考的九O年代数学教育(注二)，无疑地有着极大的应用价值。
如同前面曾经提过，数学史在数学教育上的价值，除了借以了解学生的想法之外，在环保意识高涨的今日，强调科学与数学的人文面向更为重要。因为除非觉醒到科学与数学不是必然将人类带往幸福之路、不是万能之神，而是人类的创造，同时人类的文化也将随科学与数学的发展而有所不同，否则是无法掌握人类周遭的生活环境往更好的方向发展的。在这种情况底下，教育出对科学与数学具有人文关怀的下一代，成了所有相关的教育学者们的责任了。而这样的考虑，同时也有增进学生对数学产生兴趣的副作用。
因此，1972年在英国Exeter举行的第二届国际数学教育会议(ICME)(注三)，即由于意识到数学教育必需在数学课程中为历史寻求定位，而选出了70个会员成立一个“Exeter工作小组”讨论历史与数学的关联。他们认为数学史可以显示出数学是一种人类活动的结果，而不是一开始便是如此型态的结构，并能对数学与我们的社会、文化 以及和其它各种不同学科之间的关系，提供更多的认识。既然国际数学教育会议如此公开强调数学史的重要，则各方对此加以反应是可以预期的了。1974年，英国就有两个数学教师的会议，针对如何在数学教学中使用数学史而设计。一个是4月8-11日数学学会在Surrey的Royal Holloway学院所举行的“数学史与数学教学之关联”工作小组会议;讨论了在介绍射影、非欧几何，以及微积分的课程时，如何有效利用数学史.另一个是4月16-20日数学教师协会在Nottingham的Clifton教育学院举行的“数学史中的个案研究”讨论会，从数学史的角度对教学方法、课程表的编排、解题，以及一些数学主题如数目的概念起源、度量与分数、无限大与无限小量等，进行个案的研究讨论，他们认为数学史在教学进展中，可以作为“人性化”的一个推动力。
而在1976年，NCTM(注四)出版的第31本年书中，美国的Philip S.Jones则发表了“为教学工具的数学史”一文，他肯定历史可以给与学生额外的抚慰与信心:像 Descartes发现负数时尚称它们是“错误的”，而且还避免使用负数;Gauss认为”无限是可怕的”;Euler错误地写下一些发散级数的和等等。这些故事抚慰我们说，即使是伟大的人物在面对今天我们感到相当完整清楚的概念时，也曾经同样地遇到困难。Jones强调，把数学史用在教学上，目的并不是在展现数学史本身，而是在透过这些历史材料背景以达到理解数学、接近数学、并获得学习的自信心上，提供具体的方法。由于从历史资源中，我们可以了解到数学与哲学宗教社会经济甚至知识上的好期有关，例如Leibniz基于对宗教哲学的兴趣和对知识的好奇，建立了二进位运算系统，在现代电脑发展上扮演着一个关键性的角色;非欧几何源于对《几何原本》第五公设的好奇问题而起。却在后来相对论上有了应用。这一类例子可以让学生了解到，数学并非如想像中那样，是一成不变的，任何表面上看起来没有立即实用价值的好奇，都有可能成为日后数学或其它科学的重要基础。基于这样的认识，所以Jones认为在数学教育中，仅注重逻辑形式是不够的，直观、归纳、类比，以及好奇、灵感与信心的重要性，绝不亚于逻辑;而对概念发展历史的洞察，则能提供有关的丰富材料，在课程的安排、概念的教导、刺激学生的兴趣等方面，都将有所贡献。
“Exeter工作小组”在1976年第三届ICME会议中，就发表了他们的一些研究成果。B.Hughes从历史的角度来看证明的产生，由于Proclus曾在《几何原本第一卷注解》(Commentary on the First Book ofthe Elements)中多次提到，分析方法使希腊数学家发现了许多定理与它们的证明。所谓分析的方法，是从结论到所给条件的过程的演绎讨论;而综合证明则是反其道而行。如此看来，他认为介绍证明给学生，最适合的教学方法即是分析。另外J.Nicolsm则发表了由他所主持的一项数学史的教学计划及评
估;G.Flegg谈到数学史在数学教学中扮演着诱导的重要角色，数学是文化整合的结果忽略其历史，将使学生对数学是什么的概念不够完整等等。
当西方国家肯定此一潮流的价值，并积极展开研究探讨之际，东方国家也开始有人注意到这个情形。香港中文大学数学系萧文强博士1976年9月份的《抖擞》中就发表
了“数学发展史给我们的启发”一文。文中他谈到，从数学发展史来看，数学由生产实践而来。古文明的数学着重在“怎么做”，到了西元前六世纪的希腊数学，才开始讨论“为什么这样做”，因而在教学中应该多留心实际的例子让学生体会到这一点。不过在课堂上，数学教师经常忽略了数学与生活的关系以为学习数学目的只在于训练学生的思考能力，因此要强调逻辑的严谨。然而从历史上来看，“严谨性”并非一成不变的，今天的严谨在明天可能只是一粗浅的说明。数学虽然是一门逻辑性很强的学科，但单是逻辑并不能导致新的发展，也不能决定数学的内容，从数学发展史来看，做数学很多时候是凭直观经验臆测的，十八世纪Euler在无穷级数上的成就就是个很好的例子。由此看来，数学教师有数学史的修养，对数学有正确的认识而不在将之视为逻辑推理，是极为重要的;否则，我们就只能期望拥有一群只会证明而没有创造的新一代”数学家”了!数学教育界对数学史的重视，到了第四届ICME会议显得更为热络，在1983年出版的会议记录中，就出现了八篇这一类的论文。例如Bruce E.Meserve即认为数学的历史演变，是帮助学生了解数学及其应用的绝佳材料与资源。他举了一些例子。早期埃及人在面对“如何造一正方形使其面积为原来的两倍”此一问题时，是利用原正方形的对角线为新正方形的边长来回答。我们可以利用折纸来说明，也可以用毕氏定理;但这并不表示埃及人能回答此
一问题即是由于他们已经熟悉了毕氏定理。利用分配律展开(a+b)2得到a^2+2ab+b^2，利用图形的说明同样可以获得相同的结果。这种几何表现不仅明显易懂，也使学生了解到几何与代数之间的关联。这些例子使我们了解到，一个我们习惯用现代数学来解决的问题，不一定仅有这种唯一的解法，历史不只一次地告诉我们，曾经有人用更直接具体易懂的方法解决相同的问题。透过历史，我们可以寻找出一个更适合学生的说明方式。Meserve还指出，数学史在引起学生的“需要”情境上也有贡献，一个简单的例子即无穷级数1−1+1−1+1−1+...，在历史上曾经有许多数学家利用不同的方法得到和为0，1，−1，2，1/2等答案;在这种情形下学生就能体会，对无穷级数的进一步探讨与分类显然是迫切需要了。
而Leo Rogers则谈到，历史中前人累积下来的经验，在教学上是值得借镜的。当我们在面对过去的数学史时，必需了解现代的数学根基于过去，而过去也是现在数学严谨性的基础，我们不能用现代的标准否定了过去的数学成就。从此角度来看，教导学生数学的严谨性必需是循序渐进的，我们实不应该过早要求学生表现数学的严密而丧失了感受数学趣味的机会。又如Hans Neils Jahnke以十八世纪末十九世纪初，数与量的概念开始比以往更有系统性的区别为例，来说明数学史对数学教育的贡献。十九世纪在科学与在社会中同样都有重要且深层的改变。就科学而言，被数学化了的经验科学理论逐渐迈出力学，并向其它领域伸出触角，如热的解析、电学等理论，因而使得科学家、哲学家对于数学进入经验物理世界的情形感到疑惑，他们怀疑数学有可能使经验世界更加复杂。这使得当时许多数学家如Lagrange和Monge有好几年不作数学。这一方面是由于整个十
八世纪认为数学的实体就是一些“量”的概念，因而假设了整个经验物理世界的内容是“类量的”(quantity-like)之后，也就同时假设了对现实世界作数学分析的可行性。但是在科学逐步向热力学、电学等能量问题研究讨论之时，数学是否能再如往昔般对科学作出伟大贡献，自然要受到怀疑了。不过这同时也让数学家尝试去定义量以及数学的本质。于是到了十八世纪末十九世纪初，数学家便发展出新的数学定义，把数学看作是一种讨论连结关系(relation)的理论。人们进而相信，能将实体世界或科学世界数学化的先决条件，是事物之间有某种关系存在，而不是事物本身。这样的关系理论并不需要预先假设有量数学史在数学教育中的重要性的概念，数学家放弃了数学为“量的理论”的想法，进而使关系理论成为数学的核心;在这种架构下，函数成为数学研究的重心。据此，如果有人在初等教育中，将集合论、函数等讨论关系的理论作为教导学生数学概念的基础，并以为在数学上最发达最基层的概念，对学生而言也是最简单的，那么，从历史的发展来看，这是完全错误的，Jahn ke认为我们应该以历史为师，先发展量的概念、强调度量的问题，从算术数量之间与函数等的紧密关联着手，进一步认识到关系理论是数学概念了解的核心，才是正确妥当之途。
除了ICME这个组织的大力呼吁之外，国际上也有其它的会议、研究组织以及研究论文关心此一主题。1982年4月15日，NCTM在加拿大多伦多所举行第60届年会，ISGHPM(注五)即在数学史与数学教育之关联这一主题上安排了一个讨论会，并发表了五篇论文。此外，ISGHPM还继续在1983年NCTM于底特律举行的年会中，就此主题再一次讨论如何在教学中发展历史材料等问题。
我们另一方面也可以在国际性的数学史杂志Historia Mathematica中感受到这样的趋势。此杂志设有“教育”一栏，刊登有关数学史课程计划、数学教育中历史的应用以及数学教师会议的一些历史研究活动。例如1984年以色列的A.Arcavi和Bruck-heimer在“为老师准备的数学史材料的发展与评价”，即谈到其Weizmann科学机构的科学教育部门，正在为职前与在职老师发展有关于中学数学课程的数学史教材;MarciaAscher的“非西方文化的数学概念”，提醒我们注意到数学在不同的人类文化生活中所扮演的不同角色，将有助于扩展学生对数学的认识。如1987年8月在日本举行的国际数学之历史与教育研讨会，有来自美国、巴西、法国、印度、中国大陆、韩国等14位学者与
日本境内60位学者参与。与会学者除了对数学史作学术上的演讲之外，还有第四部份“数学史与数学教育”的讨论，包括了MasamiIsoda的“在数学化的学习过程中利用数学
史”(Using History of Mathematics forMathematization in the Learning Pro-cess)等七篇论文。1988年7月份在挪威举行的数学史工作小组会议，更将整个重点放在如何展现透过历史材料的应用以改进数学教学上面，根据Historia Mathematica所刊的与会学者与论文名称，包括有美国的Frank Swetz、Abe Shenitzer，以及香港的萧文强等22位学者所发表的30篇文章，显现了此一主题讨论的盛况(注六)。
综合上述我们不难理解，1984年于澳大利亚举行的ICME国际会议，会以连续四个讨论会向教育学者们介绍此一理念。第一个讨论会是由George Booker所主持，并 提出在教室中使用数学史的建议大纲，以及在澳大利亚使用过的一些例子和反应。会中认为:学生会发展那些令他们感兴趣的数学问题，因此应把焦点集中在数学的思考过程上，而非数学家们想法的结果。第二个讨论会则由以色列的Rina Hershowiz和法国的Amy Dahan所带领，探讨能为教师及资赋优异学生所使用的数学史，借助历史将
6数学传播十六卷三期民81年9月数学理论与数学发现联结起来。在这种论点确定之后，讨论的重点即应集中在数学史的哪些东西可以达到这个目的。因此第三个讨论会即由Dahan，C.Borowcyz及义大利的Lucia Greuquetti提出适合于中学生的历史材料。他们认为所谓的“历史取向”或“发现取向”(discovery approach)的教学方法，即强调数学学习应是一种建构性的步骤，而非仅是数学的发现结果。这种建构性的引导可使学生对概念更加清楚，因此数学史进入数学教学中是有其价值的。第四个讨论会则
由美国的Florence Fasanelli为主席，探讨艺术(art)与数学历史之间的相互作用。1991年6月份的数学教育期刊《Forthe Learning of Mathematics》，由JohnFauvel编辑了一册讨论数学教育中数学史应用的专刊，更可以看出这种结合历史与教学的作法，已经获得数学教育界的普遍重视。数学的历史之所以能应用在数学教育上，除了数学史在数学教育关注到文化层面上有绝对的助益(注七)，或是其它人所认为可以提高学生对学习数学的兴趣之外，数学史也在数学教育理论的研究上发挥了作用。在ICMI的分支机构--国际数学教育心理学研究小组(PME)--的研究报告《数学与认知》(Mathematics and Cognition)一书里，认为研究的任务在于发掘教师与学生内在不同的数学认识，以及两者之间的鸿沟应该如何去除，使学习者能从某一旧观点转变到另一新观点。他们认为数学的学习应该采建构的方式，而数学概念算法与证明的发展过程，则是与此种建构方式平行的: 从数学知识发展中个体与历史过程的交互研究，我们可以获得许多益处。
对过去数学家所曾遭受过的阻碍之研究，帮助我们解释今日学生所犯的错误;反过来，研究学生的错误困难与不当的概念化，则有助于我们对数学史的了解(Nesher & Kilpatrick，1990，p.16)。
透过这样的想法，数学史在数学教育上有了导引的作用，成为数学教育理论研究的起点与方针。在同一本书中Cardyn Kieran的“代数学习的认知过程”(Cognitive Processes Involved in Learning School Algebra)，或是NCTM于1989年出版的《代数之学习与教学》，都出现了藉由代数的发展历史以区别学生对代数的认知程度的情形。如Kieran将代数的认知过程分为三个阶段:(1)文辞代数阶段(rhetorical stage)，即Diophantos(A.D.250)之前，主要特征是使用一般的语言叙述一些特殊问题的解决法，缺乏对“未知数”的符号或特殊记号的使用。
(2)简字代数(syncopated algebra)，从Diophantos用缩写来表示未知量，到16世纪末。(3)符号代数(symbolic algebra)，由Vieta使用字母来替代给定量开始。这时候表达一般的解法成为可能，代数的使用被作为是证明支配数字关系之规则的一种工具。
数学史在数学教育中的重要性Gerard Vergnaud也谈到:
今日数学所呈现的结构性与叙述性的面貌，是历史长久发展的结果。学生总是会经历相同的主要概念上的困难，而且它们也必须克服那些数学家所曾经遭遇过的、同样的认识上的阻碍。(Nesher & Kilpatrick eds.，1990，p.97)。
这些事实，正足以说明了数学概念的发展历史在数学教育研究上有着广泛而深刻的影响与助益。
在国际数学教育界满缢着数学史的气氛之下，反观国内的数学教育界对这样的认识仍显得极为缺乏，须要有更多的人对这样的趋势加以了解，并多方研究国外已有的成果以为参考，发展出一套从中国的数学出发且融合西方数学、适合国人的数学教育方式，相信是今后国内数学教育中一块值得努力耕耘的沃土!注解:
数学史教育不可忽视文化价值的渗透
随着新课程在全国的推进，数学史教育正日益受到广大的中小学数学教师的重视。但是我们发现大多数数学教师在进行数学史教育中，仍然停留在激发学生兴趣、人文价值方面，很少涉及渗透文化价值方面的知识。这实际上忽视了数学史教育的一个重要作用，即数学史是反映数学文化的历史，数学史教育应体现数学的文化价值。当前正在我国推进的基础教育改革十分重视这一点，采取了一系列措施，其中包括加强数学史和数学文化的教育。教育部新近审定颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》(简称《标准》)前言部分“
二、课程的基本理念”第8条“体现数学的文化价值”，其中指出：数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求，设立“数学史选讲”等专题。
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