线段的垂直平分线教案

第一篇：线段的垂直平分线教案

线段的垂直平分线教案

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m线段的垂直平分线

教学内容:

线段的垂直平分线

教学目的:、使学生理解线段的垂直平分线的性质定理及逆定理,掌握这两个定理的关系并会用这两个定理解决有关几何问题。

2、了解线段垂直平分线的轨迹问题。

3、结合教学内容培养学生的动作思维、形象思维和抽象思维能力。

教学重点:

线段的垂直平分线性质定理及逆定理的引入证明及运用。

教学难点:

线段的垂直平分线性质定理及逆定理的关系。

教学关键:、垂直平分线上所有的点和线段两端点的距离相等。

2、到线段两端点的距离相等的所有点都在这条线段的垂直平分线上。

教具:投影仪及投影胶片。

教学过程:

一、提问、角平分线的性质定理及逆定理是什么?

2、怎样做一条线段的垂直平分线?

二、新课、请同学们在课堂练习本上做线段AB的垂直平分线EF。

2、在EF上任取一点P,连结PA、PB量出PA=?,PB=?引导学生观察这两个值有什么关系?

通过学生的观察、分析得出结果PA=PB,再取一点P'试一试仍然有P'A=P'B,引导学生猜想EF上的所有点和点A、点B的距离都相等,再请同学把这一结论叙述成命题。

定理:线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等。

这个命题,是我们通过作图、观察、猜想得到的,还得在理论上加以证明是真命题才能做为定理。

已知:如图,直线EF⊥AB,垂足为c,且Ac=cB,点P在EF上

求证:PA=PB

如何证明PA=PB学生分析得出只要证RTΔPcA≌RTΔPcB

证明:∵Pc⊥AB

∴∠PcA=∠PcB

在ΔPcA和ΔPcB中

∴ΔPcA≌ΔPcB

即:PA=PB。

反过来,如果PA=PB,P1A=P1B,点P,P1在什么线上?

过P,P1做直线EF交AB于c,可证明ΔPAP1≌PBP1

∴EF是等腰三角型ΔPAB的顶角平分线

∴EF是AB的垂直平分线

∴P,P1在AB的垂直平分线上,于是得出上述定理的逆定理。

逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

根据上述定理和逆定理可以知道:直线mN可以看作和两点A、B的距离相等的所有点的集合。

线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

三、举例

例:已知,如图ΔABc中,边AB,Bc的垂直平分线相交于点P,求证:PA=PB=Pc。

证明:∵点P在线段AB的垂直平分线上

∴PA=PB

同理PB=Pc

∴PA=PB=Pc

由例题PA=Pc知点P在Ac的垂直平分线上,所以三角形三边的垂直平分线交于一点P,这点到三个顶点的距离相等。

四、小结

正确的运用这两个定理的关键是区别它们的条件与结论,加强证明前的分析,找出证明的途径。定理的作用是可证明两条线段相等或点在线段的垂直平分线上。

五、练习与作业

练习:第87页1、2

作业:第95页2、3、4

《教案设计说明》

线段的垂直平分线的性质定理及逆定理,都是几何中的重要定理,也是一条重要轨迹。在几何证明、计算、作图中都有重要应用。我讲授这节课是线段垂直平分线的第一节课,主要完成定理的引出、证明和初步的运用。

在设计教案时,我结合教材内容,对如何导入新课,引出定理以及证明进行了探索。在导入新课这一环节上我先让学生做一条线段AB的垂直平分线EF,在EF上取一点P,让学生量出PA、PB的长度,引导学生观察、讨论每个人量得的这两个长度之间有什么关系:得到什么结论?学生回答:PA=PB。然后再让学生取一点试一试,这两个长度也相等,由此引导学生猜想到线段垂直平分线的性质定理。在这一过程中让学生主动积极的参与到教学中来,使学生通过作图、观察、量一量再得出结论。从而把知识的形成过程转化为学生亲自参与、发现、探索的过程。在教学时,引导学生分析性质定理的题设与结论,画图写出已知、求证,通过分析由学生得出证明性质定理的方法,这个过程既是探索过程也是调动学生动脑思考的过程,只有学生动脑思考了,才能真正理解线段垂直平分线的性质定理,以及证明方法。在此基础上再提出如果有两点到线段的两端点的距离相等,这样的点应在什么样的直线上?由条件得出这样的点在线段的垂直平分线上,从而引出性质定理的逆定理,由上述两个定理使学生再进一步知道线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离的所有点的集合。这样可以帮助学生认识理论于实践又服务于实践的道理,也能提高他们学习的积极性,加深对所学知识的理解。在讲解例题时引导学生用所学的线段垂直平分线的性质定理以及逆定理来证,避免用三角形全等来证。最后总结点P是三角形三边垂直平分线的交点,这个点到三个顶点的距离相等。为了使学生当堂掌握两个定理的灵活运用,让学生做87页的两个练习,以达到巩固知识的目的。

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第二篇：线段的垂直平分线教案一

线段的垂直平分线

教学目标(一)教学知识点

1．经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．

2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．(二)思维训练要求

1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． 2．体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． 3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．(三)情感与价值观要求

1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点

1．能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论． 2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 教学难点

写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题． 教学方法

探索——交流——合作法 教具准备 多媒体演示 教学过程

Ⅰ．创设现实情境，引入新课 教师用多媒体演示：

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？

其中“到两个仓库的距离相等”三次闪烁，强调这几个字在题中有很重要的作用． [生]码头应建在线段AB的垂直平分线与在A，B一侧的河岸边的交点上．

[师]你为什么要这样做呢？

[生]我们在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．

[师]这位同学分析得很详细，我们曾利用折纸的方法得到：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．你能用公理或学过的定理证明这一结论吗？

教师演示线段垂直平分线的性质：

定理

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 同时，教师板演本节的题目： §1．3．1 线段的垂直平分线(一)Ⅱ．讲述新课

[师]我们从折纸的过程中得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它．现在就请同学们自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程．遇到困难，请同学们大胆提出来，我会给你启示．

[生]我有一个问题，要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？何况不可能呢．

[师]谁有办法来解决此问题呢？

[生]我觉得一个图形上每一点都具有某种性质，只需在图形上任取一点作代表．

[师]我觉得这位同学的做法很好．我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质． [师生共析] 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点．

求证：PA＝PB．

分析：要想证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等． 证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°． ∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)．

∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．

教师用多媒体完整演示证明过程．同时，用多媒体呈现： 想一想

你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？

[生]这个命题不是“如果„„那么„„”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果„„那么„„”的形式，逆命题就容易写出．

[师]谁来分析原命题的条件和结论呢？注意表述时要流畅，完整． [生]原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．

[师]有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来．

[生]如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等．

[师]谁能把它描述得更简捷？

[生]到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． [师]当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成． [生A]证法一：

已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上．

证明：过点P作已知线段AB的垂线PC．∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．

[生B]证法二：取AB的中点C，过PC作直线．

∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．

∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB． ∴P点在AB的垂直平分线上．

[生C]证法三：过P点作∠APB的角平分线．

∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°． ∴P点在线段AB的垂直平分线上．

[生D]证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC．

∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平分线上．

[生]前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂． [师]先请同学们看两个图．如图(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如图(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB．这说明一般情况下：过P作AB的垂直平分线“是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的．

[师]从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．

我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线．现在我们学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢？

教师多媒体演示： 做一做

用尺规作线段的垂直平分线．

[师]要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．

下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据． [师生共析] 已知：线段AB(如图)．

求作：线段AB的垂直平分线．

作法：1．分别以点A和B为圆心，以大于交于点C和D．

2．作直线CD．

直线CD就是线段AB的垂直平分线．

[师]根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线吗？请与同伴进行交流．

[生]从作法的第一步可知 AC＝BC，AD＝BD．

∴C、D都在AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)． ∴CD就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)．

[师]我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．

Ⅲ．随堂练习课本P25

1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点．如果EC＝7cm，那么ED＝________cm；如果∠ECD＝60°，那么∠EDC＝________．

1AB的长为半径作弧，两弧相2

解：∵AB是线段CD的垂直平分线，∴EC＝ED．又∵EC＝7cm，∴ED＝7cm．

∴∠EDC＝∠ECD＝60°．

2．已知直线l和l上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P． 已知：直线l和l上一点P．

求作：PC⊥l．

作法：1．以点P为圆心，以任意长为半径作弧，直线l相交于点A和B． 2．作线段AB的垂直平分线PC． 直线PC就是所求的垂线． Ⅳ．课时小结

本节课我们先推理证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并学会用尺规作线段的垂直平分线．

Ⅴ．课后作业习题1．6第1、3题 Ⅵ．活动与探究

(1)在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝40°，求∠NMB的大小；

(2)如果将(1)中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小．(3)你发现了什么样的规律？试证明之；

(4)将(1)中的∠A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改． [过程]由(1)、(2)不难认识到∠BMN的大小是∠A的一半，但也容易认为点M一定在BC的延长线上，通过(4)也就是让△ABC保持AB＝AC的前提下发生变化，认识就会更全面、更准确了．

[结果](1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB(等边对等角)． ∴∠B＝11(180°－∠A)＝×(180°－40°)＝70°． 22∵∠BNM＝90°，∴∠M＝90°－∠B＝90°－70°＝20°〔如图(1)〕．(2)如图(2)，同(1)求得∠BMN＝35°．(3)如图(3)，∠NMB的大小为∠A的一半． 证明：设∠A＝α．

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)． ∴∠B＝1(180°－α)． 211(180°－α)＝α，22∵∠BNM＝90°，∴∠BMN＝90°－∠B＝90°－即∠BMN等于顶角的一半．

(4)完整的叙述上述规律为：等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半．

板书设计

§1．3．1 线段的垂直平分线(一)

一、线段垂直平分线的性质定理．

二、线段垂直平分线的判定定理．

三、用尺规作线段的垂直平分线．

第三篇：线段的垂直平分线的性质教案

13．1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定

11．掌握线段垂直平分线的性质．(重点)

2．探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题．(难点)

一、情境导入

如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，你能帮测量人员计算BC的长吗？

二、合作探究

探究点一：线段垂直平分线的性质

【类型一】 应用线段垂直平分线的性质求线段的长

如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为()

A．5cm

B．10cm

C．15cm

D．17.5cm

解析：∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15cm.故选C.方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．

【类型二】 线段垂直平分线的性质与全等三角形的综合运用

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．

证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．

【类型三】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用

如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；

(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．

解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；

(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；

(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．

探究点二：线段垂直平分线的判定

如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．

解析：先利用角平分线的性质得出DE＝DF，再证△AED≌△AFD，易证AD垂直平分EF.解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，DE＝DF.在△ADE和△ADF中，∵∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.方法总结：当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化．

三、板书设计

线段的垂直平分线

1．线段的垂直平分线的作法．

2．线段的垂直平分线性质定理和逆定理．

3．三角形三边的垂直平分线交于一点．

本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高．

第四篇：线段垂直平分线教学反思

《线段的垂直平分线》教学反思

一、构建崭新的交互环境，师生互动性更强

本节课我采用了电子白板授课，改变了以往PPT课件授课模式，PPT课件的程序是预先设定好的，伴随着一步步的点击，投影出幻灯片，教师与学生的交互性很受局限。通过使用交互式电子白板，教师操作课件可以直接在触屏上进行，例如：在电子白板上演示用尺规作线段的垂直平分线等，避免了在讲台与黑板之间来回走动过程中分散学生注意力。白板教学环境下加强了集体共同参与的学习过程，师生之间的交流更直接，例如：探究新知2中方法的多样性可以让学生在电子白板上尽情的展示自己的方法，而不会出现黑板不够用的状况。电子白板的使用，可以真正实现人与人之间的交流，而不是人与课件之间的交流。同时，白板课件每个页面中的素材都可以根据学生的具体情况来灵活处理。

二、建立符合学生的认知结构

在进行创设情境中，我没有采用课本上的形式，而是改用七年级学习过的建水电站问题，即将水电站建在何处到在河同一侧的两个村庄的距离之和最短？在学生回忆并解决后将问题变为“建在何处到两个村庄的距离相等？”，这样的设计避免了死板的套入教学内容，不但符合学生的元认知结构，还可以极大的调动学生的学习积极性，使学生快速融入到教学之中，而且题目设计实现知识的纵向迁移，加深了学生对知识的理解、内化，形成自我知识体系，教学实践证明效果显著。

三、充分发挥教师在教学中的的主导性

在这一节中，所介绍的定理实际是在七年级曾经探索过的命题，如线段垂直平分线的性质定理，当时采用的方法是折纸法，作为探索活动的自然延续和必要发展，我们作为老师要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得出猜想，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学思想方法的强化和渗透，例如：归纳法、数形结合思想和分类讨论在教学中的应用。

四、创新性的使用教材

线段垂直平分线性质定理的证明，我没有直接采用课本中的方法，而是在教学设计时引入分类思想，从两个方面进行证明：(1)当点P在线段AB 上，即点P与垂足重合时，显然点P是线段的中点，因此有PA=PB；(2)当点P不在线段AB上，同教材中的证明，分两种情况考虑这个定理的证明。还有在逆定理的说理过程中，课本上没有给出证明，我也引入了分类思想，分两种情况证明：(1)如果点P满足PA=PB，且在线段AB上，那么，点P显然是线段AB的中点，而线段的中点自然在线段的垂直平分线上．(2)如果点P不在线段AB上，且满足PA=PB。让学生探究和展示方法，体现学生在学习中的主体地位，从而突破本节课的难点。

五、实际教学效果：

在实现教学活动中，学生有较好的参与意识 和求知欲望，同时能够跟随着老师的提问而不断的进行更深入的思考。在探究2的方法的多样性上，学生能积极探究，在电子白板上尽情展现自己的成果；在尺规作图上，学生能积极自主探究，并通过电子白板演示，提高学生动口、动手、动脑的综合能力。通过巩固达标训练，提高学生解决问题的能力，从而实现本节课的目标，教学效果良好。

《线段的垂直平分线》教学反思

古交十一中

秦 云 峰

2013年9月

第五篇：1.3 线段的垂直平分线教案(八年级下册)

1.3线段的垂直平分线（教案）

教学目标

(一)教学知识点

1．经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．

2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．(二)思维训练要求

1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． 2．体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． 3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．(三)情感与价值观要求

1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点

1．能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论． 2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．

教学难点 写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题并证明它． 教具准备 多媒体演示、直尺、圆规

教学过程

Ⅰ．创设现实情境，引入新课 教师用多媒体演示：

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应

建在什么位置？

[生]码头应建在线段AB的垂直平分线与在A，B一侧的河岸边的交点上．

[师]同学们认同他的看法吗？ [生]是的

[师]认为对的说说你的理由是什么呢？

[生]（回忆定理）我们以前曾学过线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．

[师]（边说边用折纸的方法再现定理）这位同学分析得很好，我们在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们曾经像这样利用折纸的方法得到“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”这一简单事实，但是用这种观察的方式是很难说服别人的，你能用公理或学过的定理来证明这一结论吗？

教师演示线段垂直平分线的性质：

定理

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． Ⅱ．讲述新课

[第一部分] 线段垂直平分线的性质定理

[师]我们从折纸的过程中得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是

１

不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它．那么如何证明呢？

[师]（引导）

问题一：①要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？

（强调）我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．（开始让学生有这样的数学思想）

②你能根据定理画图并写出已知和求证吗？ ③谁能帮老师分析一下证明思路？ [生]（思考回答）

[师生共析] 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点．

求证：PA＝PB．

分析：要想证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等． 证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°． ∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)．

∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．

[第二部分] 线段垂直平分线的判定定理

教师用多媒体完整演示证明过程．同时，用多媒体呈现： 想一想

你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ [师]（引导、并提问两学生）

问题二：①这个命题是否属于“如果„„那么„„”的形式？

②你能分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果„„那么„„”的形式吗？

③最后再把它的逆命题写出来 [生A]（思考分析）原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．

[师]有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来．

[生B]如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．

[师]很好，能否把它描述得更简捷呢？

[生B]到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． [师]good!当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们类比原命题自己独立写出已知、求证．

（给学生思考空间）

已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上．（分组讨论，鼓励学生多想证明方法，并派代表上黑板写写本组的证明过程）

２

[师]看学生的具体情况，做适当的引导

证法一：

证明：过点P作已知线段AB的垂线PC． ∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．

证法二：

证明：取AB的中点C，过PC作直线． ∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．

∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB． ∴P点在AB的垂直平分线上．

证法三：

证明：过P点作∠APB的角平分线． ∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．

又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

∴P点在线段AB的垂直平分线上

．

[师]先肯定学生的思考，再对证明过程严谨的小组加以表扬，不足的加以点评和纠正。

[师]从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．到现在我们已经学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，下面小试牛刀 教师多媒体演示：

P26随堂练习（抢答）：

如图：已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED=_____cm，如果∠ECD＝60°,那么∠EDC＝___°

３

（让学生说出理由）

[第三部分] 用尺规作线段垂直平分线

答对了上面的题，咱们来轻松一下，一起来欣赏一组美丽的数学图。

教师多媒体演示： 做一做

用尺规作线段的垂直平分线．

[师]（边演示图边讲讲作图有关的数学史）大家知道这些图是用什么工具作出来的吗？

（资料：古希腊以来，平面几何中的作图工具习惯上限用直尺和圆规两种.其中，直尺假定直而且长，但上面无任何刻度，圆规则假定其两腿足够长并能开闭自如.作图工具的这种限制，最先大概是恩诺皮德斯(Oenopides，约公元前465年)提出的，以后又经过柏拉图(Plato，公元前427—347)大力提倡.柏拉图非常重视数学，强调学习几何对训练逻辑思维能力的特殊作用，主张对作图工具要有限制，反对使用其他机械工具作图.之后，欧几里得(Euclid，约公元前330—275)又把它总结在《几何原本》一书中。于是，限用尺规进行作图就成为古希腊几何学的金科玉律。）

[师]其实同学们也能用圆规、直尺画出优美的图形，下面咱们就一起来学用尺规作线段的垂直平分线。

（分析：要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．）

类似于证明题要写出已知、求证和证明，作图题也要根据条件写出已知、求作和作法，下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．

[教师示范，请学生同时练习] 已知：线段AB(如图)．

求作：线段AB的垂直平分线．

1作法：1．分别以点A和B为圆心，以大于AB

2的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．

2．作直线CD．

直线CD就是线段AB的垂直平分线．

[师]根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线吗？请与同伴进行交流．

[生]从作法的第一步可知

４

AC＝BC，AD＝BD．

∴C、D都在AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)． ∴CD就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)．

[师]我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．

Ⅲ．随堂练习

解决引例（假如要把码头的具体位置准确的画出来，你会画了吗？）看时间是否允许，可让学生完成P27试一试，同桌之间相互检查批改，加深理解。

Ⅳ．课时小结

本节课我们先推理证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并学会用尺规作线段的垂直平分线．

Ⅴ．课后作业 第1、3题 Ⅵ．板书设计

1.3 线段的垂直平分线

一、线段垂直平分线的性质定理．

二、线段垂直平分线的判定定理．

三、用尺规作线段的垂直平分线．

５