10考研高等数学强化(第三章)全

第一篇：10考研高等数学强化(第三章)全

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09考研高等数学第三章

新东方考研高等数学电子教材

主讲：汪诚义

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教材说明：本教案是针对新东方在线使用的内部讲义，本讲义按章节提供。根据老师的意见，例题的解题步骤不给提供，在课件的板书上有显示，学员自己可以先做题目再听 老师的讲解效果会更好。

严禁翻印、在上网任意传播！

第三章

一元函数积分学

§3.1 不定积分

（甲）内容要点

一、基本概念与性质

1．原函数与不定积分的概念

设函数fx和Fx在区间I上有定义，若Fxfx在区间I上成立。则称Fx为fx在区间I的原函数，fx在区间I中的全体原函数成为fx在区间I的不定积分，记为fxdx。

原函数：

其中fxdxFxC

称为积分号，x称为积分变量，fx称为被积分函数，fxdx称为被积表达式。

2．不定积分的性质

设fxdxFxC，其中Fx为fx的一个原函数，C为任意常数。新东方在线 [www.xiexiebang.com] 网络课堂电子教材系列

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则（1）FxdxFxC或dFxFxC或d[F(x)C]F(x)C 

（2）fxdxfx或dfxdxfxdx

fxgxdxfxdxgxdx

（3）kfxdxkfxdx

（4）3．原函数的存在性

一个函数如果在某一点有导数，称为可导；一个函数有不定积分，称为可积。

原函数存在的条件：比连续要求低，连续一定有原函数，不连续有时也有原函数。可导要求比连续高。

exdx 这个不定积分一般称为积不出来，但它的积分存在，只是这个函数的积分不能用初等函数表示出来

设fx在区间I上连续，则fx在区间I上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如22sinxdxcosxdx，，sinxcosxdxx2dx，dx，，edx等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，xxlnx故这些不定积分均称为积不出来。

二、基本积分表（略）补充公式：

(1)(2)x(a0)arcsinC

aa2x2dxdx1x(a0)arctanC 22aaaxdx1ax(3)2(a0)ln||C

2aaxax2(4)secxdxln|secxtanx|C(5)cscxdxln|cscxcotx|C

(6)dxx2a2ln|xx2a2|C

三、换元积分法和分部积分法

1．第一换元积分法（凑微分法）

设

则

fuduFuC，又x可导，fxxdxfxdx

令uxfuduFuCFxC这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。

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1x21u1x2221uedueCeC 例：xedxed(x)ux2222x2口诀（30）第一换元经常用；微分方程要背熟。

2．第二换元积分法 例：(1)dxx1令xt262tdt t1(2)6t5dt令xt

32ttx3xdx（3）遇a2x2令xasint 假如令axt；xat；x222222a2t2；dx?（不行）

令xasint；a2a2sin2ta1sin2tacos2tacost

dxacostdt

；遇a2x2令xatant；遇x2a2令xasect

133311xx2dx(x)2()2(x)2；xtant

22422

设xt可导，且t0，若

则

fttdtGtC，fxdx令xtfttdtGtCG1xC

1其中tx为xt的反函数。

33口诀（31）第二换元去根号；规范模式可依靠。

111212x1dx2x1d(2x1)令2x1uudu..u2(2x1)2

22233

3．分部积分法

设ux，vx均有连续的导数，则

uxdvxuxvxvxdux或 uxvxdxuxvxuxvxdx

x例1：xedxxdexxexexdxxexexC

1x212x12x12x12x2edx2xe2xde2xe2xedx

口诀（32）分部积分难变易，弄清u,v是关键

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100x例2：xedx x1001x1011101lnxdxlnxdxlnxx101dlnx 101101101x1011x1011100lnxxdxlnxx101C 2101101101(101)

（1）Pnxeax，Pnxsinax，Pnxcosax情形，Pnx为n次多项式，a为常数。要进行n次分部积分法，每次均取e，sinax，cosax为vx；多项式部分为ux。ax

（2）Pnxlnx，Pnxarcsinx，Pnxarctanx情形，Pnx为n次多项式取Pnx为vx，而lnx，arcsinx，arctanx为ux，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。

（乙）典型例题

例1．求下列不定积分（测试题，限15分钟）

（1）dxx2e1x

1解：（1）原式ed()exC

x1x1（2）xlnxlnx1dx

23532(lnx1)dxd(xlnx)

2解：（2）原式(xlnx)d(xlnx)(xlnx)2C

5（3）lnxx215x12dx

1x21原式dxd[ln(xx215)

2ln(xx1)5d[ln(xx15)][ln(xx21)5]2C

3223 4 新东方在线 [www.xiexiebang.com] 网络课堂电子教材系列

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（4）xlnx1lnx2dx

lnx1lnx)dx 2xx1lnxlnxd(1)21xx解：原式dxC

lnx2lnx2lnx(1)(1)(1)xxxd(cos2xsinx（5）dx sinxcosx1cosxed(cosxesinx)sinxesinxcos2xesinx

(cos2xsin2x)esinx解：原式dx sinxsinxcosxe(1cosxe)ucosxesinxdu11|Cln||C []duln|sinx1uu(1u)uu11cosxe（6）sin2xa2cos2xb2sin2xdx

（b2a2常数）

d(a2cos2xb2sin2x)2a2cosxsinx2b2sinxcosx2sinxcosx(b2a2)sin2x(b2a2)

21d(a2cos2xb2sin2x)解：原式2b2a2ba2a2cos2xb2sin2x

例2．求下列不定积分

a2cos2xb2sin2xC

2x3xdx

（1）x94x

（2）xaxb2dx2

ab

（3）dx ab

x2a2x2b2x21dx

（4）4x

1解：

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3xx232dx

（1）xdx32x94x123d12

332xln1223112lnxC

2ln3ln2312xxx13x2x

lnxC x2ln3ln232

（2）xaxb2dx21ab2111dx xaxb112dx 22xbxaxbxa11211dx 3xaxbxaxbab2lnxaC xb2

ab21

ab2

2xabab2xaxbab3

（3）dx111dx 2222x2a2x2b2b2a2xaxb

11x1xarctanarctanC 22abbbaa1111dxxx211xx2xC

（4）4dxdx2arctan1x1221x2x2xx

例3．求 dxxx3 新东方在线 [www.xiexiebang.com] 网络课堂电子教材系列

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解：

dx66t5dtt3t3x3x令xt11t3t26t1dt6t1dt

6t2t11t1dt2t33t26t6lnt1C

2x33x66x6ln6x1C

例4．求1x24x2dx

解一：



14x2dxx2tant1x212dt 2dt4tan2t2cos2dxtcos2tcost

cost14x24sin2tdt4sintC4xC（这里已设x0）

解二：倒代换

1x24x2dx1dx

x314x2

1x3dx112dx2

原式=11d4144x282114x4x21C4xCx0 x2

例5．求arcsinx2dx

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解一：

xarcsinx2222arcsinxdxxarcsinxxdarcsinxxarcsinx2dx 21x2

=xarcsinx2arcsinxd1x

2

=xarcsinx21x22

=xarcsinx21xarcsinx221x2darcsinx

arcsinxdx



=xarcsinx21x2arcsinx2xC 2

解二：令arcsinxt，则xsint，222arcsinxdxtdsinttsint2tsintdt 22

=tsint2tdcosttsint2tcost2costdt 

=tsint2tcost2sintC

=xarcsinx21x2arcsinx2xC 22

例6．设fx的一个原函数Fxln2x

解：I

x21，求Ixfxdx

xdfxxfxfxdxxFxFxC

2xx12lnxx21ln2xx21C 

例7．设Fxfx，当x0时fxFxxex21x2，又F01，Fx0，求fxx0

2解：2fxFxdx2FxdFxFxC1 x11exdexex

而dxdxdx 2221x1x1x1xxexexexexex

dxdxC2 221x1x1x1xexC，Fx1x2

F01，8 新东方在线 [www.xiexiebang.com] 网络课堂电子教材系列

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C0，又Fx0，因此Fxee 1x1xxxxx2121xe1xe2xe2221x

则fxFx 31x21x2

例8．设fsinx2xx，求Ifxdx sinx1x

解一：令usinx，则sinx2u，xarcsinu，fuarcsinuu

则Iarcsinx1xdxarcsinx1xd1x2arcsinxd1x

11xdx

=21xarcsinx21x

=21xarcsinx2xC

解二：令xsint，则

则I

=2tcost2costdt2tcost2sintC

=21xarcsinx2xC 2x1xsint，dx2costsintdt，costsinttcostsint2sintcostdt2tdcost

§3.2 定积分和广义积分的概念与计算方法

（甲）内容要点

一、定积分的概念与性质

1．定积分的定义及其几何意义

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baf(x)dxlimd0f()x

i1iin

2．定积分的性质

中值定理，设fx在a,b上连续，则存在a,b使得

fxdxfba

ab1bfxdx为fx在a,b上的积分平均值。

定义：我们称baa

二、基本定理

1．变上限积分的函数

定理：设fx在a,b上连续，则Fxftdt在a,b上可导，且Fxfx推广形式，设

axFx2x1xftdt，1x，2x可导，fx连续，

则Fxf2x2xf1x1x

2．牛顿一莱布尼兹公式

设fx在a,b上可积，Fx为fx在a,b上任意一个原函数，则有

三、定积分的换元积分法和分部积分法

1．babfxdxFxFbFa

abafxdxfttdt（xt在,上有连续导数，单调，a，b）

bb

2．uxvxdxuxvxvxuxdx

aaab

四、广义积分

定积分

又fx在a,b上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或fxfxdx的积分区间a,b是有限区间，ab推广到无界函数就是两种不同类型的广义积分。

1．无穷区间上的广义积分

定义：afxdxlimfxdx

bab

若极限存在，则称广义积分afxdx是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分afxdx是发散的。而发散的广义积分没有值的概念。

fxdxlimfxdx

aabb

同样有收敛和发散的概念，收敛的广义积分有值的概念。

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fxdxfxdx1ccfxdxlimfxdxlimfxdx

aabccb0xdx，x0时无意义，称 x0为瑕点

2．无界函数的广义积分（瑕积分）

fx，则称b为fx的瑕点。

（1）设fx在a,b内连续，且limxb

定义limafxdx0abbfxdx

若极限存在，则称广义积分bafxdx收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分fxdx发散。

ab发散的广义积分没有值的概念。

fx，则称a为fx的瑕点

（1）设fx在a,b内连续，且limxa

定义bafxdxlim0bafxdx

若极限存在，则称广义积分fxdx收敛，且它的值就是极限值，ab若极限不存在，则称广义积分fxdx发散，它没有值。

ab1xdx2x

11x30dx

（3）设fx在a,c和c,b10a皆连续，且limfx，则称C为fx的瑕点定义

xcbafxdxfxdxfxdxlimaccbc1fxdxlim20bc2fxdx

（乙）典型例题 一、一般方法

例1．计算下列定积分

1e1

（1）1lnxdx1lnxdxlnxdxxlnxx1xlnxx21

11eeeee1e

（2）

（3）322min1,xdxdxxdxdx2112112311 311 22maxx,x2dxx2dxxdxx2dx201012 11 新东方在线 [www.xiexiebang.com] 网络课堂电子教材系列

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（4）201sin2xdx20sinxcosx2dx20sinxcosxdx

20sinxcosxdx24cosxsinxdxxcosxdxsin420

4

二、用特殊方法计算定积分

例1．计算下列定积分



（1）I2fsinx0fsinxfcosxdx（f为连续函数，fsinxfcosx0）

（2）I40ln1tanxdx



（3）I2dx01tanxa（a常数）（tanxa1）

（4）I4ln9x22ln9xlnx3dx

解：（1）令x2t，则sinxsin(2t)cost



I2fcots0fcotsfsintdt，

2I20dt2，I4

（2）令x4t，则

I＝0102ln1＋－tantd（－t）＝lndt, 41＋tant41＋tant

4ln2I，2I4ln2，I8ln2

（3）令x2t，则

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I0dttantat21cota201tantadt，

2I2101tantatanta1tantadt20dt2，I4

（4）令9xt3，则x39t，于是

I2lnt34lnt3ln9tdt4lnt32lnt3ln9tdt

因此，2I42dx2，则I1

例2．设连续函数fx满足fxlnxefxdxe1，求1fxdx

解：令e1fxdxA，则fxlnxA，两边从1到e进行积分，得

efee1xdx1lnxdx1Adxxlnxxe1Ae1

于是Aee1Ae1，eA1，A1e，则e1fxdx1e

例3．设fx连续，且xtf2xtdt102arctanx2，f11，求21fxdx

解：变上限积分的被积函数中出现上限变量必须先处理，令u2xt，则

xtf2xtdtx2xufudu2x2x2x02xxfuduxufuduu0

代入条件方程后，两边对x求导，得

22xxxfudu2x2f2xfx2xf2x2xfx1x即

22xxfudux1x4xfx

令x1代入，化简后得21fxdx34

三、递推方法



例1．设In20sinnxdx

n0,1,2,

（1）求证当n2时，In1nnIn2（2）求In

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sin2xdx12(1cos2x)dx

sin4xdx12(1cos2sin2x)dx12[1cos2(12(1cos2x)]dx sin3xdxsin2xd(cosx)(1cos2x)d(cosx)



解：（1）In1n1n20sinxdcosxsinxcosx220cosxdsinn1x

0

n122n2n20cosxsinxdxn1201sin2xsinxdx

n1In2n1In

nI1nn1In2，则InnnIn

2n2 I820sin8xdx

I78I7575375317531868.6I48.6.4I28.6.4.2I08.6.4.2.2 I66464264277I57.5I37.5.3I17.5.3



（2）I0220dx2，I10sinxdx1，当n2k正偶数时，I2k1nI2k2kI2k12k312k!2k22k2k22I02kk!222k!22kk!22

当n2k1正奇数时，I22nI2k2k1I2k2k222kk!22kk!2k12k12k12k13I12k1!2k1!

例2．设Jn20cosnxdx

n0,1,2,，求证JnIn n0,1,2,

证：令xt, J0nn2ncostdt2220sintdt

则 JnIn n0,1,2,



例3．设Kn40tan2nxdx n1,2,3,，求证 K1n2n1Kn

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

解：Kn40tan2n1xsecx1dx4tan2n1xdtanxKn1201Kn1 2n1

例4．计算Gnx1121dx（n为正整数）n

解一：令xcost

Gn1nsin2n1tdt122sinn2n1n2122n1n! tdt12I2n1n002n1!

解二：G111nx1nx1ndxn11x1ndx1n11

1nn1111nn1x1x11n11x11nx1n1dx

n1n1n21x1n1dx1n2

1nn!1n1n22n1x12ndx

1nn!22n11n22n12n1!x1112n1!n!2

四、广义积分

例1．计算Ixex01ex2dx

x

解：Ixex10ex12dxxde0ex12dxxd01ex1

x1ex100ex1dxI1I2

I1xlimxex1用洛必达法则xlim1ex0

Iex2exex1dx令exudu01uu1

11u1u1dulnuu11ln1ln12ln

215 新东方在线 [www.xiexiebang.com] 网络课堂电子教材系列

09考研高等数学第三章

（这里limlnuln10）于是 II1I2ln2

uu1dx例2．计算I（难度较大，可不看）

01x41注：可以化为最简分式的形式，41x1x412x2x42x2(1x2)2(2x)2(12xx2)(12xx2)

但这样做太繁，故用其它技巧

1dt220t1t

解：令x，Idt 401t4t11t0x2dx 1x

4由于 0dxx2dx 4401x1x11dx111x21x21x

 Idxdx2201x42021201x2x2xx1x1xarctan

lim 0222  1 222222§3.3 有关变上（下）限积分和积分证明题

一、有关变上（下）限积分

例1．设fxax0，求Ifxdx et2atdt（a常数）

0a

解：Ixfxa0a0xfxdxxeax2aax1dx

0a 16 新东方在线 [www.xiexiebang.com] 网络课堂电子教材系列

09考研高等数学第三章

a0xea2x2dx12a0ea2x2da2x2

1a2x2a1a2ee1

0225，对所有x0,，t0,，2t1

例2．设fx在0,内可导，f1

均有 xtxfudutfuduxfudu，求fx

11口诀（33）：变限积分双变量；先求偏导后求导。

解：把所给方程两边求x求导，tfxttfx求导，得fttftt1t5fudu 把 x1 代入，得tfttfudu 再两边对t125ft 25155于是ft，则ftlntC，令t1 代入得 Cf1，所以fxlnx1

2t22

2例3．设fx为连续函数，且满足

2x0 xftdt2tf2tdt2x3x1，求fx在0,2上的最大值与最小值。

x0

解：先从方程中求出fx，为此方程两边对x求导

2x02xx

xftdt2tf2tdtxftdt2tf2tdt 0x00

2x02ftdt2xf2x2xf2xftdt

02x

而2xx18x6x 33

因此2x0ftdt8x36x2

两边再对x求导，得

2f2x24x212x62x62x fx3x3x 2

 fx6x3，令fx0得驻点 x1 2

又在0,2上fx没有不可导点，比较f00，f123，f26可知fx 在0,2上最大值为431f26，最小值为f

42 17 新东方在线 [www.xiexiebang.com] 网络课堂电子教材系列

09考研高等数学第三章

tf(t)dt

例4．设f(x)在0,上连续，且f(x)0，证明g(x)在(0,)内单调增加 f(t)dt0x0x

证：当x0时，因为

g(x)xf(x)f(t)dtf(x)tf(t)dt00xxf(t)dt0x2f(x)(xt)f(t)dt0xf(t)dt0x20

g(x)在(0,)内单调增加



二、积分证明题

例1．设f(x)在0,上连续，0f(x)dx0，f(x)cosxdx0，求证存在

01(0,)，2(0,)，12，使f(1)f(2)0

证：令F(x)

又0x0f(t)dt，(0x)则F(0)0，F()0，00f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosxF(x)sinxdx

000

F(x)sinxdx

如果F(x)sinx在(0,)内恒为正，恒为负则

0F(x)sinxdx也为正或为负，与上面结果矛盾，故存在(0,)使F()sin0，而sin0，所以F()0于是在0,和,区间上分别用罗尔定理，则存在1(0,)使f(1)F(1)0，存在2(,)，使f(2)F(2)0，其中12

例2．设f(x)在0,1上有连续的一阶导数，且f(0)f(1)0，试证：

证：用拉格朗日中值定理

f(x)f(x)f(0)f(1)x，其中1(0,x)

f(x)f(x)f(1)f(2)(x1)，其中2(x,1)

由题设可知f(x)f(1)xMx；又f(x)f(2)(1x)M(1x)

因此

10fxdxM，其中Mmaxf(x)

0x1410f(x)dxf(x)dx111M12012112f(x)dxMxdx1(1x)dx

02

M

884 新东方在线 [www.xiexiebang.com] 网络课堂电子教材系列

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例3．设f(x),g(x)在a,b上连续，证明

2baf(x)g(x)dxb2b2af(x)dxag(x)dx

证一：（引入参数法）

设t为实参数，则bf(x)tg(x)2adx0

b2ag(x)dxt22baf(x)g(x)dxtbaf2(x)dx0

作为t的一元二次不等式At22BtC0，则B2AC0

即B2b2AC，因此b2baf(x)g(x)dx2af(x)dxag(x)dx

证二：（引入变上限积分）

2令F(u)uaf(x)g(x)dxuaf2(x)dxuag2(x)dx

于是

F(u)2f(u)g(u)uf(x)g(x)dxf2(u)ug2(x)dxg2(u)uf2aaa(x)dx

u2f(u)g(u)f(x)g(x)f2a(u)g2(x)g2(u)f2(x)dx

uaf(u)g(x)g(u)f(x)2dx0

(ua)

则F(u)在a,b上单调不增

故ba时，F(b)F(a)0，2

即bb2b2af(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx0

证三：（化为二重积分处理）

令Ib2af(x)dxbag2(x)dx，则Ib2baf(x)dxag2(y)dyf2(x)g2(y)dxdy，D

其中区域D:axbayb，同理If2(y)g2(x)dxdy

D

2If2(x)g2(y)f2(y)g2(x)dxdy

D

a2b22ab，故2I2f(x)g(y)f(y)g(x)dxdy

D 19 新东方在线 [www.xiexiebang.com] 网络课堂电子教材系列

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因此，Ibaf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dxaa2b2bbabf(y)g(y)dyf(x)g(x)dx a2口诀（34）：定积分化重积分；广阔天地有作为。

bb2

例4．设f(x)在a,b上连续，证明f(x)dx(ba)f(x)dx

aa2

证：在例3中，令g(x)1，则

于是

2bag2(x)dxba

bf(x)dxbf(x)g(x)dxbf2(x)dxbg2(x)dxbabf2(x)dx

aaaaa

例5．设f0(x)在a,b上连续，且f0(x)0，证明

2baf0(x)dxba1dx(ba)2 f0(x)

证：在例3柯西不等式中，取f(x)为

f0(x)，g(x)为

b1f0(x)

则baf(x)dxf0(x)dx，g(x)dxaa2bb2a1dx，f0(x)2

而abbf(x)g(x)dxf0(x)a221dx(ba)2 f0(x)

因此babaf0(x)dxba1dx f0(x)

例6．设f0(x)在a,b上具有连续导数，且f0(a)f0(b)0，bb1222f(x)dxxf(x)dx

求证：0 0aa4baf0(x)dx1，2

证：在例3柯西不等式中取f(x)为f0(x),g(x)为xf0(x)

22bbb22

于是f0(x)dxxf0(x)dxxf0(x)f0(x)dx

aaa

21ba2x2b1b2112xdf0(x)f0(x)f0(x)dx

a2a42222 20 新东方在线 [www.xiexiebang.com] 网络课堂电子教材系列

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§3.4 定积分的应用

（甲）内容要点

一、平面图形的面积

1．直角坐标系

模型I S1yxyxdx，a21b

其中

y2xy1x，xa,b

模型II S2

xyxydy，c21d

其中

x2yx1y，yc,d

注：复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型I或模型II加以计算，然后再相加。

2．极坐标系 新东方在线 [www.xiexiebang.com] 网络课堂电子教材系列

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1

2模型I S1rd

2

模型II S2122d rr212

3．参数形式表出的曲线所围成的面积

设

曲线C的参数方程

xt

t yta，b，t在,（或,）上有连续导数，且t不变号，t0且连续。

b

则曲边梯形面积（曲线C与直线xa，xb和x轴所围成）

Saydxttdt



二、平面曲线的弧长（数学一和数学二）（略）

三、绕坐标轴旋转的旋转体的体积

（1）平面图形由曲线yfx0与直线xa，xb和x轴围成绕x轴旋转一周的体积

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Vxbaf2xdx

dVxf2(x)dx

2xf(x)dx

绕y轴旋转一周的体积

Vy2xfxdx

dVaby

（2）平面图形由曲线xgy0与直线yc，yd和y轴围成绕y轴旋转一周的体积

Vydcg2ydy

d

绕x轴旋转一周的体积

Vx2cygydy

四、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积（数学一和数学二）（略）

（乙）典型例题

一、在几何方面的应用

例1．求曲线y2x在点,1处法线与曲线所围成图形的面积 212 23 新东方在线 [www.xiexiebang.com] 网络课堂电子教材系列

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解：先找出法线方程

2yy2，y1

,1211

yy11 2

法线方程 y11x

xy3 2399的另一交点为,3 ,3 222

曲线y22x和法线xy2316y

所求面积Sy dy332

21例2．设fx在a,b上连续，在a,b内fx0，证明a,b，且唯一，使得yfx，yf，xa，所围面积S1是yfx，yf，xb所围面积S2的三倍。

证：令FtS1(t)3S2(t)

bftfxdx3fxftdx

attbFa3fxfadx0

a 24 新东方在线 [www.xiexiebang.com] 网络课堂电子教材系列

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Fbfbfxdx0

ab

由连续函数介值定理的推论可知a,b使F0再由fx0，可知fx的单调增加性，则唯一

例3．设yfx在0,1上为任一非负连续函数。

（自己阅读）

（1）试证：x00,1，使0,x0上以fx0为高的矩形面积等于x0,1上以yfx为曲边的曲边梯形面积。

（2）又设fx在0,1内可导，且fx2fx，证明（1）中x0唯一。x

（1）证：设Fxxftdt，则F0F10，且Fxftdtxfx，对Fx在0,1上用罗尔定理xx11x00,1，使Fx00，即ftdtx0fx0证毕

x01

（2）证：令x

ftdtxfx，当x0,1时，x1xfxfxxfx

2fxxfx0（由（2）的已知条件）

因此在0,1内，x单调减少，x0是唯一的

2例4．求由曲线yx2x和直线y0，x1，x3所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。

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解一：yx22x解出x11y，平面图形A1绕y轴旋转一周所得旋转体体积

V11011ydy211 6

平面图形A2绕y轴旋转一周所得旋转体体积

V2271301ydy243 6

所求体积VyV1V29

解二：Vy231xx22xdx

2322x2xxdxxx22xdx

2123x42x4233

23x4143x29

22

例5．设D1是由抛物线y2x和直线xa，x2及y0所围成的平面区域；D2是由抛物线y2x和直线

（自己阅读）xa，y0所围成的平面区域，其中0a2。

（1）试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1；D2绕y轴而成的旋转体体积V2（如图）

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（2）问当a为何值时，V1V2取得最大值？试求此最大值

解：（1）V1432a 2xdx52225

V2 a2a

或

V22222a20ydy a4 2a0x2x2dx a4

432a5 a4（2）VV1V2

由V4 a31a0，得区间a,2内的唯一驻点a1。

又Va140, 因此a1是极大值点，也是最大值点。此时V1V2的最大值为

129 5

二、物理和力学方面应用（数学一和数学二）（自己阅读）

例：为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起污泥重2000N，提升速度3m/s，提升过程中污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦耳的功？

说明：（1）1N1m1J；m，N，s，J分别表示米，牛顿，秒，焦耳。

（2）抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。

解：所需作功WW1W2W3

W1是克服抓斗自重所作的功W14003012000

W2是克服缆绳重力作的功W2

W3是提取污泥所作的功W33005030xdx22500

3200020tdt57000

010

所以WW1W2W391500J

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三、经济方面应用（数学三和数学四）（自己阅读）

例1．设某商品每天生产x单位时固定成本40元，边际成本函数为Cx0.2x2（元/单位），求总成本函数Cx，最小平均成本。若该商品的销售单价为20元，且产品全部售出，问每天生产多少单位时才能获得最大利润，最大利润多少？

解：（1）Cx0.2x2，Cx

Ctdt40

0x0.2t2dt40

02x

0.1x2x40

Cx0.1x2

令

Cx0.1

Cx40，x400x120，x220（舍去），2xx120800，x3x120406。xx20

故生产20单位时平均成本最小为C200.1x2

（2）总收益

Rx20x，总利润

Lx20x0.1x2x40

2

18x0.1x40，令

Lx180.2x0x90，L900.20，因此，每天生产90单位时，才能获得最大利润。

最大利润为L9018x0.1x4022x90270（元）

t3A 96e（元）

例2．由于折旧等因素，某机器转售价格Pt是时间t（周）的减函数Pt，其中A是机器的最4A 48初价格。在任何时间t，机器开动就能产生Re的利润。问机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大？

4t 28 新东方在线 [www.xiexiebang.com] 网络课堂电子教材系列

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xA 3A 96

解：假设机器使用了x周后出售，此时的售价为Pxe，在这段时间内机器创造的利润是e48dt，044xt购买机器的价格为A。

xA 3A 96

所以，总利润Lxee48dtA，044xt

令 Lx0，得出x96ln32333，L96ln320，所以，机器使用了大约333 周后转售出去会使总利润最大。

例3．假设当鱼塘中有x公斤鱼时，每公斤鱼的捕捞成本是

2000kg，问从鱼塘中元，已知鱼塘中现有鱼1000010xkg鱼需花费多少成本？ 捕捞6000

解：设已经捕捞了x公斤鱼，此时鱼塘中有10000xkg鱼，再捕捞xkg鱼的成本为

C2000x，1010000x

所以，捕捞6000公斤鱼的成本为

C

60000200010010dx2000ln1829.59（元）。

1010000x4010 29

第二篇：高等数学考研知识点总结5

@第五讲 中值定理的证明技巧

一、考试要求

1、理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。

2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。

3、了解定积分中值定理。

二、内容提要

1、介值定理（根的存在性定理）

（1）介值定理

在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m之间的任何值.（2）零点定理

设f(x)在[a、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c(a、b)，使得f(c)=0

2、罗尔定理

若函数f(x)满足：

（1）f(x)在a,b上连续（2）f(x)在(a,b)内可导（3）f(a)f(b)

则一定存在(a,b)使得f'()0

3、拉格朗日中值定理

若函数f(x)满足：

（1）f(x)在a,b上连续（2）f(x)在(a,b)内可导

则一定存在(a,b)，使得f(b)f(a)f'()(ba)

4、柯西中值定理

若函数f(x),g(x)满足:（1）在a,b上连续（2）在(a,b)内可导（3）g'(x)0

f(b)f(a)f'()g'()则至少有一点(a,b)使得g(b)g(a)

5、泰勒公式

x如果函数f(x)在含有0的某个开区间(a,b)内具有直到n1阶导数 则当x在(a,b)内时 f(x)可以表示为xx的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和，即

0f(x)f(x0)f(x0)(xx0)1f(x0)(xx0)2    1f(n)(x0)(xx0)nRn(x)2!n!

f(n1)()Rn(x)(xx0)n1x(n1)!其中(介于0与x之间)

在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：

1．展开的基点； 2．展开的阶数；

3．余项的形式．

其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．

而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．

6、积分中值定理

若f(x)在[a、b]上连续，则至少存在一点c∈[a、b]，使得

baf(x)dx=f(c)(b-a)

三、典型题型与例题

题型一、与连续函数相关的问题（证明存在使f()0或方程f(x)=0有根）方法：大多用介值定理 f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0.思路：1）直接法

2）间接法或辅助函数法

例

1、设f(x)在[a,b]上连续，ax1x2xnb,ci0(i1,2,,n)，证明存在[a,b]，使得

f()c1f(x1)c2f(x2)cnf(xn)

c1c2cn例

2、设ba0,f(x)在[a,b]上连续、单调递增，且f(x)0，证明存在(a,b)

使得

a2f(b)b2f(a)22f()

*例

3、设f(x)在[a,b]上连续且f(x)0，证明存在(a,b)使得

af(x)dxf(x)dxb1bf(x)dx。2a

.例

4、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，证明存在(a,b)使得

例

5、设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1.证明：2xf(t)dt1在(0,1)内有且仅

0xg()f(x)dxf()g(x)dx

ab有一个实根。例

6、设实数a1,a2,,an满足关系式a1ana2(1)n10，证明方程 32n1

a1coxsa2co3sxancos2(n1)x0，在(0,)内至少有一实根。

2例

7、（0234，6分）

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点[a,b]使得

题型

二、验证满足某中值定理

3x2,x12例

8、验证函数f(x)，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求

1,x1x满足定理的

baf(x)g(x)dxf()g(x)dx

ab题型

三、证明存在, 使f(n)()0(n=1,2,…)

方法：

1、用费马定理

2、用罗尔定理（或多次用罗尔定理）

3、用泰勒公式

思路：可考虑函数f(n1)(x)

例

9、设f(x)在[a,b]上可导且f(a)f(b)0，证明至少存在一个

(a,b)使得f()0

例

10、设f(x)在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且f(0)f(1)f(2)3,f(3)1，证明存在一个(0,3)使得f()0

*例

11、设f(x)在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且

1f(x)lim0,21f(x)dxf(2)，证明存在(0,2)使得f()0 12xcosx2 题型

四、证明存在, 使G(,f(),f())0

方法：1）用罗尔定理（原函数法，常微分方程法），2）直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理（要求a,b分离）

思路：1）换为x

2）恒等变形，便于积分 3）积分或解微分方程

4）分离常数：F(x,f(x))C F(x,f(x))即为辅助函数(1)用罗尔定理 1)原函数法:

步骤：将换为x;

恒等变形，便于积分；

求原函数，取c=0； 移项，得F(x).例

12、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且g(x)0(x(a,b))，求证

f(a)f()f()存在(a,b)使得

g()g(b)g()

例

13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且

f(1)kxe1xf(x)dx,k1

证明：在(0,1)内至少存在一点, 使 f()(11)f().1k0例

14、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a)f(在[a,b]上连续，试证对(a,b),使得f()g()f()..ab)0, g(x)2*例

15、设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且f(x)dx0,xf(x)dx0.0011试证：(0,1),使得 f()(11)f()..2)常微分方程法:

适用: ,f()(,f())

步骤：x,f(x)(x,f(x))

解方程 G(x,f(x))c

令 F(x)G(x,f(x))

例

16、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)，证明存在(a,b)使得f()f()*例

17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1, 证明：对任意实数,必存在（0，1), 使得f()[f()]

1(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理

例18、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求证存在(a,b)，使得

bf(b)af(a)f()f()

ba

例

19、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求证存在(a,b)，使得

bn1baf(a)anf(b)n1[nf()f()],n1

例20、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0ab)，求证存在(a,b)，b使得 f(b)f(a)lnf()

a例

21、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0ab)，求证存在(a,b)，f(b)f(a)f()使得

(a2abb2)2ba3

题型

5、含有f()(或更高阶导数)的介值问题

方法：1）原函数法（对f(x)仍用微分中值定理:罗尔定理，拉格朗日，柯 西中值定理）；

2）泰勒公式

例

22、设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1), 试证至少存在一个(0,1), 使

2f()f()

1

例

23、（012，8分）设f(x)在[a,a](a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0(1)写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。(2)证明在[a,a]上至少存在一个使得

af()3f(x)dx

a3a例

24、设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f(0)=0, 证明: 在(-1,1)内存在一点，使得f()3..例

25、（103）设函数f(x)在闭区间[0, 3]上连续, 在开区间(0, 3)内二阶可导, 且 f(0)=20f(x)dx= f(2)+ f(3).(I)证明存在  (0, 2), 使得f()= f(0);(II)证明存在  (0, 3), 使得 f()=0..题型

6、双介值问题F(,,)0

方法：1）同时两次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理 2）用一次后再用一次中值定理

例

26、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，0ab，求证存在,(a,b)使f()得f()(ab)

2

例

27、（051，12分）已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1

证明：（1）存在(0,1)，使得f()1

（2）存在两个不同的点,(0,1)使得f()f()1 题型

7、综合题

*例

29、（011，7分）

设函数f(x)在（-1,1）内具有二阶连续导数，且f(x)0，试证（1）对于(-1,1)内的任意x0,存在唯一的(x)(0,1)使得

f

f(x)f(0)x((x成立)x

1（2）lim(x)

x0

2例29、试证明若f(x)在[a,b]上存在二阶导数，且f(a)f(b)0，则存在4(a,b)使得f()f(b)f(a)2(ba)*例30、设e

aeaeblnalnb0 1

b1e13

第三篇：南京大学考研高等数学甲2010

南京大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题

（三小时）

一．填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

⒈令

第四篇：考研数学——高等数学重难点

给人改变未来的力量

考研数学——高等数学重难点

不管对数学

一、数学二还是数学三的考生，高等数学都是考研数学复习中的重中之重。首先，从分值上，数学一和数学三的高等数学都占到了56%，数学二更是占到了78%，说得高数者得天下一点一不为过;其次，从内容上，高等数学的考点多，难点也多，不同考生之间的差别也是最大的，对于复习情况比较好的同学来说，线性代数和概率论与数理统计这两科基本上是可以做到不丢分的，考生之间拉开差距的地方往往就在高等数学。为了便于广大考生复习，中公考研数学研究院李擂老师总结了高等数学各个章节的主要重点与难点，以供大家参考：

第一章 函数、极限与连续

主要考点：求极限或已知极限确定原式中的常数;讨论函数的连续性，判断间断点的类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。这一部分更多的会以选择题，填空题，或者作为构成大题的一个部件来考核，复习的关键是要对这些概念有本质的理解，在此基础上找习题强化。

第二章 一元函数微分学

主要考点：求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论;利用洛比达法则求不定式极限;讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式;利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题;几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题;利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。这一部分的试题综合性、灵活性较强，在考题中各种类型(选择、填空、解答)的题目都有出现，考查方式比较多样，其中中值定理证明和不等式证明部分是高等数学中难度最大的题型之一，需要引起考生重视。

第三章 一元函数积分学

本文转自运城中公网。————————————————————————————-百度文库

主要考点：计算不定积分、定积分及广义积分;关于变上限积分的题：如求导、求极限等;有关积分中值定理和积分性质的证明题;定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等。这一部分主要以计算应用题出现，只需多加练习即可。

第四章 向量代数和空间解析几何

主要考点：向量的运算;求直线方程，平面方程;判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角;旋转曲面与柱面的方程。这一部分的难度在考研数学中应该是相对简单的，找辅导书上的习题练习，需要做到快速正确的求解。

第五章 多元函数的微分学

主要考点：判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微;求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数;求二元、三元函数的方向导数和梯度;求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面;多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，在复习时要引起注意，可以找一些题目做做，找找这类题目的感觉。

第六章 多元函数的积分学

主要内容：二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序;第一型曲线积分、曲面积分计算;第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用;第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用;梯度、散度、旋度的综合计算;重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。

第七章 微分方程

主要考点：求典型类型的一阶微分方程的通解或特解：这类问题首先是判别方程类型，求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解;综合题，常见的是以下内容的综合：变上限定积分，变积分域的重积分，线积分与路径无关，全微分的充要条件，偏导数等。

第八章 级数

主要考点：级数收敛性的定义与性质;正项级数判别法;绝对收敛与条件收敛;交错级数的莱布尼兹判别法;幂级数的收敛半径与收敛域;幂级数求和;幂级数展开;傅里叶级数;综合应用题。这一部分的试题抽象性较强，考生容易在概念的理解和常见性质的运用上出现问题;

同时，幂级数部分需要综合极限、导数和积分的计算方法，对考生综合能力是一个较大的挑战。

总之，数学要想考高分，考生必须认真系统地按照考试大纲的要求全面复习，掌握数学的基本概念、基本方法和基本定理。只要能够踏踏实实打好基础，同时针对考研的要求进行足质足量的练习，就能够在最后的考试中取得比较好的成绩。

运城中公教育

第五篇：考研.数学 高等数学总结1

中值定理及应用

一、基本概念定理

1、极值点与极值—设连续yf(x)(xD)，其中x0D。若存在0，当0|xx0|时，有f(x)f(x0)，称xx0为f(x)的极大点；若存在0，当0|xx0|时，有f(x)f(x0)，称xx0为f(x)的极小点，极大点和极小点称为极值点。

2、极限的保号性定理

定理 设limf(x)A0(0)，则存在0，当0|xx0|时，xx0

f(x)0(0)，即函数极限大于零则邻域大于零；极限小于零则邻域小于零。

A0，因为limf(x)A，由极限的定义，xx0xx02

AA0。存在0，当0|xx0|时，|f(x)A|，于是f(x)22【证明】设limf(x)A0，取0

3、极限保号性的应用

【例题1】设f(1)0,limf(x)2，讨论x1是否是极值点。x1|x1|

【例题2】（1）设f(a)0，讨论xa是否是f(x)的极值点；

（2）设f(a)0，讨论xa是否是f(x)的极值点。

f(x)f(a)0，由极限的保号性，存在0，xaxa

f(x)f(a)0。当0|xa|时，有xa【解答】（1）设f(a)0，即lim

当x(a,a)时，f(x)f(a)；当x(a,a)时，f(x)f(a)。显然xa不是f(x)的极值点。

（2）设f(a)0，即limf(x)f(a)0，由极限的保号性，存在0，当xaxa

f(x)f(a)0。0|xa|时，有xa

当x(a,a)时，f(x)f(a)；当x(a,a)时，f(x)f(a)。显然xa不是f(x)的极值点。

【结论1】设连续函数f(x)在xa处取极值，则f(a)0或f(a)不存在。

【结论2】设可导函数f(x)在xa处取极值，则f(a)0。

二、一阶中值定理

定理1（罗尔中值定理）设函数f(x)满足：（1）f(x)C[a,b]；（2）f(x)在(a,b)内可导；（3）f(a)f(b)，则存在(a,b)，使得f()0。

定理2（Lagrange中值定理）设f(x)满足：（1）f(x)C[a,b]；（2）f(x)在(a,b)内可导，则存在(a,b)，使得f()

【注解】

（1）中值定理的等价形式为： f(b)f(a)。ba

f(b)f(a)f()(ba)，其中(a,b)；

f(b)f(a)f[a(ba)](ba)，其中01。

（2）对端点a,b有依赖性。

（3）端点a,b可以是变量，如f(x)f(a)f()(xa)，其中是介于a与x之间的x的函数。

定理3（Cauchy中值定理）设f(x),g(x)满足：（1）f(x),g(x)C[a,b]；（2）f(x),g(x)在(a,b)内可导；（3）g(x)0,x(a,b)，则存在(a,b)，使得f(b)f(a)f()。g(b)g(a)g()

题型一：证明f(n)()0

【例题1】设f(x)C[0,3]，f(0)f(1)f(2)3,f(3)1，证明：存在(0,3)使得f()0。

【例题2】设曲线L:yf(x)(x[a,b])，f(x)C[a,b]，在(a,b)内二阶可导，连接端点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线L交于内部一点C(c,f(c))(acb)，证明：存在(a,b)，使得f()0。

(a)f(b)0，证明：存在【例题3】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，且f

(a,b)，使得f()0。

题型二：结论中含一个中值，不含a,b，且导出之间差距为一阶

【例题1】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，证明：存在(a,b)，使得f()f()0。

【例题2】设f(x),g(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，证明：存在(a,b)，使得f()f()g()0。

【例题3】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内二阶可导，且f(0)f(1)，证明：存在(0,1)，使得f()2f()。1

题型三：含中值,

情形一：含中值,的项复杂度不同

【例题1】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)1，证明：存在,(a,b)，使得e[f()f()]1。

【例题2】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导(a0)，证明：存在,(a,b)，使得

f()(ab)f()。2

情形二：含中值,的项复杂度相同

【例题1】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1。

（1）证明：存在c(0,1)，使得f(c)1c。

（2）证明：存在,(0,1)，使得f()f()1。

【例题2】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1，证明：存在,(0,1)，使得213。f()f()

三、高阶中值定理—泰勒中值定理

背景：求极限limx0xsinx。x3

定理4（泰勒中值定理）设函数f(x)在xx0的邻域内有直到n1阶导数，则有

f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)nRn(x)，2!n!

f(n1)()且Rn(x)(xx0)n，其中介于x0与x之间，称此种形式的余项为拉格(n1)!

郎日型余项，若Rn(x)o[(xx0)n]，称此种形式的余项为皮亚诺型余项。特别地，若x00，则称

f(0)f(n)(0)n2f(x)f(0)f(0)(xx0)xRn(x)，2!n!

f(n1)(x)n1为马克劳林公式，其中Rn(x)x(01)。(n1)!

【注解】常见函数的马克劳林公式

xn

o(xn)。

1、e1xn!x

x3(1)n

2n

12、sinxxxo(x2n1)。3!(2n1)!

x2(1)n

2n3、cosx1xo(x2n)。2!(2n)!

11xxno(xn)。1x

11x(1)nxno(xn)。5、1x4、x2(1)n1

nxo(xn)。

6、ln(1x)x2n

专题一：泰勒公式在极限中的应用 【例题】求极限limx0xsinx。x3

专题二：二阶保号性问题

设函数f(x)的二阶导数f(x)0(0)，这类问题主要有两个思路：

思路一：设f(x)0，则f(x)单调增加

【例题1】设f(x)在[0,)上满足f(x)0且f(0)0，证明：对任意的a0,b0有f(a)f(b)f(ab)。

【例题2】设f(x)在[a,)上满足f(x)0且f(a)2,f(a)1，证明：f(x)在(a,)内有且仅有一个零点。

思路二：重要不等式

设f(x)0，因为f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

所以有

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)，其中等号成立当且仅当xx0。

【例题1】设f(x)C(,)，f(x)0，且limx0f()(xx0)2，2!f(x)1，证明：f(x)x。x

【例题2】设f(x)0(axb)，证明：对任意的xi[a,b](i1,2,,n)及ki0(i1,2,,n)且k1k2kn1，证明：

f(k1x1k2x2knxn)k1f(x1)k2f(x2)knf(xn)。

【例题3】设f(x)C[0,1]且f(x)0，证明：

101f(x2)dxf()。3