高中数学不等式教学策略分析（合集）

第一篇：高中数学不等式教学策略分析

高中数学不等式教学策略分析

摘要：在数学教学中，要求学生在学习数学的过程中树立不等的观念，对现实生活中出现的一系列不等问题进行相应的研究具有十分重要的意义。在实际的教学过程中，不等式的教学应该有重点地进行教学，抓住难点。当前，高中数学不等式性质教学中，传统的填鸭式以及照本宣科的教学方式已经无法达到满意的效果。因此在高中数学教学中只有结合高中生的实际学习情况，采取多样化的教学方法，才能有效提高不等式性质教学质量。

关键词：高中数学;不等式;教学策略

【中图分类号】 G633.6

【文献标识码】 B

【文章编号】 1671-8437（2015）02-0066-01

不等式是高中数学中的重要内容，具有综合性与系统性特点。此外，不等关系与相等关系同样都包含着丰富的数量级关系，在数学应用领域具有一定的普遍性。在高中数学的学习过程中，学生一定要树立不等的相关理念，对现实生活中出现的诸多的不等问题进行一定的研究和分析。不等和相等的关系不是绝对的，二者处在相对的关系中，在通常的情况之下，学生对相等的观念会较容易形成了一定的思维定势，这时一定要让学生逐渐地接受在日常生活当中非常普遍的不等关系，通过这种辩证看问题的思路训练，学生就会形成良好的数学素养。

近几年高考考试大纲发生了一系列的变化，以这些改革变化为依据，我们能够看出，不等式的相关内容基本上不会出现单独命题的情况，也就是说在通常情况下都是与其他知识相结合，在某些题目中以组合的形式出现，不等式知识的分值一般都能够保持在10分左右。高考中更多的题目会将不等式的知识穿插在某些实际情境当中，通过这样的训练方式使学生能够在实际生活以及数学当中发现不等式的广泛应用，从而就会建立起不等的观念，并学会准确地处理好不等的相关关系。下面介绍几种有效的数学教学方法，希望能对不等式教学起到一定的积极作用。

注重生活情境，将不等式与具体实际联系起来

在教学过程中，要以生活中的实际情景为例子，也可以将学生已经掌握的不等式内容进行联系对接，从简单的不等关系中抽离出比较具体的数量关系，进而建立起比较简单的不等式模型，然后以此为基础进行更加深入层次的不等关系模型的构建。在课堂开始阶段，教师可以让学生自主感受日常生活中的不等关系的存在，在此基础上，引导学生认识生活当中的其它不等关系，以及人们如何运用一定的符号和数字表达。

加强各科知识之间的相互关联，将实际生活问题反向抽象化

不等式的应用非常广泛，在数学及其它学科都有广泛的应用，不等式的应用通常也会以其他知识为相应的背景。通过不等式应用问题的学习，能够检验学生综合运用能力的水平，并从而有目的的有效地提高学生综合分析与解决问题的能力。将抽象的问题形象化和具体化是让学生获得对知识重新构建的非常实用的方式。生活中的实际问题是较为具体，但是在这些实际问题中所蕴含的数学思想都是抽象的。学生应该根据实际情况遵循“具体――抽象――具体”的思考路径，从比较具体的事物中经过仔细的思考，剥离出比较抽象的数理关系，然后再利用数学知识进一步抽象和表达，通过这样的方式达到正确解决问题的目的。

例如“某一个工厂正在筹划一个工程，其中需要建造一个长方体的无盖储物池，容积为4800平方米，整体的深度大约为3米，如果池的底部需要进行铺垫瓷砖，那么每平方米的瓷砖成本价格为150元，池壁铺垫瓷砖的每平方米成本价格为120元。那么请问如何设计这座储物池才能让整体工程的成本造价最低？最低的成本价格又是多少？”这道问题联系实际，是现实生活中常见的函数和不等式交叉问题，学生一定要从这种现象中剥离出比较抽象的数理关系，并用数量关系式具体表示出来。

这道题中，联系实际生活和数学上的相关原理，其实就是寻找一个区间内的最优值。设储物池底面的一个长度为x，总造价为p 元，就有：

P=240000+720（x+）?R240000+7200×2

=297600

此时，x=，即x=40时，p有最小值297600。

探索不等式的丰富解法，提升学生的思维能力

在不等式知识的内容中，不等式的变换是非常重要的，学生拥有一定的不等式运算能力，就可以非常容易地实现知识的迁移，并且会实现一定的创新。除此之外，对于含有参数的不等式的练习，老师和学生也应该重视，将方程、函数、立体几何、三角的知识都融入到其中，学生就会得到很好的训练。比如在进行关于一元二次不等式的解法的研究过程中，教师能够根据实际情况，利用相应的函数图像，对一元二次不等式进行研究。通过这样的教学方式，既能使学生获得不等式的解答能力，同时更能够培养学生先进的数学思想，也会使得学生的抽象能力以及概括能力得到很好的锻炼。

总之，在新课程改革的背景下，高中数学不等式的教学需要得到不断的改革和完善，用新课程的相关理念对这一重要内容的学习与教学进行研究，使学生在获取知识的同时在思维训练以及能力锻炼上获得理想的效果。教师在进行教学的过程中，一定要注重结合具体的实际，使学生更好更深刻地掌握不等式的相关知识，提升数学能力。

第二篇：高中数学不等式

数学基础知识与典型例题

数学基础知识与典型例题(第六章不等式)答案

例1.C例2.B例3.675 例4.n3+1>n2+n

例5.提示:把“”、“2”看成一个整体.解:∵3=2(2)()

又∵2≤2(2)≤6,1≤()≤1 ∴1≤3≤7,∴3的取值范围是1,7 例6.A例7.A例8.B

例9.B例10.4例11.B

例12.D

例13.C

例14.D 例15.(1)（1x21

例16.解：原不等式等价于x

0,x21



x

1.当x>0时，上述不等式组变成x2情形1 1,1x2x1.解得：1x

情形2 当x<0时，上述不等式组变成

x21,

x2x1.解得1x

所以原不等式解集为{|1x12{x|1x1

2例17.解: 原不等式等价于x2x

3x2

ax

0.由于x2x30对xR恒成立，∴x2ax0,即x(xa)0当a>0时，{x|xa或x0}； 当a=0时，{x|xR且x0}； 当a<0时，{x|x0或xa}.例18.证明:令y=2x22x1

x2x1，去分母，整理得(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0.⑴当y≠2时，要方程有实数解，须Δ=(2－y)2－4(y－2)(y+1)≥0得－2≤y≤2，又∵y≠2∴－2≤y<2;

⑵当y=2时,代入(y－2)x2+(2－y)x

+y+1=0中,得

3=0，矛盾.∴综上所述, －

2≤y<2得证.例19.综合法提示

ab)

另外本题还可用几何法.证明:

先考虑a、b、c为正数的情况，这时可构造出图形：以a+b+c为边长画一个正方形，如图，则AP1

PP12

P2B ABabc).显然AP1PP1

2P2B

≥AB，abc).当a、b、c中有负数或零时，显然不等式成立.例20.答案见高中数学第二册(上)第27页例

1可用分析法,比较法,综合法,三角换元法以及向量法等证

例21.提示:利用aaaabcabc

abc

例22.高中数学第二册(上)第17页习题9 法一:构造函数法

证明：∵ f(x)= xm

x + m(m>0)= 1－x + m在(0, + )上单调递增，且在△ABC中有a + b > c>0，∴ f(a + b)>f(c)，即 a + bc

a + b + m> c + m。

又∵ a，b  R*，∴aamb

bm

 aba + ba + b + m + a + b + m =

a + b + m，∴aambbmc

c.m法二:分析法

证明:要证aambbmc

cm，只要证a(b + m)(c + m)+ b(a + m)(c + m)－c(a + m)(b + m)>0，即abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2－abc－acm－bcm－cm2>0，即abc + 2abm +(a + b－c)m2>0，由于a,b,c为△ABC的边长，m>0，故有a + b> c，即(a + b－c)m2>0。

所以abc + 2abm +(a + b－c)m2>0是成立的，因此 aambbmc

cm.例23.5400,例24.答案见2005-7-30高中数学第二册(上)第13页例

46、当你发现有“非凡天赋”,就“疯狂地造梦”吧！

Think great thoughts and you will be great!伟大的理想，会让你变得伟大！

一个人的梦想有多么伟大，他就有多么伟大！

伟大的目标，即使吹起牛来都很爽！所以，目标一定要远大！你人生才会过得充实而干劲十足！

我在这十多年疯狂英语的奋斗路上，我发现一个真理：

“人的潜能无限！相信自己，就能创造奇迹；怀疑自己，人生就会在可怜、悲惨中度过！”

每个人其实都是一座宝藏！“相信自己”是人生最重要的品格，“I can ”是家庭给孩子最宝贵的财富。

而可悲的是，大多数的父母并没有给自己孩子这把“最重要的钥匙”，因为他们的父母，和他们所处的时代，也没有给他们这把钥匙。

我们太多人，就像是在黑暗中苦苦摸索，当我们发现有这把钥匙的时候，已经年过30岁了„„

其实，成功根本不用等到30！10岁、20岁就可以很成功！而“相信自己”就是人生最大的成功源头。

在此，我非常急切地想与大家分享一个“18岁就成功的故事”，告诉你如果发现自己有“非凡天赋”时,就疯狂地造梦想吧，从此，你就会自发地苦练，并为自己的家庭带来梦中渴求的一切。

在丁俊晖8岁时，父亲送给他一件特别的礼物——一支台球杆。他很快发现：儿子在台球桌上有非凡的天赋，两年下来，已经打遍当地无敌手。

有一次，爸爸让小俊晖与台球名将亨得利一起合影照相，没想到他却口吐狂言：“我跟他照什么相，我以后把球打好了，别人找我照相还差不多，总有一天我要战胜他。”

看到儿子有如此雄心大志，父亲做出了一个惊人的决定：卖掉家乡的房子，辞去工作，全家搬迁到陌生的广东东莞，让儿子专心学习台球，成为职业台球手。为了节省开销，他们没有租住球馆宿舍，只是在宿舍走道的尽头蹭了张床，木板隔出一个6平方米的空间，全家三口只睡一张单人床。隔板外，是宿舍楼公厕，闷热、蚊虫叮咬、厕所异味„„竟然令13岁的丁俊晖含泪向父母发誓：一定要用球杆，为他们打回一套房子！从此，他把台球当成了自己一辈子奋斗的职业。

丁俊晖练球常常进入到痴迷的状态，整天与台球为伴，很快，父亲送给他的台球杆被练断了。修理后又接着打，不久又断了„„反反复复，一支杆要打断6、7次，变得不能再打了，才换新球杆。

即使这样，他父亲还时刻提醒、监督他，有时刚吃完饭，丁俊晖在一边坐着休息的时间稍长一点，父亲就过来催促：“你去房间练球吧，空调已帮你开好了。”他父亲说：“人做事一定要坚定，做一件事就要把它做好，如果连这点精神和承担失败的勇气都没有，做其他事也不可能成功！人活着就要轰轰烈烈，在有生之年做些事，但我不会强加给他没兴趣的东西做。我坚信我儿子是5000年才出一个的神童！”

也许，是先有了伟大的丁俊晖父亲，才有了18岁成为世界级台球冠军的丁俊晖。现在丁俊晖已经在老家买了新房，他实现了当初许下的用球杆为父母挣回一套房的承诺！用手中的球杆，兑现了夺得世界冠军的诺言！

所以，伟大的梦想造就伟大的人生！Great dreams make great men!

目标定得小，成绩就小。有大志才会有大成就！

Think little goals and expect little achievements.Think big goals and win big success!

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第三篇：高中数学基础不等式

数学基础知识与典型例题

数学基础知识与典型例题(第六章不等式)答案

例1.C例2.B例3.6 例4.n3+1>n2+n

例5.提示:把“”、“2”看成一个整体.解:∵3=2(2)()

又∵2≤2(2)≤6,1≤()≤1 ∴1≤3≤7,∴3的取值范围是1,7 例6.A例7.A例8.B

例9.B例10.4例11.B

例12.D

例13.C

例14.D 例15.(1)

x2

1例16.解：原不等式等价于x

0,x21



x

1.当x>0时，上述不等式组变成x2情形1 1,1x2x1.解得：1x

情形2 当x<0时，上述不等式组变成

x21,

x2x1.解得1x

所以原不等式解集为{|1x12{x|1x1

2例17.解: 原不等式等价于x2x

3x2

ax

0.由于x2x30对xR恒成立，∴x2ax0,即x(xa)0当a>0时，{x|xa或x0}； 当a=0时，{x|xR且x0}； 当a<0时，{x|x0或xa}.例18.证明:令y=2x22x1

x2x1，去分母，整理得(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0.⑴当y≠2时，要方程有实数解，须Δ=(2－y)2－4(y－2)(y+1)≥0得－2≤y≤2，又∵y≠2∴－2≤y<2;

⑵当y=2时,代入(y－2)x2+(2－y)x

+y+1=0中,得

3=0，矛盾.∴综上所述,－2≤y<2得证.例19.综合法提示

2

ab)另外本题还可用几何法.证明:

先考虑a、b、c为正数的情况，这时可构造出图形：以a+b+c为边长画一个正方形，如图，则AP1

PP12

P2B ABabc).显然AP1PP1

2P2B

≥AB，abc).当a、b、c中有负数或零时，显然不等式成立.例20.答案见高中数学第二册(上)第27页例1

可用分析法,比较法,综合法,三角换元法以及向量法等证

例21.提示:利用aaac

abcab

abc

例22.高中数学第二册(上)第17页习题9 法一:构造函数法

证明：∵ f(x)= xm

x + m(m>0)= 1－x + m在(0, + )上单调递增，且在△ABC中有a + b > c>0，∴ f(a + b)>f(c)，即 a + bc

a + b + m> c + m。

又∵ a，b  R*，∴aamb

bm

 aba + ba + b + m + a + b + m = a + b + m，∴abc

ambm

c.m法二:分析法

证明:要证aambc

bm

cm，只要证a(b + m)(c + m)+ b(a + m)(c + m)－c(a + m)(b + m)>0，即abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2－abc－acm－bcm－cm2>0，即abc + 2abm +(a + b－c)m2>0，由于a,b,c为△ABC的边长，m>0，故有a + b> c，即(a + b－c)m2>0。

所以abc + 2abm +(a + b－c)m2>0是成立的，abc

因此.

ambmcm例23.5400,例24.答案见2005-7-30高中数学第二册(上)第13页例4

第四篇：高中数学教学策略的探索

高中数学教学策略的探索

摘 要：高中数学是一门比较重要的学科，自从新课改之后，对高中数学教学的目标也有所提高。实行素质教育，对教师来说压力重大，因此，本文将从高中数学教学中存在的弊端着手讨论，结合自身的教学经验，提出相应的教学策略，进一步提高教学效率。

关键词：高中数学；新课改；教学策略

数学作为一门基础性的学科，学生从幼儿园开始就已经接触数学，并且数学将伴随人的一生。所以数学的教育比较重要，尤其是高中数学，高中时学习知识最快也是最多的时期，所以高中阶段的数学对于学生来说比较重要。在新课改之后，高中数学的教育受到各界的关注，高中数学的教学需要改掉传统应试教育的方式，全面实施素质教育。所以，现在的重中之重就是如何提高高中数学的教学效率，从而满足新课标的要求。

一、高中数学教育的现状

数学这一科目与其他科目相比有许多不同之处，数学需要有一定的基础，并且需要合适的教学策略。但是，目前的教学模式仍有缺陷，满足不了新课标的要求。

（一）学生缺乏兴趣

由于高中数学知识点多且复杂，学生难以理解，再加上教师讲解得不够透彻，所以学生学起来感觉比较吃力，就难以掌握所学的知识。久而久之，学生就丧失了对数学学习的积极性，成绩也会有所下降，这严重影响了高中数学教学的效率。

（二）教学模式传统化

新课改之后，有的教师仍然沿用传统的教学模式，采用“填鸭式”教学方式，学生一直是在被动的接受，教师没有顾及到学生的感受。然而，现在科技如此发达，但是数学的教育仍然停留在传统的教学条件上，没有充分利用现代科技。另外，教师教授的模式存在一些问题，教师备课大都是自己有自己的方案，并且教师在课堂上没有考虑到全体同学，只是简单的完成自己的教学任务而已。

（三）师生关系较差

由于教师一直处于领导的位置，大都是等着学生主动与自己交流，再加上学生正处于青春叛逆期，不愿听从长者的话，所以，师生之间的关系长时间下来，就变得比较僵化。

由于存在以上问题，所以新课改以来，高中数学的教学效率得不到提高，学生的成绩也没有改善。

二、高中数学教学策略的探究

由于目前的高中数学的教学模式，存在诸多弊端，所以，探索新的适用的教学策略势在必行。本人结合自身的教学经验，提出几项可行性措施，希望对目前的数学教育策略的改变有所帮助，也希望同行可以多多批评指正。

（一）培养学生的学习兴趣

兴趣是一切事物的老师，学生对数学有了学习兴趣，自然而然的就主动参与到教学中来，那么教学效率提高了，学生成绩也提高了。那么如何提高学生的积极性，培养学生的兴趣呢？我认为：首先，创建一个良好的学习环境和活跃的课堂氛围，充分调动学生的积极性，使学生发挥他们的主观能动性，从被动的接受知识变为主动地学习知识。唯有如此，学生的积极性会有所提高，对数学的学习兴趣也才会提高。其次，根据学生每个阶段的学习特点，及时调整教学策略，吸引学生的注意力，培养他们的学习兴趣。最后，教师需要设计巧妙的导入方式，从课堂开始就吸引学生的注意力，使学生积极的参与到课堂教学，慢慢地养成良好的学习兴趣。

（二）改善传统的教学模式

在新课改后，传统的教学模式已经完全不适应现在的教学要求。所以，教师需要及时的创新，积极地探索适合的教学模式。改善传统的教学模式，可以从以下几项入手：

1.合理有效的利用多媒体教学

高中数学是在教师的引领下，学生对解决数学问题进行探讨和研究的一门科目。解决数学问题少不了对问题的透彻理解，有些用语言表达不清楚的问题。比如，几何问题，这时候，教师就可以利用多媒体设备展示几何图形，学生直观的观察。使用多媒体教学，可以减轻教师的教学负担，也可以使学生更直观的理解数学知识。

2.教学方式需改变

在新课改之后，教师需要改变原有的教学方式，因为传统的教学方式已不满足目前的要求，所以，教师需要改变原有的教学观念，站在学生的角度，用学生的思想去理解问题，也更利于自己的教学，从而更容易完成自己的教学任务。教师可以不断地创新教学理念，使学生产生新鲜感，改变原有课堂的枯燥，使学生积极参与，提高课堂效率。

3.教学主体的转变

传统的教学模式是以教师为主，但新课改之后，学生成为了主体。这就需要教师多多考虑学生的情况，不能一味地完成自己的教学任务就可以。所以，教师在备课的时候，充分考虑到学生之间的差异，并且多个教师一起配合备课，因每个教师理解问题的角度不同，所以配合备课，利于教师之间取长补短，可以使课堂教学变得更得心应手。教师在课堂上，需要转变“多讲，少做”的教学模式，必?体现学生的主体地位，可以以提问的方式，带领学生积极的思考，帮助学生在思考中理解知识的本源。如此，教师可以帮助学生建立良好的学习技巧，帮助学生形成创新性思维，时间久了，学生养成了一个习惯，这也正是素质教育的目的所在。

（三）改善师生关系

素质教育要求教师多了解学生的心理变化，所以，和谐的师生关系是教师了解学生的前提条件，也是教师完成素质教育的保证。所以，和谐的师生关系，是一切的良好开端。那么，如何改善师生之间的关系呢？我认为：首先，教师需要放下教师的架子，主动地与学生进行交流，使学生感受到教师对自己的爱，使学生与老师之间的距离拉近，慢慢的，师生之间的关系会变得比较和谐。其次，教师主动地帮助学生解决问题，成为学生的良师益友。在学生遇到难题的时候，教师施以援手，时间久了，学生会主动地找老师帮忙，慢慢的师生之间的关系也会变好。最后，教师可以多多组织交流活动，学生与学生之间，教师与学生之间，可以进行深层次的沟通与交流，从而拉近彼此之间的关系，师生之间的关系和谐化，教师在课堂授课也会比较受欢迎，学生会积极配合。如此一来，教师的任务变得简单不少，教学效率也得到了提高。

三、结束语

对数学的学习不仅要求我们掌握基本的知识点，还要求我们学会用数学的思想去解决问题。在新课改情形下，教师可以借助现代教学模式，体现学生的主体性，发挥他们的主观能动性，创建一个活跃的教学环境，拉近师生之间的距离，从而使教师可以更好地了解学生的生活以及学习情况，促进教师积极的改变教学模式，帮助学生形成创新性思维方式，最终，形成一个“学生、教师、学校”三方共赢的美好局面。

第五篇：高中数学不等式证明常用方法

本科生毕业设计（论文中学证明不等式的常用方法

所在学院：数学与信息技术学院

专 业： 数学与应用数学

姓 名： 张俊

学 号： 1010510020 指导教师： 曹卫东

完成日期： 2014年04月15日）

摘 要

本文主要是对高中学习阶段不等式证明方法的概括和总结.不等式的证明方法多种多样,其中有比较法,分析法,综合法,反证法,数学归纳法,放缩法等常见的方法,另有一些学生比较不熟悉但也经常采用的方法,如构造法,向量法,求导法,换元法等等.关键词: 不等式的证明;函数的构造;极值;导数

ABSTRACT

This paper is mainly on the high school stage the inequality proof method and summarized.The inequality proof methods varied, including comparison, analysis, synthesis, reduction to absurdity, mathematical induction, scaling and other common methods, and some students are not familiar with but also the methods used, such as construction method, vector method, derivation method, method and so on.Key words:

The inequality proof;function;extreme value;derivative

目 录

1.构造函数法 ·········································1 1.1 移项法构造函数 ·································1 1.2 作差法构造函数

·····························2 1.3 换元法构造函数

·····························2 1.4 从条件特征入手构造函数

······················3 1.5 主元法构造函数 ··································3 1.6 构造形似函数 ····································4 2.比较法 ·············································4 2.1 作差比较法 ······································4 2.2 作商比较法 ······································5 3.放缩法 ············································5 4.判别式法 ············································6 5.反证法 ············································7 6.向量法 ···········································8 7.不等式证明的具体应用 ································9 参考文献 ··············································11

江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）

众所周知,生活中存在着大量的不等量关系.不等量关系是基本的数学关系,它在数学研究与应用中起着不可忽视的作用,因此,研究不等式的方法至关重要,许多数学家在这一领域取得丰硕的成果,他们的成就举世瞩目,无可替代.不等式的证明是高中学习阶段的重要内容之一,纵观近几年的高考,不等式的证明每年都有涉及,一般都出现在最后一题,可见它的困难和重要程度,因此不等式证明的学习既是重点也是难点,无论是求最值还是求不定量的范围都需要用到不等式的证明.所以,有必要对不等式的证明方法做一个全面的,科学的,系统的总结和归纳.1.构造函数法

1.1移项法构造函数

【例1】 已知函数f(x)ln(x1)x,求证：当x1时,恒有

11ln(x1)x.x1分析：本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数

11,从其导数入手即可证明.g(x)ln(x1)x1证:先证左边,令g(x)ln(x1)111x1, 则g(x) x1x1(x1)2(x1)2 当x(1,0)时,g(x)0;当x(0,)时,g(x)0 , 即g(x)在x(1,0)上为减函数,在x(0,)上为增函数,故函数

g(x)在(1,)上的最小值为g(x)ming(0)0, ∴当x1时,g(x)g(0)0,即ln(x1)110 x1 ∴ ln(x1)1 再证右边,f(x)1(左边得证).x11x1 x1x1 ∴ 当1x0时,f(x)0,即f(x)在x(1,0)上为增函数, 当x0时,f(x)0,即f(x)在x(0,)上为减函数, 于是函数f(x)在(1,)上的最大值为f(x)maxf(0)0, 1

江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）

因此,当x1时f(x)f(0)0,即ln(x1)x0

∴ ln(x1)x(右边得证).综上可知,当x1时,有11ln(x1)x x1【启迪】: 如果f(a)是函数f(x)在区间上的最小（大）值,则有f(x)f(a)

（或f(x)f(a))那么要证不等式,只要求函数的最小值不超过0就可得证． 1.2作差法构造函数

【例2】 当x(0,1)时,证明:(1x)ln(1x)x.分析:本题是一个单边不等式,很难直接看出两者有什么联系,因此联想到采用作差的方法,将两个函数变为一个函数.作差法是最直接把两者结合的方法且求导

后能很容易看出两者的联系.证:做函数f(x)(1x)ln(1x)x,易得f(0)0，221x)2x,当x0时,f'(x)0

而f'(x)ln(1x)2ln(又得,f''(x)22ln(1x)222[ln(1x)x]，1x1x1x 当x(0,1)时,f''(x)0

∴f'(x)在x(0,1)上递减,即f'(x)f'(0)0,即f(x)在(0,1)递减

∴f(x)f(0)0,从而原不等式得证.【启迪】: 本题先构造出一个函数并利用所设函数的导数判断函数的单调性,再根据单调

性的性质来证明原不等式如果一阶导数无法判断两个关系,可以采用二阶导数

来先判断一阶导数关系,再来判断原函数的关系.1.3换元法构造函数

122xxyy3.1xy2 【例3】 已知 ,求证:222 分析:本题看上去毫无联系,但发现xy经常出现在三角代换中.于是可以采用 换元法进行尝试,则结果显而易见.证:因为 1 其中12x2y22,所以可设xrcos,yrsin，22r22,02.1212 ∴xxyyrrsin2r(1sin2)

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1sin2, 222121322 r(1sin2)rr 22232121 而r3,r 222122xxyy3.2【启迪】:当发现不等式题目中含有x2y2,或者别的与x,y有关的不等式,可以采用换

元法.将x,y进行替换,再找两者的关系来进行论证.1.4从条件特征入手构造函数

【例4】 若函数yf(x)在R上可导且满足不等式xf(x)f(x)恒成立,且常数

a ,b满足0ab,求证:af(a)

xf(x)，(x)f(x)此时可以得到F(x)的导数为xf F(x)0,所以F(x)在R上为增函数，f(a)f(b)

af(a)bf(b)0ab, 得证.【启迪】：把条件进行简单的变形后,很容易发现它是一个函数积的导数,因此可以构造出

F(x),求导后即可得到证明结果.1.5主元法构造函数

【例5】 设a,b,c,dR,且满足(abc)求证:abbcca22(a2b2c2)4d，3d

分析:本题初看含有四个未知量,且题目中只含一条不等式,因此解题时必须从这条

不等式入手,对其进行变换.证:把a看成未知量进行化简,得一元二次不等式

2(bc)a(bc)24d0

22xaf(x)x2(bc)x(bc)4d

用替换,构造一个函数 a2x2前面的系数大于0,所以该抛物线开口向上

且当xa时,f(a)0.224(bc)4[(bc)4d]0

其判别式 

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d.同理把b,c看成未知量,可得cad,abd

叠加可得abbcca3d.化简,得bc【启迪】:有些复杂的不等式可以看成一个未知量的简单不等式,再找几个未知量之间的关系,进行证明.1.6构造形似函数

【例6】 当abe时,证明ab.分析:要证ab,只要证lnababablnba,即证明blnaalnb0, 也就是要证明blnxxlnb,因此构造函数

f(x)blnxxlnb,然后只需要证明 证:要证ab,只要证lnabaf(x)单调递减就可以了.blnb xblnba即证blnaalnb0

设f(x)blnxxlnb(xbe),则f(x) be,xb lnb1, b1f(x)0 xf(x)在(e,)上单调递减.ab

f(a)f(b)故blnaalnbblnbblnb0

ba 即blnaalnb ab.【启迪】:在证明简单不等式时,可以采用求导等变换来构造出一些相似的函数,再利用函

数的单调性来证明简单不等式.2.比较法

2.1作差比较法

【例1】 若0x1,证明loga(1x)loga(1x),(a0,a1).分析:用作差法来做,则需去掉绝对值,必须要分a1和0a1两种情况来考虑

问题.证:(1)当0a1时,01x1,11x2

loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)

0x1,01x

1loga(1x)0,得证.（2）当a1时,01x1,11x2

 loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)

0x1,01x1

22222 江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）

loga(1x)0,得证.综合（1）（2）可得loga(1x)loga(1x).【启迪】:当不等式两边的式子比较相近,或者是对数式子时可以采用作差法来尝试.2.2作商比较法

【例2】 设a,bR,且a0,b0,求证(ab)ab22aabb.分析:发现作差变形后符号很难判断,且无法化简,考虑到两边都是正数,可以作商, 判断比值和1的大小关系,从而来证明不等式.证:ab0,(ab)abab20,将不等式两边相除，ba2baa()2 baabb 得(ab)ab2aab2bbaa21.当ab时,()baab10, 当0ba时，b2baaa02()()1.由指数函数的单调性可知,bbbaaa0aab2()()1.10 当0ab时，,同理可得bbb2 综上所述,对于任意的正实数a,b都有(ab)ab2aabb.【启迪】:当遇到作差法无法解决的问题时可以采用作商法来证明不等式,使用作商法的前

提条件是不等式两边均要大于0,一般为指数函数的形式.3.放缩法

2n1an(nN)

【例1】 已知数列an的前n项和为sn12(1)设xn(2n1)sn,求证:数列xn为等差数列.11115..........(2)当n2时,2.222xnxnxx321n22n 分析:本题分为两小题,第一小题是考察数列的知识,是为第二小题做的铺垫,在做

第二小题时,需要采用放缩来证明,来把不等式的左边放大来比较.2n1(snsn1)

证:(1)当n2时,sn12

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化简,得(2n1)sn2(2n1)sn1

由已知条件得xn 其通项公式为xn xn是以首项为x1xn12,即xnxn12

2公差d2的等差数列，2n.1111..........(2)2222 xnxnxx1n22n11111......] [2222 4n(n1)(n2)(2n)11111......] [4n(n1)n(n1)(n1)(n2)(2n1)(2n)1111111[()()()......4n1nnn1n1n

2111111n1()]()()2n12n4n12n42n(n1)1n1  42(n1)26(n1)411 44

2(n1)6n14 令f(n)2(n1),当n2时,f(n)的值随着n的增大而增

n1 大,f(n)f(2), 111136 即4 44f(2)616322(n1)6n1111152.222..........xnxn1xn2x2n32【启迪】: 采用放缩法题目一般比较开放,且没有固定的放缩范围,一般比较灵活,且方法

较多.4.判别式法

7 【例1】 已知xyz5,xyz9,求证x,y,z都属于1,

3222

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分析:实系数一元二次方程ax2bxc0有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的充要条件是: b 记4ac0、b24ac0、b24ac0．

b24ac,称其为方程是否有实根的判别式.同时也是与方程对应的

函数、不等式的判别式.此题含有三个未知数,所以要进行替换.222z5xyxyz9中

证:有条件可得,代入 化简可得:x 2(y5)xy25y80

xR,且方程有解,根的判别式b24ac0

2277y1,.即(y5)4(y5y8)0,解得1y,即3377 同理,替换x,y可得z1,,x1,.33 得证.【启迪】:本题看似复杂,含有三个未知量,其实只需要简单的几个步骤就解决了,因此在解决这类问题时,第一步是替换未知量,第二部把另一个未知量看成已知量,再

用根的判别式来确定范围.5.反证法 【例1】 设0a,b,c1,求证:(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于.分析:本题的结论为否定形式,适合用反证法来证明,假设命题不成立,从而导出矛

盾.证:假设(1a)b,(1b)c,(1c)a三个数都大于, 则有(1a)b111,(1b)c,(1c)a 444 又0a1,0b1,0c1

111(1a)b,(1b)c,(1c)a.222 7

江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）(1a)b(1b)c(1c)a 

2ab1abab(1a)b 又由基本不等式得，221bc1ca(1b)c,(1c)a, 把上面三个式子相加得(1a)b(1b)c(1c)a3  2 显然与相矛盾,所以假设不成立.(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于.4【启迪】:命题中出现“至少”,“都”,“同时”,“至多”等字样时,可以采用反证法, 反证的关键在于找出与命题相反的结论,然后再用假设的条件推出矛盾.6.向量法

a2b2c212.【例1】设a1,b1,c1,证明:

b1c1a1 分析:本题只有一个已知条件,且结论也无法化简,因此可以想到高中最直接的方法

向量法,构造两个向量.利用向量的知识进行解决.m 证:设(a2b2c2，),n(b1,c1,a1)b1c1a1m 则na2b2c2b1c1a1 b1c1a1abc

222abc abc3cosb1c1a1a2b2c2abc3

b1c1a1a2b2c2abc  b1c1a1abc33 abc3

abc3 23

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a1,b1,c1.a2b2c212.两边同时平方可得

b1c1a1 得证.7.不等式证明的具体应用

1125【例1】 已知a0,b0,且ab1,求证(a)(b)

ab4分析:本题是高中阶段一道普通的不等式证明题,如让学生独立完成,可得到如下解决

方法.解法一:分析法

1125(a)(b) 要证，ab4222 只要证4ab4ab25ab40， 即证4ab233ab80，1ab或ab8.即因为a0,b0,ab1,所以ab8不成立.1ab 又因为1ab2ab,所以.得证.解法二:作差比较法

ab1,a0,b0 ab2ab,ab

41125a21b2125 (a)(b)ab4ab44a2b233ab8(14ab)(8ab)0

4ab4ab1125 (a)(b).ab4

解法三:三角代换法

ab1,a

0,b0

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 故设asin,bcos,0,

21122)(cos)则原式(sin22sincossin4cos42sin2cos22 

4sin22(4sin2)216  24sin222  sin214sin2413.1122.(4sin2)1625,24sin241125 (a)(b).ab422本题归纳与小结:本题一共采用了3种不同的方法,第一种是从问题入手,对问题进行一步

步的剖析,有逆向思维的方式,是把问题具体化,把所要证明的问题转化

为所学的知识,或者已知条件.只要分析的过程合理,一般过渡的结论很

容易得到.第二种方法也是根据问题入手,不同的是它把问题直接改变为

一道运算式,这样就把问题变为运算式结果与零比较大小,因为题目所给的数字往往让在解题时无从下手,无法想出这个数字从何而来,一但转化

为零后,解题时只需要考虑对算式的变形,最后只需判断算式的正负号.第三种方法使用范围比较小,它一般具有特殊的条件如ab1, a2b21这种情况下会考虑三角代换,采用三角代换最需要注意的是

角的范围,一般学生在采用代换时往往忘记角的范围,从而无法确定三角

函数值的范围,容易产生多解或错解.这种方法好处在于已经知道了三角

值的范围,且三角函数含有多种变形方式可以对式子进行更好的化简.并

且利用三角值的确定性能很快的得到所求式子的范围.本题三种方法均

可采用,根据学生个人的掌握程度来选择方法.本论文主要对高中不等式的常用证明方法进行简单的总结,使中学生在证明不等式时有法可依,能尽快的找到适合的方法,主要介绍构造法,作差法,放缩法,判别式法,反证法,向量法这些常用的方法.江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）

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