善于举例_(数学教师的基本功之一_郑毓信)

第一篇：善于举例_(数学教师的基本功之一_郑毓信)

善于举例_(数学教师的基本功之一_郑毓信)

善于举例

“数学教师的基本功”之一 郑毓信（人民教育2008 19）

编者按一个数学教师，除了应具备一般教师的教育素质，具备一定的数学素养，还应该具备哪些能力呢?南京大学哲学系教授郑毓信对此产生了诸多思考。他认为，数学教师的“数学教育”能力，既不应等同于“教育”，也不应等同于“数学”，或者两者的简单组合，而是一种特殊的能力。为此，他提出了数学教师的三个基本功：善于举例、善于提问、恰当处理多元化与优化的关系。本刊从这期起连载此三篇文章，以飨读者。

抽象性常常被说成数学最为基本的一个特性。帮助学生较好地理解与掌握抽象的数学概念与数学理论，这是数学教学的一项基本任务。实现这个目标的一个基本手段就是恰当地举例——会举例，善于举例。这应当被看成数学教师的一个基本功。

应当指明，就高度抽象的数学概念而言。举例并非一件易事。以下就是笔者在南京大学执教时的一个亲身体验：

由于函数是数学中最为重要的基本概念之一，因此，作为大学微积分学课程的开端，笔者首先对学生关于函数概念的掌握情况进行了解。结果发现：尽管当时的教学对象是文科学生，但大部分人都能正确地表述出函数概念的“三个要素”。即自变量、因变量和对应关系。进而，笔者又要求学生联系实际生活举出函数的若干实例，这一任务对学生来说应当不会有任何困难．因为在中学的全部学习过程中，他们已经接触到了各种各样的函数．教材中也已给出了这些函数的若干实例。另外，在物理和化学等课程的教学过程中学生也常常会遇到各种各样的函数。如弹簧的长度与拉力的关系、炮弹的射程与发射角的关系，等等。

然而，出乎意料的是，学生却普遍表现出了一定的困难。当时有一个学生举出了这样的例子：“一个人的年龄与他所消耗的食品以及与他所消耗的衣物之间的关系。”

“这能否被看成函数的实例?”笔者组织学生对此进行了简短讨论。以下的“修正”很快为全班一致接受了：我们在此应当首先实行必要的量化，因为，在目前的水平上．函数所涉及的只是数量之间的关系。然而，当教师提出以下问题后．大部分同学却陷入了思想混乱：“但是，一个人所消耗的食品或衣物与他的年龄之间并不存在必然的联系。这就是说，当他20岁时，他所消耗的食品可能是X吨。也完全可能是(X+1)吨或(X一1)吨。这种‘不确定性’是否与函数定义中所说的‘确定的对应关系’相矛盾?”

由于笔者没有立即提供相应的解答．而是让学生自己去思考．因此，在这一堂课后就有不少同学反映：“对于函数概念我们原来是懂的，现在反而不懂了!”

当然．这些学生所说的“原来是懂的”，其实并不是真懂；另外，就我们目前的论题而言，这也就十分清楚地表明：举例特别是举出适当的例子实非一件易事。

对于上述的例子，相信一些教师会认为：您这是就较为高深的数学概念而言的，如果是初等数学就不存在这样的问题。例如．通过1个苹果、两只桔子等实例我们就可顺利地帮助学生掌握1、2、3等概念及其运算：再例如。只需借助木制的三角尺与黑板上所画出的各种三角形等，我们就可帮助学生顺利地建立起三角形的概念⋯ ⋯

上面的看法应当说有一定道理．但是，作为问题的另一方面，我们又应强调指出：尽管数学教学中时时都在用到各种各样的例子。但例子又有“好”与“坏”。或者说“恰当”与“不恰当”的区分。作出这种区分的一个重要标志是：这些例子是否真正有利于学生很好地去掌握相应的抽象概念。“会举例、善于举例”的一个具体内涵．就是应当有利于学生较好地实现由具体实例向抽象数学概念的重要过渡。

显然．从这样的角度去分析，我们也就可以立即看出以下论述的不足之处：“数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种‘解读’。”因为。如果采用皮亚杰的术语，数学学习并非仅仅是一种“同化”(用建构主义的话来说，就是“意义赋予”)，而且也是一个“顺应” 的过程．即如何能够超出生活经验并学会数学地思维，特别是数学抽象。

下面这个四年级的教学实例①能给予我们直接的启示。

任课教师要求学生求解这样一个问题：“52型拖拉机，一天耕地150公亩．问12天耕地多少公亩?” 一位学生是这样解题的：52x150x12=(略)。接下来就出现了这样的师生对话：

“告诉我．你为什么这么列式?” “老师。我错了。”

“好的，告诉我．你认为正确的该怎么列式?” “除。” “怎么除?”

“大的除以小的 ” “为什么是除呢?” “老师。我又错了。”

“你说。对的该是怎样呢?” “应该把它们加起来 ” 显然，这位学生是在瞎猜。

“我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼．5天吃几个大饼?” “老师，我早上不吃大饼的。” “那你吃什么?” “我经常吃粽子 ”

“好。那你每天吃两个粽子．5天吃几个粽子?” “老师．我一天根本吃不了两个粽子。” “那你能吃几个粽子?” “吃半个就可以了。”

“好，那你每天吃半个(小数乘法没学)粽子，5天吃几个粽子?” “两个半。”

“怎么算出来的?”

“两天一个，5天两个半。” ⋯ ⋯

对话进行到这里就很有点“搞笑”了!但是，如果要对这个学生的问题进行诊断．我想大家都会得出这样的结论：他所缺乏的并不是生活经验。而是数学抽象的能力。尽管这个学生已经上到了四年级．但在由“日常数学”上升到“学校数学” 这一方向上并未获得真正的进展。

在此我们应清楚地认识到：数学抽象事实上是一个模式化的过程。作为数学抽象的产物。数学概念(与命题)所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质— — 这就是所谓的“模式”。它与通常所说的“模型”是不同的．模型从属于某个特定的事物或现象．也就不具有模式那样的普遍意义。模式化的一个重要特征，就是“去情境化、去时间化和去个性化”。这意味着与现实原型在一定程度上的分离。由此可见数学教学中对于例子的恰当应用的重要性。

最后，从更为广泛的角度看．恰当举例不仅适用于数学教学，也适用于数学教材的编写：不仅适用于数学学习．而且也适用于任何一种抽象理论甚至是“研究传统” 的学习或继承。例如，著名科学哲学家库恩清楚地指明了“范式”对于科学活动的特殊重要性：常规情况下的科学研究就可被看成范式指导下的解疑活动；进而，就范式的学习而言．库恩又突出地强调了这样一点：只有借助于范例我们才能真正掌握相应的范式。“最基本的是．范式是指某些具体的科学成就事例，是指某些实际的问题解答．科学家认真学习这些解答。并仿照它们进行自己的工作。”②显然，这事实上也就更为清楚地表明了在具体与抽象之间所存在的重要的辩证关系。

另外，现代数学学习心理学的研究也为以上的论述提供了重要的论据。研究表明，就数学概念的学习而言，我们应对“概念定义”与“概念意象”作出明确的区分，因为，在大多数情况下。数学概念的心理对应物(心理表征)并非相应的形式定义．而是一个由多种成分组成的复合体。其中例子占据了十分重要的地位，它为主体获得适当的心理图像(视觉形象，对此不应简单地等同于直观形象)提供了直接的基础。

由此可见，我们不能停留于各个具体的例子。特别是不能停留于学生已有的知识和经验．而应努力帮助学生由具体实例上升到抽象的数学概念。但是，我们如何才能帮助学生很好地实现所说的“抽象” 呢? 先来看一个真实的故事。

20世纪60年代．一个数学家的女儿由幼儿园放学回到了家中．父亲问她今天学到了什么?女儿高兴地回答道：“我们今天学了‘集合’。”数学家觉得要学习这样一个高度抽象的数学概念，女儿的年龄实在太小了。因此就关切地问道：“你懂吗?”女儿肯定地回答道：“懂!一点也不难。”“这样抽象的概念会这样容易懂吗?”听了女儿的回答。作为数学家的父亲仍然放不下心．因此就追问道：“你们的老师是怎么教你们的?” 女儿回答道：“女教师首先让班上所有的男孩子站起来．然后告诉大家这就是男孩子的集合；然后．她又让所有的女孩子站起来．并说这是女孩子的集合；接下来．又是白人孩子的集合．黑人孩子的集合⋯ ⋯最后教师问全班：‘大家是否都懂了?’她得到了肯定的答复。”

显然．这个教师所采用的教学方法并没有什么问题。甚至可以说相当不错。因此．父亲就决定用以下的问题作为最后的检验：“那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合?”迟疑了一会儿。女儿最终作出了这样的回答：“不行!除非它们都能站起来!”

由此可见，学生的认知发展水平正是实现上述目标的一个必要条件。

从教学的角度看．比较应被看成实现数学抽象最为重要的一个手段。从这样的角度去分析．现行数学教学中经常可以看到的以下做法并非十分恰当．因为。这完全忽视了数学思维的特殊性。从而对于学生学会数学抽象就不是很有利：

“分类”的教学常常是这样组织的：教师首先拿出事先准备好的一些模块— — 其中不仅呈现出了各种不同的形状．如三角形、四边形、圆形等．也被涂成了各种不同的颜色．它们是用一些不同的材料制成的．包括木制的、硬纸片的、塑料的等—— 教师要求学生对这些模块进行分类。在一般情况下学生往往会给出多种不同的分类方法．教师对此往也会普遍地加以肯定．甚至还会积极地鼓励学生去提出新的、更多的分类方法⋯ ⋯

与此相对照，以下教学方法不仅有利于学生顺利地求解所面对的“水池问题”，而且也包含了由“表层结构”向“深层结构”的重要过渡，达到了更高的抽象层次：“学生在解决有关往水池里注水的问题时．会认为水池一边开进水管．一边开出水管．不论经过多长时间．都不会注满水池。在教学时，教师可以不急于讲解，而是引导学生寻找生活中类似的实例。(1)追及问题。客车每小时行4O千米，小汽车每小时行50千米。现在客车在小汽车前25千米的地方． 同时沿笔直的公路行驶． 多长时间小汽车能追上客车?(2)储蓄问题。爸爸每月工资420元．妈妈每月工资300元．每月平均支出450元，余下的钱存在银行，几个月后能购买一台价格1350元的电视机?通过小汽车追上客车、家庭每月收支情况的实例，学生就容易弄明白． 只要进水量大于出水量． 经过一段时间水池就一定能注满水 ” ⑧

另外．为了帮助学生很好地掌握数学概念的本质，我们在教学中不仅应当十分重视以所谓的“非标准变式”作为“标准变式”的必要补充。而且也应通过“概念变式”与“非概念变式”的必要对照。帮助学生切实避免或纠正各种可能的错误。

具体地说，在通过某些具体实例引出数学概念的同时．为了防止学生将相关实例的某些特殊性质误认为相应概念的本质属性。我们在教学中就不应局限于平时所经常用到的一些实例(这就是所谓的“标准变式”)，也应当有意识地去引入一些“非标准变式”。

例如，以下就是在教学中经常可以看到的一些错误观念，而学生之所以会形成这些错误观念，往往就与我们在教学中所使用的只是“标准变式”有着直接的关系：角必定有一条水平射线：直角必定是指向右边的角：三角形和四边形的底边都应处于水平位置：三角形的高必须处于垂直的位置．并必定与三角形的底边相交：对角线不可能处于垂直或水平的位置显然，从这样的角度去分析，我们也就可以理解引入以下一些“非标准图形” 对于改进教学的积极意义(图1)：

标准图形

非标准图形 垂直 菱形 三角形的高

图1 再者，由以下图形(图2)我们可以很好地理解“非概念变式”的作用：就概念的理解而言 这事实上起到了“反例”的作用，从而对于防止或纠正学生的错误观念也就具有特别的重要性。概念图形④ 非概念图形

标准图形邻角非标准图形对顶角

图2 注释：

① 此例来自俞正强：《不让一个学生落后》，《人民教育》，2007年第7期。

② [美]库恩：《必要的张力》，纪树立等译，福建人民出版社，1981年版，第346页。

③ 本刊记者：《慎思敏行——访江苏省特级教师祝中录》，《小学数学教学》，2007年第9期。(责任编辑余慧娟)（维普资讯 http://www.xiexiebang.com）

第二篇：郑毓信：培养学科气质,做大气的数学教师

郑毓信：培养学科气质，做大气的数学教师

[编者按]在首届中国小学数学教育峰会上，南京大学哲学系教授郑毓信对小学数学教师的的气质进行了阐述。

随着近年来对教师专业素养以及数学与生活的关系的关注，学科气质渐渐进人大家的视野。

数学教师应该有什么样的独特气质？

什么样的课能被称作真正好的数学课？

成为很多人追问的话题。

南京大学哲学系教授郑毓信认为，数学的核心是理性精神。无论课程教学怎么改革，数学教育都要牢牢抓住数学的基本问题。什么是数学教育的基本问题?数学思想、数学方法和数学教育思想。

目前我们的数学课，在学科气质上仍有许多不足之处。

“比如课堂评价语言。我们听得比较多的是，很好，你真棒。这是什么语言?社会性语言。现在的关键是怎么从社会性的用语向学科性的用语转变。一个班级讨论文化的塑造必须经历心理的、社会的、科学的发展阶段。”

而较为严重的问题是，作为学科气质的核心内容，思维的深刻性并未受到重视，最明显的表现是，课堂思考多为即时型，长时思考几乎为空白，而正是长时思考决定了思考的深度。

获诺贝尔奖的日本数学家广中平佑说：

“我认为思考问题的态度有两种，一种是花费较短时间的即时思考型，一种是花费较长时间的长期思考型，所谓的思考能人，大概就是指能够根据思考的对象自由自在地分别使用这两种类型的思考态度的人，但是现在的教育环境不是一个充分培养长期思考的环境„„没有长期思考型训练的人，是不会深刻地思考问题的„„无论怎样训练即时思考，也不会掌握前面谈过的智慧深度。” 郑毓信教授认为，这段话于我们也有很强的针对性。

然而真正的气质来自数学文化。

“数学教师有三个层次：

仅仅停留在知识层面的，是教书匠；

能够体现数学思维的，是智者；

而能进行无形的数学文化熏陶的，则是大师。”

他呼吁大家“要做大气的小学数学教师”。

此次中国小学数学教育峰会由人民教育编辑部与浙江省杭州市上城区教育局共同主办，浙江省教育学会小学数学教学分会、杭州市上城区教育学院等协办。会议以报告或研究课的形式聚焦于近10年数学课改中的焦点话题与研究课题，在小学数学教师中引起较大反响。

第三篇：小学数学教师基本功

小学数学教师基本功

小学数学教师基本功很多,主要有以下几方面: 1,计算基本功,它包括口算,速算,估算与四则混合运算.为保证小学生具有一定的计算能力,要求一些基本口算达到熟练的程度即可.预测计算是小学数学教学的一项内容,加强口算与估算,可以提高学生的基本素质,在计算教学中,要重视算理教学和过程教学,因此,小学数学教师必须掌握估算,速算与四则混合运算,熟练掌握计算机,计算器的原理与用法.2,逻辑思维基本功:思维能力是智力的核心,逻辑思维基本功包括分析综合基本功,比较抽象基本功,归纳,类比基本功,检验和论证基本功.3识图,画图基本功:空间想象能力是人们对客观事物的空间形式及符号表示,进行观察,分析,抽象思考的能力,作为合格的小学数学教师,识图,画图是从事小学数学教学必备的基本技能,包括能熟练的使用绘图工具画出平面几何图形和其它示意图.会画小学数学教材中的角,垂线与平行线,多边形,圆等简单几何图形的组合图形;能熟练地进行命题画图.包括:“执意画图”,即把文字,语言(或符号)一句句直接转化为图形;“推理画图”,即根据条件弄清图形的基本元素和位臵关系,进而构思成图;“命题画图”,即根据命题条件,画出图形,并且把命题结论在图形中反映出来.能熟练地分解图形,能从复杂图形中抓住基本图形,分析图形中元素间的关系.根据直观图形,思考空间图形及其位臵关系.4,数学语言基本功:语言是人类特有的信息交流和感情交流的工具,世界上的语言各种各样,数学语言是其中的一种.掌握数学语言有利于学生掌握数学基础知识,有利于发展学生的思维能力,有利于教师进行小学数学教学工作.数学语言有别于其它语言,它是用来认识和处理数量关系与空间形式的特殊语言,具有确定性和抽象性,数学语言要求能用词语正确的表达数学内容,能用简明的语言,叙述的数学内容具有科学性,符合客观事实或已有的科学理论,要逻辑严密,无懈可击.数学语言分为口头表达和书面表达两种,口头表达要语音适度,节奏分明,形象生动,要做到“八戒”和“六性”.书面语言包括文字语言和图形语言三种,文字语言要求题文要一致,叙述要简明,判断要恰当,措词要精确,叙述要层次分明.数学符号语言包括:个体符号,运算符号,关系符号,性质符号和其它符号,书写数学符号应注意,书写要准确,符号要统一,要注意习惯用法,要便于观察.图形是表达数学内容的一种形式,小学数学中常见的图形有:线段图,框图,集合图和几何图.5,解题基本功:解题是促进数学发展的重要因素之一.从小学数学教师的工作来看,小学生学数学,实质上是在学习解题.学生掌握概念,弄清定理,公式,都少不了解题这一重要环节.甚至可以说,解题是数学教与学过程中的载体.因此,教师自身的解题基本功将关系到数学教学质量的高低.数学解题要求正确,合理,完整,简洁和清楚.6,教材分析基本功:教材分析是小学数学教师的一项重要基本功.它直接关系着能否圆满地完成教学任务,实现教学大纲的教学目的要求.小学数学教材是根据小学数学教学大纲编写的.编写时,既要处理好知识内容的科学性,系统性和思想性,又要适应小学生的年龄心理特征,还要注意渗透一些现代数学思想方法,以培养学生的能力,发展学生的智力等.因此,教师必须认真分析教材,正确领会教材的体系,把握教材的重点,难点和关键,挖掘教材中渗透的数学思想方法和德育因素,并且根据教材的内容,结合学生的实际,恰当地确定教学目标,只有这样才能圆满地实现大纲规定的教学目的要求,完成教学任务.7,教材组织基本功:课堂教学是学校教学工作的主要形式,学生数学知识的获得,技能技巧的形成,能力智力的发展及良好的非智力因素的培养,主要是通过课堂教学实现的.因此,课堂教学质量的高低,直接关系到小学教育的质量.课堂教学涉及的因素很多,提高课堂教学质量,其中,教学内容的组织安排非常重要,每个小学教师必须具备“教材组织”这一重要基本功.“教材组织”是指课时教学内容如何在教材分析的基础上,根据学生实际进一步进行教学法加工.8,板书设计基本功:“板书”是指教师讲课时在黑板上所写的文字,字母,符号以及所画的图表.板书的目的是使讲授内容按一定的形式系统地,有条理地显现在黑板上,以揭示知识的内在联系,引导学生的有意注意,突出教学的重点与关键,把静止的教材内容变为有动感的视觉形象.它是科学性与艺术性的统一体,是学生掌握教学重点的依据,它利用图表,色彩,线条,板画等形式强化板书的艺术渲染,不仅能激发学生的学习兴趣,而且能给学生以美的享受和熏陶.虽然现代教育技术在教学中使用很普遍,但是它仍不能替代板书.因为板书可以激发兴趣,增强记忆,提纲挈领.9,现代教育技术运用基本功:现代教育技术为教师

提供了多种现代化的教学工具,教师在教学中要注意使用这些工具.10,教研和科研基本功:会写各类教学总结和有关的教育论文.

第四篇：郑毓信教授对《植树问题》的解读详细内容

郑毓信教授对《植树问题》的解读详细内容:

一、“归类(模式的建构)”与“分类”

首先应当指明，就“植树问题”这一内容的教学而言，事实上涉及了两种不同的数学活动：其一，以“植树问题”为(现实)原型引出普遍性的数学模式(例如，可以称为“分隔问题”)，然后再利用这一模式去解决各种新的实际问题，如路灯问题、排队问题、锯树问题、爬楼问题等。其二，对于上面所提到的每一个问题，我们又都可区分出三种不同的情况，就“植树问题”而言，这也就是所谓的“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”。现在的问题是：就上述的这两种活动而言，究竟何者应当成为这一教学活动的重点?什么又是这一教学活动的真正难点?

由于笔者并未实际从事过这方面的教学实践，对于上述问题就很难作出最终的解答；但在笔者看来，这无疑又是这方面最为基本的一个事实：如果学生未能清楚地认识到路灯问题、排队问题、锯树问题、爬楼问题等都与“植树问题”有着相同的数学结构，即可以被归结为同一个数学模式，那么，对他们来说“这究竟属于„植树问题‟中的哪个类型啊”这样的问题就是完全没有意义的，从而，在这样的意义上，我们也就可以说，上述的“模式建构(与应用)”要比“三种情况的区分”有着更大的重要性(对此在以下还将作出进一步的沦证)，从而在教学上我们也就应当对于前者予以更大的关注。

例如，以下的一些“教学体会”或许也就可以被看成对于上述结论的一个旁证：“有些学生虽然会解决这一问题，但这些学生尚不能把植树问题的解决方法与生活中相似的现象进行知识链接，这就导致了能找到规律但不会熟练运用规律……”进而，也正是从这一角度去分析，笔者认为，就这一内容的教学而言，尽管“植树问题”可以被看成提供了一个很好的“现实原型”，但在教学中我们又必须超出这一特定情境而引出普遍的数学模式。例如，从这样的角度去分析，如何能够帮助学生清楚地认识到所有这些具体问题事实上都有着相同的数学结构就是十分重要的；进而，就后一目标的实现而言，以下一些教学设计又是十分恰当的。如在教学中明确提出“分隔问题”这样一个概念，并清楚地总结出相关的计算法则“路的长度÷间隔长度＝间隔数”，又能够利用适当的图形或符号以帮助学生很好地建构起相应的数学模式，包括通过正反两个方面的练习帮助学生更好地去掌握这一模式。(如同时出现已知路长和间隔米数求路灯数，已知间隔米数和路灯座数求路长。)

二、规律的“机械应用”与思维的灵活性

这里所涉及的主要是这样一个问题：即使不是在上述的对比意义上，我们在教学中又是否应当对于“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”这样三种情况的区分予以特别的重视，并要求学生牢牢地记住相应的计算法则(“加一”“不加不减”“减一”)从而能在面对新的类似问题时不假思索地直接加以应用。

在对上述问题作出明确解答前，我们或许可以先来思考这样一个问题：就“植树问题”而言，是否真的就只有“两端都种”“只种一端”“两端都不种”这样三种情况。进而，如果在现实中我们所面对的是以下一些“特殊情况”，如“由于中间是大门，因此就有若干个间隔不需要种树……”，或“如果要求在两端都种两棵树……”，或“要求间隔地种树与种花……”，我们又应如何去做。特别是，在所说的情况下我们是否也应要求学生总结出相关的类型，包括牢牢地去记住相应的“规律”(“加二”“减二”“乘二”“除二”)。

我想上面的论述已经十分清楚地表明，将“三种情况”的区分以及相应的计算法则看成是一种“规律”并要求学生牢固掌握从而就能直接加以运用恐怕不很恰当。毋宁说，在此真正重要的应是“一一对应”这样一个数学思想，就“植树问题”进行分析，这也就是指，在此真正重要的是在“间隔”与“树”之间所存在的一一对应关系。进而，所谓的“加一”“减一”等法则又只是针对具体情况作出的适当变化，从而，在此真正需要的也就并非“规律的应用”，而是思维的灵活性，即如何能够依据基本模式并通过适当变化以适应变化了的情况。(更为一般地说，这也就是指，“基本技能不应求全，而应求变”。)

综上可见，就“植树问题”的教学而言，我们事实上应当区分出这样两个不同的教学要求或教学环节：第一，突出“分隔问题”，即如何能以“植树问题”为背景并通过适当的教学手段帮助学生建构相应的数学模式；第二，明确引出“间隔数”与“所种树的棵数”这两者的关系，突出“一一对应”的思想，并以此为基础并通过适当变化以求解各种变化了的情况。进而，对于“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”这样三种情况的区分我们则不必过于强调，更不应将相应的计算法则看成是重要的规律乃至要求学生牢牢地去记住并能不假思索地加以应用。

再者，笔者认为，以上的分析事实上也就表明：相对于“化归思想的渗透”这一提法而言，我们事实上应当更加重视“模式化”与“一一对应”的思想。当然，对于后者在教学中究竟应当明确提及还是停留于渗透这样一个问题，我想就只有依据更多的教学实践与认真的总结才能作出正确的解答。

三、现实原型与数学模式

以下再从更为一般的角度对“现实原型”与“数学模式”之间的关系做一简要的分析。

众所周知，对于“情境设置”特别是现实情境的突出强调正是课改以来教学方法改革的一个明显特点。当然，与最初的简单化认识相比，人们现已形成了这种的共识：我们既应明确肯定现实情境对于新的数学学习活动的积极意义，同时又应清楚地看到“超越”现实情境以实现数学抽象的重要性，这也就是指，数学教学既应重视情境设置，同时又必须“去情境化”，即应当帮助学生实现必要的抽象。

显然，上述的认识事实上也为我们很好地去处理“植树问题”与“分隔问题”(指相应的数学模式)的关系指明了基本原则。另外，在笔者看来，由“植树问题”我们可获得关于究竟什么是一个好的“情境设置”的有益启示，这就是指，就相关内容的教学而言，特定情境的设置不应仅仅起到“敲门砖”的作用，即仅仅有益于调动学生的学习积极性，也应当在课程的进一步开展中自始至终发挥一定的导向作用。

值得指出的是，一些学者因此而提出了“认知基础”这样一个概念，即认为在数学的教学活动中我们应当努力去发现这样的实例，它们既是学生所熟悉的，同时又能为新的抽象活动提供合适的基础——具有这种双重性质的实例就是所谓的“认知基础”；进而，与此直接相关的还有所谓的“范例教学法”，而后者的核心思想也就在于如何能够很好地处理特殊与一般(“范例”与新的数学抽象)之间的辩证关系。

例如，美国已故著名数学教育家戴维斯在《数学学习：数学教育的认知科学研究》一书中就曾给出过关于如何利用“范式教学法”去进行负数教学的一个实例。他明确指出，一个好的“认知基础”应当具有这样的性质：它能“自动地”指明相关概念的基本性质或相关的运算法则，这也就是说，借助于相关的“认知基础”，学生即可十分顺利地去作出相应的发现而无须依靠对于相关法则的简单记忆与机械应用才能解决所面临的新的类似问题。显然，后一结论事实上也就更为清楚地表明了这样一点：就“植树问题”的教学而言，与其说三种类型(“两端都种”“只种一端”“两端都不种”)特别是相应的计算法则确实不应被看成某种必须死记硬背的规律或法则，毋宁说，在面对新的类似问题时，这主要地只应发挥一种“认知基础”的作用，即能够“自动地”去指明相关的运算法则，包括如何能够依据新的变化了的条件(如“中间不种”等)作出适当的调整。

最后，也正是从这样的角度去分析，我们又可看出，“原型”的恰当性与相应的教学目标也有很大的关系。例如，如果与“分隔问题”相比，我们更加重视如何能够帮助学生很好地去掌握“一一对应”的思想，那么，所谓的“一一间隔”(例如，黄白间隔排列的一串乒乓球，男女生间隔排列的一列学生，等等)与“植树问题”相比可能就更为恰当。(值得提及的是，以下也正是相关教师对于这一教学活动的一个反思，而这与上面的分析显然是十分一致的：“通过改变问题的已知条件，体现一题多练，通过对比让学生发现解决问题不是一味地„加一‟或„减一，而是要看清已知条件和所求的问题。”)容易看出，后一分析事实上也就清楚地表明了这样一点：为了搞好数学教学，我们应当深入研究教材，但这又并非是指为教材所拘，而是应当创造性地去进行教学。

第五篇：数学教师基本功测试卷(0812)

数学教师基本功测试卷（08.12）

校区__________姓名_____________得分__________

1、102＋104＋108＋116＋132－101－103－109－127－181=____________。592、一条线段之间有10个分点，共有__________条不同的线段。663、A有28本书，B有44本书，B给A__________本后，A的本数是B的3倍。264、分子小于6，而分母小于10的最简真分数共有__________个。235、一个圆锥的底面半径与一个圆柱的底面直径相等，二者的高也相等。圆锥体与圆柱体的体积比是__________。4：36、A、B、C、D四人考试分别获得了一、二、三、四名，已知A不是第一名，B是第一名，或第三名，C是第二或第三名，D不是第二名或第四名，第二名是__________。C7、将360拆成9个自然数的和，使这9个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是3，那么么2个和第6个数分别是__________和__________。31438、某个游戏，满分为100分，每人可以做4次，以平均分为游戏的成绩。小王的平均分为85分，那么，他任何一次的游戏的得分都不能低于__________分。409、有一袋糖果分给幼儿园的小朋友，如果每人分4粒糖，就多出5粒，如果每人分5粒，就会有1人分到4粒。请问，小朋友有__________人，这袋糖果有__________粒。6 2910、有一串数，已知第三个数是9，第七个数是3，而且任何连续三个数的和都是18，那么这串数中的第2003个数是__________。611、如果两个自然数相除，商是16，余数是13，被除数、除数、商与余数的和是569，那么被除数是_________。50912、两年前，爸爸的年龄是小红的6倍；一年后，爸爸的年龄是小红的4.5倍，今年爸爸__________岁，小红__________岁。44913、小明家买了一堆苹果，分成三等份后剩余一个，他第一次吃掉二等份及这一个，将剩下的苹果再三等份还是剩下一个，再吃掉二份及这一个，将剩下的苹果再三等份还是剩下一个，那么，原来至少有__________个苹果。4014、甲乙两辆汽车同时从东西两地相向出发，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇。东西两地的路程是__________千米。83215、服装商场进了一批儿童服装，按40%的利润定价出售，当售出这批服装的90%以后，剩下的服装全部打五折出售，这批儿童服装全部售完后实际可获利______%。3316、从1到1000的自然数中，有______个数出现过“2”。27117、六个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了213瓶汽水，其中一些是用喝后的空瓶换来的，那么，他们至少要买汽水______瓶。178