运用几何画板辅助初中数学教学的实践及案例

第一篇：运用几何画板辅助初中数学教学的实践及案例

运用几何画板辅助初中数学教学的实践及案例

摘要：当我们从数学的本质特点和学生的认知特点出发，运用“几何画板”这种工具，通过数学实验这种教与学的方式，去影响学生数学认知结构的意义建构，帮助学生本质地理解数学，培养学生的数学精神、发现与创新能力时，我们就把握住了数学教育的时代性和科学性。关键词：素质教育 新课程改革 信息技术与课程的整合 数学实验室 一、运用几何画板辅助初中数学教学的实践及案例 1．有效创设动态情境，激发学生学习兴趣

几何画板能简单、准确、动态地表达几何图形和现象，这就为学生学习知识、观察思维提供了一个良好的场所和环境。在课堂中数学老师可以展示一些与学习内容关系非常密切的实例，使学生观其形，闻其音，丰富学生的感观，使学生自然地深入教师精心设计的情景中，不知不觉地思索着，学习着。如用几何画板制作一辆公路上运动的自行车，并请学生思考图中包含了哪些图形，在学生思考的过程中，双击“动画”按钮，使屏幕上的自行车往返运动。还可利用“轨迹跟踪点”的功能演示出自行车行进时车轮上一点、脚蹬上一点或车把上一点形成的轨迹，来说明“点动成线”的事实。这辆平常的自行车在数学课上出现，给刚步入几何大门的孩子们带来了欢笑和几分神奇。就在这愉悦的气氛中，他们迈进了平面几何的门槛，点、直线、线段、圆等几何图形已从他们最熟悉的现实世界中抽象出来了。而这种抽象是他们用眼观察，同时是自己亲身感受到的，激发了他们学习几何的动机，点燃了他们学习的热情。2．利用几何画板辅助教师讲授基础知识，帮助学生理解基本概念，帮助概念解析

概念是一事物区别于它事物的本质属性，概念来源于生活。在教学中讲授或学习概念常常需要借助图形进行直观性表述。几何中的概念，如“中点”，如果离开了具体的图形的帮助，那么其本质含义就无法揭示和表现出来，因而，图形成为说明概念的“形态式”语言。平面几何教学难，难在于学生不能把概念转换为图形语言，从图形中理解抽象的概念，学习也就望而却步。为此，在几何教学中，要善于利用几何画板强大的图形功能，使概念有具体直接的形象。例如用几何画板教学“三线八角”时，可以先让学生观察课件中八个角之间的位置关系，在学生观察思考的过程中，双击“同位角”按钮，几何画板能把图中的四组同位角从图中自动地拉出，单击鼠标，显示在屏幕上的四组同位角又分别返回原图中去；内错角、同旁内角类似，起到了快速、直观的效果。更重要的是还可以拖动其中任何一条直线使图形发生变化，来说明这些角的位置关系并未发生变化，从而使学生进一步认识其质的规定性，深化了对概念的理解，提高了课堂教学的效率。

例如反比例函数的图像的特点，学生不好把握，什么叫“与坐标轴无限接近，但永不相交”？为了帮助学生理解双曲线的特点，可以利用几何画板来形象地展示这一特点。如要作y= 图像，需要首先建立坐标系，在x轴上取点a，度量该点的横坐标，然后利用“度量”菜单中的“计算”功能计算出，“度量”菜单下的“绘制点”绘出点b（x, y），最后依次选中点a、b，选择“构造”菜单中的“轨迹”，完成双曲线的绘制。然后演示拖动图中的点a向右运动，让学生观察点的运动和数据的变化，问：当x值越来越大，y是如何变化的？学生会看到随着点a向右运动，点a与x轴的距离越来越小。教师趁机再问：图像上的点会与两轴相交吗？再仔细观察双曲线与坐标轴的关系，猜想的结果是不会相交，教师再引导分析，找出真正的原因在于x和y不能为0。

通过这样的演示，学生对双曲线的特点有了更加直观的感受和深刻的印象，同时更进一步帮助学生认识了函数和图像的关系。最后师生共同总结双曲线特点：无限接近坐标轴，但永不相 交。

通过几何画板的动态演示，学生在变化的点、变化的横纵坐标中去寻找规律，去理解自变量和函数值这两个变量之间的关系，突破了传统教学无法展示点的变化，从而一切只能靠想象，而初一的学生抽象思维能力又比较弱的现实。通过几何画板的演示，将抽象的思维过程形象地展示出来，学生很容易接受。

3．演示过程，化抽象为形象

教师要在教学过程中结合课件的使用，将有潜在意义的学习内容同学生已有认知结构联系起来，融会贯通，学生在学习新知识的过程中，积极主动地从原有的知识结构中提取出最易于与新知识联系的旧知识，这样，新旧知识在学生的头脑中会发生积极的相互联系和作用，即“同化”，导致原有认知结构的不断分化和重新组织，使学生获得新知识。

例如在讲解“圆柱的侧面展开图”这部分内容时，在传统的课堂教学中，比较典型的处理教材方法是：教师直接讲解圆柱是怎样形成的，再在黑板上用粉笔画出基本的演示图形，这种教学忽视了数学图形概念的形成过程，淡化了数学的本质特征，不利于学生对数学图形概念的理解。因此，在这学期学习这部分知识时，我特地应用下面的课件：

双击动画按钮就可以清楚、简捷地将圆柱的形成和侧面展开图的轨迹动态展示出来，并用色彩进行轨迹和图形优化，通过演示让学生清楚地看见圆柱的形成和侧面展开过程，对学生理解圆柱的形成和侧面展开图的特征带来了极大地帮助，学生不仅牢固掌握了书本上本节的内容，而且在问题的解决过程中涉及了多个有关知识点：矩形的面积、圆的面积、圆的周长等，这些内容也得到了复习、应用和巩固，起到了以点带面的作用，对知识体系的脉络把握更加准确，既学习并掌握了新知识，又复习、应用、巩固了与之相关的旧知识，同时还活跃、拓展了学生的思维，在教学过程中体现了学生的主体作用，把学习的主动权真正交给了学生。

4．利用几何画板给学生提供猜想和探索的技术环境

猜想是在没有现存结论情况下根据问题的条件推断可能存在的结果的一种直觉思维形式。利用几何画板可以为学生探究性地建构知识体系提供环境，为学生进行猜想提供技术平台，从而让学生在探索中学习，在探究中自主地建构知识，提出猜想的结论，实现创新。如要解决“线段垂直平分线上的点有些什么特性？”这个问题。教师可以让学生根据问题已知作出图形来进行探索，提出猜想。如：先作一条线段ab，再作ab的中点c，过中点c作ab的垂直平分线de。若学生在de上取一点p，测量pa、pb的值，拖动点p，观察线段pa、pb测量值的变化，那学生肯定会猜想出“pa＝pb”这样的结论。在此基础上，教师再强调“任何结论都必须经过严格的推理论证方可确信其正确性”，自然地把教学引导向使用数学符号语言表述结论，并对结论加以证明的方向上。

5．利用几何画板的绘图功能解决一些教学棘手问题

① 解决立体图形的展开图问题 初中涉及的初步的立体几何知识，教学时令我们教师头疼，巧妙利用几何画板可以形象的展现几何体的构成，也能培养学生的空间想象能力。通过《几何画板》的动态展示从立体图形到平面图形的转化，还可以让学生从不同角度观察几何体的形状，同时让学生体会到利用平面几何知识可以解决立体图形的计算，培养了学生的转化思想，发展了学生的空间观念，能够有趣味性技巧性和知识性与一体，更能激发学生的求知欲和兴趣。如下图，利用几何画板的3d功能完美展现正方体的展开。

（当拖动点d时就可以展现正方体展开的动画）

②在讲到图形的旋转时我设计了这样的一个图形的动画，点击旋转按钮在几何画板里整个图案都会随之旋转。

③几何画板可以有效地帮助我们解决折叠问题。

当点击演示折叠按钮时，会显示折叠的动画，学生在观察动画的过程中和容易找到相等的线段、相等的角从而找到解题的思路和方法，这样会大大降低这样的题的难度。

⒍ 用《几何画板》的绘图功能画图找规律

由于几何画板具有极高的自由度和易操作性，便于学生在直观、动态的情景中快速观察、了解图形的联系和变化，这样势必大大节约了传统教学方式的烦琐与笨拙所消耗的时间，真正实现素质教育的减负诉求。

实验（1）：让学生用《几何画板》软件画一个任意三角形，再画出它的三条中线，问：你发现了什么规律？然后随意改变所画三角形的形状，看看这个规律是否改变，三角形的三条高有这个规律吗？三条角平分线呢？

实验（2）： 用《几何画板》软件画任意一个三角形，量出它的各内角并计算它们的和。然后随意改变所画三角形的形状，再量出变化后的各内角，计算内角和。由此，你能得出什么结论？

对于四边形的内角和定理、邻补角的关系、对顶角的关系、垂线段的性质、平行线的性质等，可类比以上方法进行验证。

⒎ 利用几何画板有效探索几何图形三种变换的性质

初中阶段主要学习三种全等变换：平移、轴对称、旋转，一种相似变换：位似。这是新课改加强的部分，帮助学生从动态变换的角度去理解平面几何。而几何图形的变换教学是利用传统教学方式比较薄弱的地方。好多学生由于在实际生活中对空间与图形的动手操作的机会比较少，因此在学习这一阶段的内容缺少感性的认识，所以学起来很吃力。我们可以充分地利用《几何画板》为学生大量地展示几何图形的三种变换、空间图形的观察与抽象的例子，不断地提升学生“空间与图形”的能力，从而真正地实现“能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。”

如图，利用但用几何画板就轻易实现图形的平移、旋转和轴对称。

又如，在讲解《三角形全等的条件》时，设计这样一个问题去理解“全等变换”：

如图，ab=de，请画出与⊿abc全等的⊿def。

同学通过反复尝试、互相补充画出了四个三角形与⊿abc全等，如图。

师：大家通过尝试得到了这四个三角形，那么现在我们来考虑一下它们是不是有章可循的呢？图中的绿色三角形是如何得到的？

（1）连接ad，在线段ad上取点m，依次选中点a、m，选择“变换”菜单下的“标记向量”，然后选中⊿abc，选择“变换”下的“平移”，按标记的向量平移。

师拖动点m，三角形开始平移，引导学生观察三角形动态的平移过程。

生：图中的绿色三角形是通过平移得到的。师：图中的红色三角形是如何得到的呢？ 生：将图中的绿色三角形翻折得到的。

（2）双击de，选中图中的绿色三角形，选“变换”下的“反射”，作出红色三角形。

师：图中的粉红色三角形是如何得到的呢？

（3）选中de的中点，双击它，选择红色三角形，按标记的角度旋转180°。

教师引导学生观察三角形旋转的过程，生：粉红色三角形是由红色三角形绕de中点旋转180°得到的。

师：黑色三角形是如何得到的呢？

生：由粉色三角形翻折得到的。

通过几何画板动态的演示平移、旋转的过程，形象生动的反映了各种变换，加深了学生对全等变换的理解，同时也提示学生学会用全等变换的眼光去认识和看待图形。

8．利用《几何画板》绘制函数图像并动态演示函数的性质

几何画板为实现函数图像、图形的动态变化的信息化、全方位揭示问题的实质提供了可能。在初中数学教学内容里，函数是教学的重点也是难点。这部分内容理论性强，比较抽象，难度较大。但是利用几何画板，一切都变得简单容易。

如探索二次函数的性质一课，在以前的教学中，对于二次函数这部分知识的讲解，我通常是这样处理：要求学生先取5个以上的点在练习本上画出图象，一个同学在黑板上进行同样操作，然后再研究二次函数的性质。由于画好一个图象所需时间较长，先完成的学生往往无所事事，并且这种方法只是研究了某几个特殊函数的性质，缺乏普遍性，由于缺少图形产生的过程，对学生理解图形、分析图形和解决问题都会带来理解障碍，既浪费时间，效果也不太理想，还无法吸引学生的注意力。

在新教材教学中，我对于此处的知识作了部分调整，把信息技术与数学教学有效整合，将信息技术融入教学中，在课堂中作了如下的课件：

通过改变a、b、c的值就可以得到相应二次函数的图象，在课堂上可以生动地演示抛物线的形成过程，把二次函数的一般规律形象地展现出来，并且通过《几何画板》的度量功能在画面上显示a、b、c、x、y的度量结果，不难得出a、b、c值的改变与抛物线的变化关系。学生既可以看到平滑优美的图象产生过程，也可以利用《几何画板》的度量功能和计算功能在画面上进行猜想、归纳，这种具有建构意义的动态生成过程，极大地提高了学习效率。

所以，利用《几何画板》在剖析问题的实质时，可以使学生清楚了解要解决问题的关键所在，与传统教学相比较，它能形象直观的反映问题，更进一步地引导学生进行数学的实验和探究，培养学生大胆猜测、小心求证的开拓精神和科学态度，在教学过程中体现了学生为主体，教师为主导的思想，把学习的主动权真正交给了学生，充分调动了学生的学习兴趣，发挥了学生的学习积极性，培养了学生的创新思维和实践能力，实现了学生真正意义的建构。9．利用《几何画板》的度量和计算功能验证定理及重要结论

初中数学教学中我们会遇到一些结论性的问题，我们往往要通过作出很多的图形进行繁杂的度量和运算，但是几何画板要实现这个效果就很简单。

①数形结合，验证勾股定理

（1）任意作rt△abc，分别从三条边出发向外作正方形。

（2）通过度量得出每个正方形的面积，计算正方形acfg与正方形bchi的面积之和，并与正方形abde的面积进行比较。

（3）得出结论ac2+bc2=ab2。

（4）拖动任意一点，改变图形大小，观察能否得出上述结论。

②验证圆周角定理

在圆当中，很多定理都可以用几何画板的数形结合能力去验证，以验证圆周角定理为例：

如上图，弧ac的大小不变时，让一个学生拖动b点在圆周上运动，同时观察利用度量功能所测得的数字，学生们自然会得出同弧所对的圆周角相等的结论。

几何画板在反比例函数中的应用与以上两个类似，这里只介绍一个k的几何意义的问题：在反比例函数图像上任取一点p，分别向x、y轴作垂线，围成四边形的面积是|k|。

当拖动点p时四边形的面积始终保持不变，当改变k的值时四边形的面积也在发生变化，但始终等于|k|。这个知识点，如果我们老师只是一味的去讲，非常枯燥乏味学生不愿意听，效果不会很理想，用这个软件形象生动，学生兴致很高，学得当然很好。另外在讲反比例函数的对称性时，我设计了一个动画，学生看了之后很容易就理解了反比例函数关于原点的中心对称性。还有如 与的对称性也可以通过动画演示，学生很容易理解。

10．利用几何画板解决动点问题

在中考当中我们经常会遇到一些动点问题，这些题是学生感觉是非常难的。如果我们用几何画板去模拟演示这些题目学生就会明白题意从而解题思路会豁然开朗。因为几何画板中的动画功能可以生动、连续地表现运动效果，形象地描画出运动对象的运动轨迹，而且轨迹的生成是动态的、逐步的，充分表现出轨迹产生的全过程，学生在观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动中，形成自己对数学知识的理解，这就为学生积极主动建构知识体系提供了学习的平台。

问题⑴：直线ab经过⊙o的圆心，且与⊙o相交于a、b两点，点c在⊙o上，且∠aoc=300，点p是直线ab上的一个动点（与点o不重合），直线pc与⊙o相交于点q，是否存在点p，使得qp=qo，如果存在，那么这样的点p共有几个？并相应求出∠ocp的大小；如果不存在，说明理由。

问题中的点p是一个运动的点，在解题过程中学生对这类点的处理往往束手无策，利用几何画板让学生自己动手操作，移动p点，观察图形的变化，问题便迎刃而解。11．为学生验证问题搭建技术平台，使《几何画板》成为“数学实验室”，让学生自主开展“研究数学”的活动

如概率中的抛硬币实验，也可以用几何画板的迭代功能和符号函数sgn进行模拟实验。如图所示，是一个5角的硬币，为了让学生看得清数字与图案这两面，在硬币荷花图案这一面的右边加上了一条黑线，规定数字这一面为正面，图案这一面为反面，单击[投掷]按钮进行实验，单击[归零]按钮则清除实验数据。开始几次可以速度慢些，然后可以右键单击图片或[投掷]按钮加快速度。通过本虚拟实验，可以进一步加深对概率这一概念的理解。

在初三总复习阶段有这样一道题：如图，△abc 和△a1b1c1 均为等边三角形，点o即是ac的中点，又是a1c 1的中点，求bb1：aa1 的值。

在教师的引导下，学生打开几何画板，做等边，取ac中点o，再做等边，在几何画板中选中点a1，拖动它旋转。

经历一番探索，学生会发现，无论什么位置，这两个三角形始终相似。而这一点，若

仅凭想象，可能是不会那么容易得出结论的。

这样一道有一定难度的题目，在几何画板的帮助下，学生探索了图形的特殊位置，从中受到启发解决了问题，同时进一步研究了在变化的过程中不变的规律（三角形的相似关系不变）。学生经历了观察、猜想、从特殊到一般的思维过程，培养了学生的数学思维能力和创造力。其中的规律，体会其中的艰苦，尝试成功后的喜悦，从而培养他们学习几何的兴趣。

12． 利用《几何画板》可以方便地时改变题设条件，进行变式教学

用《几何画板》进行习题课教学时，要尽量做到可以随时改变题设的条件，进行变式教学，提供多种情形多种解法，以满足学生对知识的渴求和需要。比较而言，用ppt、flash或authorware制作的课件就很难做到这一点，而几何画板就可以轻松搞定。

如图所示，这是一个典型的变式练习题目，教师在教学时若能利用几何画板随时变换图形的运动状态，创造有利于学生的猜想，验证，证明的环境，必能激发学生强烈的求知欲望，从而提高课堂效率。

例：如图，d、e分别是△abc边ab、ac上的点，de∥bc

（1）找出图中的相似三角形，并说明理由；

（2）若d、e分别在ab、ac两边或延长线上，且de与bc不平行，△ade与△abc还可能相似吗？这样的直线有几条？

（3）如果若d、e分别在ac、ab的反向延长线上，且de∥bc，那么△ade与△abc平行吗？（4）若d、e分别在ac、ab、两边的反向延长线上，且de与bc不平行，△ade与△abc还可能相似吗？说明理由。

第二篇：用几何画板辅助初中数学教学研究

目录

摘 要..................................................2 1引言...................................................3 2几何画板辅助初中数学教学...............................4 2.1应用几何画板解决初中数学的平面几何问题..............4 2.2为学生验证问题搭建技术平台，使几何画板成为“数学实验室”.......................................................9 2.3应用几何画板解决初中数学的函数问题.................13 3结论..................................................16 4结束语................................................17 参考文献...............................................18 致谢...................................................19

用几何画板辅助初中数学教学研究

数学系本0703班 臧宏文

指导教师：曹萧

摘 要: 20世纪以来，随着信息技术的迅猛发展，数学教育教学方式的改革也在快速的，推进对数学教学改革中充分应用多媒体教学，尤其是如何更快﹑更有效地利用“几何画板”有着重要的现实意义。利用建构主义的学习理论，根据教学内容,应用《几何画板》创设新奇的学习情境,可以极大地激发与调动学生的学习积极性，提高课堂教学效率。进一步探索新课标下中学数学课堂教学新理念、新方法和新思路。利用几何画板实现初中数学中相关知识点的教学辅助设计，如图形的对称，旋转，平移，三角形的全等、相似等等。并结合课堂教学实际，设计相应的教学案例，以此分析、总结和探索中学数学教学的新理念、新方法和新思路。

关键词: 初中几何，几何画板，直观动态性，案例。

1引言

在数学的学习过程中，大多数同学说数学科目比较难，那么数学到底难在哪，我认为难在其抽象。数学有些知识太抽象，使学生只记住一些理论、符号、公式，学生不能把概念转换为图形语言，不能从图形中理解抽象的概念，而且对具体事实及事物的本质特征没有完全感知，使感性与理性脱节，学习也就望而却步。

传统教学模式下，教师要利用三角板、直尺等教学工具用粉笔在黑板上做出很多有关教学内容的具有代表性的图形，并结合学生生活的具体实际，借助日常生活中学生熟知的经验知识，对典型图形进行分析、描述，引导学生认真观察、辨认，启发学生比较、联想。这样的教学虽然对学生认识图形、理解概念、奠定学习几何的形态式语言基础、建立起图形与概念之间的本质联系、深化对概念的认识有着重要的作用。但是这样的教学手段难以进行“动态处理”，学生难以形成良好的运动观，在这些内容中，应该充分利用计算机技术，将数形结合起来，使动点的运动过程活生生的展现在学生面前，使学生从观察动点的变化过程中发现规律。这就需要一个辅助初中数学得教学软件，而几何画板中的动画、追踪轨迹等功能就恰好填补了探索动态运动规律的空白，为教学提供了有效的手段。《几何画板》新颖生动、感染力强，是一种模拟性、启发性的直观教学手段，由于它不但容易激发学生的学习兴趣，诱发学生的学习动机，而且可以打破时间、空间上的限制，能够让学生清楚地看到事物发展的全过程，化静为动、化繁为简、化虚为实，使枯燥的知识趣味化，抽象的语言形象化，深奥的道理具体化，有利于学生加深对知识的理解、巩固和记忆。因此，它对全面提高学生能力，培养学生素质，有着不可估量的作用。综上,研究《几何画板》在中学数学教学中的应用已是十分迫切与必要的。它还适用于平面几何教学和学习,也可以用于代数、立体几何、解析几何等的教学和学习中。

《几何画板》(The Geometer’s Sketchpad)软件是由美国的优秀教育软件, 它是由 Nicholas Jackiw 设计，Nicholas Jackiw 和 Scott Steketee 程序实现，Steven Rasmussen 领导的 Key Curriculum 出版社出版。它的全名是《几何画板——21 世纪的动态几何》。几何画板是全国中小学计算机教育研究中心在 CAI（Computer Assistant Instruction）中推广使用的软件之一。《几何画 3

板》是一个能够构建数学模型、揭示数学规律、直观反映数学变化、动态保持形数关系的软件。它以点、线、圆为基本元素,通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等, 显示或构造出千变万化的图形。为教师和学生提供了直观、方便、快捷、准确的图形表现工具;使学生在图形的运动和变化的过程中,观察、归纳出图形的数量关系和图形性质。具体来说,《几何画板》提供了画点、画线、画圆的工具, 如通过画线工具可画出线段、射线、直线, 通过画圆工具可画出正圆；通过“作图”菜单提供的画平行线、垂线、以圆心和圆周上的点画圆等命令可准确作图。所有这些作图都能够体现数学概念表达的准确性,因而可以绘制所有尺规作图,演绎欧式几何。它提供的旋转、平移、缩放、反射等图形变换功能,可以按指定值、计算值或动态值对图形进行变换,进而可以研究某些非欧几何问题。使用“度量”和“图表”菜单你可以在直角坐标系和极坐标系中测定图形的特征,包括测量线段长度、斜率,测量角的度数以及多边形、圆、弓形、扇形的面积,提供直线和圆的方程等功能,还能对测出的值进行运算（四则运算、幂函数、三角函数等）,因此,许多定量问题可在《几何画板》中进行研究。在教学中,了解学生思路和对概念的掌握程度是相当重要的一个环节,利用《几何画板》的“记录”功能是了解学生几何作图思路的重要工具,而且利用“记录”还可创造出新的绘图工具以扩充其功能。

2几何画板辅助初中数学教学

几何画板进入课堂改变了教学内容的呈现方式，改变了教师的教法与学生的学法，使数学教学过程发生了重大变化——新的教学模式出现，教育观念在不断更新，数学课堂教学改革进入了一个新的阶段。而且几何画板在抽象的问题上发挥着巨大的作用，几何画板的动态性和直观性，可有效的解决几何教学、函数教学当中较为抽象和复杂的问题，下面就应用几何画板辅助初中数学教学谈谈自己的几点感受：

2.1应用几何画板解决初中数学的平面几何问题

平面几何是研究平面图形的形状、大小和位置关系的一门数学学科。它的精髓在于在不断变化的几何图形中,研究不变的几何规律。由于几何内在规律的复杂性及其受尺规作图手段的限制,传统的教学往往是直接将规律给予学生,然后 4

给出演绎的证明,最多对一些浅显且易于演示的几何规律给出一些图形解释。这样使得几何规律及其证明过程存在着不透明性,忽略了从感性认识到理性认识的过程，至使教师教起来枯燥，学生学起来乏味，并且学生受心理年龄的限制，缺乏足够的抽象思维能力、一定的生活经验、学习的耐心和良好的学习习惯，这些因素也将导致他们畏惧几何的学习。因此,几何教学是中学数学教学的一个难点,难就难在学生看不到知识的形成过程, 学生的学习处于被动状态。《几何画板》提供一目了然的教学意图、教学步骤及操作方法，可以在很大程度上弥补这一缺陷，激发学生的兴趣，突出重点，分散难点，提高教学效果。那么我们来看几个重要的案例：

案例1 在教学《三角形的中位线》时，用几何画板做如下图所示：

AAD E=54.40 AB C=54.40 AE D=58.31 AC B=58.31 DE =2.86 厘米BC =5.72 厘米DE

作△ABC，取AB的中点D、AC的中点E，连联结D、E；接着测算出DE，BC，∠ADE，∠AED，∠ABC，∠ACB等，甚至把∠ACB，AB，AC也测量出来（干扰观察），这些数据都动态地展现在屏幕上．然后让学生观察：你发现了什么？学生的任何发现，利用《几何画板》，只要拖动点A（或B，或C），就可立即验证其正确如何．这为激发学生的学习兴趣，培养他们的观察力，想象力，归纳等诸能力，创设了极好的“情景”，增强了教学的自主性、学生的参与性。

再如在三角形的中位线教学中，对四边形各边中点所围成的四边形是特殊的四边形，且与原四边形对角线的有一定关系这一问题的理解，内容比较多，可用几何画板软件制作如图所示的动画演示效果（如图）：

BC 5

DEA运动点矩形菱形正方形等腰梯AC垂直BDAC垂直相BD等BFH

GC

学生对四边形ABCD的变化过程中四边形EFGH的特征能直观感受到，并且加深了印象，而这个效果与教师简单把结论教给学生或不断画图来说明都是不可比较的。

案例2 《等腰三角形》是初中几何的一个重点内容，这部分有很多定理．教材在处理方法上引入了较多的动手操作和直观感知，通过折纸、观察、归纳等方法很直观地得出等腰三角形的有关性质和识别。但是由于学生在制作等腰三角形的模型时，存在一定的误差，导致结论不是很准确。而且学生所制作的模型带有一定的局限性，无法更好地解释这种结论的一般性。应用几何画板就可以模拟这些折叠、翻转的动画效果，而且可以达到很准确的效果。然后还可以通过拖动等腰三角形的顶点任意改变它的形状和大小，直观地说明结论的正确性，从而也便于论证结论的一般性。具体过程如下：

（1）等腰△ABC纸片中，AB=AC，（图1-1）将AB与AC重合在一起折叠，（图1-2）观察→两部分会完全重合→等腰三角形是轴对称图形，折痕AD是对称轴，B与C重合，BD与CD重合→∠ABC=∠ACB，即等边对等角。（图1-3）通过引导学生对折痕AD的分析，也就能很容易得出“三线合一”的性质．用这种直接的方式得出结论，就可以避免烦琐的推理过程，而且也让学生更容易记住结论。

（2）在画△ABC，使∠ABC=∠ACB，D为BC中点，连结AD，（图1-4）沿AD为折痕对折，观察→两部分会完全重合→AB与AC会完全重合，△ABC是等腰三角形，即等角对等边。（图1-5）

（3）拖动等腰△ABC的顶点A，改变三角形的形状，得到不同形状的符合条件的三角形，然后重复上述的步骤（1）和步骤（2），也得到同样的结论。让学生掌握以上结论的一般性，AAB = 4.74厘米CA = 4.74厘米AB = 4.74厘米ACA = 4.74厘米BD图1-1CBE折叠三角形图1-2C

ACA = 4.74厘米AB = 4.74厘米ABC = 45.11结论1.BD=CD2.ABC = 49.65ACB = 49.65BC折叠三角形图1-3DB折叠三角形图1-4DCAACB = 45.11D为BC中点

AABC = 45.11ACB = 45.11结论AB=ACBC折叠三角形图1-5D

案例3 讲三角形内角和定理，以前都是用剪纸、拼接和度量的方法让学生直观感受，但由于实际操作起来都有误差，很难达到理想的效果。现在利用“几

何画板”随意画一个三角形，度量出它的三个内角并求和（图1-1——图1-2），然后拖动三角形的顶点任意改变三角形的形状和大小（图1-3的钝角三角形和图1-4直角三角形），发现：无论怎么变，三个内角的和总是180度。这无疑大大激发起学生进一步探究“为什么”的欲望。

ABC = 56.02AACB = 51.05BAC = 72.93ABC = 56.02AACB = 51.05BAC = 72.93B图1-1CBABC+ACB+BAC = 180.00图1-2C

ABAC = 90.00ABC = 44.78ACB = 45.22AABC = 109.36BAC = 41.28ACB = 29.36BABC+BAC+ACB = 180.00图1-3CBABC+BAC+ACB = 180.00图1-4C

案例

4在学习三角形的三条角平分线（三条中线、三条高或高的延长线、三边的垂直平分线）相交于一点时，传统教学方式都是让学生作图、观察、得出结论，但每个学生在作图中总会出现种种误差，导致三条线没有相交于一点，即使交于一点了，也会心存疑惑：是否是个别现象？使得学生很难领会数学内容的本质。但利用信息技术就不同了，我们可以在几何画板里只要画出一个三角形（图1-1），用菜单命令画出相应的三条角平分线，就能观察到三线交于一点的事实（图1-2），然后任意拖动三角形的顶点，改变三角形的形状和大小，发现三线交于一点的事实总是不会改变的（图1-3）。特别是像高这样有特征情况的线，还可以通过拖动得出交点的三个不同位置。（图1-4，图1-5，图1-6，）

OB画任意三角形图1-1CB画三个内角平分线且交与一点O图1-2C

EHFBEC = 90.00AFB = 90.00AGB = 90.00OB任意拖动角平分线仍交于O点图1-3CBG三条高交点在内部图1-4C

AACB = 90.00ADC = 90.00ADC = 90.00DAMAMC = 90.00ANB = 90.00BEA = 90.00BHCNB三条高交点在顶点图1-5CE三条高交点在外部图1-6H

2.2为学生验证问题搭建技术平台，使几何画板成为“数学实验室”

在解决数学问题中，由于问题本身的抽象性和推理的复杂性，花费了很多时间都未能把问题证明出来，此时，产生对问题的疑义并对问题真实性进行验证是一种极为可能并欲想去做的事。验证一方面可以缓解心理紧张和心理焦虑，变换思维角度，对问题进行再认识；另一方面可以调节心理平衡，重塑解题信心。学生在通过实验验证得出问题是真实的时，将会激发起信心，增强解决问题的动力。从而，有效地克服推理过程中产生的心理障碍。使用几何画板进行数学试验

教学，巧妙地将传统的基础知识教学与几何画板教学软件的特色有机结合，使几何画板教学软件成为学生自主使用的认知、探究手段和解决问题的工具，构建学生自主学习、发现性学习、创造性学习、探究性学习和研究性学习的教学环境，提高了学生自主获取信息，加工处理及应用信息的能力，分析和解决问题能力，交流与合作的能力；整合中使我们的教师、学生，学习伙伴能进行多元化的信息交互，从而达成互动教学，转变传统的教与学的方式。例如：

案例1 如学生证明：“三角形中，如果有两个角的平分线相等，则这个三角形是等腰三角形。”的问题时，由于该题目的证明思路很不容易被找到，学生尝试用多种方法思考证不出来时，提出了“老师，你让我们证明的题目是正确的吗？”这样的问题来。我提示学生用几何画板对题目进行验证。

AAB =5.87 厘米CA =5.87 厘米EFCE =6.10 厘米BF =6.10 厘米

BC

学生做出了图形，并测量了有关的线段的长度，当通过拖动如图所示的M、N两点，在找准使AM与BN相等的点时，学生得到AC与BC的值总是相等的。于是，在验证了结论是正确的这样一种良好心理支撑下，学生兴奋的告诉说：“老师，题目的结论是正确的，我要再试试如何证明。”

案例2 利用几何画板可以为教师培养学生探究性地建构知识提供环境，为学生进行猜想提供技术平台，从而让学生在探索中学习，在探究中自主地建构知识，提出猜想的结论，实现创新。

如学习了“相交弦定理”后，教师可以这样提出问题，启发学生去进行探索：“如图所示，ADPAABBCCDPCDP

根据相交弦定理，我们知道PA*PB＝PC*PD，那么，如果P点在☉o外，PA*PB＝PC*PD这个结论还成立吗？特别地如果P点在过A、B、C、D中某一点的切线上时，结论又怎样”? 此问题的探索大致可以按下述四个步骤进行：

1、测量PA、PB、PC、PD的值，并计算PA??PB，PC??PD；

2、用鼠标将P点从圆内拖到圆外；

3、观察PA??PB，PC??PD的值的变化情况，仔细查看当P点在圆外变动时变化了的PA??PB，PC??PD的值是否相等。

4、得到结论。

对于切线位置，可以过某一点（如C点）作圆的一条切线（CM），在该切线上任取一点H（H点最好不与C点重合），然而，用选择工具选择P点按住Shift键后再选H点，使两点都被选中，用鼠标选择【编辑】下的【操作类按钮】下的【移动】命令，为从P点移动到H点设置一个运动按钮，当双击按钮时，P会从它的当前位置移动到H点，并使P、H两点重合．通过观察PA??PB，PC??PD的值，可确立两者的值的关系，得到结论。

案例3 “勾股定理”是初中平面几何中的一个定理。如下图是用几何画板验证勾股定理的设计实例：

勾股定理的演示a^2+b^=c^色块复位a^2cc^2abb^2c

它的设计步骤如下：

1、作一个直角三角形,画一条线段AB。过B点作直线垂直于 线段AB，在直线上任取一点C。连接AC。

2、分别以AB边，BC边向三角形内作正方形，AC边向外作正方形，过E作AF的垂线EP，隐藏直线，见（a)图。

3、任取一点B1，分别使点B1按标记向量B-A，B-C平移，得到点A1，C1。连接A1、B1、C1。以三边为边作三个正方形。见（b）图

AA1cBCB1EPFD(a)(b)abC1

4、作五个小色块，用来填充（a）图上对应的块

 作对应APE的色块：另画一点P’，将P’分别按向量PE和向量PA平移动，得到两点E’、A’，作这三点的内部  同样作其余四个色块

5、作“色块复位”按钮，依次选择色块上的点和（b）图上两个小正方形大的对应点作移动按钮，标签为“色块复位”

6、作另一 色块移动按钮，依次选择色块上的点和（a）图上大正方形的对应点作移动按钮，标签为“a^2+b^2=c^2”

7、隐藏点，只留A点

2.3应用几何画板解决初中数学的函数问题

《几何画板》可以解决学生难以绘制的图形，而且提供了图形“变换”的动感，丰富多彩的“动画”模型，给学生一种耳目一新的视觉感受，使学生从画面中去寻求到问题解决的方法和依据，并从画面中去认清问题的本质。在引入《几何画板》之后，给解决函数问题创造了一条便捷的通道，它可以测量各种数值以及进行各种函数运算，在图形的变化过程中，数量变化特征也可以直观地展现在学生眼前，“以形助数”，“用数解形”，这在传统教学中无法办到。几何画板中的动画、追踪轨迹等功能就恰好填补了探索动点运动规律的空白，为轨迹教学提供了有效的手段。那么我们来看几个案例：

案例1 选取底数a(a>0且a≠1)的若干个不同的值，在同一个坐标系内做出相应的指数函数的图像，观察图像，你能发现它们有哪些共同特征？

利用几何画板的作图功能，根据学生选取的底数a做出相应的指数函数的图像，随着多个函数图像的显示，学生已慢慢地感觉到底数a对函数性态的影响。这时，教师慢慢地拖动点a，改变a的取值，屏幕上便出现了一个个底数不同的指数函数的图像，经纬分明，学生深深地被画面所吸引，已不自觉地投入到函数性质的探索中。从画面的变化规律中，学生预测到函数性质，接着我指导学生分组讨论，探索函数性质的规律，顺利地突破教学难点，突出教学重点。

S1：当底数a取不同的值时，所有的图像都过定点（0，1）。S2：所有的图像都位于x轴的上方。T：这说明了怎样的一个数学事实？

S2:（思考后）指数函数的值域为（0，＋∞）。

S3：黑色区域的图像对应的函数的底数a>1，函数在R上是增函数；同样可看出当0时，函数在R上是减函数。

S4：从图像上可以看出当a>1时，随着a的增大，函数的图像无限地趋向于x轴、y轴；当0时，随着a的增大，函数的图像无限地趋向于x轴、y轴。

S5：从画面上看，在第一象限，当a>1时，函数的图像位于红线（y=1）上方；当0时，函数的图像位于红线（y=1）下方。

T：这又说明了什么？

S6：这说明当a>1时，若x>0则y>1；当0时，若x>0则0。当x<0时也有类似的结论。

S7：当两个指数函数的底数为互为倒数时，它们的图像关于y轴对称。

案例2 对“一次函数y=kx+b（k≠0）的性质”的学习，如果学生不清楚y=kx+b（k≠0）在k＞0或k<0时表示了什么样子的图像，不知道b的取值对函数图像的作用和影响，那么根据图像确定k、b的取值范围，学生解起来就会觉得棘手．利用几何画板，可以很容易地让学生直观地看到一次函数y=kx+b（k≠0）的图像，通过上下来回拖动下图中的K、B两点，教师不用说什么，学生也能归纳出一次函数的性质，并于认识上有深层的理解，完成基础问题的解答．这样的利用几何画板辅助教学，能加强学生的记忆和理解，为学生更好地学习提供帮助．

又如，在三角函数 yAsin(x)的图像教学中，往往就参数的几个特殊的取值，做出几个函数的图像（如A=1，A=2）就开始归纳参数A的几何意义，不能令人信服，学生的印象不深，教学效果不理想。而“几何画板”能够及时计算出因参数变化而引起的函数值的变化，从而展示所引起的图像形状的变化，形象、直观，教学效果好。在同一个图像上，不仅可以改变A的值，而且也可以改

变的值，您只需要轻轻拖动点A或就可以了（如下图）。

案例3 在讨论二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)或y=a(x+h)2+k(a≠0)中，二次函数图像与常量a、b、c、h、k之间的关系时．可作以下设计：

1.在演示画面中，实时显示抛物线的顶点坐标、与y轴的交点坐标和对称轴。

2.拖动有向线段a，改变a的取值．观察抛物线开口方向及大小

3.归纳：当a>0时，开口向上，开口大小随a的增大而变小；当a<0时，开口向下，开口大小随a的减小而变小；当a=0时，二次函数退化成为一次函数y=kx+b(说明:一次函数不是特殊的二次函数)4.拖动有向线段c，改变c的取值．观察可发现抛物线随c的值变大、变小而升高或降低．并可观察抛物线与y轴交点的纵坐标和c的取值相等，从而得到抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点(0,c)15

5.拖动有向线段h、k，改变h、k的取值．观察得抛物线随h、k的变化而左右平移或上下平移．顶点坐标是(h、k),也就是(-b/2a，(4ac-b2)/4a)．从而归纳出抛物线的顶点坐标与对称轴和h、k的关系，并将实验观察所得结论，进行推理论证

案例4 函数y=2x的图像与y=㏒2x的图像有什么关系？可否利用y=2x的图像画出y=㏒2x的图像？

几何画板强大的画图功能，集表格、图像、动画为一体，资源整合，操作简易，交互性强，并能结合学生个体的实际情况，给每个学生一个合理的期望。在同一坐标系中，利用两个表格进行描点、绘制、画出函数y=2x的图像与y=㏒2x的图像，两个图像的对称性关系非常明显。这时，老师在y=2x的图像上任取一点M，并作它关于y轴的对称点N，拖到点M时会看到点N始终在y=㏒2x的图像的上运动。通过试验演示验证，改变传统用黑板画图的不准确性，改善学习环境，提高准确画图意识。当然，在利用计算机辅助画图教学时，有必要给出一定的时间来训练学生纸笔画图的能力。

3结论

当今，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展。因此，要重视现代教育技术手段在教学中的创造性应用搞好计算机辅助数学教学，特别要选取一个适合辅助初中数学的教学软件，把数学学习变成一个生动活拨的、主动的和富有个性的课程。

4结束语

总之，随着现代科学技术的发展，计算机已进入各个教育领域，多媒体、网络等现代信息技术的快速发展对现代教育产生了极大的影响，有力地推动了计算机辅助教学的深化和发展。计算机在教育领域的应用，使得教育的价值、目标、内容以及学习和教学的方式产生重大的变革。数学作为一门基础学科，在中学教育过程中的作用是显而易见的。数学课程要重视运用现代技术手段,特别是要充分应用多媒体辅助教学方式,将传统的教学媒体与现代教学媒体有机地结合起来，把现代多媒体作为学生学习数学和解决问题的强有力工具,使学生从大量繁杂、重复的运算中解放出来,将更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。而《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。它在数学教学中具有传统教学方法无法比拟的巨大优势，是新课程改革中数学教学不可缺少的辅助工具。

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时光如梭，短暂而有意义的四年大学生活即将结束，此时看着毕业论文摆在面前，我感慨万千。它不仅承载了我二年来的学习收获，更让我学会了如何求学、如何进行科学研究甚至如何做人。回想起二年的学习生活，有太多的人给我以帮助与鼓励，教导与交流。在此我将对我的恩师们，还有所有的同学们表示我的谢意！

首先，衷心感谢我的曹萧老师对我的悉心教诲和指导！在跟随曹老师的这段时间里，我不仅跟曹老师学到了许多专业知识，同时也学习到了他严谨求实、一丝不苟的治学态度和踏踏实实、孜孜不倦的工作精神，它将使我受益终生。在此我对曹老师的教育和培养表示衷心的感谢！

同时我还还要感谢学校领导和数学系的师生对我日常生活的关心和帮助，思想上的激励和启发，以及为我提供了良好的学习环境。谢谢你们！

第三篇：几何画板辅助教学之我见

几何画板辅助教学之我见

最初认识“几何画板”，我认为它只是一个数学教学辅助软件，只是替代了直尺、圆规的一个画图工具而已。但在自己的教学和制作课件过程中，认识到了它的强大功能以及特有的随机计算能力和交互能力，使我为它的魅力所折服。《几何画板》提供了一个全新的学习数学的学习环境，学生在感性认识的基础上，调动了学习的主动性、提高了动手能力，培养了学习的探索与创造的能力。利用《几何画板》可让学生参与教学过程，实现了对知识意义的主动建构，较深刻地理解了所学的内容，有效地化解了难点。

“几何画板”的特点一：简明。它的制作工具少，制作过程简单，学习掌握容易。“几何画板”能利用有限的工具实现无限的组合和变化，将制作人想要反映的问题表现出来。学习掌握它较为容易，不需要花很多的精力和时间来学习软件本身，而强调软件对学科知识的推动和理解。不能否认目前也有许多优秀的课件制作工具软件，但这些软件往往较难掌握，或者制作过程与学科本身知识相差很远，只是对某一问题的模拟再现。“几何画板”制作过程较为简单，对问题的反映是在对学科知识理解基础上，甚至是利用学科知识本身来解决问题，因而使用“几何画板”制作出的课件更符合学科知识本身的要求。

“几何画板”特点二：朴素。它的界面清爽干净，仅一块白板而已，制作出的课件也没有过多华丽的装饰，只是体现出制作者想要表达的主题。也正是因为它的朴素，从而使它对问题的反映显得直接而清楚，使课件本身对问题的阐述、剖析及对难点的突破显得有效而又有针对性，使课件的作用发挥到了极限。这正是一个好的教学辅助软件所必备的条件——针对性。

“几何画板”的特点三：短小。（1）投入人力少，在使用“几何画板”制作课件时，一个教师花十几分钟，最多一、二个小时就能制作出一个好的课件，教师只要利用一些零星时间就能开发制作课件;（2）投入财力少，“几何画板”对计算机的要求不高，目前一般学校的条件都能满足;（3）占用空间小，一个用“几何画板”制作的课件只不过几KB而已，大的也不过几十KB，而其它软件制作的课件往往上百KB，甚至上几MB，这也使“几何画板”制作的课件便于携带和交流，也使制作过程变得随机性，上课也变得简单，不再需要拿硬盘或刻录光盘来上课。

“几何画板”的特点四：精悍。（1）由于它和学科知识联系紧密，故对学科知识的反映准确，使课件对问题的突破更为直接有效。（2）由于它的强大计算功能，使有些数值的变化不再是原来的一些特殊值，而是变成连续值，使问题变得清楚。例如讲“正、余弦函数”这一节时，在这一课件设计思想里，我抛弃了原来上课时取特殊值作波形图的方法，而是通过学生自己观察课件演示，得出结论，让学生真正掌握波形图形成的原理。（3）“几何画板”有很强的交互性。由于在制作中利用学科知识，使课件中包含若干个变量，在“几何画板”制作的课件里，这几个变量是可随机变化的，这样在利用课件上课时，通过演示课件，控制变量的变化，使学生更好地理解问题中各个数量的关系。例如在讲“三角形内角和”这一节时，以往是教师画出一个三角形后，量出度数，得出结论。但我用“几何画板”制作的课件里，利用课件的动态特点，先引导学生观察三角形中每一个角的大小发生变化时，但内角和仍保持180度不变，给学生一个理性认识，并且避免了手工作图引起的误差，使整个教学过程变得简单有序。

利用《几何画板》的辅助教学，有利于学生素质的提高。把《几何画板》引入中学数学教学，学生主动参与讨论，做“数学试验”，参与教学实践活动，他们不再是知识的被动接受者，而是知识的主动探索者，问题的研究者，《几何画板》的运用使抽象、枯燥的数学概念变得直观、形象，使学生从害怕、厌恶数学变为对数学的喜爱，有效地激发他们的学习兴趣，增强他们学好数学的信心，调动了学习的积极性，特别是需要反复认识的概念，反复学习的内容，少数学生课堂上弄不清楚的，可以把软件拷贝回家，再反复观察、反复认识、反复学习，给学习困难的学生提供了再学习的机会，把电脑辅助教学“辅”到了不同层次的学生身上。

总之，“几何画板”使我们的教学变得形象、直观、灵活、有效。

第四篇：几何画板优化初中数学教学实践研究

几何画板优化初中数学教学实践研究

前言

数学是一门强调逻辑性的学科，并且也是一门强调专业性的学科。对于数学教师而言，在教学中除了要具备必备的专业知识以及教学能力之外，还需要具备和数学相近的计算、空间、归纳演绎以及推理方面的专业能力，并且可以通过这些专业能力，将数学知识更好地传授给学生。在信息技术和计算机技术快速发展的今天，传统的数学教学模式和手段已经难以说符合时代所需。同时在新课标的规定中，课堂教学也更加自由和开放，教学的不确定性大大增加。在此背景下怎样保障教学质量，甚至是提升教学质量，是每一位初中数学教师都必须思考的问题。

充分利用现代教学技术对提升教学质量有着十分明显的促进效果，并且已对目前诸多学科教学产生一定的影响。初中数学课程对学生整体发展而言具有极其重要的意义，同时，内容体系中的几何部分对培养学生的空间思维能力和逻辑能力具有一定的帮助作用。依托于现代信息技术而诞生的几何画板，其在几何教学中的充分使用，对帮助学生形象化、具体化地理解数学几何的相关知识点，有着十分明显的促进效果，因此值得每一位初中数学教师在教学中充分合理地使用。

几何画板具有作图精准、演示交互以及计算精准等诸多优点，在初中数学教学中的应用能够很好地提升教学质量。但是就实际情况而言，几何画板目前在初中数学教学中的使用并没有得到广泛的普及，同时很多教师对几何画板的教学意义还没有清晰的认识。为此通过调查问卷的形式，调查研究教师对几何画板的使用情况。调查结果显示，虽然很多教师对几何画板的制作能力和运用水平存在不足，但是使用几何画板的教师在教学质量上却有很大提升[1]。因此，需要展开对几何画板优化初中数学教学实践途径研究，让教师更加深刻地认识到几何画板对初中数学教学的价值所在。

基于此，本文对调查结果进行了简单分析，继而提出教师在教学中合理使用几何画板的方法，希望为广大初中数学教师以启迪和参考。

调查问卷结果分析

本研究以针对某一中学的12位初中数学教师进行的一次问卷调查为依据，本次调查共发放调查问卷12份，收回12份，问卷有效率达到100%[2]，下面对调查结果进行简单的分析。

首先对12位教师的多媒体应用情况以及几何画板的制作能力进行调查。分析结果可知，很多数学教师在教学上对多媒体有所涉及，但是能够熟练制作几何画板的只有三人。这一方面说明了几何画板在该学校的使用率很低，另一方面也说明了教师在几何画板的认知上存在严重不足。

在简单地向教师演示了几何画板，并且指导他们在教学中使用一段时间的几何画板后，针对教师使用几何画板后的教学变化进行了调查。调查结果清晰地表明，近四分之三的教师认为使用几何画板能够改变以往陈旧的教学观念；有一半的教师认为，通过运用几何画板，自己的教学方式得到了很大的改善；有五分之四的教师认为，几何画板的使用对提升学生的学习兴趣有明显的效果；有三分之二的教师认为，几何画板的使用对教学难点的讲解有很大的帮助；同时，所有的教师都认为几何画板具有十分明显的教学效果[3]。

将几何画板应用于初中数学教学的途径

从上文的调查结果分析，可以清楚地知道教师都认为使用几何画板对提升教学质量、学生学习兴趣等诸多方面有着十分明显的效果，但是同时也存在很多教师不会使用几何画板的现象。为此，针对如何把几何画板应用于初中数学教学进行讨论。

对于初中的数学学科而言，其属于一门极其抽象的学科，使用传统的教学方式，对于一些空间思维能力以及逻辑能力不足的学生，在理解上难度很大，因此，教学的质量难以保障。

将几何画板应用于数学教学中，可以将一些极其抽象的数学知识变得形象化和具体化，将其实实在在地呈现出来，进而帮助学生更为直观地去理解，具有十分明显的增强教学效果的作用[4]。

有理数的认识 有理数的认识一课是有较大难度的初一基础知识点，教师在进行该课时的教学时就可以引进几何画板，进而让学生逐渐接受几何画板的教学方式。教师可以使用几何画板制作一个坐标系，具体而言是一个横坐标，通过在横坐标上标记数字，让学生更为直观地对横坐标上的数进行观察，就可以让学生把坐标和数进行联系，这也就能直接帮助学生理解和掌握有理数知识。

三角形中位线定义 三角形也是在初中数学中难度较大的知识点之一，同时是几何知识体系中极其重要的组成部分。但是就目前的大多数教材而言，在对问题进行研究的一开始，就将结论或者概念给出，这对学生而言十分突兀。此外，教师通过口头的阐述也难以对三角形的相关概念有一个清楚的描述，因此导致很多学生在三角形的相关概念的理解上存在诸多问题[5]。教师在三角形的相关概念的教学上可以充分使用几何画板，来消除这方面教学的弊端。如在三角形中位线一课的教学中，教师就可以使用几何画板的功能进行生动形象的描述教学，学生对知识理解很深刻，取得很好的教学效果。

从割线到切线 使用几何画板除了可以对单一的知识点进行描述之外，也可以对初中数学几何中一些相关联的知识点进行教学，进而可以帮助学生更为深刻和清晰地判别两个不同知识点之间的关联和区别。如目前在我国的初中数学教学体系中并没有对圆的割线和切线有一个十分清楚明白的区分，但是在考试中又会经常涉及两者之间关系的内容，而且到高中阶段，割线和切线又是重点教学内容。因此，在初中阶段将两者进行联合教学是有必要的[6]。在教学中可以使用几何画板中的移动功能，将切线和割线之间的差别进行形象化的描述[7]。通过几何画板的移动动画功能，学生可以清晰地对割线和切线有一个极其清晰的认知，对切

线以及割线的概念和本质也有了一个更为详细的认知，则为后面的教学乃至为学生高中阶段的学习打下一個良好的基础[8]。

结语

在现代教学技术不断发展以及新课改不断推进的今天，在数学教学中使用几何画板已经逐渐成为数学教学的必要措施。使用几何画板，可以最大化地将数学中的数与形之间的关系生动形象地表现出来，规避了传统数学教学中动态属性难以切实生动地描述以及变量关系难以深入浅出地介绍的薄弱点。面对初中数学教学中的重点和难点，几何画板均可以充分应用其中，起到相应的作用。同时，依托于几何画板的生动化、形象化的教学模式，也可以让学生从运动的角度对数学中的数量关系、几何关系有一个更为直观和清晰的认知，对于教师提升进课堂教学效率也有着十分明显的效果。

因此，每一位教师在数学教学中都应对几何画板的应用有一个十分清醒的认识，要结合数学科学的特点、不同知识点之间的特点以及学生的年龄特点，进行科学合理的几何画板应用，解决数学教学中的重难点，以提高教学效率，降低学生的学习难度，取得理想的教学效果。

参考文献

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第五篇：基于几何画板的初中数学教学的实践探索

基于几何画板的初中数学教学的实践探索

摘要：几何画板作为信息技术与数学教学整合的主要工具，具有灵活的绘图功能，并能对图形的几何变换进行动态演示，增强了学习的直观效果，这些教学能效在传统的笔纸环境中是难以达到的。几何画板在辅助数学教学方面的独特优势开创了教与学的新方式，有助于教师成为学生学习的引导者，有助于学生成为主动获取知识的探索者。本文结合教学案例，从数形结合、实验探究、辅助变式三方面来论述几何画板在初中数学教学中的实践运用，旨在为广大数学教师优化课堂教学提供一些借鉴或启示。

关键词：几何画板；数学教学；整合；实践

《全日制义务教育数学课程标准》指出：现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。几何画板是信息技术与数学教学整合的主要工具之一，其快捷精准的绘图、智能的几何变换、直观的动态演示等功能，为学生创造了一个探索几何图形内在关系的环境，让学生在观察、探索、发现的过程中深化对各种图形的感性认识，形成丰富的几何认知经验，促进对数学问题的深入理解和思考。几何画板为学生探索知识增添了更多的途径，同时也为教师研究教学开辟了更广的空间。在初中数学课堂教学中如何充分发挥几何画板的功能优势，优化课堂教学，成为当前新课程改革中值得探索的一个问题。下面笔者结合案例，谈一谈几何画板在初中数学教学中的实践运用。

一、揭示数形关系，优化思维品质

数（数量关系）与形（空间形式）是数学教学中的两大基本内容。数形结合思想贯穿于整个中学数学教材体系之中，它是重要的数学思想方法之一。华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，也就是说数与形之间相辅相成：以形助数，可以化抽象为直观；以数辅形，可以化直观为精确。在传统的数

学教学中，因受教学条件的限制，数与形很难真正地完美结合，特别是有些蕴藏在数量关系背后的几何意义很难直观地展现出来。而几何画板凭借其强大的功能优势弥补了这一不足，能化隐为显，化静为动，直观地反映数、形的同步变化，为学生提供一个探索和构建数学模型的平台，从而帮助学生优化思维品质，简化解题过程，提高学习效率。

【案例1】

有一张三角形纸片ABC，其中BC=6，∠C=90°，∠A=30°。

(1)如图1，若用这张纸片裁剪出一个矩形CDEF，使点D、E、F分别落在AC、AB、BC上，且使矩形CDEF的面积最大，则点E应选在何处？

(2)如图2，若用这张纸片裁剪出一个矩形DEFG，使点D、G分别落在AC、BC上，点E、F均在AB上，且使矩形DEFG的面积最大，则点E应选在何处？

图1

图2

对于上述题组，建立恰当的数学模型是解解决该问题的关键，而学生很难找到解题的突破口，因而退避三舍。这里运用几何画板就能有效突破难点，几何画板为学生寻求解题模型提供了便利。第（1）问中，若假设AE的长为x，则矩形CDEF的面积可表示为y=13x233x，用几何画板构造动点P(x，y)，4再运用动点追踪功能，就能直观地演示当点E在线段AB上运动时，动点P的运动轨迹（如图3），帮助学生快速建立二次函数模型来解题。第（2）问中，也可以设AE的长为x，则矩形CDEF的面积可表示为

y=43x243x，类似地用几何画板直观地演示动点P(x，y)的运动轨迹（如图4）。用几何画板将数、9形之间的关系动态地展示出来，活跃了学生的思维活动，使抽象的数学知识变得生动形象，容易接受。

图3

图4

二、探究数学实验，把握问题本质

学习和研究数学不仅需要演绎、推理，也需要实验、归纳。数学实验作为一种新颖的数学研究方法，已成为中学数学学习的一种新形式。广义的数学实验是指在特定的实验条件下，实验者为了解决某个未知问题，验证某个数学猜想，获取某个数学结论，运用一定的技术手段或工具，并以数学理论和数学思想为指导，将实验对象进行数学化的处理，从而解释数学现象、理解数学内容或构建数学知识的一类数学研究活动。进行数学教学时，既要关注数学内容抽象化、形式化的一面，还要关注数学发现过程中经验化、具体化的一面，为此可以利用几何画板进行数学实验，辅助学生把握数学问题的结构特点，认清数学本质。

【案例2】

在初中数学“中点四边形”的探究活动中，教师可以运用几何画板引导学生探究中点四边形的特征，探究的过程如图5所示。

图5 “中点四边形”的探究过程

几何画板为学生进行数学实验创造了良好的条件，利用其实时度量功能，能快速地为学生提供精准的度量数据，利用其动画功能，可以动态地展示任意改变四边形形状时某些几何元素的变化情况，这有利于学生发现问题背后所隐藏的规律。教学时，先用“几何画板”课件进行演示，通过点击不同的按钮来改变四边关系6），让形何变AEB对角线相等DHGCFDHAEFBGCAEHDGCFB形的对角线的位置与数量关系（如图学生观察中点四边EFGH的形状是如化的，它与原四边

对角线互相垂直对角线相等且互相垂直(1)(2)图6

(3)

形ABCD的哪些量有关系，然后引导学生归纳出隐藏在现象背后的规律。这些实验操作既让学生体验了由特殊到一般、由一般到特殊的数学研究过程，又让学生进一步理解和掌握了四边形的有关知识。几何画板所呈现的丰富的动态图形，极大地开阔了学生的视野，给学生提供了更多“发现”的机会。

三、辅助变式教学，提升课堂效率

变式教学是促进数学学习的一种有效的教学方式，长期以来被数学教师广泛地用于教学之中。在现代信息技术不断发展的背景下，重新审视数学变式教学，对培养学生的创新思维能力有着深远的意义。几何画板所具有的图形动画处理、几何变换、自动推理、符号计算等功能，为数学变式教学创造了一个简易、快捷的智能操作平台。在数学变式教学中，利用几何画板从不同层次、不同角度、不同途径、不同背景这四方面变更数学对象的内容或形式，引导学生从变化的现象中抓住不变的本质，从不变的本质中探索变化的规律，让学生经历数学知识的发生、发展及形成的过程，强化对知识结构的认识，增加思维活动的经验，提高分析问题和解决问题的技能。

【案例3】

如图7，已知∠AOB=90°，P 为∠AOB的角平分线上一点，PC交AO于N，PD交BO于M。若∠PNO=∠PMO=90°，则利用角平分线的性质易证：PM=PN。

变式1：如图8，若保持∠CPD=90°不变，将∠CPD绕点P旋转，则PM与PN仍相等吗？

变式2：如图9，若将题目背景改为P为等腰直角三角形斜边AB的中点，∠CPD绕点P旋转，并保持∠CPD=90°不变，则PM与PN仍相等吗？

变式3：如图10，若将已知条件“∠AOB=90°”改为“∠AOB=(0180)”，条件“∠PNO=∠PMO=90°”改为“∠PNO+∠PMO=180°”，其它条件不变，结论还成立吗？

图7 图8 图9 图10

变式4：如图11-13，P为正多边形的中心，仍保持∠PNO+∠PMO=180°，其它条件不变，结论还成立吗？

图11

图12

图13

图14

在初中阶段存在一些典型的几何变换问题，由于传统的变式教学无法直观、形象地演示图形的变化过

程，使得学生的认知不能深入到问题的内部本质，此时可借助几何画板的几何变换、动画等功能，将几何图形因条件改变而变化的过程从不同角度呈现出来。尽管图形的部分条件发生变化，但解题思路依然没变，上述变式题组的基本模型如图14所示，其中一个直角三角形是由另一个直角三角形经过旋转而得到。利用几何画板的复制和动态模拟功能，可以从复杂图形中分离出基本模型，并使其与原图形保持同步变化，这样有助于学生认识图形，学会从基本模型入手寻找解题的突破口，从而收到触类旁通、举一反三的效果。

数学教学中合理地整合几何画板，能让学生真正参与问题的解决过程，体验知识的形成过程，构建清晰的认知结构，深刻地理解和掌握数学知识。几何画板丰富了教学的手段，给数学教学注入了新的活力，使得在传统的笔纸环境中无法开展的数学探究活动能真正开展起来，更重要的是它使抽象、枯燥的数学变得直观、形象，激发了学生的学习兴趣，有助于学生从传统的被动式学习向主动式学习转换。但值得注意的是，教学中不能用几何画板完全代替教师的板书和学生的思维训练，几何画板只能视为辅助教师解决教学难点问题、提高教学效率、辅助学生思维的工具。随着课程改革的不断推进，日新月异的信息技术必然会促进数学课堂教学模式的变化。如何在教学中恰到好处地运用几何画板，更好地优化数学课堂教学，仍需要教育工作者不断地去探索。

参考文献：

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[2] G·波利亚．怎样解题——数学教学法的新面貌[M]．上海：上海科技教育出版社，2002． [3] 鲍建生，黄金荣，易凌峰，顾冷沅．变式教学研究（续）[J]．数学教学，2003，（2）：6-10． [4] 陶维林．几何画板实用范例教程[M]．北京：清华大学出版社，2011．