第四讲盈亏问题教案

第一篇：第四讲盈亏问题教案

第四讲：盈亏问题

第一课时

教学时间：

教学内容：教学例1 教学目标：初步感知盈亏问题，了解解决盈亏问题的一般方法。重点难点：培养学生分析问题、解决问题的能力。教学过程：

一、导入，初步感知盈亏问题。

在日常生活中，我们常常要分配东西。已知两种分配方法，按一种方法分配，东西有余（称作“盈”），而按另一种方法分配，东西不足（称作“亏”），求参加分配的人数及被分配的总量。我们称这样的算术应用题为盈亏问题。解盈亏问题，常常通过比较法。

例如：学校春游，租了几条船让学生划，每条船坐3人，有16人没船划，如果每条船坐5人，则有一条船上差4人，问共有学生多少人？共租了多少条船？

在题目中，无论如何分配，学生的人数与船的条数是不变的。比较两种分配方法，第一种和第二种分配方法中人数一多一少相差4＋16=20（人）。相差的原因在于两种方法的分配数不同，两次分配每条船相差 5－3=2（人）。每条船相差2人，那么多少条船会相差20人？ 由此可求出船的条数，20÷2=10（条），所以学生总人数可列式计算：3×10＋16=46（人）

或列式5×10-4=46（人）算出。

列综合算式：

（4＋16）÷（5－3）=10（条）

3×10＋16=46（人）

答：共有学生46人，共租了10条船。

二、通过分析，我们知道解盈亏问题的关键在于确定两次分配数的差与盈亏的总额（盈数＋亏数）。解题时要注意：（1）要认真审题，仔细分析，确定用盈亏总额÷两次分配数之差得到的是题目中的哪个量，不能张冠李戴。

（2）两种分配方法不一定总是一“盈”一“亏”，还可能是两个都“盈”，两个都“亏”，或者是一个“不盈不亏”，另一个“盈”或“亏”等情况。

二、教学例1

1、出示例题

例1：学校春游，租了几条船让学生划，每条船坐3人，则有20人没船划，如果每条船坐5人，恰恰安排好，问共有学生多少人？共租了多少条船？

2、学生尝试解答。

3、说一说题中的两种分配方法 第一种分配“盈”20人 第二种分配“不盈亏”

4、分析与解

盈亏总额为20＋0=20，又可知每条船相差5－3=2（人），所以： 有船：20÷（5－3）=10（条）有学生：5×10=50（人）

答：共有学生50人，共租了10条船。

三、及时练习

学雷锋小组参加植树活动，如果每人栽5棵，还剩12棵树；如果每人栽7棵，就缺4棵树。问这个小组有多少人？一共要栽多少棵树？

四、质疑

说一说你在本节课遇到的困难，师生共同解惑。

五、课堂小结

1、提问：这节课你学到了什么？

2、引导学生说一说解决盈亏问题的关键和方法。

第二课时

教学时间：

教学内容：教学例2 教学目标：让学生在理解的基础上，熟练的解决盈亏问题。重点难点：弄清盈亏。

教学过程：

一、说一说，你知道盈亏问题有多少。

二、提问：盈亏问题里的两种分配方法一定是一盈一亏吗？

三、出示例2 例

2、学校春游，租了几条船让学生划，每条船坐3人，则空2人的位置，如果每条船坐5人，则空出16人的位置，问共有学生多少人？共租了多少条船？

1、学生读题，说一说两种分配方法有什么不一样。

2、学生独立完成解决问题。看谁做得又对又快。

3、请学生说解题过程，教师板书

有船：

（16－2）÷（5－3）=7（条）有学生： 3×7-2=19（人）

答：共有学生19人，共租了7条船。

四、巩固练习

1、学校用一批书奖励“三好学生”，若每人奖5本，则多80本；若每人奖7本，则多20本。共有多少名“三好学生”？多少本书？

2、四

（一）班学生参加植树，分成若干组，如果10人一组，正好分完，如果12人一组，差10人。参加植树的有多少人？

3、一幼儿园给小朋友分糖果，如果每个小朋友分10颗，则有两个小朋友没有分到，如果每个小朋友分8颗，则刚好分完，有多少颗糖果？多少个小朋友？

五、课堂小结

通过这节课的学习，你发现自己有哪些进步。

第三课时

教学时间：

教学内容：教学例3 教学目标：较复杂盈亏问题的求解。

重点难点：

1、学会分析这一类型题的数量间的关系。

2、能灵活运用盈亏问题的解题方法来解决问题。教学过程：

一、教学例3 例

3、用绳子测池水深，绳子两折时，多余60厘米，绳子三折时，还差40厘米，求绳长和池水深。

1、学生读题，教师用实物演示两折、三折。

2、小组讨论交流

3、小组汇报想法

4、分析与解

绳子二折时，绳子多余的长度是

60×2=120（厘米）

绳子三折时，绳子不够的长度是

40×3=120（厘米）所以“盈亏总额”为120＋120=240（厘米）。根据盈亏问题计算公式： 池水深：（120＋120）÷（3－2）=240（厘米）绳长：（240＋60）×2=600（厘米）

5、你知道还可以怎样求绳长吗？

6、小组交流

解决这道题要注意什么？

7、引导学生总结方法

二、及时练习

1、用一根绳子测量桥的高度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米，求绳子长和桥高？

3、一根绳吊一重物测水深，水面上还留6米，如果把这根绳子对折起来，再接上3米的绳子，可达水底。问绳子和水深各是多少米？

三、自编一道这一类型的题，同桌之间相互解答。

第四课时

教学时间：

教学内容：教学例

4、例5 教学目标：较复杂盈亏问题的求解。

重点难点：在题目没有直接清楚的告诉盈亏的情况下弄清盈亏。并准确熟练的解答。教学过程：

一、教学例4 学校组织乘汽车外出旅游，如果每车坐65人，则有15人乘不上车。如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。问一共有几辆汽车，有多少学生？ 分析与解

每车多坐5人，也就是每车坐5＋65=70（人），恰好多余一辆车，说明还差一辆车的人，即70人。

因而，原问题转化为： 如果每车坐65人，则有15人乘不上车，如果每车坐70人，则还差70人。求有多少辆汽车？有多少学生？

转化成了典型的盈亏问题

（15＋70）÷（70－65）=17（辆）65×17＋15=1120（人）

答：一共有17辆汽车，1120名学生。

二、及时练习

1、某校有若干个学生寄宿学校，若每一间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿舍住7人，则多出4间宿舍。问宿舍有多少间？寄宿学生有多少人？

2、学校分配学生宿舍。如果每个房间住6人，则少2间宿舍；如果每个宿舍住9人，则空出2个房间。问学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？

三、学生听故事，解决问题。例5 解放军某部调动一批战士分乘一批车辆赶往汛地抗洪。原计划每辆汽车乘32人，则多出5人，他们被安排乘坐在其中的某辆车上，行进中由于紧急任务调走一辆车，这时只好重新只能派每辆车乘35人，这样多出7人，他们被安排在其中某辆车上。问原来有多少辆车？共派出多少名战士？

1、组讨论交流

2、学生列式解答

3、说一说解题过程。汽车数：（35－7＋5）÷（35－32）=11（辆）战士数：32×11＋5=357（人）

答：原来有11辆车，有战士357人。

四、课堂小结

谈谈本节课的收获。

第二篇：盈亏问题教案

盈亏问题

知识要点

把一定数量的物品，平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；每人多分，则物品不足（亏）。已知所盈和所亏的数量，求物品数量和人数的应用题叫盈亏问题。解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配者人数，进而求出物品的数量。

例题讲解

例题1 小明的妈妈买回一篮梨，分给全家。如果每人分5个，就多出10个；如果每人分6个，就少2个。小明全家有多少人？这篮梨有多少个？

练习一

1，幼儿园阿姨把一袋糖分给小朋友们，如果每人分10粒糖，则多了8粒糖；如果每人分11粒糖，则少了16粒糖。一共有多少个小朋友？这袋糖有多少粒？

2，有一根绳子绕树4圈，余2米；如果绕树5圈，则差6米。树周长是多少米？绳子长多少米？

3，一些同学去划船，如果每条船坐5人，则多出3个位置；如果每条船坐4人，则有3个人没有位置。一共有多少条船？一共有多少个同学？

例题2 幼儿园买来一些玩具，如果每班分8个玩具，则多出2个玩具；如果每班分10个玩具，则少12个玩具。幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？

练习二

1，小明带了一些钱去买苹果，如果买3千克，则多出2元；如果买6千克，则少了4元。苹果每千克多少元？小明带了多少钱？

2，一个小组去山坡植树，如果每人栽4棵，还剩12棵；如果每人栽8棵，则缺4棵。这个小组有几人？一共有多少棵树苗？

3，一组学生去搬书，如果每人搬2本，还剩下12本；如果每人搬3本，还剩下6本。这组学生有几人？这批书有几本？

例题3 老师买来一些练习本分给优秀少先队员，如果每人分5本，则多了14本；如果每人分7本，则多了2本。优秀少先队员有几人？买来多少本练习本？

练习三

1，把一袋糖分给小朋友们，如果每人分4粒，则多了12粒；如果每人分6粒，则多了2粒。有小朋友几人？有多少粒糖？

2，妈妈买来一些苹果分给全家人，如果每人分6个，则多了12个；如果每人分7个，则多了6个。全家有几人？妈妈共买回多少个苹果？

3，某学校有一些学生住校，每间宿舍住8人，则空出床位24张；如果每间宿舍住10人，则空出床位2张。学校共有几间宿舍？住宿学生有几人？

例题4 学校派一些学生去搬一批树苗，如果每人搬6棵，则差4棵；如果每人搬8棵，则差18棵。学生有几人？这批树苗有多少棵？

练习四

1，自然课上，老师发给学生一些树叶。如果每人分5片叶子，则差3片叶子；如果每人分7片叶子，则差25片树叶。学生有几人？一共有树叶多少片？

2，数学兴趣小组的同学做数学题，如果每人做6道，则少4道；如果每人做8道，则少16道。有几个学生？多少道数学题？

3，学校排练节目，如果每行排8人，则有一行少2人；如果每行排9人，则有一行少7人。一共要排几行？一共有多少人？

例题5 三（1）班学生去公园划船，如果每条船坐4人，则少一条船；如果每条船坐6人，则多出4条船。公园里有多少条船？三（1）班有多少学生？

练习五

1，学校给新生分配宿舍，如果每间住8人，则少2间房；如果每间住10人，则多出2间房。共有几间房？新生有多少人？

2，同学们去划船，如果每条船坐5人，则少2条船；如果每船坐7人，则多出2条船。共有几条船？有多少个同学？

3，小明从家到学校，如果每分钟走40米，则要迟到2分钟；如果每分钟走50米，则早到4分钟。小明家到学校有多远？

第三篇：盈亏问题教案

简单的盈亏问题

一、教学目标：

1、知道“盈”与“亏”的含义，了解“盈亏问题”的特征，感受数学问题的趣味性。

2、在探索解决问题的过程中，学会解“盈亏问题”的方法，培养学生的逻辑推理能力。

3、让学生体会到数学问题在日常生活中的应用。

二、教学重、难点：弄清盈、亏与两次分得差的关系。

三、道具使用：白板笔

四、课堂类型：讲练结合

五、教学过程：

（一）知识导航

幼儿园老师把一袋水果糖分给小朋友，每人分2块，发现多了10块；每人改分5块，又发现少了5块。类似的问题在我们日常生活中常常可以看到，其实这些问题都有一个共同的特征——那就是把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按照某种标准分，有多余，我们称之为“盈”；按另一种标准分，分配后又不足，我们称之为“亏”。如何根据盈亏之间的联系，求出所分物品的总量和分配对象的总数，就是数学中的“盈亏问题”。这节课我们就来学习“简单的盈亏问题”。

（二）探索发现

1、出示例１：小朋友分糖，若每人分４粒则多余９粒；若每人分５粒则还缺少６粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？ 思考：①小朋友的人数与糖的粒数是怎样的?

②两种不同的分配方案一多（盈）一少（亏）相差多少粒糖？ ③相差的原因是什么呢？

解答：小朋友人数：（９+６）÷（５-４）＝１５（人）

糖果的粒数：４×１５+９＝６９（粒）

或５×１５－６＝６９（粒）答：有１５个小朋友，分６９粒糖

2、试一试：小朋友分糖果，若每人分３粒则剩２粒；若每人分５粒则少６粒。问：有几个小朋友？多少粒糖果？

3、比较归纳：由上面两题可得求解盈亏问题的公式：

分配对象总数＝盈亏总额÷两次分配数之差

所分物品总量＝分配对象总数×每份数量 + 盈（－亏）

（三）课堂小结：

需要注意：两种分配方案的结果可能有以下几种情况

①一盈，一亏。

②两盈（大盈、小盈）。•

③两亏（大亏、小亏）

④“一尽一盈”或“一尽一亏”

六、巩固练习：我能行

1、一个汽车队运输一批货物，如果每辆汽车运3500千克，那么货物还剩下5000千克；如果每辆汽车运4000千克，那么货物还剩下500千克。问 ：这个汽车队有多少辆汽车？要运的货物有多少千克？

分析：题目两次都为盈，即属于两盈的问题：（大盈—小盈）÷两次的分配数之差=分配对象总数

2、王老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元。问：儿童小提琴多少钱一把？王老师带了多少元钱？

分析：题目两次都为亏，即属于两亏的问题（大亏－小亏）÷两次的分配数之差=分配对象总数

3、某学校买来一批新书。如果每班借20本，则刚好借完；如果每班借24本，则有3个班没书可借。这所学校有几个班？这批新书共有多少本？

分析：刚好借完指不盈不亏，3个班没书可借指亏数为3个班：24×3=72用公式：（盈＋亏）÷两次的分配数之差=分配对象总数

4、红星小学去秋游。如果每辆车坐60人。那么有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，那么恰好多出一辆车。问：有多少辆车？多少个学生？

分析：15人上不了车指盈数为15，多出一辆车指亏数为一辆车坐的人数：65＋5=70 用公式：（盈＋亏）÷两次的分配数之差=分配对象总数 挑战自我： 拓展题

某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。问：学生有多少人？

七、谈收获：

通过这节课的学习，你知道怎样解盈亏问题吗？

八、教学反思：

学生通过学习能很好认识这一类问题，能分清“盈”与“亏”的含义，会解决简单的盈亏问题，同时还应及时练习以达到熟能生巧的目的！

九、板书设计：

①一盈，一亏。

公式：（盈＋亏）÷两次的分配数之差=分配对象总数

②两盈（大盈、小盈）

公式：（大盈—小盈）÷两次的分配数之差=分配对象总数

③两亏（大亏、小亏）

公式：（大亏－小亏）÷两次的分配数之差=分配对象总数

④“一尽一盈”或“一尽一亏” 公式：盈÷两次的分配数之差=分配对象总数

亏÷两次的分配数之差=分配对象总数

第四篇：第四讲平均数问题(教案)

平均数问题

一、知识要点

平均数在我们的生活中经常被用到，比如我们经常用各科成绩的平均分数来比较同学之间、班级之间成绩的好坏。求各科成绩的平均分数就是求平均数。平均数问题不仅用在求平均分数上，还应用在很多方面。比如由同年龄不同地区儿童的平均身高、平均体重来分析儿童生长发育的情况等。

在求平均数时，必须知道两个条件：（1）被均分事物的总数量；（2）要均分的总份数。它们之间的关系是：

总数量 =平均数×总份数

我们看到，对于平均数、总数量、总份数这三个量，只要知道其中的任意两个量就可以求出第三个量。

二、例题

例

1、乐乐参加数学考试，前两次的平均分数是85分，后三次的平均分数是90分，问乐乐前后几次考试的平均分数是多少？

分析：利用前两次考试的平均分数可以求出前两次考试的总分数，同理，也可以求出后三次考试的总分数，然后用前后几次考试的总分数除以总次数就是所求的平均分数。

解：（85×2+90×3）÷（2+3）

=440÷5

=88（分）

答：乐乐前后几次考试的平均分数是88分。

练一练：萍姐姐去爬山，上山时的速度是每小时2千米，下山时的速度是每小时6千米，那么，她在上下山全过程中的平均速度是每小时多少千米？

分析：平均速度=总路程÷总时间。显然，萍姐姐上下山的平均速度，等于萍姐姐上下山的总路程除以上下山所用时间的总和。而题目中没有给出爬山的路程，也无法求出爬山路程。为此，我们可以假设山路为12千米，则上下山的路程为2×12千米。

解：2×12÷（12÷2+12÷6）

=24÷（6+2）

=24÷8

=3（千米/时）

答：萍姐姐上下山的平均速度是每小时3千米。

问：萍姐姐上下山的平均速度，像下面这样计算可以吗？为什么？

（2+6）÷2=4（千米/时）

（变式练习）：小明从甲地到乙地一半时间骑自行车，一半时间步行。步行速度为每小时8千米；骑车速度为每小时24千米。求此人从甲地到乙地的平均速度。

分析：题目中没有给出总共行了多少时间，也没有给出甲地到乙地的距离。不妨假设总共行了2小时，那么所行路程就可以简单地计算出，相应的平均速度也可以求出来了。要是设共行

内部资料 小时，6小时等，也同样方便地算得同一结果。

解：（8×1+24×1）÷（1+1）=16（千米/时）答：此人从甲地到乙地的平均速度为16千米/时.问：此题的平均速度可以像下面这样计算吗？为什么？

（8+24）÷2=16（千米/时）

例

2、已知八个连续奇数的和是144，求这八个连续奇数。

分析：八个连续奇数的特点就是第一个和第八个的和、第二个和第七个的和、第三个和第六个的和、第四个和第五个的和都是相等的，也就是说，144是4个相同数的和。

解：每组数的和是：144÷4=36

中间两个数是：（36－2）÷2=17

17+2=19

因此，这八个连续奇数分别是：11、13、15、17、19、21、23、25.答：这八个连续奇数分别是：11、13、15、17、19、21、23、25.练一练：5个数的平均数是102，如果把这5个数从小到大排列，那么前3个数的平均数是70，后3个数的和是390。问：中间的那个数是多少？

解：前3个数与后3个数的总和是：70×3+390=600；

5个数的和是：102×5=510；

中间那个数是：600－510=90

答：中间那个数是90.（变式练习）把自然数1，2，3，4，„„，998，999分成三组，如果每一组数的平均数恰好相等，那么这三个平均数的和是多少？

分析：1，2，3，4，„„，998，999是连续的自然数。从1开始的连续自然数的平均数是什么特点呢？我们把上述问题先化小到“把1，2，3，4，„„，9这九个自然数分成三组，如果每一组的数平均数恰好相等，那么每一组的平均数是多少？”因为每一组的平均数都相等，所以这个平均数应该和总平均数相等。

这九个数的总平均数是：（1+2+3+4+„+9）÷9=45÷9=5，正好是这列数中间的一个数，可以用（1+9）÷2=5得到。由此可以推断：从1开始的连续个自然数的平均数可以用（第一个数+最后一个数）÷2得到。如果是连续奇数个自然数，那么平均数就是这列数中间的那个数。

解：因为每一组的数平均数恰好相等，所以这个平均数应该和总平均数相等，并且这个平均数应该是：（1+999）÷2=500 三个平均数的和是500×3=1500 答：三个平均数的和是500×3=1500.例

3、有六个数排成一列，它们的平均数是27，前四个数的平均数是23，后三个数是34，求第四个数是多少？

分析：前四个数与后三个数中，第四个数重复计算，所以这七个数的总和比六个数的和多的数就是第四个数。

解：23×4+34×3－27×6

=92＋102－162 内部资料

=32 答：第四个数是32.练一练：阿呆、乐乐和丫丫3人，阿呆、乐乐的年龄之和是24岁，阿呆、丫丫的年龄和是20岁，乐乐、丫丫的年龄和是16岁。问：阿呆、乐乐和丫丫3人的平均年龄是多少岁？

解：由题目可知，24+20+16得到的数是2个阿呆、2个乐乐和2个丫丫的年龄之和，因此将该数除以2就得到阿呆、乐乐和丫丫三人的年龄之和。

（24+20+16）÷2÷3=10（岁）

答：阿呆、乐乐和丫丫3人的平均年龄是10岁。

（变式练习）丫丫期末考试语文、数学、常识平均成绩是85分，外语成绩公布后，她的平均成绩提高了2分。问：丫丫外语考了多少分？

分析：要求出外语考了多少分，必须先分别求出3门功课和4门功课的总分数。由三门功课平均分数85分，可以求出三门功课的总分数85×3=225（分），又由外语成绩公布后，他的平均分提高了2分，可得他四门功课的总分数是：（82+2）×4=348（分），因此，总分之差就是外语成绩了。

解：（82+2）×4－85×3

=348－255

=93（分）

答：丫丫外语考了93分。

例

4、为了支援西部，1班班长小明和2班班长小红带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完。小明要了26本书，小红要了18本书。回校后，小明补给小红28元。问：小明、小红各带了多少元？每本书的价格是多少？

分析：因为两人带了同样多的钱，刚好买了同一种书44本，因此，每人的钱恰好能买这种书的数目是：44÷2=22（本）。小明补为小红的28元钱，是小明多买的书的价钱，也就是4本书的价钱。

解：每本书的价格为：28÷（26－44÷2）=7（元）

小明、小红各带的钱数：44×7÷2=154（元）

答：小明、小红各带了154元，每本书的价格为7元。

练一练：一个旅游团租车出游，平均每人应付车费40元。后来又增加了8人，这样每人应付的车费是35，问：租车费是多少元？

解：后来增加的8人所付的总费用为：35×8=280（元）

增加8人后，每人应付的车费减少了：40－35=5（元）

后来增加的8人所付的总费用应与原人数所少付的总费用相等，因此：

原有人数为：280÷5=56（人）

租车费为：40×56=2240（元）答：租车费为2240元。

（变式练习）今年前5个月，小明共存钱21元，从6月起，他每月储蓄6元钱，那么从哪个月起小明的平均储蓄超过5元？ 内部资料 解：前5个月，小明每月平均存钱：21÷5=4.2（元）

若要平均储蓄超过5元，则需要从后几个月的储蓄中挪出一部分给前5个月，且需要挪（5－4.2）×5=4（元）；而从5月起，每个月储蓄6元钱，6－5=1（元），即每个月可以拿出1元补给前5个月，4÷1=4（个），所以从5+4+1=10月起，小明的平均储蓄超过5元。

例

5、某商场食品部将10千克巧克力糖，12千克奶糖，8千克水果糖合成一种混合糖。已知巧克力糖每千克18元，奶糖每千克12元，水果糖每千克6元，求混合糖平均每千克多少元？

解：混合糖的总价钱是：10×18+12×12+8×6=372（元）

混合糖重：10+12+8=30（千克）

混合糖平均每千克的价钱是：327÷30=12.4（元）答：混合糖每千克的价钱是12.4千克。

练一练：牛奶糖每千克17.8元，巧克力糖每千克21元，牛奶糖5千克与巧克力糖多少千克混合后，平均每千克19元？

解：每千克牛奶糖的价钱比混合后每千克的价钱少：19－17.8=1.2（元）

5千克牛奶糖的价钱比混合后5千克的价钱少：1.2×5=6（元）

每千克巧克力糖的价钱比混合后每千克的价钱多：21－19=2（元）

要想混合后平均每千克19元，则需要巧克力糖：6÷2=3（千克）答：需要巧克力糖3千克。

（变式练习）商店用相同的费用，买进甲、乙两袋不同的糖果，已知甲袋糖果每千克需要6元，乙袋糖果每千克需要4元，如果把两袋糖果混合在一起，那么这种混合糖每千克的成本是多少元？

解：假设商店分别用了12元买来甲、乙两袋糖果，则

甲袋糖果有：12÷6=2（千克）

乙袋糖果有：12÷4=3（千克）

混合糖每千克的成本：12×2÷（2＋3）=4.8（元）答：这种混合糖每千克的成本是4.8元。

内部资料

第五篇：第6讲 盈亏问题

盈亏问题

盈亏问题，顾名思义有剩余就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产生这种盈亏现象．盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化．

盈亏问题分为5类：⑴有盈有亏； ⑵都是盈；⑶都是亏；（4）一个盈，一个刚好分完；（5）一个亏，一个刚好分完。

盈亏问题常用公式：（1）（盈+亏）÷两次分配的差=参与分配的数量（2）（盈-盈）÷两次分配的差=参与分配的数量（3）（亏-亏）÷两次分配的差=参与分配的数量（4）盈÷两次分配的差=参与分配的数量

（5）亏÷两次分配的差=参与分配的数量

例1 某校参加数学竞赛，原定考场若干个。如果每个考场坐22人；则多出18人，如果每个考场坐25人正好坐满。参加这次竞赛的学生共有多少人？

分析：本题为盈亏问题中只盈不亏的类型。根据题目条件“如果每个考场坐22人；则多出18人，如果每个考场坐25人正好坐满。”可知：考场共有18÷（25-22）=6（个），考生人数为25×6=150（人）解：18÷（25-22）=18÷3 =6（人）

25×6=150（人）

答：参加这次竞赛的学生人数为150人。

说明：本题运用公式 盈÷两次分配的差=参与分配的数量

随堂练习学校组织体操比赛。四（2）班同学站成若干排，如果每排5人，则多出6人，如果每排站6人，则刚好站完。问四（2）班一共有多少人？

解：6÷（6-5）

=6（排）

6×6=36（人）

答：四年级2班一共有36人。

例2 五年级在植树节组织学生植树，如果每人栽5棵。则缺20棵，如果每人栽3棵，则刚好栽完。问五年级一共植树多少棵？

分析：根据题目“如果每人栽5棵。则缺20棵，如果每人栽3棵，则刚好栽完。”可知，本题属于只亏不赢的情况。根据条件有20÷（5-3）=10（人）10×3=30（棵）解：20÷（5-3）

=10（人）

10×3=30（棵）答：一共植树30棵。

说明：本题运用公式 亏÷两次分配的差=参与分配的数量

随堂练习解放军某部队举行阅兵仪式。如果每车坐40人。则缺100人，如果每车坐30人，则刚好坐完。问这支部队一共有多少人？

解100÷（40-30）100÷10 =10（辆）30×10=300（人）

答：这支部队一共有300人。

例3 学校为某班新生分宿舍，每间住5人则多12人，每只住6人则多2人。问：有多少间宿舍？多少名新生？

分析：本题属于都是盈的情况，由题意可知，新生的人数和房间的间数是不变的。比较两种分配方案，结果相差12－2=10人，即第一种方案的结果比第二种多10人。这是因为每间房间比原来多住了6－5=1人，所以房间的数量为：（12-2）÷（6-5）=10（间），人数为5×10+12=62（人）解：房间：（12-2）÷（6-5）

=10（间）

人数：5×10+12 50+12 =62（人）

答：房间有10间，新生人数为62人。

说明：本题运用公式：（盈-盈）÷两次分配的差=参与分配的数量

随堂练习张老师带了一些钱去文具店买练习本，如果买40本还剩15元，如果买50本还剩5元，问：张老师一共带了多少钱？ 解：（15-5）÷（50-40）=10÷10 =1（元）40×1+15=55（元）答：张老师共带了55元。

例4 露露从家到学校如果每分钟60米的速度走，那么要迟到5分钟；如果每分钟走70米，那么仍迟到3分钟。她应以每分钟多少米的速度走才能准时到达？

分析：根据题目条件，我们可以判断出本题属于都是亏的情况。“每分钟60米的速度走，要迟到5分钟；每分钟走70米，仍迟到3分钟。”根据公式直接求解问题不大，但是本题要注意的是亏到底是什么，如果直接以亏5分钟和3分钟计算，则会出现错误。所以，分析题目的“亏”是很关键的一步，以每分钟60米的速度走要迟到5分钟，说明距离学校还有60×5=300（米），以每分钟70米的速度走要迟到3分钟，说明距离学校还有70×3=210（米）所以 亏-亏=300-210=90（米）即90÷（70-60）=9（分钟）距离为：60×（9+3）=720（米）720÷9=80（米/分）解：（60×5-70×3）÷（70-60）=90÷10 =9（分钟）60×（9+5）60×14 =840（米）

840÷9=？（米/分）

答：她应该以每分钟80米的速度走才能准时到达。

说明：本题运用公式：（亏-亏）÷两次分配的差=参与分配的数量 随堂练习妈妈用袋子装报纸，如果每个袋子放20张则有一个袋子只有2张。如果每个袋子放16张，则有一个袋子里有14张。问一共有多少张报纸？ 解：第一种方案亏为：20-2=18（张）

第二种方案亏为：16-14=2（张）（18-2）÷（20-16）=16÷4 =4（个）20×4-18 =80-18 =62（张）

答：报纸一共有62张。

例5 四年级一班数学组买了一些水果糖分给学生，如果每人分4粒就多9粒；如果每人分5粒就少6粒。四年级一班数学组有多少名学生？老师买了多少粒水果糖？

分析：由题目条件可知：两次参与分配的人数和糖果数量不变，两次分得的糖果数量一多一少，相差9+6=15（粒），两次分配分别为4粒和5粒，两次分配的差5-4=1（粒）。所以参与分配的人数为15÷1=15（人），糖果的数量为15×4+9=69粒。

解：人数：（9+6）÷（5-4）

=15（人）

水果糖数量：15×4+9

=60+9

=69（粒）

答：四年级一班数学组有15名学生；老师买了69粒水果糖.说明：本题运用了公式1（盈+亏）÷两次分配的差=参与分配的数量

随堂练习小红的妈妈买回一筐桔子，如果每人吃2个则多3个，每人吃3个则差4个，小红家里有几人？桔子一共有多少个？ 解：人数：（3+4）÷（3-2）

=7（人）

桔子：2×7+3 =14+3

=17（个）

答：小红家里有7人；桔子一共有17个

例6 幼儿园给小朋友分梨，如果大班小朋友每人分5个则多10个，如果小班小朋友每人分8个则少4个，已知大班小朋友比小班小朋友多5人，问这框苹果有多少个？

分析：题目中出现的参与分配的人数在变化，不方便计算。在解答盈亏问题过程中，我们要确保参与分配的人数是定值。仔细观察题目，大班小朋友比小班小朋友多5人，如果大班小朋友每人分5个，则会多出来10+5×5=35个，由公式（1）可知小班小朋友有：（35+4）÷（8-5）=13（人）13×8-4=100（个）解：（10+5×5+4）÷（8-5）

=39÷3 =13（人）13×8-4 =104-4 =100（个）

答：这框苹果有100个.随堂练习老猴子给大小猴子分桃，如果大猴子每只分6个则少3个，如果小猴子每只分3个则多3个，已知小猴子比大猴子多5只，问有多少个桃？ 解：（3+3×5+3）÷（6-3）

=21÷3 =7（只）7×6-3 =42-3 =39（个）

答：共有桃39个。

例7 上体育课时，老师把全体学生分成若干组，然后分发篮球，若每组分3个，则剩下23个篮球，若每组分5个，则有一组学生没有篮球,。问一共有多少个小组？有多少个篮球？

分析：判断本题是哪一种类型，需要认真分析。“若每组分3个，则剩下23个篮球”是盈余，“若每组分5个，则有一组学生没有篮球,”是亏，亏多少呢？每组分5个，一组分不到，则亏5个。解：（23+5）÷（5-3）=28÷2 =14（组）3×14+23 =42+23 =65 答：一共有14组，65个篮球。

说明：本题运用了公式1（盈+亏）÷两次分配的差=参与分配的数量

随堂练习劳动小组为新修食堂搬砖。如果每人搬16块，还剩4块；如果每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。问共有多少块砖？

解：（4+20）÷（20-16）

=24÷4 =6（人）6×16+4 =96+4 =100（块）

答：共有100块砖.例8 解放战争胜利后，解放军给老百姓分粮食。如果其中2户每户分300千克，其余每户分200千克，还多出1500千克，如果一户分400千克，其余每户分300千克，又缺2000千克，这批粮食一共多少千克？

分析：本题为中等难度题目。首先我们要明白一点，就是在分的时候应该以相同的标准分，然后判断题目中的盈亏。根据题目条件：“如果其中2户每户分300千克，其余每户分200千克，还多出1500千克，如果一户分400千克，其余每户分300千克，又缺2000千克”。我们把两种方案中分别不同的分发转化成方案中相同的分发，即不能让人搞特殊。所以在第一个方案中我们让特殊的2户也和别人一样分200千克，则盈余为1500+（300-200）×2=1700（千克），第二个方案中我们也让特殊的一户和别人一样，则亏为2000-（400-300）=1900（千克）

根据盈亏公式（1）可得（1700+1900）÷（300-200）=36（户）粮食有36×200+1700=8900（千克）解：盈：1500+（300-200）×2 =1500+200 =1700（千克）亏；2000-（400-300）=2000-100 =1900（千克）

（1700+1900）÷（300-200）=3600÷100 =36（户）

粮食：36×200+1700 =7200+1700 =8900（千克）

答：这批粮食一共有8900千克。说明：本题运用公式（1）（盈+亏）÷两次分配的差=参与分配的数量

随堂练习王叔叔去工厂上班，如果先用每分钟60米的速度走2分钟，再改用每分钟50米的速度前进，结果早到1分钟，如果先用70米的速度走1分钟，再以每分钟40米的速度前进，就会迟到3分钟，王叔叔家到工厂的距离是多少？ 解：盈：50×1-（60-50）×2 =50-20 =30（米）

亏：40×3+（70-40）×1 =120+30 =150（米）

（30+150）÷（50-40）=18（分钟）50×18-30 =900-30 =870（米）

答：王叔叔家到工厂的距离是870米。

习题

1.某校学生参加劳动,分成若干组,如果12人一组,正好分完,如果10人一组,多10人.参加劳动的有多少人？ 解：10÷（12-10）

=10÷2 =5（组）

12×5=60（人）答：参加劳动的有60人。

2.农场组织学生卖桔子,如果每人卖出5千克,就刚好卖完;如果每人卖出6千克，则还差300千克,那么有多少学生参与活动,农场有桔子多少千克？

解：300÷（6-5）=300÷1 =300（人）

300×5=1500（千克）

答：有300参加活动，农场有桔子1500千克。

3.村民修公路,如果每人修24米,则超过总长120米,如果每人修30米,则超过总长300米.修路的共有多少人,公路长多少米？ 解：（300-120）÷（30-24）=180÷6 =30（人）

30×24-120 =720-120 =600（米）

答：修路的共有30人，公路长600米。

4.课外活动跳绳比赛,其中2组各借绳4根,其余的组借5根,这样分配最后余下12根;如果每组借6根,这样恰好借完.问有绳多少根? 解：[12-（5-4）×2] ÷（6-5）

=10÷1 =10（组）6×10=60（根）答：有60根绳。

5． 小丽读一本书，她每天读10页，在规定天数内还剩25页没读完，如果她每天读12页，则在规定天数内还剩13页看不完，这本书一共多少页？ 解：（25-13）÷（12-10）=12÷2 =6（天）6×10+25 =60+25 =85（页）

答：这本书一共有85页。

6.妈妈去商店买布，如果买3米布还缺18元，如果买2米还缺5元，妈妈带了多少钱？

解：（18-5）÷（3-2）=13÷1 =13（元）13×3-18 =39-18 =21（元）

答：妈妈带了21元。7.学校组织春游，如果每车坐55人则多35人没座位，如果每车坐60人则还能坐10人。一共有多少名学生？

解：（35+10）÷（60-55）=45÷5 =9（辆）60×9-10 =540-10 =530（人）

答：一共有530名学生。

8.小朋友去买东西，如果每人出8块钱则多6块钱，如果每人出6块钱则少4元。有多少个小朋友？东西卖多少元？ 解：（6+4）÷（8-6）=10÷2 =5（人）

8×5-6 =40-6 =34（元）

答：有5个小朋友，东西卖34元。

9.用一根绳子测量池塘的水深。对折后露出水面60厘米，三折后还差40厘米。问池塘水深多少米？绳子长多少米？ 解：（60×2+40×3）÷（3-2）=240÷1 =240（厘米）

240厘米=2.4米

（240+60）×2=600（厘米）600厘米=6米

答：池塘水深2.4米，绳子长6米。

10.老师买小提琴，若买6把，则缺120元，若买4把，则多60元。老师一共带了多少钱？

解：（120+60）÷（6-4）=180÷2 =90（元）90×4+60 =360+60 =420（元）

答：老师一共带了420元。

11．小陶给家人分桃子，如果爸爸妈妈各分5个，其余的每人分3个，则剩下9个桃子；如

果 有4人各分3个，其余的各分6个，则剩余10个桃子。问，家里有几人？桃子有几个？

解：盈：9+（5-3）×2=13（个）

亏：（6-3）×4-10=2（个）（13+2）÷（6-3）=5（人）（5-2）×3+5×2=19（个）

答：家例有5人，有19个桃子。12.老师给美术小组的同学分铅笔。如果每人分6支则缺2支；如果每人分8支还缺12支。问一共有多少支铅笔？

解：（12-2）÷（8-6）=10÷2 =5（人）5×6-2 =30-2 =28（支）

答：一共有28支铅笔。

13.学校大扫除，老师让一些同学擦玻璃。如果其中3人各擦4块，其余每人擦5块，则余23块；如果每人擦7块，正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数？

解：[23-（5-4）×3] ÷（7-5）=（23-3）÷2 =20÷2 =10（人）

10×7=70（块）

答：擦玻璃的人数为10人，玻璃一共70块。

14． 小华从家地到图书馆如果每分钟走90米，那么要迟到5分钟；如果每分钟走100米，那么仍迟到3分钟。他应以每分钟多少米的速度走才能准时到达？ 解：（90×5-100×3）÷（100-90）=150÷10 =15（分钟）100×（15+3）=100×18 =1800（米）

1800÷15=120（米）

答：他应以每分钟120米的速度走才能准时到达。

15.有一批故事书分给几个小朋友，如果其中3人每人5本，其余每人4本，那么会剩2本；如果其中1人分3本，其余每人5本，就会刚好分完。这批故事书共有多少本？[北京市第四届“迎春杯”刊赛] 解：盈：（5-4）×3+2=5（本）

亏：（5-3）×1=2（本）

（5+2）÷（5-4）=7÷1 =7（人）

3+（7-1）×5 =3+30 =33（本）

答：这批故事书一共有33本。