降次——解一元二次方程的教案.[推荐5篇]

第一篇：降次——解一元二次方程的教案.

22.2降次——解一元二次方程（教师用）

一、教学内容

运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．

二、教学目标

理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．

三、重难点关键

1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．

四、教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空

（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2． 问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？ C Q A 老师点评：

问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2 则PB=x，BQ=2x 依题意，得：

x2=8 根据平方根的意义，得x=±

即x1

x2=

可以验证，PBwww.xiexiebang.comp2p）． 221x²2x=8 21x²2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 2 所以

PBQ的面积等于8cm2．

二、探索新知

上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）

老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±

即

方程的两根为t1

例题示范一：

变式1：解方程x-25=0 变式2：解方程4x-100=0 变式3：解方程4x-7=0 变式4：解方程(2x-1)2-25=0 总结：如果方程能转化成形如x2=p或(mx+n)2=p（p≥0），那么可得x=±p或mx+n=±p 注：（1）直接降次实际上就是直接开平方，方程的左边是一个完全平方式，右边是一个非负数时，可以运用此方法。

（2）直接开平方降次后，右边的非负数开平方时必须取正负两个平方根，解出两个一元二次方程后，得到一元二次方程的两个根。

拓展：解方程(2x-1)2=(3-x)2 分析：可以将（3-x）当作一个整体或一个数来处理。【活动二】跟踪训练：

课本P31练习（1）～（6）

【活动三】由以上学习可知：如果一个一元二次方程不是直接开平方的两种形式之一，也可以设法转化为两种形式之一，再运用直接开平方法求出方程的解。问题：要使一块长方形场地的长比宽多6m，并且面积为16m，场地的长和宽各是多少？

设场地宽为xm,长为（x+6）m，根据相等关系：长³宽=16 可得方程：x(x+6)=16 2化为一般形式为：x+6x-16=0，能否将该方程也化为(mx+n)=p的形式呢？ 2222211，t2

=-22 移项，得：x+6x=16 两边同时加上9，得：x+6x+9=16+9（这样左边就化成了一个完全平方式，右边是一个非负数）变形为：(x+3)=25 两边直接开平方，得：x+3=±5 x=-3±5 222 ∴x1=2,x2=-8 可以验证x=-8不符合题意，所以场地的宽为2m，长为8m.概括以上解题步骤：

（1）移项：将常数项移到右边

（2）配方：两边同时加上一次项系数一半的平方

（3）写成直接开平方的形式（简称配方）（4）直接开平方，化成两个一元一次方程（5）求出两个一元一次方程的解（6）写出答案 例题示范二：

变式1：解方程：2x+12x-32=0 分析：这个方程与上述方程相比，系数都是刚才的2倍，所以必须先将方程两边同除以2，将系数化简后的步骤与上同。变式2：解方程：2x+12x-31=0 分析：与上题类似，同样要按照移项、将二次项系数化为

1、配方、降次为两个一元一次方程、解两个方程、写答案。变式3：2x-31=-12x 分析：首先要将二次项、一次项移到方程的一边，常数项移到另一边，再按几个步骤进行计算。变式4：3x-6x+4=0 【活动四】跟踪训练 课本P34练习1、2.五、课堂总结：

在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，因此在教学过程中及课后批改中发现学生出现以下几个问题：

在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方。当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方。

因此，要纠正以上错误，必须让学生多做练习、上台表演、当场讲评，才能熟练掌握。

六、课后作业

P31.练习P34.练习

七、课后思考

如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB面积的一半． 2222 A

P CQ www.xiexiebang.com 分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．•根据已知列出等式． 解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 根据题意，得：111（8-x）（6-x）=³³8³6 222 整理，得：x2-14x+24=0（x-7）2=25即x1=12，x2=2 x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去． 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

第二篇：教案：22.2降次——解一元二次方程

12999数学网 www.xiexiebang.com 22.2降次——解一元二次方程（5）

教学内容

本节课主要学习用因式分解法解一元二次方程。教学目标

知识技能

1．应用分解因式法解一些一元二次方程．

2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．

数学思考

体会“降次”化归的思想。解决问题

能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．

情感态度

使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．

重难点、关键

重点：应用分解因式法解一元二次方程．

难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便． 教学准备

教师准备：制作课件，精选习题

学生准备：复习有关知识，预习本节课内容

教学过程

一、复习引入 解下列方程．

（1）2x2+x=0（用配方法）

（2）3x2+6x=0（用公式法）

老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为应加上（111，的一半应为，因此，224121），同时减去（）2．（2）直接用公式求解． 44【设计意图】

复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。

二、探索新知 【问题】

仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）上面两个方程中有没有常数项？

（2）等式左边的各项有没有共同因式？ 【活动方略】

在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。

上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）

因此，上面两个方程都可以写成：

（1）x（2x+1）=0

（2）3x（x+2）=0 12999数学网 www.xiexiebang.com

12999数学网 www.xiexiebang.com

因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-1．

2（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．

【设计意图】

引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据． 【探究】

通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？（1）x(x2)x20；

2（2）5x2x13x22x； 44（3）3x(2x1)4x2；（4）(x4)2(52x)2．

【活动方略】

学生活动：

四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题．

对于方程（1），若把（x－2）看作一个整体，方程可变形为（x－2）（x＋1）＝0；

方程（2）经过整理得到4x10，然后利用平方差公式分解因式；

方程（3）的右边分解因式后变为3x(2x1)2(2x1)，然后整体移项得到

23x(2x1)2x(21)，把（2x－1）看作一个整体提公因式分解即可；

22方程（4）把方程右边移到左边(x4)(52x)0，利用平方差公式分解即可．

教师活动：

在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．

在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：

（1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．

（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次． 【设计意图】

12999数学网 www.xiexiebang.com

12999数学网 www.xiexiebang.com 主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性． 【应用】

例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为

10x4.9x2．

你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？ 【活动方略】 学生活动：

学生首先独立思考，自主探索，然后交流 教师活动：

在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．

【设计意图】 应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识．

三、反馈练习

教材P45 练习

2212999数学网 www.xiexiebang.com

∴x1=-5，x2=1

上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．

aba2b2例2．已知9a-4b=0，求代数式的值．

baab22aba2b2

分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的baab关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．

a2b2a2b22b

解：原式=aba

∵9a2-4b2=0

∴（3a+2b）（3a-2b）=0

3a+2b=0或3a-2b=0，22b或a=b 3322b

当a=-b时，原式=-=3 23b32

当a=b时，原式=-3．

3a=-例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．

分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．

解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．

∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0

a<-2

∵ax+3>0即ax>-3

∴x<-3 a3 a

∴所求不等式的解集为x<-【活动方略】

教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。【设计意图】

应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力．

五、小结作业

1．问题：本节课学到了哪些知识？有什么体会？ 本节课应掌握：

（1）用因式分解法，即用提取公因式法、•十字相乘法等解一元二次方程及其应用．

（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：

12999数学网 www.xiexiebang.com

12999数学网 www.xiexiebang.com 联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．

②公式法是由配方法推导而得到．

③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．

区别：①配方法要先配方，再开方求根．

②公式法直接利用公式求根．

③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0。2.作业：课本P45习题22．2

第三篇：因式分解法解一元二次方程公开课教案

因式分解法解一元二次方程

备课人：张友 时间：2017.3.6 教学目标：

1.通过学生自学探究掌握运用因式分解法及其基本思想； 2.能用因式分解法解一些一元二次方程； 3.学会选择合适的方法解一元二次方程.教学重点：因式分解法解一些一元二次方程.教学难点：能够正确选择因式分解的方法.教学过程： 一.复习回顾

1.同学们，前面我们学习了一元二次方程及其解法，那么总共学习了多少种解法呢？

学生回答：直接开平方法、配方法、公式法

2.今天我们要学习因式分解法解一元二次方程，你还记得因式分解有哪几种方法吗？下面三题如何因式分解？各用了什么方法？

（1）xx（2）x9（3）x5x6

学生回答：（1）x(x1)，提公因式法；（2）(x3)(x3)，公式法；（3）(x2)(x3)，十字相乘法.二.新课学习

1.首先，我们来看这个问题x5x60，你有几种方法求解呢？

师生共同讨论：无法用直接开平方法，可以用配方法，也可以用公式法，有什么新方法吗？ 学生回答：(x2)(x3)0 ①

x20或x30 ②

x12,x23

教师提问：从①到②，依据是什么？

学生回答，教师总结：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0.化为符号语言为：AB0A0或B0

这种利用因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法。

这种降次的方法体现了化归的数学思想方法.2.试试水

用因式分解法解下列方程.（1）xx（2）x90 222222三.巩固提高 1.例题解析

(x4)(x1)6 解：原方程可化为 x3x100(x5)(x2)0

x50或x20

x15,x22.2.总结因式分解的一般步骤

（1）方程化成一元二次方程一般形式； 右化零

（2）方程左边分解成两个一次因式相乘； 左分解

（3）得到两个一元一次方程； 两方程

（4）求解。各求解 四.课堂练习

1.课本第三十页练习2.解方程：x6x110

启发：如何选择合适的方法解一元二次方程？ 化为一般形式后，左边易因式分解的用因式分解法更易，配方法和公式法适用于所有一元二次方程.五.课堂小结

通过本节课的学习你有什么收获？ 六.作业

课本第三十一页习题 第五、六题

板书设计

复习回顾 新课讲解 例题解析 学生板演 小结作业 22

第四篇：21.2 解一元二次方程 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

知识与技能

1、探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程．

2、在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。过程与方法

渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法． 情感态度与价值观

继续体会由未知向已知转化的思想方法．

2.教学重点/难点

教学重点：用配方法解一元二次方程．

教学难点：正确理解把 形的代数式配成完全平方式.3.教学用具

制作课件、精选习题、教学用直尺、三角板、量角器、小黑板

4.标签

教学过程

一、引入新课

创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 活动一： 情境引入

（学生活动）请同学们解下列方程

（1）3x2-1=5（2）4（x-1）2-9=0（3）4x2+16x+16=9 老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得

如：4x2+16x+16=（2x+4）2 【活动方略】

教师演示课件，给出题目． 学生根据所学知识解答问题． 【设计意图】

复习直接开门平方法，解形如（mx+n）2=p（p≥0）的形式的方程，为继续学习引入作好铺垫．

板书课题21.2.2解一元一次方程－配方法

二、新知探究 活动二：

（2）要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？

【活动方略】 学生活动：

学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．

考虑设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x＋9=16＋9，即（x＋3）2＝25，问题解决。

老师活动：

在学生讨论方程x2+6x=16的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤．

归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。【设计意图】

引导学生根据降次的思想，利用配方的方法把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解方程．

活动三：

（3）利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？ 1）x2－8x + 1 = 0； 2）2x2+1=3x 3）3x2-6x+4=0 【活动方略】 学生活动：

学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．经过分析（1）中经过移项可以化为x2-8x=-1，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到x2-8x+42=-1+42，得到（x－4）2=15；

（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即

方程两边都加上

方程可以化为

（3）按照（2）的方式进行处理． 教师活动：

在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：

（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；

（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解． 【设计意图】

主体探究、通过解几个具体的方程，归纳作配方法解题的一般过程．

四、新知应用

教材P39 练习第1、2题． 补充习题： 解下列方程．

（1）x2+2x-35=0（2）2x2-4x-1=0 【活动方略】

学生独立思考、独立解题．

教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

【设计意图】

检查学生对基础知识的掌握情况.例：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB面积的一半．

分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．•根据已知列出等式．

解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 根据题意，得：整理，得：x2-14x+24=0

（x-7）2=25即x1=12，x2=2 x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去． 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 【活动方略】

教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。【设计意图】

使学生应用一元二次方程解有关实际问题，进一步掌握配方法。

课堂小结

用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①移项。

②将二次项系数化为1。③配方。④两边开平方。

板书

一元二次方程的解法――配方法

一、配方法

二、步骤

1、把一元二次方程化为一般形式.2.等号的左边写成完全平方的形式.3.利用开平方来解方程.三、例题讲解

四、练习

五、小结

第五篇：配方法解一元二次方程-----公开课教案

配方法解一元二次方程教案

教学目标

（一）知识技能目标 1.会用直接开平方法解形如

(x+n)2=p

2.会用配方法解一元二次方程。

（二）能力训练目标

1．理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法。2.了解用配方法解一元二次方程的基本步骤。

（三）情感态度与价值观

通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力，激发学生的学习兴趣。重点难点

教学重点：用配方法解一元二次方程 教学难点：理解配方法的基本过程 教学过程

教学活动

一、复习引入

用直接开方法解下列方程：(1)2x²=8

(2)(x+3)² = 25(3)9x²+6x+1=4 2.你能解这个方程吗？

x²+6x+4=0

二、探究新知

填上适当的数或式,使下列各等式成立.填上适当的数或式,使下列各等式成立.2(1)x26x3=(+)x322x8x42=(x+)(2)42222x4x(3)=(x-2)2(4)x2px(p)22=(+xp2)2观察你所填的常数与一次项系数之间有什么关系?共同点：左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.想一想如何解方程x26x40?

一、解方程x2+6x+4=0 并写出过程

（1）学生思路: 教材思路： x2+6x+4=0 x2+6x+4=0

解： x2+6x+4+5=5 解： x2+6x=−4 x+6x+9=5 x2+6x+9=−4+9

(x+3)2=5(x+3)2=5

x+3=±√5 x+3=±√5 x1=√5−3 x2=−1 √5−3 x1=√5−3 x2=−√5−3 共同探索

例1.解方程：

x2+8x-9=0

随堂练习

用配方法解下列方程：

（1）x²+10x+9＝0

（2）

（3）x² + 4x + 9＝2x + 11

目标测试

一、用配方法解下列方程：

1、x²+2x-8＝0 2、3x²=4x+1x2x

21、代数式的植为0，求x2x

12、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x²-4x+3＝0 的解，求这个三角形的周长

二、选做题：

1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得x1a,x2a这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.一半