新不等式教案201.3（精选）

第一篇：新不等式教案201.3（精选）

复习课教学案

解一元一次不等式（组）

南阳市九中北校区 张献冰

2016 年 3月 复习目标：通过学生复习

1． 使学生掌握一元一次不等式（组）的解法。

2． 使学生感受不等式的性质在解一元一次不等式中的运用，体验解一元一次不等式（组）。

3． 进一步培养学生分析问题、解决问题的能力和树立分类讨论、数形结合、转化的思想。

复习重点：一元一次不等式（组）的解法。难 点：培养学生分析解决问题的能力。教 具：多媒体 复习过程：

步骤一 自主探索（自主学习一）

一、探索指导：先自主探索七年级下册p50—64页相关知识，如有疑问请记录下来，自主探索课本七年级下册p50—64页完之后思考并解决下课本列问题。

问题1 什么叫不等式？不等式的解？不等式的解集？不等式的解与解集有什么关系？并举例说明。

问题2 数轴上表示不等式的解集时应注意什么？什么叫解不等式？不等式有哪些性质？举例说明。

问题3 什么叫一元一次不等式？他和一元一次方程有什么异同？解一元一次不等式的步骤是什么？它与解一元一次方程的步骤有什么异同？

二、尝试应用：

1、下列式子中那些是不等式？那些不是？为什么？

（1）3 ﹥-2 ；（2）2x ≤-1 ；（3）2x – 1 ；（4）s=vt ；

（5）2m＜8-x ；（6）5x-3=2x+1(教师：你能概括一下不等式的特征吗？板书不等式的特征。在不等式中那些是一元一次不等式？它的特征是什么？ 板书一元一次不等式的特征)

2、下列各数中，那些是不等式x+3＞4的解？那些不是？为什么？

-1，1，1.5，2。

（教师：你是怎样判断的？与一元一次方程验根方法有什么异同？你还能举出该不等式的解吗？不等式的所有解组成的集合叫什么？不等式的解与不等式的解集有什么关系？）

3、本题的解答过程中有错误，请找出错在哪里并加以改正。

3解不等式：x-43(x1)

解：去分母，去括号，得，3x-8 ＜ 6x+6，①

移项、合并同类项，得，-3x<14 ② 所以，x＜-③

3(教师：

1、本题的错误原因是什么？

2、本题主要考察那些知识点？

3、结合本题你能总结一下一元一次不等式的解法吗？

4、一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法有何异同？板书不等式的解法)步骤二 合作提升（合作学习一）

学生完成自主探索后通过提问、展示等进行生生合作（小组合作）、师生合作，通过师生对话、生生对话、教师质疑、学生质疑等，引导学生进一步理解本节知识，构建知识网络，提升自主探索效果，总结知识方法。

学生完成探索指导的内容后教师请部分同学展示答案，不正确的，不完整的请其他同学纠错和补充，同学们解决不了的教师讲解。

针对尝试运用1 学生展示完后教师提出问题：

1、你能概括一下不等式的特征吗？

教师板书不等式的特征：式子用不等号连接

2、在不等式中那些是一元一次不等式？它的特征是什么？

教师板书一元一次不等式的特征：

1、只含有一个未知数；

2、未知数的式子是整式；

3、未知数的次数是1 针对尝试运用2 学生展示完后教师提出问题：

1、你是怎样判断的？与一元一次方程验根方法有什么异同？

2、你还能举出该不等式的解吗？不等式的所有解组成的集合叫什么？不等式的解与不等式的解集有什么关系？

针对尝试运用3 学生展示完后教师提出问题：

1、本题的错误原因是什么？

2、本题主要考察那些知识点？

3、结合本题你能总结一下一元一次不等式的解法吗？ 板书不等式的解法：移项、合并同类项、把系数化为1

4、一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法有何异同？

步骤三 巩固运用（自主学习二）51x1

41、解不等式组：

32x2x3

1x2y3m3

2、若关于x、y的方程组 2 的解满足x+y＞0，求m的取值

3x4ym4范围

选做题

关于x的方程a1的解是负数，求a的取值范围。x1

步骤四 协同展示（合作学二）

学生完成巩固应用后通过提问、展示进行生生合作、师生合作并通过演板等形式进行展示，提升巩固应用效果，对知识方法进行总结概括。

巩固运用教学方案：让3号同学到黑板上展示，同时其余同学以组为单位进行合作对答案纠错，展示完后全班进行纠错。

1、通过对第1题的解答请同学们总结一下怎样解不等式组？

2、第2题还有其他解法吗？体现了那些数学思想？

3、选做题题主要考察那些知识点？

步骤五 抽查清

抽查内容： 抽查清情况反馈：

此时学生自主组内讨论解决个性问题，教师抽出每组一个代表检测上一节学习任务，节节清。

解一元一次不等式（组）学案

复习目标：通过学生复习

4． 使学生掌握一元一次不等式（组）的解法。

5． 使学生感受不等式的性质在解一元一次不等式中的运用，体验解一元一次不等式（组）。

6． 进一步培养学生分析问题、解决问题的能力和树立分类讨论、数形结合、转化的思想。

复习重点：一元一次不等式（组）的解法。难 点：培养学生分析解决问题的能力。教 具：多媒体 复习过程：

自主学习一 自主探索

一、探索指导：先自主探索七年级下册p50—64页相关知识，如有疑问请记录下来，自主探索课本七年级下册p50—64页完之后思考并解决下课本列问题。

问题1 什么叫不等式？不等式的解？不等式的解集？不等式的解与解集有什么关系？并举例说明。

问题2 数轴上表示不等式的解集时应注意什么？什么叫解不等式？不等式有哪些性质？举例说明。

问题3 什么叫一元一次不等式？他和一元一次方程有什么异同？解一元一次不等式的步骤是什么？它与解一元一次方程的步骤有什么异同？

二、尝试应用：

1、下列式子中那些是不等式？那些不是？为什么？

（1）3 ﹥-2 ；（2）2x ≤-1 ；（3）2x – 1 ；（4）s=vt ；

（5）2m＜8-x ；（6）5x-3=2x+1

2、下列各数中，那些是不等式x+3＞4的解？那些不是？为什么？

-1，1，1.5，2。

3、本题的解答过程中有错误，请找出错在哪里并加以改正。

3解不等式：x-43(x1)

2解：去分母，去括号，得，3x-8 ＜ 6x+6，①

移项、合并同类项，得，-3x<14 ② 所以，x ③ 自主学习二 巩固运用

51x1

41、解不等式组：

32x2x31x2y3m

32、若关于x、y的方程组 2 的解满足x+y＞0，求m的取值

3x4ym4范围。

选做题

关于x的方程 a1的解是负数，求a的取值范围。x1

第二篇：4年级新疆-教案201.3

第一课新疆内地手拉手

教学目标：

知识与技能：新疆内地手拉手我们新疆将要发生翻天覆地的大变化 过程与方法：搜集、全国援疆行动内容

情感、态度与价值观：感谢党给予我们的雨露，感谢援疆省市给予我们的无私帮助

教学重点难点：了解一下我们的家乡有哪些造福百姓的援疆项目 教学准备：课本,课件 教学过程：

一、谈话引入：你们知道吗?新疆和内地手拉手行动吗?了解一下你的家乡有哪些造福百姓的援疆项目

来自全国手拉手活动内容有哪些呢?(学生先看书后面在小组中进行讨论)学生展示

来自全国19省市的援疆行动,援疆省市开展了科技支疆对接工作。对接小组以了解内地省市科技优势，探索各类科技资源、建立科技支疆长效机制为工作任务，与19省市科技管理部门进行座谈，发布了科技需求及支疆优惠政策，洽谈合作意向，到科研院所、大学、企业进行了实地考察。自开展全国科技支疆行动以来，新疆与区外的科技人才、技术、管理、资金等方面的合作取得了跨越式发展。援疆省市结合自身科技工作的实际情况和新疆资源优势，开展了大量援助工作。目前，部分省市已启动了首批援疆项目。此次对接行动，将有 1 效推动科技支疆行动的深化实施，促进新疆与援疆19省市的科技合作，为以后与区外省市合作研究开发、成果转移推广、建立合作企业与机构搭建了强有力的合作平台。

作为新疆人你应该感到幸福吗?滴水之恩当涌泉相报.我作为新疆人由衷的感到快乐和幸福！党中央关心我们，就像母亲一样及时的给予我们的温暖，就像父亲一样，及时的给予我们力量！由于我们新疆经济落后的发展模式，迟缓了老百姓的安居乐业，如今好了，党的政策来了，像春风一样吹遍了美丽的天山南北，我们新疆将要发生翻天覆地的大变化，我作为新疆人，能够感受到其中无与伦比的快乐与兴奋！我们就要过上好日子了，我们的百姓就会越来越富足了，我们将尽情的欢畅、尽情的歌唱。“我们新疆好地方啊，天山南北好牧场”，每当，耳边响起巴哈古丽的这首美丽的新疆歌曲时，我们作为新疆人是无比自豪而幸福的。现在，在党和国家坚强的领导下，我们美丽的新疆将更快更好的实现跨越式发展，我们是多么的幸福啊！

感谢党给予我们的雨露，感谢援疆省市给予我们的无私帮助，感谢援疆干部们为了大家牺牲小家不远万里来到我们新疆，帮助我们的发展献计献策，输血造血，我们要感谢的人很多，要感谢的省市也很多，我们的语言已经不能够完全表达其中的谢意，唯有，做好我们的本职工作，忠于职守，心系百姓，最终实现全国人民的富足小康才是我们每个中国人最大的愿望！

教师总结

作业:调查家乡有哪些造福百姓的援疆项目.板书:第一课:新疆内地手拉手

新疆内地--------19个省市-----援疆行动

援疆项目-------福百姓-------滴水之恩当涌泉相报

第一课新疆内地手拉手

教学目标：

知识与技能：新疆内地手拉手我们新疆将要发生翻天覆地的大变化 过程与方法：搜集、搜集、全国援疆行动内容.情感、态度与价值观：感谢党给予我们的雨露，感谢援疆省市给予我们的无私帮助

教学重点难点：了解一下我们的家乡有哪些造福百姓的援疆项目 教学准备：课本,课件 教学过程：

一、谈话引入：征服死亡之海-----国投罗钾它的地理位置在哪儿呢?你们知道吗? 学生先看书后面在小组中进行讨论)学生展示 众多央企和地方国企早已深深扎根在这里，响应中央“支援新疆建设和发展”的号召，积极承担起重大的责任，为推动新疆经济发展、改善新疆人民生活、维护民族团结默默努力。而这样的努力，一直没有得到合理的关注。

老师提问:真实的新疆是什么样的？央企援疆到底改变了什么？在国务院国资委新闻中心的大力支持下，国企杂志特派出记者兵分几路深入新疆，踏访央企援疆者工作和战斗的地方，记录下央企员工和当地居民的汗水和喜悦、辛劳和期盼，与广大读者分享。征服死亡之海---国投罗钾在“死亡之海”创造了难以复制的人间奇迹 一路向西，透过飞机舷窗俯瞰，生机和绿意愈益稀疏，戈壁荒滩渐成主角。

这种感觉在“地球之耳”罗布泊被放大到极致：天无飞鸟、地无寸草。曾经吞噬了彭加木、余纯顺等生命的罗布泊，是名副其实的死亡之海。得名为海，是因为这里曾碧波万顷，一方水草孕育出楼兰古文明。由于每年接近5000毫米的蒸发量，以及上游来水量的枯竭，上世纪70年代，这里彻底干涸，留下超过1万平方公里的盐漠。盐漠含盐量超过60%，是土壤盐化的极致，地无寸草的根源。

地上水干涸了，留下的却是大地之精华。无休止的蒸发带走了淡水，留下了积蓄千万年的矿物质，钾、镁、钠、氯„„这些在罗布泊带来死亡气息的盐矿，一转身就能变成田间之宝，入泥护花。进入死亡之海，征服死亡之海，成为有志者的梦想。老师巡视总结.作业:还有哪些援疆行动呢? 板书:

第一课:新疆内地手拉手

征服死亡之海---国投罗钾---人间奇迹

第二课地方兵团齐发展

教学目标：

知识与技能：兵团不负党和人民的重托，对稳疆、兴疆发挥了不可替代的作用。

过程与方法：收集有关建设兵团的内容

情感、态度与价值观：是维护新疆社会稳定，建设和保卫边疆安全的一支可靠的重要力量。

教学重点难点：了解一下我们的家乡有哪些建设兵团有什么作用? 教学准备：课本,课件 教学过程：

导入: 你的周边有没有生产建设兵团?能说出名字吗? 请同学们看看书 了解一下地方兵团.老师板书:(地方兵团齐发展)新疆生产建设兵团--------安边固疆的稳定器

长期以来，兵团不负党和人民的重托，对稳疆、兴疆发挥了不可替代的作用。我们要清醒地认识到，当前，国际上敌对势力对我“西化”“分化”之心不死，新疆不断爆发的暴力恐怖活动充分表明，新疆分裂和反分裂斗争是长期的、复杂的、尖锐的。总书记综观全局，着眼长远，提出要把兵团工作放到新疆长治久安大局中、放到当前国际国内尤其是中亚地区形势中把握和谋划，提出要把兵团建设成“稳定器”“大熔炉”“示范区”，这是对历史上边疆治理经验的深刻总结，是对新疆现实的清醒把握，是对国际现实的准确判断，是 新形势下兵团更好履行屯垦戍边使命、维护新疆社会稳定和长治久安的新目标新方向。

使兵团真正成为安边固疆的稳定器、凝聚各族群众的大熔炉、先进生产力和先进文化的示范区，在政治上是维护边疆社会稳定的有力措施，在军事上是保卫国防的战备方针，在经济上是发展边疆经济的根本大计，在社会上是增强民族团结的重要政策。

成为安边固疆的稳定器，是兵团履行屯垦戍边职责使命的基本要求。成为安边固疆的稳定器，是由兵团的性质和使命任务决定的。中央明确规定：“兵团是党政军企合一的特殊组织”，“是维护新疆社会稳定，建设和保卫边疆安全的一支可靠的重要力量。”兵团自组建以来，配合军警作战或独立作战，平息分裂**活动，为维护新疆民族团结和社会稳定发挥了不可替代的作用。兵团广大干部职工对维护民族团结、维护祖国统一，历来立场坚定、旗帜鲜明、行动坚决；兵团沿袭人民解放军部队建制，高度集中统一、令行禁止，有利于实施快捷有效的指挥调动；兵团具有保障途径多、范围广、数量大、能力强的特点。近年来，新疆境内外“三股势力”活动对新疆社会稳定构成严重威胁，动用兵团民兵平息暴恐活动、打击恐怖分子、重拳出击处置突发事件，对“三股势力”和暴力恐怖分子形成了强大的威慑力。

成为凝聚各族群众的大熔炉，是更好发挥兵团特殊作用的重要途径。长期以来，兵团全面贯彻党的民族政策，牢牢把握各民族共同团结奋斗、共同繁荣发展的主题，促进各民族和睦相处、和衷共济、和谐发 展。当前，新疆民族工作的内外环境发生了很大变化，民族关系出现了许多新情况新特点，对做好民族工作提出了新要求。我们立足“汉族离不开少数民族，少数民族离不开汉族，少数民族之间也相互离不开”的要求，夯实民族团结这个发展进步的基石。加强制度设计，实现机制化、程序化、规范化，使兵团形成经济融合发展、文化交融共建、维稳责任共担、民族团结共创的局面。教师总结

作业: 调查你的周边有没有生产建设兵团 板书: 第二课 地方兵团齐发展

新疆生产建设兵团--------安边固疆的稳定器

第三课军民鱼水情谊深

教学目标：

知识与技能：各民族群众热爱人民军队的真实情怀.过程与方法：收集有关军民鱼水情谊深的内容

情感、态度与价值观：我们要学习卡德尔老人一样是维护新疆社会稳定，建设和保卫边疆安全的一支可靠的重要力量。

教学重点难点：了解一下我们的家乡有哪些想卡德尔老人一样的军民鱼水情谊深人.教学准备：课本,课件 教学过程：

导入: 卡德尔大叔和他的日记是怎样出名的？卡德尔是怎样成为推向全国的楷模的？(小组中讨论)1992年底，库车县要争创1993年的自治区“双拥模范县”。对于这样一件政治任务，县委要宣传部门把所有的“双拥”资源都搜寻出来。当地驻军也积极予以配合。从驻库车某野战师复员到库车县工作的张国领，时任库车县广播电台的台长，他和该师宣传科电视报道员莫争名负责制作一部三集电视专题片《热流》，为争创“双拥模范县”做宣传。他们在收集素材时，听说栏杆村有个叫卡德尔的农民可能记有某部队为村民做好事的日记。他们觉得这件事如果是真的，将很有说服力。

1993年4月，张国领和莫争名两名年轻的记者肩负着对他们来说颇不轻松的政治任务，来到了宁静得有些孤独的栏杆村。卡德尔犹豫了半天，起初并不愿意道出自己的秘密。莫争名向卡德尔老人讲了争创“双拥模范县”对库车县的重大政治意义，听了这个话，面对那个具有权威感的日本产的黑色摄像机，老人终于走到了抽屉跟前，他说：“我是记了一些东西，但我是第一次拿给别人看。”接着，他一边把箱子完全打开，一边说：“我都是临时记在一些纸片上的，没有整理。”他的话使这两个对新闻有一种天生的敏感性的小伙子非常兴奋。他们马上意识到了这件事具有重大的新闻价值。“你从哪年开始记的？”“我想想，应该是„„1967年吧，部队住进村子不久就开始记了。”“二十六年了！”张国领更加吃惊。“你到现在为止，一共记了多少件好事，你统计过吗？”莫争明迫不及待地问道。“我还没有统计过。我记了，就放在这个箱子里。”卡德尔把那个木头箱子抱到了他们面前。当那个箱子完全打开后，他们惊讶得睁大了眼睛。“那些日记把那个箱子快塞满了，有各种各样的纸条：有报纸边，有从工分簿上撕下的，有标语纸，有信皮子（信封），有信纸，有烟盒，有包红糖用过的纸，有孩子的作业本，等等，颜色也是各种各样的，花花绿绿一箱子，每张纸条上都记着一到两件部队为栏杆村的乡亲做的好事，有的一张纸上记着好几件。”卡德尔家里没有本子，张国领给卡德尔送来了笔记本，吩咐他把以前记在纸片上的都抄在这个本上，最好按年月日整理一下。张国领送的笔记本的封面是土黄色的牛皮纸。就是那些笔记本，后来进了中国军事博物馆。教师总结

作业: 调查有关军民鱼水情谊深的内容 板书: 军民鱼水情谊深

同呼吸-共命运-心连心

第四课新疆自古多宗教 新疆,多宗教并存的新疆

教学目标：

知识与技能：各民族群众热爱人民军队的真实情怀.过程与方法：收集有关军民鱼水情谊深的内容

情感、态度与价值观：我们要学习卡德尔老人一样是维护新疆社会稳定，建设和保卫边疆安全的一支可靠的重要力量。

教学重点难点：了解一下我们的家乡有哪些想卡德尔老人一样的军民鱼水情谊深人.教学准备：课本,课件 教学过程：

导入:你知道新疆目前有哪些宗教?今天老师和大家一起来学习本课内容.(老师板书课题)

请同学们看看书,了解一下,新疆作为古代东西方经济文化交流的主要通道和枢纽，自古以来就存在着多种宗教，如祆教（俗称拜火教）、摩尼教、景教（基督教的早期派别聂斯脱利派）等。

公元前1世纪前后，产生于印度的佛教经克什米尔传入新疆。2世纪后，佛教就在各地统治者的大力推行下，发展成为新疆的主要宗教。佛教鼎盛时期，在塔里木盆地周缘各绿洲，佛寺林立，僧尼众多，还形成了于阗、疏勒、龟兹、高昌等著名的佛教中心。新疆佛教在造像、绘画、音乐、舞蹈、寺院和石窟建筑艺术等方面，都达到了很高的水平，留下了大量珍贵的文化遗产，丰富了中国和世界文化艺术宝库。9世纪末10世纪初，伊斯兰教经中亚传入新疆南部地区。10世纪中叶，信仰伊斯兰教的喀喇汗王朝发动了对于阗佛教王国历时40余年的宗教战争，于11世纪初灭亡于阗，把伊斯兰教推行到和阗地区。14世纪中叶起，在察合台汗国（蒙古成吉思汗二子察合台在西域建立的藩属国）的强制推行下，伊斯兰教逐渐成为察合台汗国的蒙古人、维吾尔人、哈萨克人、柯尔克孜人、塔吉克人等信仰的主要宗教。16世纪初，伊斯兰教最终取代佛教成为新疆的主要宗教。

伊斯兰教成为维吾尔等民族信仰的主要宗教后，原来主要由这些民族信仰的祆教、摩尼教、景教在新疆随之逐渐消失，但佛教、道教仍然存在。从明朝起，藏传佛教还有了重大发展，成为与伊斯兰教并列的新疆两大主要宗教。

现在新疆主要有伊斯兰教、佛教（包括藏传佛教）、基督教、天主教、道教等。萨满教（由原始宗教发展而成）在一些民族中仍然有较大影响。

第三篇：不等式教案

第一讲

不等式和绝对值不等式

教学目标

1.掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形。2.理解并能运用基本不等式进行解题。

3.理解绝对值的几何意义及绝对值三角不等式。4.会解绝对值不等式。

重点：

1.不等式的基本性质； 2.基本不等式及其应用；

3.绝对值的几何意义及其绝对值三角不等式。

难点：

1.三个正数的算术-几何平均不等式及其应用； 2.绝对值不等式的解法；

1、不等式的基本性质

• 实数的运算性质与大小顺序的关系：

• 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：

abab0abab0abab0

• 得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。例

1、比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小。

解：因为(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)

=x2+10x+21-(x2+10x+24)

=-3＜0，所以(x+3)(x+7)＜(x+4)(x+6)类比等式复习不等式的其他性质（注意符号）

等式的性质1.a=bb=a2.a=b,b=ca=c3.a=ba+c=b+c（对称性）（传递性）（可加性）a=b,c=da+c=b+d（加法法则）4.a=bac=bc（可乘性）a=b,c=dac=bd（乘法法则）nna=ba=b(n∈N,n>1)（乘方性）5.a=bna=nb（开方性）1.a>bbb,b>ca>c3.a>ba+c>b+c不等式的基本性质（对称性）（传递性）（可加性）（加法法则）a>b,c>da+c>b+d4.a>b,c>0ac>bc（可乘性）a>b,c<0acb>0,c>d>0ac>bd（乘法法则）5.a>b>0an>bn(n∈N,n>1)（乘方性）6.a>b>0na>nb（开方性）1.如果a>b，c>d，那么a+c>b+d

2.如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd 类比等式的性质复习不等式性质证明（2）因为a>b>0, c>d>0，由不等式的基本性质（3）可得ac>bc, bc>bd，再由不等式的传递性可得ac>bc>bd

ab例：已知a>b>0,c>d>0，求证>.dc

练习：

1、判断下列各命题的真假，并说明理由：（1）如果a>b，那么ac>bc；（假命题）

（2）如果a>b，那么ac2>bc2；（假命题）

（3）如果a>b，那么an>bn(n∈N+)；（假命题）（4）如果a>b, cb-d。（真命题）

2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。

解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)

=x2+3x+2-(x2+3x-18)

=20>0，所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)小结：理解并掌握不等式的八个基本性质

作业：课本P10第3题。求证：

（1）如果a>b, ab>0，那么

（2）如果a>b>0，c

选做题：设a≥b,c≥d，求证：ac+bd≥

(a+b)(c+d)

2、基本不等式

定理1

如果a, b∈R, 那么

a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时等号成立。

探究： 你能从几何的角度解释定理1吗？

分析：a2与b2的几何意义是正方形面积，ab的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。如图把实数a，b作为线段长度，以a≥b为例，在正方形ABCD中，AB=a；在正方形CEFG中，EF=b.bAHaIKDGFbBJaCbE则S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形，此时有a2+b2=2ab。定理2（基本不等式）如果a，b>0，那么ab2ab称为a,b的算术平均当且仅当a=b时，等号成立证明：因为(=a+b-2 ab≥0，ab)2所以a+b≥2ab，上式当且仅当ab，即a=b时，等号成立。C称为a，b的几何平均AODB如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上的中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式的几何解释。两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。例3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方形的面积最大;(2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周长最短;周长L=2x+2yxSy定理：设x,y都是正数，则有

1）若xy=s（定值），则当x=y时,x+y有最小值2s.p2 2）若x+y=p（定值），则当x=y时,xy有最大值.4abc定理3 如果a,b,cR，那么abc，当且仅3当abc时，等号成立。即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

例4: 某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4200元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价没平方米210元,再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,每平方米造价80元.(1)设总造价为S元,AD长x为米,试建立S关于x的函数关系式;

(2)当为何值时S最小,并求出这个最小值.3、三个正数的算术-几何平均不等式



注：一正、二定、三等。

把基本不等式推广到一般情形：对于n个正数a1,a,,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均，即：a1a2ann a1a2an,n当且仅当a1a2an时，等号成立。

二、绝对值不等式

1、绝对值三角不等式实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：|a|OAax任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。|a-b|AaBbx 联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：分ab>0和ab<0两种情形讨论：（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|xOaba+ba+bbaOx（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|bOaxa+b如果a<0, b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|aOa+bbx（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：|a+b|=|a|+|b| 定理1 如果a, b是实数，则 |a+b|≤|a|+|b| 当且仅当ab≥0时，等号成立。

探究

如果把定理1中的实数a, b分别换成向量a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？

已知a,b是实数，试证明：ab≤ab（当且仅当ab≥0时，等号成立.）证明:10.当ab≥0时, 20.当ab<0时, ab|ab|,|ab|(ab)2a22abb2|a|22|ab||b|2|a|22|a||b||b|2(|a||b|)2ab|ab|,|ab|(ab)2a22abb2|a|22|a||b||b|2(|a||b|)2|a||b||a||b|综合10,20知定理成立.探究

你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|a-b|等之间的关系。|a|-|b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a-b|, |a|-|b|≤|a-b|.如果a, b是实数，那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 定理2 如果a, b, c是实数，那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有

|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。例1 已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求证： |2x+3y-2a-3b|<5ε.证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε.所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε.例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？

分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有

S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。练习：课本P20第1、2题.求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a|(2)|a+b|-|a-b|≤2|b| 2.用几种方法证明

1|x|2(x0)x小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理： |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立）|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0时等号成立）

能应用定理解决一些证明和求最值问题。作业：课本P20第3、4、5题

（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：

①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。②分段讨论法：

axb0axb0|axb|c(c0)或

axbc(axb)c

axb0axb0 |axb|c(c0)或 axbc(axb)c|ax+b|c(c>0)型不等式比较：类型|ax+b|-c} ∩{x|ax+bcax+b<-c或ax+b>c{x|ax+b>c}, 并课堂练习：P20第6题

第四篇：均值不等式教案

§3.2 均值不等式

【教学目标】

1.理解均值不等式

2.能利用均值不等式求最值或证明不等式

【教学重点】

掌握均值不等式

【教学难点】

利用均值不等式证明不等式或求函数的最值，【教学过程】

一、均值不等式：

均值定理：如果a,bR,那么_______________________(当且仅当_______时取等号)证明：

定理说明：

ab1、称为正数a,b的______________称ab为正数a,b的___________因2此定理又叙述为：________________________________________

2、几种变形：

（１）ab2ab

（_______________）

ab

（２）ab

（_______________）

2

（３）a2b22ab

（_______________）

3、应用定理注意的问题：

（１）应用定理的条件_____________________

（２）定理注意_____________________

二、定理应用：证明简单的不等式或求最值

ba例

1、已知ab0，求证：2

ab

1例

2、当x0时,求x的最值,并求取最值时x的值.x

211变式：

1、已知a,bR,求证:ab4

ab

2、若x3,函数yx

13、若x0,求x的最值.x1,当x为何值时函数有最值,此时x是何值? x3

2x2x3x0的最大值,以及此时x的值.例

3、求函数fxx

x22x3x0的最小值及取得最小值时x的值.变式：求函数fxx

例

4、（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？

（2）已知矩形的周长为36cm，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？

结论：（１）___________________________________________________

（２）___________________________________________________ 变式：已知直角三角形的面积为50，问两直角边各为多少时，它们的和最小？这个最小值是多少？

课堂小结：

课后练习：课本练习A、B

第五篇：分式不等式教案

2.3分式不等式的解法

上海市虹口高级中学

韩玺

一、教学内容分析

简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容.对一个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现，所以需牢固掌握.二、教学目标设计

1、掌握简单的分式不等式的解法.2、体会化归、等价转换的数学思想方法.三、教学重点及难点

重点 简单的分式不等式的解法.难点 不等式的同解变形.四、教学过程设计

一、分式不等式的解法

1、引入

某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍.设楼梯的长度为s，甲的速度为v，自动扶梯的运行速度为v0.于是甲上楼所需时间为

s，乙上楼所需时间为vsvv02.由题意，得ss.vvv02整理的12.v2v0v

由于此处速度为正值，因此上式可化为2v0v2v，即v2v0.所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍.2、分式不等式的解法 例1 解不等式：x12.3x2 1

解：（化分式不等式为一元一次不等式组）

5x1x1x1x12200 03x23x23x23x2x1x1x10x102x1或x不或或2233x203x20xx33存在.所以，原不等式的解集为22,1，即解集为,1.33注意到

x103x2x103x20或x103x2x10，可以简化上述解法.3x20另解：（利用两数的商与积同号（为一元二次不等式）

aa0ab0，0ab0）化bb5x1x1x1x12200 03x23x23x23x23x2x1022x1，所以，原不等式的解集为,1.33由例1我们可以得到分式不等式的求解通法：

（1）不要轻易去分母，可以移项通分，使得不等号的右边为零.（2）利用两数的商与积同号，化为一元二次不等式求解.一般地，分式不等式分为两类：

fx（1）； 0（0）fxgx0（0）gx（2）

fxfxgx00.0（0）gxgx0 2

[说明]

解不等式中的每一步往往要求“等价”，即同解变形，否则所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常为无限集，所以很难像解无理方程那样，对解进行检验，因此同解变形就显得尤为重要.例2 解下列不等式

x10.x523.（2）35xx82.（3）2x2x3x10x1x501x5，解（1）原不等式x5（1）所以，原不等式的解集为1,5.（2）原不等式215x715x73000 35x35x5x315x75x305x3037x155x3573x，155所以，原不等式的解集为73,1552.2（3）分母：x2x3x1110，则

原不2等式x822xxx23x4x 2x226x2或x1,2,.21，所以，原不等式的解集为2 3

例3 当m为何值时，关于x的不等式mx13x2的解是（1）正数？

（2）是负数？

解：mx13x2 m3xm6（*）当m3时，（*）0x9x不存在.当m3时，（*）x（1）原

m6.m3方

程的解

为

正

数x（m60(mm3）原

方

m6程

)m6或m3.的解

为

负

数2xm60(mm3m6)6m3.所以，当m,63,时，原方程的解为正数.当m6,3时，原方程的解为负数.四、作业布置

选用练习2.3（1）（2）、习题2.3中的部分练习.五、课后反思

解分式不等式关键在于同解变形.通过同解变形将其转化为熟悉的不等式来加以解决，这种通过等价变形变“未知”为“已知”的解决问题的方法是教学的重点也是难点，需在课堂教学中有所强调.整个教学内容需让学生共同参与，特别是在“同解变形”这一点上，应在学生思考、讨论的基础上教师、学生共同进行归纳小结.