2014年高考一轮复习数学教案：2.10 函数的最值（精选）

第一篇：2014年高考一轮复习数学教案：2.10 函数的最值（精选）

2.10 函数的最值

●知识梳理

求函数最值的常用方法有：

（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；

2（2）判别式法：若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x+ b（y）x+c（y）=0，则在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b2（y）－4a（y）· c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.（3）不等式法：利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值.（4）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.（5）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出函数的最值.（6）函数的单调性法.●点击双基

1.（2003年春季北京）函数f（x）=455411x(1x)的最大值是

3443A.B.1243）2+

C.3

434

D.解析：∵1－x（1－x）=1－x+x2=（x－11x(1x)43≥，∴f（x）=≤，f（x）max=.答案：D 222.若x+y=1，则3x－4y的最大值为

A.3

B.4

C.5

22解析：∵x+y=1，∴可设x=cosα，y=sinα.∴3x－4y=3cosα－4sinα=5sin（α+）≤5.答案：C 3.（2004年春季安徽）函数y=x－x（x≥0）的最大值为___________________.答案：14

D.6

4.设x＞0，y＞0且3x+2y=12，则xy的最大值是___________.解析：∵x＞0，y＞0，∴3x·2y≤（3x2y2

22）＝6xy≤6（当且仅当3x＝2y时等号成立）.答案：6 5.函数y=|x－1|+|x－3|的最小值是______________.解析：在数轴上，设1、3、x对应的点分别是A、B、P，∴y=|x－1|+|x－3|=|PA|+|PB|≥|AB|=2.答案：2 ●典例剖析

【例1】（2004年上海，18）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m，问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001 m）

2yx

解：由题意得x·y+8x212·x·

x2=8，∴y=4=8－x（0＜x＜4x4x2）.于是，框架用料长度为 L=2x+2y+2（2x2）=（32+2）x+

16x≥216(322)=4642.当且仅当（32+2）x=

16x，即x=

3242=8－42时，等号成立.此时，x≈2.343，y=22≈2.828.故当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.1t11(0t20,tN),【例2】 设f（t）=2

t41(20t40,tN),g（t）=－13t+433（0≤t≤40，t∈N*）.求S=f（t）g（t）的最大值.解：当0≤t＜20时，S=（12t+11）·（－

13t+

433）=－（t+22）（t－43）.∵

6143222=10.5，又t∈N，∴t=10或11时，Smax=176.当20≤t≤40时，S=（－t+41）（－综上所述，S的最大值是176.【例3】 设0＜a＜1，x和y满足logax＋3logxa－logxy＝3，如果y有最大值时a和x的值.2413t+

433）=（t－41）（t－43）.∴t=20时，Smax=161.31，求这

解：原式可化为logax＋

23logax－

loglogaayx34＝3，即logay＝loga2x－3logax＋3＝（logax－

32）＋34，知当logax＝32时，logay有最小值

3.∵0＜a＜1，∴此时y有最大值a4.3根据题意有a4＝

24a＝

143.这时x＝a2＝（143）2＝

18.评述：本题是已知函数的最值，求函数式中的字母参数的值.这类问题，也是常见题型之一.深化拓展

已知f（x）=2+log3x（1≤x≤9），求函数g（x）=［f（x）］2+f（x2）的最大值与最小值.解：由f（x）的定义域为［1，9］可得g（x）的定义域为［1，3］.又g（x）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2－3，∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1.∴当x=1时，g（x）有最小值6； 当x=3时，g（x）有最大值13.答案：当x=1时，g（x）有最小值6； 当x=3时，g（x）有最大值13.●闯关训练 夯实基础

1.若奇函数f（x）在［a，b］上是增函数，且最小值是1，则f（x）在［－b，－a］上是

A.增函数且最小值是－1

B.增函数且最大值是－1 C.减函数且最小值是－1

D.减函数且最大值是－1 解析：f（a）=1，∴f（－a）=－1.答案：B 2.（2003年北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为______________.解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1－x，半径r=x4x21x2π.∴S正=（）=216，S圆=π·

2(1x)4π22.∴S正+S圆=∴当x=答案：4(π4)x8x416π（0＜x＜1）.π44时有最小值.π43.（2005年北京海淀模拟题）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数.给出下列函数：

①f（x）=0；②f（x）=x；③f（x）=2（sinx+cosx）；④f（x）=

xx2；⑤f（x）

x1是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2，均有|f（x1）－f（x2）|≤2|x1－x2|.其中是F函数的序号为___________________.答案：①④⑤

4.函数y=3x12x（x≥0）的值域是______________.3y2y1解析：由y=123x12x（x≥0），得x=≥0.∴－＜y≤3.12答案：（－，3］

5.求函数y=|x|1x2的最值.解：三角代换.设x=cosθ，θ∈［0，π2］，12（f（x）是偶函数，不必取θ∈［0，π］）则y=培养能力

6.设函数f（x）=x2+x+整数？

解：∵f（x）=（x+自然数n＞－

2sin2θ.∴ymax=

12，ymin=0.12的定义域是［n，n+1］（n∈N），问f（x）的值域中有多少个

12）+

214的图象是以（－

12，14）为顶点，开口向上的抛物线，而

1212，∴f（x）的值域是［f（n），f（n+1）］，即［n2+n+

2，n2+3n+

52］.其中最小的整数是n+n+1，最大的整数是n+3n+2，共有（n+3n+2）－（n+n+1）+1=2n+2个整数.7.已知函数g（x）=lg［a（a+1）x－（3a+1）x+3］的值域是R，求实数a的取值范围.解：由题意知，应使h（x）=a（a+1）x2－（3a+1）x+3能取到一切正实数.①a=0时，h（x）=－x+3，显然能取到一切正实数； ②a=－1时，h（x）=2x+3，也能取到一切正实数；

③a≠0且a≠－1时，∵h（x）=a（a+1）x2－（3a+1）x+3是二次函数，∴必须有a(a1)0,Δ(3a1)22

12a(a1)0.解得3233≤a＜－1或0＜a≤

3233.综上所述，a的取值范围是 ［3233，－1］∪［0，3233］.探究创新

8.已知函数f（x）=x（1－x2），x∈R.（1）当x＞0时，求f（x）的最大值；

（2）当x＞0时，指出f（x）的单调性，并用定义证明；（3）试作出函数f（x）（x∈R）的简图.y 1-1O1x 122x2解：（1）∵x＞0，欲求f（x）的最大值，必有1－x2＞0，y=x（1－x）=2332222212·2x（1－x）（1－x）≤

222

·［

(1x)(1x)322］=

3427，∴y≤=239.3333当且仅当2x=1－x，即x=2

时，取“=”，即f（x）max=f（33）=

33239.（2）由（1）知，当x∈（0，单调递减.设x2＞x1＞0，则

］时，f（x）单调递增，x∈［，+∞）时，f（x）f（x2）－f（x1）=－x2+x2－（－x1+x1）=（x2－x1）－（x2－x1）（x22+x1x2+x12）=（x2－x1）［1－（x22+x1x2+x12）］.当0＜x1＜x2≤在（0，当［3333333333时，x2－x1＞0，1－（x2+x1x2+x1）＞0.∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）

22］上递增.≤x1＜x2时，x2－x1＞0，1－（x22+x1x2+x12）＜0，∴f（x2）＜f（x1）.∴f（x）在，+∞）上递减.（3）注：图象过点（－1，0）、（0，0）、（1，0），关于原点对称.y 1-1O33x 评述：第（1）题也可用导数解决.∵f（x）=1－3x2，令f（x）=0，∴x=±

33.又x＞0，∴x=33.33通过检验单调性知，当x=上.时，f（x）取得最大值，其最大值为

239，以下解法同●思悟小结

1.求函数的最值与求函数的值域是同一类问题，都必须熟练掌握本文开头列出的六种方法.2.利用判别式法及不等式法求最值时，都需检验等号能否取到.另外，利用判别式法解决问题时，一定要考虑二次项系数可否为零.当二次项系数为零时，不能用判别式法解决问题.●教师下载中心 教学点睛

利用导数先求极大值和极小值，然后确定最值，也是求函数最值的常用方法.复习本节时应适当渗透导数的有关知识.拓展题例

【例1】 已知二次函数y=f（x）的最大值等于13，且f（3）=f（－1）=5，求f（x）的解析式.解：∵f（3）=f（－1），∴抛物线y=f（x）有对称轴x=1.故可设f（x）=a（x－1）2+13，将点（3，5）代入，求得a=－2.∴f（x）=－2（x－1）2+13=－2x2+4x+11.【例2】 已知函数f（x）的定义域为R，且对一切x∈R，都有f（x+2）=f（2－x），f（x+7）=f（7－x）.（1）若f（5）=9，求f（－5）的值；

（2）已知x∈［2，7］时，f（x）=（x－2）2，求当x∈［16，20］时，函数g（x）=2x－f（x）的表达式，并求出g（x）的最大值和最小值.解：（1）由f（x+2）=f（2－x），f（x+7）=f（7－x）可以发现函数f（x）的图象关于直线x=2，x=7对称，且f（x）=f［（x－2）+2］=f［2－（x－2）］=f（4－x）=f［7－（3+x）］= f［7+（3+x）］=f（10+x）.∴f（x）是以10为周期的周期函数.∴f（－5）=f（－5+10）=f（5）=9.2x[16,17],(x12)（2）根据周期性、图象的对称性，结合图象可得到f（x）=

2x(17,20].(x22)2x[16,17],2x(x12)∴g（x）=

2x(17,20].2x(x22)∵x∈［16，17］时，g（x）的最大值为16，最小值为9；x∈（17，20］时，g（x）＞g（17）=9，g（x）的最大值为g（20）=36，∴［g（x）］max=36，［g（x）］min=9.

第二篇：2014年高考一轮复习数学教案：2.4 函数的奇偶性

2.4 函数的奇偶性

●知识梳理

1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+ f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基

1.下面四个结论中，正确命题的个数是

①偶函数的图象一定与y轴相交

②奇函数的图象一定通过原点

③偶函数的图象关于y轴对称

④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）

A.1

B.2

C.3

D.4 解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.答案：A 2.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是 A.奇函数

B.偶函数 C.既奇且偶函数

D.非奇非偶函数

3解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax＋cx（a≠0）为奇函数.答案：A 3.若偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是

A.f（cosα）＞f（cosβ）

C.f（sinα）＞f（sinβ）

B.f（sinα）＞f（cosβ）D.f（cosα）＞f（sinβ）

解析：∵偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，∴f（x）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞0.∴f（sinα）＞f（cosβ）.答案：B 4.已知（fx）＝ax＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a＝___________，b＝___________.解析：定义域应关于原点对称，故有a－1＝－2a，得a＝

32.又对于所给解析式，要使f（－x）＝f（x）恒成立，应b＝0.答案：13

0 1x5.给定函数:①y=（x≠0）；②y=x2+1；③y=2x；④y=log2x；⑤y=log2（x+

x21）.在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.答案：①⑤

②

③④ ●典例剖析

【例1】 已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则 A.f（0）＜f（－1）＜f（2）C.f（－1）＜f（2）＜f（0）

B.f（－1）＜f（0）＜f（2）D.f（2）＜f（－1）＜f（0）

剖析：由f（x－2）在［0，2］上单调递减，∴f（x）在［－2，0］上单调递减.∵y=f（x）是偶函数，∴f（x）在［0，2］上单调递增.又f（－1）=f（1），故应选A.答案：A 【例2】 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）²

1x1x；

（3）f（x）=1x2|x2|2x(1x)x(1x)；

（4）f（x）=(x0),(x0).剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由

1x1x≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.1x20,1x1,由得

x0且x4.|x2|20,故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有f（x）= 1x2x22=1xx2，这时有f（－x）=

1(x)x2=－

1xx2=－f（x），故f（x）为奇函

数.（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函数f（x）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】（2005年北京东城区模拟题）函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1²x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性并证明；

（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x－6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围.（1）解：令x1=x2=1，有f（1³1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.（2）证明：令x1=x2=－1，有f［（－1）³（－1）］=f（－1）+f（－1）.解得f（－1）=0.令x1=－1，x2=x，有f（－x）=f（－1）+f（x），∴f（－x）=f（x）.∴f（x）为偶函数.（3）解：f（4³4）=f（4）+f（4）=2，f（16³4）=f（16）+f（4）=3.∴f（3x+1）+f（2x－6）≤3即f［（3x+1）（2x－6）］≤f（64）.（*）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴（*）等价于不等式组

(3x1)(2x6)0, (3x1)(2x6)64(3x1)(2x6)0,(3x1)(2x6)64,或

1x3或x,1x3,3或或3

xR.7x53∴3＜x≤5或－73≤x＜－

7313或－

1313＜x＜3.或－

13∴x的取值范围为{x|－≤x＜－＜x＜3或3＜x≤5}.评述：解答本题易出现如下思维障碍：

（1）无从下手，不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展

已知f（x）、g（x）都是奇函数，f（x）＞0的解集是（a，b），g（x）＞0的解集是（b2

2a22，），b2＞a，那么f（x）²g（x）＞0的解集是 2

A.（a222，b2b2）

b2

2B.（－b，－a2）D.（a2C.（a，）∪（－，－a）

2，b）∪（－b2，－a2）

提示：f（x）²g（x）＞02

f(x)0,g(x)02

或f(x)0,g(x)0.∴x∈（a，答案：C b2）∪（－

b2，－a）.【例4】（2004年天津模拟题）已知函数f（x）=x+

px+m（p≠0）是奇函数.（1）求m的值.（2）（理）当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.（文）若p＞1，当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（－x）=－f（x）.∴－x－pxpx+m=－x－－m.∴2m=0.∴m=0.（2）（理）（ⅰ）当p＜0时，据定义可证明f（x）在［1，2］上为增函数.∴f（x）max= f（2）=2+p2，f（x）min=f（1）=1+p.p］上是减函数，在［

p，+∞）（ⅱ）当p＞0时，据定义可证明f（x）在（0，上是增函数.①当p＜1，即0＜p＜1时，f（x）在［1，2］上为增函数，∴f（x）max=f（2）=2+②当

p2，f（x）min=f（1）=1+p.p∈［1，2］时，f（x）在［1，p］上是减函数.在［p，2］上是增函数.p.f（x）min=f（p）=2f（x）max=max{f（1），f（2）}=max{1+p，2+当1≤p≤2时，1+p≤2+③当

p2p2}.p2，f（x）max=f（2）；当2＜p≤4时，1+p≥2+，f（x）max=f（1）.p＞2，即p＞4时，f（x）在［1，2］上为减函数，∴f（x）max=f（1）=1+p，f（x）min=f（2）=2+（文）解答略.p2.评述：f（x）=x+px（p＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.深化拓展

f（x）=x+px的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？

●闯关训练 夯实基础

1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间［0，+∞）上的图象与f（x）的图象重合，设a＜b＜0，给出下列不等式，其中成立的是

①f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b）②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a）④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）A.①④

B.②③

C.①③

D.②④

解析：不妨取符合题意的函数f（x）=x及g（x）=|x|进行比较，或一般地g（x）=f(x)f(x)x0,x0, f（0）=0，f（a）＜f（b）＜0.答案：D 2.（2003年北京海淀区二模题）函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f（x）在［－1，0］上是减函数，那么f（x）在［2，3］上是

A.增函数

C.先增后减的函数

B.减函数

D.先减后增的函数

解析：∵偶函数f（x）在［－1，0］上是减函数，∴f（x）在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数.答案：A 3.已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=lgf（x）的表达式是__________.解析：当x∈（－1，0）时，－x∈（0，1），∴f（x）=－f（－x）=－lg答案：lg（1－x）

x224.（2003年北京）函数f（x）=lg（1+x），g（x）=0x2x1,|x|1,h（x）=tan2x中，x1.11x，那么当x∈（－1，0）时，11x=lg（1－x）.______________是偶函数.解析：∵f（－x）=lg［1+（－x）］=lg（1+x）=f（x），∴f（x）为偶函数.又∵1°当－1≤x≤1时，－1≤－x≤1，∴g（－x）=0.又g（x）=0，∴g（－x）=g（x）.2°当x＜－1时，－x＞1，∴g（－x）=－（－x）+2=x+2.又∵g（x）=x+2，∴g（－x）=g（x）.3°当x＞1时，－x＜－1，2

∴g（－x）=（－x）+2=－x+2.又∵g（x）=－x+2，∴g（－x）=g（x）.综上，对任意x∈R都有g（－x）=g（x）.∴g（x）为偶函数.h（－x）=tan（－2x）=－tan2x=－h（x），∴h（x）为奇函数.答案：f（x）、g（x）5.若f（x）=a2a22122xxx为奇函数，求实数a的值.解：∵x∈R，∴要使f（x）为奇函数，必须且只需f（x）+f（－x）=0，即a－a－22x1+ 1=0，得a=1.6.（理）定义在［－2，2］上的偶函数g（x），当x≥0时，g（x）单调递减，若g（1－m）＜g（m），求m的取值范围.解：由g（1－m）＜g（m）及g（x）为偶函数，可得g（|1－m|）＜g（|m|）.又g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴|1－m|＞|m|，且|1－m|≤2，|m|≤2，解得－1≤m＜说明：也可以作出g（x）的示意图，结合图形进行分析.（文）（2005年北京西城区模拟题）定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（－3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为

A.（－3，0）∪（0，3）

B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）

D.（－∞，－3）∪（0，3）解析：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解.答案：A 培养能力 7.已知f（x）＝x（12x12.1＋

12）.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）证明f（x）＞0.（1）解：f（x）＝x²

2xx11)，其定义域为x≠0的实数.又f（－x）＝－x²

2xx11)2(212xx2(2＝－x²＝x²

2xx11)＝f（x），2(12)2(2∴f（x）为偶函数.（2）证明：由解析式易见，当x＞0时，有f（x）＞0.又f（x）是偶函数，且当x＜0时－x＞0，∴当x＜0时f（x）＝f（－x）＞0，即对于x≠0的任何实数x，均有f（x）＞0.探究创新

8.设f（x）=log1（21axx1）为奇函数，a为常数，（1）求a的值；

（2）证明f（x）在（1，+∞）内单调递增；

（3）若对于［3，4］上的每一个x的值，不等式f（x）＞（m的取值范围.（1）解：f（x）是奇函数，∴f（－x）=－f（x）.∴log1ax1212）+m恒成立，求实数

xx1=－log

1ax12x11axx1=

x11ax＞01－a2x2=1－x2a=±1.检验a=1（舍），∴a=－1.（2）证明：任取x1＞x2＞1，∴x1－1＞x2－1＞0.∴0＜2x11＜2x210＜1+

2x11＜1+

2x210＜

x11x11＜

x21x21log

x1112x11＞logx2112x21，即f（x1）＞f（x2）.∴f（x）在（1，+∞）内单调递增.1（3）解：f（x）－（）x＞m恒成立.2令g（x）=f（x）－（）x.只需g（x）min＞m，用定义可以证g（x）在［3，4］上是

21增函数，∴g（x）min=g（3）=－

98.∴m＜－

98时原式恒成立.●思悟小结

1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x在整个定义域内任意取值.2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性.●教师下载中心 教学点睛

1.函数的奇偶性经常与函数的其他性质，如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此，在复习过程中应加强知识横向间的联系.2.数形结合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.3.在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是其局部性质.拓展题例

【例1】 已知函数f（x）=

ax21bxc（a、b、c∈Z）是奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3，求a、b、c的值.解：由f（－x）=－f（x），得－bx+c=－（bx+c）.∴c=0.由f（1）=2，得a+1=2b.由f（2）＜3，得4a1a1＜3，解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴a=0或a=1.若a=0，则b=

12，与b∈Z矛盾.∴a=1，b=1，c=0.【例2】 已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=－3.（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；

（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；

（3）试求函数y=f（x）在［m，n］（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域.分析：（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件.（2）可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f（0）=0后，再利用条件f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）中x1、x2的任意性，可使结论得证.（3）由（1）的结论可知f（m）、f（n）分别是函数y=f（x）在［m、n］上的最大值与最小值，故求出f（m）与f（n）就可得所求值域.（1）证明：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，f（x2）=f［x1+（x2－x1）］，于是由题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）可知f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）.∵x2＞x1，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0.∴f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）＜f（x1）.故函数y=f（x）是单调减函数.（2）证明：∵对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），∴若令x=x′=0，则f（0）=f（0）+f（0）.∴f（0）=0.再令x′=－x，则可得f（0）=f（x）+f（－x）.∵f（0）=0，∴f（－x）=－f（x）.故y=f（x）是奇函数.（3）解：由函数y=f（x）是R上的单调减函数，∴y=f（x）在［m，n］上也为单调减函数.∴y=f（x）在［m，n］上的最大值为f（m），最小值为f（n）.∴f（n）=f［1+（n－1）］=f（1）+f（n－1）=2f（1）+f（n－2）=„=nf（1）.同理，f（m）=mf（1）.∵f（3）=－3，∴f（3）=3f（1）=－3.∴f（1）=－1.∴f（m）=－m，f（n）=－n.因此，函数y=f（x）在［m，n］上的值域为［－n，－m］.评述：（1）满足题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）的函数，只要其定义域是关于原点对称的，它就为奇函数.（2）若将题设条件中的x＞0，均有f（x）＜0改成均有f（x）＞0，则函数f（x）就是R上的单调增函数.（3）若题设条件中的m、n∈Z去掉，则我们就无法求出f（m）与f（n）的值，故m、n∈Z不可少.

第三篇：2023届高考一轮复习练习9 函数的单调性与最值（Word版含答案）

2023届高考一轮复习

练习9

函数的单调性与最值

一、选择题（共10小题）

1.已知函数

fx=4x2−kx−8

在5,+∞

上单调递增，则实数

k的取值范围是

A.−∞,40

B.−∞,40

C.40,+∞

D.40,+∞

2.函数

fx=x2−3x+2的单调递增区间是

A.32,+∞

B.1,32

和

2,+∞

C.−∞,1

和

32,2

D.−∞,32

和

2,+∞

3.已知函数

fx=x−1x，若

a=flog26，b=−flog229，c=f30.5，则

a，b，c的大小关系为

A.a

B.b

C.c

D.c

4.已知函数

fx=x+axa>0

在0,a

上是减函数，在a,+∞

上是增函数，若函数

fx=x+25x

在m,+∞m>0

上的最小值为

10，则

m的取值范围是

A.0,5

B.0,5

C.5,+∞

D.5,+∞

5.已知

fx=ax,x≤0logax+a2−2a,x>0

是

R

上的减函数，则实数

a的取值范围是

A.0,1

B.12,1

C.12,1

D.1,+∞

6.已知函数

fx=−x2+ax,x≤1ax−1,x>1，若

∃x1,x2∈R，x1≠x2，使得

fx1=fx2

成立，则实数

a的取值范围是

A.a>2

B.a<2

C.−2

D.a<−2

或

a>2

7.若

ea+πb≥e−b+π−a，e

为自然对数底数，则有

A.a+b≤0

B.a−b≥0

C.a−b≤0

D.a+b≥0

8.若

x,y∈R，以下选项能推出

x>y的是

A.x2>y2

B.2x+2x=2y+3y

C.xx2+1>yy2+1

D.x+1x>y+1y

9.已知函数

fx=x2−ax，a>0

且

a≠1，当对任意

x∈−1,1

时，都有

fx<12，则实数

a的取值范围是

A.0,12∪2,+∞

B.14,1∪1,4

C.12,1∪1,2

D.0,14∪4,+∞

10.已知

fx=∣x−a∣+1,x>1ax+a,x≤1（a>0

且

a≠1），若

fx

有最小值，则实数

a的取值范围是

A.23,1

B.1,+∞

C.0,23∪1,+∞

D.23,1∪1,+∞

二、选择题（共1小题）

11.已知函数

fx=lnx−2+ln6−x，则

A.fx

在2,6

上单调递增

B.fx

在2,6

上的最大值为

2ln2

C.fx

在2,6

上单调递减

D.y=fx的图象关于直线

x=4

对称

三、选择题（共1小题）

12.已知函数

fx=ln1+x−ln1−x，以下四个命题中真命题是

A.∀x∈−1,1，有

f−x=−fx

B.∀x1,x2∈−1,1

且

x1≠x2，有

fx1−fx2x1−x2>0

C.∀x1,x2∈0,1，有

fx1+x22≤fx1+fx22

D.∀x∈−1,1，∣fx∣≥2∣x∣

四、填空题（共4小题）

13.已知函数

fx=2x−1,x≤0lgx+1,x>0，若

f2−a2>fa，则实数

a的取值范围是

．

14.若函数

fx=x2+2x+3，gx=3x+a，若

∀x1∈−2,1，∃x2∈1,2，使得

fx1=gx2

成立，则实数

a的取值范围是

．

15.已知实数

a，b

满足

∣a−2b+1∣+4a2−12ab+9b2=0，函数

y=x2+a−bx（1≤x≤2），则

y的取值范围是

．

16.在平面直角坐标系

xOy

中，对于点

Aa,b，若函数

y=fx

满足：∀x∈a−1,a+1，都有

y∈b−1,b+1，就称这个函数是点

A的“限定函数”．以下函数：①

y=12x，②

y=2x2+1，③

y=sinx，④

y=lnx+2，其中是原点

O的“限定函数”的序号是

．已知点

Aa,b

在函数

y=2x的图象上，若函数

y=2x

是点

A的“限定函数”，则

a的取值范围是

．

答案

1.B

2.B

3.D

4.A

5.B

6.B

7.D

8.C

9.C

【解析】将不等式转化为

x2−12

在x∈−1,1

上恒成立，构造两个函数

y=x2−12，y=ax，将不等式恒成立转化为

y=x2−12的图象始终在y=ax的下方，当

a>1

时，y=ax

是增函数，结合图象需满足

−12−12≤a−1，解得

1

0

时，y=ax

是减函数，结合图象需满足

12−12≤a1，解得

12≤a<1，综上所述，a∈12,1∪1,2．

10.C

【解析】①当

a>1

时，当

x≤1

时，fx=ax+a

单调递增，此时

a

当

1

时，fx=a−x+1

单调递减；

当

x>a

时，fx=x−a+1

单调递增，故

x>1

时，fx的最小值为

fa=1，故若

fx

有最小值，则

a>1.②当

0

时，当

x≤1，fx=ax+a

单调递减，此时

fx≥2a；

当

x>1

时，fx=x−a+1

单调递增，此时

fx>2−a，故若

fx

有最小值，则

2a≤2−a，解得

0

a的取值范围是

0,23∪1,+∞．

11.B，D

12.A，B，C，D

13.−2,1

14.−3,−1

15.2,6

【解析】因为实数

a，b

满足

∣a−2b+1∣+4a2−12ab+9b2=0，化简可得

∣a−2b+1∣+2a−3b2=0，所以

a−2b+1=0,2a−3b=0,解方程组可得

a=3,b=2.代入解析式可得

y=x2+3−2x（1≤x≤2）．

因为

y=x2

与

y=−2x

在1≤x≤2

上

y

随

x的增大而增大，所以

y=x2+3−2x

在1≤x≤2

上

y

随

x的增大而增大．

所以当

x=1

时，y

取得最小值为

y=2；

所以当

x=2

时，y

取得最大值为

y=6．

所以

y=x2+3−2x

在1≤x≤2

上的取值范围是

2≤y≤6．

16.①③，−∞,0

【解析】要判断是否是原点

O的“限定函数”只要判断：∀x∈−1,1，都有

y∈−1,1．

对于①，y=12x，由

x∈−1,1

可得

y∈−12,12⊆−1,1，则①是原点

O的“限定函数”；

对于②，y=2x2+1，由

x∈−1,1

可得

y∈1,3，它不是

−1,1的子集，则②不是原点

O的“限定函数”；

对于③，y=sinx，由

x∈−1,1

可得

y∈−sin1,sin1⊆−1,1，则③是原点

O的“限定函数”；

对于④，y=lnx+2，由

x∈−1,1

可得

y∈0,ln3，它不是

−1,1的子集，则④不是原点

O的“限定函数”．

点

Aa,b

在函数

y=2x的图象上，若函数

y=2x

是点

A的“限定函数”，可得

b=2a，由

x∈a−1,a+1，y∈b−1,b+1，即

y∈2a−1,2a+1，即

2a−1,2a+1⊆2a−1,2a+1，可得

2a−1≤2a−1<2a+1≤2a+1，可得

a≤1，且

a≤0，即

a≤0，所以

a的取值范围是

−∞,0．

第四篇：高考一轮复习

一、地毯式扫荡

先把该复习的基础知识全面过一遍。追求的是尽可能全面不要有遗漏，哪怕是阅读材料或者文字注释。要有蝗虫精神，所向披靡一处不留。

二、融会贯通

找到知识之间的联系。把一章章一节节的知识之间的联系找到。追求的是从局部到全局，从全局中把握局部。要多思考，多尝试。

三、知识的运用

做题，做各种各样的题。力求通过多种形式的解题去练习运用知识。掌握各种解题思路，通过解题锻炼分析问题解决问题的能力。

四、捡“渣子”

即查漏补缺。通过复习的反复，一方面强化知识，强化记忆，一方面寻找差错，弥补遗漏。求得更全面更深入的把握知识提高能力。

五、“翻饼烙饼

复习犹如“烙饼”，需要翻几个个儿才能熟透，不翻几个个儿就要夹生。记忆也需要强化，不反复强化也难以记牢。因此，复习总得两三遍才能完成。

六、基础，还是基础

复习时所做的事很多。有一大堆复习资料等着我们去做。千头万绪抓根本。什么是根本？就是基础。基础知识和基本技能技巧，是教学大纲也是考试的主要要 求。在“双基”的基础上，再去把握基本的解题思路。解题思路是建立在扎实的基础知识条件上的一种分析问题解决问题的着眼点和入手点。再难的题目也无非是基 础东西的综合或变式。在有限的复习时间内我们要做出明智的选择，那就是要抓基础。要记住：基础，还是基础。

十五、过度复习法

“过度复习法”记忆有一个“报酬递减规律”，即随着记忆次数的增，复习所记住的材料的效率在下降。为了这种“递减”相抗衡，有的同学就采取了“过度复习法”，即本来用10分钟记住的材料，再用3分钟的时间去强记——形成一种“过度”，以期在“递减时不受影响”。

第五篇：二次函数最值问题

《二次函数最值问题》的教学反思

大河镇 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

反思三：教学应当促进学生成为学习的主人，离开了学生积极主动学习，老师讲得再好，学生也难以接受，或者是听懂了，但不会做题的现象。传统的教学“五环节”模式已成为过去，新的课程标准需要我们用新的理念对传统的教学模式、教学方法等进行改革，让学生成为课堂的主角。