人教版数学高二年级《设而不求解有关中点题目举例》教学设计

第一篇：人教版数学高二年级《设而不求解有关中点题目举例》教学设计

设而不求解有关中点题目举例 □ 河北迁安市第一中学 兰英

在涉及直线和圆锥曲线的题目中，有一些有关中点的问题，我们利用设而不求的办法来处理，使题目在解法上简便易行．

一、利用设而不求，求中点弦方程．

x2y21中，过Ｐ（１，１）的弦被Ｐ点平分，求此弦所在的直线方程． 例１ 椭圆4222x12y12x2y21,1 解 设过Ｐ（１，１）的弦与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)有4242两式相减得11(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0 42y1y2xx2111,kAB弦所在直线方程为x2y30

x1x22(y1y2)2

2二、利用设而不求，解中点轨迹问题

x2y21中，一组斜率为２的平行弦中点的轨迹方程． 例２ 求椭圆84解 设弦的中点Ｐ（x,y）为轨迹上任一点，平行弦与椭圆的交点

22x12y12x2y2A(x1,y1),B(x2,y2)有1,1．

8484两式相减得11(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0 84y1y2xx2x 1,有2x1x22(y1y2)2yx2y21）即所求轨迹方程为x4y0（8

4三、利用设而不求，证明有关中点问题

x2y2例３ ＡＢ是椭圆221(ab0)中不平行于对称轴且不过原点Ｏ的一条弦，Ｍ是ＡＢ中点，ab求证：kABkOMb22．

a22x12y12x2y2证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),有221,221，abab两式相减11(xx)(xx)(y1y2)(y1y2)0 121222ab—1—

y(y1y2)(y1y2)yy2yy2b2，2,而kAB1,kOM01(x1x2)(x1x2)x1x2x0x1x2a∴kABkOMb22得证．

ax2y2例４ 已知椭圆221(ab0)，Ａ、Ｂ是椭圆上两点，线段ＡＢ的垂直平分线与x轴相交ab于点Ｐ（x0,0）.a2b2a2b2x0求证：． aa22x12y12x2y2证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x3,y3),有221,221

ababb2x3y1y2b2x1x2两式相减得2,kAB2

x1x2ay1y2ay3a2y3a2b2x3 则ＡＢ的垂直平分线方程为yy32(xx3)中垂线与x轴的交点x0abx3而Ｍ是弦ＡＢ的中点，则点Ｍ在椭圆内

ab2a2b2x02成立． ax3a，因此aa

四、设而不求，虽然免去求点的坐标的繁锁，但由于避开方程的联立，对于解是否存在没有给出限制，会使有些问题的求解错误．

1x2y21，是否存在直线l，使Ｎ（１，）为l被双曲线所截弦的中点，例５ 已知双曲线方程为

242若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

22x12y12x2y21,1 解 设过Ｎ的直线l交双曲线于C(x1,y1),D(x2,y2),有4242两式相减得(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0 由题x1x2,x1x22,y1y21,y1y2kCD1

x1x2又∵双曲线的一条渐近线方程为y22x．而1，因此直线l与双曲线没有公共点，22 —2— ∴使Ｎ（１，1）为中点的弦不存在． 2因此可以看出，设而不求应是在有解条件下进行，切不可忽视存在条件．

y2x21的一支上不同三点A(x1,y1),B(26,6),C(x2,y2)与焦点Ｆ（０，５）练习１ 双曲线1213的距离成等差数列，求（１）y1y2；（２）求证：线段ＡＣ的垂直平分线经过某一定点，并求该点坐标．

练习２ 直线l过抛物线y22px(p0)的焦点Ｆ，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦ＣＤ，直线l不是ＣＤ的垂直平分线．

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第二篇：人教 版二年级数学教学反思

2017－2018学第二学期一年级3班数学科

《100以内的数的认识》教学反思

本单元的教学内容是100以内数的认识，包括数数、数的组成、数位的含义、数的顺序和比较大小以及整十数加一位数和相应的减法。通过本单元的教学，要求学生能够正确数出100以内数的个数，知道这些数是由几个十和几个一组成，知道100以内数的顺序，会比较100以内数的大小，同时在理解数位的意义的基础上，能够正确读写100以内的数，会计算整十数加一位数和相应的减法。

在教学中，我发现数数、理解数的组成、比较数的大小以及计算整十数加一位数和相应的减法学生掌握比较好，尤其是数数，大部分学生不仅会一个一个地数、两个两个地数、五个五个地数、十个十个地数，还会三个三个地数，顺着数倒着数基本没问题。根据以往的经验，学生数到几十九，接下去就不知道该数几十，三个三个的倒着数基本不会。在比较大小方面，学生不仅会比较，更重要的的他们能说出比较的方法，而且这些方法都是在老师的引导下由学生归纳总结出来的。关于整十数加一位数和相应的减法，百分之九十的学生计算的正确率和速度达到了要求，而且不仅能会算，还能与老师、同学和家长交流算法。

不足之处：学生的估测意识和估测能力与标准还有一段距离，另外，在具体的情景中用“多得多”、“少得多”、“多一些”、“少一些”描述数之间的大小关系也让一部分学生感到很困难。

第三篇：人教版数学高二年级《圆锥曲线11》教学设计

抛物线的几何性质

一、教学目标(一)知识教学点

使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．(二)能力训练点

从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．

(三)学科渗透点

使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．

二、教材分析

1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．

(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．

(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．)3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．(解决办法：引导学生证明并加以记忆．)

三、活动设计

提问、填表、讲解、演板、口答．

四、教学过程(一)复习

1．抛物线的定义是什么？

请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”

2．抛物线的标准方程是什么？

再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．

下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．

(二)几何性质

怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p＞0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写．

填写完毕后，再向学生提出问题：和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？

学生和教师共同小结：

(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．

(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．

(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的

例2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．

解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方

因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离

得p=4．

因此，所求抛物线方程为y2=-8x．

又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．

解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意

在抛物线上且|MF|=5，故

本例小结：

(1)解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．可得焦半径公式：设P(x0，这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握．(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴，抛物线的通径|AB|=2p(详见课本习题)．

例3 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．

证明：

(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：

此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．

或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2． 综合上述有y1y2=-p2

又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，本例小结：

(1)涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．

(2)本例命题1是课本习题中结论，要求学生记忆．(四)练习

1．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求|AB|的值．

由学生练习后口答．由焦半径公式得：|AB|=x1+x2+p=8 2．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点． 请一同学演板，其他同学练习，教师巡视．证明：可设抛物线方程

故抛物线y2=2px与平行于其轴的直线只有一个交点．(五)全课小结

1．抛物线的几何性质； 2．抛物线的应用．

五、布置作业

1．在抛物线y2=12x上，求和焦点的距离等于9的点的坐标．

2．有一正三角形的两个顶点在抛物线y2=2px上，另一顶点在原点，求这个三角形的边长．

3．图2-35是抛物线拱桥的示意图，当水面在l时，拱顶高水面2m，水面宽4m，水下降11m后，水面宽多少？

4．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 作业答案：

3．建立直角坐标系，设拱桥的抛物线方程为x2=-2py，可得抛物线

4．由抛物线的定义不难证明

六、板书设计

第四篇：人教版数学高二年级《圆锥曲线4》教学设计

椭圆的几何性质

一、教学目标(一)知识教学点

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．

(二)能力训练点

通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．(三)学科渗透点

使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．

二、教材分析

1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．

(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．)2．难点：椭圆离心率的概念的理解．

(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的 2．椭圆的标准方程是什么？ 学生口述，教师板书．(二)几何性质

根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是

b＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

1．范围

即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．

2．对称性

先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．

设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的” 呢？

事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．

同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．

事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x，y)必在曲线上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．

最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心． 3．顶点

只须令x=0，得y=±b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=±a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．

教师还需指出：

(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；

(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；

这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．

4．离心率

教师直接给出椭圆的离心率的定义：

等到介绍椭圆的(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了．

(三)应用

为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1． 例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．

本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成．后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：

(2)描点作图．先描点画出椭圆在

将上式化简，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．

这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆． 由此例不难归纳出椭圆的 这时还要讲清e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比．

(五)小结

解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了 作业答案：

4．顶点(0，2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程：

六、板书设计

第五篇：人教版数学高二年级《圆锥曲线8》教学设计

双曲线的几何性质

一、教学目标(一)知识教学点

使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．

(二)能力训练点

在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点

使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题．

二、教材分析

1．重点：双曲线的几何性质及初步运用．

(解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明．)2．难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证．

(解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．)3．疑点：双曲线的渐近线的证明．(解决办法：通过详细讲解．)

三、活动设计

提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结．

四、教学过程

(一)复习提问引入新课

1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？

请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．

2．双曲线的两种标准方程是什么？

再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标

下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(性质1～3)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发、订正并板书)．<见下页>(三)问题之中导出渐近线(性质4)在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计

仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．

接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？

下面，我们来证明它：

双曲线在

当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在 再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．(四)顺其自然介绍离心率(性质5)由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：

变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．

这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

(五)练习与例题

1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正．

由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3．

焦点坐标是(0，-5)，(0，5)．

本题实质上是双曲线的 2．说明

(七)小结(由学生课后完成)将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．

五、布置作业

1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144． 2．求双曲线的标准方程：

(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；

曲线的方程．

点到两准线及右焦点的距离． 作业答案：

距离为7

六、板书设计