分组问题xuesheng

第一篇：分组问题xuesheng

概率中的分组问题

一、分组问题是排列组合中的一个难点，主要有以下三种情况.１.非平均分组问题

在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的方法相同.【例１】 把１２个人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数.（１）分成甲、乙、丙三组，其中甲组７人、乙组３个、丙组２人.（２）分成三组，其中一组７人、一组３人、一组２人.解：（１）先从１２人中任选７人为甲组，余下５人中任选３人为乙组，剩下２人为丙组，则共有种不同的分组方法.（2）先从１２人中任选７人为一组有人有平均分组问题

【例２】 有６本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？

（１）分给甲、乙、丙三人，每人两本.（２）平均分成三份.解：（１）从６本书中任取２本给一个人，再从剩下的４本中取２本给另一个人，剩下的２本给最后一人，共有＝９０种分法.种选法，剩下的２人为一组，共有

种选法，再从余下５人中任选３

种不同的方法.（２）设平均分成三堆有x种方法，再分给甲、乙、丙三人每人得２本，则应有

∴ ＝１５种不同的分法.一般地，把n、m个不同元素平均分到m个不同的位置，有种方法，把n、m个不同元素平均分成m组有

局部平均分组问题

种分法.某些分组问题中，有一部分组之间的元素的个数相同，但又不是所有组的元素都相同，这样的分组称为局部平均分组.解决这问题同样要考虑分组时是否给出了组名.【例３】（１）把６本不同的书分给４人，两人各得１本，另外两人各得２本，有几种分法？

（２）把６本不同的书分成４份，两份各１本，两份各２本，有几种分法？

（１）可按下面步骤完成：先将６本书分成１本、１本、２本、２本４个部分，然后让四个人去全排列取书，即有

种.（２）先把６本书分成１本、１本、２本、２本的４堆，由于两个１本与两个２本是无区别（没有顺序）的，因此，所求的分法数为

种.【点评】 两个问题同属局部平均分组问题，但（１）中指定分给了４个人，相当于指定了组名，而（２）没有给出组名，因此分组的情况是不相同的.事实上，（１）中相当于把４本书分成两份２本，两份１本，共有种分配方法，然后把它分给４个人.在元素相同的组中，若没给出具体的组名，则必须除以相同元素的组数的阶乘，若把问题改为：把６本不同的书分成Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四堆，其中Ａ、Ｂ各２本，Ｃ、Ｄ各１本，则有几种分法？ 该问题的分法有

二.挡板模型与分组问题

【例４】 ５个教师分配到３个班参加活动，每班至少１人，有几种不同的分法？

错解： 把５个老师排成一排，中间投入四块挡板：０|０|０|０|０，只要在４块挡板中任取２块，一共有＝６种不同的方法.错因： ５个教师是互不相同的，而用挡板时，要求这些元素必须相同.种分法.正解：先把５位老师分成三堆，有两类：１、１、３和１、2、2分别有和种，再分到三个班里，共有

3.挡板模型与双排问题

＝１５０种.在元素无区别分配问题中，通常考虑用挡板模型来解决，但一定要注意题目给出的条件，否则极易出错.【例５】 从５个班中选１０人组成一个篮球队（无任何要求），有几种选法？

错解： 选把１０个指标排好，插入９块挡块：０|０|０|０|０|０|０|０|０|０ 然后在９块挡板中任取４块即可分成５份，有

＝１２６种分法.错因： 问题并没有给出“每班至少１人”这个条件，而采用挡板解决时，实际上它就是要求每班至少有１人参加.事实上，这１０个名额可给一个班，也可给两个班„

正解：因为把１０个指标分成５个部分，只须４块挡板，称为第一类元素，１０个指标为第二类元素，共１４个元素.当这些元素都有区别时共有

种排法.但１０个指标，４块挡板各组之间不管怎么变化，其实就是一种情况的共有＝１００１种不同分法（或）.【点评】 当分组数超过３个时，若没有给出“每组至少有１个”这个条件时，是不能用挡板法解决的，而要用双排列方法解决.而双排问题就是把元素分成相同的两类，然后加以解决.两类元素排列的问题涉及面很广，它实质上就是有重复元素排列的一种简单情形，在历年的高考中时有出现，应予以重视.

第二篇：分组分配问题(教学设计)

排列组合中的分组分配问题学案

例题1.（1）把a,b,c 三本不同的书分成2组，一组2本，一组1本，有多少种不同的分法？

变式1：有a,b,c,d 4本不同的书,分成两组,一组1本，一组3本，有多少种不同的分法?

变式2：6本不同的书分成三组，一组1本，一组2本，一组3本，有多少种不同的分法?

（2）把a,b,c 三本不同的书分成3组，每组1本，有多少种不同的分法？能用组合数表示出来吗？

变式1：有a,b,c,d 4本不同的书,平均分成两组, 有多少种不同的分法？

变式2：有6本不同的书平均分成两组，每组3本，有多少种不同的分法？

变式3：有6本不同的书平均分成三组，每组2本，有多少种不同的分法？

小结1:(1)平均分组是无序的,各组合数相乘时产生了顺序,故应消序减重(除以平均组数的全排列);(2)不平均分组是有序的,不需要消序减重

例题2.有5本不同的书,分成三组, 有多少种不同的分法?

练习:有6本不同的书,分成三组，有多少种不同的分法?

小结2:局部平均分组应局部消序减重.例题3.有6本不同的书分给甲、乙、丙三人

(1)若每人2本,有多少种不同的分配方法?(2)若甲得1本,乙得2本,丙得3本,有多少种不同的分配方法?(3)若一人1本,一人2本,一人3本, 有多少种不同的分配方法?(4)若一人4本,另两人各1本,有多少种不同的分配方法? 小结3对于分配问题:分步处理,先分组,然后再分配.例题4（2009浙江卷理）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是

（用数字作答）

变式1:甲、乙、丙等5人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是

（用排列数与组合数作答即可）

变式2：甲、乙、丙等6人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是

（用排列数和组合数作答即可）

真题回放：

1.（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种

2.(2010年高考全国2卷理数6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每 个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一 信封，则不同的方法共有__________（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种

3.（2010年高考江西卷理科14）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种(用数字作答).思考题：

4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内。（1）恰有1个盒子不放球，共有多少种放法？

（2）恰有1个盒子内放2个球，共有多少种放法？

（3）恰有2个盒子不放球，共有多少种放法？

第三篇：排列组合中的分组问题

排列组合中的分组问题

山西省交城中学校

王峰峰

分组问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分组问题，实际上可运用分组问题的方法来解决。

一、分组与分配的区别

将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题。分定向分配和不定向分配两种情况。

将n不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。分组问题有整体平均分组、部分平均分组、不平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然要区分的。对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题

例1.六本不同的书，分为三组，每组两本，有多少种分法？

22分析：分组与顺序无关，是组合问题。分组数是C26C4C2=90(种)，这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A33，所以分法是222C6C4C2=15(种)。

3A3整体平均分组是指将所有元素分成所有组元素个数相等的组。

例2.六本不同的书，分为三组，一组四本，另外两组各一本，有多少种分法？

11分析：先分组，方法是C4那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，6C2C1=30(种)，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的411C6C2C1本数不一样，不可能重复。所以实际分法是=15(种)。2A2部分平均分组是指将所有元素分成部分组元素个数相等的组。

例3.六本不同的书，分为三组，一组一本，一组二本，一组三本，有多少种分法？

233分析：先分组，方法是C16C5C3，那么还要不要除以A3？我们发现，由于每组的书

23的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有C16C5C3=60(种)分法。

不平均分组是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。

通过以上三个例题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。

一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1,m2,m3,,mp，其中k组内元素数目相等，那么分组方案是

23pCn1Cnm1Cnm1m2„CmpmmmmAkk。

三、基本的分配问题 1.定向分配问题

例1.六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

（1）甲两本、乙两本、丙两本；（2）甲一本、乙两本、丙三本；（3）甲四本、乙一本、丙一本。

分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：

222（1）C6C4C90

123（2）C6C5C360 411（3）C6C2C130

2.不定向分配问题

例2.六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

（1）每人两本；

（2）一人一本、一人两本、一人三本；（3）一人四本、一人一本、一人一本。

分析：此题属于分配中的不定向分配问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、3丙三人”，因此需要将分组方法数再乘以A36，即

222C6C4C3（1）A390 3A31233（2）C6C5C3A3360 32C1（3）C6C2A390

A2411结论:一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。（解不定向分配题的一般原则：先分组后排列）

例3.六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？

分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法：(1)每组两本，(2)分别为一本、二本、三本，(3)两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是222411C6C4C2+123+C6C2C1=90(种)。再考虑排列，即再乘以3。所以一共有540种不C6C5C3A332A3A2同的分法。

四、分组、分配问题的变形问题

例1.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？

分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为

112C4C3C2先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有(种)，2A2112C4C3C24然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有A4=144(种)。2A2例2.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？

分析：先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，112C10C9C8共有(种)分法。再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担2A2甲任务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以共有112C10C9C82=2520(种)不同的选法。A22A2例3.设集合A1,2,3,4，B6,7,8，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个？

分析：由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配的问题。先考虑分组，集合A中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、112C4C3C21、2，则共有(种)分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以A33，所以共有2A2112C4C3C23=36(个)不同的函数。A32A2

练习：

1.[2014·浙江卷] 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)2.[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种

B．70种

C．75种

D．150种

3.（2013年北京卷）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.4.（2012年新课标卷）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）（A）12种

（B）10种

(C)9种

（D）8种

第四篇：分组教学

摘要：分组教学识现今素质教育下的一种良好的教学方法，文章主要是从分组教学的概念、方式、优劣势以及针对分组教学中出现的问题而提出来的教学建议及措施，旨在使分组教学能够顺应国家的的方针政策，从而达到提高学生素质、提高教学效率的目的。

关键字：分组教学

教学方法

学生

效果

一、分组教学概念

分组教学即为达到良好的教学效果所实施的教学方法，通俗易懂，但是分组可从多方面来考虑，比如可以从采用的教学方法和媒介手段；如何变换学习目标；学生的年龄、性别、宗教属性；学生学习的能力、天赋、兴趣爱好等都可以作为分组教学的标准，具体如下：

二、分组教学方式 1．“知识风暴”式

“知识风暴”是指在一段时间内让我们的大脑毫无拘束地、集中就某一个主题进行想像和思考。这种方法能够激发学生的发散思维能力，以及清晰、准确地表达个人观点的能力；同时，它还能帮助学生将大家零散的、不成逻辑的思想火花，汇集整理成完整的和有价值的思想、方案、行动计划或解决问题的方法。“知识风暴”式分组教学宜在5人－10人的范围内进行，教师交给学生讨论的应是明确且能激发学生开动脑筋的问题。主题确定后，要力争吸引所有学生参加，吸引每个人思考和发言。在分组教学活动中，学生应自觉遵守以下几项原则：(1)尊重每个同学的意见，不随意打断他人发言，不随意批评别人的建议。(2)小组成员应该互相补充，逐渐完善他人的意见。(3)鼓励发言少的同学发表意见，给他们以积极的支持。(4)在这项活动中，建议和意见的数量要比质量更重要。(5)小组讨论的结果是所有小组成员努力的结果，它不属于个别人。

“知识风暴”式分组教学的目的在于鼓励学生积极思考，参与评价。教师要以不损害学生以后的参与为准则，在想像丰富、意见独特、小组活动结果的创造性和合理性等方面提出建议。2．情景模拟式

情景模拟式分组教学的一般活动过程是：教师向各小组布置研灾课题，给予必要的说明、提供必要的资料，然后由学生小组研究问题，制定解决方案，最后柠结果(可以是解决问题的方案、作品等)展示出来。“情景模拟”包含着“知识风暴”活动的成分，但“情景模拟”活动更完整，它包括解决一个难题、创造一件作品之全过程的每一个步骤、而且需要学生具备足够的判断力、经验、知识和技能。

是否采用情景模拟式分组教学，取决于教学内容与教学目的。如果教学内容涉及教学生如何决策或者教学生认识人与人、人与社会的关系，那么，情景模拟式分组教学可能比常规的课堂教学更有效。例如：当教师介绍“我们的社区生话”时，可以安排一个小组到图书馆查找有关资料，收集信息，学生在阅读材料的基础上，设计调查问卷，开展研究活动，最后进行讨论，并展示研究成果。3．合作互助式

这种分组教学主要是通过学生之间的交流、解释和答疑，增强学生对知识的理解，并且使那些未能从教师的讲解中完全掌握知识技能的学生能够掌握知识技能。

在同伴互助式分组教学活动中，教师每次提供一个很小、很具体的主题，以便学生互相解释、演示或说明。学生可以两人一对依次解答一个问题或轮流提问，这对于促进学生掌握概念、公式．纠正他们常犯的错误都有很大帮助。参如同伴互助式分组教学活动的人数以3人。4人为佳。教师要为每个小组选一位具有领导才能的组织者，他要善于提出适当的问题，并鼓励大家回答，还要善于分析、辨别同学的观点，及时反馈： 4．角色扮演式

这是一种情景教学方式，教育者通过提供直观、生动的情景，激发学生的学习热情，促进教学目标的完成。角色扮演式分组教学可以广泛应用于语言教学和其他多种社会学科的教学中。参与者在扮演角色的过程中，必须以特定的社会角色进行思考；扮演不同的角色，就会感受到所学知识的不同侧面。这不仅有助于学生全面理解和把握知识，而且，也有助于他们以更真实和更现实的角度去观察社会、体验生活。

三、分组教学优势

1、有利于培养整体感知和整体把握的能力

新课标指出要培养学生良好的语感和整体把握的能力。这样长期训练下去，学生的整体感知和把握能力就会不断提高，良好的语感也会随之逐渐形成。

2、培养语文实践能力。

课标指出语文是实践性很强的课程，应该着重培养语文实践能力。而语文实践能力的培养和形成并非停留在口头上。单元分组教学依据儿童认知能力将课堂和生活结合起来，依据单元课文来收集有关学习的信息资料，让学生通过与语文材料的接触，开阔视野，获取知识，逐渐形成整理运用和获取信息的能力。

3、有利于巩固识字和形成积极的情感、态度、价值观，4、逐步养成良好的行为习惯。

从第一单元的学习情况来看，那些学习主动性比较高的学生受益很大，能形成积极主动的学习态度，少数学生对自己感兴趣的课文不仅理解而且会背诵了。例如：第一单元刚上了第一课时以后，大部分学生对本单元的生字基本掌握，第二天有两个学生已经能背诵出第一课的内容了，加上我及时的表扬和肯定，没想到第三天有六分之一的学生能背诵出第四课的内容了，出奇的是当我再走进教室时学生不约而同要求上第二课，结果有一半的同学都会背了。我发现除了课文比较简单的原因还与学生之间相互带动影响有很大关系。当然光会背诵课文不是目的也不能说就达到教学目标。但是这为引导学生主动学习和学会学习，提供了有利的条件。从而达到充分利用教材提供的学习资源，拓宽学习和运用领域，实现教学内容、教学时空、教学方法的全面开放，使学生在相同或不同的学习内容、不同学习方法的相互交叉、相互渗透和有机整合中开拓视野，熏陶感情，发展思维，在不增加负担的前提下，使其尽可能多的获得知识和能力的增长，为今后的学习和发展奠定基础。

四、分组教学劣势

分组教学也显示了它的不足：那就是对于学习不是积极主动的那部分学生来说，无疑是一种挑战，这些学生可能不适应这种教学方法，加之这些学生自身所存在的惰性，能力的差别、智力的差异等就会不自觉地加大学生之间的两极分化。教师就要注意调控，帮助这一少部分学生早些使他们的学习风格与老师的这种教学风格相匹配，或教师根据他们的学习风格适时为他们做出一些服务，尽可能地缩短学生相互之间的学习差距。

五、分组教学教学建议

1．教师课堂上实施分组教学，应首先考虑教学目的、教学内容、班级规模以及可利用的教学资源。分组的数目应当不超过教师的管理能力，以避免学生浪费时间或出现不守纪律的现象；某一组的学生人数应控制在能使小组成员从该组的各项活动中获得最大利益的范围内。

2．教师要考虑学生年龄的差异。研究人员推断，学习者年龄的差异将影响分组教学的效果。小学低年级的学生需要更多的与教师一对一的交往，所以，教师应尽力关注每一个儿童，这也许就是在低年级保持班级适当规模的最有说服力的论据。中年级的学生减少了在教师监控下的一对一的直接互动。更大一些的孩子，则能够注意到教师的存在并与同伴很好地互动。另外，相对于高成就学生来说，低成就学生需要教师更直接、热情的支持与鼓励。

3．分组教学是建立在班级授课基础上的，如果一开始就把完整的课堂完全分为几个小组是不合适的。特别是在小学低年级，儿童自立水平不高，不可能实现完全的自我指导。教师应该首先给一个小组安排特殊任务，这个小组被教师严密监控，其余学生仍保持原状态；随着时间的推移，两个或更多的小组可以同时活动；最终，全班同学在各自的小组中富有成效地学习。

4．小组成员不是完全随意自我选择的。虽然自我选择通常可以形成非常融洽的群体，但这对于群体任务的完成并不一定合适。我们应尽量保证每个学生都被安排在个人与组织共同获益的位置上，在这一过程中，教师起着重要作用。有时候，把具有相同水平的学生分到一个小组能够促进他们的学习；而有时又需要异质组合。例如：如果教师希望鼓励学生与来自不同社会背景、与自己能力不同的人一起有效地工作，那么，他就会有目的地进行异质分组，以使组内成员的能力和社会特征多样化。

5．一般来说，小组成员可以经常改变，以便扩大学生之间交往的机会。同时，在某些学科领域把学生分成几个小组，而在其他学习领域则可以把他们作为一个整体进行教学。而且，在不同的学科领域组成不同的小组(比如：数学有一种组合，语文又有一种组合)，会比始终保持单一的组合模式更适合学生的个别需要。

6．在分组教学中、教师如何对分组教学活动进行评价是一个十分重要的问题。可以说，对小组活动的评价，没有一个统一的标准或模式。有时，每个小组提交一份作业，教师可根据各组完成任务的情况，以组为单位予以表扬，学生均按小组平均成绩得分；时，教师可采取独自测验的方法．同学之间不能互相帮助，每组成员分数累加算出小组成绩。

第五篇：城市总体规划分组

城市总体规划分组

1、张浩阳夏伟陈力瑞周冰倩段永嘉

2、董胜朋高平齐漫沈阳王梦莹

3、孙良婧龚春碟冯钟王莹松樊煜乐 +14、欧阳艾青李海桥操果任旺

5、张小街贾炎福周旭

6、管迪曹叁零董寅

7、史雅娟汪姗姗曹刚

注：划线为组长。组长注意联系下双学位的同学。

建筑设计分组同上。王勇秦夏颖李志飞鲁翰林 詹朝林 王源