二次函数在实际问题中的应用教学案例

第一篇：二次函数在实际问题中的应用教学案例

二次函数在实际问题中的应用教学案例

一、案例背景

《新课标》要求改善学生的学习方式，教师要彻底改变过去那种满堂灌的现象，注重以生为本，一切为了学生，一切为了学生的学习。教师要当好学生数学学习的成功组织者、有效指导者和真诚合作者。

本节课是2012年3月我上的一节数学复习课，本节课主要是通过创设问题情境，给学生充分的时间和空间来搭建展示自我的舞台，让教学真正实现教与学的交往、互动，在交往与互动的合作过程中师生分享彼此的思维、经验和知识，交流彼此的情感、体验和观念，彼此形成一个真正的“学习共同体”。

二、案例主题

课 题：二次函数在实际问题中的应用 素质目标：

1、知识技能目标：让学生进一步掌握二次函数的知识，了解二次函数与二次方程之间的联系和转化关系。

2、过程与方法目标：通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。

3、情感态度与价值观目标：通过实例让学生了解数学源于生活而服务于生活，培养学生用数学的意识和创新能力。重 点：二次函数在实际问题中的应用

难 点：如何用二次函数的数学模型解决实际问题 教法与教具：合作探究法 多媒体

三、案例回放

(一)[创设情景 导出新课] 用多媒体播放一男生推铅球的情形，数学科代表说：这个男生推铅球的距离正好符合我们学习的二次函数：铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)间的关系式为。问其他同学：该男生铅球推出的距离为多少米？

科代表这话题一打开，一石激起千层浪。同学们说：“二次函数在实际问题中的应用非常广泛”。

有的同学说：将铅球换成足球，反过来可看成踢足球射门；有的同学说：电视中跳水运动员在空中运动路线形如一条抛物线；有的同学说：农村的自动喷灌的水流呈抛物线状；有的同学说：军事频道中防空导弹运行的轨道是一条抛物线…等等。这样课堂气氛开始活跃起来。

下面我们来研究一下刚才同学们想到的“二次函数在实际问题中的应用情形”。

(二)[精讲变式，巩固提高] 用多媒体播放踢足球的射门的慢镜头，展示问题1：在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门。球在空中的路线形如 的抛物线，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米。已知球门高2.44米，假定在无人拦截的情况下能否射中球门？ [分析]学生们一看果然是踢足球，兴致大增。

教师与学生共同参与探讨：①能否射中的含义是什么？②“当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米”给你什么启示？③球飞行到水平距离为10米时，其高度是比2.44m大还是小？如何来求这个高度呢？

通过分组讨论，同学们很快发现：必须将足球飞行高度与水平距离的关系式找出来？一位平时不爱学习但非常喜欢踢足球的学生恨不得下位进行演示，并用很快地参与到和本组成员的讨论之中，主动地将自己的结果拿出来进行展示，，而不知道怎样计算足球能否射中？此时，同学们哄堂大笑。我在一旁启发：足球踢了多远？这时，这位男生才悄然大悟，计算出了当 时，可以射中。

[示范]将每个小组推选出的有代表性的作品进行展示，并让学生点评、指正，教师点拨。

点评：通过合作探究，学生对数学学习兴趣增强了。打开了学生思维的闸门，使学生进入“求通而未通，欲言而未能”的境界，增强了学生的学习内驱力，学生的学习由被动接受到积极参与，主动探究。

抓住时机，教师在屏幕上播放郭晶晶跳水的画面，问学生：她为什么跳得那么完美？

展示问题2：某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标下经过原点O的一条抛物线，在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面高为 米，入水处距池边的距离为4米。同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则会出现失误。（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 米。问：此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。

[分析]在屏幕上再次播放郭晶晶跳水的镜头，然后把她放到直角坐标系中，让学生利用二次函数的模型来解释她跳水这么完美的原因？分组交流，教师点拨。跳水运动员在空中的运动路线是经过原点的一条抛物线，要求其解析式。（1）如何设出其解析式？（2）该抛物线经过哪几个点？（3）其坐标怎样表示？（4）会不会失误的标准是什么？[即在距水面高度为5米以前完成动作] 点评：对解释好的同学给予鼓励，甚至可以赞赏他具备担任跳水运动员教练的天赋。这样在许多公众场合，一些以前躲于人后、怕抛头露面、羞于启齿的学生也开始有了探究地欲望、交往的愿望、展示自我的渴望。(三)[变式训练，深化提高] 用电脑播放农村改革开放后自动喷灌的景象，让学生用所学的知识来帮助农民设计出最好的喷灌方式，展示问题3：改革开放以后，不少农村用上了自动喷灌设备，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个旋转的喷水头。一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高C点成45°角，且比喷头B高出2米。在所建坐标系中，求水流落地点D到A点的距离是多少米？

让学生分组合作，并根据题意画出图形，并进行展示，鼓励学生致力于用科学知识帮助农民提高生产力，做改革的工程师。

最后用多媒体播放防空导弹射击训练的画面，引出问题4：如图，是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标中示意图，在地面上O、A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为 和，OA=1千米，位于O点正上方 千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导师弹，该导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E点）。（1）若导弹运行轨道是一抛物线，求该抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由。

让学生分组讨论，合作交流，并进行展示。得出“二次函数在实际问题中的应用是非常广泛的”。还有哪些生活知识可以用“二次函数的模型”来解决？学生们会有意欲未尽，余味无穷的感觉。(四)[归纳小结，形成能力]让学生自我归纳

1、二次函数的解析式有哪几种不同的形式？适用的范围是什么？

2、利用二次函数数学模型解决实际问题时，应注意数形结合的思想。

3、函数在实际生活中应用非常广泛。

四、案例反思

以前我们的教学，总是生怕学生听不懂，特别对于重点难点的内容，以为这部分讲得多，讲得透，就能突出重点了，实际上教师讲得多并不代表学生都能听明白，要使学生真正掌握知识点，最好的方法还是创设问题情景，为学生搭建学习的“脚手架”，寻找学生认知的“最近发展区”，采 用分小组合作探究，给学生以探究和思考的空间。形成一种生动活泼、潜力无穷、人人参与、主动积极学习的活动形式。

本节课通过一系列的问题设计，以“生活与数学”、“活动与思考”、“表达与应用”为主线开展课堂教学，让学生在轻松、快乐而紧张的课堂氛围中自主探索，我通过精心预设，为学生搭建个性张扬的舞台，并把竞争引入到课堂中去,让课堂充满了活力。让我感受较深的一点是：课堂上多给学生尝试归纳，教师要及时给予一定的鼓励，并继续给予引导，培养学生归纳总结的能力，让学生形成自己独特的学习方法。遗憾的是：本节课容量较大，最后的变式训练题让学生探索稍微显得过快。

第二篇：实际问题与二次函数教学反思

实际问题与二次函数教学反思

本节课是有关函数应用题解法的再一次巩固，尤其是二次函数的实际应用，重点是如何利用二次函数建立数学模型，并利用二次函数的有关性质来解决实际问题。继续经历利用二次函数知识解决最值问题;会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、建立函数模型等问题;发展应用数学知识解决问题的能力,体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

二次函数是函数中的重点、难点，它比较复杂，一般来说我们研究它是先研究其本身性质、图象，进而扩展到应用，它在现实中应用较广，我们在教学中要紧密结合实际，让学生学有所用，在教学中应注意以下几个问题：

（一）把握好课标。九年义务教育初中数学教学大纲却降低了对二次函数的教学要求,只要求学生理解二次函数和抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数的图像;会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴;会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式。

（二）把实际问题数学化。首先要深入了解实际问题的背景，了解影响问题变化的主要因素，然后在舍弃问题中的非本质因素的基础上，应用有关知识把实际问题抽象成为数学问题，并进而解决它。

（三）函数的教学应注意自变量与函数之间的变化对应。函数问题是一个研究动态变化的问题，让学生理解动态变化中自变量与函数之间的变化对应，可能更有助于学生对函数的学习。

（四）二次函数的教学应注意数形结合。要把函数关系式与其图像结合起来学习，让学生感受到数和形结合分析解决问题的优势。

（五）建立二次函数模型。利用二次函数来解决实际问题，重在建立二次函数模型。但是在解决最值问题时得注意，有时理论上的最大值（或最小值）不是实际生活中的最值，得考虑实际意义。

（六）注重二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系。利用二次函数的图像可以得到对应一元二次方程的解、一元二次不等式的解集。

本节课我有一个收获，学生思维的活跃让我兴奋。我认识到：只要你相信学生，他就能给你创造奇迹。

第三篇：《实际问题与二次函数》教学反思

《实际问题与二次函数》教学反思

刚刚上完了《实际问题与二次函数》，自我感到满意的地方是，通过探究“矩形面积”“销售利润”问题，激发学生的学习欲望，渗透转化及分类的数学思想方法，把知识回归于生活，又从生活走出来。我是这样设置问题： 现有60米的篱笆要围成一个矩形场地，若矩形的长分别为10米、15米、20米、30米时，它的面积分别是多少？你能找到篱笆围成的矩形的最大面积吗？让学生能准确的建立函数关系并利用已学的函数知识求出最大面积。又设置问题：我班某同学的父母开了一个小服装店，出售一种进价为40元的服装，现每件60元，每星期可卖出300件。该同学对父母的服装店很感兴趣，因此，他对市场作了如下的调查：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件。请问同学们，该如何定价，才能使一星期获得的利润最大？该同学又进行了调查：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，则此时该如何定价，才能使一星期获得的利润最大？通过这样层层设问，由易到难，符合学生的认知水平，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值。但感到不足的地方是，由于题目设计比较多，在处理起来比较仓促，时间上前松后紧，在今后的教学中要注意这一点。还要尽可能地让每一个学生参与到学习中，提高学生学习数学的积极性。

第四篇：《实际问题与二次函数》教学设计

《实际问题与二次函数》教学设计

教学目标：

21．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax的关系式。

2.使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。重点难点：

重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式是教学的重点。

难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。教学过程：

一、创设问题情境

如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢? 分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。

如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，2开口向下，所以可设它的函数关系式为：y＝ax(a＜0)(1)因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝错误！未指定书签。＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。

因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22所以a＝－0.2 因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。

请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。

二、引申拓展

问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系? 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。

问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗? 分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。

二次函数的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定o、6、c，已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。

2解：设所求的二次函数关系式为y＝ax＋bx＋c。因为OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m，所以O点坐标为(2，0.8)，A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0)。

由已知，函数的图象过(0，0)，可得c＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)，可得到错误！未指定书签。解这个方程组，得错误！未指定书签。所以，所求的二次函数的关系式为y＝－错误！未指定书签。x2＋错误！未指定书签。x。

问题3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同? 问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?(第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易)请同学们阅渎P18例7。

三、课堂练习：P18练习1．(1)、(3)2。

四、综合运用

例1．如图所示，求二次函数的关系式。

分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。

解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x＝3。因为对称轴是直线x＝3，所以B点坐标为(－2，0)。

设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到错误！未指定书签。解这个方程组，得错误！未指定书签。

所以，所求二次函数的关系式是y＝－错误！未指定书签。x2＋错误！未指定书签。x＋4 练习：一条抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。

五、小结：二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。

六、作业

1．P19习题26．2 4．(1)、(3)、5。2．选用课时作业优化设计，每一课时作业优化设计

1.二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式。2．若二次函数的图象经过A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三点，求这个二次函数的解析式。

3．如果抛物线y＝ax2＋Bx＋c经过点(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，；求a＋b＋c的值。4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，求这个二次函数的关系式；

5．二次函数y＝ax＋bx＋c与x轴的两交点的横坐标是－错误！未指定书签。，错误！未指定书签。，与x轴交点的纵坐标是－5，求这个二次函数的关系式。

第五篇：实际问题与二次函数教学设计

人教版《实际问题与二次函数（第2课时）》教学设计

【教材分析】

本节的问题涉及求函数的最大值，要先求出函数的解析式，再求出使用函数值最大的自变量值，在此问题的基础上引出直接根据函数解析式求二次函数的最大值或最小值的结论，即当a0时，函

4acb2bxy最小值2a，4a；当a0时，函数有最数有最小值，并且当

4acb2bxy最大值2a4a．得出此结论后，就可以直接大值，并且当，运用此结论求二次函数的最大值或最小值。

接下来，学生通过探究并解决三个问题进一步体会用二次函数解决实际问题。

在探究1中，某商品价格调整，销售会随之变化。调整价格包括涨价与降价两种情况，一般来讲，商品价格上涨，销量会随之下降；商品价格下降，销售会随之增加，这两种情况都会导致利润的变化。教科书首先分析涨价的情况，在本题中，设涨价x元，则可以确定销售量随x变化的函数式。由此得出销售额、单件利润随x变化的函数式，进而得出利润随x变化的函数式，由这个函数求出最大利润则由学生自己完成。【学情分析】

学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列代数式，列方程解应用题，这些内容的学习为本节课奠定了基础，使学生具备了一定的建模能力，但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能比较灵活的运用知识，对学生来说要完成这一建模过程难度较大。【教学目标】 智能与能力：

1、能够从实际问题中抽象出二次函数，并运用二次函数的知识解决实际问题。

2、与已有知识综合运用来解决实际问题，加深对二次函数的认识,体会数学与实际的联系。

3、通过数学建模思想、转化思想、函数思想、数形结合思想的综合运用，提高学生的数学能力。过程与方法：

1、经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，并进一步体验如何从实际问题中抽象出数学模型。

2、注意二次函数和一元二次方程、不等式的联系和相互转化，及其在实际问题中的综合运用，重视对知识综合应用能力的培养。

3、经历观察、推理、交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法与经验。

4、经历解决实际问题、再回到实际问题中去的过程，能够对问题的变化趋势进行预测。情感、态度与价值观：

1、结合实际问题研究二次函数，让学生感受其实际意义，激发学生的学习兴趣，让学生在实际应用中逐步深化对二次函数的理解和认识。

2、设置丰富的实践机会，引导学生自主学习，对解决问题的基本策略进行反思，培养学生形成良好的教学思维习惯。

3、通过同学之间的合作与交流，让学生积累和总结经验。【教学重点及难点】 重点

1、理解数学建模的基本思想，能从实际问题中抽象出二次函数的数学模型。

2、回顾并掌握二次函数最值的求法，在应用基本结论的同时掌握配方法。

3、利用二次函数的性质解决实际问题。难点

从实际情景中抽象出函数模型。【教学设想】

在实际生活有大量的可以表示为二次函数或利用二次函数知识可以解决的实际问题，教师应该充分考虑到教学内容本身的特点和学生的认知规律，从下列三个方面入手；

1、实际问题和通常习惯的数学问题不同，它的条件往往不是显而易见的，教师需要引导学生分析哪些量是已知的，哪些量是未知的，可以进行怎样的假设以及如何建立它们之间的关系等，并从实际问题中抽象出数学问题。

2、二次函数的图象和性质，为本节的学习起着铺垫作用，将已有知识综合运用来解决实际问题，能够让学生更好地理解和认识二次函数。

3、鼓励学生把所得到的结果推广到一般化，或将问题进一步延伸与拓展，学会预测问题的变化趋势。【教学设备】 多媒体课件 【教学过程】

一、复习旧知 二次函数的性质：

1.二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是，顶点 坐标是。当x= 时，函数有最 值，是。

2.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是，顶点

坐标是.当x= 时，函数有最 值，是。利润问题：

1.总价、单价、数量的关系 2.利润、售价、进价的关系 3.总利润、单件利润、数量的关系

二、自主探究

问题1：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？

变式：已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？

学生阅读题目后，教师提出问题，学生思考后，教师引导学生分析：本题中，商品价格上涨，销量会之下降；商品价格下降，销售会随之增加。这两种情况都会导致利润变化，因此本题需考虑两种情况，即需要分类讨论。师生共同完成。

问题2：某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元--70元之间.市场调查发现:若以每箱50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.（1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润Y(元)之间的函数关系式;(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少? 教师引导学生整理分析，点名板演，师生共同点评。

问题3：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大? 教师引导学生整理分析，点名板演，师生共同点评。三：归纳小结：解这类题目的一般步骤

求出函数解析式，配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。