[初中数学]直角三角形教学设计1 北师大版

第一篇：[初中数学]直角三角形教学设计1 北师大版

第一章

证明

（二）2．直角三角形

（二）一、学生知识状况分析

学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前已经接触过，只是原来仅属于了解阶段。现在是要重新认识这个定理，并且要掌握这个定理的证明以及利用这个定理解决相关问题有一个较高的要求。

二、教学任务分析

本节课的教学目标是： 1．知识目标：

①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性 ②利用“HL’’定理解决实际问题 2．能力目标：

①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力

②初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，体验解决问题的多样性，发展实践能力和创新精神． 3．情感与价值观要求

①积极参与数学活动，对数学有好奇心

②形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯 4．教学重点及难点 HL定理的推导及应用

三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：第一环节：提问质疑；第二环节：引入新课；第三环节：做一做；第四环节：议一议；第五环节：．课时小结；第六环节：课后作业。

第一环节：提问质疑

我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”．

要求学生完成，一位学生的过程如下： 已知：在△ABC中，AB=AC．

求证：∠B=∠C．

证明：过A作AD⊥BC，垂足为C，∴∠ADB=∠ADC=90° 又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．

∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）

在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。质疑点在于“在证明△ABD≌△ACD时，用了“两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．可以画图说明．(如图所示在ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD与△ABC不全等)” ．

也有学生认同上述的证明。

教师顺水推舟，询问能否证明：“在两个直角三角形中，直角所对的边即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．”，从而引入新课。

第二环节：引入新课

1．“HL”定理．由师生共析完成

已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′． 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′

证明：在Rt△ABC中，AC=AB一BC(勾股定理)． 又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' =A'C'=A'B'2一B'C'2(勾股定理)．

2AA'BCB'C'

AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'． ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SSS)． 教师用多媒体演示：

定理

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．

从而肯定了第一位同学通过作底边的高证明两个三角形全等，从而得到“等边对等角”的证法是正确的．

练习活动：利用投影打出题目判断对错，让学生说明理由。

活动目的：让学生辨析一个命题的真假不是靠感觉而是

AD12BEC依赖于原有的定理或公理。要经过很好的理性思考之后才能判断对错。

活动过程如下：

判断下列命题的真假，并说明理由：

(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；

(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；

(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．

对于（1）、（2）、（3）一般可顺利通过，这里教师将讲解的重心放在了问题（4），学生感觉是真命题，一时有无法直接利用已知的定理支持，教师引导学生证明．

已知：R△ABC和Rt△A'B ' C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线且BD—B'D'(如图)．

求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'． 证明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，∵BD=B'D',BC=B'C', ∴Rt△BDC≌Rt△B 'D 'C '(HL定理)． CD=C'D'．

又∵AC=2CD，A 'C '=2C 'D '，∴AC=A'C'． ∴在Rt△ABC和Rt△A 'B 'C '中，∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C '，BCB'C'ADA'D'

∴Rt△ABC≌CORt△A'B'C(SAS)．

活动效果及注意事项:通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结。这样的评价活动的效果估计应该是更好一些。

第三环节：做一做

问题

你能用三角尺平分一个已知角吗? 请同学们用手中的三角尺操作完成，并在小组内交流，用自己的语言清楚表达自己的想法．

学生完成的实况如下：

[生]用三角尺可以作已知角的平分线：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是么AOB的平分线．

[师]同学们表现都很棒．你能说明这样做的理由吗?也就是说，你能证明OP就是∠AOB平分线吗? [生]可以．已知：如上图，由作图步骤可知ON=OM，MP上OA，NP上OB，M、N分别为垂足．

求证：∠AOP=∠BOP．

证明：∵ MP⊥OA，NP⊥OB，∴∠OMP= ∠ NP=90°．

在Rt△OMP和Rt△ONP中，∵OP=OP，OM=ON.∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL定理)．

∠AOP=∠ZBOP(全等三角形的对应角相等)．

第四环节：议一议

如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来．

这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．

ONBMPA

(教师一定要提供时间和空间，让同学们认真思考，勇于向困难提出挑战)学生完成的实况如下：

[生]观察图形不难发现.在Rt△ACB和Rt△BDA中，除么∠ACB=∠BDA=90°外，它们有一条公共边，根据直角三角形全等的判定可知添加的条件可以是直角三角形的锐角，也可以是直角三角形中的直角边．从添加角来说，可以添加∠CBA=∠DAB或∠CAB=∠DBA；从添加边来说，可以是AC=BD，也可以是BC=AD．

[生]还可以将BC、AD的交点设为O，若OA=OB，则△ACB≌△BDA．

[师]第一位同学的想法思路清晰明了，第二位同学敢打破常规思路．独辟蹊径，并且很有见地．请同学们思考，第二位同学添加的条件可以吗?若可以，请同学们推导证明；若不可以，说明理由．

[生]我认为可以，我是这样推导出来的．

已知：如上图，AD、BC交于点O，且OB=OA．∠ACB=∠BDA=90°, 求证：△ACB≌△BDA． 证明：在Rt△ACO和Rt△BDO中 ∵AO=BO，∠ ACB=∠BDA=90° ∠AOC=∠△BOD(对顶角相等)，∴△ACO≌△BDO(AAS)． ∴AC=BD．又∵AB=AB，∴△ACB≌△BDA(HL定理)．

[生]我还有一种方法，如果把刚才添加的条件“OA=OB”改写成“OC=OD”，也可以使△ACB≌△BDA．

[师]请同学们思考这样做可以吗? [生]我认为可以．推导过程如下：

已知：如上图，∠ACB=∠BDA=90°，OC=OD． 求证：△ACB≌△BDA． 证明：在△AOC和△BOD中

∵∠ACB=∠BDA=90°，OC=OD，∠AOC=∠BOD(对顶角相等)，∴△AOC≌△BOD(ASA)． ∴AC=BD(全等三角形对应边相等)

CODAB

在△ACB和△BDA中，∵AB=AB，AC=BD，∠ACB=∠BDA，∴△ACB≌BDA(HL定理)．

[生]我又有一种想法，若添加∠CAD=∠DBC”，可以得出△ACB≌△BDA吗? [生]我认为不可以，因为添“∠CAD=∠DBC”，则在△AOC和△BOD中，有三个内角对应相等，不能证明△AOC≌△BOD，也就不能获得△ACB和△BDA全等的条件．

[师]同学们分析得很透彻，由此我们得到了六种不同的答案．例如.(1)AC=BD；(2)BC=AD；(3)∠CBA∠=∠DAB；(4)∠CAB=∠DBA；(5)OA=OB；(6)OC=OD，等．

下面我们再来看一例题．

[例题]如图，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．

求证：△ABC≌△A'B'C'．

分析：要证△ABC≌△A'B'C'，由已知中找到条件：一组边

AC=A'C'，一组角

ADBA'D'B'CC'∠ACB=∠A'C'B'．如果寻求∠A=∠A'，就可用ASA证明全等；也可以寻求么∠B=∠B'，这样就有AAS；还可寻求BC=B'C'，那么就可根据SAS．……注意到题目中，通有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'．观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证的Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，因此证明∠A=∠A' 就可行．

证明：∵CD、C'D'分别是△ABC△A'B'C'的高(已知)，∴∠ADC=∠A'D'C'=90°． 在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'(已知)，CD=C'D'(已知)，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL)． ∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)． 在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'(已证)，AC=A'C'(已知)，∠ACB=∠A'C'B'(已知)，∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)．

第五环节：课时小结

本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现，很值得继续发扬广大．

第六环节：课后作业

习题1．5第1、2题

四、教学反思

本节HL定理的证明学生掌握得比较好，定理的应用方面尤其是“议一议”中的该题灵活性较强，给教师和学生发挥的余地较大，该题是一个开放题，结论和方法并不惟一，所以学生积极性非常高，作为教师要充分利用好这个资源，可以达到一题多解，举一反三的效果。

第二篇：初中数学课件 直角三角形

专题18

直角三角形

阅读与思考从代数角度，考察方程的正整数解，古希腊人找到了这个方程的全部整数解：

其中，是自然数，，一奇一偶.17世纪，法国数学家提出猜想：当时，方程无正整数解.1994年，美国普林斯顿大学教授维尔斯证明了费尔马猜想.直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质：

角的关系：两锐角互余；

边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；

边角关系：所对的直角边等于斜边的一半.这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法.熟悉以下基本图形基本结论：

例题与求解

【例l】（1）直角△ABC三边的长分别是，和5，则△ABC的周长＝_____________.△ABC的面积＝_____________.（2）如图，已知Rt△ABC的两直角边AC＝5，BC＝12，D是BC上一点，当AD是∠A的平分线时，则CD＝_____________.（太原市竞赛试题）

解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt△ACD中求出CD吗？从角平分线性质入手.【例2】如图所示的方格纸中，点A，B，C，都在方格线的交点，则∠ACB＝（）

A.120°

B.135°

C.150°

D.165°

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.【例3】如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB的度数.（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，综合运用条件PC＝2PB及∠APC＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB，AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，求证：EF＝FD.（上海市竞赛试题）

解题思路：已知FD为Rt△FAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明.【例5】在证明含有线段平方之间的和（差）关系时，常常要联想到勾股定理，若图中缺少直角条件，则可通过作辅助线，构造直角三角形.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：

（北京市竞赛试题）

解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中.【例6】在运用勾股定理时，常常对进行变形，运用乘法公式、整数与方程知识综合求解.斯特瓦尔特定理：

如图，设D为△ABC的边BC上任意一点，a，b，c为△ABC三边长，则.请证明结论成立.解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.能力训练

A级

1.在很多情况下，需要由线段的数量关系去判断线段的垂直位置关系，这就要熟悉一些常用的勾股数组.如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则BC＝_____________.2.如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE＝1cm，则AC＝_____________cm.3.如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，则∠DAB＝_____________.（上海市竞赛试题）

4.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则BC的长为_____________.（湖北省预赛试题）

5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30

º，那么这个三角形的形状是（）

A.直角三角形

B.钝角三角形

C.锐角三角形

D.不能确定

（山东省竞赛试题）

6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得△ABC，则AC边上的高为（）

A.B.C.D.（福州市中考试题）

7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（）

A.15分米

B.9分米

C.8分米

D.5分米

8.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，AD＝5，那么等于（）

A.1

B.2

C.D.9.如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，AE＝CD，AD，BE相交于P，BQ⊥AD于Q，求证：BP＝2PQ.（北京市竞赛试题）

10.如图，△ABC中，AB＝AC.（1）若P是BC边上中点，连结AP，求证：

（2）P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的关系？请证明你的结论.11.如图，直线OB是一次函数图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB

上找点C，使得△ACO为等腰三角形，求点C的坐标.12.已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积.（山西省中考试题）

B级

1.若△ABC的三边a,b,c满足条件：，则这个三角形最长边上的高为_____________.2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，P是△ABC内的一点，PA＝1，PB＝3，PC＝，则∠CPA＝_____________.3.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为_____________.4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（）

A.CF＞GB

B.CF＝GB

C.CF＜GB

D.无法确定

5.在△ABC中，∠B是钝角，AB＝6，CB＝8，则AD的范围是（）

A.8＜AC＜10

B.8＜AC＜14

C.2＜AC＜14

D.10＜AC＜14

（江苏省竞赛试题）

6.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

（浙江省竞赛试题）

7.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5，求△DEF的面积.（四川省联赛试题）

8.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：

（江苏省竞赛试题）

9.探索性试题是指问题中的题设条件或结论不完整，从而有深入探讨的余地，存在型命题的探索，是给定条件后，判断所研究的对象是否存在.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个.（全国联赛试题）

10.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，求△ABC面积.（天津市竞赛试题）

11.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F分别是BC上两点，若∠EAF＝45°，试推断BE，CF，EF之间数量关系，并说明理由.12.已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠MCN＝45°.（1）如图1，当M，N在AB上时，求证：

（2）如图2，将∠MCN绕点C旋转，当M在BA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）

第三篇：初中数学解直角三角形测试题

试题宝典

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初中数学解直角三角形测试题

一.选择题：（每小题2分，共20分）

1.在△EFG中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（）A.4353 2.在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，tanC的值是（）

A.3 B.4 C.3 D.512 B.33 C.1 D.2，tan2

3.在△ABC中，若cosAB3，则这个三角形一定是（）

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

4.如图18，在△EFG中，∠EFG=90°，FH⊥EG，下面等式中，错误的是（）

A.sinGEF B.sinGEH

EG C.sinGGH D.sinGFGEFFH

FG 5.sin65°与cos26°之间的关系为（）

A.sin65°cos26°

C.sin65°=cos26° D.sin65°+cos26°=1 6.已知30°<α<60°，下列各式正确的是（）

A.B.C.D.7.在△ABC中，∠C=90°，sinA25，则sinB的值是（）

A.B.C.D.8.若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（）米2

A.150 B.C.9 D.7 9.如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i= 2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（）

A.7米 B.9米 C.12米 D.15米

10.如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）

A.1sin B.1cos C.sin D.1 二.填空题：（每小题2分，共10分）

11.已知0°<α<90°，当α=__________时，sin时，12.若。，则锐角α=__________。

12，当α=__________试题宝典

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13.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA35，abc36，则a=__________，b=__________，c=__________，cotA=__________。

14.若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm，则底边上的高为__________cm，底角的余弦值为__________。

15.酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2米，其侧面如图21所示，则购买地毯至少需要__________元。三.解答题：（16、17每小题5分，其余每小题6分共70分）

16.计算(1tan60sin60)(1cot30cos30)

17.如图22，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AD=AB，求tanD。

18.已知直角三角形中两条直角边的差是7cm，斜边的长是13cm，求较小锐角α的各三角函数值。

19.如图23，ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若tanAEN1,DCCE10。（1）求△ANE的面积；（2）求sin∠ENB的值。

20.已知在△ABC中，AB23，AC=2，BC边上的高AD3。（1）求BC的长；（2）若有一个正方形的一边在AB上，另外两个顶点分别在AC和BC上，求正方形的面积。

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21.已知，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，求AD的长。

22.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE∶AE=1∶5，BE=3，求△ABD的面积。

23.已知ABC中，AD为中线，BAD60,AB10,BC43，求AC的长。

24.在△ABC中，∠A＝1200，AB＝12，AC＝6。求sinB＋sinC的值。

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25.四边形ABCD中，BC⊥CD，∠BCA＝60，∠CDA＝135，BC10,SABC403。求AD边的长。

26．湖面上有一塔高15米，在塔顶A测得一气球的仰角为40，又测得气球在水中像的俯角为60，求气球高出水面的高度（精确到0.1米）。

27、由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区遭受沙尖暴侵袭。近日A市气象局测得沙尘暴中心在A市正西300公里的B处以107海里/时的速度向南偏东60的BF方向移动，距沙尘暴中心200公里的范围是受沙尘暴影响的区域。

（1）通过计算说明A市是否受到本次沙尘暴的影响？

（2）若A市受沙尘暴影响，求A市受沙尘暴影响的时间有多长？

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0

0试题宝典

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试题答案 一.选择题：

1.A 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.D 10.A 提示：10.如图24所示，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，依题意，有AE=AF=1，可证得∠ABE=∠ADF=α。

所以可证得△ABE≌△ADF，得AB=AD，则四边形ABCD是菱形。

在Rt△ADF中，所以

二.填空题：

11.30°，30°；12.60°；13.a=9，b=12，c=15，14.15.504。

提示：13.设a=3t，c=5t，则b=4t，由a+b+c=36，得t=3。

所以a=9，b=12，c=15。

。

14.等腰三角形的腰只能是6，底边为2，腰不能为2，否则不满足三角形两边之和大于第三边，作底边上的高，利用勾股定理求高。

15.利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为5.8米，2.6米，则地毯的长度为2.6+5.8=8.4米，地毯的面积为8.4×2=16.8平方米，则买地毯至少需要16.8×30=504元。

三.解答题：

16.17.；

；

18.19.分析：根据条件可知MN是AE的垂直平分线，则AN=NE。所以∠AEN可以是Rt△EGN的一个锐角，或是Rt△GAN的一个锐角，或是Rt△EBA的一个锐角。

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解：∵

∵DC+CE=10，∴3a+2a=10，∴a=2。

∴BE=2，AB=6，CE=4。

又。

20.根据条件显然有两种情况，如图25。

（1）在图25（1）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°，∠C=60°，BC=4，所以△ABC是直角三角形。

在图25（2）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°，∠BAD=60°，BC=AC=2，△ABC是等腰三角形，AC平分∠BAD。

（2）在图26（1）中，设正方形边长为x，∵。

在图26（2）中，设正方形边长为x。，解得

解得

21.解法一：过B作CA延长线的垂线，交于E试题宝典

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点，过D作DF⊥AC于F。

∴DF∥BE ∴△FDC∽△EBC

∵AD平分∠BAC

∵∠BAC=120°

∴∠EAB=180°－∠BAC=60°

在Rt△ABE中，在Rt△ADF中，∵∠DAC=60°

解法二：如图11，过C作CE⊥AD于D，过B作BF⊥AD交AD的延长线于F。

∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°

∴∠BAD=∠CAD=60°。

在Rt△AEC中，在Rt△ABF中，∵CE∥BF ∴△BDF∽△CDE。

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∵EF=1

分析：题目中有120°角及它的角平分线，所以有两个60°这个特殊角，要求60°角的一条夹边AD的长，可以构造等边三角形，得到与AD相等的线段。

解法三：如图12，过点D作DE∥AB交AC于E。

则∠ADE=∠BAD=∠DAC=60°

∴△ADE是等边三角形。

∴AD=DE=AE 设AD=x ∵△ABC∽△EDC

解法四：如图13，过B作AC的平行线交AD的延长线于E。

∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°

∴∠BAD=∠DAC=∠E=60°。

∴△ADE是等边三角形

∴AE=AB=BE=5 ∵AC∥BE ∴△CAD∽△BED

小结：解三角形时，有些图形虽然不是直角三角形，但可以添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而可以运用解直角三角形的有关知识去解决这些图形中求边角的问题。另外，在考虑这些组合图形时，要根据题目中的条件和要求来确定边与边，角与角是相加还是相减。22.解：在△AED中，∵DE⊥AB于E，又∵DE∶AE=1∶5，∴设DE=x，则AE=5x。

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在△ADC中，∵∠C=90°，∠ADC=45°，∴∠DAC=45°，在Rt△BED和Rt△BCA中，∵∠B是公共角，∠BED=∠BCA=90°，∴△BED∽△BCA。

∴AB=AE+BE=10+3=13。

23.解：

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24提示：过C点作CE⊥BA交BA的延长线于E，过点B作BD⊥CA交 CA的延长线于D。

SinB＋sinC＝211421732114

25.提示：作AF⊥AC于F，作AE⊥CD交CD的延长线于E。可求AC＝16，AD＝8 2。

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第四篇：初中数学教学设计 北师大版七年级

初中数学教学设计 北师大版七年级（上）1.6整式的乘法（1）

初中数学教学设计

教案设计者：陈凤昌

学科：数学 年级：七年级

课题名称：北师大版七年级（上）1.6整式的乘法（1）教学分析 一．教学内容

在七年级（上）有理数的乘法运算（乘法交换律和结合律）、以及同底数幂的乘法运算的学习的基础上，来继续探究单项式乘以单项式的运算法则；会利用法则进行简单的运算，为今后学习整式的有关运算作好铺垫。． 二．教学目标

●1.经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程，发展观察，归纳，猜想，验证等能力，会进行单项式与单项式相乘的运算.●2.理解单项式与单项式相乘的算理，体会乘法交换律和结合律的作用和转化的思想.三．教学重难点重点：

●教学重点 单项式与单项式相乘的运算法则及其应用.●教学难点 灵活地进行单项式与单项式相乘的运算，单项式乘法法则有关系数的计算和同底数幂运算在计算中的不同．

●教学方法 引导——发现——归纳法 四．教学过程

 复习旧知，做好准备

1．下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是什么？

2．计算（1）（y=.）·（）

= ；（2），a

·a

=a

.（3）x·x

·x  创设情境，引入新课

●●其实整式的运算就像数的运算，除了加减法，还应有整式的乘法，整式的除法.下面，我们先来看投影片中的问题：

●探究活动： 为支持北京申办2008年奥运会，一位画家设计了一幅长为6000名为 “奥运龙”的宣传画．受他的启发京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画．如下图所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上，下方各留有 并回答下列问题

1）第一幅画的画面面积是 米2；(2)第二幅画的画面面积是 米

2x的空白．

.●●● 这种结果能表达得更简单些吗？说说你的理由． 解：从图片我们可以读出条件，第一个画面的长、宽分别为mx，米x米；第二个画面的长、宽分别为mx米、(x－ x－ x)即

x米.因此，第一幅画的画面面积是x·(mx)米2； 第二幅画的画面面积是(mx)·（x)米2.x).这是什么样的运算？.问题：我们一起来看这两个运算：x·(mx),(mx)·(解：x,mx, x都是单项式，它们相乘是单项式与单项式相乘.（对于答案又是怎样得来的这个问题学生有一定的困难，教师可引导学生回答）．

●设计意图：此处使用教材所给的背景材料作为新课引入，由实际情境引出问题，激发学生学习的兴趣和探究的热情，同时让学生体会整式的乘法运算是实际生活的需要而产生的．



式相乘.观察思考，探究法则

大家都知道整式包括单项式和多项式，从这节课开始我们就来研究整式的乘法.我们先来学习单项式与单项运用乘法的交换律、结合律和同底数幂乘法的运算性质等知识，探索单项式与单项式相乘的运算法则 问题1、单项式乘以单项式时，结果的系数是怎样得到的？相同的字母怎么办？仅在一个单项式里出现的字母怎么办？

解答：利用乘法交换律、结合律将系数与系数相乘，相同字母分别结合，只在一个单项式中出现，这个字母及其指数照搬．

问题2 类似地，你能用你的发现分别将（1）3a2b · 2ab3c和(2)（xyz2）·（4y2z3）表示的更简单吗？

计算下列单项式乘以单项式：并写出每一步的算理(1)3a2b· 2ab3c

=(2×3)(a2·a)(b·b3)c(乘法交换律、结合律)（系数与系数，相同字母分别结合，)=6a3b3c((c只在一个单项式中出现，这个字母及其指数照搬)(2)（xyz2）·（4y2z3）这个式子让学生根据上面的例子学生自己完成。

●设计意图：教师可提示利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幂的运算性质，在学生探究的过程中要鼓励学生用自己的语言总结单项式乘单项式的运算法则，理解整式乘法运算的算理也是本节的教学目标，所以要让学生明白每一步的算理．

通过学生探究总结得出单项式乘以单项式的运算法则：单项式与单项式相乘，把它的系数、相同字母的幂相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 引导学生剖析法则的三个要点：

(1)法则实际分为三点：①系数相乘——有理数的乘法；②相同字母相乘——同底数幂的乘法；③只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式．(2)不论几个单项式相乘，都可以用这个法则．(3)单项式相乘的结果仍是单项式．

 应用举例，巩固法则

［例1］计算：(1)(2xy2)·(xy);(2)(－2a2b3)·(－3a);(3)(4×105)·(5×104);(4)(－3a2b3)2·(－a3b2)5;(5)(－ a2bc3)·(－ c5)·(ab2c).)·(x·x)(y2·y)=

x2y3;解：(1)(2xy2)·(xy)=(2×

(2)(－2a2b3)·(－3a)=［(－2)·(－3)］(a2a)·b3=6a3b3;(3)(4×105)·(5×104)=(4×5)·(105×104)=20×109=2×1010;(4)(－3a2b3)2·(－a3b2)5

=［(－3)2(a2)2(b3)2］·［(－1)5(a3)5(b2)5］ =(9a4b6)·(a15b10)=9·(a4·a15)·(b6·b10)=9a19b16;(5)(－ =［(－ = a2bc3)·(－)×(－ a3b3c9)×(c5)·（ab2c))］·(a2·a)(b·b2)(c3·c5·c)●设计意图：通过例题让学生学会利用法则进行运算，并理解每一步的算理，同时掌握书写的格式． ●●［师生共析］单项式与单项式相乘的乘法法则在运用时要注意以下几点：

1.积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误是，将系数相乘与指数相加混淆，如2a3·3a2=6a5,而不要认为是6a6或5a5.2.相同字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法运算性质.3.只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式.4.单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.5.单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 自主评价，反馈提高

（出示投影片）1.（1）（（4）（x2y）·（－

y2z）（2）－6a2b2 · 4b3c（3）（2xy）2 ·3xyz ab2）3 · 27a2bc（5）（2×105）·（8×104）

2.一种电子计算机每秒可做4×109次运算，它工作5×102秒，可做多少次运算？(由几位同学板演，最后师生共同讲评)●1解：（1）-x2y3z(2)-24 a2b5c(3)12x3y3z(4)a5b7c（5）1.6×1010 ●2解：(4×109)×(5×102)=(4×5)×(109×102)=20×1011=2×1012(次)答：工作5×102秒，可做2×1012次运算

设计意图：通过练习让学生熟练掌握单项式与单项式乘法运算，1.运算时要注意运算顺序，先乘方，再乘除．2的结果要提醒学生用科学计数法形式表示．对于只在一个单项式中出现的字母要连同指数不变的照搬．要提醒学生注意运算时常出现的错误．



用.课时小结

这节课我们利用乘法交换律和结合律及同底数幂乘法的法则探索出单项式相乘的运算法则，并能熟练地运

七、活动与探究（出示投影片）

若(am+1bn+2)·(a2n-1b2m)=a5b3,则m+n的值为多少？ 解：根据单项式乘法的法则，可建立关于m,n的方程，即(am+1bn+2)·(a2n1b2m)

－=(am+1·a2n1)·(bn+2·b2m)=a2n+mb2m+n+2=a5b3,所以2n+m=5①,2m+n+2=3即2m+n=1②,观察①②方程的特点，很容－易就可求出m+n.根据题意，得2n+m=5①,2m+n=1②,①+②得3n+3m=6,3(m+n)=6,所以m+n=2.设计意图：通过对乘法交换律和结合律及同底数幂乘法的法则探索，在熟练运用法则的基础上，进行发散思维的培养与训练。

八、课后作业

课本24页习题1.8第1、2题．

 板书设计

§1.5 整式的乘法(一)——单项式与单项式相乘 问题：如何将x·(mx);(mx)·（x)化成最简？

探索：x·(mx)=m·(x·x)——乘法交换律、结合律 =mx2——同底数幂乘法运算性质(mx)·(= x)=(m)·(x·x)——乘法交换律、结合律

mx2——同底数幂乘法运算性质

类似地，3a2b·2ab3=(3×2)(a2·a)(b·b3)=6a3b4;(xyz)·y2z=x·(y·y2)(z·z)=xy3z2.归纳：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.例题：例1.(师生共析)练习：(学生板演，师生共同讲评)教学反思

本节课是让学生掌握基本的单项式与单项式相乘运算技能和算理，对于利用运算法则进行运算的前，注重法则的探索过程，同时要只是对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力，鼓励学生通过观察思考自己总结得出．注意书写的规范性．

本节课是以对算理的理解和掌握基本的运算技能为主要内容，从整式乘法产生的实际情境上探究单项式乘以单项式的运算法则，所以会利用法则进行简单的单项式乘以单项式的运算以及理解它的算理是本节的重点内容．学好单项式乘以单项式的运算为下节课学习单项式乘以多项式和多项式乘以多项式打下基础．．但对于运算法则的探索，需要一定的推理和表达方面的能力．在应用法则进行单项式乘以单项式时系数的运算和同底数幂的乘法运算有所不同，容易与其他运算混淆，所以这是本节课的难点

第五篇：直角三角形(二)教学设计

第一章

三角形的证明

2．直角三角形

（二）宜昌市长江中学

李玉平

一、学情分析

学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法，在本章的前一阶段的学习过程中接触到了证明三角形全等的推论，在本节课要掌握这个定理的证明以及利用这个定理解决相关问题还是一个较高的要求。

二、教学任务分析

本节课是三角形全等的最后一部分内容，也是很重要的一部分内容，凸显直角三角形的特殊性质。在探索证明直角三角形全等判定定理“HL”的同时，进一步巩固命题的相关知识也是本节课的任务之一。因此本节课的教学目标定位为：

1．知识目标：

①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性 ②利用“HL’’定理解决实际问题 2．能力目标：

①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力

三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习提问；第二环节：引入新课；第三环节：做一做；第四环节：议一议；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业。

1：复习提问

1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？

2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同学们相互交流。

3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。

我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”．

要求学生完成，一位学生的过程如下： 已知：在△ABC中，AB=AC．

求证：∠B=∠C．

证明：过A作AD⊥BC，垂足为C，∴∠ADB=∠ADC=90° 又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．

∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）

在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。质疑点在于“在证明△ABD≌△ACD时，用了“两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．可以画图说明．(如图所示在ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD与△ABC不全等)” ．

也有学生认同上述的证明。

教师顺水推舟，询问能否证明：“在两个直角三角形中，直角所对的边即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．”，从而引入新课。

2：引入新课

（1）．“HL”定理．由师生共析完成

已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′． 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′

证明：在Rt△ABC中，AC=AB一BC(勾股定理)． 又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' =A'C'=A'B'2一B'C'2(勾股定理)．

AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'． ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SSS)． 教师用多媒体演示：

定理

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．

从而肯定了第一位同学通过作底边的高证明两个三角形全等，从而得到“等边对等角”的证法是正确的．

练习：判断下列命题的真假，并说明理由：

22AA'BCB'C'BEAD1C2(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；

(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；

(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．

对于（1）、（2）、（3）一般可顺利通过，这里教师将讲解的重心放在了问题（4），学生感觉是真命题，一时有无法直接利用已知的定理支持，教师引导学生证明．

已知：R△ABC和Rt△A'B ' C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线且BD—B'D'(如图)．

求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'． 证明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，∵BD=B'D',BC=B'C', ∴Rt△BDC≌Rt△B 'D 'C '(HL定理)． CD=C'D'．

又∵AC=2CD，A 'C '=2C 'D '，∴AC=A'C'． ∴在Rt△ABC和Rt△A 'B 'C '中，∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C '，∴Rt△ABC≌CORt△A'B'C(SAS)．

通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结。3：做一做

问题

你能用三角尺平分一个已知角吗? 请同学们用手中的三角尺操作完成，并在小组内交流，用自己的语言清楚表达自己的想法．

（设计做一做的目的为了让学生体会数学结论在实际中的应用，教学中就要求学生能用数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将推理证明过程写出来。）

4：议一议

如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来．

这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．

(教师一定要提供时间和空间，让同学们认真思考，勇于向困难提出挑战)5： 例题学习

如图，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分

ADA'D'BCB'C'CC'3

ADBA'D'B'别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．

求证：△ABC≌△A'B'C'．

分析：要证△ABC≌△A'B'C'，由已知中找到条件：一组边AC=A'C'，一组角∠ACB=∠A'C'B'．如果寻求∠A=∠A'，就可用ASA证明全等；也可以寻求么∠B=∠B'，这样就有AAS；还可寻求BC=B'C'，那么就可根据SAS．……注意到题目中，通有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'．观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证的Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，因此证明∠A=∠A' 就可行．

证明：∵CD、C'D'分别是△ABC△A'B'C'的高(已知)，∴∠ADC=∠A'D'C'=90°． 在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'(已知)，CD=C'D'(已知)，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL)． ∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)． 在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'(已证)，AC=A'C'(已知)，∠ACB=∠A'C'B'(已知)，∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)． 6：课时小结

本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现，很值得继续发扬广大．

7：课后作业

习题1．6第3、4、5题

四、教学反思

本节HL定理的证明学生掌握得比较好，定理的应用方面尤其是“议一议”中的该题灵活性较强，给教师和学生发挥的余地较大，该题是一个开放题，结论和方法并不惟一，所以 学生积极性非常高，作为教师要充分利用好这个资源，可以达到一题多解，举一反三的效果。