关于探索规律问题的一个猜想的证明

第一篇：关于探索规律问题的一个猜想的证明

关于探索规律问题的一个猜想的证明

《中小学数学》（初中版）2009年第9期刊，《再循伽莫夫奇思妙想之迹》一文，笔者研读后，深有启发，特别是文中未证之猜想，颇感有趣，尝试证明，与大家共享.先摘录原文奇思妙想总结：

按正整数顺序排列的一列数：若后一项与前一项的差值为一列常数，则这列数与顺序数的对应关系满足一次函数；若后一项与前一项的差值不为一列常数，再用新数列的后一项与前一项求差(即第二次求差)后为一列常数，则这列数与顺序数的对应关系满足二次函数；若第三次求差后为一列常数，则这列数与顺序数的对应关系满足三次函数；由此猜想，第n次求差后为一列常数，则这列数与顺序数的对应关系满足n次函数.下面以n次函数证明如下： 顺序数列：变量x表示，规律数列：变量y表示，设yf(x)anxnan1xn1a1xa0(其中n为正整数).记第一次操作，规律数列相邻两项后一项与前一项的差为f1(x)，第n次求差相邻两项后一项与前一项的差为fn(x)，则

f1(x)f(x1)f(x)

an[(x1)nxn]an1[(x1)n1xn1]a1[(x1)x]，1n12n2n1n22n3n1an(CnxCnxCn)an1(Cn1xCn1xCn1)a1，anCnx1n1b12xn2b13xn3b1(n2)xb1(n1)xb1n；

2为了说明方便且不失正确性，每次操作后，函数表达式除第一项外，其余各项系数简记为bij(i表示求差的次数，nj表示函数表达式中各项次数).11n2n32b23xb2(n2)xb2(n1)xb2n； f2(x)f1(x1)f1(x)anCnCn1xf3(x)f2(x1)f2(x)anCnCn1Cn2x111n3b34x1n4b3(n2)xb3(n1)xb3n；

2……

fn1(x)fn2(x1)fn2(x)anCnCn1Cn2C2xb(n1)n；

11111fn(x)fn1(x1)fn1(x)anCnCn1Cn2C2C1n!an111.到此，文中的猜想：若是n次函数，则n次求差后为一列常数n!an，n!an…….其中an为n次项系数，n!为n的阶乘.得到圆满证明.

第二篇：探索规律——搭配问题

探索规律——搭配问题

课题：

探索规律——搭配问题 教学内容：

青岛版小学数学三年级上册70页聪明小屋 教学目标：

1.学会对两种或多种事物间进行有序组合与搭配的方法，知道搭配和乘法的关联，能利用搭配规律解决多样化的实际问题。

2.在学具操作、画图、连线等具体活动中，学会用更简洁、更抽象的方式来表达组合的方法，体会数学的简洁性。

3.经历由简单到复杂、由具体到抽象的探究过程，体会用符号来表达搭配规律的简洁性和概括性，发展思维能力，获得模型思想的启迪和数学学习方法的启示。

4.在解决问题的过程中，体会数学与生活的联系，增强对数学本身逻辑之美的感受，强化数学学习的兴趣。

教学重难点：

教学重点：学会对两种或多种事物间进行有序组合与搭配的方法，能利用搭配规律解决多样化的实际问题。

教学难点：学会对两种或多种事物间进行有序组合与搭配的方法，知道搭配和“乘法”的关联。

教具、学具：

教师准备：多媒体课件 学生准备：衣服图片模型 教学过程：

一、创设情境，提出问题

课件出示美羊羊的衣橱，衣橱里有1件上衣和3件下衣。

师：大家都喜欢看喜羊羊吗？那对美羊羊一定很熟悉吧，美羊羊不仅漂亮，而且多才多艺。这不，美羊羊最近要参加一个才艺大赛，正在准备服装。你能不能给她出个主意，让她在才艺大赛中更漂亮！

学生说出三种组合后，老师给以解释。

师：我们一般把裙子和裤子都叫做下衣。像这样挑选一件上衣和一件下衣组合在一起的穿法称服装的搭配，也叫组合。这里共有几种搭配方法？今天我们就一起来探索搭配中的规律！

板书课题：探索规律——搭配问题。

【设计意图】用最简单的搭配问题，充分调动学生的生活经验，将学习的视角移到简单的“一个几”，为后面复杂的深入探究作了铺垫，也对数学中的“搭配”进行了直接说明。

二、自主学习，小组探究(课件出示:增加一件上衣)

1、2件上衣和3件下衣有几种不同的搭配方法？

2、你是怎样搭配的？（实物操作、画图、文字罗列、连线还是计算？）

3、比较各种搭配方法？你更喜欢哪一种？为什么？ 学生在独立思考的基础上，进行小组交流。

三、汇报交流、评价质疑 根据探究提示组织学生进行汇报：

1、先让学生汇报共有几种不同的搭配方法 6种

2、展示汇报具体的搭配方法。

提炼方法名称并板书：文字陈述法、文字连线法、图形连线法、符号连线法等

分析每种方法的优缺点：他们的方法可以吗？这种方法有什么优点？你还有什么问题吗？

3、比较优化：比较各种搭配方法，你觉得哪种方法更好一些？你更喜欢哪一种方法？说出你的理由。学生比较后做出选择

4、小结：同学们真棒！用了不同的方法来表示搭配的方法，除了用文字表示，我们还可以用更简洁的图形、字母、数字这些符号来表示，会更加简洁明了。像我们同学用的连线法就能很简洁地表示出搭配的种类。

5、猜想验证。如果有5件上衣6件下衣，会有几种搭配方法？（1）引导学生对搭配方法进行猜想，你认为会有几种搭配方法。

（2）先用自己喜欢的方法动手试一试，小组内交流一下，验证一下到底有几种搭配方法。

【设计意图】通过汇报、猜想和验证，引导学生从最初的“一个几”过渡到“几个几”，初步感受搭配规律与乘法的关系。

四、抽象概括，总结提升

讨论：通过刚才的学习，你发现了什么？你觉得搭配的种类和上衣的件数、下衣的件数有什么关系？

学生交流后得出结论：上衣的件数×下衣的件数＝搭配种类（板书）推想：如果有a件上衣、b条裤子，一共有多少种不同的搭配方法？ 总结字母公式：搭配规律就是研究“几个几”，用乘法计算。

a×b＝搭配种类

师：通过刚才摆一摆、连一连，同学们使用了文字陈述、文字连线、图形连线、符号连线等方法，其实这些方法，在数学上就是一种排列与组合。在组合的过程中，我们还运用了数学上一个非常重要的思想方法，那就是有序思考。（板书：有序思考）通过有序地排列和组合，我们研究出了搭配的方法，并利用我们的智慧，用了非常简洁的符号和计算方法来表示搭配的规律，这就是我们数学的魅力，数学的简洁美！（板书：简洁性）

【设计意图】引导学生通过对研究过程的回顾与总结，梳理本节课的重点知识，并向学生渗透了数学的思想和方法，培养了学生数学学习的能力，落实了教学目标中的具体内容。

五、巩固应用，拓展提高

师：穿衣问题是我们生活中最常见的搭配问题。在生活中，我们吃饭、行路、演出等等，都能碰到类似的搭配问题。

1、交通问题。

（课件出示图片）

（1）学生独立练习。（2）汇报解题情况。

（3）小结：在生活中，面对这么多走法的时候，我们一般会选择较短而且比较安全的路线。

【设计意图】从生活出发再回归生活，“交通问题”就是简单的模仿训练。

2、就餐问题。（课件出示图片）

美羊羊早餐时喝一种饮料，吃一种点心。她的早餐有多少种不同的搭配方法？（1）学生独立思考。

（2）班内汇报交流：跟刚才的服装搭配有什么相似之处？

（3）小结：饮料就相当于上衣，点心就相当于下衣，搭配的种类＝3×3。（4）如果再加入餐后水果，苹果、香蕉任选其一，又该怎么解决呢？

小组交流后反馈：3×3×2＝18种或9×2＝18种。

（5）引导学生比较后概括：每增加一种新的搭配品种，就会多出一个乘数。【设计意图】“就餐问题”没有进行简单机械的模仿练习，而是通过数量变化的方式对搭配的规律进行巩固和延伸，抓住搭配问题和乘法的关联，向连乘发散思维。

3、体育比赛。

师：学校运动队最近也遇到了搭配问题，让我们一起来看一看吧。学校要选一男一女两名同学参加乒乓球混合双打，只知道一共有12种不同的挑选方法，你知道参选的有几名男生和女生吗？

（1）课件出示：选一名男生和一名女生参加比赛，一共有12种搭配方法。你知道有多少男同学和多少名女同学参选吗？

（2）学生小组交流后班内汇报，思考：为什么想到积是12的乘法口诀就行？

【设计意图】开放的反向思维训练，可以让学生更好地掌握和理解本节课的学习内容，感悟数学学习的基本方法。

4、课后总结：

请用一句话来概括总结一下本节课的收获。

学习数学就要有一双善于发现的眼睛，去发现生活中的问题，并用数学的眼光和思维去进行有序地思考，这样你一定会有不同的惊喜！

【设计意图】将整节课的重点内容充分展现，再一次帮助学生实现整体建构。板书设计：

探索规律——搭配问题

上衣的件数×下衣的件数＝搭配种类

a × b ＝搭配种类

排列 组合

有序思考

简洁性

第三篇：由实验、猜想,到探索、证明

由实验、猜想，到探索、证明

河北欧阳庆红

如图1，四边形ABCD四边的中点分别为E、F、G、H，度量四边形EFGH的边和角，你能发现什么结论？改变四边形ABCD的形状，还能得到类似的结论吗？你能肯定这个结论对所有的四边形ABCD都成立吗？

此题可以由同学们通过实验、猜想而直接得出结论，随着学习知识的深入，可以对此题进行探究、推理、证明，从而起到拓展思路的作用．

探究一：探究多解

已知：如图2，四边形ABCD四边的中点分别为E、F、G、H．求证：四边形EFGH是平行四边形．

证明1：连接AC，由三角形中位线定理可知：

HG∥AC，HG=11AC；EF∥AC，EF=AC； 2

2因为HG∥EF，HG=EF，所以四边形EFGH是平行四边形．

证明2：如图3，连接AC、BD，由三角形中位线定理可知：

EF∥AC，AC∥HG，EH∥BD，BD∥FG．

所以EF∥HG，EH∥FG．所以四边形EFGH是平行四边形．

通过探究多解，既巩固了平行四边形的性质和判定，又拓宽了同学们的解题思路．探究二：触类旁通

顺次连接以下四边形各边中点，所得到的四边形是什么四边形？你能发现什么规律？

（1）平行四边形；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰梯形（对角线互不垂直）．以上四边形的性质中，平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线相等;菱形的对角线互相垂直平分；正方形的对角线相等且互相垂直平分；等腰梯形的对角线相等．通过证明可以证得：顺次连接以上四边形各边中点所组成的四边形：（1）为平行四边形；（2）为菱形；

（3）为矩形；（4）为正方形；（5）为菱形．

结论：从上述结论中可知顺次连接四边形各边中点所得到的四边形的形状与原四边形的对角线有关．对角线相等时为菱形；对角线垂直时为矩形；对角线相等又垂直时为正方形；对角线既不相等又不垂直时为平行四边形．

探究三：知识拓展

如图4，已知△ABC与△ECF是等边三角形,P、Q、G、H分别是AE、AB、BF、EF的中点且C与G不重合．

求证：四边形PQGH为菱形．

分析：由探究二可知，四边形ABFE的对角线是解决问题的关键，连接AF、BE，易证△EBC≌△FAC（SAS）．

所以 AF=BE．故本题得证．

实践证明，此题以课本上的题目为原型，把知识灵活地辐射出去，不局限于一个思路，符合同学们的实际水平和认知规律．

第四篇：探索规律

“探索规律”问题蕴涵着观察、猜想、归纳的思想方法，是锻炼学生抽象思维能力的一个好素材，教材中主要是鼓励学生探索数与数之间蕴涵的规律、实际生活中蕴涵的规律等，对于规律的探索，不仅能加深对所学的数的理解，而且为数学交流提供了有效的途径，它的方法、函数思想以及推理的方法也为数学本身和其他学科发研究提供了基础。下面我结合六年级找规律一节课谈谈我的体会

第一环节：引入适当的教学情境，激发学生学习兴趣

在数学教学中，根据学生的实际情况及认知特点，创设了适合于六年级学生的数学情境，培养他们一种愿意甚至喜爱的积极情感。“请写出你最喜欢的一位数，计算100与这个数的和，乘以100与这个数差的积。你只要告诉我，你写出的个位数，我就能说出计算结果，信吗?”让学生带着好奇的疑问去学习数学，自始自终，学生的思维始终处于活跃状态，并保持了旺盛的学习兴趣和热情。

第二环节：探索活动，发现规律。第二环节的“九九乘法表”是数学体现数字规律的篇章，通过找乘法表中的规律，充分调动学生的视觉去观察，大脑去思考、归纳，让学生经历提出问题——探究猜测——推理验证——得出结论这一过程。给学生创设了宽松的独立思考空间，让学生自主发现各种规律，充分尊重学生能够的个性思维；给学生提供交流的机会，让学生在交流过程中分享彼此的思维成果，相互启发，共同发展。

第三环节：探索规律在生活中的应用。因此，教师要为学生提供现实生活的数学，而这个现实不是成人眼中的现实，应该是学生眼中的现实，贴近他们现实生活的内容进行教学，才能唤起他们的学习兴趣，主动应用数学去思考问题、解决问题。使学生们体会到，数学来源于生活又服务于生活，学数学是有用的。

在本节课的教学中，我利用探究法、观察法、归纳法，通过引导学生观察，探究，归纳出本节课要学习的内容。在教师的引导、组织和合作下，学生通过独立思考、小组讨论、共同探究，揭示数与数之间的变化规律，生活中的变化规律，并将知识应用于实践。

第五篇：探索规律——搭配问题教学设计专题

探索规律——搭配问题

教学内容：青岛版小学数学三年级上册70页 第五单元第5课时

教学目标：

1.结合学生熟悉的情境，学会有序地思考，掌握搭配的方法。

2.在观察、操作、抽象、概括、合作和交流等活动中，感知解决问题策略的多样性，发展符号感和数学思维能力。

3.在探索规律的过程中，增强与他人合作、交流的意识，体会到生活中处处有数学，数学有用，从而激发学生学习数学的兴趣和信心。

教学重点：在活动中掌握排列与组合的规律。教学难点：有序地思考在学习中的应用。教学具准备：多媒体课件、图片若干 教学过程：

一、创设情境，提出问题

为了庆祝2013年元旦，我们班女同学编排了精彩的现代舞，老师为她们挑选了四件上衣两条裤子，有几种搭配方法呢？怎样搭配更漂亮呢？

二、自主学习，小组探究。1.说说有几种搭配方法。

2.动手操作：学生用学具卡片摆一摆，完成后和同桌交流一下。(老师提出并板书要求：不重复、不遗漏。）3.全班交流：指名学生上台交流搭配方法。

预设1：从上衣搭起，每件上衣依次和2条裤子搭配------引导学生说出4个2种。预设2：从裤子搭起，每条裤子依次和4件上衣搭配-----引导学生说出有2个4种。

4.从裤子搭起，依次搭配课件演示并小结：刚才两位同学都讲得非常好，我们可以从上衣搭起，依次搭配，有4个2种搭配方法，也可以，有2个4种搭配方法，实际上刚才大家在操作的时候用到了一种数学思想方法---有序思考（板书:有序性），这样就能做到不重复，不遗漏。今天这节课我们就来研究探索规律——搭配问题。（板书课题）

5.体会规律

（1）谈话：如果不用学具卡片，你还能把所有的搭配方法清晰有条理的表示出来吗？先想一想，在练习本上表示一下。

（2）学生动手。完成后轻声和同桌交流。

（3）全班交流。实物投影展示学生不同表示方法。

老师选择几个有代表性的作品进行展示,并让展示的学生说一说想法。

作品1（文字一一列举没有连线的）

作品2（文字连线的）

作品3（符号的，三角形，圆等等。）作品4（字母，数字）

作品5（算式来表示：2×4＝8种）

学生思考、比较，小组内交流对每种表示法的看法。6.老师问：哪两件衣服搭配最漂亮？（学生回答）

三、汇报交流，总结提升

全班交流小结：刚才几位同学，都进行了有序的思考，做到了不重复，不遗漏。数学上有时会把实物抽象成字母或数字以及算式来表示，这样简洁明了。

四、巩固应用，拓展提高。1.搭配午餐。

创设情境：我校幼儿园为了小朋友的健康成长，每天午餐为孩子们准备一荤一素两份菜，大家看看有多少种搭配方法。（教师出示新课堂第69页第三题)学生用自己喜欢的方法写在练习本上，汇报交流并订正。2.搭配路线。

出示新课堂第70页第四题情景图：从学校经过少年宫到童童家有多少条路线可以走？

学生用自己喜欢的方法写在练习本上，汇报交流并订正。

五、小结：通过这节课的学习，你有什么收获吗？

板书设计： 探索规律——搭配问题

有序性∶ 不重复

不遗漏

使用说明： 1.教学反思：

这节课一开始，创设了“为庆元旦，给跳舞的女生搭配演出服”的问题情境，情境一出，学生的积极性顷刻间被调动起来了，在不知不觉中展开对数学问题的探索，逐步产生了求知的欲望，从而激发学生学习数学的兴趣和信心。

本课的教学，我尊重学生的已有知识经验，鼓励学生用喜欢的方式表示，再从学生的生成资源出发，让学生通过比一比，说一说，帮助学生经历由直观到抽象的知识形成过程，由学具卡片到文字列举再到抽象成用符号字母连线方法，并找到搭配内在的规律，用更简洁的算式来表示。让学生体会数学的简洁美。培养学生的思维能力和表达能力，改善学生的思维品质。

让学生解决自己生活中的搭配问题，既是新知识的运用，又与学生的生活实际紧密联系，学生不觉得这是一种负担，而是把这项活动看成是自身的需要，真正“还教材于生活的本色。”教师通过一系列与生活密切联系的生活情境“午餐搭配”“路线搭配”等，逐渐递进，让学生从两类事物的搭配，迁移到三类、六类等多类事物的搭配，实现方法策略的整体建构，并将探究的兴趣延伸至课外、至熟悉的生活。让学生熟练地应用数学方法进行计算，在数学建模的基础上，回归现实，灵活选择方法解决问题，提升分析问题、解决问题能力。

整节课老师始终把学生放在主体地位，让他们通过操作和交流探索总结数学方法。既给学生独立思考的时间，又有富有个性的发展创造空间，既有自主创新的过程，又有合作交流的氛围，在合作交流的过程中分享彼此的智慧，促进学生综合能力的发展。

2、使用建议。

这节课的搭配问题，对于学生来说并不陌生，有一定的生活经验，因此建议教师放手，让学生自主解决问题后，再交流，体会不同的解题策略，通过比较、提炼、探索其中的规律，从而掌握搭配的方法。