2014年 重力学重点总结

第一篇：2014年 重力学重点总结

2014年秋 重力学 重点总结

第二章：

1.正常重力场：

由于地球内部物质不均匀，地球表面也不光滑，准确地计算地球的引力是十分困难的，但可以把地球内部物质分布和表面形状理想化，即假设:

⑴地球是一个两极压扁的旋转椭球体且表面光滑；

⑵地球内部物质密度呈层状均匀（层面共焦点，层内均匀）；

⑶地球是一个刚性球体，内部各质点位置不变；

⑷地球的质量、自转角速度不变。在这个假设前提下，构造一个正常重力场。

2.正常重力位：正常引力位与离心力位之和，称为正常重力位。

3.扰动位：某点的重力位与正常重力位之差。

4克莱饶定理：表示正常场地球模型的重力扁率和旋转椭球的扁率之间的关系称为克莱饶定理。其中pem53nme

2 得到：2

5斯托克司定理： 如果已知：

（1）一个等位面的形状。

（2）它内部所包含的物质的总质量 M。

（3）以及整个物体绕某一固定轴作匀速旋转的角速度。

则这个等位面上及其外部所有点上的重力位都可以单值地被确定，而无需知道地球内部质量的具体分布情况。

补充：逆定理：如果已知一个封闭水准面上的重力值，且其外部无质量，就可以确定这个封闭面的形状。

6.索米格兰纳公式：

e(1sin2Bn1sin22Bn)正常重力的一般公式为：

121814 称为索米格兰纳公式

7.地球椭球：

满足以下四个基本条件，即：

（1）椭球表面为等位面(称为正常大地水准面)；

（2）它的位W0与真实地球理想大地水准面的位相等；（3）椭球中心与地球质心重合；

（4）椭球的质量M、惯性矩之差(C-A)的椭球，称为地球椭球。

8.正常重力公式：

地球椭球表面正常重力场的数学表达式便称为正常重力公式。

9.地球重力空间变化的特征：

(1)地球的形状——扁椭球体引力随纬度变化，在大地水准面上，两处最大，赤道处最小，两者相差约1800mGal；

(2)地球自转——惯性离心力随纬度变化，在大地水准面上，两极等于零，赤道最大，最大变化达3400mGal；

(3)地球表面起伏不平：

①测点距地心距离变化

②测点周边地表物质引力各异 ③地质构造和岩石的引力在个测点上不同(4)地球内部物质密度分布不均匀；

(5)太阳与月球的引力，最大变化达0.2mGal。

其它问题：

1.直角坐标系中地球重力场（包括各个分量）的基本表达式： 2.重力位与重力的关系：

3.直角坐标系中地球重力位（引力位及离心力位）表达式： 4.球坐标系中地球外部重力位及重力表达式；

第三章：

1.布隆斯公式（含推导）：

推导：由重力位定义，空间重力位有：WUT，由于实际大地水准面

与标准椭球面不可能完全重合，设 p 点为大地水准面上的点，其在椭球面上的（铅锤）投影为p0，两点间的距离为N。令椭球面上正常重力位为U0=C，则 p 及 p0点处的重力位W(p)U(p)T(p)可表示成：W(p0)U(p0)T(p0)，用正常重力位垂向一阶导数可以近似表示 p 点的正U(p0)U(p)常重力，即

UnNp0U(p)U(p0)UnNp0，显然有：W(p)U(p0)U(p)U(p0)T(p)得出：W(p)U(p0)UnNT(p)p0，对于W(p)和 U(p0)，我们有事先的假定，即在确定正常重力位时，其在地球椭球面上的重力位数值（U(p0)=C）应与大地水准面上的实际重力位值（W(p)=C）十分逼近。这里姑且认为两

W(p)U(p0)0者相等

有

TNUnp0

 UnT可以得到：N（布隆斯公式）p0 2.重力基本微分方程：

T1Tg0hh，该方程建立了实测重力异常与扰动位之间的关系，是重力学基本公式之一。由边值问题解出T，再应用布隆斯公式求N，从而确定大地水准面形状。

3.垂线偏差的概念：

大地水准面内法线与对应的椭球面内法线之夹角。

4.大地水准面高度：

GPS观测点距离 WGS84 椭球面高度(h)和大地水准面高度(N)，计算出正高(H = h-N)，正高就是观测点距离大地水准面的高度。注意：大地水准面高度的不精确会导致正高测量的不精确。

5.大地水准面的形状特征：

（1）大地水准面是一个十分复杂的曲面；

（2）从宏观上看，大地水准面与旋转椭球面差异不大，变化幅度为-105m至+77m，相对精度小于10-5，基本可视为旋转椭球面；

（3）大地水准面的最大偏离在印度半岛南方赤道上；

（4）实际大地水准面的形状呈“梨”状（King-Hele, 1969)。

其它问题：

1.泊松积分公式。

2.布隆斯公式的球谐展开式。3.求取扰动位的基本思路。4.大地水准面的形状特征。

第四章：

1.相对重力测量的零点漂移（零漂）概念：

利用弹性体制成重力仪，弹性体在外力长期作用下，会产生弹性疲劳，即弹性性质会发生改变。当超出了弹性限度，则弹性体发生永久变形。在重力仪中，这种现象表现为在同一点上的读数有变化（不考虑任何其它因素），这种变化称为零点漂移，简称零漂。零漂是所有弹性重力仪不可克服的一个弱点。一台重力仪的精度高低，质量好坏主要看它零漂值的大小以及变化是否线性。

2.时变重力测量的影响因素：

（1）测量仪器和观测方法：微震、大气压及温度变化，重力仪零位漂移。（2）大气影响：大气压变化

（3）水文因素：地下水和土壤湿度随时间变化以及地表水位变化，（4）人类活动干扰：开采石油、天然气和地热，大型水库蓄水与放空等（5）固体潮：潮汐波振幅和相位变化

（6）地球动力学原因造成的地球质量位移：全球性（地球内部质量长时期位移）、区域性（板块边缘和内部）、局部性（地震、火山等）

3.重力测量野外观测方式：

（1）单次观测（2）往返观测（3）三重小循环观测

4.观测数据整理步骤和零漂校正(1)观测数据整理步骤：

格值转换：根据仪器格值，将所有观测的仪器读数转换为有重力单位的观测值（按仪器格值使用方法）；

固体潮计算：按照观测的日期、时刻、以及测点的经纬度，计算固体潮理论值，并对观测数据进行校正；

零点漂移：利用固体潮校正后的观测值，按观测方式的不同选择方法，进行仪器零点漂移校正；

归算：将零漂校正后的观测值归算到基点，得到测点重力值，或归算到测区起算点，得到相对重力值。

（2）零漂校正：

【1】单次观测校正 【2】往返观测校正 【3】三重小循环观测校正

其它问题：

1.A10、gPhone、CG-5的应用范围和精度。2.重力异常精度。

第五章

1.扰动位：

某点的重力位与正常重力位之差。

2.异常重力: 是指在地面上观测到的重力值与正常重力值相比较后的差值。

3.一般意义的重力异常: 一般意义上重力异常是指在地面上观测到的重力值与正常重力值相比较后的差值。一般异常概念：重力值与相应位置上的正常重力值之差，即

gg0。而这样的重力异常往往意义不明确，因为造成重力异常的原因有两个方面，一是地形起伏，二是地下物质分布不均。

4.自由空间校正：

将大地水准面或地球椭球面上的正常重力值换算到测点高程处正常重力值。

5.自由空间重力异常：

如果在起伏地表进行重力测量，地面重力将随着高程变化而变化。需对重力测量数据进行高度影响进行校正。

6.布格校正：

将中间层校正与自由空间校正合为一体，称为布格校正 *注：中间层校正：是以大地水准面或地球椭球面作为基准面，将以各测点高程为厚度的物质层在测点处产生的引力之铅锤分量，从重力观测值中减去。

7.地形校正: 将测点周围起伏地表与该测点所在水准面所包含的（无论高于或是低于测点的）物质在测点处产生的引力之铅锤分量加到观测重力值中。

8.布重力异常: 将测点上观测的重力值，经过自由空间校正、地形校正、和布格校正，再与正常重力进行比较，得到的重力异常只反映地下物质密度不均匀状态，这种异常称为布格异常

9.均衡校正：是指对重力测量资料的一种校正，它包括地形校正δgT和补偿校正δgc两个部分。重力值中考虑全球地形质量对观测点产生的重力影响所作的校正，称地形校正；考虑与地形质量相对应的补偿质量影响所作的校正，称补偿校正。

10.均衡异常：

若把地壳视为均衡的，按照均衡理论，根据高程和海水深度变化，将均衡地壳物质密度或厚度按正常地壳进行补偿——计算补偿物质产生的引力效应，作为均衡校正，把它从布格重力异常中减去，即可以得到均衡异常。均衡正异常—— 地壳物质盈余。均衡负异常—— 地壳物质亏缺。

11.引起地球重力（在地表）变化的主要原因分析：

(1)地球的形状——扁椭球体引力随纬度变化，在大地水准面上，两处最大，赤道处最小，两者相差约1800mGal；

(2)地球自转——惯性离心力随纬度变化，在大地水准面上，两极等于零，赤道最大，最大变化达3400mGal；

(3)地球表面起伏不平：

①测点距地心距离变化

②测点周边地表物质引力各异 ③地质构造和岩石的引力在个测点上不同(4)地球内部物质密度分布不均匀；

(5)太阳与月球的引力，最大变化达0.2mGal。

12.布格重力异常在高地平原和海洋地区的分布规律: 如果地形被补偿 —— 海平面以上的质量盈余被下方的质量亏损抵消，导致自由空间异常小，布格异常大且为负值；

如果地形没被补偿 —— 自由空间异常大且为正值，布格异常为零

13.剩余密度：

地质体密度(σ)和围岩密度(σ0)的差值，称为剩余密度。

14.剩余质量：

地质体的剩余密度和它体积的乘积称为地质体的剩余质量。用符号ΔM表示 15.密度界面：

将不同密度的地层分隔开的曲面

16.二度体：

引起二度异常的地质体称为二度体，如层状矿体、脉状矿体、向斜、背斜等。具有一定走向，且沿走向方向异常值变化不明显的异常，称为二度异常，它是二维空间坐标（x，z）的函数。当异常体沿着走向方向无限延伸，且在走向方向上异常体的埋深、截面形状、大小和异常特点都稳定不变，则称此种形状为二度体。17.三度体：

引起三度异常的地质体称为三度体，如囊状矿体、透镜体、岩株、岩筒等。没有明显走向的不规则异常，是三维空间坐标（x,y,z）的函数，这种异常称为三度异常。

18.地球物理正、反演的概念：

（1）所谓正演问题，就是给定地下某种地质体的形状、产状和剩余密度等，通过理论计算求取它在地面上或空间范围内引起的异常大小、特征和变化规律等，即“由源求场”。

（2）所谓反演问题，则是依据已获得的重力异常特征、大小、分布等，并结合地质、钻探及其他地球物理资料，求解重力场源体的空间位置、形状、大小、产状和场源密度等，即“由场求源”。

19.复杂形体正反演的基本思路：（1）任意多边形截面二度体的正演（2）复杂三度体的水平截面法

（3）其它形体组合法 立方体 垂直物质线段

（4）选择法

其它问题：

1.获得各种重力异常的方法、各种重力异常的物理含义：

2.重力异常资料处理的目的、异常划分、空间延拓、导数换算;

第六章

1.卫星重力测量的基本原理：

人造卫星在空间运行过程中，由于地球重力变化的影响，会使轨道产生偏离，这种偏离称为“轨道摄动”。利用测量技术，可以获得轨道摄动量，由此推算出地球重力球谐表达式中的球谐系数。

2.开普勒定律：

从天体力学可知，卫星在理想情况下运行的正常轨道可用开普勒三定律来描述，即

(1)卫星的轨道是椭圆，地球的质心位于椭圆的一个焦点；

(2)从地球质心引向卫星的向径，在相等的时间内扫过相等的面积；

(3)卫星绕地球运行周期的平方与卫星轨道长半轴的立方成正比。

3.卫星轨道根数：

如果卫星运行遵循开普勒定律，可以用6个参数来描述卫星在任意时刻的空间位置，这6个参数为（称为轨道根数）：

(1)轨道长半轴

a

(2)轨道偏心率

e

(3)轨道面倾角

i(4)升交点赤经

(5)近地点角距

（6)卫星过近地点的时刻（或真近点角υ）

其它问题：

1.卫星重力基本公式： 2.摄动位球谐表达式： 3.卫星重力异常表达式：

4.利用卫星轨道摄动卫星轨道根数确定引力位系数的基本思路。

第七章

1.地球的平动：

平动的概念就是指物体内部各点都具有相同的速度和加速度。在这里，各点平动是圆周运动，即A点与Oe点具有相同的向心加速度。

2.起潮力：

以月球为例，由于月球是绕月-地共同质心O 旋转，地球上各质点受到的离心力与月球引力的合力就是起潮力。月球和太阳相对地球位置不同时，地球上各质点受到的力的大小和方向都不同。

3.地月系统的惯性离心力：

地月系统围绕共同质心O点旋转的惯性离心力，可见，月球对地球提供的引力维持着地球绕O点作圆周运动，Oe点即受到月球的引力就等于该点的惯性离心力。

4.平衡潮：

假设地球是一个刚体，则在起潮力的作用下，地球所产生的一切潮汐现象都称为平衡潮。

5.刚体地球的重力固体潮、在地球是刚体的情况下，起潮力沿地球重力方向(即垂直于大地水准面的方向)的分量称为刚体地球的重力固体潮。

6.大地水准面潮汐、在地球是刚体的情况下，大地水准面就是覆盖在刚体地球表面的静止海水面。当有起潮力作用时，此大地水准面将因潮汐运动而发生形变。根据一般的原理，形变后的大地水准而形状如图中的虚线椭圆。此时原来大地水准面上的A点上升至A点，B点下降至B点。AA和BB称为大地水准面平衡潮高。这种现象称为刚体地球的大地水准面潮汐。

7.地倾斜固体潮；

对于刚体地球，沿大地水准面水平方向的起潮力分量gh将引起垂线方向的变化，这就是说，地球上任一点的垂线方向应是重力(减去起潮力垂直分量)与引潮力水平分量的合力方向。由于起潮力水平分量gh的作用使垂线方向g偏离了角(一般很小），因此可以写成：gh/g

由于垂线偏离，过A点的水平面发生同样的倾斜，这就相当于地平面的倾斜，这种垂线方向的变化称为地倾斜固体潮。

8.三种拉普拉斯潮的名称及特征、(1)长周期潮

(2)日潮

(3)半日潮

其它问题：

1.固体潮表现形式： 2.潮汐波分类：

3.起潮力位（包括太阳和月球）的（仅考虑二阶）基本表达式：

指导教授：梁青

第二篇：常用力学公式总结

1、胡克定律： F = Kx(x为伸长量或压缩量,K为倔强系

数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关)

2、重力： G = mg(g随高度、纬度而变化)

力矩：M=FL(L为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离）

5、摩擦力的公式：

(1)滑动摩擦力： f=μN

说明 ： a、N为接触面间的弹力，可以大于G；也可以等于G;也可以小于G 为滑动摩擦系数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面b、积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N无关.(2)静摩擦力： 由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解,与正压力无关.fm(fm为最大静摩擦力，与正压力有关) f静大小范围： O 说明：

a、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反，还可以与

运动方向成一 定 夹角。

b、摩擦力可以作正功，也可以作负功，还可以不作功。

c、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。

d、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。

Vg(注意单位）

6、浮力： F=

7、万有引力： F=GmM/r²

(1)． 适用条件(2)．G为万有引力恒量

(3)．在天体上的应用：（M一天体质量 R一天体半径 g一天体表面重力

加速度）

a、万有引力=向心力

G

b、在地球表面附近，重力=万有引力

mg=GmM/r² c、第一宇宙速度

mg = m V=

8、库仑力：F=K(适用条件)

9、电场力：F=qE(F 与电场强度的方向可以相同，也可以相反)

10、磁场力：（1）洛仑兹力：磁场对运动电荷的作用力。

V)方向一左手定公式：f=BqV(B（2）安培力 ： 磁场对电流的作用力。

I）方向一左手定则公式：F= BIL（B

Fy = m ayFx = m ax 

11、牛顿第二定律： F合 = ma 或者

理解：（1）矢量性（2）瞬时性（3）独立性（4）同一性

12、匀变速直线运动：

基本规律： Vt = V0 + a t S = vo t + a t2 几个重要推论：

(1)Vt2 － V02 = 2as（匀加速直线运动：a为正值 匀减速直线运动：a为正值）

(2)A B段中间时刻的即时速度: Vt/ 2 = = A S a t B

(3)AB段位移中点的即时速度: Vs/2 =

匀速：Vt/2 =Vs/2;匀加速或匀减速直线运动：Vt/2

(4)初速为零的匀加速直线运动,在1s、2s、3s¬……ns内的位移之比为12：22:32

……n2；在第1s 内、第 2s内、第3s内……第ns内的位移之比为1：3：5……(2n-1);在第1米内、第2米内、第3米内……第n米内的时间之比为1： ：

……（(5)初速无论是否为零,匀变速直线运动的质点,在连续相邻的相等的时间间隔内的位

s = aT2(a一匀变速直线运动的加速度 T一每个时间间隔的时间)移之差为一常数：

13、竖直上抛运动： 上升过程是匀减速直线运动，下落过程是匀加速直线运动。全过程

g的匀减速直线运动。是初速度为VO、加速度为

（1）上升最大高度： H =(2)上升的时间： t=

(3)上升、下落经过同一位置时的加速度相同，而速度等值反向(4)上升、下落经过同一段位移的时间相等。

（5）从抛出到落回原位置的时间：t =

（6）适用全过程的公式： S = Vo t 一 g t2 Vt = Vo一g t Vt2 一Vo2 = 一2 gS（S、Vt的正、负号的理解）

14、匀速圆周运动公式

=R=2 f R= 角速度：线速度: V=

向心加速度：a = 2 f2 R

向心力： F= ma = m 2 R= m m4 n2 R

注意：（1）匀速圆周运动的物体的向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心。

（2）卫星绕地球、行星绕太阳作匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。

（3）氢原子核外电子绕原子核作匀速圆周运动的向心力由原子核对核外电子的库仑力提供。直线运动公式：匀速直线运动和初速度为零的匀加速直线运动的合运动

水平分运动： 水平位移： x= vo t 水平分速度：vx = vo

 Vo =Vyctg = Vy = Votg竖直分运动： 竖直位移： y = g t2 竖直分速度：vy= g t tg

y Vo Vy = VsinV = Vo = Vcos

vo七个物理量中，如果 x)在Vo、Vy、V、X、y、t、已知其中任意两个，可根据以上公式求出其它五个物理量。vy v 16 动量和冲量： 动量： P = mV 冲量：I = F t 动量定理： 物体所受合外力的冲量等于它的动量的变化。

公式： F合t = mv’ 一mv(解题时受力分析和正方向的规定是关键)动量守恒定律：相互作用的物体系统，如果不受外力，或它们所受的外力之和为零，它们的总动量保持不变。（研究对象：相互作用的两个物体或多个物体）

p2=Op1 +p2 或p1 =一公式：m1v1 + m2v2 = m1 v1‘+ m2v2’或

适用条件：

（1）系统不受外力作用。（2）系统受外力作用，但合外力为零。

（3）系统受外力作用，合外力也不为零，但合外力远小于物体间的相互作用力。

（4）系统在某一个方向的合外力为零，在这个方向的动量守恒。(适用于恒力的功的计算）18 功 ： W = Fs cos（1）理解正功、零功、负功

（2）功是能量转化的量度

重力的功------量度------重力势能的变化

电场力的功-----量度------电势能的变化

分子力的功-----量度------分子势能的变化

合外力的功------量度-------动能的变化动能和势能： 动能： Ek =

重力势能：Ep = mgh(与零势能面的选择有关)动能定理：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化（增量）。

Ek = Ek2 一Ek1 = 21 机械能守恒定律：机械能 = 动能+重力势能+弹性势能公式： W合=

条件：系统只有内部的重力或弹力做功.Ek增Ep减 = 公式： mgh1 + 或者功率： P =(在t时间内力对物体做功的平均功率）

P = FV(F为牵引力，不是合外力；V为即时速度时，P为即时功

率；V为平均速度时，P为平均功率； P一定时，F与V成正比）简谐振动： 回复力： F = 一KX 加速度：a = 一

单摆周期公式： T= 2(与摆球质量、振幅无关）

弹簧振子周期公式：T= 2(与振子质量有关、与振幅无关）

24、波长、波速、频率的关系： V=γf =(适用于一切波)

第三篇：物理力学总结

1、力的定义

定义：力是物体对物体的作用

说明：定义中的“作用”是推、拉、提、吊、压等具体动作的抽象概括

2、力的概念

发生力时，一定有两个（或两个以上）的物体存在，也就是说，没有物体就不会有力的作用（力的物质性）

当一个物体受到力的作用时，一定有另一个物体对它施加了力，受力的物体叫受力物体，施力的物体叫施力物体。所以没有施力物体或没有受力物体的力是不存在的。（力的相互性）相互接触的物体间不一定发生力的作用，没有接触的物体之间也不一定没有力“接触与否”不能成为判断是否发生力的依据。物体间力的作用是相互的。

施力物体和受力物体的作用是相互的，这一对力总是同时产生，同时消失。

施力物体、受力物体是相对的，当研究对象改变时，施力物体和受力物体也就改变了

3、力的作用效果——由此可判定是否有力存在（1）可使物体的运动状态发生改变。

注：运动状态的改变包括运动快慢改变或运动的方向改变。（2）可使物体的形状与大小发生改变。（形变）

4、力的单位

国际单位制中，力的单位是牛顿，简称牛，用符号N来表示。1N大小相当于拿起2个鸡蛋的力。

5、力的测量

工具：测力计，实验室中常用的测力计是弹簧秤 弹簧秤的原理：弹簧受到的拉力越大，弹簧伸长就越长

6、弹簧秤的正确使用

观察弹簧秤的量程、分度值和指针是否指在零刻线上 读数时，视线、指针和刻度线应在同一水平面 被测力的方向应与弹簧伸长的方向一致

7、力的三要素

力的大小、方向、作用点叫力的三要素，都能影响力的作用效果

8、力的图示：用一根带箭头的线段把力的三要素表示出来

9、力的图示的作图方法

（1）画出受力物体：一般可以用一个正方形或长方形代表，球形可用圆圈表示。（2）确定作用点：作用点画在受力物体上，且画在受力物体和施力物体的接触面的中点，如受力物体和施力物体不接触或同一物体上受二个以上的力，作用点画在受力物体的几何中心。

（3）确定标度：如用1厘米线段长代表多少牛顿。

（4）画线段：从力的作用点起，按所定标度沿力的方向画一条直线，用来表示力的大小（5）标出力的方向：在线段的末尾画上箭头（含在线段内），表示力的方向（6）将所图示的力的符号和数值标在箭头的附近

10、力的示意图

某些情况下，只需要定性地描述物体的受力情况，不需要精确地表示出力的大小，则可以画力的示意图。

11、重力的概念

定义：地面附近物体由于地球吸引而受到的力叫重力（符号：G）

理解：①重力的施力物体是地球，它的受力物体是地面附近的一切物体。②重力的大小与物体的质量有关。

12、重力的三要素 大小：G = mg 方向：总是竖直向下（垂直水平面向下）

作用点：重力的作用点在物体的重心上。其中形状规则，质量分布均匀物体的重心在它的几何中心

13、摩擦的种类

滑动摩擦、滚动摩擦、静摩擦 滚动摩擦力远小于滑动摩擦力

14、滑动摩擦力的影响因素

①与物体间的压力有关 ②与接触面的粗糙程度有关

与物体的运行速度、接触面的大小等无关

15、增大有益摩擦，减小有害摩擦的方法

增大有益摩擦：①增加物体间的压力 ②增大接触面的粗糙程度

减小有害摩擦：①减小物体间的压力 ②减小接触面的粗糙程度

16、合力的概念

合力：如果一个力产生的效果跟两个力共同作用产生的效果相同，这个力就叫做那两个力的合力

理解：①合力的概念是建立在“等效”的基础上，也就是合力“取代了分力，因此合力不是作用在物体上的另外一个力，它只不过是替了原来作用的两个力，不要误认为物体同时还受到合力的作用。②两个力合成的条件是这两个力须同时作用在一个物体上，否则求合力无意义。

17、力的合成

已知几个力的大小和方向，求合力的大小和方向叫做力的合成

（1）当两个力方向相同是时，其合力的大小等于这两个力之和；方向与两力的方向相同 数学表述：F合 =F1 + F2（2）当两下力方向相反时，其合力的大小等于这两个力之差，方向为较大力的方向 数学表述：F合 = F1-F2（其中：F1 > F2）

九、力与运动

1、平衡力

平衡力：物体在两个力的作用下能保持静止或匀速直线运动状态，则称这两个力是一对平衡力，或叫作二力平衡

平衡力的条件（或特点）：同体、等值、反向、共线

其中是否作用于同一物体是两个力是一对平衡力还是一对相互作用力的关键

2、牛顿第一定律

内容：一切物体在没有受到外力作用时，总保持静止或匀速直线运动状态 ①静止的物体在不受外力作用时总保持静止状态

②运动的物体在不受外力作用时总保持匀速直线运动状态（2）牛顿第一定律是理想定律（3）物体不受力，一定处于静止或匀速直线运动状态，但处于静止或匀速直线运动状态的物体不一定不受力

3、惯性

惯性：物体保持原有的运动状态不变的性质叫做惯性

①惯性是物体的固有属性，一切物体在任何情况下都具有惯性

② 惯性的大小只与物体的质量有关，而与物体是否运动、运动的快慢、是否受外力等都没有关系

③惯性不是“力”，叙述时，不要说成“物体在惯性的作用下”或“受到惯性的作用”等说法

十、压强

1、压力

压力：垂直作用在物体表面上的力叫做压力，压力的方向与被压物体的表面垂直

注：压力与重力①重力可以产生压力，但压力并不都是由重力产生的②压力方向总是与被压物体的表面垂直，而重力的方向始终是竖直向下③压力的施力物体可以是各种物体，而重力的施力物体肯定是地球

2、压强

（1）用来描述压力作用效果的物理量（2）定义：物体单位面积上受到的压力

（3）公式：p＝F/S 该式对固体、气体、液体压强都适用 ①S指的是物体的受力面积。

②对于放在水平面上的柱形物体，当其不受外力时，可以依据密度和高度来比较不同物体对支持面产生压强的大小。P＝ρgh（4）单位：帕斯卡（Pa）（5）增大压强与减小压强的方法 压强的改变方法原理

利用公式：p＝F/S 该式对固体、气体、液体压强都适用

增大压强与减小压强的方法

增大压强的方法：

若受力面积S不变,压力F变大,压强P也变大.若压力F不变,受力面积S变小,压强P也变大.减小压强的方法：

若受力面积S不变,压力F变小,压强P也变小.若压力F不变,受力面积S变大,压强P也变小.3、液体压强

（1）液体内部压强的特点：①液体内部向各个方向都有压强②压强随深度的增加而增大③同一液体的同一深度向各个方向的压强相等（2）液体压强的产生原因：液体受到重力（3）计算公式：p＝ρgh

该式只适用与液体内部的压强计算式中ρ是指液体的密度，h是指研究点到自由液面的竖直高度

（4）测量工具：压强计

（5）应用：连通器（船闸、牲畜自动喂水器等）

连通器原理：静止在连通器内的同种液体，各个与大气直接相接触的液面总是相平的

4、气体压强

（1）大气压强产生的原因：大气受到重力

（2）验证大气压存在的实验―――马德堡半球实验、覆杯实验、吞蛋实验等（3）大气压的测定――――托里拆利实验 1atm＝1.013×105Pa＝76cmHg＝10.34mH2O ①判断管内是否混有空气的方法：将玻管倾斜看水银能否充满全管

②玻璃管内水银柱的高度与外界的大气压强有关，与管的粗细、插入水银中的深度、是否倾斜都没有关系

（4）大气压的影响因素①与高度有关②与气候有关 大气压的测量工具：气压计（水银气压计与无液气压计）

（5）气体压强与体积的关系：在温度不变的条件下，一定质量的气体，体积减小，压强增大

（6）液体压强与流速的关系：流体在流速大的地方压强较小，在流速小的地方压强较大

十一、浮力

1、浮力产生的原因：物体受到液体或气体对其向上与向下的压力差产生的

2、阿基米德原理

① 内容：浸在液体或气体中的物体要受到液体或气体对它竖直向上的浮力，浮力的大小等于物体排开液体或气体的重

② 公式:F浮＝G排＝m排g＝ρ液gV排

(1)浮力的大小只与物体所排开液体的体积及液体的密度有关，而与物体所在的深度无关。(2)如果物体只有一部分浸在液体中，它所受的浮力的大小也等于被物体排开的液体的重量。(3)阿基米德定律不仅适用于液体，也适用于气体。物体在气体中所受到的浮力大小，等于被物体排开的气体的重量。

当液体密度不变时，物体排开液体的体积越大，浮力越大。当物体排开的液体体积不变时，液体密度越大，浮力越大。当液体密度和排开液体体积的乘积越大，浮力越大。反之，就越小．

浮力的大小只与物体所排开液体的体积及液体的密度有关，与物体的密度无关，与物体的体积无关，（物体漂浮时一半在水面上，一半在水下．只有浸没时，物体排开液体的体积才等于物体的体积）与物体所在的深度无关。

3、物体的浮沉条件

上浮：F浮>G 悬浮：F浮＝G 下沉：F浮

①ρ物<ρ液，上浮 ②ρ物＝ρ液，悬浮 ③ρ物>ρ液，下沉

4、物体浮沉条件的应用

潜水艇是通过改变自身的重来实现浮沉的；热气球是通过改变自身的体积来实现浮沉的；密度计的工作原理是物体的漂浮条件，其刻度特点是上小下大，上疏下密。

5、有关浮力问题的解题思路

浮力问题是力学的重点和难点。解决浮力问题时，要按照下列步骤进行：(1)确定研究对象。一般情况下选择浸在液体中的物体为研究对象。

(2)分析物体受到的外力。主要是重力G（mg或ρ物gV物）、浮力F浮（ρ液gV排）、拉力、支持力、压力等。

(3)判定物体的运动状态。明确物体上浮、下沉、悬浮、漂浮等。

(4)写出各力的关系方程和由题目给出的辅助方程。如体积间的关系，质量密度之间的关系等。

(5)将上述方程联立求解。通常情况下，浮力问题用方程组解较为简便。（6）对所得结果进行分析讨论。

第四篇：弹性力学总结

弹性力学关于应力变分法问题

一、起源及发展

1687年，Newton在《自然哲学的数学原理》中提出第一个变分问题——定轴转动阻力最小的旋转曲面形状问题； 1696年，Bernoulli提出了著名的最速降线问题；到18世纪，经过Euler，Lagrange等人的努力，逐渐形成变分法。古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，它为许多数学、物理、科技、工程问题提供了强有力地数学工具。现代理论证明，微分方程（组）中的变分法是把微分方程（组）化归为其对应泛函的临界点（即化为变分问题），以证明其解的存在性及解的个数。讨论对应泛函临界点的存在性及其个数的基本方法是Morse理论与极小极大理论（Minimax Theory）。变分法有着深刻的物理背景，某种意义上，自然界一切物质运动均可以用某种形式的数理方程表示，一般数理方程又与一定的泛函相对应，所以一切物质运动规律都遵从“变分原理”。

由于弹性力学变分解法，实质上就是数学中的变分法应用于解弹性力学问题，虽然在讨论的近似解法中使用变分计算均甚简单（类似微分），但“变分”的概念却极为重要，它关系到我们队一系列力学变分原理中“虚”的概念的建立与理解。以下，就应力变分法进行讨论。

二、定义及应用

（1）、应力变分方程

设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡。命ij为实际存在的应变分量，它们满足平衡微分方程和应力边界条件，也满足相容方程，其相应的位移还满足位移边界条件。现在，假想体力和应变边界条件上给定的面力不变而应力分量发生了微小的改变ij，即所谓虚应力或应力的变分，使应力分量成为ijij

假定他们只满足平衡微分方程和应力边界条件。

既然两组应力分量都满足同样体力和面力作用下的平衡微分方程和应力边界条件，应力分量的变化必然满足无体力时的平衡微分方程。即

xxyzx0,xyz

（a）yyzxy0,yzxzzxyz0。zxy在位移给定的边界上，应力分量的变分必然伴随着面力分量的变分fx、fy、f。z

根据应力边界条件的要求，应力分量的变分在边界上必须满足

lxmxynzxmynlf,yzxyy

（b）

nzlm。fzxyzzxf,则应变余能的变分应为

VCvcdxdydz(vcxxvcyz)dxdydz。

vvcvx，cy，cz

xzyvcvvyz，czx，cxy

zxyzxy将上式代入，得

VC(xx再将几何方程代入，得

yzyz)dxdydz。

wv()yzyzuVC[xx]dxdydz。

根据分部积分和奥—高公式，对上式右边进行处理：

uxdxdydzluxdSu(x)dxdydz, xx最后可得

Vc[u(lxmxynzx)]dS[u(xxyzx)xyz]dxdydz。

再将（a）、（b）代入，即得

Vc=(ufyfwz)f。d

S

xv这就是所谓应力变分方程，有的文献把它叫做卡斯蒂利亚诺变分方程。最小余能原理：

Vc(ufxvfywfz)dS0。

上式也可以改写为：

[Vc(ufxvfywfz)dS]0。

（2）、应力变分法

由推到出的应力变分方程，使其满足平衡方程和应力边界条件，但其中包含若干待定系数，然后根据应力变分方程解决这些系数，应力分量一般可设为：

ijij0Amijmm

（c）

其中Am是互不依赖的m个系数，ij0 是满足平衡微分方程和应力边界条件的设定函数，ijm是满足“没有体力和面力作用时的平衡微分方程和应力边界条件”的设定函数。这样，不论系数A m如何取值，ij0总能满足平衡微分方程和应力边界条件。

注意：应力的变分只是由系数Am的变分来实现。

如果在弹性体的每一部分边界上，不是面力被给定，便是位移等于零，则应力变分方程 得vc0，即： Vc0

（d）Am

应变余能Vc是Am的二次函数，因而方程（d）将是Am的一次方程。这样的方程共有m个，恰好可以用来求解系数，Am从而由表达式（c）求得应力分

量。

如果在某一部分边界上，位移是给定的，但并不等于零，则在这一部分边界上须直接应用变分方程（11-18），即

Vc(ufxvfywfz)dS。在这里，u、v、w是已知的，积分只包括该部分边界，面力的变分与应力的变分两者之间的关系即：

fxlxmxynzx,fymynyzlxy,fznzlxzmyz。

带入方程的右边积分后，将得出如下的结果：

(ufxvfywfz)dSBmAm。m

其中Bm是常数，另一方面，我们有：

U*Vc=Am。mAm 因而得：

VcBm。(m1,2,)Am

这将仍然是Am的一次方程而且总共有m个，仍然可以用来求解系数Am，从而由表达式（c）求得应力。

（3）、应力函数方法

由于应力分量的数量有点多，确定起来较为困难，通常用应力函数方法。在平面应力问题中，如果体力分量为常数，则存在应力函数。将应力函数设为：

0Ammm,其中Am为互不依赖的m个系数。这样就只需使0给出的应力分量满足实

际的应力边界条件，并使m给出的应力分量满足无面力时的应力边界条件。

在平面应力问题中，有zyzzx0，而且x、y、xy不随坐标z而变。在z方向取一个单位厚度，则用应力分量表示的应变余能表达式为

Vc1[x2y22xy2(1)xy2]dxdy。

2E1+2[(1)(x2y2)2xy2xy]dxdy。

2E对于平面应变问题，Vc如果所考虑的弹性体是单连体，体力为常量，应力分量x、y、xy应当与可以取=0，于是平面应力情况下的表达式和平面应力情况下的表达无关，式都简化为

Vc1(x2y22xy2)dxdy。2E即得用应力函数表示应变余能的表达式

122222Vc[(2fxx)(2fyy)2()]dxdy。2Eyxxy在应力边界问题中，因为面力不能有变分，Vc0。应为应力分量以及应变余能的变分是通过系数Am的变分来实现的，所以上式归结为

Vc0 Am将将应力函数表达式代入，即得

2222[(2fxx)()(fyy)()yAmy2x2Amx2

222()]dxdy0,xyAmxy(m1,2,)

可以用来决定系数Am，从而确定应力函数，再由应力函数求得应力分量。

由于是近似解，应力分量不能精确满足相容条件，由应力分量求得的应变分量也不能精确满足变形协调条件，不能根据几何方程求得位移分量。

应力函数法的要点是要找到满足全部边界条件的应力函数，二这种函数一般任然难以找到，尤其在边界不规整的情况下。所以应力方法的应用在这一点上受到极大的限制。

（4）、典型例题：

例1：设有宽度为2a，高度为b的矩形薄板，左右两边和下边被固定约束，上边的位移被给定为u0应力分量。

解：取坐标系底部为x轴，对称轴为y轴，则该问题是一个轴对称问题——及约束情况，几何形状以及所受的外来因素都对称于某个坐标轴。本题中，对称轴显然是y轴。这样，位移u,v关于y轴对称。

首先考察位移u：

薄板左右两边：(u)xa0（说明u中含有(x2a2)项或(a2x2)项）

薄板下边：(u)y00（说明u中含有（y-0)项）

薄板上边：(u)yb0（说明u中含有（y-b)项或(b-y)项）

所以u所以表达成：uA1(a2x2)y(by)（这里m=1,即取一个系数A1）

由此可得u,v的表达式为：

x2v(12)，不计体力。试求薄版的位移分量和

ax2xyyuA1(12)(1)aaaa  22xyxyyv(12)B1(12)(1)ababb(u)xz0可以满足位移边界条件：

(v)xa0(v)y00(v)ybx2(12)a

(u)y00(u)yb0由于u是x的奇函数，v是x的偶函数，对称条件满足。

xx3yy2此外，由（i）得：u1(3)(2)aabbx2yy2v1(12)(2)

abb即UEab(A1B12vA1B1)

2(1v2)由UUfu1ds,fv1ds

xyA1B1UUq1ab,q2ab A1B1Eab(2A12vB1)q1ab22(1v)Eab(2B12vA1)q2ab22(1v)q1vq2qvq1,B12EEq1vq2q2vq1 ux,vyEEA1例2：已知悬臂梁，抗弯刚度为EI，求最大挠度值。

解：设w(a2x2a3x3)满足固定端的边界条件。

LxFwx00,w'x00

2在不考虑剪切效应时，直杆弯曲的应变能为，1lM2(x)1d2wudxEIdx 202EI2dx下面用最小势能原理来确定参数，u1M(x)EIdx(2a26a3)dx002EI2vFwxLF(a2L2a3L3)ll2EIl23EtUV(2a6a)dxF(aLaL)23230222

由最小势能原理

Et0Et1l24(2a6a)dxFL0230a22EIEt1l312(2a6a)dxFL0230a22EI

三、总结与思考

所谓弹性力学的变分解法就是基于力学能量原理求解弹性力学的变分方法，这种方法从其本质而言，是要把原来在给定的边界条件下求解的微分方程组的问题变为泛函求极值的问题，而在求问题的近似解时，泛函的极值问题又可变成函数的极值问题，因而最终把问题归结为求解线性代数方程组。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。

应力变分法在力学领域内同样拥有很高的地位，这正说明了力学在学术界的重要地位，通过应力变分法地学习，许多难题将更容易得到解答，所以，在以后的学习生活中，我们将不会停止对力学的探究和学习，相信力学对我们的影响将是巨大的。

参考文献：【1】弹性力学 第四版 徐芝纶 高等教育出版社

【2】弹性力学复习解题指导致 王俊民 同济大学

【3】弹性力学理论概要与典型题解 王光钦 西南交通大学出版社

【4】弹性力学内容精要与典型题解 刘章军 水利水电出版社

第五篇：理论力学期末冲刺重点试题

理论力学期末冲刺题

一、填空题：

二、计算题：

7-14 已知小球P在圆弧形管内以相对速度v运动，圆弧形管与圆盘O刚性连接，并以角速度ω绕O轴转动，BC=2AB=2OA=2r。在图示瞬间θ=60°。试求该瞬时小球P的速度与加速度。

三、其他题型：

3-1 槽型钢受力如图所示。求此力向截面形心C简化的结果。

4-1 已知一物块重P=100N，用水平力F=500N的力压在一铅直表面上，如图所示，其静摩擦因素fs=0.3。问此物块所受的摩擦力等于多少？

4-19 一运货升降箱重P1，可以在滑道间上下滑动。今有一重P2的货箱，放置于箱子得一边如图。由于货物偏于一边而使升降箱的两角与滑到摩擦。设其间的静摩擦因素为fs，求箱子匀速上升或下降而不被卡住时平衡重P3的值。

8-4 图示平面机构中，曲柄OA=R，以角速度w绕O轴转动。齿条AB与半径为r=R/2的齿轮相结合，并由曲柄梢A带动。求当齿条与曲柄的交角θ=60°时，齿轮的角速度。

9-15 三角板在滑动过程中，其顶点A和B始终与铅垂墙面以及水平地面相接处。已知AB=BC=AC=b，VB=V0为常数。在图示位置，AC水平。求此时顶点C的加速度。

10-9 滑块A的质量为m，因绳子的牵引而沿水平导轨滑动，绳子的另一端缠在半径为r的鼓轮上，鼓轮以等角速度ω转动。若不计导轨摩擦，求绳子的拉力大小F和距离x之间的关系。

10-13 质量为m1、长为l的均质杆OD，在其端部连接一质量为m2、半径为r的小球。杆OD以匀角速度w绕基座上的轴O转动，基座的质量为m。求基座对突台A,B的水平压力与对光滑水平面的垂直压力。