基本计数原理-排列组合习题%%%

第一篇：基本计数原理-排列组合习题%%%

基本计数原理、排列与组合

常见的解题策略有以下几种：

（1）特殊元素优先安排的策略

（2）合理分类和准确分布的策略

（3）排列、组合混合问题先选后排的策略

（4）正难则反、等价转化的策略（5）相邻问题捆绑的策略

（6）不相邻问题插空处理的策略（7）定序问题除法处理的策略

（8）分排问题直排处理的策略

（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略

（10）构造模型的策略。典例精析：

题型一：分类加法计数原理、分布乘法计数原理的应用

例1.（1）在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个

.（2）已知集合M={-3，-2，-1，0，1，2}，P（a,b）表示平面上的点（a,bM）

问：（1）P表示平面上多少个不同的点？

（2）P表示平面上多少个第二象限的点？(3)P表示多少个不在直线y=x上的点？

题型二：两个计数原理的综合应用 例2.用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字比2000大的四位偶数。

题型三：排列应用题 例4.7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种排法？

（1）甲排头

（2）甲不排头，也不排尾

.（3）甲、乙、丙三人必须在一起

（4）甲乙之间有且只有两

人

.（5）甲、乙、丙三人两两不相邻

.（6）甲在乙的左边（不一定相邻）

.（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序

.（8）甲不排头，乙不排当中

.题型四：组合应用问题

例：7名男生和5名女生选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？

（1）A、B必须当选

（2）A、B必不当选（3）A、B不全当选

（4）至少有两名女生当选

计数原理与排列组合练习题

1、一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混

合双打，共有______________种不同的选法。

2、从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共____种不同的走法。

3、为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同种植密度，3种不同播种时间的因素下进行种植实验，则不同的实验

方案共有____种。

4、某电话局的电话号码为，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话

号码一共有________________个。5、4个小电灯并联在电路中，每一个电灯均有亮与不亮两种状态，总共可表示

__________ 种不同的状态，其中至少有一个亮的有__________种状态。

6、（1）若1≤x≤4，1≤y≤5，则以有序整数对（x、y）为坐标的点共有多少个？（2）①每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有__________种 若x,y∈N且x+y≤6，则有序自然数对有多少个？

7、某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成，（1）从中选出1人担任组长，有多少种不同选法？

（2）从中选出两位不同国家的人为成果发布人，有多少种不同选法？

8、（1）3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案？

（2）若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不同的夺冠方案？

9、将3封信投入4个不同的信箱，共有________________种不同的投法；3名学生走进有4个大门的教室，共有________________种不同的进法；3个元素的集合到4个元素的集合的不同的映射有________________个。

10、在一次读书活动中，有5本不同的政治书，10本不同的科技书，20 本不同的小说书供学生选用，（1）某学生若要从这三类书中任选一本，则有多少种不同的选法？（2）若要从这三类书中各选一本，则有多少种不同的选法？

（3）若要从这三类书中选不属于同一类的两本，则有多少种不同的选法？

11、某市提供甲、乙、丙和丁四个企业供育才中学高三级3个班级进行社会实践活动，其中甲是市明星企业，必须有班级去进行社会实践，每个班级去哪个企业由班级自己在四个企业中任意选择一个，则不同的安排社会实践的方案共有___________种。

12、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1，2，3，任取3面，它们的颜色与号码均不相同的取法有___________种

13、有四位学生参加三项不同的竞赛，②每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有__________种

③每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有_________种

14、四面体的一个顶点为A，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 A．30种

B．33种

C．36种

D．39种

15、圆周上有8个等分点，以这8个点为顶点作直角三角形，共可作不同的直角三角形的个数是

A．56

B．2C．16

D．1217、设直线的方程是AxBy0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是

A．20

B．19

C．18

D．16

18、(1)3个不同的球，放入4个不同的盒内．

(2)在(1)中每个盒内至多放一个球．

(3)3个相同的球，放入4个不同的盒内． 问各有多少种不同的放法？

19、从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（）

A．108种

B.186种

C.216种

D.270种

20、在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）

A．6

B.12

C.18

D.24

21、高三

（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）

A．1800 B.3600 C.4320 D.5040

22、将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？

不同的分配方案有（）

A）３０种

（B）９０种（C）１８０种

（D）２７０种

23、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）

A．10种

B．20种

C．36种

D．52种

24、某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有__________种 25、5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）

（A）150种(B)180种

(C)200种(D)280种

26、用0,1,2,3,4,5六个数字：

(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？

3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？（

第二篇：教案01-绪论计数原理排列组合.

教学对象 计划学时 2

管理系505-13、14、15；经济系205-

1、2 授课时间

2006年2月28日；星期二；1—2节

一、概率绪论（用自制的教学软件进行随机游戏演示）

教学内容

二、计数原理——加法原理与乘法原理的复习

三、排列与组合

通过教学，使学生能够：

1、了解概率统计的发展史，学习内容

2、培养对概率的学习兴趣

3、利用计数原理与排列组合计算完成某件事的方法数。

教学目的

知 识：

1、了解概率的发展简史与研究内容；

2、掌握排列与排列数公式；

3、掌握组合与组合数公式；

4、排列与组合的应用；

教学重点 排列与组合的概念

教学难点 解决实际问题时排列与组合的区别

教学资源 自编软件（用于多媒体演示），多种颜色的玻璃球若干个（以备实验）

教学后记

培养方案或教学大纲

修改意见 对授课进度计划 修改意见 对本教案的修改意见

技能与态度

1、对随机现象有正确的认识；

2、用科学态度对待随机现象；

3、科学计算的认真态度。

《概率与数理统计》教案01<> 教学资源及学时 调整意见 其他 教研室主任：

系部主任：

绪论（15分钟）

《概率与数理统计》是研究随机现象数量规律性的数学学科，其特点是理论严谨,应用广泛,发展迅速。目前,在全国的各种高等学校中，无论是本科院校还是高职高专，很多专业都开设了这门课程。它也是很多专业的本科生报考研究生的必考内容之一，希望大家能认真学好这门重要课程。

概率论是一门研究随机现象的数量规律的学科，它是数学的一个分支。概率(或几率)——是随机事件出现的可能性的量度，它起源于对赌博等博弈问题的研究

一、概率的起源

在欧洲文艺复兴时代，15世纪末的法国和意大利盛行赌博，不仅赌法复杂，而且赌注量大，一些职业赌徒迫切需要计算取胜的机会。

比如：一位意大利贵族向天文学家伽利略请教的问题是：“掷3颗骰子，出现9点与出现10点均有6种组合，但经验发现出现10点的机会要多些，是否符合数学规律？”，伽利略从组合数的角度对问题进行了解释，被认为是概率研究的首次成果。

九点（126，135，144，225，234，333）十点（136，145，226，235，244，334）

法国的赌徒麦尔（梅耳）(Mere)向法国的数学家帕斯卡(Pascal)提出两个问题——（1）将一颗骰子掷4次至少出现一个6点的机会是否比将两颗骰子掷4次至少出现一

《概率与数理统计》教案01<> 对6点的机会大？（著名的梅耳猜想），帕斯卡与费马经过通信讨论，最终解决了这一问题；（2）“一个赌徒用一颗骰子要在八次投掷中掷出一个六点，他开始三次都未成功，如果放弃>

d上面这两种情况出现的可能性相同，所以，甲应得的赌金为的赌金为d。

费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况： 情况： １

２

３

４ 胜者：甲甲

甲乙

乙甲

乙乙 141d23d，乙应得24前3种情况，甲获全部赌金，仅>

3414义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。

三、概率论理论基础的建立：

经过二十多年的艰难研究，雅各·贝努利在1713年出版了概率论的>

一、复习导入新课 复习内容：（10分钟）

实例说明

中学阶段的计数原理是以后学习概率的基础，统

理解用途

计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关。在日常工作和生活中，只要涉及到很多方案的选择问

题，都可以应用它们来解决。

加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，明确加法原理的讲解

在> 飞机，也可以乘轮船。从甲地到丙地，共有多少种不同的走法？

教师归纳：（3分钟）

在学生对问题的分进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥使学生在应用两析不很清的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成个基本原理时，楚时，教这件事．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，思路进一步清晰师及时地否则不可以．

和明确．从而深进行归纳如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不入理解两个基本和小结 可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而原理中分类、分各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，步的真正含义和下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事实质 的方法数时，就可以直接应用乘法原理． 导入新课：（2分钟）

计数原理能在很多情况下，求得完成某件事的方引出学习排列与法总数。但对有些问题来说，如果都用计数原理来求组合的目的 解，则显得过于烦琐，为了简化求解方法，我们还要学习排列与组合的概念及方法——这是今天要学习的内容。

1．正确理解排列、组合的意义．

2．掌握写出所有排列、所有组合的方法，加深对分类讨论

二、明确学习目标

方法的理解．

3．培养学生的概括能力和逻辑思维能力。

三、知识学习

1、排列（8分钟）

《概率与数理统计》教案01<>

例．北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？

生甲：首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2=6种飞机票．

师：生甲用加法原理解决了准备多少种飞机票问题．能否用乘法原理来设计方案呢？

生乙：首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法．即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选．那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有3×2=6种．

定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定顺序排成的一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

找学生用加法原 理求解

逐步引导

逐步引导

找学生用乘法原 理求解

老师点评，得出结论：乙的方法更

理解并掌握排列简洁。由的概念

掌握计算公式

明确相同排列的含义

此引出排列概念

逐步推导

排列数计算公式（由乘法原理求得）

Amn=n(n-1)…(n-m+1)排列说明：取出的元素要“按照一定的顺序排成一列”，只要交换位置，就是不同的排列．如飞机票、通信封数、减法

《概率与数理统计》教案01<> 与除法运算的结果都属于这一类。

2、组合（10分钟）

下面考虑另一类问题：取出的元素，不必管顺序，只有取不同元素时，才是不同的情况，如飞机的票价，打电话的次数、加法与乘法的运算结果都属于这一类．

定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

说明：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。

一定要认真体会排列与组合的区别在于与顺序是否有关，在以后的各种实际应用题中要区别清楚才能寻找正确解题途径．

和排列一样，还需要区分清楚“一个组合”和“组合种数”这两个概念．一个组合不是一个数，而是具体的一件事

理解并掌握组合的概念

明确相同组合的含义

掌握计算公式

组合数公式（将排列数的计算分成两步）：

mm由Amn= CnAm得

mAnn(n1)(nm1)C=m=

m!Ammn

四、技能学习（20分钟）

排列与组合的应用

1、有条件限制的排列问题

例1、5个不同的元素a，b，c，d，e每次取全排列．（1）a，e必须排在首位或末位，有多少种排法？

《概率与数理统计》教案01<>（2）a，e既不在首位也不在末位，有多少种排法？（3）a，e排在一起有多少种排法？（4）a，e不相邻有多少种排法？

（5）a在e的左边（可不相邻）有多少种排法？

掌握有关排列组合问题的基本解（教师出题后向学生提出要求；开动脑筋，积极思维，法，提高分析问畅所欲言，鼓励提出不同解法，包括错误的解法）

教师小结：排列应用题是实际问题的一种，解应用问题的指导思想，弄清题意、联系实际、合理设计．调动相关的知识和方法是合理设计的基础．例1是排列的典型问题，解题方法可借鉴．排列问题思考起来比较抽象，“具体排”是一种把抽象转化具体的好方法．

例

2、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）．

（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种

先让学生独立作，教师巡视，然后归纳不同的解法．

（二）有条件限制的组合问题

例

3、已知集合A=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数．

（三）排列组合混合问题

例

4、从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E这五项工作，一共有多少种分配方案．

题与解决问题的能力．

通过对典型错误的剖析，使学生克服解题中的“重复”与“遗漏”等常见错误．

培养思维的深刻错误分析

五、态度养成

性与批判性品质

六、实际解题训练（10分钟）

通过实际训练，学生练习1．设有4个不同的红球，6个不同的白球，每次取出4个球，取1个红球记2分，取1个白球记1分，使得总分不大于5分的取球方法数为

2．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有[

] A．60个

B．48个

C．36个

C．24个

使学生掌握解排老师巡列组合问题基本视，解答思想和基本方法 问题

《概率与数理统计》教案01<>

七、课堂小结（2分钟）

解排列组合应用问题，首先要抓典型问题．如例1是排列常见的典型问题，例3是组合问题，例4是排列组合混合问题．通过典型问题掌握基本方法，这是解排列组合应用问题首先要做到的．

排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思考起来又比较抽象．“具体排”是抽象转化为具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一．“具体排”可以帮助思考，可以找出重复、遗漏的原因．有同学总结解排列组合应用题的方法是：“想透、排够不重不漏，”是很有道理的．

解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计合理的解题方案，在这里抽象与具体、直接法与间接法、全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用．

概括总结，帮助学生构建知识体

简要概括

系、明确排列组

本节内容

合的解题目标和对态度的要求。

八、布置作业

1．空间有五个点，其中任何四点不共面，以每四个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？（5个）

2．用0，2，3，5可以组成多少个数字不重复且被5整除的三位数？（10个）

3．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？（9种）

4．3个人坐在一排9个座位上，每人左、右两边都有空位子，这样的排法有_____种．

5．将5名学生分配到4个不同的科技小组、每组至少1人的分配方案有_____种．

6．预习>

培养做事认真的态度和习惯

《概率与数理统计》教案01<>

第三篇：两个基本计数原理教案

第一章计数原理

第1节两个基本计数原理 教材分析

本节课《分类计数原理与分步计数原理》是苏教版普通高中课程标准试验教科书（选修2-3)第一章第一节的内容，是本章后续知识的基础,对后续内容的学习有着举足轻重的作用,另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器，是人们思考问题的最根本方法.学情分析

高二学生已具备一定的数学知识和方法，能很容易的接受两个原理的内容，并应用原理解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”．虽然学生已经具备了一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养．另外，学生的求知欲强，参与意识，自主探索意识明显增强，对能够引起认知冲突，表现自身价值的学习素材特别感兴趣。但在合作交流意识欠缺，有待加强.目标分析 ⑴知识与技能

①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容

②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题． ⑵过程与方法

①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学会应用

②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并应用它们解决实际问题 ⑶情感、态度、价值观

树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣.教学重难点分析

教学重点：分类计数原理与分步计数原理的掌握

教学难点：根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题． 教法、学法分析 教法分析：

①启发探究法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。学法分析：本节课要求学生自主探究，学会用类比的思想解决问题，树立学生的合作交流意识.教学过程

一、创设情境：对于分类计数原理设计如下情境（看多媒体）： 该情境是原教材上情境经过加工设计的，比原教材情境更加贴近学生生活，能够增强学生的有意注意，激发学生的兴趣，调动学生的主动性和积极性,从而进入思维情境接着是对情境的处理：

在情境处理过程中要启发学生由特殊情形归纳出一般原理,遵循由简单到复杂的认知规律，我处理情境的办法是：

第一步在解决问题时首先让学生尝试分析,然后由学生代表分析解答，教师及时给出评价，并由老师给出解题过程，在这里由老师按分类计数原理给出解题过程，为学生顺利总结概括出原理做好铺垫.第二步对原问题加以引申：若当天有4次航班，则有多少种不同方法？ 设计的意图是让学生更清楚的认识到总方法数是各类方法数之和.第三步提出问题：你能否尽可能简练的总结出问题1中的计数规律？

接着由学生分组讨论、总结问题1中计数规律，这样由学生总结归纳，并通过讨论准确叙述出分类计数原理，可以提高学生的数学表达意识，激发合作意识和竞争意识，体验获得成功的喜悦，也就完成了情感目标.第四步由教师板书分类计数原理(加法原理）并说明由于总方法数是各类方法数之和，树立学生平时学习生活中的讲道理意识.在分类计数原理中设计如下问题情境，问题2与问题1的背景一样：都是乘车方法的计数问题.对于问题2的处理办法是：第一步由学生自主尝试分析解答，但该问题并没有问题1般简单所以就有了第二步教师电脑屏幕显示分析及解题过程，利用多媒体显示动画，辅助分析，展示不同的走法,帮助学生更直观的解决问题，然后由感性进入理性，这也符合一般的认知规律.第三步问题引申将问题引申为若从兰州到天水新增一辆4号汽车，则有多少种乘车方法？ 设计的意图是：通过引申让学生更加清楚的认识到总方法数是各步方法数相乘.第四步提出问题：你能否对照分类计数原理，归纳概括出问题2蕴含的计数规律,并尝试命名，这样设计一可指导学生通过类比给出分步计数原理，渗透类比思想第二也可在自主探究中掌握本节重点，当然重点的突破也为难点突破打下了知识基础 第五部教师板书：分步计数原理（乘法原理），由学生说明其称为乘法原理的理由.分步计数原理(乘法原理)：

做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，„„，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2ׄ×mn种不同的方法.二、建构数学

在总结出两个计数原理的基础上让学生进行如下三个问题的探究，初步突破难点.探究1：对比两计数原理，指出相同点与不同点 设计探究1的意图是通过自主探究合作探究，加深两个定理的理解并且在两个定理内容的比较中提高学生阅读数学的能力.探究方式：分组讨论（合作交流，加深理解）

探究结果：共同点是：研究对象相同,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法.不同点是：它们研究完成一件事情的方式不同,分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”由于学生的认识水平有限，在这里只要求认识到分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”.探究2：何时用分类计数原理,何时用分步计数原理 探究方式：自主探究，代表发言，共同总结.探究结果：若完成一件事情有n类方法，则用分类计数原理.若完成一件事情有n个步骤，则用分步计数原理.设计意图：在探究1基础上进一步突破重难点，培养学生分析问题的能力.探究3：用两个计数原理解决计数问题的思维步骤 探究方式：分组讨论，合作探究，代表发言,共同总结.探究结果：

1、明确要完成什么事

2、判断分类还是分步

3、计算总方法数

（一）两个计数原理内容

1、分类计数原理：

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法„„在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +„„+mn种不同的方法.2、分步计数原理：

完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法„„做第n步骤有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2 ׄ„×mn种不同的方法.（二）例题分析

例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。现要配成一荤一素一汤的套餐。问 可以配制出多少种不同的品种？ 分析：

1、完成的这件事是什么？

2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤）

3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）

4、运用哪个计数原理？

5、进行计算.解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择 第二步配一个素菜有5种选择 第三步配一个汤有2种选择 共有N=3×5×2=30（种）

例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？（1）分析：

1、完成的这件事是什么？

2、如何完成这件事？

3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）

4、运用哪个计数原理？

5、进行计算。

解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择 第二类从下层取一本书有4种选择 共有N=5+4=9（种）

（2）分析：

1、完成的这件事是什么？

2、如何完成这件事？

3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）

4、运用哪个计数原理？

5、进行计算.解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择 第二步从下层取一本书有4种选择 共有N=5×4=20（种）

例

3、有1、2、3、4、5五个数字.（1）可以组成多少个不同的三位数？

（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？

（3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？（1）分析：

1、完成的这件事是什么？

2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数）

3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）

4、运用哪个计数原理？

5、进行计算.略解：N=5×5×5=125（个）（2）（3）（4）师生共同完成

（三）巩固练习

1、某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣，问可以有多少种不同的搭配方法？

2、有一个班级共有46名学生，其中男生有21名.（1）现要选派一名学生代表班级参加学校的学代会，有多 少种不同的选派方法？

（2）若要选派男、女各一名学生代表班级参加学校的学代 会，有多少种不同的选派方法？

思考：有0、1、2、3、4、5六个数字.（1）可以组成多少个不同的三位数？

（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？

（3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？

（四）课堂总结

1、什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理呢？

分类时用加法原理，分步时用乘法原理．

2、分类与分步怎么区别呢？

分类时要求各类办法能独立完成；分步时要求各步不能独立完成． 分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点的理解： ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.（五）板书设计： 两个基本计数原理

1、分类计数原理： N=m1 +m2 +……+mn

2、分类计数原理： N=m1×m2 ×……×mn

例1． 例2． 小结：

（六）及时训练

1.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

2.书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？

3.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()

A.180

B.160

C.96

D.60

若变为图二,图三呢? 5.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？

（七）作业布置

1、课本第8页第1、2、3、4、5题；

2、课本第9页第1、2、3、4、5、6、7、8、9题 教学反思：

分类加法计数原理比较好掌握，分类乘法计数原理不太好理解.有些题不知道是用加法原理还是用乘法原理.例题书上都有，看过书后，教师讲课感觉不到新鲜.还有部分不会做题的学生通过看书也能得到答案，不能反映他们的真实水平.1、学生主体观

课堂教学过程是在教学目标的指引下，由师生共同动态“生成”的．其中，学生的反馈是重要的，它决定了教学的进程．聆听学生是教师的必备技能，不要将学生作为“答案发生器”，不要沉浸在“我的学生都会做了”这种虚假的成功喜悦中，而应该让学生关注解决问题的过程、策略及思想方法，让他们充分地展示思想，完整地、数学地表达自己的想法，甚至于应该给予他们犯错的机会，也帮助他们提高分析错误、更正错误的能力．

学生在解题时，往往对答案很在意，也很在行．例如在问题“集合{1，2，3，4，5}的二元子集有多少个？”的解决中，学生极快地报出了答案“10”，但在叙述他的解题过程时，却说不太清楚．一开始说出了5×4的做法，但很快又自我否定（因为答案不对），当然，他一定觉得用“数”数的方法可以解决，但难以表述．这种“两难”处境需要教师的协助来化解，在教师的鼓励下，他用“数”数的方法完成了问题，并对计数的对象——二元集进行了分类，利用分类加法计数原理重新阐述了做法，得到了师生的共同认可．在这一过程中，不仅是这名学生，而是全体，都体验了不要“轻易言败”的心理历程，这也在一定程度上实现了新课程所倡导的“情感、态度、价值观”的目标．

2、让学生自我发展

如何让学生的主动学习模式从课内延伸到课外？如何让学有余力的同学有更大的收获？ 学生在课后常会问一些问题，多数是课上未听懂或习题的方法未理解掌握，但也有一些同学就某一问题提出新看法、新解法，对他们而言，一个具备思辨价值的问题是更好的研究素材，例如在本课最后，提出了问题“已知集合M={1，2，3}，P={4，5，6}．①以M为定义域，P为值域的不同函数有几个？②从M到P不同的映射有多少个？”——这个问题需要学生对函数、映射相关知识先做一个回顾，再利用所学的两个基本计数原理加以解决．记得当时一下课，有学生上来问我：“是不是9”？我没有回答，而是让他自主验证．第二天，他坚定地说，“①的答案是6；②的答案是9”，我想，他不需要我对他的答案进行认可了，因为他已学会了自我认可．这种自我认可的能力，不也是数学课程需要达到的目标么？

第四篇：计数原理教案

淮北市第十二中学2007~2008学

考

评

课

教

案

授课人：邹强

2008年5月 §10.1 分类计数原理与分步计数原理

授课人：邹强

教学目标：

知识目标：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；

②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；

能力目标：培养学生的归纳概括能力；

情感目标：①了解学习本章的意义，激发学生的兴趣

②引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式..教学重点：

分类计数原理与分步计数原理的应用理解 教学难点：

分类计数原理与分步计数原理的理解 教学方法：

问题式、螺旋上升的教学方法 教学过程：

一．课题引入

中央电视台体育频道每周四次对“NBA”进行现场直播，并对参与节目交流的观众进行抽取幸运观众活动，奖品是“NBA”明星真品球衣或明星战靴，此节目深受广大篮球迷的喜欢。已知在某次直播时，共收到手机号码2万个。其中联通号码有0.8万个，移动号码有1万个，小灵通号码有0.2万个。现抽取：

（1）一名幸运观众有多少种不同类型的抽法？

（2）从联通号码、移动号码和小灵通号码中各抽取一名幸运观众共有多少种不同的抽法？ 象这种计算所有情况的问题可称为计数问题，用来解决这种问题的一般方法或计算规律叫做计数原理，今天我们就来探求它们。

二．新课讲授

问题1.1:“两会”决定,下一次会议一定要有农民工代表参加.假如现在南方有农民工代表30人,北方有农民工代表20人,现在选举一名农民工代表共有多少种选法? 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有 n 种不同的方法.那么完成这件事共有 N = m + n 种不同的方法.问题1.2:在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，清华大学,复旦大学,南京大学三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

清华大学

复旦大学

南京大学

数学

生物学

新闻学

化学

会计学

金融学

医学

信息技术学

人力资源学

物理学

法学

工程学

那么，这名同学从这些强项专业中任选一项共有多少种？ 探究一：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有 m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

探究二:如果完成一件事情有 n 类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，在第n类方案中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法？

分类计数原理： 一般归纳：

完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有 m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn 种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn 种不同的方法.问题2.1:国务院总理温家宝在十届全国人大三次会议上作政府工作报告时表示，补助贫困学生生活费。假设补助后西部某省的贫困生午饭可买两盘菜（蔬菜类 + 肉类），学校食堂的菜单如下，蔬菜类

肉类

萝卜

猪肉

白菜

牛肉

花菜 请问有多少种不同的选法? 完成一件事需要两个不同步骤，在第1步中有 不同的方法.那么完成这件事共有Nm 种不同的方法，在第2步中有 n 种

mn种不同的方法.问题2.2：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，清华大学,复旦大学,南京大学三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

清华大学

复旦大学

南京大学

数学

生物学

新闻学

化学

会计学

金融学

医学

信息技术学

人力资源学

物理学

法学

工程学

那么，这名同学从清华大学，复旦大学，南京大学这些强项专业中各选一项共有多少种？

探究一：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有 m

1种不同的方法，做第2步有 m种不同的方法，做第3步有

m种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方 法？

探究二：如果完成一件事需要n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，……做第n 步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

分步计数原理： 一般归纳：

完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有 m1 种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法……做第n步有mn 种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.理解分类计数原理与分步计数原理异同点

①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.分步时，每一步都可以看成分类；分类时，每一类也可能要有好几步才能完成。例题选讲

问题3.1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 学生练习： 填空：

（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是

.（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有

条..（3）从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有

种.（4）.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有

种不同的推选方法.总结归纳： 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想.2．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可 4 以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事.3．运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：

分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即“不重不漏”.分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成 作业布置：

.1．课本第９７页的习题1０.1A第1，2，3题．

2．编一道运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解答的应用题，并加以解答． 课外思考：

1.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则该生的购书方案有_____种。课后反思：

第五篇：抽屉原理与排列组合（范文）

抽屉原理

把4只苹果放到3个抽屉里去，共有3种放法，不论如何放，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。同样，把5只苹果放到4个抽屉里去，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。„„更进一步，我们能够得出这样的结论：把n＋1只苹果放到n个抽屉里去，那么必定有一个抽屉里至少放进两个苹果。这个结论，通常被称为抽屉原理。

利用抽屉原理，可以说明（证明）许多有趣的现象或结论。不过，抽屉原理不是拿来就能用的，关键是要应用所学的数学知识去寻找“抽屉”，制造“抽屉”，弄清应当把什么看作“抽屉”，把什么看作“苹果”。

【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么？

【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这12个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。

【例 2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么？

【分析】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数。而任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。

想一想，例2中4改为7，3改为6，结论成立吗？

【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？

【分析】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，这2只就可配成一双。拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双拿走。如果再补进2只，又可取得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10只袜子，就一定会配成3双。

【例4】一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？

【分析】从最“不利”的取出情况入手。

最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。

接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色）里的球。

故总共至少应取出10＋5=15个球。

思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？(答案分别为31和33）

当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。

提示语

抽屉原理还可以反过来理解：假如把n＋1个苹果放到n个抽屉里，放2个或2个以上苹果的抽屉一个也没有（与“必有一个抽屉放2个或2个以上的苹果”相反），那么，每个抽屉最多只放1个苹果，n个抽屉最多有n个苹果，与“n+1个苹果”的条件矛盾。

运用抽屉原理的关键是“制造抽屉”。通常，可采用把n个“苹果”进行合理分类的方法来制造抽屉。比如，若干个同学可按出生的月份不同分为12类，自然数可按被3除所得余数分为3类

排列组合问题

例1：某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？

分析：某人买饭要分两步完成，即先买一种主食，再买一种副食。其中，买主食有3种不同的方法，买副食有5种不同的方法。故可以由乘法原理解决：

解：由乘法原理，主食和副食各买一种共有3×5=15种不同的方法。

例2：书架上有6本不同的外语书，4本不同语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少本不同的取法？

分析：要做的事情是从外语、语文书中各取一本。完成它要分两步：即先取一本外语书（有6种取法），再取一本语文书（有4种取法）。所以，用乘法原理解决。

解：从架上各取一本共有6×4＝24种不同的取法。

例3：由数字0、1、2、3组成的三位数，问：

（1）、可组成多少个不相等的三位数？

（2）、可组成多少个没有重复数字的三位数？

分析：在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成。

（1）：要求组成不相等的三位数。所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法，由乘法原理，共可组成3×4×4＝48个不相等的三位数。

（2）：要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取0，有3种不同的取法；十位上，由于百位上已在1、2、3中取走一个，故只剩下0和其它两个数字，故有3种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法，由乘法原理，共有3×3×2＝18个没有重复数字的三位数。

例4：现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？

分析：要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做。如先取一解的，再取贰角的，最后取壹元的。但注意到，取2张一角的人民币和取1张贰角的人民币，得到的钱数是相同的。这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币4张和贰角的人民币2张统一起来考虑。即从中取出几张组成一种面值，看共可以组成多少种。分析得知，共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值，共8种情况。整个问题就变成了从8张壹角的人民币和3张壹元的人民币中分别取钱。这样，第一步，从8张壹角的人民币中取，共9种取法，即0、1、2、3、4、5、6、7、8；第二步，从3张壹元的人民币中取共4种取法，即0、1、2、3.由乘法原理，共有9×4＝36种情形，但注意到，要求”至少取一张”而现在包含了一张都不取的这一种情形，应减掉。所以有35种不同的情形。

例5：学校组织读书活动，要求每个同学读一本书。小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本。那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？

分析：在这个问题中，小明选一本书有三类方法。即要么选外语书，要么选科技书，要么选小说。所以，是就用加法原理的问题。

解：小明借一本书共有：150+200+100=450（种）不同的选法。

例6：一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同。

问：（1）、从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）、从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

分析：（1）、从两个口袋中只需取一个小球，则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法。所以是加法原理的问题。（2）、要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题。

解（1）：3＋8＝11（种）

（2）：3×8＝24（种）

例7：有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6。将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？

分析：要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑。

第一类：两个数字同为奇数。由于放两个正方体可认为是一个一个地放。放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即1，3，5；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有3×3＝9种不同的情形。

第二类：两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有9种不同的情形。

所以，最后再由加法原理即可求解。9＋9＝18（种）