高考考余弦定理证明

第一篇：高考考余弦定理证明

从高考考余弦定理证明谈起【题1】 叙述并证明勾股定理（1979年全国卷，四题）.【说明】 这道大题，在总分为110分的考卷上，理科占6分，文科占9分.理科的评分标准是：（1）叙述勾股定理（2分）；（2）证明勾股定理（4分）.【题2】（1980·理科四题（满分8分））写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明

【插话】 对这道题目，人们虽然不感到新鲜，但有一个期待，期待着标准答案中有“新鲜东西”出现.后来一看，非常“失望”，该题对余弦定理的证明，依赖的仍然是勾股定理.【题3】（2010年四川）

（文）（19）（本小题满分12分）；

2由推导两角和的正弦公式，求.（Ⅰ）1证明两角和的余弦公式（Ⅱ）已知

解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.则P1(1,0),P2(cosα,sinα)

P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))

由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得

[cos(α＋β)－1]＋sin(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]＋[sin(－β)－sinα]

展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.„②由①易得cos（sin(α＋β)＝cos[

＝cos(－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)] －α)＝sinα,sin(－α)＝cosα 2222－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

＝sinαcosβ＋cosαsinβ„„„„„„„„„„„„„„6分

(2)∵α∈(π,),cosα＝－

∴sinα＝－

∵β∈(，π),tanβ＝－

∴cosβ＝－,sinβ＝

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝(－)×(－)－(－)× ＝（理）（19）（本小题满分12分）

（Ⅰ）1证明两角和的余弦公式

2由推导两角和的正弦公式，且，求cosC.；.（Ⅱ）已知△ABC的面积

解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.则P1(1,0),P2(cosα,sinα)P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))

由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得

[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]

2展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.„„„„„„„„4分

②由①易得cos（sin(α＋β)＝cos[

＝cos(－α)＝sinα,sin(－(α＋β)]＝cos[(－α)＝cosα －α)＋(－β)] －α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

＝sinαcosβ＋cosαsinβ„„„„„„„„„„„„„„6分

(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c

则S＝bcsinA＝

＝bccosA＝3＞0

∴A∈(0,),cosA＝3sinA 2又sinA＋cosA＝1，∴sinA＝,cosA＝

由题意，cosB＝,得sinB

＝

∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝ 故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－

【题4】（2011年陕西）„„„„„„„„„„12分

第二篇：怎么证明余弦定理

怎么证明余弦定理

证明余弦定理：

因为过C作CD垂直于AB，AD=bcosA;所以(c-bcosA)^2+(bsinA)^2=a^2。

又因为b^2-(bcosA)^2=(bsinA)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+(bcosA)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+b^2=a^2，所以c^2+b^2-a^2=2cbcosA，所以cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

同理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC²=AD²+DC²

b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²

b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosB

b²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²

b²=c²+a²-2ac*cosB

所以，cosB=(c²+a²-b²)/2ac

2如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).现将CB平移到起点为原点A，则AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根据三角函数的定义知D点坐标是(acos(π-C)，asin(π-C))即D点坐标是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可证asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

第三篇：余弦定理证明

余弦定理证明

在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC²=AD²+DC²

b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²

b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosB

b²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²

b²=c²+a²-2ac*cosB

所以，cosB=(c²+a²-b²)/2ac

2如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).现将CB平移到起点为原点A，则AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根据三角函数的定义知D点坐标是(acos(π-C)，asin(π-C))即D点坐标是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可证asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

第四篇：播音主持高考考什么

播音主持艺术高考都考哪些内容?

编辑：石头来源：网络时间:2011-08-10 10:27

通常来讲，大部分播音主持院校的面试是分为初试和复试。

初试环节包括自我介绍和指定稿件或自备稿件的播读。

其中，自我介绍，主要考察考生的大体情况和整体面貌。自我介绍的时间一般在一分钟左右，要将自己的基本情况、特长、爱好等简要且逻辑清楚，最好富有个性的进行介绍。指定稿件播报是考察考生的语言面貌、阅读能力和表达能力，通常是考官为考生准备一篇短文，可能是新闻稿件也可能是叙述文。

自备稿件就是考生自己准备的文章。文章的体裁不限，通过朗读，考官进一步考察考生的声音、语言表现力等。这个环节考生应在考试之前多加练习，准备一篇自己最拿手，最好是不太大众的文章。因为比较大众，朗读率比较高，或者是考官特别熟悉的文章，考生在朗读的过程中，考官特别容易发现问题。

接下来再给大家介绍一下复试环节。复试环节除了指定稿件外，还有模拟主持、即兴评述、编讲故事、考官提问、才艺展示、主题讨论等。

这些考察项目根据不同学校会有所不同，不是每个项目都考，有的学校可能只考其中的几个，比如中国传媒大学近几年是只在复试环节考指定稿件、即兴评述、模拟主持、考官提问这几个环节。但是为了做到有备无患，考生还是应该在考试之前将可能出现的环节都加以练习。

模拟主持是考官考察学生对语言文字的提炼能力和表述能力、组织能力。考试内容通常为考官给考生给一篇文章，让考生将稿件素材改编为三分钟的小节目，节目题目自拟，会给考生10分钟左右的准备时间。

即兴评述是考察考生的快速思维、口语表达能力和临场发挥的能力。考官会给考生一个题目，考生准备几分钟，但考生不能先写好照着读，考生要口语化，不紧张，有条有理的进行评述。

编讲故事是要求考生根据考官给出的几个关键词进行故事的编讲。要表达流畅、情节曲折、有情节冲突。

回答提问是考官随机向考生就文学知识、时事政治、生活常识等方面提问。

才艺展示，这个环节考生充分的将自己的才艺展示出来就好，也有些考生和家长对这个环节有些苦恼，说自己的孩子没有什么特别的文艺才能，怎么办呢？其实文艺展示不一定非要局限在唱歌、跳舞。比如考试模仿声音、朗诵等等都可以。

主题讨论，这是一个比较新的考察项目，考察的学校比较少，是将考生分成两组，就一个问题大家进行讨论和辩论。这个环节考生要积极主动的表现自己，但一定要表现沉稳，说话是时要逻辑清楚，有理有据。

以上考试环节有可能都是采取录像方式，在镜头前，考生要直视镜头，把镜头当做是你的观众，和镜头有交流感，眼睛不要东张西望，斜视，身体自然放松，坐姿端正，不要做作、扭捏。

就以上考试项目，言研语言艺术学校会逐项对考生进行培训，将相关技巧进一步讲授、指导。

第五篇：余弦定理证明过程

在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a。 分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CＤ、ＤB表示，而CD可在Rt△AＤC中利用边角关系表示，DB可利用AB－AD转化为AD，进而在Rt△AＤC内求解。

解：过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CＤB中，根据勾股定理可得： a2＝CＤ2＋BＤ2

∵在Rt△AＤC中，CＤ2＝b2－AＤ2



又∵BＤ2＝（c－AＤ）2＝c2－2c·AＤ＋AＤ2

∴a2＝b2－AＤ2＋c2－2c·AＤ＋AＤ2＝b2＋c2

－2c·AＤ 又∵在Rt△AＤC中，AD＝b·cosA ∴a2＝b2＋c2－2bccosA类似地可以证明b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC