立几中平行的证明（五篇范例）

第一篇：立几中平行的证明

立几中平行的证明

例1.如图1，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，练习1：已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N是BD的中点，点M是B1C的中点，求证：MN//平面ABB1A1.点F是线段PC的中点，求证：PA//平面

BFD

如图1例2.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形 ,点M、N分别是线段AB、PC的中点，求证：直线MN//平面PAD



如图

2练习2：在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D是AB的中点，证明：AC1//平面CDB

1.练习

3、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：C1O∥面AB1D1；

DBC

1练习

5、已知平面PAD⊥平面ABCD, ABCD为正方形, ∠PAD=90°, 且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.(1)求证：PB//平面EFG；

(2)求点A到平面PBD的距离；

(3)求异面直线EG与BDA

D

C

A

B

练习

4、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面BDG.所成的角的余弦值．

第二篇：立几判断题2005

几何判断题:

1、平行于同一直线的两直线平行（）

2、垂直于同一直线的两直线平行（）

3、平行于同一平面的两直线平行（）

4、垂直于同一平面的两直线平行（）

5、垂直于同一直线的两个平面平行（）

6、经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行（）

7、经过直线外一点有且只有一个平面和已知直线平行（）

8、经过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行（）

9、经过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直（）

10、经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行（）

11、一条直线和已知平面平行，那么它和这个平面内的任意直线平行（）

12、一条直线和已知平面垂直，那么它和这个平面内的任意直线垂直（）

13、一个平面和另一个平面平行，那么其中一个平面内直线和另一个平面平行（）

14、一个平面和另一个平面垂直，那么其中一个平面内任意直线和另一个平面垂直（）

15、经过平面外两点有且只有一个平面和已知平面垂直（）

16、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（）

17、对角线互相平分的四边形是平行四边形（）

18、四边相等的四边形是菱形（）

19、四角相等的四边形是矩形（）

20、四边相等四角相等的四边形是矩形（）

21、四个角都是直角的四边形是矩形（）,三个角都是直角的四边形是矩形（）

22、异面直线的公垂线有且只有一条（）

23、若两条直线与第三条直线成等角，则这两条直线平行（）

24、和两条异面直线都垂直的两直线是异面直线（）

25、一条直线和平行四边形两边相交，则它一定落在平行四边形所在的平面内（）

26、一个角的两边和另一个角的两边互相垂直，则这两个角相等或互补（）

27、一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补（）

28、和两条异面直线都相交的两直线是异面直线（）

29、过已知平面外一点平行于该平面的直线在过该点和已知平面平行的平面内（）

30、过一点和已知直线垂直的直线在过该点和已知直线垂直的平面内（）

31、一条直线和平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的斜影垂直（）

32、两个平面互相平行，则一个平面内的直线的另一个平面相交或平行（）

33、直线和平面所成的角比它和平面内经过交点的直线和它所成的角小（）

34、过二面角棱上一点，分别在平面内引射线，它们所成的角最小时，这个角叫做二面角的平面角（35、过二面角棱上一点，分别在平面内的两条射线，如果它们所成的角等于二

二面角的平面角，则这两条射线都垂直于棱（）

36、如果直线上两点到平面距离相等，则直线和平面平行（）

37、两条平行线分别在两平面内，则这两直线的距离就是两平面的距离（）

38、两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线的距离就是两平面的距离（）

39、同垂直于同一平面的两个平面平行（）

40、过两条异面直线外一点，有且只有一个平面与两条异面直线平行（）

41、有且只有一个平面到到两条异面直线的距离相等（）

42、一个平面和两个平面相交，且交线平行，则这两个平面平行（）

43、若一条直线平行于一个平面，则垂直于已知平面的直线必垂直于这条直线（）

44、若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面（）

45．异面直线a,b所成的角是30,则过一定点A与a,b所成的角都等于15的直线有条，与两条 a,b所成的角都等于55的直线条，与a,b所成的角都有等于75的直线有 与a,b所成的角都等于80的直线有条，与a,b所成的角都等于90的直线有条。）

第三篇：平行证明

北师版 八上7单元测试

一、填空题

1、如图1，直线AB、CD被直线EF所截①量得∠3=100°，∠4=100°,则AB与CD的关系是_______，根据是_____________

②量得∠1=80°,∠3=100°,则AB与CD的关系是_______，根据是________________

2、如图2，BE是AB的延长线，量得∠CBE=∠A=∠C ①从∠CBE=∠A，可以判定直线_______与直线_______平行，它的根据是___________

②从∠CBE=∠C，可以判定直线_______和直线_______平行，它的根据是___________

图

1图

2图3图

43、如图3，∠α=125°,∠1=50°，则∠β的度数是_______.4、如图4，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3=________.5、已知，如图5，AB∥CD，BC∥DE，那么∠B+∠

D=__________.6、已知，如图6，AB∥CD，若∠ABE=130°,∠CDE=152°,则∠BED

=__________.图

5图67、在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=____，∠B=____，∠C=____.8、在△ABC中，若∠A=65°,∠B=∠C，则∠B=_______.9、命题“任意两个直角都相等”的条件是_____，结论是

_____，它是____（真或假）命题.10、如图7，根据图形及上下文的含义推理并填空：

（1）∵∠A=_______（已知）∴AC∥ED（）

（2）∵∠2=_______（已知）

∴AC∥ED（）

（3）∵∠A+_______=180°（已知）∴AB∥FD（）

图7图8

二、选择题

1.下列语言是命题的是()

A.画两条相等的线段 B.等于同一个角的两个角相等吗？

C.延长线段AO到C使OC=OA D.两直线平行，内错角相等.2.如图8，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,则∠DEC

等于A.63°B.62°C.55°D.118°

3.下列语句错误的是()

A.同角的补角相等B.同位角相等C.同垂直于一条直线的两直线平行D.两条直线相交只有一个交点

4、在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC等于（）A.65°B.115°C.80° D.505、两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的平分线

A.相互重合B.互相平行C.相互垂直D.无法确定相互关系

6、如图9，AB∥CD，∠A=35°,∠C=80°,那么∠E等于（）

A.35B.45°C.55°D.75°

三、判断下列命题是真命题还是假命题.（）（1）若|a|=|b|，则a=b;（）（2）若a=b，则a3=b3;

（）（3）若x=a，则x2－(a+b)x+ab=0;（4）如果a2=ab,则a=b;（）（5）若x＞3，则x＞2.四、把下列命题写成“如果„„，那么„„”的形式，并指出条件和结论.（1）全等三角形的对应角相等；（2）等角的补角相等；

（3）同圆或等圆的半径相等；（4）自然数必为有理数；

（5）同角的余角相等；（6）两直线平行，同位角相等；

五、解答下列问题

1、如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°,∠BCD=60°,这时说管道AB∥CD对吗？为什么？

2、如图，已知∠1与∠2互补，问∠3和∠4互补吗？为什么？

六、在横线或括号中填上适当的符号和理由，完成下面的证明过

（1）如图10，已知EF∥AB，∠A+∠AEC+∠C=360°求证：AB∥CD

证明：∵EF∥AB（已知）∴∠A+_______=180°又∵∠A+∠AEC+∠C=360°()∴∠C+∠CEF=_______()

∴_______∥CD()∴AB∥CD()

(2)如图11，已知∠ADE=∠B，∠1=∠2，FG⊥AB，求证：CD⊥AB

证明：∠ADE=∠B（）

∴DE∥_______()

∠1=_______()

∵∠1=∠2（∴∠2=∠3（CD∥_______（∠BGF=_______（又∵FG⊥AB（∴∠BGF=_______（∴∠BDC=_______（∴CD⊥AB（图10图11))))))))

七、证明题

1.已知，如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C.求证：∠1=∠2.2、已知，如图，∠ACE是△ABC的外角，∠ABC与∠ACE的角平分线BP、CP交于点P.。求证：∠P=1∠A.2

第四篇：立几大题参考学习

,E为D1C1的中点，如图所示。19.已知长方体AC1中，ADAB2,AA11（1）在所给的图中画出平面ABD； 1与平面B1EC的交线（不必说明理由）（2）证明：BD1//平面B1EC;

（3）求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值。

18.如图，在多面体ABCD﹣EFG中，O是菱形ABCD的对角线AC与BD的交点，四边形ABGF，ADEF都是矩形．

（1）证明：平面ACF⊥平面BDEG；

（2）若∠ABC=120°，AB=2，AF=3，求直线CG与AE所成角的余弦值．

【考点】平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角． 【分析】（Ⅰ）推导出AF⊥AB，AF⊥AD，从而AF⊥平面ABCD，进而BD⊥AF，又BD⊥AC，由此能证明平面ACF⊥平面BDEG．

（Ⅱ）以O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，平行于AF所在直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CG与AE所成角的余弦值． 【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵四边形ABGF，ADEF都是矩形，∴AF⊥AB，AF⊥AD，（1分）

又AB∩AD=A，且AB、AD⊂平面ABCD，∴AF⊥平面ABCD．（2分）

又BD⊂平面ABCD，∴BD⊥AF．（3分）又∵AC，BD是菱形ABCD 的对角线，∴BD⊥AC．（4分）

∵AF，AC⊂平面ACF，AF∩AC=A，∴BD⊥平面ACF，（5分）又∵BD⊂平面BDFG，∴平面ACF⊥平面BDEG．（6分）解：（Ⅱ）以O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，平行于AF所在直线为z轴，建立如图空间直角坐标系．（7分）∵ABCD是菱形，且∠ABC=120°，AB=2，∴△BCD是等边三角形，OB=OD=1，∵AF=3，∴A，C，E，G的坐标分别为：

．（8分）

．（9分）

∴，（10分）

所以，（11分）

即直线CG与AE所成角的余弦值为．（12分）

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线线角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．

（1）求证：BD⊥平面AED；

（2）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】 试题分析：（Ⅰ）由题意及图可得，先由条件证得AD⊥BD及AE⊥BD，再由线面垂直的判定定理即可证得线面垂直；

（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，可得出AC⊥BC，结合FC⊥平面ABCD，知CA，CA，CF两两垂直，因此可以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为X轴，Y轴，Z轴建立如图的空间直角坐标系，设CB=1，表示出各点的坐标，再求出两个平面的法向量的坐标，由公式求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值即可；

解法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可证明出∠FGC为二面角F﹣BD﹣C的平面角，再解三角形求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值．（I）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°．所以∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，所以∠CDB=30°，因此，∠ADB=90°，AD⊥BD，又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED；

（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，同理AC⊥BC，又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为X轴，Y轴，Z轴建立如图的空间直角坐标系，不妨设CB=1，则C（0，0，0），B（0，1，0），D（（，﹣，0），=（0，﹣1，1）

=0，•

=0，﹣，0），F（0，0，1），因此

=设平面BDF的一个法向量为=（x，y，z），则•所以x=由于y=z，取z=1，则=（，1，1），=（0，0，1）是平面BDC的一个法向量，则cos＜，＞===，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为

解法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以FC⊥BD，由于FC∩CG=C，FC，CG⊂平面FCG．

所以BD⊥平面FCG．故BD⊥FG，所以∠FGC为二面角F﹣BD﹣C的平面角，在等腰三角形BCD中，由于∠BCD=120°，因此CG=CB，又CB=CF，所以GF=故cos∠FGC=，=

CG，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为

考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系；二面角的平面角及求法．

18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．（1）证明：PF⊥FD；

（2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值；．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质． 【分析】（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；

（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A﹣PD﹣F的平面角，解三角形MNF可得答案． 【解答】（Ⅰ）证明：连接AF，则，222又AD=2，∴DF+AF=AD，∴DF⊥AF（2分）又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，∴

（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°． ∴PA=AB=1（9分）取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A﹣PD﹣F的平面角 ∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴∵∴，，且∠FMN=90°，∴

【点评】本题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系，二面角大小度量．考查空间想象、推理论证、计算能力．

19.如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的余弦值．

答案：

19.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，A1AB45，四边形BCC1B1为矩形，若AC5,AB4,BC3

（1）求证：AB1A1BC；（2）求二面角CAA1B的余弦值

18.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．

（1）求证：AC⊥BC1；

（2）求二面角D﹣CB1﹣B的平面角的正切值．

【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质． 【专题】计算题；证明题． 【分析】（I）根据所给的直三棱柱的条件，写出勾股定理得到两条线段垂直，根据侧棱与底面垂直，得到一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，得到线面垂直，进而得到线线垂直．

（II）以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，写出向量，设出平面的法向量，求出法向量，根据两个向量的夹角（或其补角）的大小就是二面角D﹣CB1﹣B的大小． 【解答】解：（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，222∵AC+BC=AB ∴AC⊥BC，又 AC⊥C1C，且BC∩C1C=C ∴AC⊥平面BCC1，又BC1⊂平面BCC1 ∴AC⊥BC1

（II）以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系 ∵AC=3，BC=4，AA1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0）C（0，0，0），B1（0，4，4），∴，，平面CBB1C1的法向量设平面DB1C的法向量则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角D﹣CB1﹣B的大小 则由

令x0=4，则y0=﹣3，z0=3 ∴…（10分），则∵二面角D﹣B1C﹣B是锐二面角 ∴二面角D﹣B1C﹣B的正切值为

【点评】本题考查空间中直线与平面之间的垂直关系，用空间向量求解面与面的夹角，本题解题的关键是建立坐标系，把理论的推导转化成数字的运算，降低了题目的难度．

18.如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；

（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的大小．

【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题． 【专题】证明题；综合题；转化思想． 【分析】法一：（Ⅰ）先证明直线AB1垂直平面A1BD内的两条相交直线BD、A1B，即可证明AB1⊥平面A1BD；

（Ⅱ）设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连接AF，说明∠AFG为二面A﹣A1B﹣B的平面角，然后求二面角A﹣A1D﹣B的大小．

法二：取BC中点O，连接AO，以0为原点，向建立空间直角坐标系，求出，的方向为x、y、z轴的正方即可证明AB1⊥平面A1BD．

求出平面A1AD的法向量为=（x，y，z），为平面A1BD的法向量，然后求二者的数量积，求二面角A﹣A1D﹣B的大小． 【解答】解：法一：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO、∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC． ∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，连接B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD．

在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD．

（Ⅱ）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连接AF，由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD，∴∠AFG为二面A﹣A1D﹣B的平面角，在△AA1D中，由等面积法可求得AF=又∵AG=∴sin∠AFG==，，所以二面角A﹣A1D﹣B的大小为arcsin

．

法二：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO． ∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC、∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，取B1C1中点O1，以0为原点，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直），A（0，0，），B1（1，⊥⊥，角坐标系，则B（1，0，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，2，0），∴∵∴∴AB1⊥平面A1BD．（Ⅱ）设平面A1AD的法向量为=（x，y，z），．

∵⊥⊥，∴∵∴

令z=1得=（﹣，0，1）为平面A1AD的一个法向量．

由（Ⅰ）知AB1⊥A1BD． ∴为平面A1BD的法向量．

cos＜，＞===﹣．

∴二面角A﹣A1D﹣B的大小为arccos

．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．

18.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（1）证明：PC⊥平面BED；

（2）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系． 【专题】计算题． 【分析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；

（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角 【解答】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，设D（0）∴∴，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，﹣b，=（2•，0，﹣2），•

=（=0，b，），=（，﹣b，）

=﹣=0，∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E ∴PC⊥平面BED（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）

设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则

取=（b，0）

设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则

取=（1，﹣，）

∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b﹣=0．故b=∴=（1，﹣1，∴cos＜，＞=），=（﹣

=，﹣，2）

设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，∴θ=30°

∴PD与平面PBC所成角的大小为30°

]，则sinθ=

【点评】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题

18.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；

（Ⅱ）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．，D为AA1的中点，【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角． 【专题】证明题；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；

（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．

【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=1，AA1=，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=在直角三角形ABD中，tan∠ABD=，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1

所以，AB1⊥面BCD，因为BC⊂面BCD，所以BC⊥AB1．

（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣0），D（又因为所以，0，0），=2=（﹣，所以，0），=（0，），=（），0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，﹣）是平面ABC的一个法向量，设直线C1D与平面ABC所成角为α，则sinα=

．

【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．

第五篇：平行的证明

高中立体几何证明平行的专题训练

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：

1通过平移;

2利用三角形中位线的性质；

3利用平行四边形的性质；

4利用对应线段成比例；

5利用面面平行，等等

一．通过“平移”再利用平行四边形的性质

1.如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分别为棱AB、PD的中点．求证：AF平面PCE

第1题图

2、如图，已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB＝1，BC＝2，CD＝1A作AECD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将ADE沿AE折叠，使得DEEC.Ⅰ求证：BC面CDE；

Ⅱ求证：FG面BCD；

3.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点,ACBE.求证：

ⅠC1DBC；

ⅡC1D平面B1FM.4、如图所示,四棱锥PABCD底面是直角梯形,CD2AB,E为PC的中点,证明:EB面PAD

二．利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG。

6.如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。求证：PA平面BDE

7.如图，三棱柱ABC—A1BC中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；1

18.如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，11BCAD，BEAF,G,H分别为FA,FD的中点

2

2Ⅰ证明：四边形是平行四边形；

Ⅱ四点是否共面？为什么？

E

三．利用平行四边形的性质

9.正方体ABCD A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O//平面A1BC1;

A

10.在四棱锥PABCD中，ABCD，ABDC，为.EPD的中点，求证：AE平面PBC；

11.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB90EA平面ABCDEF//AB,FG//BC,EG//AC,AB2EF

1若M是线段AD的中点，求证：GM//平面ABFE;

2若ACBC2AE，求二面角A-BF-C的大小。

四．利用对应线段成比例

12.如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且AMBN=，求证：MN//平面SDC SMND

13.如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和BF上的点且AMFN求证：MN平面BEC

五。利用面面平行

14.如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA90，PBBCCA，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF2FP.（1）求证：BE平面PAC；

（2）求证：CM

//平面BEF； 

C