2015年高考数学二轮复习专题讲座4——三角函数(张松年)

第一篇：2015年高考数学二轮复习专题讲座4——三角函数(张松年)

南京市2009届高三数学教师寒假培训资料

三角函数二轮复习建议

金陵中学张松年

一、考试要求

二、命题走向

近几年高考以基础知识、基本方法为主，降低了对三角恒等变形的考查要求，难度较小，位置靠前，重点突出．

三、考试要求

1．理解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．

2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．

3．了解周期函数与最小正周期的意义．了解奇函数、偶函数的意义． 4．掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式．

5．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． 6．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的函数的简图，理解A，ω的物理意义．

7．掌握正弦定理、余弦定理，并运用它们解决三角形中的计算、判定、证明问题．

四、复习目标：

1．清楚角与终边、三角函数的定义域、值域、符号、最值、奇偶性、单调性与周期性． 2．会求简单三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调区间及其周期． 3．会结合三角函数线、三角函数图像的的对称性，解决一些问题． 4．会用三角恒等变换公式化简三角函数式．

(1)三角函数同角关系，平方关系的运用中，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号”．

(2)三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限．(3)三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数(常值)的变换，其核心是“角的变换”．(4)角的变形主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．

ｏｏｏｏ

(5)会求：sin15，cos15，sin75，cos75的值．

(6)三角式变形主要有：三角函数名互化(切化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次)、运算结构的转化(和式与积式的互化)．解题时本着“三看”的基本原则来进行：“看角、看函数、看特征”，基本的技巧有：角的线性组合，公式变形使用，化切为弦，用倍角公式将高次降次．

注意：和(差)角的函数结构与符号特征；余弦倍角公式的三种形式选用；降次(升次)公式中的符号特征．“正余弦三个量sinx±cosx，sinx·cosx的内在联系”．

5．清楚三角形中的三角函数．

(1)内角和定理：三角形三角和为π，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方．

(2)正弦定理：abc＝2R(R为三角形外接圆的半径)． sinAsinBsinC

注意：已知三角形两边及一角，若运用正弦定理解三角形，可能有两解．

b2＋c2－a2(b＋c)2－a

2(3)余弦定理：a＝b＋c－2bccosA，cosA＝－1等，常选用余弦2bc2bc222

定理判定三角形的形状．

11abc(4)面积公式：S＝aha＝sinC＝． 224R

五、高考考点分析

高考中三角部分所占分值在20分左右，主要以填空题和解答题的形式出现．主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：

第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题．如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性、单调区间等．

第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用．如辅助角公式、切化弦等． 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题．如分段函数值，求复合函数值域等．

六、基本题型与策略：

基本题型一：三角函数基础知识题，以考查三角函数的基本性质(符号、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性)为主．

例1计算：tan2010°＝___________．

说明：利用商数关系、正弦、余弦的诱导公式、商数关系化为tan30°，或直接利用正切函数的周期性化为tan30°．

例2若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是___________象限．

说明：利用正弦的倍角公式化为cosθ＞0，sinθ＜0．

5π2π2π例3设a＝sinb＝c＝tan，则a，b，c的大小关系是____________． 777

2π2π2π说明：利用诱导公式化为a＝sinb＝cos，c＝tan777

π例4(1)函数f(x)＝sin(πx－－1的最小正周期为___________；

3ππ(2)若函数f(x)＝cos(x－＞0)＝____________． 6

5说明：直接利用周期公式．课本只给出了函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，＞0，0≤φ＜2π)的周期公式．

π例5函数f(x)＝sin(2x－)－1在区间[0，π]上的单调增区间为___________； 3

ππ说明：将2xt，求出t的范围，结合t＝2x－x单调增函数，求y＝33

sint的单调增区间与t的值域的交集．

基本策略：(1)诱导公式的特点是“奇变偶不变，符号看象限”；判定一个角的位置，要用这个角的两个三角函数值的符号来判定；(3)比较几个三角函数值的大小，常常化为锐角的同名三角函数值比较大小，或化为同一个锐角的三角函数值比较大小，找一个中间量，如π(4)利用周期公式求函数的最小正周期时，要掌握掌握正弦、余弦、正切的4周期；(5)要能熟练地写出正弦、余弦、正切函数的单调区间．

基本题型二：经过简单的三角恒等变形、化简后，求值、研究性质．

例6计算：tan70ocos10o＋3sin10otan70o－2cos40o＝________________．

说明：提取tan70o，利用辅助角公式．

π12π例7若sin(－α)＝，则cos(2α)＝___________． 63

3ππ2π说明：设α＝β，则α＝β，从而＋2α＝π－2β．利用倍角公式． 663

π例8函数f(x)＝sin(πx－)－1的奇偶性为___________；

2说明：f(x)＝－cosx－1．

基本策略：(1)切化弦，和差公式的逆应用；(2)已知组合角的三角函数值，求另一个组合角的三角函数值，常常用对用已知值的角线性表示未知值的角；(3)对于与三角函数有关的函数奇偶性的判别，一般先化简，再结合正弦、余弦函数的奇偶性进行判别．

基本题型三：综合考查三角恒等变形和三角函数的基本性质．

π1例9(1)已知tan(＋α)＝2，求 42sinαcosα＋cosα

sin2α－cos2απ1(2)已知α)＝(Ⅰ)求tanα的值；(Ⅱ)求 421＋cos2α

π1说明：(1)由tan(＋α)＝2，求出tanα＝从而cosα＝3sinα．又cos2α＋sin2α＝1，得sin2α

4313＝2sinαcosα＋cos2α＝6sin2α＋9sin2α＝15sin2α＝． 10

2ππ例10已知6sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，α∈[，π]，求sin(2α＋)的值． 43

3π说明：cosα＝2sinα或cosα＝－sinα．因为α∈[，π]，所以sinα＞0，cosα＞0，所以24

1π13cosα＝2sinα．又cos2α＋sin2α＝1，得sin2α＝，从而sin(2α＋＝αcos2α＝sinαcosα5322

＋3313(1－2sin2α)＝sin2α＋＝． 2252

ππ例11函数f(x)＝sin2(x＋－sin2(x－)的最小正周期是_______，奇偶性是______． 44

πππππ说明：f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－＝cos2(x－sin2(x－)＝cos2(x－)＝－cos2x． 44444

例12求函数y＝sin4x＋3sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．

说明：先化简，y＝sin4x－cos4x＋3sinxcosx＝(sin2x－cos2x)(sin2x＋cos2x)＋23sinxcosx

π＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，在分别求最小正周期、最小值以及在[0，π]上的单调递增

3区间．

基本策略：(1)单角的“切”给出了“弦”的比例关系，是“明线”，而“弦”的平方关系是“暗线”，利用这两个关系，可以求出单角“弦”的平方，从而求出倍角的“弦”；(2)利用恒等变形，化为“一个角的一个三角函数的一次式y＝Asin(ωx＋φ)＋k(＞0，0≤φ＜2π)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法．其中，对于函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(＞0，0≤φ＜2π)的单调性，要用整体化的观点，将ωx＋φ看作是一个角的大小，结合y＝sinx的单调区间和ωx＋φ关于x的单调性进行判断．

基本题型四：三角函数的图像变换与解析式．

π例13把函数y＝sinx，x∈R的图象上所有的点向左平行移动3

1图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是_____．

2π1π说明：sinx→sin(x→sin(x)． 323

π例14将函数y＝sin(2x＋)的图象按向量a＝(m，0)(其中|m|≤π)平移后所得的图象关3

π于点(－，0)中心对称，则m＝____________． 12

πππππ说明：y＝sin(2x＋→y＝sin[2(x－m)＋]＝sin(2x＋2m)．令2×(－＋2m＝kπ，333123

11πk∈Z，得m＝(k)π，k∈Z．由于|m|≤π，所以k＝0，从而m＝． 2612

πππ方法二：函数y＝sin(2x＋的周期是π，图象的一个对称中心为(－0)，从而m＝． 3612

例15若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(＞0，0≤φ＜2π)的图象(部

分)如图所示，则ω＝_________，φ＝_________． 2ππ说明：方法一由图知T＝4×(－＝2π，所以ω＝1，33

2πππ11π从而＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z．因为0≤φ＜2π，所以φ＝． 3266

2ππ方法二由图知T＝4×(－)]＝2π，所以ω＝1，所以f(x)的图像可以看作是sinx33

π11π11π的图像向右移了个单位，．因为0≤φ＜2π，所以φ＝． 666

基本策略：根据函数的图像先确定振幅A，再确定周期T．利用周期求出角速度ω，最后利用峰(谷)点的坐标求出φ的值．一般不用平衡点(零点)来确定．三角函数图像的变换，每一次变换前，应先将“已知”函数一般化，写成f(x)的形式，再分别按照f(x)→f(x－a)，f(x)→f(ωx)，f(x)→f(x)＋k，f(x)→Af(x)的变化特征写出变换后的函数解析式．

基本题型五：三角形中的三角函数与正弦定理、余弦定理的应用．

1例16(1)在ΔABC中，“A＞30º”是“sinA___________条件．

2(2)在ΔABC中，已知BC＝12，A＝60o，B＝45o，则AC＝___________．

说明：(1)必要不充分条件；(2)利用正弦定理，先求出AC，再利用正弦定理或余弦定理求出．

3例17设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝c．

5(Ⅰ)求tanAcotB的值；(Ⅱ)求tan(A－B)的最大值．

说明：利用正弦定理转化为三角函数的等式．

例18(08上海)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120o的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一

条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）．

说明

例19(07海南·宁夏)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得CD＝s，BCD

θ ＝α，CDB＝β，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB．

说明先在△BCD中求出BC，再在△ABC中求出AB．

基本策略：条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角．在三角应用题中，应根据已知条件构造确定的三角形，构造的依据是全等三角形的条件．

基本题型六：三角知识与向量、数列、不等式等知识的综合应用．

3311π例20已知向量a＝(cos，sin)，b＝(cosx，－sinx)，且x∈[0，． 2222

23(Ⅰ)求a·b及|a＋b|；(Ⅱ)若f()＝a·b－2λ|a＋b|λ的值． 2

3131π说明(Ⅰ)a·b＝xx－sinx＝cos2x，x∈[0，]． 22222

3131因为a＋b＝(cosx＋x，sinx－sinx)，所以 2222

π|a＋b|＝(a＋b)＝2＋2cos2x＝2|cosx|＝2cosx，x∈[0，]． 2

(Ⅱ)f()＝a·b－2λ|a＋b|＝cos2x－4λcosx＝2cos2x－4λcosx－1＝2(cosx－λ)2－2λ2－1．

π因为x∈[0，所以cosx∈[0，1]，以下分类讨论． 2

基本策略：先根据向量的运算建立目标函数，转化为三角函数式，或基本初等函数Ⅰ对三角函数的复合函数，综合利用恒等变形、变量代换、基本不等式、导数等知识解决问题．

基本题型七：三角函数性质的一般化．

例21已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0，6)内解的个数的最小值是________________．

说明因为f(2)＝0 f(2－3)＝0 f(1)＝0，所以f(x)＝0在区间(0，3)内至少有2个解，在区间(0，6)内至少有4个解．

例22已知f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0，6)内解的个数的最小值是________________．

说明由f(2)＝0 f(5)＝0．由f(x)是奇函数f(0)＝0f(3)＝f(0)＝0，又f(4)＝f(1)＝f(1－3)＝f(－2)＝－f(2)＝0，f(1.5)＝f(1.5－3)＝f(－1.5)＝－f(1.5)，所以 f(1.5)＝0，f(4.5)＝f(1.5)＝0，综上，1，2，3，4，5，1.5，4.5都是f(x)＝0的解． 基本策略：以三角函数为模型，抽象出：如果一个定义在R上的函数f(x)满足f(a－x)＝±f(a＋x)，且f(b－x)＝±f(b＋x)，其中a≠b，那么这个函数一定是周期函数．

七、复习重点：

1．三角公式：诱导公式、两角和与差的公式、二倍角公式．

2．三角函数的图象和性质：对称性、单调性、周期性和图象的变换．

3．解三角形：以三角形为载体，求三角函数的值，求三角形的内角或边，综合运用三角、平面向量、数列及函数、导数等知识．

八、二轮复习建议

在复习过程中，应注重

1．三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性等性质以及图像的对称性．

2．三角知识的操作性，落实化简、求值、解三角形等重点内容的程式化操作．

3．三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系．

4．三角知识的形象性，体现数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法．

第二篇：备考2010高考语文二轮复习晨读材料4

【美文赏读】

为青春喝彩

王栋

世上有千种拥有，但有一种拥有最珍贵，你也许丝毫觉察不到这种拥有，感觉不到它的价值。随着悠悠岁月的流逝，无数个春夏秋冬的更迭，在你生命的某一天，当你蓦然回首时，才发现自己不再拥有。它不是地位，也不是金钱，而是瑰丽的青春。

世上有万般失却，但有一种失却很无奈，它让你后悔莫及，以一生作代价。你纵有回天之力，也只能仰天长叹，顿足捶胸。它不是权势，也不是美貌，而是无价的青春。

有一种说法很是耐人寻味：世界上有两种东西，当你失掉它们后才会发现其价值，那就是青春和健康。

青春是一种令人艳羡的资本。凭着健壮的体魄，你可以支撑起一方蔚蓝的天空；凭着旺盛的精力，你可以开垦出一片神奇的土地；凭着巨大的潜力，你可以变得出类拔萃，令人刮目。

朋友啊！青春是一笔弥足珍贵的财富，但时间老人却把它作了最精确的均分，给每个人的仅有一份，不论贵贱尊卑，智愚富贫，你一生只能拥有一次，因而才有了“花有重开日，人无再少年”：“百年容易过，青春不再来”的忠告，才有了“盛年不重来，一日难再晨，及时当勉励，岁月不待人”：“莫等闲白了少年头，空悲切”的感叹，才有了“劝君莫惜金缕衣，劝君惜取少年时”的劝勉。

年轻的朋友，即使你百般不知道，万事不顺心，你可以有一千种理由苦闷、埋怨，但却不能有一种理由放弃理想和追求，因为你毕竟年轻，美丽的青春仍牢牢在握，希望阳光属于你，这个世界属于你。

拥有青春，就拥有了一份潇洒和风流。拥有青春，就拥有了一份灿烂和辉煌。

「感悟」

⒈“世上有两种东西，当你失掉它们后才会发现其价值，那就是青春和健康。” ⒉“青春的脚步如云行水边，生活的道路靠我们探求。莫叹息，莫停留，要思考，要奋斗，趁风华正茂，莫让年华付水流。”

⒊请你从比喻的角度给“青春”下几个定义，力求新颖、别致。

只要有一双忠实的眼睛与我一同哭泣，就值得我为生命而受苦。

心存感激

方 建 国

“上帝赐给我南希，我每天都在感谢他。”里根对朋友说。

生活赐给我健康、宁静、爱和欢乐。我每天都拥有一颗知足感谢的心。

我心存感激，因为生活让我知道山是绿的，海是蓝的，雪是白的，太阳是红的。我心存感激，因为生活让我知道日子就像洋葱，只要自己一片片地剥开，就会有一片让我感到流泪不止。

印度的甘地有一次乘火车，他的一只鞋子掉到了铁轨旁，此时火车已经开动，鞋子无法再捡回来。于是甘地急忙把穿在脚上的另一只鞋子也脱下来扔到第一只的旁边。一位乘客不解地问甘地为什么这样做，甘地笑着说：“这样一来，看到铁轨旁的鞋子的穷人就能得到一双鞋子”

很庆幸在生活中我曾不止一次感受到那些与甘地一样善良的心迹。我心存感激，因为我的心常常沉浸在善意的微笑里，而不是躲避在敌视的瞳孔中。我心存感激，因为我得益于善念的不仅仅是一双鞋子。

我心存感激；因为生活让我感受到爱是圆的，美是甜的。

一位在生活中不很顺利的姑娘写信向一位杂志社的编辑倾诉她生活中的不幸，她在信上说她生活至今也没曾穿过一双新鞋子。收到信的编辑也是一位女青年，不幸的是她是一位残疾人。在回信中女编辑说：“没有鞋穿的人总觉得自己很不幸，因为没有新鞋子，可当她有一天看到没有脚的人的时候，才真正感觉到什么是真正不幸。”这位编辑在信中还向这位姑娘推荐一位已经病逝的少年诗人。信上说这位诗人死的时候很年轻，还不到16岁，他的死源于败血症。他是那样的热爱生活，即使在地弥留之际还在用诗来表达那颗热爱生活的心。编辑在信上说：“虽然天空中没有出现翅膀的痕迹，但我确信少年已经飞过了。”

我心存感激，因为我没有那位姑娘一样灰暗的心境。我心存感激，因为我感到我的心跳和少年诗人的心跳一样的强烈。

“只要有一双忠实的眼睛与我一同哭泣，就值得我为生命而受苦。”罗曼？罗兰如是说。备考2010高考语文二轮复习晨读材料

（四）我心存感激，因为我看到了一双忠实的眼睛，但很庆幸还有人为生活而受苦。

「感悟」

有一天，我的脑海里忽然闪现出这样一个念头：如果一个人对生活心怀感激，是不是就会少一些烦恼，少一些牢骚，少一些抱怨，少一些不必要的仇恨，心胸就会宽阔一些，心情就舒畅一些进而美好一些了呢？

这个念头逐渐壮大起来，像一棵树隐藏在我的体内，在那里舞蹈。

有了这样一个念头，有了这样一棵树，我觉得自己就像换了一个人，这个世界就像换了一个世界，心情豁然开朗起来。

对土地心怀感激，对山川心怀感激，对日月心怀感激，对父母心怀感激，对爱人心怀感激，对朋友心怀感激，对所有帮助过我们的人心怀感激，甚至对素不相识的人心怀感激，假如他不是我们的敌人，我们就可以对他心怀感激。

昨天的敌人也会变成今天的朋友，只要我们的良心不死，心怀感激。

对亲人的每一次呵护心怀感激，对同事的每一次关心和问候心怀感激，对我们生命中的每一个早晨心怀感激。

所谓滴水之恩涌泉相报，就是心怀感激。

不要总觉得每个人都欠你二百吊大钱，不要总觉得这个世界该着你八百斗黄豆。你要是总觉得不满足，总觉得亏得慌，总想索取不想付出，那么快乐和幸福永远也不会去叩你家的大门。你就会变得斤斤计较，牢骚满腹，患得患失，小肚鸡肠，鼠目寸光，暴跳如雷，火冒三丈，自己将自己孤立起来，冷落起来，岌（ji）岌可危，四面楚歌，自己把自己弄得臭不可闻。

心怀怨恨，心怀不满，久而久之，就会对生活失信心，失去乐趣，你还会失去健康，孤苦伶仃，憔悴不堪。

心怀感激地对待生活，你就不会钻牛角尖、走死胡同甚至铤而走险。

心怀感激，是一种德行，是一种处世之道。你不妨试试。（华夏）

力所能及的事情，只要我们认真做了，我们的生活就很充实。

【诗歌鉴赏】赠友送别诗

“黯然销魂者，惟别而已。”（江淹《别赋》）作为至情至性的诗人，面临与挚友分别时，心中会产生一种不吐不快的激情。因此，在中国诗坛上，送别诗一直是诗家的重要题材。

赠友送别诗主要为抒写离别之情。考察其抒情方式，有直接抒情与间接抒情两种方式。直接抒情的，如唐诗人高适意境高远的七绝《别董大》：

千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷。莫愁前路无知己，天下谁人不识君！

诗的前两句以粗犷笔调和白描手法，绘出一幅北国寒冬图：日暮黄昏，大雪纷飞，于北风狂吹中，唯见遥空断雁，出没寒云，使人难禁日暮天寒、游子何之之感。以才人而沦落至此，几使人无泪可下，亦唯如此，故知己不能为之开心。这两句以叙景而见内心之郁积，虽不涉人事，已使人如置身于风雪之中，似闻山巅水涯有壮士长啸。联系上下文，可知诗人友情之深挚，别意之凄酸。

接着，作者以豪迈的气势，开朗的胸襟，叙写离情，激励友人，于一般的凄清缠绵、低徊留连，悲凉伤感的情调之外，创造了一种慷慨悲歌的风格，以它的真诚情谊和坚强信念为灞桥柳色和渭城风雨涂上了另一种豪放健美的色彩。

间接抒情的，又有多种形式。

以喻显情的，如李白景象宏阔、别情深挚的七绝《黄鹤楼送孟浩然之广陵》：

故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流。

诗的后两句看起来是写景，但在写景中又包含了一个充满诗意的细节。李白一直把朋友送上船，船已经扬帆远去，而他还在江边目送远去的风帆，直到帆影消失在碧空的尽头，可见目送时间之长。帆影已经消失了，而李白还在凝望，这才注意到一江春水在浩浩荡荡地流向远远的水天交接之处。“惟见长江天际流”，是眼前景象，可是谁又能说是单纯写景呢？李白的向往，李白对朋友的一片深情，不正体现在这富有诗意的神驰目注之中吗？诗人的心潮起伏，不正像浩浩东去的一江春水吗？

借酒抒情的，如王维构思精巧、语言新鲜的七绝《送元二使安西》（又作《阳关曲》、《渭城曲》、《阳关三叠》）：

渭城朝雨浥轻尘，客舍青青柳色新。劝君更尽一杯酒，西出阳关无故人。

这首诗在交待了送别时间、地点和环境气氛后，对如何设宴饯别，宴席上如何频频举 杯、殷切话别，以及启程时如何依依不舍，登程后如何瞩目遥望等等一概舍去，只剪取宴会即将结束时对主人的劝酒辞。诗人像高明的摄影师，摄下了最富表现力的镜头和场面。宴席进行了很长一段时间，酿满别情的酒已喝过三巡，殷勤告别的话已说过多次，朋友上路的时刻终于不能不到来，主客之间惜别之情在这一刻都到了顶点，主人这一句似乎脱口而出的劝

酒辞就是此刻强烈、深挚的惜别之情的集中体现。这种安排，很好地写出了送别的深情。

借物衬情的，如杜牧坦率真挚、留恋缠绵的七绝《赠别二首》（其二）：

多情却似总无情，唯觉樽前笑不成。蜡炬有心还惜别，替人垂泪到天明。

诗三、四两句描写别情，作者没有正面表现，而是撇开自己，去写告别宴会上那燃烧的蜡烛，借物抒情。诗人常带着感伤的心情去看周围的世界。于是眼中的一切都带上了感伤的色彩。在诗人的眼里，蜡烛的烛芯变成了“惜别”之心，蜡烛拟人化了。它那彻夜流溢的烛泪，就是在为男女主人公离别而伤心了。结句的“到天明”点出了告别宴饮时间之长，从侧面表现了诗人不忍分离的笃挚感情。

借景抒情的，如唐诗人刘长卿虚处藏神、用笔神妙的五绝《送灵澈上人》：

苍苍竹林寺，杳杳钟声晚。荷笠带夕阳，青山独归远。

精美如画，是这首诗的明显特点。但这幅画不仅以画面上的山水、人物动人，而且凭画外的诗人自我形象令人回味不尽。那寺院传来的声声暮钟，触动诗人的思绪；这青山独归的灵澈背影，勾惹诗人的归意。耳闻而目送，心思而神往，正是隐藏在画外的诗人形象。他深情，但不为离别感伤，而由于同怀淡泊；他沉思，也不为僧儒殊途，而由于趋归意同。也就是说，这首送别诗的主旨在于寄托着、也表露出诗人不遇而闲适，失意而淡泊的情怀，因而构成了一种闲淡的意境。此诗如画，其成功的原因亦如画，景色的优美正由于抒情的精湛。

【作文素材】高考作文素材---与唐朝诗人对话（完）

致陈子昂

四川射洪，那个地方我知道。我知道它缘于一个叫沱牌的酒厂，缘于酒厂里的诗人朋友，当然她不像伯玉先生那样声名响亮。因此我只能在心里记下她的名字，而不在朋友的面前时常提起。

我一生懒散，唯对文学一腔忠诚，终因先天的不足和后天的缺乏，始终无法到达一个顶峰。更不敢像先生那样高吟：“前不见古人，后不见来者。念天地之悠悠。独怆然而涕下。”我并非不愿负重而行。也不害怕苍老会在瞬间凝固在我的脸上，只是，现在的世界变得太快，我即使什么不做也时常感到疲倦，总觉得四周异常寒冷而我又非常虚弱。如今的天地间。行动是非常自由了，每个人都可以按照自己的方式生活。

但是，伯玉先生。我知道我们与你的影子已不仅仅是擦肩而过，而且是愈离愈远。

致贾岛

推推敲敲，当你无法把那个句子定下来的时候，我突然想到，人生不也就是那么一回事么!

繁忙的人很多。闲着的人也不少。但能看到野草把整个园子吞没了的没有几个，谁愿意看那些影响美丽的地方呢?其实，影响美丽的事物有时候也是另一种美丽的事物。只是我们没有那双从事物侧面观察的眼睛。

鸟宿营不会挑捡地方。它们可以在任何一个地方随遇而安。它们的本领让我们的新新人类应该感到汗颜。面对生存他们往往会失去信心和耐力，有时甚至会丧失自己。

和尚在月亮下敲门．如果换了现在不知道人们会怎么想，敲门的原因大多不是自己的家，只有推门而人才显得真实与合理呀!不知道谁教你用了这个词，真是可怕!，阆仙，应该也是一个旷达的称谓，你为何不能果果断断地相信自己呢?桥过去了，好多东西也随之改变，但我只想说，你更应该改变一下，没有什么东西是不能改变的，就像人生。

致温庭筠

窗外的小雨还在不停地下着，行人匆匆忙忙地走着。没有谁会在意我的心情，但这并不是一件坏事。我因此有了更多属于自己的空间，想欢乐就欢乐，想悲伤就悲伤。千帆过尽的时候，我依然看不到你的那条小舟，有什么能让我的心情有所释放呢?看一看最近的天气预报，所有的日子里都写着阴转多云或偶有小雨。

我经历过的那段情感的夏天又在继续着，送我出村的女孩现在已是一个孩子的母亲。我知道，我再次回来的时候。她不会再为我梳妆或洗面了。素面朝天。她开始习惯于做一个农家的妇女。

我如今依旧保留着那个做梦的习惯，静静地守候在曾经的往事里，我不敢再回乡下了，不敢再踏上那条被我们走了无数遍的小路，我害怕遇上那双让我至今依然无法抹开的眼睛。江南一定很美．我很想去，但我知道没有一窗江南的窗户在为我开着。即便遇着一位愿意收留我的女子。我也只能在这个遥远的地方想想罢了，肠断的滋味。我再也不敢经受了。飞卿先生，像你一样，梦一梦江南也好，梦不是现实。没有什么可以让自己深怀感伤。

致李白

太是非常，白是干净，不污染，太白就是非常干净不能被污染或与之同流合污。

李白，你离天空太近，离大地太远。研究的人都在孜孜不倦地述说着代表自己的观点。我用不着细述你的坚韧，也用不着粗言你的狂放,但我知道这个寒冷的世界上，谁的手臂也挽留不了任何东西。

西方很近，但你乘着那只飞了许久的仙鹤,一走就是多年，却依旧没有走出人们的视线。像陕西的长安和唐朝的城楼。只是门环换了。玉阶或王榭早已不再这么叫了，你曾经留下的屐履也已被现代人踩得变形!

这是你我都不能改变的命运，就像那些不能再喝的酒，不仅不再有斗那种容器，连内容也变了，甲醇和水也能变成声名万里的杏花村。乡间的小道也不能走了，撤掉的酒旗。换成了充满幻想色彩的都市霓虹，或者浓妆艳抹而又稚气未脱的女孩。人生何处不诱惑?但这诱惑能给我们带来些什么?

李白，你的时代诗歌是那么枝繁叶茂，但你们都走了之后，诗歌就收起了飞翔的翅膀。现代的社会不需要诗人，即使一万种姿态也唤不回曾经的光芒。如今的时代，所有的精彩都要打磨上包或充分包装。能喝酒的人依旧很多，干杯不醉者也大有人在,但他们不是天才，只是酒囊饭袋，涛歌已不再有诗歌的感觉!

李白，是不是跨上鹤就可以放下一切，一去不再回来?金星远在天际．曾经的“北斗”还叫北斗，还在那片遥遥的苍茫中。我知道我什么也没有，除了一点儿还在涌动的思念，连朋友也没有一个，但我不会故作姿态。

我是一个乡下的孩子。我终将会把自己融人泥土，让生命长出一大片叶子。

致杜甫

窗外的尘土正在落下，阳光白白的，像铁皮的表面。偶尔的一缕轻风，凉凉的感觉很舒适也很短暂。

子美先生，在我居住的城市。上空飘着混合的气味，现代都市的气味，墙壁上涂抹的色彩，渲染着桔黄色的温暖与柔和。窗户上的蓝玻璃是一种向往，渴望凉爽的意思。它并不像你曾经经历的那种颜色。

我喜欢左手拿笔,右手压着信纸，把自己分割成无数个碎片也拼不出你的一行泪水。我知道每个人的经历都是自己的感受，没有谁可以成为另一个人的心腹。我读着你的诗，看到有一个关于石壕的注释：石壕，村镇名，锕南省陕县东边。东边是什么词，我不清楚，我清楚的是，如今的石壕已经很出名，因为你的诗，被好多人利用，利用就能说明你的存在吗?我知道只要是心系国家和人民的人，总是让人们充满渴望的，比如生在这个时代的焦裕禄、孔繁森，虽然他们都已去得很远。但他们的精神却在放射着不朽的光芒，人只有活在人民的心中才会不朽。同样我还是可以接受他们给你的另一种解释：你给了这个地方一个新的生命。

子美先生，穿过石壕之后。你就老了，但你的方式却更为洁净。当所有返乡的候鸟都在疾飞，你却在晚李白八年之后的那个春天，永远地留在了湘水上。是为了印证什么吗?“老板，准备两桌特色的菜，今晚有贵宾。”突然的声音，打破我内心的宁静。我看到一个挺着肚子的光头男人向一个低眉顺眼的女人说着。我知道，这个夜晚，我面对的生活和经历的时代将重新开始!

致柳宗元

子厚先生，你的《江雪》离我已有二十多个年头了，但二十多年，我始终不能忘了那个独立船头在寒江独钓的老人。那镜头就像一个永恒的梦，覆盖着我的童年。

水的流声我不能听到，船是否晃荡我不能看到，我所有的想像，只有那上下起伏的鱼漂，伴随着鱼儿争食的节奏，由缓慢到激烈。我有过那种感觉。我也曾驾过船儿，在船头上抛过钓竿，但我没钓到鱼儿，我常常心不在焉，不停地把思绪转向遥远的地方。我不为其他的人钓到鱼儿着恼，有了思索还会有缺憾吗?

千山的鸟都已飞绝了，所有的路上没有一个人的足迹,在这种地方摆一只小舟，穿着蓑衣戴着斗笠，无论是不是老翁，都不再重要了，重要的是，你如果不是一个被生活所逼，就一定是隐居世外的高人。

子厚先生，你一定不是高人。你没有隐居者的那种心态，虽然也唱过：“渔翁夜傍西岩宿，晓汲清湘燃楚竹。烟销日出不见人，歙乃一声山水绿，回看天际下东流，岩上无心云相逐。”那只是你的一种感觉。你的心远没有你的诗更为放达!

子厚先生，是不是每一个男儿一生要背着很多东西呢?

蓦然回首，我看到落日在天际处，斜斜地照着柳州，照着一棵古老的柳树。

第三篇：高考二轮复习数学考点突破之数列+三角函数与平面向量

高考二轮复习数学考点突破之数列+三角函数与平面向量

高考二轮数学复习：三角函数与平面向量

1.三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一.近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等.高考对三角函数与三角恒等变换内容的考查，一是设置一道或两道客观题，考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容;二是设置一道解答题，考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，一般出现在前两个解答题的位置.无论是客观题还是解答题，从难度来说均属于中低档题目，所占分值在20分左右，约占总分值的13.3%.2.平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一.高考常设置1个客观题或1个解答题，对平面向量知识进行全面的考查，其分值约为10分，约占总分的7%.近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义;二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等问题中的应用.1.2011年高考试题预测

(1)分析近几年高考对三角函数与三角恒等变换部分的命题特点及发展趋势，以下仍是今后高考的主要内容：

①三角函数的图象与性质是高考考查的中心内容，通过图象求解析式、通过解析式研究函数性质是常见题型.②解三角函数题目的过程一般是通过三角恒等变换化简三角函数式，再研究其图象与性质，所以熟练掌握三角恒等变换的方法和技巧尤为重要，比如升幂(降幂)公式、asin

x+bcos

x的常考内容.③通过实际背景考查同学们的数学建模能力和数学应用意识.高考二轮复习数学考点突破之数列

1.本专题是高中数学的重要内容之一，在高考试题中一般有2～3个题

(1～2个选择、填空题，1个解答题)，共计20分左右，约占总分的13%.选择题、填空题的难度一般是中等，解答题时常会出现与函数、三角、不等式等知识交汇的问题，故多为中等偏上乃至较难的问题.2.数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏，有关数列的试题一般是综合题，经常把数列与不等式的知识综合起来考查，也常把数列与数学归纳法综合在一起考查.探索性问题是高考的热点，常有数列解答题中出现.3.近两年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式.(2)数列与其他知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合.(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主.试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，有一些地方用数列与几何的综合，或与函数、不等式的综合作为最后一题，难度较大.热点，常有数列解答题中出现.

第四篇：年高考数学二轮复习专题讲座数列徐永忠

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第五篇：高考二轮数学复习秘诀

数学的学习是需要有基础的，如果基础打不好以后的学习就会很吃力，基础是从开始的时候就要打下的，所以建议学生自己做好长期的计划，磨炼学习的意志，下面给大家分享一些关于高考二轮数学复习秘诀，希望对大家有所帮助。

高考二轮数学复习秘诀

搭建知识结构桥梁

高考二轮复习将会加大横向关联内容的联系，其实就是前面所说的以专题形式来进行复习。这就更加需要考生搭建自己的知识结构桥梁。

你不能照搬别人的经验，因为每个人的实际情况并不相同，别人的知识结构对你的帮助不大，所以这就需要自己一步一步地把基础夯实，在牢固的知识基础之上构建自己的知识脉络。

突出对课本基础知识的再挖掘

近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向。强调对通性通法的考查，并且一些高考试题能在课本中找到“原型”。尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，只有透彻理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。当然回归课本不是死记硬背，而是抓纲悟本，对着课本目录回忆和梳理知识，对典型问题进行引申，推广发挥其应有的作用。

突破难点，关注热点

在全面系统掌握课本知识的基础上，数学第二轮复习应该做到重点突出，需要强调的是猜题，押题是不可行的，但是分析、琢磨、强化、变通重点却是完全有必要的。考生除了要留心历年考卷的变化内容，还要关注不变的内容，因为不变的内容才是精髓，才是重点。这也是强调对主干的考察是保证考试公平的基本措施和手段。同时，还要关注科研、生产、生活中与数学相关的热点问题，并能对所学的知识进行简单的分析，归纳，这对于考生提高活学活用知识的能力又很大裨益。

如何快速提高高三数学成绩

1.要制定适合自己的学习方案

给自己制定一个目标是很重要的，因为高中数学成绩不好更要通过制定一个好的方案来提高，合理的利用时间，要知道高中的课程是很紧张的，一定要把能用上的所有时间充分的利用起来，稳稳的打好基础在进行下一步的学习，不能求快要求问，要知道欲速则不达的道理。

2.复习是提高成绩的一方面

有许多的同学问高中数学成绩不好怎么办?那你先问一下自己是不是很好的复习了以前学过的?因为复习是一个很重要的稳固数学知识点的一个重要方面。在课上听老师讲的内容可能当是很明白，而且自己也感觉都会了，但课下做题发现根本做不出来了，这是什么原因呢?当然是因为复习的不好的原因，复习就巩固知识的过程，高中数学成绩想要提高怎么能少的了课后复习。

3.多做题也很重要

每当老师讲完课后学生做的就是做作业，这是很正常的，但光做作业是不行的，一定要找大量的题来做，来回巩固不会的题，题目尤其是那些看起来懂有不懂得题目，最好是通过多做题的形式来把这样的题目做熟练，做的题目多了自然就掌握的更加牢固了，所以说，多做题是提高高中数学成绩的一个好方法。但是，做题需要注意的是一定要独立完成，更不能提前看答案在做过程，要养成好的习惯。

高中数学零基础逆袭的方法

1.先看笔记后做作业

有的同学感到，老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是，为什么自己一做题就困难重重了呢?其原因在于，同学们对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。

2.做题之后加强反思

同学们一定要明确，现在正做着的题，一定不是考试的题目。而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思，总结一下自己的收获。要总结出：这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串。日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。

俗话说：“有钱难买回头看”。我们认为，做完作业，回头细看，价值极大。这个回头看，是学习过程中很重要的一个环节。要看看自己做对了没有;还有什么别的解法;题目处于知识体系中的什么位置;解法的本质什么;题目中的已知与所求能否互换，能否进行适当增删改进。有了以上五个回头看，学生的解题能力才能与日俱增。投入的时间虽少，效果却很大。

3.主动出击，总结提高

章节讲完之后，一定要进行总结归纳，将本章知识点易考点汇总起来。高中老师很少给留时间做总结，这就要求我们要主动出击，自主总结。

(1)考试之后，要把试卷的所有题做一份总结，将没有掌握的重点标注，方便以后复习。

(2)基础知识复习的时候，将定理、法则、知识点、高频考点标记。

(3)将重要知识点、高频考点、典型问题进行汇总。考点框架基本固定，要将解题思路理清楚，掌握套路。

4.主动改错，错不重犯

一定要重视改错工作，做到错不再犯。高中数学课没有那么多时间，除了少数几种典型错，其它错误，不能一一顾及。如果能及时改错，那么错误就可能转变为财富，成为不再犯这种错误的预防针。但是，如果不能及时改错，这个错误就将形成一处隐患，一处“地雷”，迟早要惹祸。有的同学认为，自己考试成绩上不去，是因为自己做题太粗心。而且，自己特爱粗心。打一个比方。比如说，学习开汽车。右脚下面，往左踩，是踩刹车。往右踩，是踩油门。其机械原理，设计原因，操作规程都可以讲的清清楚楚。如果新司机真正掌握了这一套，