07-08微积分(II)期末考试复习指南

第一篇：07-08微积分(II)期末考试复习指南

07-08微积分(II)期末考试复习指南

各章涉及的考点主要包括：

五、定积分及其应用

1、定积分的概念和性质

2、微积分基本定理和微积分基本公式（如书上P188习题5-3.1、3、6）

3、换元积分法和分部积分法（如书上P191 例5；P194习题5-4.2(2)(4)(5)(6)）

4、广义积分（如书上P197 例

5、P198 例8）

5、直角坐标系下平面图形的面积和旋转体的体积（如书上P202例2;P203例3；P206例9；P208习题5-6.12（3））

注意：本章复习要诀，要花大力气做好充分复习，但考点涉及的各种问题都要适当地做几道练习题，加深对相关概念、公式和定理的理解。本章所占分值较大。

六、多元函数微积分

1、二元函数的极限（如书上P13习题6-2.4）

2、偏导数（如书上P17例4；P18习题6-3.2）

3、全微分，全微分与连续、偏导数的关系（如书上P21习题6-4.2、3）

4、复合函数和隐函数的微分（如书上P29习题6-5.15、16）

5、拉格朗日乘数法（如书上P35例8；P39习题6-6.7；P59总复习六24）

6、二重积分：交换二次积分次序、分别在直角坐标系和极坐标系下计算二重积分（如书上P52习题6-8.1、3；P55例

1、例2）

注意：本章复习要诀，要花大力气做好充分复习，考点涉及的各种问题要适当地做几道练习题，加深对相关概念、公式和定理的理解。本章所占分值最大。

七、无穷级数

1、正项级数的判定（如书上P69例

1、P70例4；P96 总习题七4（2）（4）（6））

注意：本章复习要诀，不要钻研复杂的无穷级数，理解常数项级数的概念和性质，能够正确判断正项级数的敛散性，对相关问题要适当地做一些练习题，加深对相关概念、公式和定理的理解，效果应该不错。

八、微分方程与差分方程

1、可分离变量的微分方程（如书上P103例

1、P104例2）

注意：本章复习要诀，搞清楚可分离变量的微分方程的特征以及解法，并适当地做一些练习题即可。

第二篇：微积分II全书整理

第一部分 多变量微分学

一、多元函数极限论 1.多元函数极限的定义：

（1）邻域型定义：设函数f(P)的定义域为D，P0是D的聚点，如果存在常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点PDU(P0)时，都有f(P)A，那么就称常数A为函数f(P)当PP0时的极限，记作limf(P)A.PP0（2）距离型定义：设函数f(P)的定义域为D，P0是D的聚点，如果存在常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点PD，且0(P,P0)时，都有f(P)A，那么就称常数A为函数f(P)当PP0时的极限，记作limf(P)A.PP0注：①这里给出的是数学分析中国际通用的定义，已自然排除了P0邻域内的无定义点； ②极限存在的充要条件：点P在定义域内以任何方式或途径趋近于P0时，f(P)都有极限； ③除洛必达法则、单调有界原理、穷举法之外，可照搬一元函数求极限的性质和方法，常用的有：等价无穷小替换、无穷小×有界量=无穷小、夹挤准则等；

④若已知limf(P)存在，则可以取一条特殊路径确定出极限值；相反，如果发现点P以不PP0同的方式或途径于P0时，f(P)区域不同的值，则可断定limf(P)不存在.PP0⑤二元函数的极限记为（x,y)(x0,y0)limf(x,y)A或limf(x,y)A.xx0yy02.多元函数的连续性：设函数f(P)的定义域为D，P0是D的聚点，如果P0D，且有PP0limf(P)f(P0)，则称f(P)在P0处连续；如果f(P)在区域E的每一点处都连续，则称f(P)在区域E上连续.注：①如果limf(P)f(P0)，只称“不连续”，而不讨论间断点类型；

PP0②在有界闭区域上的连续函数拥有和一元函数类似的性质，如有界性定理、一致连续性定理、最大值最小值定理、介值定理等.3.二重极限与累次极限

累次极限与二重极限的存在性之间没有任何必然的联系，但若某个累次极限和二重极限都存在，则它们一定相等；反之，若两个累次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在，又若两个累次极限存在且相等，称累次极限可以交换求极限的顺序.二、偏导数、全微分

1.偏导数、全微分的相关理论问题（以二元函数为例讨论）

（1）偏导数的存在性：讨论对某个变量的偏导数，则将其他变量当作常数.f(x,y0)f(x0,y0)f(x0,y)f(x0,y0)limfx'(x0,y0)；limfy'(x0,y0).xx0yy0xx0yy0（2）可微性：记zf(x0x,y0y)f(x0,y0)，则仅当limx0y0z(AxBy)(x)(y)220时，f(x,y)在(x0,y0)处可微，否则不可微.其中Afx'(x0,y0)，Bfy'(x0,y0).注：等价于zAxByo(x)2(y)2

即f(x0x,y0y)f(x0,y0)(AxBy)o又即

(x)2(y)2

f(x,y)f(x0,y0)fx'(x0,y0)(xx0)fy'(x0,y0)(yy0)o(xx0)2(yy0)2记dzAxByzzdxdy为全微分f(x,y)在(x,y)处的全微分.xy中值定理推广为：zfx'(x1x,yy)xfy'(x,y2y)y,01,21.（3）偏导数的连续性：讨论偏导连续性，先用定义求fx'(x0,y0)和fy'(x0,y0)，用公式求fx'(x,y)和fy'(x,y)，判断limfx'(x,y)fx'(x0,y0)和limfy'(x,y)fy'(x0,y0)xx0yy0xx0yy0是否都成立，如果都成立则偏导数连续.④逻辑关系：

连续偏导连续可微偏导存在极限存在

2.多元函数微分法：（1）链式求导法则：

①从题目中的复合关系画出从起始变量经过中间变量到终变量的复合结构图；

②求偏导就是“走路”的过程，有几条路，等号后就有几项；每条路上有几段，每项中就会有几部分相乘（注意：偏导写偏微分符号“”，不偏则写微分符号“d”）； ③严格遵守用位置表示偏导数的规则，注意避免符号混乱和歧义；

④对于求高阶偏导数的问题，不论对谁求导，也不论求了几阶导，求导后的新函数仍具有与原来函数相同的复合结构（注意若偏导连续则相等，要合并同类项）.（2）全微分形式不变性：仅一阶全微分可以使用，高阶全微分不再成立.（3）隐函数存在性及求导法则：

①一个方程的情形（以三个变量为例）：设F(x,y,z)在点(x0,y0,z0)某邻域内偏导连续，且F(x0,y0,z0)0，Fz'(x0,y0,z0)0，则方程F(x,y,z)0在点(x0,y0,z0)内某邻域内可唯一确定单值函数zz(x,y)，这个函数在(x0,y0)的某邻域内具有连续的偏导数，且

Fy'F'zz.结论不难推广到一般情形.x，xFz'yFz'②方程组的情形：一般地，设方程组Fi(x1,x2,,xn;u1,u2,,um)0(i1,2,m)可确定m个n元函数uiui(x1,x2,,xn).当雅可比行列式

F1u1F2(F1,F2,,Fm)Ju1(u1,u2,,um)Fmu1F1u2F2u2Fmu1F1umF1um0 F1umui(F1,F2,,Fm)J时，可以确定其中J由将J分母中的第i个元素替换成xj，(u1,u2,,um)xjJ得到.（雅可比行列式在横向上改变各自变量，纵向上改变各函数名称）注：①求导前应事先判断，a个变元，b个方程可确定b个(ba)元函数； ②有些比较简单的问题不必使用此通法，可以考虑利用全微分形式不变性.③经验结论：由u(x,y,z),v(x,y,z),F(u,v)0确定的隐函数zz(x,y)，2zA求2时，有x(F2')22u2vuF1'2F2'20；

xxx22zAuu2u2v求时，有F1'F2'0； 2xyxyxy(F2')xyA2z求2时，有(F2')2y2u2u2vyF1'y2F2'y20，22其中A(F2')F“112F1'F2'F”12(F1')F“22.（F(x,y)0的曲率：A21(F')(F2')322）

三、多元微分学的几何学应用（以下的讨论主要为了计算，条件未必严格）

xxt1.曲线的切线和法平面：设曲线l:yyt 在P0处x't0，y't0，z't0都存在且不为0，zzt则曲线l在P0处的：（1）切线方程为xx0yy0zz0： x't0y't0z't0（2）法平面方程为x't0(xx0)y't0(yy0)z't0(zz0)0.注：若曲线以F(x,y,z)0Fy'Fz'Fz'Fx'Fx'Fy'形式给出，切向量为，，.G'G'G'G'Gx'xzGz'yG(x,y,z)0y2.曲面的切平面与法线：设曲面由方程F(x,y,z)0确定，F(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)处可微，且Fx'，Fy'，Fz'不为0，则曲面在P0处的：

（1）切平面方程为Fx'(xx0)Fy'(yy0)Fz'(zz0)0（导数已经代入P0坐标）；（2）法线方程为xx0yy0zz0.Fx'Fy'Fz'注：二元函数在某点处的全微分等于其在这点处切平面竖坐标的增量.3.方向导数：（1）定义式：ulP0limPP0f(P)f(P0)

PP0（2）若函数f(x,y,z)在点P0处可微，那么f(x,y,z)在点P0处沿所有方向的方向导数存在，且flP0fffcoscoscos，其中cos,cos,cos为l的方向余弦.xyz注：沿所有方向的方向导数存在不能推出可微，偏导数存在不能推出各方向导数存在.4.梯度：

（1）计算：grad u=uuui+j+k； xyx（2）grad u是u(P)在点P的变化量最大的方向，其模等于这个最大变化率；（3）梯度的运算法则和一元函数的求导法则相似；（4）方向导数等于梯度在该方向上的投影.四、极值与最值问题

1.二元函数的非条件极值问题

（1）极值的必要条件：对偏导数存在的函数f(x,y)，在M(x0,y0)处有极值的必要条件是f(x0,y0)f(x0,y0)0.（可推广到三元及以上）

xy（2）极值的充分条件：设M(x0,y0)为函数f(x,y)的驻点，且f(x,y)在(x0,y0)处连续，记Af”xx(x0,y0),Bf“xy(x0,y0),CAf”yy(x0,y0),BAC，则： ①0时，(x0,y0)是极值点，当A0时，f(x0,y0)为极小值；当A0时，f(x0,y0)为极大值；

②0时，(x0,y0)不是极值点； ③0时，此法失效，另谋它法.注：本方法不可推广到三元及以上，三元及以上的充分条件中，要求黑塞矩阵正定或负定.（本知识不做要求，在出题人手下不会出现三元以上的极值判断问题）2.条件极值与拉格朗日乘数法

（1）一般情况下的拉格朗日乘数法：求函数uf(x1,x2,,xn)在条件i(x1,x2,,xn)下的条件极值(i1,2,m,mn)，可以从函数

2F(x1,,xn,1,,n)f(x1,x2,,xn)ii(x1,x2,,xn)

i1m的驻点中得到可能的条件极值的极值点.步骤：

①构造辅助函数；（注意：变量均为独立变量）②求各变量的一阶导并令其为零，联立得到方程组； ③解方程组得到所有驻点.（解无定法，尽量利用观察法）（2）对“条件极值”的解读：

事实上，只利用拉格朗日乘数法求条件极值无异于掩耳盗铃.由于对于多元函数，构造拉格朗日函数后会出现至少三个变量，在数学上欲判断求得的驻点是否是极值点需要利用三阶以上的黑塞矩阵.而出题人为了回避这一知识点，通常以实际问题的形式来考察拉格朗日乘数法.由于在实际问题的背景下必存在最值，可以认为“所得即所求”，但是实际上求出的并不是真正的条件极值，而是在条件下的最值.所以，出题人通常在题目中会以“最值”来代替极值进行考察.五、习题

2u2uy1.已知方程220有u形式的解，求出此解.xyx2.已知二元函数zf(x,y)可微，两个偏增量：xz(23x2y2)x3xy2x2y2x3，yz2x3yyx3y2.且f(0,0)1,求f(x,y).2z3.设F(xyz,xyz)0确定zz(x,y)，其中F有二阶连续偏导数，求.xy2224.已知函数zf(x,y)可微，且有

zzz0，y0.现在将x作为满足方程(xz)xxyy,z的函数，求x.y5.设yf(x,t),t是由方程F(x,y,t)0确定的x,y的函数，其中F和f均有一阶连续的偏导数，求dy.dx6.设x(u,v),y(u,v),zf(u,v),z是x,y的二元函数，求

zz.及

xy7.求函数we的方向导数.8.求grad[c·r+2yln(xz2)在点(e2,1,e)处沿曲面xeuv,yeuv,zeuv的法线向量1ln(c·r)],其中c为常向量，r为向径，且c·r >0.2'9.设二元函数f在P0(x0,y0)点某邻域内偏导数fx'和fy都有界，证明:f在此邻域内连续.10.设fx'(x0,y0)存在，fy(x,y)在(x0,y0)处连续，证明：f(x,y)在(x0,y0)处可微.'x3y3，(x,y)(0,0)11.证明：函数f(x,y)x2y2在原点处偏导数存在但不可微.0，(x,y)(0,0)12.设zz(x,y)是由方程2xy其中有连续的二阶导函数，证明：确定的二元函数，zz2z2z2z.xyx2y213.证明：曲面e2xzf(y2z)是柱面，其中f可微.第二部分 多变量积分学

一、各类积分的计算公式及意义

（一）二重积分 1.计算公式

①直角坐标系下的二重积分：②极坐标系下的二重积分：

fx,ydxdydxDabby2(x)y1(x)fx,ydydycdx2(y)x1(y)fx,ydx

Dfx,ydxdydr2()r1()frcos,rsinrdrrdra2(r)1(r)frcos,rsind.(x,y)dudv

(u,v)③二重积分的变量替换：

xyfx,ydxdyuvfx(u,v),y(u,v)2.几何意义：fx,y0时，表示以z0为底，以zfx,y为顶的曲顶柱体的体积.3.物理意义：各点处面密度为fx,y的平面片D的质量.（二）三重积分 1.计算公式

①直角坐标系下的三重积分：（1）柱型域：

投影穿线法（先一后二法）：（2）片型域：

定限截面法（先二后一法）：

fx,y,zdVdxdyVxyz2x,yz1x,yfx,y,zdz

Vfx,y,zdVdzfx,y,zdxdy

z1Dzz2②柱面坐标系下的三重积分：

fx,y,zdVfrcos,rsin,zrdrddzdVVr2r1rdrz2r,z1r,frcos,rsin,zdz③球面坐标系下的三重积分：

Vfx,y,zdVfrsincos,rsinsin,rcosr2sindddrVd21sindr2,r1,frsincos,rsinsin,rcosr2dr

④三重积分的变量替换：

Vxyzfx,y,zdVfx(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)Vuvw(x,y,z)dudvdw

(u,v,w)2.物理意义：各点处体密度为fx,y,z的几何形体的质量.（三）第一型曲线积分： 1.计算公式

①平面曲线的情形：

bxxt,（1）C:atb则fx,ydsfxt,ytx2ty2tdt.Cayyt,（2）C:ygx,axb则（3）C:rr,则②空间曲线的情形：

Cfx,ydsfx,gx1g'2xdx.abfx,ydsfrcos,rsinCr2r2d.xxt,C:yyt,atb:fx,y,zdsfxt,yt,ztx2ty2tz'2tdt.Czzt,2.几何意义：以C为准线，母线平行于z轴的柱面介于z0与zfx,y间的面积.3.物理意义：各点处线密度为fx,y（或fx,y,z）的曲线C的质量.（四）第一型曲面积分： 1.计算公式：

fx,y,zdSfx,y,zx,ySxyzz1ydxdy.x222.物理意义：各点处面密度为fx,y,z的曲面S的质量.（五）第二型曲线积分：

1.计算公式：

①平面曲线的情形：C:xxt,atbyyt,baP(x,y)dxQ(x,y)dyCP(x(t),y(t))dx(t)Q(x(t),y(t))dy(t)

xxt,②空间曲线的情形：C:yyt,atb

zzt,CbP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzP(x(t),y(t),z(t))dx(t)Q(x(t),y(t),z(t))dy(t)z(x(t),y(t),z(t))dz(t)

a2.物理意义：力场F=P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k沿有向曲线C所做的功.（六）第二型曲面积分： 1.计算公式：

P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdySzzP(x,y,z(x,y))Q(x,y,z(x,y))R(x,y,z(x,y))dxdy.xyxy2.物理意义：流速场v=P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k单位时间通过有向曲面S流向指定一侧的净通量.二、各种积分间的联系

1.第一型曲线积分与第二型曲线积分：

CPdxQdyRdzPcosQcosRcosds.C2.第一型曲面积分与第二型曲面积分：

PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdS.SS3.第二型曲线积分与二重积分（Green公式）：

QPPdxQdyCxydxdy.D4.第二型曲面积分与三重积分（Gauss公式）：

PQRPdydzQdzdxRdxdyxyzdV.SV5.第二型曲线积分与第二型曲面积分（Stokes公式）：

RQQPPRPdxQdyRdzdydzdzdxCyzdxdy.zxxyS

三、各种积分的通用性质

1.黎曼积分的性质

1°fPgPdfPdgPd.12°

fPdfPdfPd，其中122，且1与2无公共内点.3°若fPgP，P，则

fPdgPd.若fPgP,fPgP，且fP,gP连续，P，则

fPdgPd.4°

fPdfPd.5° 若fP在积分区域上的最大值为M，最小值为m，则mfPdM.6° 若fP在有界闭区域上连续，则至少有一点P，使

2fPdfP.37° 若R关于坐标轴对称，当fP关于垂直该轴的坐标是奇函数则为0；若R关于坐标平面对称，当fP关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为0.8° 将坐标轴重新命名，如果积分区域不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变.2.第二型积分的性质

1° 设是与方向相反的几何体，则A(P)dA(P)d.2° APBPdAPdBPd.3°若12，则A(P)d1A(P)dA(P)d.24°若epAP,P,则A(P)d0.5°设P,ep=cosP，cosP，cosP，AP=P(P),Q(P),R(P)，则

A(P)dP(P)cosPQ(P)cosPR(P)cosPd

6° 将坐标轴重新命名，如果曲线或曲面的方程不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变.四、各种积分的应用

1.形心坐标公式：xMxd,yMyd,zMzd.质心坐标公式：xMxdMd,yMydMd,zMzdMd.2.转动惯量：I2Md.Mr3.旋度：rotF(M)= RQPRQPi+zxj+xyk.yz4.散度：divF(M)= PQR.xyzM

五、习题

1.计算2.计算3.计算4.计算5.计算

xa(tsint)2其中D由横轴和摆线的一拱(0t2,a0)围成.ydxdy,ya(1cost)DD1sin2(xy)dxdy,其中D: 0x,0y.a2x2y2dxdy,其中D: x2y2ay,yx,a0.x2y2dxdy, 其中D: 0xa,0ya.3DDy1xf(z)dV,其中V是由不等式组1x1,xVy1,0zx2y2所限定的区域，f(z)为任一连续函数.x2y22222226.计算其中V是由不等式组xyz1,xy(z1)1所确dV,2zV定的空间区域.7.计算8.计算VVx2y2z21dV,其中V是由锥面zx2y2和平面z1围成的立体.0，0)处，底为平面xyz3上以(1，1，1)(x2y3z)dV,其中V是顶点在(0，为圆心，1为半径的圆的圆锥体.8.计算xds,其中l为双曲线xy1上点(,2)到(1,1)的弧段.l12x2y2z2a29.计算(2yz2zx2xy)ds,其中L是空间圆周.3Lxyza2

zx2y2ds，z21的上半部分，10.计算其中S是椭球面点P(x,y,z)S,22(x,y,z)D为S在点P处的切平面，(x,y,z)为原点(0，0，0)到平面的距离.211.计算(x1esinx)dyecosxdx,其中l是由由原点沿yx到点(1,1)的曲线.l222xyz4xz0,12.计算(yz)dx(zx)dy(xy)dz,其中:22xy2x2yy222222从z轴正向看取逆时针方向.13.计算

(xy)dx(xy)dyxtsint,其中l为摆线从t0到t2的弧段.22lxyy1cost14.计算(2x2xS3e)dydz(zy26x2yz2x)dzdxz2ydxdy,其中S是由抛物面

1y,x1,y1所围成的立体表面的外侧.2z4x2y2，坐标面xoz,yoz及平面z15.计算(xS3y2)dydz(y3z2)dzdx(z3x2)dxdy,其中S是由锥面yx2z2与半球面yR16.计算R2x2z2(R0)构成的闭曲面的外侧.xzx22其中是由yxz1 fdzdxzfdxdy,yyyxxfdydzyy和y9x2z2所围立体表面的外侧，f(u)是有连续导数的函数.17.计算

zy12(8y1)xdydz2(1y)dzdx4yzdxdy,1y3绕其中S是由Sx0y轴旋转一周所得到的曲面，它的法向量与y轴正向夹角恒大于18.计算

.2S2yx2z2dzdx,其中S是曲面yx2z2及y1，y2所围立体表面外侧.19.求闭曲面（x2y2z2)2a3z所围成的立体体积.20.求锥面yzx含在圆柱面xya内部分的面积.222222x213x9旋转形成的旋转曲面的面积.lnx(1x2)绕直线y21.求由曲线L：y4842x342x(0x1)绕直线L：yx旋转形成的旋转曲面的面积.22.求平面曲线段l：y3323.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设

10f(x)dxA,求

10dxf(x)f(y)dy.x1

2222xyzRz0对三个坐标轴转动惯量之和.24.求线密度为x的物质曲线22xyRx25.设r=xi+yj+zk, r=|r|.（1）求f(r)，使div[f(r)r]=0；（2）求f(r)，使div[gradf(r)]=0.26.设函数f(x)在区间[0,1]上连续、正值且单调下降，证明：

xf(x)dx00101xf2(x)dx11f2(x)dx0f(x)dx

.27.设函数f(t)连续，证明：

f(xy)dxdyDAAf(t)(A|t|)dt.a28.证明：1085xyz3adS(323a)3a5(a0),其中是球面：

3x2y2z22ax2ay2az2a20.29.设是弧长为s的光滑曲线段，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在上连续，且

MmaxP2Q2R2.证明：PdxQdyRdzMs.30.设在上半平面D(x,y)|y0内函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的t0，都有f(tx,ty)t2f(x,y).证明：光滑的有向简单闭曲线.Lyf(x,y)dxxf(x,y)dy0，其中L是D内任意分段

第三部分 无穷级数

一、数项级数

（一）数项级数的基本性质

1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数，总存在N使得对于任何两个N大于的正整数m和n，总有SmSn.（即部分和数列收敛）

3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性.（二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法

（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛.（2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数

un1n和

vn1n之间自某项以后成立着关系：存在常数c0，使uncvn(n1,2,)，那么（i）当级数vn1n1n收敛时，级数

un1n1n亦收敛；

（ii）当级数un发散时，级数

vn亦发散.推论：设两个正项级数un和vn，且自某项以后有n1n1un1vn1，那么 unvn（i）当级数vn1n1n收敛时，级数

un1n1n亦收敛；

（ii）当级数un发散时，级数

vn亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数

il若mun和vn，n1n1unl0，nvn那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若l0，则当级数

vn1n收敛时，级数

un1n亦收敛；若l，则当级数

un1n发散时，级数vn1n亦发散.常用度量： ①等比级数：qn0n，当q1时收敛，当q1时发散；

②p-级数：1，当p1时收敛，当p1时发散(p1时称调和级数)； pnn1③广义p-级数：nlnnn21p，当p1时收敛，当p1时发散.④交错p-级数：(1)n1n11，当p1时绝对收敛，当0p1时条件收敛.np（4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数

un，当limn1un1r1时

nunun1r1时级数un发散；当r1或r1时需进一步判断.级数un收敛；当limnun1n1n（5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数

un1n，设rlimnun，那么r1n时此级数必为收敛，r1时发散，而当r1时需进一步判断.（6）柯西积分判别法：设

un1n为正项级数，非负的连续函数f(x)在区间[a,)上单调

下降，且自某项以后成立着关系：f(un)un，则级数2.任意项级数的理论与性质

（1）绝对收敛与条件收敛：

①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数

n1un与积分

0f(x)dx同敛散.un1n，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数

vn1n，其中vnunun2unun2；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数

wn1n，其中wn，那么若级数un1nn绝对收敛，则级数

vn1n和

wn1n都收敛；若级数

un1n条件收敛，则级数vn1n和

wn1都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同.④若级数un1n和vn1n都绝对收敛，它们的和分别为U和V，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV.特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积unvn也绝对收敛，且和也为UV.n1n1注：cnunvn，这里cnu1vnu2vn1un1v2unv1.n1n1n1（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数(1)n1n1un满足limun0，n且un单调减少（即unun1），则

(1)n1n1un收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数

（一）幂级数

1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域（1）柯西-阿达马定理：幂级数

an0n(xx0)n在xx0R内绝对收敛，在xx0R内发散，其中R为幂级数的收敛半径.（2）阿贝尔第一定理：若幂级数

an0n则它必在xx0x0(xx0)n在x处收敛，内绝对收敛；又若an0n(xx0)n在x处发散，则它必在xx0x0也发散.推论1：若幂级数an0nxn在x(0)处收敛，则它必在x内绝对收敛；又若幂级数an0nxn在x(0)处发散，则它必在x时发散.推论2：若幂级数an0n(xx0)n在x处条件收敛，则其收敛半径Rx0，若又有

an0，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令liman1(x)1解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.na(x)n2.幂级数的运算性质

（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：

nnnanxbnxaibnixn，收敛域仍取交集.n0n0n0i0（2）幂级数的和函数S(x)在收敛域内处处连续，且若幂级数

an0n(xx0)n在xx0R处收敛，则S(x)在x0R,x0R内连续；又若幂级数敛，则S(x)在x0R,x0R内连续.an0n(xx0)n在xx0R处收（3）幂级数的和函数S(x)在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变.3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和（1）常用的幂级数展开：

xn121n①e1xxx，x(, +).2!n!n!n0x12n=1+x+x+·②··+x+··· =xn，x(1, 1).1xn011n从而，(1)nx2n.(x)，21xn01xn01315x2n1x2n1nn③sinxxxx(1)，x(, +).(1)3!5!(2n1)!(2n1)!n02n2n1214nxnx④cosx1xx(1)，x(, +).(1)2!4!(2n)!(2n)!n0n12131n1nn1x1x)xxx(1)x(1)⑤ln(，x(1, 1].23n1nn1⑥(1x)1x(1)2!x2(1)(n1)n!xn，x(1, 1).1x3(2n1)！x2n1(2n)!⑦arcsinxxnx2n1，x[1, 1].223(2n)！2n1n04(n!)(2n1)1311n2n1⑧arctanxxx(1)x(1)nx2n1，x[1, 1].32n12n1n0（2）常用的求和经验规律：

①级数符号里的部分x可以提到级数外；

②系数中常数的幂中若含有n，可以与x的幂合并，如将cn和xn合并为(cx)n； ③对an0n x求导可消去an分母因式里的n,对anxn积分可消去an分子因式里的n1；nn0④系数分母含n!可考虑ex的展开，含(2n)!或(2n1)!等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解.（二）傅里叶级数

1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立）若f(x)以2l为周期，且在[l, l]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；

则f(x)诱导出的傅里叶级数在[l, l]上处处收敛.2.傅里叶级数S(x)与f(x)的关系：

f(x)，x为连续点；f(x0)f(x0)S(x)，x为间断点；2f(l0)f(l0)，x为边界点.23.以2l为周期的函数的傅里叶展开展开：

a0nxnxf(x)~S(x)ancosbnsin

2n1ll1la0llf(x)dx1lnxdx；（1）在[l, l]上展开：anf(x)coslll1lnxbf(x)sindxnlll（2）正弦级数与余弦级数：

a00①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：an0；

2lnxbnf(x)sindxl0l2la0l0f(x)dx2lnx②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：anf(x)cosdx；

0llbn04.一些在展开时常用的积分：（1）0(1)n11sinnxdx;cosnxdx0;

0n11n（2）2sinnxdx;2cosnxdxsin；

00nn2（3）0(1)n1(1)n122(1)nxsinnxdx;xcosnxdx；0xcosnxdxn2； 0nn21axe(asinnxncosnx)C； 22an1axeax(nsinnxacosnx)C；

ecosnxdx22anax（4）esinnxdx（5）sinaxsinnxdx11sin(an)xsin(an)xC；

2(an)2(an)11sin(an)xsin(an)xC.2(an)2(an)

xcosaxcosnxd注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于l的情形，事先令t

lx对求积分通常是有帮助的.五、习题

1.判断下列数项级数的敛散性，若收敛，不是正项级数的指出是绝对收敛还是条件收敛.（1）n1n212nnn；

（2）nn1，其中非负；

（3）n140tannxdxn，其中0；

（4）(1)n1n11np1n；

（5）()nn1n!，其中0；

nn（6）(1)nn2(2n3)！.(2n1)！2n3nn2.求幂级数x的收敛域.nn1anbnn3.求幂级数nnx的收敛域，其中a,b为正数.n14.将下列函数展开成x的幂级数.（1）x12x；

（2）arcsinx；（3）11x1lnarctanxx.41x25.求下列幂级数的收敛域及和函数.（1）(1)n1n1n2xn；

（2）(1)n1n1x2n；

n(2n1)x3n（3）；

!n03n6.求数项级数(1)n1n12n2的和.n(2n)!2(2n1)7.设f(x)arctanx,分别求出f2(0)和f(2n)(0).8.求极限limx0sinx0sin(t2)dtx2n1nn1n2.19.求极限limx045!489!84n4(4n3)!4n413!7!11!(4n1)!.lx,0x210.将函数f(x)展开成正弦级数.lx,lxl2lxcos,0xl211.将函数f(x)展开成余弦级数.l0,xl212.将函数f(x)arcsin(sinx)展开成傅里叶级数.13.证明：幂级数n1(k!)k1n2(2n)!xn在(3,3)内绝对收敛.14.求函数F(x)f(t)f(xt)dt的傅里叶系数An,Bn，其中f(x)是以2为周期的1连续函数，an,bn是其傅里叶系数.并证明：

12a022f(t)dt(anbn).2n12

第三篇：微积分II真题含答案

微积分II真题含答案

一、填空题（每题3分，共30分）

1、函数的定义域是____________.2、设，则________________.3、广义积分的敛散性为_____________.4、____________

.5、若

.6、微分方程的通解是

____.7、级数的敛散性为

.8、已知边际收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(x)=____________.9、交换的积分次序=

.10、微分方程的阶数为

_____阶.二、单选题（每题3分，共15分）

1、下列级数收敛的是（）

A，B，C，D，2、，微分方程的通解为（）

A，B，C，D，3、设D为：，二重积分=（）

A,B,C,D，04、若

A,B,C,D,5、=（）

A,0

B,1

C,2

D,三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分）

1．已知

2.求，其中D是由，x=1和x轴围成的区域。

3.已知z=f(x,y)由方程确定，求

4.判定级数的敛散性.四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：

1.求由

和x轴围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。

2.已知x表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，每单位资本的成本为400元，总预算为100000元，问生产商应如何确定x和y，使产量达到最大？。

五、证明题（5分）

一、填空题（每小题3分，共30分）

1,2，3，发散

4，0

5，6，y=cx

7，收敛

8，R(x)=x3+1000x

9，10，2

二、单选题（每小题3分，共15分）

1，B

2，B

3，C

4，C

5，D

三、计算题（每小题8分，共32分）

1、解：

令2、3、整理方程得：

4、先用比值判别法判别的敛散性，（2分）

收敛，所以绝对收敛。(交错法不行就用比较法)

（8分）

四、应用题（每小题9分，共18分）

1、解：

2、解：约束条件为200x+400y-100000=0

（2分）

构造拉格朗日函数，（4分）,求一阶偏导数，（6分）

得唯一解为：，（8分）

根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的x为40，y为230.（9分）

五、证明题（5分）

证明：设对等式两边积分，得：

（2分）

（4分）

解得：

题设结论得证。

（5分）

一、填空题（每题2分，共20分）

1、函数的定义域是_______

2、__________

3、_______

4、若___________

5、设可微，则

6.已知满足方程则

_______

7、交换的积分次序=__________________

8、级数__________

9、若级数的收敛，则k的取值范围是

10、微分方程的通解是

____

二、单选题（每题2分，共10分）

1、若广义积分，则k=（）

A，B，C，D，2、若满足方程，则

（）

A，0

B，1

C，D，3、设D为：，二重积分=____________

A,B,C,D，4、下列级数发散的是（）

A,B，C

D5、微分方程的阶数为

（）

A,1

B，2

C

D

三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共48分）

1．计算

2.已知，求

3.计算二重积分，其中D由，及所围成。

4.求一阶线性微分方程的通解.5．

判别级数的收敛性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？

6．计算定积分。

四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：

1.求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。

2.某厂生产两种产品，产量分别为x和y，总成本函数，需求函数分别为（p1，p2分别为两种产品的价格），产量受的限制，求该厂获得最大利润时的产量x和y。

五、证明题（4分）

证明：

一、填空题（每题2分，共20分）

1、，2、，3、0，4、，5、0，6.7、，8、29、，10、（c为任意常数）

二、单选题（每题2分，共10分）

1、D2、D，3、C,4、B，5、C

三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共48分）

1．计算

解：

--------

4分

-----------8分

2.已知，求

解：两边去自然对数，两边关于x求偏导数，---------

4分

整理得

所以

------------

8分

3.计算二重积分，其中D由，及所围成。

解：画图（2分），Y-型，-----------

分

-------------

8分

4.求一阶线性微分方程的通解.解：方法1：

直接算，，方法2：原方程可以化为，直接代入公式，------------

分

（c为任意常数）

--------------

8分

5．这是一个交错级数，一般项为。

先判断是否收敛，是一个P-级数，且P=，发散。

----------------2’

----------------------------------4’

----------------------------------6’

根据莱布尼茨定理，级数收敛，而且是条件收敛。

-----------------------------8’

6．积分区间关于原点对称，又为偶函数，则

=2

----------------------------------2’

=

--------------------------------4’

=

--------------------------------6’

==

--------------------------------8’

四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：

1.求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。

解：画图（2分）

-----------------

5分

=

----------------

9分

2.某厂生产两种产品，产量分别为x和y，总成本函数，需求函数分别为（p1，p2分别为两种产品的价格），产量受的限制，求该厂获得最大利润时的产量x和y。

解：由题意知，收入函数为

利润函数

构造拉格朗日函数，-------------

5分，解得

----------------

9分

五、证明题（4分）

利用级数的敛散性，证明：

证明：先证明级数收敛，用比值判别法，所以级数收敛

由级数收敛的必要条件知道，即

一、填空题（每小题3分，共15分）

1．设,则=

.2．

当

时,收敛.3．

交换积分次序

.4．

已知级数收敛,则=

.5．

若，其中具有二阶偏导数，则=

.二、单选题（每小题3分，共15分）

1．（）.(A)

;

(B)

;

(C)

;

(D).2.函数在上可积的必要条件是在上（）

（A）连续

;

（B）有界;

（C）

无间断点;

(D)有原函数.3．下列反常积分收敛的是（）

(A);

(B)

;

(C)

;

(D)

.4．下列级数发散的是（）.(A)

;

(B)

;(C)

;(D)

.5．

微分方程的通解是（）

(A)

;

(B)

;

(C)

;

(D).三、计算题I（每题6分，共24分）

1.求.2.设,求.3.求，其中D由围成.4.判别级数的敛散性.四、计算题II（每题8分，共24分）

5.求.6.设由方程确定,其中可微,求.7.求微分方程的特解.五、应用题（每小题8分，共16分）

1.求由与所围成的平面图形的面积,并求此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.2．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元)

已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料2吨,现有该原料12吨,问两种产品各生产多少时,总

利润最大?最大利润是多少?

六、证明题（6分）

证明：若收敛，则发散.一、1.;

2.;

3.;

4.;

5..二、BBACD

三、1.解:原式=

(3分)

.(6分)

2.解:

(2分)

(4分)

(6分)

3.解：原式=

（2分）

（4分）

.（6分）

4.解:记,取

(4分)

又

收敛

故原级数收敛.(6分)

四、5．解：令，即，则

当时，（2分）

故原式

（4分）

（6分）

.（8分）

6．解：记

（4分）

（8分）

7．解：原方程可化为------一阶线性微分方程

此时，（2分）

故原方程的通解为

（4分）

（6分）

由,得

从而，所求原方程的特解为

.（8分）

五、1.解：1>

故所求图形的面积为

（4分）

2>所求旋转体的体积为

（5分）

.（8分）

2.解:显然,有条件成立,作辅助函数

(3分)

令

解之得唯一驻点

(6分)

故当生产甲产品3.8千件,乙产品2.2千件时,利润最大,且最大利润为

(万元).(8分)

六、证明：证明：由于

（3分），又因为

收敛，故收敛，从而，绝对收敛.（6分）

1．函数的定义域是

.2．

.3．

若___________.4．

设有连续的二阶偏导数，则

.5．

=

.6．

广义积分收敛，则

.7．

交换积分次序=

.8．

设D为所围区域，则

.9．

=

.10.方程是

阶微分方程

.三、单选题（每小题3分，共15分）

1．广义积分收敛于（）.A.0

;

B.;

C.;

D..2.设积分区域D是（）.A.;

B.;

C.;

D..3．下列级数中条件收敛的是（）.A.;

B.;

C.;

D..4．设，其中可微，则（）

A.;

B.C.D.5．微分方程的通解是（）。

A.;

B.;

C.;

D..三、计算题（每题8分，共32分）

1.求.2.设D由曲线围成,求

3.已知，求.4.判别级数的敛散性.四、应用题（每小题9分，共18分）

1.设D由与所围成，求：（1）平面图形的面积；（2）此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。

2.某厂生产两种产品，当产量分别为时，成本函数,需求函数分别为,分别为两种产品的价格，产品受的限制，求工厂获得最大利润时的产量和价格。

五、证明题（5分）

设，其中F可微。证明：

一.1.;

2.0

;

3.;

4.；5.0

;

6.;

7.;

8.2(2ln2-1);

9.1；

10.2.二.C

A

D

C

B

三.1.解:原式=

(3分)

(6分)

(8分)

2．解:画积分区域草图，联立方程求交点得：，（2分）

原式=.(4分)

（5分）

（8分）

3.解:

令，则

(3分)

(5分)

(8分)

4.解:用比值判别法

(2分)

(4分)

(6分)

原级数收敛.(8分)

四.1.解：(1)，（2分）

故所求图形的面积为

（5分）

(2)所求旋转体的体积为

.（9分）

2.解:由需求函数x,y得：，利润函数

=

=

(2分)

作辅助函数

=

(4分)

令

解之得唯一驻点

(6分)

故当生产产量分别为及时工厂获得的利润最大,此时两种产品的价格分别为

(9分)

五．证明：

（3分），.（5分）

故等式成立。

一、填空题（每小题3分，共30分）

1.函数的定义域是

.2.设域是，则

.3.交换积分次序

.4.设资本投入为，劳动投入为时，某产品的产出量为，且为常数，则对资本的偏弹性，对资本的偏弹性

.5.设

.6.若则

.7.当满足条件

时收敛。

8.微分方程的通解为

.9.设，其中可微，则

.10..二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.=（）.A.;

B.;

C.;

D..2.已知，则（）.A.B.C.D..3.若，则（）.A.B.C.D.4.下列级数发散的是（）

A.;

B.;

C

.;

D

..5.微分方程的阶数为（）.A

.3

;

B.4

;

C

.2

;

D.6.三．

计算题（每小题8分，共32分）

1.设,求.2.若D是由所围成的区域,求之值。

3.判别级数的收敛性。

4.求方程的通解。

四．应用题（每小题9分，共18分）

1.设平面区域D由抛物线与直线

围成,求:（1）D的面积；（2）D绕轴旋转一周所得立体的体积。

2.设某种产品的产量是劳动力和原料的函数，若劳动力单价为100元，原料单价为200元，则在投入3万元资金用于生产的情况下，如何安排劳动力和原料，可使产量最多。

五．证明题（5分）：

证明：.一.1.;

2.;

3.;

4.;

5.；6.5

;

7.;

8.y=;

9..10.tanx

二.D

B

A

D

A

三.1.解:

令，(2分)

则

(4分)

(8分)

.2.解:

联立

解得两个交点坐标

（2分）

（4分）

（8分）

3.解:

（4分）

(4分)

又是几何级数，公比收敛

故由比较判别法知原级数收敛.(8分)

(或者用比较判别法的极限形式)

4.解：，代入原方程得

（2分）

分离变量

（4分）

两边积分

将

回代得方程的解

（8分）

四．1.解：（1），故所求图形的面积为

（4分）

（2），所求旋转体的体积为

（9分）

2.解:显然,有条件成立,作辅助函数

(3分)

令

（5分）

解之得唯一驻点

(7分)

由问题实际意义知最大产量存在，故当劳动力为单位，原料为单位时产量最大。

(9分)

五．证明：交换积分次序：

等式左边==右边.故等式成立。

一、填空题（每题3分，共30分）

1.函数的定义域是

.2.=

.3.=_

___

__

.4.=

.5.=

.6.=              ．

7.设，其中

在D上连续，则

=

.8.方程是

阶微分方程

.9.设,则

=

.10.交换积分次序=

.二、单选题（每题3分，共15分）

1.=（）．

A.．      B.2．       C.0．    D.1．

2.设，其中可微，则

=（）.A.B.C.D.1

3.设，则=（）.A.B.C.D.4.设D由圆周，及直线所围的第一象限部分，二重积分的值=（）．

A．．        B．．       C．.D．．

5.下列级数发散的是（）

.A．

B.C.D.三、计算题（每题8分，共32分）

.求。

2.设由方程确定，求。

3.求。

4.求微分方程的通解。

四、应用题（每题9分，共18分）

1.设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕x轴旋转所成的旋转体的体积。

2．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元)，已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料2吨,现有原料10吨刚好用完,问两种产品各生产多少时,总利润最大?最大利润是多少?

五、证明题（5分）

证明

一、填空题（每小题3分，共30分）

1.;

2.;

3.0;

4.1；

5.1

;

6.2

;

7.2;

8.二;

9.；

10..二、单选题（每小题3分，共15分）

1.A

.B

3.A

4.B

5.C

三、计算题（每小题8分，共32分）

.解：

令

则

原式

（5分）

.（8分）

2.解设

则

(5分)

(8分)

3.解：

（4分）

（6分）

（8分）

4.解：

代入原方程得

分离变量

（4分）

两边积分

（6分）

得

故原方程的通解为

（C

为任意常数)

（8分）

四、应用题（每小题9分，共18分）

1.先求的交点（0，0），（1，1）

(4分)

(9分)

2.解:显然,有条件成立,作辅助函数

(3分)

令

解之得唯一驻点

(7分)

故当生产甲产品3千件,乙产品2千件时,利润最大,且最大利润为

(9分)

五、证明题（5分）

证明：考察级数，由于

（3分）

所以此级数收敛，故

（5分）

一、填空题（每题3分，共30分）

1.函数的定义域是

.2.=

.3.设，则=              ．

4.=_

___

__

.5.=

.6.=

.7.设，其中

在D上连续，则

=

.8.方程是

阶微分方程

.9.设,则

=

.10.交换积分次序=

.二、单选题（每题3分，共15分）

1.在上的平均值是（）.A.B.C.D.2.=（）．

A.．      B.．       C.．    D.．

3.设D由圆周，及直线所围的第一象限部分，二重积分的值=（）．

A．．        B．．       C．.D．．

4.设，其中可微，则

=（）.A.B.C.D.5.下列级数发散的是（）

.A．

B.C.D.三、计算题（每题8分，共32分）

.求。

2.设由方程确定，求。

3.求。

4.求微分方程的通解。

四、应用题（每题9分，共18分）

1．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元)，已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料1吨,现有原料5吨刚好用完,问两种产品各生产多少时,总利润最大?最大利润是多少?

2.设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕x轴旋转所成的旋转体的体积。

五、证明题（5分）

证明

一，填空题（每小题3分，共30分）

1.;

2.;

3.0;

4.0；

5.3

;

6.6

;

7.7;

8.二;

9.；

10..二，单选题（每小题3分，共15分）

1.B

.A

3.B

4.A

5.D

三，计算题（每小题8分，共32分）

.解：

（4分）

（8分）

2.解设

则

（3分）

(6分)

（8分）

3.解：

（4分）

（6分）

（8分）

5.解：

分离变量

（3分）

两边积分

（5分）

得

故原方程的通解为

（C

为任意常数)

（8分）

四，应用题（每小题9分，共18分）

1.解:显然,有条件成立,作辅助函数

(3分)

令

解之得唯一驻点

(7分)

故当生产甲产品3千件,乙产品2千件时,利润最大,且最大利润为

(9分)

2.(4分)

(9分)

五，证明题（5分）

证明：考察级数，由于

（3分）

所以此级数收敛，故

（5分）

四、填空题（每题3分，共30分）

1.函数的定义域是

.2.=

.3.=_

___

__

.4.=

.5.=

.6.广义积分收敛，则

.7.设，其中

在D上连续，则

=

.8.方程是

阶微分方程

.9.设,则

=

.10.交换积分次序=

.五、单选题（每题3分，共15分）

1.=（）．

A.．      B.2．       C.0．    D.1．

2.函数，由方程所确定，则

=（）.A.2

B.-1

C.1

D.-2

3.设，则=（）.A.B.C.D.4.可偏导的函数取得极值点必为（）．

A．零点．        B．驻点．       C．不可导点.D．驻点或不可导点．

5.下列级数发散的是（）

.A．

B.C.D.六、计算题（每题8分，共32分）

.求。

2.设由方程确定，求。

3.计算D由和围成的区域

4.求微分方程的通解。

四、应用题（每题9分，共18分）

1.设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕x轴

旋转所成的旋转体的体积。

2．销售收入Q与用两种广告手段的费用x和y之间的函数关系为，净利润是销售收入的减去广告成本，而广告预算是25，试确定如何分配两种手段的广告成本，以使利润最大?最大利润是多少?

五、证明题（5分）

证明

一、填空题（每小题3分，共30分）

1.;

2.;

3.0;

4.1；

5.2

;

6.>3

;

7.1;

8.二;

9.；

10..二、单选题（每小题3分，共15分）

1.A

.B

3.A

4.B

5.C

三、计算题（每小题8分，共32分）

.解：

令

则

原式

（5分）

.（8分）

2.解设

则

(5分)

(8分)

3.解：原式

（4分）

（6分）

（8分）

5.解：由于，由公式得其通解

（4分）

=

=

（6分）

故原方程的通解为

（C

为任意常数)

（8分）

四、应用题（每小题9分，共18分）

1.先求的交点（0，0），（1，1）

(4分)

(9分)

2.解:显然,有条件成立,所求利润函数

3.作拉格朗日函数

(3分)

令

解之得唯一驻点

(7分)

故当两种广告费用分别为15,10时,利润最大,且最大利润为

(9分)

五、证明题（5分）

证明：令，则

于是=

（3分）

所以原式成立

（5分）

第四篇：微积分复习教案

第一讲 极限理论

一 基本初等函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性和图象，其中函数图像是重中之重，由函数图像可以轻易的得到函数的其它要素（P17-20）二 求极限的各种方法

⑴当f(x)为连续函数时,x0Df,则有limf(x)f(x0)

xx0例1 计算极限limxarcsinx

x22 ⑵设m,n为非负整数,a00,b00则

0,当nma0xma1xm1am1xama0lim,当nm xbxnbxn1b01n1xanb0,当nm 例2 计算极限：⑴ lim973x1 ⑵ 3x22x3

limx2x44x116x⑶用两个重要极限求

①limsinx1（limsinx0，limsinf(x)1）

x0xf(x)0xxf(x)x2 结论：当x0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx，1cosx~。②lim(11)xe（lim(1x)xe，lim(11)f(x)e）

x0xf(x)xf(x)实质：外大内小，内外互倒

例4 计算极限：⑴ lim(12x)⑵ lim(1sinx)

x0x013x1x1 ⑷未定式的极限（000，，0，0，）0 ①罗必达法则

例5 计算极限：

x0limsinxlnx lim(sinx)x lim(x0x011)sinxx②设法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同时有理化等方法）例6 计算极限：⑴ lim1x1 ⑵ lim3x2

x0x1xx1 ③用等价无穷小量代换（切记：被代换的部分和其他部分必须是相乘关系！）例7 计算极限limsinxtanx

x0x2(1cosx)⑸无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。

例8 计算极限：⑴ limx2sin1 ⑵ limxcosx

x0x1x2x三 连续和间断 1.连续的定义

2.间断点的定义和分类

四 闭区间上连续函数的性质（这里有一些证明题值得注意）。

第二讲 微分学

一 导数概念

导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)

x0xx0xxx0左导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)x0xx0xxx0右导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)x0xx0xxx0 实质：差商的极限。

例1 计算极限：⑴ limh0f(x0h)f(x0)f(x0)f(x0x)⑵ lim

x0hx二 各种求导法

⑴导数公式表（P94）和四则运算法则（P85）

例2设f(x)4x3xx45logaxsin2，求f(x)；

例3设f(x)1sinxarctanxcscx，求f(x)，f()；

4x ⑵复合函数的求导（P90）

例4 求下列函数的导数

①f(x)arctane2x ②f(x)etanx ⑶隐函数求导（方法：把y当作x的函数，两边对x求导）

例5 求下列隐函数的导数

①xyey0 ②2y3x5lny ⑷对数求导法（多用于幂指函数和由多因子相乘构成的函数的求导）

例6 求下列函数的导数

① yxsinxx ②y2x1(x1)(32x)⑸由参数方程确定的函数的求导

x(t)重点：由参数方程确定的函数yf(x)的导数为dy(t)；

dx(t)y(t)xln(1t)例7 设，求dy；

dxytarctant三 高阶导数

例8 设y2arctanx，求y； 例9 设yexxn，求y(n)； 四 微分

重点：函数yf(x)的微分是dyf(x)dx

例10 设y3x2e2x，求dy； 例11设y2xey，求dy； 五 单调性和极值

重点：⑴由f(x)的符号可以判断出f(x)的单调性；

⑵求f(x)的极值方法：①求出f(x)，令其为零，得到驻点及不可导点，姑且统称为可疑点；②判断在可疑点两侧附近f(x)的符号，若左正右负，则取得极大值；若左负右正，则取得极小值；若同号，则不取得极值。

例12 求函数yxln(x1)的单调区间和极值点。

例13 证明：当0x六 最值问题

求函数f(x)在区间[a,b]上的最值之步骤：①求出f(x)，令其为零，得到可疑点（驻点和不可导点），并求出函数在这些点处的取值；②求出函数在区间端点取值f(a)，f(b)；

③比较函数在可疑点和区间端点上的取值，最大者即为最大值，最小者即为最小值。

例14 求下列函数在指定区间上的最值。

⑴f(x)x42x25，[2,3] ⑵yx1，[0,4]

x1七 凹凸性和拐点

重点：

⑴凹凸性概念：设f(x)在区间(a,b)内连续，若对x1,x2(a,b)（x1x2），有

2时，恒有xsinx。

f(x1x2f(x1)f(x2)xx2f(x1)f(x2)))（f(1）

2222则称f(x)在(a,b)内是凹函数（凸函数）。（用此定义可以证明一些不等式，见下例）。⑵由f(x)的符号可以判断出f(x)的凹凸性。f(x)为正号则f(x)是凹函数，f(x)为负号则f(x)是凸函数。

⑵判断f(x)的拐点之方法：①求出f(x)，令其为零，得到f(x)等于0的点和f(x)不存在的点；②判断在这些点两侧附近f(x)的符号，若为异号，则该点是拐点；若同号，则该点不是拐点。

例15 求下列函数的凹凸区间和拐点。

⑴yx2x1 ⑵y3x

例16 证明：当x1x2时，必有ax1x2243ax1ax2（a0）。

2第三讲 积分学

一 不定积分与原函数的概念与性质

⑴原函数：若F(x)f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。

⑵不定积分：f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，即

f(x)dxF(x)c，这里F(x)f(x)

⑶不定积分的性质（P174,共2个）

特别强调：F(x)dxF(x)c；dF(x)F(x)c（切记常数c不可丢）二 定积分的概念与性质

⑴定积分概念：

nbaf(x)dxlimf(i)xi

0i1 ⑵定积分和不定积分的区别：定积分是和式的极限，计算结果是个常数；不定积分是由一族函数（被积函数的原函数）构成的集合。

⑶f(x)在[a,b]上可积的必要条件：f(x)在[a,b]上有界； 充分条件：f(x)在[a,b]上连续；

⑷定积分的几何意义：设f(x)0，x[a,b]，则f(x)dx表示由xa，xb，y0ab及yf(x)围成的曲边梯形的面积。

⑸定积分的性质（P210,共7个）注意结合定积分的几何意义理解之。

例：⑥若对x[a,b]，有mf(x)M，则有m(ba) ⑦若f(x)在[a,b]上连续，则存在[a,b]，使得满足 另：若f(x)是奇函数，则三 由变上限积分确定的函数

⑴定义：设f(t)在[a,b]上连续，则称函数

babf(x)dxM(ba)。f(x)dxf()(ba)。

aaaf(x)dx0。

(x)f(t)dt，axb

ax 为变上限积分确定的函数。

⑵求导问题：(x)dx[f(t)dt]f(x)dxax2 例1 求下列函数的导数f(x)。

①f(x)xln4tedt ②f(x)x42t01t2dt

⑶与罗必达法则结合的综合题

例2 求下列极限： ①

tlim0x02sintdtx4sin3tdt ②lim

tedt0x0x3t0x2四 求积分的各种方法

⑴直接积分法（两个积分表P174和P185）

cos2x1xx2 例3 计算积分：① ②dx dx2sinxcosxx(1x)⑵第一换元法（凑微分法）

重点：f(x)dxg[(x)](x)dxg[(x)]d(x)

令u(x)整理f(x)g(u)duG(u)cG[(x)]c

常用凑微分公式：xndx1d(xn1)，1dx2d(x)，1dxd(lnx)，sinxdxd(cosx)

n1x积分变量还原xcosxdxd(sinx)，sec2xdxd(tanx)，csc2xdxd(cotx)，secxtanxdxd(secx)，cscxcotxdxd(cscx)。

注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。

例4 计算积分：

①tanxdx ② ⑶第二换元法

重点：20sincos2d ③2x41lnxdx ④(1xlnx)4dx x24x8f(x)dxf[(t)](t)dx dx(t)dt令x(t)g(t)duG(t)cG[1(x)]c 整理f[(t)](t)积分变量还原 常用换元方法：

①被积函数中若有naxb，令tnaxb；若有kx和lx，令xt，这里m是k，ml的最小公倍数。

②被积函数中若有a2x2，令xasint； ③被积函数中若有a2x2，令xatant； ④被积函数中若有x2a2，令xasect；

注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。

例5 计算积分：⑴ a0axdx ⑵ 2241dx

1x例6 设f(x)是定义于实数集上的连续函数，证明 ⑴baf(x)dxbcacf(xc)dx，⑵ baf(x)dxba2bf(abx)dx

⑷分部积分法 uvdxuvuvdx

关键：适当选择u，v。选择的技巧有①若被积函数是幂函数乘易积函数，令u为易积函数，v为幂函数。②若被积函数是幂函数乘不易积函数，令u为幂函数，v为不易积函数。

例7 计算积分：arctanxdx

⑸有理分式函数的积分

步骤：①若是假分式，先用分式除法把假分式化为多项式与真分式的和，多项式积分非常容易，下面重点考虑真分式P(x)的积分。

Q(x)②把Q(x)分解成如下形式 Q(x)b0(xa)(xb)(x2pxq)(x2rxs)

这里p24q0，……，r4s0。③把P(x)化为如下形式

Q(x)A A1A2P(x)Q(x)(xa)(xa)1(xa)2 

BB2 B1 1(xb)(xb)(xb)MxNM1xN1M2xN2 2212(xpxq)(xpxq)(xpxq) RxSR1xS1R2xS2 22u12(xrxs)(xrxs)(xrxs)这里Ai,Bi,Mi,Ni,Ri,Si为待定系数，通过对上式进行通分，令等式两边的分子相等，即可解得这些待定系数。

④于是对P(x)的积分就转化成对上面等式的右端积分了，然后再对上式右端积分。

Q(x)x32x2dx

⑵ 例8 计算积分：⑴ 2x2x10五 定积分的分段积分问题

例9 计算积分：⑴4x3x25x6dx

0x3dx。⑵sin2xdx

0六 定积分的应用：重点是再直角坐标系下求平面图形的面积。

⑴由曲线yf(x)，yg(x)[f(x)g(x)]及直线xa，xb[ab]围成的图形的面积为：S[f(x)g(x)]dx。

ab⑵由曲线x(y)，x(y)[(y)(y)]及直线ya，yb[ab]围成的图形的面积为：S[(y)(y)]dy。

ab例10 求由下列曲线围成的图形的面积。⑴ylnx，y1x，y2； ⑵x0，x2，ysinx，ycosx；

七 广义积分

沿着定积分的概念的两个限制条件（积分区间有限和被积函数在积分区间上有界）进行推广，就得到两种类型的广义积分。

⑴第一类广义积分

①定义： abf(x)dxlimf(x)dx

babf(x)dxlimf(x)dx

aa0b f(x)dxf(x)dx0f(x)dxlimf(x)dxlimf(x)dx

aab00b ②计算方法：先计算定积分，在取极限。

⑵第二类广义积分（暇积分）

①定义：f(x)dxlimababb0abf(x)dx（a是暇点）f(x)dx（b是暇点）

bc f(x)dxlimbcaa0a f(x)dxf(x)dxf(x)dxlimc0af(x)dxlimb0c f(x)dx（c是暇点）②计算方法：先计算定积分，在取极限。

例11 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，收敛于何值。

① 1`1dx ②5x211dx 5(x1)

第五篇：2018考研数学：微积分如何复习？

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2018考研数学：微积分如何复习？

微积分的基本内容可以分为三大块：一元函数微积分，多元函数微积分(主要是二元函数)，无穷级数和常微分方程与差分方程。一元函数微积分学的凯程是考研数学三微积分部分出题的重点，应引起重视。多元函数微积分学的出题焦点是二元函数的微分及二重积分的计算。无穷级数和常微分方程与差分方程考查主要集中在数项级数的求和、幂级数的和函数、收敛区间及收敛域、解简单的常微分方程等。下面从三个方面来谈微积分复习方法。

一、基本内容扎实过一遍

事实上，数学三考微积分相关内容的题目都不是太难，但是出题老师似乎对基本计算及应用情有独钟，所以对基础知识扎扎实实地复习一遍是最好的应对方法。阅读教材虽然是奠定基础的一种良方，但参考一下一些辅导资料，如《微积分过关与提高》等，能够有效帮助同学们从不同角度理解基本概念、基本原理，加深对定理、公式的印象，增加基本方法及技巧的摄入量。对基本内容的复习不能只注重速度而忽视质量。在看书时带着思考，并不时提出问题，这才是好的读懂知识的方法。

二、读书抓重点

在看教材及辅导资料时要依三大块分清重点、次重点、非重点。阅读数学图书与其他文艺社科类图书有个区别，就是内容没有那么强的故事性，同时所述理论有一定抽象性，所以在此再一次提醒同学们读书需要不断思考其逻辑结构。比如在看函数极限的性质中的局部有界性时，能够联系其在几何上的表现来理解，并思考其实质含义及应用。三大块内容中，一元函数的微积分是基础，定义一元函数微积分的极限及微积分的主要研究对象——函数及连续是基础中的基础。这个部分也是每年必定会出题考查的，必须引起注意。多元函数微积分，主要是二元函数微积分，这个部分大家需要记很多公式及解题捷径。无穷级数和常微分方程与差分方程部分的重点很容易把握，考点就那几个，需要注意的是其与实际问题结合出题的情况。

三、做题检测学习效果

大量做题是学习数学区别与其他文科类科目的最大区别。在大学里，我们常常会看到，平时不断辗转于各自习室占坐埋头苦干的多数是学数学的，而那些平时总抱着小说看，还时不时花前月下的同学多半是文科院系的。并不是对两个院系的同学有什么诟病，这种状况只是所学专业特点使然。在备考研究生考试数学的时候，如果充分了解其特点，就能对症下药。微积分的选择及填空题考查的是基本知识的掌握程度及技巧的灵活运用大家可以找一本相关习题多练练。微积分的解答题注重计算及综合应用能力，平时多做这方面的题目既可以练习做题速度及提高质量，也能检测复习效果。

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