科学求导数的方法

第一篇：科学求导数的方法

导数是函数学习的最重要的部分，也是求概率论与数理统计的基本要求，那么如何科学求导数呢？下面看下我总结的部分：

求导数的方法

（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：

① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

② 求平均变化率

③ 取极限，得导数。

（2）几种常见函数的导数公式：

① C'=0(C为常数)；

②(x^n)'=nx^(n-1)(n∈Q)；

③(sinx)'=cosx；

④(cosx)'=-sinx；

⑤(e^x)'=e^x；

⑥(a^x)'=a^xIna（ln为自然对数）

⑦(Inx)'=1/x（ln为自然对数）

（3）导数的四则运算法则：

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2

第二篇：求偏导数的方法小结

求偏导数的方法小结

（应化2，闻庚辰，学号：130911225）

一，一般函数：

计算多元函数的偏导数时，由于变元多，往往计算量较大． 在求某一点的偏导数时，一般的计算方法是，先求出偏 导函数，再代人这一点的值而得到这一点的偏导数． 我们发 现，把部分变元的值先代人函数中，减少变元的数量，再计 算偏导数，可以减少运算量。

求函数f(x,y)在点（a,b）处的偏导数f’x(a,b)及f’y(a,b)的方法是： 1)先求出偏导数的函数式，然后将（a,b）代入计算即可.2)先求出g(x)=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g’(b),h’(a)便得到f’x(a,b)和f’y(a,b).3)若函数f(x,y)是分段函数则一般采用定义来做.复合具体函数的导数求解:

∂z∂zx=∂u 基本法则：∂∂u∂z∂x+∂v∂u∂y∂v∂x

∂v∂y ∂z∂y∂zu=∂∂zv+∂

其本质与一元函数的求导法则是一样的，只不过是将暂时不求的变量看成常量而已。

例1 ：z=f(x,y)=(x+y)xy,求f’x（1，1），f’y（1，0）；

法一：设u=x+y,v=xy,则z=uv函数的复合关系为：z是u,v的函数，u,v分别是x,y的函数.∂z∂zx=∂u 则：∂∂u∂z∂x+∂v∂v∂x

=xy(x+y)xy-1+y(x+y)xyln(x+y)=y(x+y)[xy

x(xy)+ln(x+y)] f(x,y)= y(x+y)[’xxy

x(xy)+ln(x+y)] 所以：f’x(1,1)=1+2ln2 由于f(x,y)的表达式中的 x,y依次轮换，即x换y成，同时将换y成x，表达式不变，这叫做函数f(x,y)对自变量x,y交换具有轮换对称性。具有轮换对称性的函数，只要在f’x的表达式中将x,y调换即得到f’y。即：f’y（x,y）= y(x+y)[xyx(xy)+ln(x+y)] 所以f’y（1，0）=0 法二：由于和一元函数的求导的实质是一样的。我们可以不引入中间变量，对某一自变量求导时，只要把其他自变量看成常数即可。如： Lnz=xyln(x+y)上式两边求导得： z∂zx∂x=y[ln(x+y)+(xy)] ∂zxx=z y[ln(x+y)+(xy)] 从而：∂所以：f’x(1,1)=1+2ln2 有函数的对称轮换性得：f’y（1，0）=0 例三：我们也可以利用全微分的不变性来解题。

∂z∂zyx+∂ 设z=eusin(v),而u=xy,v=x+y。求∂在（1，1）处的值。dz=d(eusin(v))= eusin(v)du+eucos(v)dv du=d(xy)=ydx+xdy dv=d(x+y)=dx+dy 代入后合并同类项得：

dz=(eusin(v)y+eucos(v))dx+(eusin(v)x+ eucos(v))dy将点（1，1）代入得：

∂z∂zyx+∂ ∂=2e(sin2+cos2).二，隐函数的求偏导。求隐函数的偏导时，我们一般有两种方法选择：

1)公式法

2)对函数两边直接求导。（但必须明确谁是谁的函数）。然后按复合函数求导法则来求。

例一：方程组{xyzox2y2z2a2（注：x2为x的平方）

法一：题中有3个自变量，明确了x=x(z),y=x(z),既z是自变量。我们可以利用公式求但比较繁。我们可以采用下面的方法： 法二：对方程组两边对求z导得：

{ dxdy10dzdzdyzxdx2y2z0dzdz

求得此解得： dxdzyzdyzx=xy，dz=xy

第三篇：用导数求切线方程 教案

用导数求切线方程

一、教学目标：(1)知识与技能：

理解导数的几何意义.能够应用导数公式及运算法则进行求导运算.(2)过程与方法：

掌握基本初等函数的导数公式及运算法则求简单函数的导数.(3)情感态度与价值观：

通过导数的几何意义的探索过程，掌握计算简单函数的导数，培养学生主动探索、勇于发现之间的联系的精神，渗透由特殊到一般的思想方法.二、重点、难点

重点：能用导数的几何意义求切线方程.难点：用导数求切线方程.三、学情分析

学生在前面已学习导数的概念，能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，本节课进一步研究和学习导数的几何意义与切线方程之间的联系。根据学生好动、观察能力强的特点，让他们采用小组合作、讨论的形式归纳本节课的知识，突出本节课的重点、难点。

四、教学过程： 【知识回顾】 1.导数的概念

函数yf(x)在xx0处的导数是 _____________________.2.导数的几何意义

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率，即k________.3.基本初等函数的导数公式: 1）若f(x)c(c为常数)，则f'x________； 2）若f(x)x,则f'x________;3）若f(x)sinx,则f'x________； 4）若f(x)cosx,则f'x________;5）若f(x)ax,则f'x________； 6）若f(x)ex,则f'x________；

x7）若f(x)loga,则f'x________； 8）若f(x)lnx,则f'x________.4.导数的运算法则

____________ 2）fxgx'__________1）fxgx'__________

fxcfx'________ '_______________________ 4）3）g(x)

【新课引入】

1.用导数求切线方程的四种常见的类型及解法：

类型一：已知切点，求曲线的切线方程

此类题较为简单，只须求出曲线的导数f(x)，并代入点斜式方程即可．，1)处的切线方程为（）例1 曲线yx33x21在点(1Ａ．y3x4

Ｂ．y3x

2Ｃ．y4x

3Ｄ．y4x5

类型二：已知斜率，求曲线的切线方程

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．

例2 与直线2xy40的平行的抛物线yx的切线方程是（）Ａ．2xy30

Ｃ．2xy10

Ｂ．2xy30 Ｄ．2xy10 类型三：已知过曲线外一点，求切线方程

此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．

0)且与曲线y例3 求过点(2，1相切的直线方程． x类型四：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．，1)的切线方程． 例4 求过曲线yx32x上的点（1【课堂练习】

1211.曲线f(x)x在点(1，)处的切线方程为___________________.222.已知函数f(x)lnxax的图像在x1处的切线与直线2xy10平行，则实数a的值是__________.33.已知函数f(x)x3x，若过点A(0,16)的直线yax16与曲线yf(x)相切，则实数a的值是__________.134yx.4.已知曲线33（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程.（2）求曲线过点P(0,)的切线方程.（3）求斜率为4的曲线的切线方程.23

五、课堂小结：

曲线yf(x)“在点P(x0，y0)的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，后者P(x0，y0)不一定是切点。前者的解法是设方程为yy0f(x0)(xx0)；后者的解法是待定切点法，先设切点，再根据题意求切点处导数（即该点的切线的斜率）。

六、作业布置： 三维设计P55 P86

第四篇：导数证明不等式的几个方法

导数证明不等式的几个方法

1、直接利用题目所给函数证明（高考大题一般没有这么直接）已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有

11ln(x1)x x1

如果f(a)是函数f(x)在区间上的最大（小）值，则有f(x)f(a（或)f(x)f(a)），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可

2、作差构造函数证明

已知函数f(x)x2lnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方；

构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。

3、合理换元后构造函数可大大降低运算量以节省时间（2007年，山东卷）

n1n21)3 都成立.证明：对任意的正整数n，不等式ln(nn2312

4、从特征入手构造函数证明

若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：．af(a)>bf(b)几个构造函数的类型：

5、隔离函数，左右两边分别考察

第五篇：偏导数求二元函数最值

偏导数求二元函数最值

用偏导数可以求多元函数的极值及最值，不过要比一元函数复杂很多。

这个在高等数学教材里都有，极值求法与一元函数类似。不过极值点的判断要比一元函数复杂很多。

求闭区域上的最值要更麻烦一些。为什么呢？你可以回忆一下闭区间上一元函数的最值，我们做法是先求极值，再与端点的函数值比大小。但多元函数就麻烦了，因为一元函数的区间端点只有两个值，可以全求出来比就行了。但多元函数闭区域的边界是无穷多个值，不可能全求出来了，因此边界上我们还需要再求最大最小值，这个叫做条件最值。

如果能代入的话，就是代入求（将条件最值转化为无条件最值）。如果有些函数很复杂不能代入，有另一个方法，叫做拉格朗日乘数法，就是解决条件最值的问题的。